Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk; 5 0, d prímszámot dobunk? = 0,5. BKSS 4... Két szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a legalább az egyiken -os áll; 0, b a dobott számok minimuma ; 0,9 c a dobott számok maximuma ; 5 0,4 d a dobott számok összege kisebb, mint 5; 0, e a dobott számok legnagyobb közös osztója? 0,9. BKSS 4..4. Egy szabályos pénzdarabot ötször feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobunk fejet is és írást is; 0 = 0,95 b legalább két fejet dobunk; = 0,5 c több írást dobunk, mint fejet; = 0,5 d nem dobunk két fejet egymás után; = 0,405 e dobunk három fejet egymás után? = 0,5 4. A lapos magyar kártyából 4 lapot találomra kihúzunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a piros ász is a négy lap között lesz? 4 = 0,5 5. Egy kockát hatszor egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a az,,,4,5, számok mindegyike szerepelni fog;! 0,054 b az első dobás eredménye -os, a többi pedig ettől különböző; 55 0,0 c az első két dobás eredménye -os, a többi pedig a -tól is és egymástól is különböző; 5 4 0,005 d két dobás eredménye -os, a többi pedig ettől különböző? 5 4 0,. BKSS 4..5. Egy dobozban 0 cédula van -től 0-ig megszámozva. Találomra kiveszünk 5 cédulát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott számok mindegyike -nál nagyobb? 5 0 5 0,05. BKSS 4...a lapos magyar kártyából lapot találomra kihúzva mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok különböző színűek? 4 0,4. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát négyszer feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a különböző számokat dobunk; 5 4 0, 4 b a harmadik dobásnál dobunk először -ost; 5 5 0, 4 c nem dobunk két hatost egymás után; 9 0,9 4 d a dobott számok maximuma 4? 44 4 4 0,5
Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel. BKSS 4... 00 alkatrész közül 5 selejtes. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 0 alkatrészt találomra kiválasztva azok között selejtes lesz? 5 95 0,00. BKSS 4... lapos magyar kártyából 4 lapot találomra kiválasztva mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok között a pontosan két piros lesz; 4 4 00 0 0,5 b legalább egy ász lesz; 4 4 0,4 c legfeljebb egy zöld lesz? 4 4 + 4 4 0,4. BKSS 4... Mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötös lottón egy találomra kitöltött lottószelvénnyel pontosan k találatot érünk el? k=0,,,,4,5 5 k 5 k 5 90 5 4. BKSS 4..4. Egy urnában 5 piros és fehér golyó van. Az urnából 0-szer húzunk úgy, hogy a kihúzott golyót mindig visszatesszük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pontosan piros golyót húzunk; 0 5 0,0 b legalább egy fehér golyót húzunk 5 0 0,9909 5. BKSS 4..5. Bizonyos típusú tranzisztorok %-a selejt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 0 db tranzisztort vásárolva azok között a selejt lesz? 0 0,0 0,9 0,00 b lesz selejt? 0,9 0 0,. BKSS 4.5.. Mennyi a valószínűsége, hogy egy tízgyermekes családban pontosan 4 lány van, ha egy fiúgyermek születésének valószínűsége 0,5 és egy leánygyermek születésének valószínűsége 0,49? 0 4 0,49 4 0,5 0,. BKSS 4.5.5. Egy dobozban 0 kártya van. Húsz kártyán van A betű, tíz kártyán B betű és harmincon C betű. Egymás után kihúzunk 5 kártyát visszatevéssel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pontosan -szor húzunk A betűt; 5 0 40 0 0 0,4 5 5 b legalább kétszer húzunk B betűt; + 5 5 4 0,9 c páros sokszor húzunk C betűt? 0,5. BKSS 4.5.. Egy céltáblára 5 fiú ad le egy-egy lövést. Mindenki 0, valószínűséggel talál bele a 0-es körbe. Mennyi a valószínűsége, hogy a pontosan 5 találat lesz a 0-es körbe; 5 5 0, 5 0,4 0 0,04 b legfeljebb 4 találat lesz a 0-es körbe; 0,0094 c legalább két találat lesz a 0-es körbe? 0,9999 9. BKSS 4.5.. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával dobva a hatodik dobásnál dobunk a először -ost; 5 5 0,0 b másodszor -os; 5 5 4 0,0 c harmadszor -ost? 5 5 0,0
