előadás és gyakorlat. rész T.Nagy Judt Ajálott rodalom: Ilyésé Molár Emese Lovasé Avató Judt: Feladatgyűjteméy, Perekt, 006. Korpás Attláé (szerk.): Általáos, Nemzet Taköyvkadó, 1997. Molár Mátéé Tóth Mártoé: Általáos Statsztka Példatár II., Nemzet Taköyvkadó, 001. T.Nagy Judt 1
A mtából törtéő következtetés, mtavétel alapogalmak A mta célja: olya adatok szerzése, melyből következtetéseket tuduk levo a teljes sokaságra voatkozóa. A mtavétel módja: Adatgyűjtés Részleges adatelvétel Teljes körű adatelvétel (cezus) Kotrollált kísérlet Reprezetatív meggyelés Egyéb részleges adatelvétel Véletlee alapuló kválasztás Nem véletlee alapuló kválasztás FAE mtavétel EV mtavétel Szsztematkus mtavétel Rétegzett mtavétel Csoportos mtavétel = egylépcsős Többlépcsős mtavétel Kombált eljárások Szsztematkus mtavétel Kvóta szert kválasztás Kocetrált kválasztás Hólabda kválasztás Ökéyes kválasztás FAE (Függetle, azoos eloszlású) mta: Véletleszerű vsszatevéses mtavétel vagy vsszatevés élkül de az alapsokaság végtele (vagy agyo agy számosságú). EV (Egyszerű véletle) mta: Véges sokaságból törtéő, vsszatevés élkül mtavétel (ha az alapsokaság agy, akkor az EV mta FAE mtáak tekthető). A eladatokba FAE mtát eltételezük! T.Nagy Judt
T.Nagy Judt 3
Az alapsokaság jellemző: Eleme: X 1, X, X N, (az elemszám véges vagy végtele) N elemszám X átlag K P előordulás valószíűség (aráy) N szórás A céluk X, P, becslése a mtából. A mta jellemző: A mtaelemek: x 1, x,, x elemszám kválasztás aráy N Mtaátlag: x x x x o A mtaátlag várható értéke: = X A mta szórása: x x s 1 x x s 1 Mtaátlag szórása stadard hba (FAE mta eseté): vagy x s x s k Relatív gyakorság (mtabel aráy): p vagy p N, X P, mtavétel, x p, s Alapsokaság statsztka következtetés Mta T.Nagy Judt 4
III. Statsztka becslés Statsztka becslés: valamely statsztka adat közelítő potosságú meghatározása. Paraméter: A becsül kívát jellemzője a sokaságak (pl. várható érték, szórás, aráy, ):. Becslőüggvéy: A mtából származó meggyelések (x 1, x, ) üggvéye (pl. mtaelemek átlaga): ˆ. A becslőüggvéyel szembe támasztott követelméyek: 1. Torzítatla: várható értéke a becsül kívát paraméter. Kozsztes: a mtaagyság övelésével a becslés agy valószíűséggel a paraméter elé tart. 3. Hatásos: két kozsztes üggvéyközül az a hatásosabb, melyek ksebb a szórása. Potbecslés: A mtából származó meggyeléseket a becslőüggvéybe helyettesítjük. Pl. x, s, p mtából törtéő kszámítása potbecslés. Itervallumbecslés vagy kodecatervallum: A mta alapjá meghatározható tervallum: ˆ ; ˆ ], melybe a becsül kívát paraméter előre megadott valószíűséggel esk. [ a Ez a valószíűség a megbízhatóság szt (1-α). Azaz P 1 ˆ ˆ a. A becslőüggvéy értéke mtáról mtára változk (szóródk), eek szóródását stadard hbáak evezzük. (, s, s ) x x p A maxmáls hba vagy hbahatár ( ) megadja, hogy adott (1-α) megbízhatóság szt eseté legeljebb meyt tévedük. Becslés Potbecslés x, p, s Itervallumbecslés x, p, T.Nagy Judt 5
Itervallumbecslések (FAE mta eseté ) 1. A várható érték becslése átlagbecslés (eltétel: ormáls eloszlás vagy agy mta: 100) A becslés meete: Mtaátlag kszámítása: x (a sokaság átlag potbecslése) Ha em smert, akkor a mtaszórás kszámítása: s Stadard hba kszámítása: (ha smert a szórás) vagy x s s x (ha em smert a szórás) A megbízhatóság sztek megelelő z vagy t értékek kkeresése táblázatból: z 1 (ha smert a szórás) vagy t (1) 1 (ha em smert a szórás) A hbahatár kszámítása: z x 1 (1) t s 1 x (ha smert a szórás), vagy (ha em smert a szórás A kodeca tervallum megadása ( X x ) A képletek FAE mta eseté érvéyesek. EV mtáál a stadard hba egy számolható! k 1 N téyezővel szorozva T.Nagy Judt 6
III. 1. MINTAPÉLDA Egy üdítőtalt palackozó cég, töltőgépe potosságáak elleőrzéséhez 15 elemű véletle mtát vett. Korább vzsgálatokból smert, hogy a gép által töltött térogat ormáls eloszlást követ. A mta (FAE) mérés eredméye ml-be: 503; 498; 490; 500; 499; 495; 49; 500; 50; 501; 500; 496; 503; 499; 49 Feladat Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal az átlagos töltőtérogatot. A mta: ormáls eloszlású, em smert a szórással. A mtaátlag: A mtaszórás: A stadard hba: x x = 498 x x s = 4,13 1 s s x = 1,06 Értelmezés: A becslőüggvéy szórása 1,06 ml, azaz 1,06 ml a mtaátlagok sokaság várható értéktől való átlagos eltérése. A megbízhatóság sztek megelelő t érték kkeresése táblázatból 1- = 0,95 = 0,05 = 0,05 1 = 0,975 t (1) 1 = (14) t 0,975=,14 (14) A hbahatár t 0,975 s =,8 x Értelmezés: A becslés sorá 95%-os valószíűséggel,8 ml-él kevesebbet tévedük. A keresett kodeca tervallum X x = [498-,8 ; 498+,8] = [495,7 ; 500,8] Értelmezés: 95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a mta alapjá, hogy az üdítőtalok átlagos töltőtérogata 495,7 és 500,8 ml között va. T.Nagy Judt 7
