Hidak és Profunktorok

Hidak és Profunktorok Pécsi Bertalan Doktori disszertáció 2012

Pécsi Bertalan: Hidak és Profunktorok Doktori disszertáció Javított verzió, 2013. ELTE TTK, Matematika Doktori Iskola Elméleti Matematika Program Témavezető: Sain Ildikó ELTE TTK, Algebra és Számelmélet Tanszék, Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet. 2012.

Tartalomjegyzék Bevezető 2 0. Alapvetések 7 1. Bikategóriák 20 2. Profunktorok 32 3. Ekvivalenciahidak 39 4. Morita-összefüggések 42 5. Kettős kategóriák 46 6. Kolaza/laza adjunkciók 67 A. Függelék: Bénabou-féle bikategóriák 73 B. Függelék: Verity-féle kettős kategóriák 76 Tárgymutató 81 Hivatkozások 82 1

Bevezető Jelen értekezés tárgya a bikategóriák, kettős kategóriák és a köztük menő laza, kolaza funktorok egy alternatív, koherencia-ötszögtől és különbözeti celláktól mentes felépítése, és néhány további, ezekhez kapcsolódó struktúra vizsgálata. Az axiomatikus felépítésben Tom Leinster egyik irányvonalát követjük, továbbá profunktorokat és reflexiókat használunk. Nagy vonalakban leírva, a következő kategóriaelméleti struktúrákat fogjuk tanulmányozni: Amikor két adott kategória (A és B) közt mehetnek (A-n és B-n kívüli) külső nyilak, úgynevezett heteromorfizmusok, amik komponálhatóak A és B nyilaival [persze csak ha a végpont és a kezdőpont stimmel]. Ilyen általánosságban ezt úgy hívjuk, hogy híd; az irányított (A Û B) esetet pedig hogy profunktor, avagy magyarul ág. (2.1. def.) Egy A Û B ág önmagában rejthet akár egy A Ñ B funktort [ha minden A-beli objektumnak van reflexiója B-ben], akár egy B Ñ A funktort [ha minden B-beli objektumnak van koreflexiója A-ban], s ha mindkettőt, akkor ez a két funktor adjungált egymáshoz. (2.4. def. és 2.7. tétel.) Amikor egy kategória nyilai között is mehetnek morfizmusok (úgynevezett 2-cellák), amiket, ha a széleik passzolnak, vízszintesen és függőlegesen is össze lehet fűzni. Ha csak párhuzamos nyilak között mennek 2-cellák, akkor bikategóriáról beszélünk (1.1. def.), egyébként kettős kategóriáról (angolul double category, 5.3. def.) Sajnos számos fontos példában a nyilak eredeti kompozíciója nem asszociatív a szigorú értelemben véve, csak izomorfizmus 2-cella erejéig (ez a fajta gyenge asszociativitás megfigyelhető például a halmazok Descartes-szorzatánál: az paˆbqˆc és AˆpBˆCq halmazok nem egyenlőek egymással, csak természetesen izomorfak). Ez a bikategória axiomatikus definíciójánál bonyodalmakat okoz, amire számos feloldás született már, jelen írásban mi Tom Leinster unbiased bikategória definíciójának ([Leinster]) egy változatát ismertetjük: a kétváltozós gyengén asszociatív kompozíció művelet helyett egy (szintén gyengén, azaz csak izomorfizmus erejéig) asszociatív műveletcsaládot veszünk alapul, lásd 1.1. def). Az A. függelékben ezt összevetjük az eredeti, Bénabou-féle definícióval. Kettős ágak bikategóriák illetve kettős kategóriák közt (angolul double profunctors", 5.6. és 5.1. def). Ezek teljesen analóg módon viselkednek, mint a hagyományos kategóriák közti ágak: segítségükkel jellemezhetjük a laza- és kolaza- funktorokat, sőt a kolaza/laza adjunkciókat is (angolul lax és colax functor ). (5.11, 5.13, 6.6. tételek.) A kategóriák közti ágak mint vízszintes nyilak egy bikategóriát határoznak meg, amiben egy A é B híd a két ága (A Û B és B Û A) által éppen 2

