9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2 3... n. Az első helyre bármelyik elemet választhatjuk ez n lehetőség. Az n lehetőség mindegyikét n 1-féleképpen folytathatjuk, hiszen a megmaradt elemek bármelyikét a második helyre állíthatjuk. Így az első két elem kiválasztása után n (n 1)-féle állapothoz juthatunk. Ezek mindegyikét n 2-féleképpen folytathatjuk, hiszen az első két elem rögzítése után még ennyi elem áll rendelkezésre. A gondolatmenetet folytatva az összes elem elhelyezése után n (n 1) (n 2)... 3 2 1számú sorrendhez jutunk. Megjegyzés: Az =1 2 3... nszorzat neve n faktoriális. Példa: Hányféleképpen rendezhető sorba 3 elem? Az első helyen a 3 elem bármelyike állhat. Ez 3 lehetőség. Ezek mindegyike kétféleképpen folytatható, mert a második helyen a megmaradó 2 elem egyike állhat. Végül a harmadik helyre a megmaradt harmadik elem kerül, tehát az előbbi 3 2=6 eset mindegyike csak egyféleképpen folytatható. Tehát a lehetséges sorrendek száma: 3 2 1 = 6. A fenti gondolatmenet megértését elősegítheti a következő ábra: Készítette: Vajda István 129
Példa: Hányféleképpen rendezhető sorba 4 elem? Az előző feladat gondolatmenetéhez hasonlóan az első helyre 4-féleképpen, a másodikra, 3- féleképpen, a harmadikra 2-féleképpen, a negyedikre pedig csak egyféleképpen választható elem, tehát a sorrendek száma: 4 3 2 1=24. Egy hat fős társaságot 6!=6 5 4 3 2 1=720 féleképpen lehet sorbaállítani. Ha egy teremben 40 szék található és éppen 40 embert kell leültetnünk úgy, hogy minden székbe pontosan egy ember ül, akkor 40!=40 39... 3 2 1=815915283247897734345611269596115894272000000000 féle ültetés lehetséges. Az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből pontosan 5!=120 olyan ötjegyű szám képezhető, amelyben a fenti öt jegy mindegyike előfordul. Megjegyzés: Legyünk óvatosak a faktoriálisokkal való számolások során. 3! = 6, 4! = 24, így 3!+4!=30, 3! 4!=6 24=144, tehát egyik sem 12!=479001600. Készítette: Vajda István 130
Ha n elem között vannak olyanok, amelyeket nem tudunk megkülönböztetni egymástól, akkor olyan sorrendjeiket, amelyek egymásból a nem megkülönböztethető elemek felcserélésével előállíthatók, azonosnak tekintjük. Az n elem egy sorrendjét ebben az esetben az n elem egy ismétléses permutációjának nevezzük. Tegyük fel, hogy n elem közül k 1 darab egyforma (nem különböztethető meg), k 2 darab ugyancsak egyforma, de az előző csoporttól megkülönböztethető, k 2 darab egyforma, de különbözik az előző két csoport mindegyikének elemeitől stb. Ekkor az n elem ismétléses permutációinak száma P k 1,k 2,...,k r n = Az 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3 számjegyekből k 1!k 2!...k r!. 7! = 105 különböző hétjegyű szám írható fel. 2! 4! 8! Nyolc vasúti kocsi közül 4 magyar, 2 német, 1 osztrák és 1 szlovák. A kocsik 4! 2! = 840-féle sorrendben kapcsolhatók össze egy szerelvénnyé, ha az azonos országból származó kocsikat nem különböztetjük meg. 9.2. Variációk Egy n elemű halmaz elemeiből képezett k elemű sorozatot, amelynek tagjai páronként különböznek egymástól az n elem egy (ismétlés nélküli) k-adosztályú variációjának nevezzük. Megjegyzés: Szokás a variációt olyan kiválasztásnak nevezni, ahol a sorrend számít. Készítette: Vajda István 131
