Matematikai háttér az EC8 Eurocode-hoz Dr. Barabás Béla egyetemi docens Dr. Csákány Anikó egyetemi adjunktus 2012. szeptember 22. Az Európai Unió tagországai törekszenek a jogharmonizációra. Ennek részeként az Európai Közösség Bizottsága egy programot indított el, amelynek célja az építmények tartószerkezeti tervezésének egységes m szaki szabályozása. Az Eurocode alapú szabványoknál f ként az jelent újdonságot a korábbi magyar szabványokhoz viszonyítva, hogy foglalkozik a földrengésbiztonsággal is. Ez most az Eurocode 8 (röviden EC8) szabványokban valósul meg. Az EC8 Eurocode kiindulási alapja a következ : a. Adott helyen, adott id tartam alatt el forduló események száma Poisson eloszlást követ. b. A Poisson eloszlás paramétere arányos az id intervallum hosszával. c. A kockázatot jellemz gyorsulás (peak ground acceleration) a gr az a szint, amit a felszínen mért horizontális gyorsulás T NCR = 50 év alatt P NCR = 0, 1 valószín séggel lép túl. Jelölések: T L tetsz legesen választott id tartam években mérve (pl. épület tervezési élettartama) T NCR = 475 év reference return period of the reference seismic action for the no-collapse requirement T R annak az id szaknak a hossza, amely alatt egy földrengést várunk (reference return period) 1
P NCR = 0, 1 reference probability of exceedance in 50 years of the reference seismic action for the no-collapse requirement P R Egy T R visszatérési idej esemény T L id szak alatti bekövetkezésének valószín sége 1. Diszkrét valószín ségi változó fogalma A Poisson eloszlást a ritkán el forduló (kis valószín ség ) események leírására használjuk. Megértéséhez érdemes el ször felidézni a diszkrét valószín ségi változó fogalmát. Egy ξ diszkrét valószín ségi változót úgy adunk meg, hogy megadjuk azokat az értékeket, amelyeket felvehet. Ezeket nevezzük lehetséges értékeknek és megadjuk az ezekhez tartozó valószín ségeket. Legyenek pl. ξ lehetséges értékei az x 1, x 2,... x k,... számok. A megfelel valószín ség értékek: p 1, p 2,... p k,.... Azaz P (ξ = x k ) = p k. x 1 x 2 x 3 x n p 1 p 2 p 3 p n 1. táblázat. Alapkövetelmény, hogy minden p k 0 legyen és p k = 1. A valószín ségi változók jellemzésére rendkívül hasznos fogalom a várható érték. Ez a fogalom megegyezik a súlypont fogalmával, ha úgy képzeljük, hogy a valószín ségi változó minden lehetséges értékéhez akkora súlyt helyezünk, amekkora a valószín sége. A várható érték tehát denició szerint (1) E[ξ] = k x k p k Egy egyszer példa illusztrációnak: A játékkocka dobás természetes módon jellemezhet egy olyan valószín ségi változóval, amelynek lehetséges értékei 1, 2,... 6. Ha a kocka szabályos, akkor mindegyik szám ugyan olyan valószínüséggel fordulhat el, azaz p 1 = p 2 = = p 6. Mivel ezen valószín ségek összeg egy kell, hogy legyen, ezért mindegyik p k = 1 6. Ennek a valószín ségi változónak a várható értéke 6 1 k 1 = 3, 5. 6 Megjegyzés: Vegyük észre, hogy a várható érték nem lehetséges érték! Mivel a Poisson eloszlás a binomiális eloszlás határeseteként is felfogható, nézzük röviden a legfontosabb információkat a binomiális eloszlású valószín ségi változóról. 2
k : 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 p k : 6 6 6 6 6 6 1.1. Binomiális eloszlás 2. táblázat. Ismételjünk meg egy kisérletet n-szer egymástól függetlenül. Minket csak az érdekel, hogy a kisérlet során egy A esemény bekövetkezett-e vagy sem. Legyen p annak a valószín sége, hogy az A esemény bekövetkezik azaz P (A) = p és ekkor 1 p annak a valószín sége, hogy nem következik be az A esemény. Kérdés: Mi a valószín sége annak, hogy az n kisérlet során éppen k-szor (k = 0, 1,..., n) következett be az A esemény? Kombinatórikai módszerekkel megmutatható, hogy a válasz: ( ) n (2) p k = p k (1 p) n k k Az (1) formula alapján levezethet, hogy a binomiális valószín ségi változó várható értéke E[ξ] = np. Például feldobunk egy szabályos dobokockát n = 10-szer egymás után. Kérdezhetjük, ( hogy mi a valószín sége, hogy éppen k = 2-szer látunk hatost. A ) ( 10 válasz: 1 2 ( 5 ) 8 2 6) 6 