Látható, hogy a kodecatervallum méretét (- keresztül) a táblázatból kkeresett t érték szabályozza, am két téyezőtől ügg: a mta elemszámától és a megbízhatóság szttől. Hogya? III. 1. MINTAPÉLDA Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal az átlagos töltőtérogatot, ha tudjuk, hogy a gép 6 ml szórással tölt. A mta: ormáls eloszlású, smert a szórással A mtaátlag: x = 498 A szórás: = 6 A stadard hba: = 1,73 x A megbízhatóság sztek megelelő z érték kkeresése táblázatból 1- = 0,95 = 0,05 = 0,05 1 = 0,975 z 1 = z 0,975 = 1,96 A hbahatár z = 3,39 x 1 A keresett kodeca tervallum [498-3,39 ; 498+3,39] = [494,61 ; 501,39] Értelmezés: 95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a mta alapjá, hogy az üdítőtalok átlagos töltőtérogata 494,61 és 501,39 ml között va. T.Nagy Judt 8
. Valószíűség becslése aráybecslés (eltétel: agy mta: 100) A becslés meete: k A mtabel aráy kszámítása p vagy p (valószíűség potbecslése) A mtaszórás kszámítása: s p(1 p) Stadard hba kszámítása: s p s A megbízhatóság sztek megelelő z 1 érték kkeresése táblázatból A hbahatár kszámítása: z s p 1 A kodeca tervallum megadása: P p III.. MINTAPÉLDA Egy szolgáltató 450 ügyeléek vllamos eerga ogyasztására voatkozó adatok (reprezetatív mta alapjá): Vllamos eerga ogyasztók száma ogyasztás (kwh) -100 90 100-150 130 150-00 100 00-50 75 50-300 30 300-5 Összese 450 Feladat: Becsüljük meg 99%-os megbízhatóság szte a 00 kwh-ál agyobb ogyasztók aráyát! A mtabel aráy: p 75 30 5 = 0,9 = 9% 450 A mtaszórás: s p(1 p) 0,9 0, 71 = 0,45 s A stadard hba: s p = 0,01 T.Nagy Judt 9
A megbízhatóság sztek megelelő z 1 érték kkeresése táblázatból 1- = 0,99 = 0,01 = 0,005 1 = 0,995 z 0,995 =,58 A hbahatár: z s p = 0,054 1 A kodeca tervallum: P p [0,9-0,054 ; 0,9+0,054] = [0,36 ; 0,344] = [3,6% ; 34,4%] Értelmezés: A szolgáltató 00 kwh-ál többet ogyasztó ügyeleek aráya (a teljes sokaságba), 99%-os megbízhatósággal 4% és 34% között va. 3. A szórás becslése (eltétel: ormáls eloszlású sokaság) A becslés meete: A mtaátlag kszámítása: x x x A mtaszórás kszámítása s (szórás potbecslése) 1 x A megbízhatóság sztek megelelő (1) 1 és értékek kkeresése táblázatból (1) A kodeca tervallum határa: ( 1) s ( 1) s alsó első (1) ( (1) 1 T.Nagy Judt 10
III. 3. MINTAPÉLDA Feladat: Becsüljük meg 95%-os megbízhatósággal a III. 1. Mtapéldába a töltés térogat szórását. x = 498 s = 4,13 (1) 1 (14) = 0,975= 6,1 (1) (14) = 0,05= 5,63 ( 1) s =3,0 ( 1) s első =6,5 ( 1 ) alsó ( 1) 1 Megjegyzés: Ezúttal a kodecatervallum em szmmetrkus a potbecslésre (s-re). Értelmezés: 95%-os megbízhatósággal állíthatjuk, a mta alapjá, hogy az üdítőtalok töltés térogatáak szórása 3,0 és 6,5 ml között va. T.Nagy Judt 11
IV. Hpotézsvzsgálat Hpotézsvzsgálat: A sokaság valamely pereméterére (vagy egyéb jellemzőjére) voatkozó állítás vagy eltevés helyességéek vzsgálata egy mta alapjá. Ez az állítás a hpotézs. A hpotézsvzsgálathoz kétéle hpotézst kell megogalmazuk, az ú. ullhpotézst és az ezzel elletétes tartalmú ellehpotézst. MINTAPÉLDA Egy üdítőtalt palackozó üzembe automata gép tölt a palackokat. Az előírás szert töltés térogat 500 ml. Teljesül-e az előírás? Eek elleőrzéséhez a következő két hpotézst ogalmazhatjuk meg: Nullhpotézs: : 500 (a töltés térogat 500 ml) H o Ellehpotézs: : 500 (a töltés térogat em 500 ml) H 1 A ullhpotézs voatkozhat várható értékre, aráyra, szórásra, stb. A ullhpotézst mdg egyelőség ormájába ogalmazzuk meg. Az ellehpotézs hároméle lehet, melyek közül mdg az adott vzsgálatak megelelőt haszáljuk. Nullhpotézs: Alteratív (elle-) hpotézsek: H : o H : 1 o (kétoldal) o o (egyoldal: bal) o (egyoldal: jobb) A hpotézsvzsgálat eredméye, hogy valamelyk (H 0 vagy H 1 ) hpotézst elogadjuk a máskkal szembe. Az eljárást, melyek segítségével (a mtából származó ormácók alapjá) dötük H 0 vagy H 1 hpotézsek elogadásáról statsztka próbáak evezzük. A dötést a próbaüggvéy segítségével tesszük meg. A próbaüggvéy a mtaelemekek üggvéye. A próbaüggvéy tulajdosága: Eloszlása, a ullhpotézs eállása mellett, egyértelműe meghatározható. Értéke mtáról mtára változhat. T.Nagy Judt 1
Lehetséges értékeek tartomáya két dszjukt részre botható: Elogadás tartomáyra (E) és Vsszautasítás tartomáyra. A két tartomáyt a krtkus érték választja el egymástól. Ha a próbaüggvéy aktuáls értéke az elogadás tartomáyba (E-be) esk, akkor a H 0 hpotézst elogadjuk, ha a vsszautasítás tartomáyba, akkor em ogadjuk el (ekkor H 1 -et ogadjuk el). Ez utóbb eset valószíűségét szgkacasztek () evezzük. tehát aak valószíűsége, hogy a próbaüggvéy a vsszautasítás tartomáyba esk. A dötésük valószíűség következtetés, mely kockázattal, és hbával járhat. Kétéleképp hbázhatuk: ha elogaduk egy em gaz állítást vagy elvetük egy gaz állítást. Helyes dötést szté kétéleképp hozhatuk: elogaduk egy gaz állítást, vagy elvetük egy hams állítást. Ezek összeoglalását lletve a külöböző esetek valószíűséget a következő táblázat tartalmazza: A valóság H 0 gaz H 0 em gaz A H 0 ra voatkozó dötést Elogadjuk Elvetjük Helyes dötés Elsőajú hba 1- Másodajú hba Helyes dötés 1- -t a próba erejéek evezzük. 1- : megbízhatóság szt. T.Nagy Judt 13