Valószínűségszámítás II. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások Várható érték - Szórás - Eloszlásfüggvény. BKSS 4.5.. Egy telefonközpontba perc alatt átlagosan 5 hívás érkezik be. Ha adott időtartam alatt beérkező hívások száma Poisson-eloszlású, mennyi annak a valószínűsége, hogy perc alatt a pontosan hívás érkezik be; 5! e 5 0,04 b legfeljebb hívás érkezik be; 0,5 c legalább hívás érkezik be? 0,99 d a várhatónál több hívás érkezik be? 0,4. BKSS 4.5.9. Egy 400 oldalas könyvben 00 sajtóhiba van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 0 véletlenszerűen kiválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, ha feltesszük, hogy a sajtóhibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó? 0, 00. Számolja ki az alábbi valószínűségi változók várható értékét és szórását! 0 a ξ M ξ = 5,5 D ξ, 0 b ξ 0 0 5 0 0 0 0 M ξ = 0, D ξ,45 4. Egy csomag magyar kártyából találomra kihúzunk egy lapot. Jelölje ξ a kihúzott lap szokásos pontértékét. alsó:, felső:, király: 4, ász:, hetes:, nyolcas:, kilences: 9, tizes: 0 Adja meg ξ eloszlását, várható értékét, szórását! 4 9 0 ξ M ξ =,5 D ξ,5 5. Variációk egy dobozra, három piros és négy fehér golyóra Egy dobozban piros és 4 fehér golyó van. Adjuk meg az alább definiált valószínűségi változók eloszlását, várható értékét, szórását, eloszlásfüggvényét! a Addig húzunk visszatevés nélkül, amíg piros nem lesz. Jelölje ξ a húzott golyók számát! 4 5 ξ 5 0 Mξ = Dξ = 5, 5 5 5 5 5 0 x 5 5 < x 5 5 < x 5 < x 4 4 5 4 < x 5 5 < x b Két golyót húzunk visszatevés nélkül. Jelölje ξ a pirosak számát a kihúzott golyók között. Hipergeometrikus eloszlás 0 ξ Mξ = Dξ 0, 0 x 0 0 < x < x < x
c Két golyót húzunk visszatevéssel. Jelölje ξ a pirosak számát. Binomiális eloszlás 0 ξ 4 9 Mξ = 4 Dξ = 49 0, 49 49 49 0 x 0 49 0 < x 40 49 < x < x d Addig húzunk visszatevés nélkül, amíg két különböző színű golyó nem lesz a kihúzottak között. Jelölje ξ a húzott golyók számát! 4 5 ξ 0 0 4 Mξ = 5 =, Dξ = 5 = 0, 5 5 5 5 0 x 0 5 < x 0 5 < x 4 4 5 4 < x 5 5 < x e Addig húzunk visszatevés nélkül, amíg két azonos színű golyó nem lesz a kihúzottak között. Jelölje ξ a húzott golyók számát! ξ 4 Mξ =,5 Dξ = 49 0,49 0 x < x < x f Két golyót húzunk visszatevéssel. Legyen ξ értéke 0, ha a két kihúzott golyó különböző színű, és legyen ez az érték, ha a kihúzott golyók azonos színűek. Indikátor-változó eloszlása 0 ξ 4 Mξ = 0,4 Dξ = 49 0,49 0 x 0 4 0 < x < x. Egy szabályos dobókockával ötször dobunk egymás után. Jelölje ξ valószínűségi változó azt, hogy hányszor dobtunk -ost. Számolja ki ξ várható értékét és szórását! M ξ = 5 0, D ξ = 5 0,. Egy ξ valváltozó Poisson-eloszlású λ =, 5 paraméterrel. Határozza meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Milyen valószínűséggel vesz fel ξ a várható értékénél kisebb értéket? Pξ <,5 0,54. Bizonyos típusú kávéfőzők 5%-a selejt. -at veszünk. Jelölje ξ a megvásárolt kávéfőzők között a selejtesek számát. Adja meg ξ eloszlását, várható értékét, szórását. Mennyi a valószínűsége, hogy a lesz selejtes a vásároltak között; b -nél kevesebb selejt lesz a vásároltak között? 0 ξ 0 0,05 0 0,95 0,05 0,95 0,05 0,95 0,05 0,95 0 0 Kiszámolt értékekkel: ξ 0, 55 0, 55 0, 005 0, 0005
Mξ = n p = 0,05 = 0,5 Dξ = n p q = 0,05 0,95 0, Plesz selejtes 0, 4 P-nél kevesebb selejtes 0, 995 Valószínűségszámítás III. Folytonos valószínűségi változók eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye. BKSS 4... Igazolja, hogy Fx eloszlásfüggvény. Írja fel az Fx eloszlásfüggvényű ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvényét és számolja ki a felírt valószínűségeket! megj.: F eloszlásfv, ha a köv. tulajdonságok mindegyike teljesül: D F = R, 0 Fx, F monoton növő, F minden pontban balról folytonos, lim 0, lim x x a ex + e x < x <, Pξ > 0, Pln ξ ln D F = R F x = ex + e x = + ex + e x = + e } {{ x } 0< < 0 < Fx < e x + e x > 0 F szigorúan monoton növő tehát monoton növő is. F folytonos függvény, ezért F balról folytonos minden pontban. lim lim x x F sűrűségfüggvénye: fx = F x = e x + e x = 0 = 0 lim lim x x e x + e x < x < Pξ > 0 = Pξ 0 = Pξ < 0 = F0 = Pln ξ ln = Fln Fln = eln 0 ha x b arccos x ha < x π ha < x P D F = R + e x = 0 = e0 + e 0 = = 0,5 + e ln eln + e ln = + + = 0,0 ξ <, P ξ, P < ξ 0 0 arccos x π 0 π arccos x 0 arccos x 0 Fx π Az előző pont miatt F monotonitásához elég azt belátni, hogy F monoton növő a ],[ intervallumon: I. mo. arccos x szig. mon. csökkenő π arccos x szig. mon. csökkenő π arccos x szig. mon. növő π arccos x szig. mon. növő. II. mo. π arccos x = > 0, ha < x <. π x F folytonos a ], [, ],[, ], [ intervallumokon, tehát itt balról is folytonos. Belátjuk, hogy F balról folytonos továbbá az x = ill. x = helyeken.