Fenti dobókockás példa esetén a várható érték: 10 1 = 10 6 6. Fontos megjegyezni, hogy a várható érték itt sem lehetséges érték. A dobások száma csak egészszám lehet! A 10 egy kett közeli szám. Azt jelenti ez, hogy 10-szer 6 feldobva a dobókockát azt várjuk, hogy a hatos dobások száma 2 közelében lesz. Ha most olyan kisérletet ismételünk meg nagyon sokszor ( n nagyon nagy) ahol az A esemény bekövetkezési valószín sége nagyon kicsi, azaz p nagyon kicsi, akkor a (2) formula használata nehéz, de jól közelíthet a Poisson eloszlás megfelel formulájával. Ugyanis a Poisson eloszlás úgy adódik, hogy el állítjuk az (2) kifejezés határértékét abban az esetben, ha n tart a végtelenhez, p tart a zérushoz, miközben a szorzatuk np tart egy véges pozitív számhoz, mondjuk λ-hoz. Ha tehát lim n =, lim p = 0, úgy hogy lim np = λ akkor ( n (3) lim )p k (1 p) n k = λk k k! e λ 3
1.2. Poisson eloszlás Egy olyan valószín ségi változót, amelynek lehetséges értékei a nemnegatív egészszámok (k = 0, 1, 2,... ) és annak a valószín sége, hogy a meggyelt esemény éppen k-szor következik be: p k = λk k! e λ Poisson eloszlásúnak mondunk. Itt λ egy pozitív paraméter. Megmutatható, hogy a Poisson eloszlású valószín ségi változó várható értéke éppen λ. Itt k! a természetes számok szorzata 1-t l k-ig, ha k 2, azaz k! = 1 2 k és denició szerint 0! = 1! = 1. Poisson eloszlás esetén annak valószín sége, hogy k = 0: p 0 = P (k = 0) = e λ. annak valószín sége, hogy k = 1: p 1 = P (k = 1) = λ e λ. annak valószín sége, hogy k = 2: p 2 = P (k = 2) = λ2 2 e λ. stb. k : 0 1 2 k p k : e λ λ λ2 λ e 2 e λ λ k k! e λ Egy fontos tétel: 3. táblázat. 1.1. Tétel. Független Poisson eloszlású valószín ségi változók összege is Poisson eloszlású. Ha X Poisson eloszlású λ paraméterrel és Y Poisson eloszlású µ paraméterrel, akkor X+Y Poisson eloszlású λ + µ paraméterrel. 4
2. Az EC8 el írásai Egy adott földrajzi helyen id egység alatt, pl. 100 év alatt bekövetkez földrengések számának modellezésére természetes módon adódik a Poisson eloszlás. (Itt a földrengés úgy értend, hogy adott er sség, vagy annál nagyobb.) Ugyanis annak valószín sége, hogy egy nap alatt földrengést érzékelünk nagyon kicsi ( p kicsi), de sokáig várva (pl. 100 év = 36 500 nap) már tekinthetjük ez id tartam alatt bekövetkez esetek számát a binomiális valószín ségi változó határesetének. Logikus az a feltételezés is, hogy id egység alatt bekövetkez földrengések számának várható értéke legyen arányos az id intervallum hosszával, azaz pl. 200 év alatt kétszer annyi földrengést várunk, mint 100 év alatt. Ha most T R jelöli azt az id tartamot, amely id szak alatt egy földrengést várunk, akkor az egy év alatt várt földrengések "száma" 1, azaz olyan Poisson eloszlást T R használjunk, ahol a λ paraméter λ = 1. Itt az idéz jel arra hívja fel a - T R gyelmet, hogy az 1 nem egészszám, de T R T L év alatt T L -szer annyi földrengést T várunk. Tehát T L év alatt várt földrengések száma: L. T R Az EC8 Eurocode el írása, hogy a Poisson eloszlás paraméterét úgy határozzuk meg, hogy T L = 50 év alatt P NCR = 0, 1 valószín séggel következzen be földrengés. Ehhez egy kis számítást kell elvégezni: Legyen tehát a Poisson eloszlás paramétere T L., azaz T R T L év alatt µ = T L T R földrengést várunk és annak valószín sége, hogy éppen k db. földrengés következik be p k = µk k! e µ Annak valószín sége, hogy nem következik be földrengés ( k = 0 eset) p 0 = e µ Annak valószín sége, hogy legalább egy földrengés lesz T L id alatt (4) P R = 1 e T L TR Ezzel ekvivalens egyenlet: T L (5) T R = ln(1 P R ) Ez az egyenlet három változó között létesít kapcsolatot. kett megválasztása meghatározza a harmadikat. Pl. behelyettesítve a T L = 50 év P NCR = 0, 1 adatokat kapjuk, hogy T NCR = 475 év. 5