egy híres diagram-féleséget határoz meg, amit úgy hívnak, hogy Moritakontextus avagy Morita-összefüggés, és bármely bikategóriában definiálható. A 0. fejezetben áttekintjük a szükséges kategóriaelméleti hátteret. Az 1. fejezetben, Tom Leinster unbiased bicategory definiciójának [Leinster] egy elemi interpretációját adjuk, valamint felvázolunk néhány bikategórián belül értelmezhető fogalmat (úgymint adjungált nyílpár vagy belső monoid, monoidhatás). A 2. fejezetben bevezetjük a 3.-ban és 4.-ben használt híd fogalmat, és ennek egyirányú változatát, az ág -at, valamint igazoljuk, hogy az ágak és a profunktorok egyértelműen meghatározzák egymást. Bevezetjük a kategóriák és ágak Prof bikategóriáját, majd a kategóriák és funktorok Cat bikategóriájának két kanonikus, Prof-ba való beágyazását taglaljuk. A 3. fejezetben a kategóriák ekvivalenciáját és Morita ekvivalenciáját jellemezzük bizonyos fajta hidakkal. A 4. fejezetben a gyűrűk köréből ismert ún. Morita-összefüggések és a hidak közös általonísátását vezetjük be, tetszőleges bikategóriában. Az 5. fejezetben a vízszintesen gyengén asszociatív kettős kategóriát definiáljuk, mint egy függőleges struktúrával kibővített bikategóriát, majd a 2. fejezetben írtak 2 dimenziós analógiájaként, reflexiókkal illetve koreflexiókkal adunk egy elegáns jellemzését a bi- és kettős kategóriák elméletében alapvető szerepet játszó kolaza illetve laza funktoroknak. A 6. fejezetben egy konkrét, mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategória közbenjárásával kiterjesztjük a két kanonikus Cat ãñ Prof beágyazást kettős kategóriákra, majd ezt felhasználva egy tollvonással megmutatjuk, hogy a [Gran-Pare2]- ban értelmezett kolaza/laza adjunkciók hogyan jellemezhetők kettős ágakkal, vö. [Fio-Gam-Kock]. Végül, az A. függelékben összevetjük a Bénabou-féle és az itt interpretált Leinsterféle bikategóriákat, valamint, a B. függelékben a felépített saját apparátussal definiáljuk az utolsó fejezethez a Verity-féle, mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategóriákat. o Saját eredményeim: - A híd fogalma, mint szimmetrikus profunktor: 2.1. def., avagy mint Moritaösszefüggés a profunktorok körében: 3.2. - A kategóriák Morita-ekvivalenciájára vonatkozó 3.9. tétel elemi bizonyítása. - A 3.4. tétel, mely a kategóriaekvivalenciának egy híddal való jellemzése, és ami alapvető építőköve Mark Lawson félcsoportok Morita elméletéről szóló egyik cikkének: [Lawson]. 3

