. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne, Bentley College Miért bináris? Korai számítógépek decimális számábrázolást használtak: Mark I és ENIAC Neumann János javasolta a bináris számábrázolást () egyszerűbb a számítógépek megvalósítása utasítások és adatok tárolásához is ezt egyaránt használjuk Természetes kapcsolat a Be Ki kétállású kapcsolók és Bool logikai Igaz értékek, ill. műveletek között Igen Fejezet: - számrendszerek - Hamis Nem
Számolás és aritmetika Decimális vagy tizes alapú számrendszer Eredet: számolás az ujjakon Digit (számjegy) digitus latin szóból ered, jelentése ujj Alap: a számjegyek száma a számrendszerben, a nullát is beleértve Példa: -es alapban számjegy van, -tól -ig Bináris vagy -es alapú Bit (aritmetikai számjegy): számjegy, és Oktális vagy -as alapú: számjegy, -tól -ig Hexadecimális vagy -os alapú: számjegy, -tól F-ig Példák: = A ; = B Fejezet: - számrendszerek - Tartsd irányban a biteket A biteket általában csoportokban tárolják és módosítják bit = byte byte = word/szó (a legtöbb rendszerben) A bitek számának használata számolásokban Hatással van az eredmény pontosságára Korlátozza a számítógép által kezelt számok méretét Fejezet: - számrendszerek -
Számok: fizikai bemutatás Különböző számjegyek, ugyanazok a számok Rovás írás: IIIII Római: V Arab: Különböző alapok, ugyanazok a számok Fejezet: - számrendszerek - Számrendszerek Római: pozíció (helyiérték) független Modern: helyiértékes jelölésen alapszik Decimális számrendszer: helyiértékes jelölés, hatványain alapszik Bináris rendszer: helyiértékes jelölése, hatványain alapszik Oktális rendszer: helyiértékes jelölés, hatványain alapszik Hexadecimális rendszer: helyiértékes jelölése, hatványain alapszik Fejezet: - számrendszerek -
Pozícionális jelölés: -es alap = x + x -esek -esek Helyi érték Érték Számítás Összeg x x Fejezet: - számrendszerek - Pozícionális jelölés: -es alap = x + x + x -asok -esek -esek Helyi érték Érték Számítás x x x Összeg Fejezet: - számrendszerek -
Pozícionális jelölés: Oktális = -esek -asok -esek Helyi érték Érték Számítás x x x Decimális összeg Fejezet: - számrendszerek - Pozícionális jelölés: Hexadecimális. =..-osok -osok -osok -esek Helyi érték Érték. Számítás x x x x. Decimális összeg.. Fejezet: - számrendszerek -
Pozícionális jelölés: Bináris = Helyi érték Érték Számítás x x x x x x x x Decimális összeg Fejezet: - számrendszerek - Méret becslése: Bináris = > ( + + maradék bitek jobbra) Helyi érték Érték Számítás x x x x x x x x Decimális összeg Fejezet: - számrendszerek -
Lehetséges számok skálája R = B K, ahol R = számterjedelem (range) B = alap (base) K = számok száma. Példa: -es alap, számjegy R = = különböző szám ( ). Példa: -es alap, számjegy R = =. vagy K -bites PC. különböző értéket képes tárolni Fejezet: - számrendszerek - Bitek decimális terjedelme Bitek Számjegyek + + + + + + + + + Terjedelem ( és ) (-tól-ig). (K). (K).. (M)... (G) ~, x ( x [exa]) ~, x Fejezet: - számrendszerek -
Alap vagy Számjegy alapja Alap: Bármely adott szám ábrázolásához szükséges szimbólumok száma A nagyobb alap több számjegyet igényel -es alap :,,,,,,,,, -es alap :, -as alap :,,,,,,, -os alap :,,,,,,,,,,A,B,C,D,E,F Fejezet: - számrendszerek - Szimbólumok száma vs. Számjegyek száma Egy adott szám ábrázolásához a nagyobb alapban több szimbólum szükséges de kevesebb számjegy kell. Példa:. Példa: C Fejezet: - számrendszerek -
Számolás -es alappal Bináris szám -asok ( ) -esek ( ) Egyenérték -esek ( ) -esek ( ) Decimális szám x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Fejezet: - számrendszerek - -es alap összeadó táblája + = + stb Fejezet: - számrendszerek -
-as alap összeadó táblája + = + (nincs se se természetesen) Fejezet: - számrendszerek - -es alap szorzótáblája x = x stb. Fejezet: -számrendszerek -
-as alap szorzótáblája x = x Fejezet: - számrendszerek - Összeadás Alap Decimális Oktális Hexadecimális Bináris Feladat + + + + Legnagyobb egyjegyű szám F Fejezet: - számrendszerek -
Összeadás Alap Feladat Átvitel Eredmény Decimális + Oktális + Hexadecimális +A Bináris + Fejezet: - számrendszerek - Bináris aritmetika + Fejezet: - számrendszerek -