Úgy interpretálhatjuk ezt az eredményt, hogy olyan Poisson eloszlású valószín ségi változóval modellezük adott helyen a földrengések számát, amely szerint átlagosan 475 évenként következik be esemény. Azt mondhatjuk, hogy az átlagos visszatérési id 475 év. Ha a meggyelési id szakot 1 évnek választjuk, akkor annak valószín - sége, hogy k = 0, 1, 2,... földrengés következik be a 4. táblázatban olvasható: Azaz, nagy valószín séggel nem következik be földrengés. k : 0 1 2 p : e 1 1 475 = 0, 9978 475 e 1 1 475 = 0, 0021 e 1 2 475 2 475 = 2, 2 10 6 4. táblázat. 1 éves meggyelési id szak Ha a meggyelési id szakot 50 évnek választjuk, akkor annak valószín - sége, hogy k = 0, 1, 2,... földrengés következik be a 5. táblázatban olvasható: Azaz, 0,9 valószín séggel nem következik be földrengés, tehát 0,1 valószín - k : 0 1 2 p k e 50 50 50 50 475 = 0, 9000 e 475 = 0, 0947 2 e 50 475 2 475 2 475 = 0, 0049 séggel lesz legalább 1 földrengés. 5. táblázat. 50 éves meggyelési id szak Ha a meggyelési id szakot 100 évnek választjuk, akkor annak valószín - sége, hogy k = 0, 1, 2,... földrengés következik be: k : 0 1 2 p : e 100 100 100 100 475 = 0, 8101 e 475 = 0, 1705 2 e 100 475 2 475 2 475 = 0, 0179 6. táblázat. 100 éves meggyelési id szak Ha a meggyelési id szakot 475 évnek választjuk, akkor annak valószín - sége, hogy k = 0, 1, 2,... földrengés következik be: 6
k : 0 1 2 p : e 475 475 = e 1 = 0, 3678 e 1 1 = 0, 3678 2 e 1 = 0, 1839 7. táblázat. 475 éves meggyelési id szak Látjuk tehát, hogy ha a meggyelési id szak 475 év, akkor annak valószín sége, hogy nem következik be esemény p 0 = 0, 3678, ami úgy adódik, hogy T L = T NCR és k = 0 választással p 0 = e T L T NCR = e 1 = 0, 3678. Következésképpen annak valószín sége, hogy 475 éven belül lesz legalább egy esemény p = 1 e 1 = 0, 6322, azaz több mint 63%. A 475 éves visszatérési id tehát azt jelenti, hogy ha monjuk 100-szor 475 évet várunk, akkor az események száma körülbelül 100 lesz. A 475 éves visszatérési id pont úgy van megválasztva, hogy 0,1 legyen annak valószín sége, hogy 50 év alatt bekövetkezik az esemény. A (4) egyenlet alapján kiszámolhatjuk, hogy ha nem 475 évnek választanánk a T R visszatérési id t, akkor milyen valószín séggel következik be 50 év alatt a kérdéses esemény. T R : 300 350 400 425 450 475 500 p R : 0.154 0.133 0.118 0.111 0.105 0.100 0.095 8. táblázat. Ha a visszatérési id T R, akkor 50 év alatt p R valószín séggel következik be esemény A következ táblázat mutatja, hogy ha nem 475 évnek választjuk a visszatérési id t, akkor hány év alatt következik be a kérdéses esemény 0,1 valószín séggel. T R 300 350 400 425 450 475 500 T L 31.6 36.9 42.1 44.8 47.4 50.0 52.7 9. táblázat. T R visszatérési id esetén T L év alatt p R = 0, 1 valószín séggel következik be az esemény 7
2.1. A Poisson modell következményei A fentiekb l és a (1.1) tételb l már itt le kell vonni egy fontos következtetést a földrengési zónák meghatározásával kapcsolatban! Az EC8 Eurocode el írása szerint zónákat kell kijelölni, amelyekre meg kell határozni az a gr referenciagyorsulás értéket. Egy zónán belül ezt az értéket kell gyelembe venni a tervezéskor. Tudjuk, hogy a földrengések kipattanási helye a földkéreg törésvonalai mentén van. Magyarország területén is jól körülhatárolható hol keletkezhet földrengés. Tegyük fel, hogy "A" városhoz tartozó szeizmikus mérési adatok alapján az a gr = 0, 1g referenciagyorsulás értékhez a T A = 475 év visszatérési id adódik. Egy másik törésvonal közelében lev "B" városhoz ugyanekkora a gr = 0, 1g referenciagyorsulás értékhez szintén a T B = 475 év visszatérési id adódik. Mi történik, ha a két várost egy zónába sorolják? A meggyelési adatok alapján az a gr = 0, 1g referenciagyorsulás értékhez a T A+B = 475 = 237, 5 év visszatérési id adódna. Tudják persze, hogy 475 év 2 visszatérési idej gyorsulásértékre van szükség. Ha igaz az a hipotézis, hogy a visszatérési id és a gyorsulás között köbgyökös kapcsolat van (lásd kés bb 1.