A hpotézsvzsgálat meete (a statsztka próba lépése): 1. H 0 és H 1 hpotézsek megogalmazása. A próbaüggvéy meghatározása és értékéek kszámítása 3. Szgkacaszt megadása 4. Elogadás tartomáy (és vsszautasítás tartomáy) meghatározása 5. Dötés A próbák csoportosítása Egy mtás Paraméteres (IV.1.) Nem paraméteres (IV..) Illeszkedésvzsgálat (IV..1.) Várható értékre voatkozó átlagpróba (IV.1.1.) Valószíűségre voatkozó aráypróba (IV.1..) Függetleségvzsgálat (IV...) Varacaaalízs (IV..3.) Szórásra voatkozó (IV.1.3.) Több mtás Várható értékre voatkozó - átlagpróba Valószíűségre voatkozó - aráypróba Szórásra IV. 1. Paraméteres próbák IV. 1. 1. Várható értékre voatkozó próbák átlagpróbák (eltétel: ormáls eloszlás) Aak elleőrzésére szolgál, hogy egy ormáls eloszlású sokaság várható értéke (átlaga) egyelő-e (ksebb-e, agyobb-e) valamlye eltételezett várható értékkel (értékél). A próba meete Jelölés: m 0 a eltételezett várható érték 1. H 0 : =m 0 (a sokaság várható érték megegyezk a eltételezett várható értékkel) H 1 : m 0 (a sokaság várható érték em egyezk meg a eltételezett várható értékkel) vagy T.Nagy Judt 14
H 1 : <m 0 (a sokaság várható érték ksebb a eltételezett várható értékél) vagy H 1 : >m 0 (a sokaság várható érték agyobb a eltételezett várható értékél). z próba (ha smert a szórás) t próba (ha em smert a szórás) A próbaüggvéy z x m 0 A próbaüggvéy t x m s 0 3. A szgkacaszt meghatározza a próba sorá elkövethető hbák valószíűségét. Ha túl kcs, ő, akkor a másodajú hba valószíűsége ő. Ekkor megő a hams ullhpotézs elogadásáak valószíűsége. Ha túl agy az elsőajú hba (azaz gaz ullhpotézs elvetése) elkövetéséek valószíűsége, mert ekkor véletle hbából adódó ks külöbséget s szgkásak tekt. A kétéle hba előordulását gyelembe véve 95%-os megbízhatóság szt terjedt el. Itt kegyesúlyozott a kétéle hbázás lehetőség. 4. A várható értékre voatkozó próbaüggvéyek stadard ormáls vagy t eloszlásúak. Az elogadás és vsszautasítás tartomáy elhelyezkedése az ellehpotézs állításától ügg. (A stadard ormáls és t eloszlások szmmetrkusak!) Ha H 1 : m 0 0,045 1- / / 0 0 100 Elogadás tartomáy T.Nagy Judt 15
Ha H 1 : <m 0 0,045 1-0 0 100 Elogadás tartomáy Ha H 1 : >m 0 0,045 1-0 0 100 Elogadás tartomáy Tehát az elogadás tartomáyok szgkacaszte: H 1 : m 0 E z ;z 1 1 H 1 : <m 0 E z ; 1 H 1 : >m 0 E ; z 1 H 1 : m 0 E (1) (1) t ;t 1 1 (1) H 1 : <m 0 E t ; 1 (1) H 1 : >m 0 E ;t 1 T.Nagy Judt 16
5. Ha z ll. t E, akkor H 0 -t elogadjuk, ellekező esetbe elvetjük (ekkor H 1 -et ogadjuk el). IV. 1. 1. MINTAPÉLDA Egy üdítőtalt palackozó cég, töltőgépe potosságáak elleőrzéséhez 40 elemű véletle mtát vett. A mtába az átlagos térogat 498 ml, a szórás 7,5 ml. Az előírás szert töltés térogat 500 ml. A töltés térogat ormáls eloszlást követ. Feladat Elleőrzzük, 95%-os megbízhatóság szte, hogy a gép előírásak megelelőe működk-e (azaz a töltés térogat 500 ml-ek tekthető-e). = 40, x = 498, s = 7,5, m 0 = 500, em smert 1. H 0 : =500 (a gép előírásak megelelő). H 1 : 500 (a gép em az előírásak megelelő) x m0 498 500 t = = - 1,6865 s 498 40 3. 1-=0,95, 1 0, 975 4. E: (1) (1) ; t 1 1 (39) (39) t = t ; 5. -1,6865[-,0 ;,0] = [-,0 ;,0] 0,975 t 0,975 Mvel te, a H 0 hpotézst elogadjuk. Tehát 95%-os megbízhatóság szte azt állíthatjuk, hogy a gép előírásak megelelőe működk. IV. 1. 1. MINTAPÉLDA Feladat Hajtsuk végre a hpotézselleőrzést úgy s, hogy a szórása maxmálsa megegedett értékével, azaz 5 ml-rel számoluk (a térogat szert eloszlás ormálsak tekthető). T.Nagy Judt 17
= 40, x = 498, (s = 7,5,) m 0 = 500, = 5 1. H 0 : =500 (a gép előírásak megelelő) H 1 : 500 (a gép em az előírásak megelelő) x m 0 498 500. z = z = -,598 5 40 3. 1-=0,95, 1 0, 975 4. E: ;z 1 1 z = z ; = [-1,96 ; 1,96] 0,975 z 0,975 5. -,598[-1,96 ; 1,96] Mvel ze, a H 0 hpotézst elvetjük (H 1 -et elogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatóság szte állíthatjuk, hogy a gép em az előírásak megelelőe működk. IV.1.. Valószíűségre voatkozó próba aráypróba (eltétel: agy mta, 100) Aak elleőrzésére szolgál, hogy agy mta eseté a sokaság aráy (valószíűség) egyelő-e (ksebbe, agyobb-e) valamlye eltételezett aráyal (aráyál). A próba meete Jelölés: P 0 a eltételezett valószíűség 1. H 0 : P=P 0 (a sokaság aráy egyelő a eltételezett valószíűséggel) H 1 : PP 0 (a sokaság aráy em egyelő a eltételezett valószíűséggel) vagy H 1 : P<P 0 (a sokaság aráy ksebb a eltételezett valószíűségél) vagy H 1 : P>P 0 (a sokaság aráy agyobb a eltételezett valószíűségél) T.Nagy Judt 18
. 4. z próba: A próbaüggvéy z p P P (1 P ) 0 0 0 A valószíűségre voatkozó próbaüggvéy stadard ormáls eloszlású. Az elogadás- és vsszautasítás tartomáy elhelyezkedése szgkacaszte ugyaaz, mt a (z) átlagpróbáál. IV. 1.. MINTAPÉLDA Egy gyorsétterm akcó célja, hogy hatására a vásárlók legalább 0%-a vásárolja meg az adott terméket. 350 vásárlót tartalmazó véletle mtába 65-e megvásárolták a szóba orgó terméket. Feladat Elleőrzzük, hogy skeresek tekthető-e az akcó 5%-os szgkacaszte. 1.. k = 65, = 350, P 0 = 0, H 0 : P=0, H 1 : P<0, 65 p = 0,186 350 z p P P (1 P ) 3. =0,05 1- = 0,95 0 4. E: 0 0 z 1 = [-1,65 ; ] ; 5. -0,6548[-1,65 ; ] 0,186 0, = - 0,6548 0, 0,8 350 A ullhpotézst egyelőség ormájába ogalmazzuk meg, de elogadása azt jeleteé, hogy az aráy 0%, vagy aál agyobb (P0,), az alteratív hpotézsbe pedg eek ellekezőjét (P<0,) az aráy 0% alatt. Mvel ze, a H 0 hpotézst elogadjuk. Tehát 95%-os megbízhatóság szte skeresek tekthető az akcó. T.Nagy Judt 19