Bináris aritmetika Összeadás Bool XOR-t és AND-et használ Szorzás AND Shift (eltolás) Osztás + x Fejezet: - számrendszerek - Bináris aritmetika: Bool logika Bool logika véges aritmetika nélkül EXCLUSIVE-OR (kizáró vagy) p az output ha nem mindegyik bemenet értéke AND (carry bit) p az output ha mindegyik bemenet értéke + Fejezet: - számrendszerek -
Bináris szorzás Bool logika véges aritmetika nélkül AND (carry bit) p az output ha mindegyik bemenet értéke Shift (eltolás) p Egy szám eltolása bármelyik alapban balra egy jeggyel, az egyenlő az alappal való szorzással p Egy szám eltolása bármelyik alapban jobbra egy jeggyel, az egyenlő az alappal való osztással p Példák: p eltolva balra = p eltolva jobbra = p eltolva balra = p eltolva jobbra = Fejezet: - számrendszerek - Bináris szorzás x Első hely Második hely Harmadik hely (szorzandó bitjei eltolva eggyel feljebb a harmadik helyen) Eredmény (AND) Fejezet: - számrendszerek -
Fejezet: - számrendszerek - Bináris szorzás megjegyzés: többszörös carry lehetséges. Eredmény (AND) Megjegyzés: a a végén, az első helyen nem lett leírva.. helyiérték ( ). helyiértékhez tartozik ( ) Második helyiértékhez tartozik (szorzandó bitjei eltolva egy helyiértékkel balra ~ -vel megszoroztuk) x Fejezet: - számrendszerek - Bináris szorzás x
Konvertálás -es alapból Hatvány tábla Kitevő Alap.... Fejezet: - számrendszerek - -es alapból -esbe = Kitevő Alap Egész / = / = / = / = / = / = Maradék Fejezet: - számrendszerek -
-es alapból -esbe -es alap Maradék Hányados ) ( Legkisebb helyi-értékű bit ) ( ) ( ) ) ) -es alap ( ( Legnagyobb helyi-értékű bit Fejezet: - számrendszerek - -es alapból -osba. = Kitevő Alap.. Egész. /. =. / = / = Maradék.. =... = = Fejezet: - számrendszerek -
-es alapból -osba -es alap Hányados ) ) ) ) ) -os alap.. Maradék ( Legkisebb helyi-értékű bit ( ( ( Legnagyobb helyi-értékű bit Fejezet: - számrendszerek - -es alapból -osba -es alap. Maradék Hányados ). ( Legkisebb helyi-értékű bit ) ( ) ( ) ( Legnagyobb helyi-értékű ) bit -os alap F Fejezet: - számrendszerek -
-as alapból -esbe =. Kitevő x x x x Decimális összeg. Fejezet: - számrendszerek - -as alapból -esbe =. x + = x + = x + =. Fejezet: - számrendszerek -
-os alapból -esbe A nibble (négy bites szó) megközelítés Hexadecimálist könnyebb írni és olvasni, mint binárist -os alap F -es alap Miért hexadecimális? p Modern operációs rendszerek és hálózatok a hibaelhárítás számos módját nyújtják hexadecimális formában Fejezet: - számrendszerek - Törtek Tizedespont vagy alappont Tizedespont a -es alapban Binárispont a -es alapban Különböző számrendszerekben ábrázolt törtszámok között nem mindig lehetséges pontos konverzió Pontos ábrázolása a tört értékeknek nem mindig lehetséges Egy adott érték egyik számrendszerben pontosan ábrázolható, a másikban nem: p számrendszerek közötti konverzió esetén információ vesztés lehetséges Fejezet: - számrendszerek -
Tizedestörtek Rakjuk eggyel jobbra a tizedespontot Eredmény: a szám megszorzódik a számrendszer alapjával Példa:. Rakjuk eggyel balra a tizedespontot Eredmény : a szám osztódik a számrendszer alapjával Példa:.. Fejezet: - számrendszerek - Törtek: -es és -es alap, Helyi érték - - - - Érték / / / / Számítás x / x / x / x/ Összeg,,,,, =, Helyi érték - - - - - - Érték / / / / / / Számítás x / x / x / x / x / x / Összeg,,,, Fejezet: - számrendszerek -
Törtek: -es és -es alap Nem adható általános megfeleltetés az / k és / k típusú törtek között Ennek következtében néhány -es alapban ábrázolható szám nem ábrázolható -es alapban De minden / k formájú törtet tudunk ábrázolni - es alapban Tört átalakítása két alap között akkor ér véget Ha van racionális megoldás vagy Ha a kívánt pontosságot elértük Fejezet: - számrendszerek - Kevert számalakítás Egész és tört részeket külön kell konvertálni Alappont: kiindulópont az átalakításnál Az alappont (tizedespont,kettedespont) bal oldalán lévő számjegy minden alapban egységnyi B mindig, alaptól függetlenül Fejezet: - számrendszerek -