ábra), akkor a megfelel referenciagyorsulás érték a gr = 0, 1g 3 2 = 0, 126g lesz, azaz 26%-kal túlbecsült érték mindkét város esetén. Következmény: Mindkét városban jelent sen túl lesz becsülve a referencia gyorsulás értéke. A fentiek szerint, ha nem kett, hanem 8 olyan város van egy zónába sorolva, ahol a földrengések egymástól függetlenül pattanhatnak ki, akkor a referenciagyorsulás számított értéke éppen kétszer akkorának adódik, mint a valóságos. A fentiek alapján rendkívül fontos a zónák megfelel - lehet legszükebb - kijelölése. Még egy szempont a zónák lehet ség szerinti lehet legszükebb kijelölése mellett: Zsiros Tibor: A Kárpát-medence szeizmicitása és földrengés veszélyessége [1] könyvének 71. oldalán megad egy képletet (7.3) képlet, amely a gyorsulásgyengülést írja le többek között az epicentrális távolság függvényében. Konkrétan: log(a h ) = 1.39 + 0.266M S 0.922 log(d) ahol a h - horizontális csúcsgyorsulás M S - felületi hullámból becsült magnitudó D 2 = R 2 + h 2, R - epicentrális távolság(km), h - konstans (3.5 km) 8
Ebb l a képletb l könnyen kiszámolható, hogy az epicentrumtól 6.6 km távolságban már fele akkora a horizontális csúcsgyorsulás értéke, valamint 30 km távolságban pedig már csak 13%-a, 50 km távolságban kevesebb, mint 9% adódik. Ha egy zóna kb. 30km sugarú kör, akkor abban lehetnek több mint 50 km távolságban lév városok. Amennyiben az egyik - a tapasztalatok szerint egy lehetséges epicentrum - és erre a városra határozták meg a referenciagyorsulás értéket, akkor a másik városban több mint tízszeresen van túlbecsülve a gyorsulás értéke. 9
3. Referencia gyorsulás értékének meghatározása A fenti ismertetésben lényegtelen volt, hogy a szóbanforgó esemény földrengés, vagy valami más. Csak a Poisson eloszlás tulajdonságairól volt szó. A továbbiakban az lesz a kulcskérdés, hogyan határozható meg annak a földrengésnek a nagysága, amelynek átlagos visszatérési ideje éppen 475 év. Matematikai szempontból most érdektelen, hogy a földrengés nagyságát a Richter skálán mérjük, vagy adott helyen meghatározzuk a gyorsulás vizszintes komponensének csúcsértékét. A kérdés csak az, melyik az a szint, amelynél nagyobb érték visszatérési ideje 475 év. Tisztán matematikailag megfogalmazva: statisztikai adatokból kívánjuk megbecsülni a Poisson eloszlás paraméterét. Az érdekel minket, hogy melyik szinthez tartozik olyan Poisson eloszlás, amelynek paramétere 1 475. A matematikai statisztika elméleti eredményei szerint a legjobb becslést (maximum likelihood becslést) a relatív gyakoriságból kapjuk. Azt kellene csinálni, hogy sokszor 475 évet pl. 100-szor 475 évet meggyelni és megnézni, hogy melyik az a szint, amit 100-szor halad meg a földrengés nagysága. Az a korábban említett kijelentés, miszerint kb. 63% annak valószín sége, hogy 475 el tt bekövetkezik az esemény úgy látszódna, hogy a 100 db 475 éves periódusból kb. 63 esetben látnánk egy vagy több eseményt és 37 esetben egyet sem. Az efajta becslés kivitelezése természetesen lehetetlen, mert nincs 47500 év hosszú adatsor. S t egyszer 475 év sincs adott helyre vonatkozó méréseredményekkel. Milyen más lehet ség adódik? Mivel kb. 50 éves múltra vonatkozóan vannak méréseredmények, ezért ezen adatokból kell meghatározni azt a szintet, amit 0,1 valószín séggel halad meg a földrengés. 3.1. Kvantilis 3.1. Deníció. Egy F (x) eloszlásfüggvény valószín ségi változó q kvantilise az a Q érték, amelyre F (Q) = q, azaz Q = F 1 (q). Tegyük fel, hogy X településen évente átlagosan 20 földrengést mérnek és ezért 50 év alatt 1000 adat gyült össze. A földrengés méretére vonatkozó adatok nyílvánvalóan átszámíthatók gyorsulás értékre. Állítsuk nagyságszerinti sorrendbe a gyorsulásértékeket. Arra az értékre vagyunk kíváncsiak, 10