- A 2.9. következmény, miszerint minden adjungált funktorpár előáll egy koreflektív és egy reflektív adjunkció kompozíciójaként. ([Pecsi]-ben azt is igazoltam, hogy ez egy gyenge faktorizációs rendszert határoz meg.) - Egy adott bikategória Morita-összefüggéseinek bikategóriájának néhány tulajdonsága, például, hogy ugyanazok az objektumok lesznek ekvivalensek egymással, mint az eredeti bikategóriában (4.7. tétel és 4.8. és 4.9. következmények.) - A bikategóriák illetve kettős kategóriák közti laza- és kolaza funktoroknak (ko-)reflexiókkal való egyszerű jellemzése, kettős ágon belül, koherencia feltételek és különbözeti cellák nélkül: ezek a kettős ág struktúrába bele vannak kódolva. (5.11, 5.13. tételek.) Ezt a 6.6. tétel egy alternatív bizonyításához is használni fogjuk. - A [Gran-Pare2] cikk egyik központi kettős kategóriájának, ami a laza és kolaza funktorokat mint vízszintes és függőleges nyilakat tartalmazza, teljes beágyazása a kettős ágak bikategóriájába (ami a laza funktorokon kontravariáns, 6.5. tétel). - A [Verity]-ben értelmezett mindkét irányban gyengén asszociatív kettős kategória ( double bicategory ) egy, [Morton]-étól eltérő kompakt definíciója: B.1. o Terminológia és jelölés. Minthogy a bikategóriák, kettős kategóriák és profunktorok elmélete viszonylag fiatal a matematikán belül, a fogalmak pláne magyarul! még nem mind szilárdultak meg teljesen. Ha egy faág két rügypontnál vett transzverzális metszetét tekintjük, illetve az ezek közt futó rostokat, az olyasmi ábrázolatú, amilyennek egy általános profunktort mint irányított hidat szokott az ember a táblára vagy a jegyzetébe rajzolni (vagy akár egy páros gráfot). Ez ihlette az ág elnevezést, melyet még azelőtt találtam ki, hogy megismertem volna az ugyanerre alkalmazott profunktor kifejezést (ami mellett még a (bi-)modulus, és disztribútor szavak is valamennyire elterjedtek). Precízen, a 2.1.-beli ág egy profunktor kollázsának felelne meg, ld. pl. [Gran-Pare], ami azonban könnyen láthatóan meghatározza magát a profunktort, ld. még 2.3. tétel. Mindazonáltal, meghagyjuk az ágakra az egyik legelterjedtebb profunktor jelölésmódot, az áthúzott nyilat: F : A Û B, ugyanakkor magát F-et is kategóriának tekintjük, ami megkönnyíti a tárgyalásmódot. E Egy közös halmazból induló függvénypárt ( villa diagramot, A B angolul span -t) páros gráfnak fogunk tekinteni, ilyenkor A-t és B-t diszjunktnak 4

ábrázoljuk, ez a két ponthalmaz (ha van közös elemük, azt mindkét oldalon külön szerepeltetjük), E elemeit élekként fogjuk fel, és a két függvény minden élnek kijelöli a kezdő- és végpontját. Nyilak kompozícióját összefűzésnek is nevezzük. Gyakran írjuk azt valamiféle nyílról, hogy X és Y közti. Ezt úgy értjük, hogy ay adott nyíl kezdőpontja X és végpontja Y. Általánosabban is, a kijelölt irányok mindenütt az olvasás irányai: balról jobbra, illetve fentről lefele. Ezt szem előtt tartva legtöbbször megspóroljuk az ábrákban a 2-cellák, cellák, de néha még a nyilak irányításának a jelölését is. Megjegyzendő, hogy ezen lerögzíteett haladási irányok mellett az Ehresmann-féle kvintett-konstrukció (5.3.7. pl.) szükségszerűen megfordítja a két irány egyikét, nálunk a vízszinteset: 88 Ez összhangban van azzal, hogy a 2.10. és a 6.5. tételekben szereplő beágyazások mindegyike kontravariáns, pontosan az egyik irányban. Kategóriákat A, B, C, F,..., funktorokat F, G, U, V,..., bikategóriákat A, B, C,..., kettős kategóriákat A, B, D, F,..., cellákat és 2-cellákat α, β, γ,... betűtípussal fogunk jelölni. A nyilakat általában vegyesen kis latin vagy görög betűkkel. Emellett, α P A azt fogja jelenteni, hogy α egy nyíl az A kategóriában, és β P B azt, hogy β egy 2-cella a B bikategóriában, legalábbis eleinte. A 2-cellákat (nyilak közötti nyilakat) absztraktan mindig dupla nyíllal jelöljük: α : f ùñ g, de konkrét példákban, például, ha a 2-cellák valamiféle funktorok vagy bimodulus-morfizmusok, akkor maradunk a szimpla nyílnál. Nyilak vízszintes kompozíciót egymás mellé írással, 2-cellák vízszintes kompozícióját a jellel jelöljük, és a b jelet meghagyjuk a gyűrűk közti (fölötti) bimodulusok tenzorszorzatára. Mivel a függeléket nem számítva végig ezekkel fogunk dolgozni, az egyszerűség kedvéért lehagyjuk a Leinster-féle unbiased bicategory, unbiased lax functor elnevezések unbiased előtagját, valamint a pszeudo kettős kategóriá -ból a pszeudo előtagot. A belső monoidokat ( internal monoid ) gyakran monádok -nak hívják, ha bikategórián belül van, de monoidális kategórián belül (ami lényegében az egy objektumú bikategória) viszont inkább (internal) monoid -nak. Ami azért ellentmondásos kicsit, mert minden bikategóriabeli monád egy objektumon van értelmezve, így ha arra az objektumra megszorítjuk a bikategóriát, egy monoidális kategóriát kapunk, amin belül a monád már monoid -nak nevezhető. Eredendően a Cat 2-kategóriábeli belső monoidokat hívják monádoknak. Az 5. fejezetben megjelennek a függőleges nyilak, ezekre az A Ó B jelölést 5