IV. 1. 3. Szórásra voatkozó próba (eltétel: ormáls eloszlás) Aak elleőrzésére szolgál, hogy egy ormáls eloszlású sokaság szórása megegyezk-e (ksebb-e, agyobb-e) valamlye eltételezett szórással (szórásál). A próba meete Jelölés: 0 a eltételezett szórás 1. H 0 : = 0 (a sokaság szórás egyelő a eltételezett szórással) H 1 : 0 (a sokaság szórás em egyelő a eltételezett szórással) H 1 : < 0 (a sokaság szórás ksebb a eltételezett szórásál) H 1 : > 0 (a sokaság szórás agyobb a eltételezett szórásál). ( 1) próba: A próbaüggvéy s 0 A szórásra voatkozó próbaüggvéy -1 szabadság okú eloszlást követ. Az elogadás és vsszautasítás tartomáy elhelyezkedése tt s az ellehpotézs állításától ügg. (Vszot a eloszlás em szmmetrkus!) 4. Az elogadás tartomáyok szgkacaszte (1) (1) H 1 : 0 E ; 1 H 1 : < 0 E ( 1) ; 1) H 1 : > 0 E0; ( 1 T.Nagy Judt 0
IV. 1. 3. MINTAPÉLDA Feladat Az IV.1.1. és IV.1.. Mtapéldára voatkozóa elleőrzzük azt a eltevést, 5%-os szgkacaszte, hogy a töltés térogat szórása előírásak megelelő, azaz em haladja meg az 5 ml-t. = 40, s = 7,5, = 5 1. H 0 : =5 A ullhpotézst egyelőség ormájába ogalmazzuk meg, de H 1 : >5 elogadása azt jeleteé, hogy a szórás 5 ml, vagy aál ksebb, azaz 5; az alteratív hpotézsbe pedg eek ellekezőjét: a szórás meghaladja az előírtat. ( 1). s 39 3. =0,05 1- = 0,95 1) 4. E 0; ( (39) = ; 0,95 1 0 7,5 =87,75 5 0 =[0 ; 55,76] 5. 87,75[0 ; 55,76] Mvel E, a H 0 hpotézst elvetjük (H 1 -et elogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatósága azt állíthatjuk, hogy a szórás meghaladja az előírás szertt. T.Nagy Judt 1
IV. Nemparaméteres próbák IV..1. Illeszkedésvzsgálat egyeletes eloszlásra (eltétel: legksebb eltételezett gyakorság 5 és agy mta) Aak elleőrzésére szolgál, hogy a sokaság a eltételezett (egyeletes) eloszlást követ-e, agy mta eseté. Mdg jobboldal a próba. A próba meete Jelölések: = k 1. k: az smérvváltozatok száma : mtába tapasztalt gyakorság : eltételezett gyakorság =1,,,k H 0 : = (a sokaság eloszlása megegyezk az egyeletes eloszlással) H 1 : : (a sokaság eloszlása em egyezk meg az egyeletes eloszlással). 4. A próbaüggvéy: k 1 ( ) A próbaüggvéy k-1 szabadság okú khí égyzet eloszlást követ Elogadás tartomáy szgkaca szte: E 0; (k 1) 1 IV..1. MINTAPÉLDA A jogász szakra készülő érettségzők, külöböző vdék egyetemekre törtéő jeletkezéséek eloszlását vzsgálták, a következő 150 elemű reprezetatív mta alapjá: T.Nagy Judt
Egyetem városa Jeletkezők száma (ő) Debrece 3 Győr 0 Mskolc 37 Pécs 9 Szeged 41 Összese 150 Feladat Elleőrzzük 5%-os szgkacaszte, hogy egyelő megoszlásba jeletkezek-e a külöböző vdék egyetemekre. 150 = 150, k = 5, = = 30 (=1,,,5) 5 1. H 0 : = H 1 : : (az eloszlás egyeletes) (az eloszlás em egyeletes). A próbaüggvéy kszámításához a következő mukatáblázat készíthető: ( ) 3 30 1,63 0 30 3,33 37 30 1,63 9 30 0,03 41 30 4,03 Összese 150 150 10,65 k 1 ( ) =10,65 3. =0,05 1- = 0,95 1) 4. Elogadás tartomáy szgkacaszte: E 0; (k (4) = ; 0,95 1 0 =[0 ; 9,49] 5. 10,65[0 ; 9,49] Mvel E, a H 0 hpotézst elvetjük (H 1 -et elogadjuk). Tehát 95%-os megbízhatósággal azt állíthatjuk, hogy a elvételzők em egyelő megoszlásba jeletkezek az egyes vdék városok jog egyetemere. T.Nagy Judt 3
IV... Függetleségvzsgálat (eltétel: legksebb eltételezett gyakorság 5 és agy mta) Asszocácós kapcsolat meglétéek vzsgálatára szolgál, agy mtából. Mdg jobboldal. A próba meete Jelölések: j : a mtába tapasztalt gyakorság, j : üggetleség eseté tapasztalt gyakorság, j t, s: smérvváltozatok száma (sorok, oszlopok) 1. H 0 : j = j (a kapcsolat teljes háya, azaz üggetleség) H 1 :, j: j j (sztochasztkus kapcsolat va) j. A próbaüggvéy: s t 1 j1 j j j A próbaüggvéy (s-1)(t-1) szabadság okú khí égyzet eloszlást követ 4. Elogadás tartomáy szgkaca szte: E 0; (s1)(t1) 1 IV..1. MINTAPÉLDA Egy packutató cég vzsgálta, hogy va-e kapcsolat az skola végzettség és az teret haszálat között Magyarországo (006): T.Nagy Judt 4
teretezés szokás soha sem teretezk skola teretezk végzettség Legeljebb 8 általáos 5 88 93 Szakmukás 11 74 85 Érettség 35 43 78 Dploma 51 6 77 Összese 10 31 333 Összese Feladat Elleőrzzük 5%-os szgkacaszte, hogy va-e szgkás kapcsolat az skola végzettség és az teretezés szokás között. s = 4, t = 1. H 0 : j = j H 1 :, j: j j (cs kapcsolat, üggetle a két smérv) (va kapcsolat a két smérv között). A próbaüggvéy kszámításához a következő két mukatáblázat készíthető: Az elsőbe az j j j képlettel: értékek találhatók, melyek a peremgyakorságokból számíthatók k az j Iteretezk soha sem teretezk Összese Legeljebb 8 általáos 8,49 64,51 93 Szakmukás 6,04 58,96 85 Érettség 3,89 54,11 78 Dploma 3,59 53,41 77 Összese 10 31 333 Pl. 11 1 1 9310 = 8,49 333 93 31 = 64,51 333 85 10 = 6,04 333 T.Nagy Judt 5