amelyet majd 0,1 valószín séggel halad meg a földrengés mérete. (Tehát a q = 0, 9 kvantilis kívánjuk megtalálni.) Becslésünk tehát az az érték lesz, aminél nagyobb adatunk 10%-ban van, tehát 1000 adatból a 900-ik. 3.2. Deníció. Empirikus eloszlásfüggvény Legyen x 1, x 2,..., x n a statisztikai minta. Rendezzük ezen mintaelemeket nagyság szerint: x 1 < x 2 < < x n. Deniáljuk most az F n (x) lépcs sfüggvényt a következ módon: 0 ha x x 1 k F n (x) = ha x n k < x x k+1 1 ha x n < x Ez az empirikus eloszlásfüggvény. Azért nevezik lépcs sfüggvénynek, mert a rendezett mintaelemeknél 1 n ugrása van. Jelölje F (x) a ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvényét, azaz F (x) = P (ξ < x). Az alábbi Glivenkotól származó tételt nagy jelent sége miatt a statisztika alaptételének is nevezik: 3.1. Tétel. Legyen D n az empirikus F n (x) eloszlásfüggvény és az F (x) elméleti eloszlásfüggvény közötti legnagyobb eltérés: D n = sup F n (x) F (x). <x<+ Ez az eltérés 1 valószín séggel zérushoz tart, ha n tart végtelenhez: P ( lim n D n = 0) = 1. Kolmogorov vizsgálta azt a kérdést, hogy D n milyen gyorsan tart zérushoz. Meghatározta nd n eloszlását. T le származik a következ tétel: 3.2. Tétel. lim n P ( nd n < z) = + i= ( 1) i e 2i2 z 2 = K(z). ahol z egy tetsz leges pozitív szám és i végig fut az egészszámokon. 3.1. Megjegyzés. 11
A K(z) függvény értékeit nem könny meghatározni, ezért vagy már el re elkészített táblázatból vesszük az értékeit, vagy számítógépet használunk. Mivel K(z) határeloszlás-függvény, ezért nagy mintaelemszám esetén alkalmazható. Kis mintákra módosított értékekb l készítenek táblázatot. 3.1. Példa. A K(z) függvény táblázatából tudjuk, hogy z = 1, 36 esetén veszi fel a függvény a 0, 95 értéket. Azt jelenti ez, hogy a számegyenesen egyenletesen lim P ( nd n < 1, 36) = 0, 95. n Ha az akarjuk elérni, hogy a becslésünk legfeljebb D n = 5%-kal térjen el az igazi értékt l, akkor kell, hogy n 0, 05 1, 36 legyen, amib l n 740 értéket kapjuk. Ha pedig pl. n = 1000 elem mintából készítjük a becslést, akkor a becslés hibája 95% valószín séggel D 1000 < 1,36 1000 0, 043, azaz kicsivel több mint 4 %. Az igazi paraméter tehát 95% valószín séggel a 900 ± 43 intervallumban van. Mi van, ha csak n = 100 elem mintából becsülünk? Akkor a becslés hibája 95% valószín séggel D 100 < 1,36 100 0, 13, azaz 13 %. Tehát a becsült érték a 100 elem minta 90-ik eleme és az igazi érték nagy valószín séggel 90 13 = 77 és 100 közé esik. 3.2. Kondencia intervallum Az a kijelentés, hogy a statisztikai mintából számított ˆθ n torzítatlan becslése a θ paraméternek nem elég információ. Azt is szeretnénk tudni, hogy mennyire jó becslése a θ paraméternek. Rendszerint úgy járunk el, hogy egy intervallumot adunk meg, amelyben nagy valószín séggel benne van a becsülend paraméter igazi értéke. Ennek neve kondencia intervallum, vagy megbízhatósági intervallum. Természetesen a kondencia intervallum hossza (terjedelme) függ a választott valószín ség értékt l, azaz a becslés megbízhatósági szintjét l. Nagyobb megbízhatósági szinthez szélesebb kondencia intervallum tartozik. A m szaki gyakorlatban leggyakrabban a 95%-os megbízhatósági szintet használják. A 95%-os megbízhatósági szint azt jelenti, hogy a tévedés valószín sége, vagyis hogy a paraméter tényleges értéke a kondencia intervallumon kívül esik, legfeljebb 0,05. Általánosan úgy szoktuk mondani, hogy választunk egy kis α > 0 értéket. Az 1 α a megbízhatósági szint, az α pedig a szignikancia szint. (Tehát 12
95%-os megbízhatósági szint esetén 1 α = 0, 95, ezért α = 0, 05 a szignikancia szint.) A becslések minden esetben arra épülnek, hogy az egyszer mintavétel feltételei teljesülnek, azaz a mintaelemek egymástól függetlenek, azonos eloszlásúak és azonos valószín séggel vannak kiválasztva. Ezért igaz rájuk az alábbi tétel: 3.3. Tétel. Nagy számok törvényének Bernoulli féle alakja Ha valamely p valószín ség esemény n számú független kísérlet során k- szor következik be, akkor a k relatív gyakoriság jól közelíti a p valószín séget n olyan értelemben, hogy tetsz leges ɛ > 0 szám esetén ( ) k P n p ɛ pq nɛ 1 2 4nɛ, 2 vagy ugyanez az ellentett eseményre fogalmazva: ( ) k P n p < ɛ > 1 pq nɛ 1 1 2 4nɛ. 2 Nézzük most, hogy a nagy számok törvénye alapján mit mondhatunk a 90%-os kvantilis (p = 0, 9) becslésér l. Miért pont a 90%-os kvantilis becslésér l? Azért mert azt az a gr referenciagyorsulás értéket akarjuk majd becsülni, amit adott id tartam alatt 0,1 valószín séggel halad meg a szeizmikus esemény, vagyis 90% legyen annak a valószín sége, hogy csak annál kisebb gyorsulás fordul el. Ha tehát most is azt akarjuk elérni, hogy a becsült érték nagy valószín séggel, mondjuk 95% valószín séggel legfeljebb 5%-kal térjen el az igazi értékt l akkor ɛ = 0, 05 választással ( ) k P n p < 0, 05 pq > 1 0, 95 n 0, 052 egyenl tlenségnek kell teljesülni, amelynek második részéb l n 720 adódik. Lényegében ugyanakkora, mint a Kolmogorov függvény alapján. Egy n = 1000 elem minta esetén a 90%-os kvantilisre a 900-ik mintaelem a becsült érték. Ekkor az 1 pq = 0, 95 nɛ2 egyenletb l ɛ = 0, 042 13