alkalmazzuk, ami tehát egyik esetben sem vesszőkategória ( comma category ). [Gran-Pare]-val ellentétben nálunk, a bikategóriás jelöléseket és terminológiát követve, a vízszintes kompozíció a gyengén asszociatív, és a függőleges irány a szigorúan asszociatív. A vízszintes kompozíciót itt is jelöli, a függőleges kompozícióra viszont a törtjelet vezetjük be, követve [Gran-Pare]-t, viszont ezt a jelölést a függőleges nyilakra is kiterjesztjük: ha f :A Ó B és g :B Ó C, akkor összefűzöttjük az f :A Ó C függőleges g nyíl lesz. A kolaza funktorokat helyenként oplax functor -nak is szokták nevezni, nálunk a ko prefix összhangban van azzal, hogy a függőleges ellentettet co jelöli. A [Verity]-ben és [Morton]-ban double bicategory -nak nevezett fogalom nálunk Verity-féle kettős kategória néven van definiálva (B.1). Noha a definíció valóban tartalmaz két bikategóriát, a fogalom mégis inkább a vízszintesen és függőlegesen is gyengén asszociatív kettős kategóriákat kívánja megfogni ( doubly weak double category ). Amit az 1. és 5. fejezetekben α pϕ ψq β-val jelölünk, az a B. függelékben már az α " emeletes ϕ ψ írásmódba megy át, merthogy ez voltaképpen α felülről illetve β! β alulról való hatása (a ϕ ψ vízszintes kompozíción). Ugyanakkor, megtartjuk a -t az itt felbukkanó bal és jobb oldali hatásokra. o A mű elkészüléséért köszönetemet fejezem ki témavezetőmnek, Sain Ildikónak, továbbá Böhm Gabriellának, Márki Lászlónak, Szlachányi Kornélnak, valamint Gyenis Zalánnak, Horváth Ramónnak, Pintér Gergőnek. 6

0. Alapvetések Az alábbiakban egy rövid halmazelméleti megalapozás után tömören összefoglaljuk a későbbi fejezetekhez szükséges hátteret. E fejezetben felsorolt fogalmak, állítások mindegyike megtalálható a legtöbb kategóriaelméleti bevezető könyvben (pl. [MacLane], [Freyd-Sced], [JoyCat]), helyenként némi ekvivalens átfogalmazással. A matematika szinte minden területe valamiféle struktúrákról szól: ezek rendszerint egy vagy több alaphalmazra épülnek, amin vagy amiken az adott struktúrafajtákra jellemző operációk és/vagy relációk vannak értelmezve. Például a monoidok, a gráfok vagy a kategóriák (ld. 0.4, 0.1. def.) mind struktúrafajták. A kategóriaelmélet, mint nyelv, általánosságban képes beszélni a struktúrákról, a struktúratartó függvények (ún. morfizmusok ) segítségével. o Használni fogjuk a hagyományos halmazelméleti és logikai jeleket: @x: minden x-re (pl. @xpx : P olvasata: minden X-beli x-re teljesül P ), Dx: D!x : P _ Q: P ^ Q: P és Q P ñ Q: létezik olyan x, hogy, pontosan egy x létezik, amire, P vagy Q (ahol P, Q kijelentések) P -ből következik Q, P ðñ Q: P és Q ekvivalensek, azaz pp ñ Qq ^ pq ñ P q, x P y: x Ď y: xa 1, a 2,..., a n y: x eleme y-nak, x részhalmaza y-nak, rendezett elem n-es. Ahogy az a halmazelméleti felépítésekben szokás, egy rendezett párokból álló f halmazt függvénynek vagy leképezésnek nevezünk az A és B halmazok közt (jelben f :A Ñ B), ha @apa D!bPB : xa, by P f és @x, y : pxx, yy P f ñ x P Aq. Egy adott A halmazhoz tartozó txa, ay a P Au identitás függvényt id A jelöli. Ha f : A Ñ B és g : B Ñ C függvények, a kompozíciójukat balról jobbra írjuk, és egymás mellé írással vagy -tal jelöljük, így: f g : txa, cy DbPB : pxa, by P f ^ xb, cy P gqu. Ha egy adott a P A elemhez b az egyetlen elem, amire xa, by P f, akkor azt mondjuk, hogy f az a-hoz b-t rendeli hozzá (jelben a ÞÑ b), ugyanekkor b-t az a elem f függvénynél vett képének is nevezzük, és f-et az a jobb felső indexébe helyezve 7