j j Az másodkba pedg az értékek találhatók, melyek összege adja aktuáls érékét: j j j j Iteretezk soha sem teretezk Összese Legeljebb 8 általáos 19,37 8,55 Szakmukás 8,69 3,84 Érettség 5,17,8 Dploma 31,85 14,07 Összese 93,8 próbaüggvéy Pl. 5 8,49 8,49 88 64,51 64,51 11 6,04 6,04 = 19,37 = 8,55 = 8,69 s 1 t j1 j j j =93,8 3. =0,05 1- = 0,95 4. (s1)(t1) 1 0; = 0; 0,95 =[0 ; 7,81] 31 5. 93,8[0 ; 7,81] Mvel E, a H 0 hpotézst elvetjük (H 1 -et elogadjuk). Tehát szgkás kapcsolat va 5%-os szgkacaszte az skola végzettség és az teretezés szokás között. IV..3. Varacaaalízs (ANOVA) (eltétel: ormáls eloszlás, csoportokét azoos szórás) Többmtás várható értékre voatkozó próba, vegyes kapcsolat meglétéek vzsgálatára szolgál. A próba meete Jelölések: : az egyes csoportok mtabel várható értéke : a eltételezett közös várható érték T.Nagy Judt 6
1. m: a mőség smérv szert csoportok száma H 0 : 1 = = = m = (a mőség smérv szert mde csoportba azoos a vzsgált meység smérv várható értéke, tehát cs kapcsolat az smérvek között) H 1 : : (sztochasztkus kapcsolat va az smérvek között). S A próbaüggvéy: F= S K B (m 1) ( m) ahol S x j x S x x j ( 1) s K j B A próbaüggvéy m-1, -m szabadság okú F eloszlást követ. j j j j x j x. 4. Elogadás tartomáy szgkaca szte: E 0;F 1 m1, m IV..3. MINTAPÉLDA Egy budapest gatlaroda 007. márcusába vzsgálta, egy körzetbe eladó 63 m -es lakások kíálat árat és az elhelyezkedésüket (V. VI. VII. kerület): Elhelyezkedés Lakások száma j Átlagos kíálat ár (mlló Ft) x j A kíálat ár szórása (mlló Ft) s j V. kerület 40 8,3 3,35 VI. kerület 60 3,8,57 VII. kerület 90 0,0 1,96 190 T.Nagy Judt 7
Feladat Elleőrzzük 5%-os szgkacaszte, hogy va-e szgkás kapcsolat a budapest (V. VI. VII. kerület) lakások elhelyezkedése és a kíálat ár között. (A kíálat ár ormáls eloszlást követ és eltételezhető a csoportokét azoos szórás.) = 190, m = 3, x 1 = 8,3, x = 3,8, x 3 = 0 1. H 0 : x 1 = x = x 3 = x (mde csoportba egyelő a várható érék az együttes várható értékkel, azaz cs kapcsolat). H 1 : valamelyk x x (sztochasztkus kapcsolat va) j x j x =,95 S x j x =1971,47 K j B j j S ( 1) s =1169,7 S Próbaüggvéy: F= S 3. =0,05 1- = 0,95 4. E 0;F 1 m1; m K B (m 1) = 157,65 ( m) ;187 = 0 =[0 ; 3,04] ;F 0,95 5. 157,65[0 ; 3,04] Mvel FE, a H 0 hpotézst elvetjük (H 1 -et elogadjuk). Tehát szgkás kapcsolat va 5%-os szgkacaszte a lakás elhelyezkedése és a kíálat ár között. T.Nagy Judt 8
Gyakorló Feladatok 1. Egy teleoos ügyélszolgálato a beérkező reklamácós hívások dőtartamát rögzítk (a hívások dőtartama ormáls eloszlást követ). Egy véletleszerűe kválasztott apo meggyelték 0 ügyél hívásáak dőtartamát (perc): 1,50 1,75,00 3,50 4,50 5,00 5,00 5,5 5,75 5,5 5,50 6,40 6,75 7,00 7,5 8,00 9,50 10,50 1,00 15,00 Feladat Készítse 99%-os megbízhatóságú kodecatervallumot egy hívás átlagos dőtartamára Becsülje 99%-os megbízhatósággal a hívások dőtartamáak szórását. Becsülje 99%-os megbízhatósággal az 10 percél hosszabb dejű hívások aráyát. Vzsgálja meg azt az állítást 5%-os szgkacaszte, hogy a hívások ele 5 percél hosszabb ele 5 percél rövdebb.. Helyhatóság választások alkalmával, egy adott körzetbe 10 000 szavazat összeszámlálása utá a legjobba álló polgármesterjelölt a szavazatok 45%-át yerte el. Feladat Becsülje meg a végleges szavazatok aráyát 99%-os megbízhatóság szte. (FAE mtát eltételezve.) 3. Egy újság olvasóak életkorát vzsgálta a következő reprezetatív mta alapjá. Az életkor szert eloszlás ormálsak tekthető. Életkor (év) Olvasók száma (ő) -18 3 18-8 18 8-38 30 38-48 48 48-58 30 58-1 Összese 150 Feladat Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal az olvasók átlagéletkorát, ha előző vzsgálatokból smert, hogy az életkor szórása 15 év. Elleőrzze 5%-os szgkacaszt mellett azt az állítást, hogy az olvasók átlagéletkora legeljebb 45 év, ha előző vzsgálatokból smert, hogy az életkor szórása 15 év. Becsülje meg 95%-os megbízhatóság szte a évél atalabb olvasók aráyát. Becsülje meg 95%-os megbízhatóság szte a évél atalabb olvasók számát, ha az újság 600 000 példáyszámú. Elleőrzze azt az állítást, 5%-os szgkacaszte, hogy az átlagéletkor szórása valóba 15 év-e. T.Nagy Judt 9
4. Budapest 50 m -es kadó lakások hav bérlet díját vzsgálták (reprezetatív mta alapjá): Bérlet díj (eft) Lakások száma (db) -40 8 40-60 3 60-80 59 80-100 8 100-1 Összese 130 Feladat Becsülje 90%-os megbízhatósággal a bérlet díj szórását (ormáls eloszlást eltételezve). Becsülje 90%-os megbízhatósággal az 50 m es lakások átlagos hav bérlet díját. Elleőrzze azt az állítást, 5%-os szgkacaszte, hogy a lakások átlagos bérlet díja meghaladja a 75 ezer Ft. Elleőrzze azt az állítást, 5%-os szgkacaszte, hogy a bérlet díj szórása a 0 ezer Ft alatt va. 5. A 007-be elvettek éháy adata: Állam Költségtérítéses ér 509 13 507 ő 6 17 19 330 OFIK Feladat Elleőrzze 5%-os szgkacaszte, hogy va-e szgkás kapcsolat a em és a jeletkező aszírozás ormája között. 6. Egy üzletbe eljegyezték az órákét érkező vevők számát: Óra Vevők száma 9-10 19 10 _ 11 5 T.Nagy Judt 30
11 _ 1 1 1 _ 13 31 13-14 8 14-15 17 15-16 3 16-17 3 Feladat: Elleőrzze azt az állítást, 5%-os szgkacaszte, hogy az üzletbe órákét azoos valószíűséggel vásárolak. 7. Négy, ogyókúrát elősegítő eljárást teszteltek. A vzsgálat sorá egyszerű véletle mtavétellel kválasztottak a tesztelésbe részt vevő 5-5 személyt. Az elért súlyveszteségek az egyes eljárások mellett: Eljárás Súlyveszteség (kg) A 14 15 16 17 18 B 10 14 10 9 1 C 8 11 10 8 8 D 13 16 15 14 1 Feladat: Vzsgálja meg, hogy va-e szgkás külöbség az egyes eljárások között (=0,05). T.Nagy Judt 31