Tegyük fel, hogy az országban egy adott évben a különböző felsőoktatási intézmények összesen 35 kurzust indítanak leendő villamosmérnökök számára. Ezek közül egy felvételiző hatot választ valamilyen sorrendben. (Lényeges, hogy milyen sorrendben, hiszen a hat kurzusközül az első olyanra veszik fel, amelyre elegendő a pontja.) Így 35 elem egy 6-odosztályú variációját adta meg. Öt elem másodosztályú variációinak száma 5 4=20, mert a 2 elemű sorozat első elemét 5-féleképpen, második elemét pedig 4-féleképpen választhatjuk ki. Öt elem harmadosztályú variációinak száma 5 4 3=60, mert a 3 elemű sorozat első elemét 5-féleképpen, második elemét 4-féleképpen, harmadik elemét pedig háromféleképpen választhatjuk ki. Készítette: Vajda István 132
n elem k-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma: V n,k = (n k)! A k hosszúságú sorozat első elemét n-féleképpen választhatjuk, második elemét (n 1)-féleképpen, stb. A k-adik elemet n k+1-féleképpen lehet választani. Így a variációk száma: n (n 1) (n 2)... (n k+1)= n (n 1) (n 2)... 3 2 1 (n k)... 3 2 1 = (n k)! Egy n elemű halmaz elemeiből képezett k tagú sorozatot, amelyben a halmaz bármelyik elemét többször is felhasználhatjuk az n elem egy ismétléses k-adosztályú variációjának nevezzük. Példa: A TOTÓ-n 13 mérkőzést megjelölünk 1-gyel, 2-vel, illetve X-szel. Tehát egy három elemű{1, 2, X} halmazból állítunk elő egy 13 tagú sorozatot. Természetesen a halmaz elemeit többször is fel lehet használni a sorozat készítésekor, tehát 3 elem 13-adosztályú ismétléses variációjáról van szó. n elem k-adosztályú ismétléses variációinak száma: V (i) n,k = nk. A k hosszúságú sorozat minden elemét n-féleképpen választhatjuk így a variációk száma: n n... n } {{ } k darab = n k. Példa: A TOTÓ-n a 13 mérkőzésből álló tipposzlopot V (i) 3,13 = 313 -féleképpen tudjuk kitölteni. Készítette: Vajda István 133
9.3. Kombinációk Egy n elemű halmaz egy k elemű részhalmazát, az n elem egy (ismétlés nélküli) k-adosztályú kombinációjának nevezzük. Megjegyzés: Ez abban különbözik a variációtól, hogy a részhalmaz elemei között nincs sorrendiség, ezért szokás azt mondani, hogy a kombináció egy olyan kiválasztás, ahol a sorrend nem számít. n elem k-adosztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma: C n,k = k! (n k)! Rendeljük hozzá az n elem minden k-adosztályú (ismétlés nélküli) variációjához ugyanennek az n elemnek azt a k-adosztályú kombinációját, amely pontosan ugyanabból a k elemből áll, mint a variáció. ÚÖÓ ÓÑÒÓ Két különböző variációhoz pontosan akkor rendeljük ugyanazt a kombinációt, ha a két variáció ugyanazon k darab elemből áll, csak ezek sorrendjében különböznek. Mivel k darab elemnek P k = k! különböző sorrendje lehetséges, adott k darab elem k! variációt alkothat, de csak egyet- Készítette: Vajda István 134
len kombinációt. Így a variációk száma éppen k!-szor több, mint a kombinációké, azaz C n,k = V n,k k! = (n k)! k! = k! (n k)! Megjegyzés: A C n,k számokat binomiális együtthatónak szokás nevezni. ( ) n Jelölés: A C n,k jelölés helyett gyakran használják az jelölést is. (Olvasd: n alatt a k.) k ( ) 5 Egy ötelemű halmaznak C 5,3 = = 5! = 10 háromelemű részhalmaza van. 3 3!2! ( ) 90 Az ötöslottó egy szelvényét (szabályosan) = 43949268-féleképpen lehet kitölteni. 5 A kitöltés valójáben egy 90-elemű halmaz 5-elemű részhalmazának kiválasztását jelenti. Készítette: Vajda István 135