adódik, tehát a fenti paraméterekkel a kondencia intervallum: k n p < 0, 042 amib l azaz k 1000 0, 9 < 0, 042 k 900 < 42 858 < k < 942 adódik. Mi van, ha csak n = 100 elem mintából becsülünk? Ekkor az egyenletb l 1 pq = 0, 95 nɛ2 ɛ = 0, 13 adódik, tehát Akkor a becslés hibájára 95% valószín séggel k 100 0, 9 < 0, 13 adódik, vagyis azaz intervallumot kapunk. k 90 < 13 77 < k < 100 3.3. Illeszkedésvizsgálat Tegyük fel, hogy egy adott helyen az eddig észlelt legnagyobb földrengés Richter skála szerint 4,5 er sség volt. Kérdezhetné valaki, mi a valószín sége, hogy bekövetkezik egy 5-ös vagy annál nagyobb földrengés. Els pillanatban paradoxnak látszik a helyzet, hiszen olyan esemény bekövetkezésének valószín ségét kell becsülni, ami még sohasem következett be. Ennek a paradoxonnak a feloldására szolgál a matematikai modell. A matematikai modell jelen esetben az lesz, hogy ismert eloszlásfüggvénnyel 14
írjuk le a jelenséget, mint valószín ségi változót. Kisebb értékek alapján megalkotva a matematikai modellt, becsülhetünk egy magas kvantilist. A példára hivatkozva azt jelenti ez, hogy a 4,5 er sség nél kisebb rengések alapján megválasztunk egy olyan eloszlásfüggvényt, ami a kis adatokhoz jól illeszkedik, majd ezt elfogadva modellnek ebb l számítjuk ki milyen valószín séggel lesz a földrengést modellez valószín ségi változó 5-nél nagyobb. Pl. ha az 50 évre vonatkozó kis gyorsulásértékekb l sikerül jól modellez eloszlásfüggvényt alkotni, és ez mondjuk az F (a) = P (A < a) eloszlásfüggvény, akkor ennek 0,9 kvantilisére van szükségünk. Azaz arra az a gr értékre, amelyre F (a gr ) = 0, 9. Hogy lehet ezt kivitelezni? A m szaki gyakorlatban sokszor vagyunk olyan helyzetben, hogy nem ismerjük a szóban forgó valószín ségi változó eloszlását. Ekkor úgy járunk el, hogy megfogalmazunk egy hipotézist a valószín ségi változó eloszlására és azt szeretnénk ellen rizni, hogy ez a feltevés elfogadható-e. El ször egy egyszer bb esetet nézzünk. 3.3.1. χ 2 próba Tegyük fel, hogy ξ egy diszkrét valószín ségi változó x 1, x 2,... x k lehetséges értékekkel és a hozzá tartozó valószín ségeloszlás: p 1, p 2,... p k, azaz P (ξ = x i ) = p i. Végezzünk N független kísérletet. Azt tapasztaljuk, hogy a {ξ = x 1 } esemény ν 1 -szer, a {ξ = x 2 } esemény ν 2 -ször,... a {ξ = x k } esemény ν k -szer következett be. ( k i=1 ν i = N.) Vizsgáljuk a H 0 : P (ξ = x i ) = p i hipotézist. Ha a H 0 hipotézis igaz, akkor a (6) χ 2 = k (ν i Np i ) 2 i=1 Np i statisztika k 1-ed fokú χ 2 eloszlású valószín ségi változó. Elutasítjuk a hipotézist, ha ez az érték túl nagy. Túl nagy olyan értelemben, hogy olyan nagy érték csak kis valószín séggel következhetne be. Kicsit részletesebben: El re megválasztunk egy χ krit értéket, amelyet a k 1- ed fokú χ 2 eloszlású valószín ségi változó csak kis valószín séggel, mondjuk α = 0, 05 valószín séggel léphet túl. Ha a k (ν i Np i ) 2 i=1 Np i > χ krit akkor elutasítjuk a hipotézist. Ellenkez esetben erre nincs okunk. 15