jelöljük, így: Tehát, a f, összhangban a kompozíció balról jobbra menő írásmódjával. b a f def ðñ xa, by P f, és így a f g pa f q g. Egy f : A Ñ B függvény értékkészlete a tb P B Da P A : a f bu halmaz (Ď B), és ha ez megegyezik B-vel (azaz ha @bpb DaPA : a f b), akkor azt mondjuk rá, hogy szürjektív. Továbbá, f-et injektívnek nevezzük, ha @a, a 1 P A : `af a f 1 ñ a a 1. Ha mindkettő teljesül, akkor f bijektív. Legyen X Ď A és f : A Ñ B egy függvény, ennek az X-re vett megszorítását jelölje F æ X, ez tehát egy X Ñ B függvény lesz: az X Ñ A identikus beágyazás (X Q x ÞÑ x P A) és f kompozíciója. Egy I indexhalmazzal indexelt xx i y ipi sorozat alatt azt az f : I Ñ X függvényt értjük, amire i f x i minden i P I-re. Speciálisan, egy rendezett elem n-es az egy, az t1, 2, 3,..., nu halmazon értelmezett függvényként interpretálható. o A konstrukciókban használni fogjuk a kiválasztási axiómát (amikor majd egy adott gráf bizonyos pontjaihoz lerögzítünk valahogy bizonyos éleket, pl. 2.7. tétel vagy 5.10. állítás). Valamint gyakran előfordul majd egy halmaz (vagy struktúra) több, egymástól diszjunkt, izomorf példányba való lemásolása. A későbbi példákban elvétve előfordulnak olyan közismertebb struktúrafajták, kifejezések, melyeket itt nem vezetünk be. Ezek a következők: - a 0.4. részben ismertetett monoidok és biaktok additív megfelelői: az (egységelemes) gyűrűk, és a gyűrűk közti bimodulusok; - Abel-csoportok, biaktok, valamint bimodulusok tenzorszorzata; - csoportok, azok kommutátor részcsoportjaik; - testek fölötti vektorterek, illetve csoportok lineáris reprezentációi; - ekvivalenciarelációk és velük való lefaktorizálás; - metrikus terek; - Boole-algebrák és relációalgebrák. Ezeknek a fogalmaknak a nagy része a legtöbb egyetemi jegyzetben szerepel, és mindegyik megtalálható a következő könyvek valamelyikében: [Kiss-Freud], [Simon], [Hirsh-Hod]. 8