Függelék T.Nagy Judt 3
1. A stadard ormáls eloszlás táblázata z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) z Φ(z) 0,00 0,5000 0,50 0,6915 1,00 0,8413 1,50 0,933,00 0,977 3,00 0,9987 0,01 0,5040 0,51 0,6950 1,01 0,8438 1,51 0,9345,0 0,9783 3,10 0,9990 0,0 0,5080 0,5 0,6985 1,0 0,8461 1,5 0,9357,04 0,9793 3,0 0,9993 0,03 0,510 0,53 0,7019 1,03 0,8485 1,53 0,9370,06 0,9803 3,30 0,9995 0,04 0,5160 0,54 0,7054 1,04 0,8508 1,54 0,938,08 0,981 3,40 0,9997 0,05 0,5199 0,55 0,7088 1,05 0,8531 1,55 0,9394,10 0,981 3,50 0,9998 0,06 0,539 0,56 0,713 1,06 0,8554 1,56 0,9406,1 0,9830 3,60 0,9998 0,07 0,579 0,57 0,7157 1,07 0,8577 1,57 0,9418,14 0,9838 3,70 0,9999 0,08 0,5319 0,58 0,7190 1,08 0,8599 1,58 0,949,16 0,9846 3,80 0,9999 0,09 0,5359 0,59 0,74 1,09 0,861 1,59 0,9441,18 0,9854 3,90 0,99995 0,10 0,5398 0,60 0,757 1,10 0,8643 1,60 0,945,0 0,9861 4,00 0,99997 0,11 0,5438 0,61 0,791 1,11 0,8665 1,61 0,9463, 0,9868 0,1 0,5478 0,6 0,734 1,1 0,8686 1,6 0,9474,4 0,9875 0,13 0,5517 0,63 0,7357 1,13 0,8708 1,63 0,9484,6 0,9881 0,14 0,5557 0,64 0,7389 1,14 0,879 1,64 0,9495,8 0,9887 0,15 0,5596 0,65 0,74 1,15 0,8749 1,65 0,9505,30 0,9893 0,16 0,5636 0,66 0,7454 1,16 0,8770 1,66 0,9515,3 0,9898 0,17 0,5675 0,67 0,7486 1,17 0,8790 1,67 0,955,34 0,9904 0,18 0,5714 0,68 0,7517 1,18 0,8810 1,68 0,9535,36 0,9909 0,19 0,5753 0,69 0,7549 1,19 0,8830 1,69 0,9545,38 0,9913 0,0 0,5793 0,70 0,7580 1,0 0,8849 1,70 0,9554,40 0,9918 0,1 0,583 0,71 0,7611 1,1 0,8869 1,71 0,9564,4 0,99 0, 0,5871 0,7 0,764 1, 0,8888 1,7 0,9573,44 0,997 0,3 0,5910 0,73 0,7673 1,3 0,8907 1,73 0,958,46 0,9931 0,4 0,5948 0,74 0,7704 1,4 0,895 1,74 0,9591,48 0,9934 0,5 0,5987 0,75 0,7734 1,5 0,8944 1,75 0,9599,50 0,9938 0,6 0,606 0,76 0,7764 1,6 0,896 1,76 0,9608,5 0,9941 0,7 0,6064 0,77 0,7794 1,7 0,8980 1,77 0,9616,54 0,9945 0,8 0,6103 0,78 0,783 1,8 0,8997 1,78 0,965,56 0,9948 0,9 0,6141 0,79 0,785 1,9 0,9015 1,79 0,9633,58 0,9951 0,30 0,6179 0,80 0,7881 1,30 0,903 1,80 0,9641,60 0,9953 0,31 0,617 0,81 0,7910 1,31 0,9049 1,81 0,9649,6 0,9956 0,3 0,655 0,8 0,7939 1,3 0,9066 1,8 0,9656,64 0,9959 0,33 0,693 0,83 0,7967 1,33 0,908 1,83 0,9664,66 0,9961 0,34 0,6331 0,84 0,7995 1,34 0,9099 1,84 0,9671,68 0,9963 0,35 0,6368 0,85 0,803 1,35 0,9115 1,85 0,9678,70 0,9965 0,36 0,6406 0,86 0,8051 1,36 0,9131 1,86 0,9686,7 0,9967 0,37 0,6443 0,87 0,8078 1,37 0,9147 1,87 0,9693,74 0,9969 0,38 0,6480 0,88 0,8106 1,38 0,916 1,88 0,9699,76 0,9971 0,39 0,6517 0,89 0,8133 1,39 0,9177 1,89 0,9706,78 0,9973 0,40 0,6554 0,90 0,8159 1,40 0,919 1,90 0,9713,80 0,9974 0,41 0,6591 0,91 0,8186 1,41 0,907 1,91 0,9719,8 0,9976 0,4 0,668 0,9 0,81 1,4 0,9 1,9 0,976,84 0,9977 0,43 0,6664 0,93 0,838 1,43 0,936 1,93 0,973,86 0,9979 0,44 0,6700 0,94 0,864 1,44 0,951 1,94 0,9738,88 0,9980 0,45 0,6736 0,95 0,889 1,45 0,965 1,95 0,9744,90 0,9981 0,46 0,677 0,96 0,8315 1,46 0,979 1,96 0,9750,9 0,998 0,47 0,6808 0,97 0,8340 1,47 0,99 1,97 0,9756,94 0,9984 0,48 0,6844 0,98 0,8365 1,48 0,9306 1,98 0,9761,96 0,9985 0,49 0,6879 0,99 0,8389 1,49 0,9319 1,99 0,9767,98 0,9986 T.Nagy Judt 33
. A Studet-éle t eloszlás táblázata Sz 0,55 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,975 0,9775 0,99 0,995 1 0,1584 0,349 0,765 1,3764 3,0777 6,3138 1,706 14,135 31,805 63,6567 0,141 0,887 0,617 1,0607 1,8856,900 4,307 4,5534 6,9646 9,948 3 0,1366 0,767 0,5844 0,9785 1,6377,3534 3,184 3,316 4,5407 5,8409 4 0,1338 0,707 0,5686 0,9410 1,533,1318,7764,8803 3,7469 4,6041 5 0,13 0,67 0,5594 0,9195 1,4759,0150,5706,6578 3,3649 4,031 6 0,1311 0,648 0,5534 0,9057 1,4398 1,943,4469,547 3,147 3,7074 7 0,1303 0,63 0,5491 0,8960 1,4149 1,8946,3646,4363,9980 3,4995 8 0,197 0,619 0,5459 0,8889 1,3968 1,8595,3060,3735,8965 3,3554 9 0,193 0,610 0,5435 0,8834 1,3830 1,8331,6,366,814 3,498 10 0,189 0,60 0,5415 0,8791 1,37 1,815,81,90,7638 3,1693 11 0,186 0,596 0,5399 0,8755 1,3634 1,7959,010,61,7181 3,1058 1 0,183 0,590 0,5386 0,876 1,356 1,783,1788,375,6810 3,0545 13 0,181 0,586 0,5375 0,870 1,350 1,7709,1604,178,6503 3,013 14 0,180 0,58 0,5366 0,8681 1,3450 1,7613,1448,01,645,9768 15 0,178 0,579 0,5357 0,866 1,3406 1,7531,1314,1870,605,9467 16 0,177 0,576 0,5350 0,8647 1,3368 1,7459,1199,1747,5835,908 17 0,176 0,573 0,5344 0,8633 1,3334 1,7396,1098,1639,5669,898 18 0,174 0,571 0,5338 0,860 1,3304 1,7341,1009,1544,554,8784 19 0,174 0,569 0,5333 0,8610 1,377 1,791,0930,1460,5395,8609 0 0,173 0,567 0,539 0,8600 1,353 1,747,0860,1385,580,8453 1 0,17 0,566 0,535 0,8591 1,33 1,707,0796,1318,5176,8314 0,171 0,564 0,531 0,8583 1,31 1,7171,0739,156,5083,8188 3 0,171 0,563 0,5317 0,8575 1,3195 1,7139,0687,101,4999,8073 4 0,170 0,56 0,5314 0,8569 1,3178 1,7109,0639,1150,49,7969 5 0,169 0,561 0,531 0,856 1,3163 1,7081,0595,1104,4851,7874 6 0,169 0,560 0,5309 0,8557 1,3150 1,7056,0555,1061,4786,7787 7 0,168 0,559 0,5306 0,8551 1,3137 1,7033,0518,10,477,7707 8 0,168 0,558 0,5304 0,8546 1,315 1,7011,0484,0986,4671,7633 9 0,168 0,557 0,530 0,854 1,3114 1,6991,045,095,460,7564 30 0,167 0,556 0,5300 0,8538 1,3104 1,6973,043,090,4573,7500 40 0,165 0,550 0,586 0,8507 1,3031 1,6839,011,0695,433,7045 50 0,163 0,547 0,578 0,8489 1,987 1,6759,0086,056,4033,6778 100 0,160 0,540 0,561 0,845 1,901 1,660 1,9840,0301,364,659 10 0,159 0,539 0,558 0,8446 1,886 1,6577 1,9799,058,3578,6174 100000 0,157 0,533 0,544 0,8416 1,816 1,6449 1,9600,0047,364,5759 T.Nagy Judt 34