Ha nem diszkrét, hanem folytonos eloszlás illesztése a feladat, akkor úgy járunk el, hogy az értelmezési tartományt felosztjuk diszjunkt intervallumokra. Megszámoljuk, hogy az egyes intervallunokba hány mintaelem esik. Ezek a ν i tapasztalati gyakoriságok. Kiszámítjuk az F (.) hipotetikus eloszlásfüggvényb l az Np i elméleti gyakoriságokat, majd úgy járunk el, mint fent. Ha nincs okunk a hipotézis elutasítására, akkor elfogadjuk az F (.) eloszlásfüggvényt megfelel matematikai modellnek. Nem kötelez az értelmezési tarományt egyenletesen felosztani de ajánlott, hogy sem túl sok, sem túl kevés mintaelem legyen egy-egy intervallumban. 3.3.2. Kolmogorov próba A bevezet ben ismertetett Kolmogorov-tétel közvetlenül használható illeszkedésvizsgálatra. Ha már van F (x) eloszlásfüggvény, akkor a deriváltja f(x) = F (x) a sürüségfüggvény. Az alábbi 3.4 Tétel jelent sége az, hogy általa tudunk kon- dencia intervallumot konstruálni a kvantilis becsléshez. A kvantilis becsléséhez az alábbi tételt lehet használni: 3.4. Tétel. Az n elem mintából számolt q-kvantilis elég nagy n esetén közel normális eloszlású Q = F 1 (q) várható értékkel és s = 1 q(1 q) f(q) n szórással, ahol f(x) = F (x) a s r ségfüggvény. A tétel alapján 95% megbízhatósági szintnek megfelel kondencia intervallum: Q ± 2 s, a 99% megbízhatósági szintnek megfelel kondencia intervallum: Q ± 3 s. Példa Nézzünk most egy numerikus példát az el z tétel illusztrálására: A szeizmikus mérési adatok statisztikai analízisének hiányában nem tudjuk, hogy a földrengések er ssége milyen eloszlást követ Magyarország egyes helyein de mivel kis rengés gyakran van, nagy pedig ritkán, reálisnak látszik feltételezni az exponenciális eloszlást. 16
Az exponenciális eloszlású valószín ségi változó eloszlásfüggvénye: { 0 ha x < 0 F (x) = 1 e µ x ha x 0 sürüségfüggvénye pedig { f(x) = 0 ha x < 0 µe µ x ha x 0 Várható értéke E = 1 µ Ha az exponenciális eloszlás 90%-os Q kvantilisét akarjuk meghatározni, akkor az 1 e µ Q = 0, 9 egyenletet kell megoldani. Ennek megoldása: Q = ln 10 µ = E ln 10 2, 3 E A sürüségfüggvény ezen a helyen f(q) = µ e µ Q = µ e ln 10 = µ 10 Tehát becslés esetén a 90%-os kvantilis szórása: s = 10 µ 0, 9 0, 1 n = 10 µ 0, 09 n = 3 3E n = µ n ezért becslésünk 95%-os kondencia intervallummal: Q ± 2 s = 2, 3 E ± 6 E n Tegyük fel, hogy 100 elem mintából a földrengések er sségének átlaga Richter skálán 0,55. Ekkor a kvantilis becslése Q 2, 3 0, 55 = 1, 265. A szórásra s 3 0,55 100 = 0, 165 adódik. 95%-os kondencia intervallum a kvantilisre tehát: 1, 265 ± 2 0, 165 = 1, 265 ± 0, 33. Vegyük észre, hogy a hiba a becsült érték 26%-a. Egy 1000 elem mintából persze jobb becslés adódna. Ekkor a szórás s = 0, 052 és a kondencia intervallum: 1, 265 ± 0, 104. Most a hiba a becsült értéknek csak 8%-a. 17
4. Gamma fontossági tényez A fent ismertetett matematikai módszerek valamint a megfelel geozikai ismeretek alapján becsülhet az EC8 Eurocode által elvárt 475 év visszatérési id höz tartozó jellemz gyorsulásérték (peak ground acceleration) a gr. Jó lenne persze ismerni más visszatérési id khöz tartozó gyorsulásértéket is. Ugyanis az Eurocode, valamint az MSZ EN (3)P szakaszban azt írja, hogy az épületek különböz fontossági osztályokba vannak sorolva. Minden fontossági osztályhoz tartozik egy γ i fontossági tényez. "Ahol lehetséges, ezt a tényez t úgy kell megállapítani, hogy megfeleljen a szeizmikus esemény visszatérési periódusa magasabb, vagy alacsonyabb értékének (tekintettel a visszatérési periódus referenciaértékére)". Majd a következ szakaszban minden indoklás nélkül a ( ) 1 TR 3 γ i = 3 TL T L T R képletet javasolják. Jó lenne ismerni a jellemz gyorsulásérték és a visszatérési id közötti kapcsolatot. Elméletileg azt várjuk, hogy a gyorsulásértékek függése a visszatérési id t l az alábbi ábra szerinti függést mutat. Jelölje ezt a függvényt a = Ψ(T ). 18
1. ábra. Feltételezett kapcsolat a visszatérési id (vizszintes tengely) és a referencia gyorsulás (függ leges tengely) között A függvénykapcsolat meghatározására többféle módszer is elképzelhet : a) Ahogyan a 475 év visszatérési id höz tartozó jellemz gyorsulásértéket meghatározzák, ugyan azzal a módszerrel több más visszatérési id höz tartozó gyorsulás is meghatározható. Ha már több ponton ismerjük a függvényértéket, akkor interpolációs módszerrel valamely függvényosztályból alkalmas függvényt illeszthetünk rá. A kapott függvény ismeretében (7) γ i = a a gr = Ψ(T L) Ψ(T R ) b) Ha az Eurocode által javasolt Ψ(T ) = 3 T függvénnyel szeretnénk dolgozni, akkor a 10. táblázat mutatja, hogy a különböz gamma értékekhez milyen visszatérési id tartozik és ekkor 50 év alatt milyen valószín séggel 19