o Az értekezésben sok helyen említünk olyan példát, amik a szó legtágabb értelmében a (Zermelo-Fraenkel féle, röviden ZFC) halmazelméletben nem állják meg a helyüket, például alább a 0.1. részben a halmazok kategóriájában (Set-ben) az objektumok összessége intuitíve az összes halmaz lenne, ami azonban nem alkot halmazt ZFCben! Az efféle problémák feloldhatók úgy, hogy a ZFC axiómarendszerhez az alábbiak szerint hozzáveszünk még egy axiómát, 1 és a példákat megszorítjuk egy, az új axióma szerint létező ún. Grothendieck univerzum halmazaira. Definíció. Egy U halmazt Grothendieck univerzumnak nevezzük, és elemeit kis halmazoknak hívjuk, ha 1. Kis halmazok elemei is kis halmazok: @x, y : x P y P U ñ x P U, 2. Egy vagy két kis halmaz halmaza kis halmaz: @x, y : x, y P U ñ tx, yu P U, 3. Kis halmaz hatványhalmaza kis halmaz: @x : x P U ñ ty y Ď xu P U, 4. Kis halmaznyi sok kis halmaz uniója is kis halmaz: @I PU : `@ipi : xi P U ñ ď x i P U. ipi Ezek a feltételek többek között biztosítják, hogy ha x, y P U, akkor az összes x-ből y-ba menő függvényt tartalmazó halmaz is kicsi. Ez elegendő ahhoz, hogy a kis alaphalmazokon értelmezett struktúrák és a köztük menő struktúratartó leképezések lokálisan kis kategóriát alkossanak a 0.1.-ben adott definíció értelmében. A ZFC-hez hozzáveendő axióma ekkor így szól: Minden X halmazhoz van olyan U Grothendieck univerzum, amire X P U. Ettől a kibővített axiómarendszer ekvikonzisztens marad a ZFC-vel, azaz ugyanannyira ellentmondásmentes. (Lásd pl. [Sonner], [Fef-Krei]). Most két példán keresztül bemutatjuk, hogy halmazelméletileg milyen limitálásokkal értelmezendőek a később bevezetésre kerülő kategóriák, bikategóriák, kettős kategóriák. 1 Szokás még például a Gödel-Bernays-féle halmazelmélet keretrendszerében dolgozni (ld. pl. [Bernays]), amelyben tárgynyelvi szinten beszélhetünk valódi osztályokról és halmazokról: ebben a megközelítésben egy H összességre vonatkozó kis jelző úgy olvasandó, hogy H halmaz. Egy harmadik feloldási mód, hogy olyan halmazelméletbe helyezzük a témakört, amelyben megengedettek az efféle totális konstrukciók, mint pl. minden halmaz halmazát tekinteni. Ilyen halmazelmélet létezik, ld. pl. Quine New Foundation rendszere, [Holmes]. 9

Először is, rögzítsünk le egy U Grothendieck univerzumot, ami tartalmaz végtelen halmazt, elemeire továbbra is kis halmazokként hivatkozunk. Tekintsük a fentebb említett és a 0.1. utáni 2. példában bevezetett Set kategóriát, továbbá a 1.1.7. példában bevezetett Span bikategóriát: mindkettőnél azt írjuk, hogy az objektumai a halmazok, de ezt igazából (e (kibővített ZFC) + rögzített U rendszeren belül) úgy értjük, hogy Set-nek és Span-nek is az objektumai a kis halmazok. Vagyis, ObSet U és ObSpan U. Span nyilai a kis páros gráfok, azaz olyan A Ð E Ñ B függvénypárok, ahol A, E, B P U. A definíció utáni megjegyzés következtében ekkor maga a két, kezdőés végpontot kijelölő függvény is U-ban van. 0.1. Kategóriák Egy irányított gráf alatt pontok és élek összességét értjük, ahol minden élnek meg van adva a kezdő- és végpontja. Formálisan tehát ez egy xp, E, k, vy négyes, ahol P és E halmazok, P elemeit pontoknak, E elemeit éleknek mondjuk, és k és v mindketten E Ñ P függvények: E k v P. Az α P E élhez hozzárendelt α k pontot α kezdőpontjaként, illetve az α v pontot α végpontjaként említjük. Azt a tényt, hogy egy α élre α k A és α v B, leggyakrabban ezzel a jelöléssel szoktuk kifejezni: α : A Ñ B vagy A Ñ α B, illetve egyéb nyílrajzulattal, attól függően, hogy a szóban forgó gráfban éppen hogy jelöljük az éleket. (Tehát az α : A Ñ B jelölés nem feltétlenül bármiféle halmazok közti függvényt takar.) Megengedjük, sőt használjuk a hurokéleket (α : A Ñ A) és párhuzamos éleket is (α, β :A Ñ B esetén α β nem feltétlenül teljesül). Két él, α és β, ilyen sorrendben egymást követő, ha α végpontja megegyezik β kezdőpontjával, azaz α v β k. Éleknek egy xα 1, α 2,..., α n y sorozatát n hosszú A-ból B-be menő (A B) útnak hívjuk, ha ezek ilyen sorrendben egymást követőek, valamint α 1 kezdőpontja A és α n végpontja B. Egy A pontot 0 hosszú (A A) útnak is tekintünk. Hasonlóan, egy A és egy B halmaz közti (irányított, egyirányú) páros gráf alatt formálisan egy xa, B, E, k, vy ötöst értünk, ahol E az élek halmaza, és k :E Ñ A, v : E Ñ B függvények. Mivel az A és B ponthalmazok kitüntetett szerepűek, sokszor diszjunktként tekintünk rájuk 2 innen a név, noha ezt explicite nem 2 Precízen, vehetünk mondjuk A helyett t0u ˆ A-t és B helyett t1u ˆ B-t, ezek már biztos diszjunktak. 10