3. A eloszlás táblázata sz 0,01 0,01 0,03 0,05 0,10 0,5 0,50 0,75 0,90 0,95 0,98 1,00 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0 0,10 0,45 1,3,71 3,84 5,0 7,88 0,01 0,0 0,05 0,10 0,1 0,58 1,39,77 4,61 5,99 7,38 10,60 3 0,07 0,11 0, 0,35 0,58 1,1,37 4,11 6,5 7,81 9,35 1,84 4 0,1 0,30 0,48 0,71 1,06 1,9 3,36 5,39 7,78 9,49 11,14 14,86 5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61,67 4,35 6,63 9,4 11,07 1,83 16,75 6 0,68 0,87 1,4 1,64,0 3,45 5,35 7,84 10,64 1,59 14,45 18,55 7 0,99 1,4 1,69,17,83 4,5 6,35 9,04 1,0 14,07 16,01 0,8 8 1,34 1,65,18,73 3,49 5,07 7,34 10, 13,36 15,51 17,53 1,95 9 1,73,09,70 3,33 4,17 5,90 8,34 11,39 14,68 16,9 19,0 3,59 10,16,56 3,5 3,94 4,87 6,74 9,34 1,55 15,99 18,31 0,48 5,19 11,60 3,05 3,8 4,57 5,58 7,58 10,34 13,70 17,8 19,68 1,9 6,76 1 3,07 3,57 4,40 5,3 6,30 8,44 11,34 14,85 18,55 1,03 3,34 8,30 13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 9,30 1,34 15,98 19,81,36 4,74 9,8 14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 10,17 13,34 17,1 1,06 3,68 6,1 31,3 15 4,60 5,3 6,6 7,6 8,55 11,04 14,34 18,5,31 5,00 7,49 3,80 16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,91 15,34 19,37 3,54 6,30 8,85 34,7 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 1,79 16,34 0,49 4,77 7,59 30,19 35,7 18 6,6 7,01 8,3 9,39 10,86 13,68 17,34 1,60 5,99 8,87 31,53 37,16 19 6,84 7,63 8,91 10,1 11,65 14,56 18,34,7 7,0 30,14 3,85 38,58 0 7,43 8,6 9,59 10,85 1,44 15,45 19,34 3,83 8,41 31,41 34,17 40,00 1 8,03 8,90 10,8 11,59 13,4 16,34 0,34 4,93 9,6 3,67 35,48 41,40 8,64 9,54 10,98 1,34 14,04 17,4 1,34 6,04 30,81 33,9 36,78 4,80 3 9,6 10,0 11,69 13,09 14,85 18,14,34 7,14 3,01 35,17 38,08 44,18 4 9,89 10,86 1,40 13,85 15,66 19,04 3,34 8,4 33,0 36,4 39,36 45,56 5 10,5 11,5 13,1 14,61 16,47 19,94 4,34 9,34 34,38 37,65 40,65 46,93 6 11,16 1,0 13,84 15,38 17,9 0,84 5,34 30,43 35,56 38,89 41,9 48,9 7 11,81 1,88 14,57 16,15 18,11 1,75 6,34 31,53 36,74 40,11 43,19 49,64 8 1,46 13,56 15,31 16,93 18,94,66 7,34 3,6 37,9 41,34 44,46 50,99 9 13,1 14,6 16,05 17,71 19,77 3,57 8,34 33,71 39,09 4,56 45,7 5,34 30 13,79 14,95 16,79 18,49 0,60 4,48 9,34 34,80 40,6 43,77 46,98 53,67 40 0,71,16 4,43 6,51 9,05 33,66 39,34 45,6 51,81 55,76 59,34 66,77 50 7,99 9,71 3,36 34,76 37,69 4,94 49,33 56,33 63,17 67,50 71,4 79,49 60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 5,9 59,33 66,98 74,40 79,08 83,30 91,95 80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,8 71,14 79,33 88,13 96,58 101,88 106,63 116,3 100 67,33 70,06 74, 77,93 8,36 90,13 99,33 109,14 118,50 14,34 19,56 140,17 00 15,4 156,43 16,73 168,8 174,84 186,17 199,33 13,10 6,0 33,99 41,06 55,6 T.Nagy Judt 35
4. Az F eloszlás táblázata sz 1 sz 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 1 161,45 18,51 10,13 7,71 6,61 5,99 5,59 5,3 5,1 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 199,50 19,00 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,6 4,10 3,98 3,89 3,81 3,74 3,68 3,63 3,59 3 15,71 19,16 9,8 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,86 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,9 3,4 3,0 4 4,58 19,5 9,1 6,39 5,19 4,53 4,1 3,84 3,63 3,48 3,36 3,6 3,18 3,11 3,06 3,01,96 5 30,16 19,30 9,01 6,6 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,0 3,11 3,03,96,90,85,81 6 33,99 19,33 8,94 6,16 4,95 4,8 3,87 3,58 3,37 3, 3,09 3,00,9,85,79,74,70 7 36,77 19,35 8,89 6,09 4,88 4,1 3,79 3,50 3,9 3,14 3,01,91,83,76,71,66,61 8 38,88 19,37 8,85 6,04 4,8 4,15 3,73 3,44 3,3 3,07,95,85,77,70,64,59,55 9 40,54 19,38 8,81 6,00 4,77 4,10 3,68 3,39 3,18 3,0,90,80,71,65,59,54,49 10 41,88 19,40 8,79 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 3,14,98,85,75,67,60,54,49,45 11 4,98 19,40 8,76 5,94 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10,94,8,7,63,57,51,46,41 1 43,91 19,41 8,74 5,91 4,68 4,00 3,57 3,8 3,07,91,79,69,60,53,48,4,38 13 44,69 19,4 8,73 5,89 4,66 3,98 3,55 3,6 3,05,89,76,66,58,51,45,40,35 14 45,36 19,4 8,71 5,87 4,64 3,96 3,53 3,4 3,03,86,74,64,55,48,4,37,33 15 45,95 19,43 8,70 5,86 4,6 3,94 3,51 3, 3,01,85,7,6,53,46,40,35,31 16 46,46 19,43 8,69 5,84 4,60 3,9 3,49 3,0,99,83,70,60,51,44,38,33,9 17 46,9 19,44 8,68 5,83 4,59 3,91 3,48 3,19,97,81,69,58,50,43,37,3,7 18 47,3 19,44 8,67 5,8 4,58 3,90 3,47 3,17,96,80,67,57,48,41,35,30,6 19 47,69 19,44 8,67 5,81 4,57 3,88 3,46 3,16,95,79,66,56,47,40,34,9,4 0 48,01 19,45 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15,94,77,65,54,46,39,33,8,3 1 48,31 19,45 8,65 5,79 4,55 3,86 3,43 3,14,93,76,64,53,45,38,3,6, 48,58 19,45 8,65 5,79 4,54 3,86 3,43 3,13,9,75,63,5,44,37,31,5,1 3 48,83 19,45 8,64 5,78 4,53 3,85 3,4 3,1,91,75,6,51,43,36,30,4,0 4 49,05 19,45 8,64 5,77 4,53 3,84 3,41 3,1,90,74,61,51,4,35,9,4,19 5 49,6 19,46 8,63 5,77 4,5 3,83 3,40 3,11,89,73,60,50,41,34,8,3,18 