következik be a szeizmikus esemény. γ i 0,50 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 T R 59,38 102,60 130,45 162,93 200,39 243,20 291,71 346,28 407,25 475,00 p 0,57 0,39 0,32 0,26 0,22 0,19 0,16 0,13 0,12 0,10 10. táblázat. Gamma szorzóval és T R visszatérési id vel számolva 50 év alatt p valószín - séggel következik be esemény A 11. táblázat azt mutatja, hogy a különböz gamma értékekhez milyen visszatérési id tartozik és ekkor hány éven belül következhet be 0,1 valószín séggel a szeizmikus esemény. γ i 0,50 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 T R 59,38 102,60 130,45 162,93 200,39 243,20 291,71 346,28 407,25 475,00 T L 6,26 10,81 13,74 17,17 21,11 25,62 30,73 36,48 42,91 50,00 11. táblázat. T R visszatérési id esetén T L id alatt következhet be 0,1 valószín séggel esemény Lehetne pl. Ψ(T ) ln T választás is. Ez kevésbbé t nik légb lkapottnak a következ indoklás miatt: Az extrémérték elméletb l tudjuk, hogy egy valószín ségi változó adott elég magas szintjének túllépése határértékben általánosított Pareto eloszlású, amelynek speciális esete az exponenciális eloszlás. Tegyük fel, hogy a gyorsulás adott szint felett exponenciális eloszlású µ paraméterrel. Az, hogy ez a feltevés reális-e vagy sem, a statisztikai adatokból ellen rizhet volna. Ha igen, akkor (8) P (A > a) = e µa Mivel (9) P (A > a gr ) = e µa gr = T 1 R ezért µa gr = ln T R µ = ln T R a gr 20
Ha pedig a = γa gr akkor P (A > a) = e ln T a R gr = (TR ) a a a gr (10) P (A > a) = (T R ) γ = P L = (T L ) 1 Innen (11) γ = ln T L ln T R Az alábbi 12. táblázatban összehasonlíthatjuk a különböz id intervallumokhoz tartozó gamma értékeket úgy, hogy minden esetben T R = T NCR = 475 év. T L 50 100 150 200 250 300 350 400 450 475 500 2. sor 0,47 0,59 0,68 0,75 0,81 0,86 0,90 0,94 0,98 1,00 1,01 3. sor 0,63 0,75 0,81 0,86 0,90 0,93 0,95 0,97 0,99 1,00 1,008 4. sor 5,27 10,54 15,80 21,07 26,34 31,61 36,88 42,14 47,41 50,00 52,68 5. sor 0,63 0,39 0,28 0,22 0,18 0,15 0,13 0,12 0,11 0,10 0,09 12. táblázat. 2.sor: gamma értéke köbgyökkel számolva 3.sor: gamma értéke logaritmussal számolva 4.sor: hány év alatt következik be 0,1 valószín séggel az esemény 5. sor: 50 év alatt mekkora valószín séggel következik be az esemény. 21
5. Kérdések, megjegyzések a. A 11. táblázatból látható, hogy ha a referencia gyorsulás értékét 5%- kal csökkentjük (γ = 0, 95 eset), akkor az átlagos visszatérési id és vele együtt annak a (tervezési) id tartamnak a hossza amely alatt 0,1 valószín séggel következik be szeizmikus esemény kb. 14%-kal csökken. Másrészt, láttuk a 3. fejezetben, hogy a kvantilis becslésének nagy a bizonytalansága. Ezért fontos volna tudni, hogy a Magyarország területére megadott referenciagyorsulás értékeket milyen pontossággal sikerült meghatározni. Mekkorák pl. a 95%-os kondencia intervallumok? b. Zsíros Tibor [1] már idézett könyvének 74. oldalán ezt írja: "A Kárpátmedence térségében a földrengések által okozott megrázottság gyengülésére az egyedül felhasználható meggyelési adat a földrengés intenzitás. Emiatt (...) érdemesnek láttuk a földrengés veszélyesség becslését intenzitás adatokkal is elvégezni. További érv az intenzitás használata mellett, hogy az intenzitás fokok deniciójuknál fogva tükrözik a károsodás mértékét, míg ugyanezt pld. a zikai gyorsulás paraméterr l nem mondható el. A csúcsgyorsulás érték lehet ugyanis pillanatszer, márpedig a károsodás attól függ, hogy mennyi ideig tart a rázkódás." Az idézet alapján megfontolandónak t nik a megadott csúcsgyorsulás érték alapján egy eektív érték meghatározása és annak alkalmazása a tervezés során. Hivatkozások [1] Zsíros Tibor: A Kárpát-medence szeizmicitása és földrengés veszélyessége: Magyar földrengés katalógus (475-1995), [2] Rényi Alfréd: Valószín ségszámítás, Tankönyvkiadó 1968. [3] Reimann József: Valószín ségelmélet és matematikai statisztika mérnököknek, Tankönyvkiadó 1992. 22