is tehát, hogy ezeken a helyeken a baloldali határérték megegyezik a helyettesítési értékkel: lim lim 0 = 0 = F lim lim π arccos x = = F x x x x lim lim 0 = 0 x x lim lim = x x 0 ha x < F sűrűségfüggvénye: fx = F x = ha < x < π x 0 ha < x megj.: / D f, / D f P ξ < = P ξ = x0 ha x 0 < x c x P ξ < x 0, P 0 < ξ < x 0 0 ha x x 0 x 0 > 0 valós állandó F eloszlásfv: bizonyítás, mint fent. HF x F sűrűségfüggvénye: fx = F 0 x ha x > x 4 0 x = 0 ha x x 0 d P ξ < x 0 = = 0,5 P 0 < ξ < x 0 = 0 ha x < x x + ha x P < ξ, P 0 < ξ < F eloszlásfv: bizonyítás, mint fent. HF 0 ha x < F sűrűségfüggvénye: fx = F x = x+ ha < x x 0 P < ξ 0 = P < ξ = P 0 < ξ < =. BKSS 4... Határozza meg az A és B állandókat úgy, hogy Fx eloszlásfüggvény legyen! a A + B arctg x < x < A =, B = π 0 ha x < 0 b A =, B = A + Be x ha 0 x Várható érték és szórás. BKSS 4... Egy ξ valváltozó sűrűségfüggvénye fx. Számolja ki ξ várható értékét és szórását! a fx = x 4 ha x Mξ = Dξ = 0 ha x <
e x ha 0 x b fx = 0 ha x < 0 x + ha 0 x c fx = 0 máshol Mξ = Dξ = Mξ = Dξ = Nevezetes folytonos valószínűségi változók 4. BKSS 4... Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek várható értéke m és szórása σ! a Számolja ki a P ξ > 0, valószínűséget, ha m = 0 és σ = 0,! 0,045 Milyen x értékre teljesül a P x ξ = 0, 0 egyenlőség? x = 0, 5 b Számolja ki a P ξ valószínűséget, ha m = és P ξ > = 0,5! 0,4 c Számolja ki az m és σ értéket, ha m = 4σ és P ξ < = 0,0! m = 4, σ = d Számolja ki a P ξ > valószínűséget, ha σ = és P ξ = 0,4! 0, e Számolja ki a P ξ < 0,5 valószínűséget, ha P ξ < = 0,4 és P < ξ = 0,0! 0, 5. BKSS 4..4. Egy repülőgép egy 00 m magasságú légifolyosóban repül. A repülőgép repülési magasságának a légifolyosó közepétől való eltérése 0 m várható értékű és 50 m szórású normális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a repülőgép a légifolyosóban halad? 0,45. BKSS 4..5 Egy gyártmány mérethibája - azaz a névleges mérettől való eltérése - 0 várható értékű, normális eloszlású valószínűségi változó. Annak a valószínűsége, hogy a mérethiba abszolútértéke meghaladja a mm-t: 0,. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mérethiba abszolútértéke 0 mm-nél kisebb? 0,. BKSS 4... Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó az ];4[ intervallumon. Írja fel ξ sűrűségfüggvényét, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását! 0 ha x fx = ha < x 4 0 ha 4 < x 0 ha x x ha < x 4 ha 4 < x Mξ = 5 Dξ =. BKSS 4... Egy benzinkútnál a tapasztalatok alapján annak a valószínűsége, hogy a tankolásra percnél tovább kell várni, 0,. Ha a várakozási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, mennyi annak a valószínűsége, hogy a benzinkúthoz érkezve percen belül elkezdhetünk tankolni? 0,5 9. Egy ξ valváltozó jelentse annak az útnak a hosszát, amelyet egy gépkocsi az első műszaki hibáig megtesz kmben. Tegyük fel, hogy ξ exponenciális eloszlású és várható értéke: 500km. Írja fel ξ sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Mennyi annak a valószínűsége, hogy ξ a várható értékénél kisebb értéket vesz fel? fx = 0 ha x 0 500 e 500 x ha 0 < x 0 ha x 0 e 500 x ha 0 < x Mξ = 500 P ξ < Mξ = e 0, 0. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltelt égési időtartam hossza órában exponenciális eloszlású, 000 óra szórású ξ valószínűségi változó. M ξ =? fx =?? Mennyi a valószínűsége, hogy egy kiszemelt izzólámpa 000 órán belül még nem megy tönkre? Mξ = 000 fx = 0 ha x 0 000 e 000 x ha 0 < x 0 ha x 0 e 000 x ha 0 < x
Pξ 000 = e 0,05