6 49,45 19,46 8,63 5,76 4,5 3,83 3,40 3,10,89,7,59,49,41,33,7,,17 7 49,63 19,46 8,63 5,76 4,51 3,8 3,39 3,10,88,7,59,48,40,33,7,1,17 8 49,80 19,46 8,6 5,75 4,50 3,8 3,39 3,09,87,71,58,48,39,3,6,1,16 9 49,95 19,46 8,6 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08,87,70,58,47,39,31,5,0,15 30 50,10 19,46 8,6 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08,86,70,57,47,38,31,5,19,15 3 50,36 19,46 8,61 5,74 4,49 3,80 3,37 3,07,85,69,56,46,37,30,4,18,14 34 50,59 19,47 8,61 5,73 4,48 3,79 3,36 3,06,85,68,55,45,36,9,3,17,13 36 50,79 19,47 8,60 5,73 4,47 3,79 3,35 3,06,84,67,54,44,35,8,,17,1 38 50,98 19,47 8,60 5,7 4,47 3,78 3,35 3,05,83,67,54,43,35,7,1,16,11 40 51,14 19,47 8,59 5,7 4,46 3,77 3,34 3,04,83,66,53,43,34,7,0,15,10 4 51,9 19,47 8,59 5,71 4,46 3,77 3,34 3,04,8,66,53,4,33,6,0,14,10 44 51,43 19,47 8,59 5,71 4,46 3,76 3,33 3,03,8,65,5,41,33,5,19,14,09 46 51,55 19,47 8,59 5,71 4,45 3,76 3,33 3,03,81,65,5,41,3,5,19,13,09 48 51,67 19,47 8,58 5,70 4,45 3,76 3,3 3,0,81,64,51,41,3,4,18,13,08 50 51,77 19,48 8,58 5,70 4,44 3,75 3,3 3,0,80,64,51,40,31,4,18,1,08 60 5,0 19,48 8,57 5,69 4,43 3,74 3,30 3,01,79,6,49,38,30,,16,11,06 80 5,7 19,48 8,56 5,67 4,41 3,7 3,9,99,77,60,47,36,7,0,14,08,03 100 53,04 19,49 8,55 5,66 4,41 3,71 3,7,97,76,59,46,35,6,19,1,07,0 500 54,06 19,49 8,53 5,64 4,37 3,68 3,4,94,7,55,4,31,,14,08,0 1,97 1000 54,19 19,49 8,53 5,63 4,37 3,67 3,3,93,71,54,41,30,1,14,07,0 1,97 T.Nagy Judt 36
4. Az F eloszlás táblázata - olytatás sz 18 19 0 4 6 8 30 35 40 45 50 60 80 100 00 500 1000 4,41 4,38 4,35 4,30 4,6 4,3 4,0 4,17 4,1 4,08 4,06 4,03 4,00 3,96 3,94 3,89 3,86 3,85 1 3,55 3,5 3,49 3,44 3,40 3,37 3,34 3,3 3,7 3,3 3,0 3,18 3,15 3,11 3,09 3,04 3,01 3,00 3,16 3,13 3,10 3,05 3,01,98,95,9,87,84,81,79,76,7,70,65,6,61 3,93,90,87,8,78,74,71,69,64,61,58,56,53,49,46,4,39,38 4,77,74,71,66,6,59,56,53,49,45,4,40,37,33,31,6,3, 5,66,63,60,55,51,47,45,4,37,34,31,9,5,1,19,14,1,11 6,58,54,51,46,4,39,36,33,9,5,,0,17,13,10,06,03,0 7,51,48,45,40,36,3,9,7,,18,15,13,10,06,03 1,98 1,96 1,95 8,46,4,39,34,30,7,4,1,16,1,10,07,04,00 1,97 1,93 1,90 1,89 9,41,38,35,30,5,,19,16,11,08,05,03 1,99 1,95 1,93 1,88 1,85 1,84 10,37,34,31,6,,18,15,13,07,04,01 1,99 1,95 1,91 1,89 1,84 1,81 1,80 11,34,31,8,3,18,15,1,09,04,00 1,97 1,95 1,9 1,88 1,85 1,80 1,77 1,76 1,31,8,5,0,15,1,09,06,01 1,97 1,94 1,9 1,89 1,84 1,8 1,77 1,74 1,73 13,9,6,,17,13,09,06,04 1,99 1,95 1,9 1,89 1,86 1,8 1,79 1,74 1,71 1,70 14,7,3,0,15,11,07,04,01 1,96 1,9 1,89 1,87 1,84 1,79 1,77 1,7 1,69 1,68 15,5,1,18,13,09,05,0 1,99 1,94 1,90 1,87 1,85 1,8 1,77 1,75 1,69 1,66 1,65 16,3,0,17,11,07,03,00 1,98 1,9 1,89 1,86 1,83 1,80 1,75 1,73 1,67 1,64 1,63 17,,18,15,10,05,0 1,99 1,96 1,91 1,87 1,84 1,81 1,78 1,73 1,71 1,66 1,6 1,61 18,0,17,14,08,04,00 1,97 1,95 1,89 1,85 1,8 1,80 1,76 1,7 1,69 1,64 1,61 1,60 19,19,16,1,07,03 1,99 1,96 1,93 1,88 1,84 1,81 1,78 1,75 1,70 1,68 1,6 1,59 1,58 0,18,14,11,06,01 1,98 1,95 1,9 1,87 1,83 1,80 1,77 1,73 1,69 1,66 1,61 1,58 1,57 1,17,13,10,05,00 1,97 1,93 1,91 1,85 1,81 1,78 1,76 1,7 1,68 1,65 1,60 1,56 1,55,16,1,09,04 1,99 1,96 1,9 1,90 1,84 1,80 1,77 1,75 1,71 1,67 1,64 1,58 1,55 1,54 3,15,11,08,03 1,98 1,95 1,91 1,89 1,83 1,79 1,76 1,74 1,70 1,65 1,63 1,57 1,54 1,53 4,14,11,07,0 1,97 1,94 1,91 1,88 1,8 1,78 1,75 1,73 1,69 1,64 1,6 1,56 1,53 1,5 5,13,10,07,01 1,97 1,93 1,90 1,87 1,8 1,77 1,74 1,7 1,68 1,63 1,61 1,55 1,5 1,51 6,13,09,06,00 1,96 1,9 1,89 1,86 1,81 1,77 1,73 1,71 1,67 1,63 1,60 1,54 1,51 1,50 7,1,08,05,00 1,95 1,91 1,88 1,85 1,80 1,76 1,73 1,70 1,66 1,6 1,59 1,53 1,50 1,49 8,11,08,05 1,99 1,95 1,91 1,88 1,85 1,79 1,75 1,7 1,69 1,66 1,61 1,58 1,5 1,49 1,48 9,11,07,04 1,98 1,94 1,90 1,87 1,84 1,79 1,74 1,71 1,69 1,65 1,60 1,57 1,5 1,48 1,47 30,10,06,03 1,97 1,93 1,89 1,86 1,83 1,77 1,73 1,70 1,67 1,64 1,59 1,56 1,50 1,47 1,46 3,09,05,0 1,96 1,9 1,88 1,85 1,8 1,76 1,7 1,69 1,66 1,6 1,58 1,55 1,49 1,45 1,44 34,08,04,01 1,95 1,91 1,87 1,84 1,81 1,75 1,71 1,68 1,65 1,61 1,56 1,54 1,48 1,44 1,43 36,07,03,00 1,95 1,90 1,86 1,83 1,80 1,74 1,70 1,67 1,64 1,60 1,55 1,5 1,47 1,43 1,4 38,06,03 1,99 1,94 1,89 1,85 1,8 1,79 1,74 1,69 1,66 1,63 1,59 1,54 1,5 1,46 1,4 1,41 40,06,0 1,99 1,93 1,89 1,85 1,81 1,78 1,73 1,69 1,65 1,63 1,59 1,54 1,51 1,45 1,41 1,40 4,05,01 1,98 1,93 1,88 1,84 1,81 1,78 1,7 1,68 1,64 1,6 1,58 1,53 1,50 1,44 1,40 1,39 44,05,01 1,98 1,9 1,87 1,83 1,80 1,77 1,71 1,67 1,64 1,61 1,57 1,5 1,49 1,43 1,39 1,38 46,04,00 1,97 1,91 1,87 1,83 1,79 1,77 1,71 1,67 1,63 1,61 1,57 1,51 1,48 1,4 1,38 1,37 48,04,00 1,97 1,91 1,86 1,8 1,79 1,76 1,70 1,66 1,63 1,60 1,56 1,51 1,48 1,41 1,38 1,36 50,0 1,98 1,95 1,89 1,84 1,80 1,77 1,74 1,68 1,64 1,60 1,58 1,53 1,48 1,45 1,39 1,35 1,33 60 1,99 1,96 1,9 1,86 1,8 1,78 1,74 1,71 1,65 1,61 1,57 1,54 1,50 1,45 1,41 1,35 1,30 1,9 80 1,98 1,94 1,91 1,85 1,80 1,76 1,73 1,70 1,63 1,59 1,55 1,5 1,48 1,43 1,39 1,3 1,8 1,6 100 1,93 1,89 1,86 1,80 1,75 1,71 1,67 1,64 1,57 1,53 1,49 1,46 1,41 1,35 1,31 1, 1,16 1,13 500 1,9 1,88 1,85 1,79 1,74 1,70 1,66 1,63 1,57 1,5 1,48 1,45 1,40 1,34 1,30 1,1 1,14 1,11 1000 sz 1 T.Nagy Judt 37
T.Nagy Judt 38