követeljük meg. (Sőt, figyeljük meg, hogy pl. az A B szerepválasztás visszaadja az irányított gráf definícióját.) k E Egy ilyen páros gráfot az ún. villa diagrammal ábrázolunk: v A B, vagy olykor röviden csak így jelöljük: E :A B. A rá való hivatkozásnál néhol azonosítjuk a páros gráfot E-vel. 0.1. Definíció. Kategóriának nevezünk egy xg, y párt, ha G egy irányított gráf, és az egymást követő élpárjain adott lokálisan egységelemes asszociatív művelet, amit kompozíciónak (avagy összefűzésnek, helyenként szorzásnak ) nevezünk. Ez a művelet tehát minden xα, βy 2 hosszú A C úthoz (azaz, egymást követő élpárhoz) egy α β-val jelölt A Ñ C élt rendel úgy, hogy pα βq γ α pβ γq, minden xα, β, γy 3 hosszú útra, valamint a gráf minden A pontján van egy (1 A -val jelölt) A Ñ A lokális egységelem, amire minden A-ba érkező α-ra α 1 A α, és minden A-ból induló β-ra 1 A β β teljesül. Ha minden A, B pontpárra az A-ból B-be menő nyilak halmaza kicsi, a kategóriát lokálisan kis kategóriának nevezzük. Ez a feltétel a legtöbb példánkban teljesülni fog, igazi jelentősége pedig a hamarosan bevezetésre kerülő hom-funktor értelmezésénél lesz. A pontokat objektumoknak, az éleket nyilaknak vagy (homo-)morfizmusoknak is nevezzük. Az 1 A egységnyilat úgy is hívjuk, hogy A identitása. Egy A kategória objektumainak összességét ObA jelöli, a nyilak összességét meg maga A. Ha ez kis halmaz, A-ról azt mondjuk, hogy kis kategória. Az A Ñ B nyilak halmazát hom-halmaznak hívjuk és ApABq-vel jelöljük, esetleg csak pabq-vel, ha a szóban forgó kategória világosan kiderül a szövegből. A kompozíciót alapjában véve minden kategóriában balról jobbra értjük, összhangban a fentebb bevezetett függvénykompozícióval. (Illetve a későbbiekben helyenként felülről lefele is.) Ha egy kategória két egymást követő élpárjára α β γ δ, akkor azt mondjuk, hogy az γ α γ # β δ α δ β négyzet kommutál. Ezt rajzban a # szimbólummal jelöljük, így: Példák. 1. Bármely halmazra tekinthetünk mint ponthalmaz, és elláthatjuk formális identitásnyilakkal, így egy ún. diszkrét kategóriához jutunk (amiben minden nyíl 11

identitásnyíl). Precízen, ha adott az A halmaz, tekintsük az xa, A, id A, id A y gráfot, ebben az élek (akárcsak a pontok) A elemei, az a P A élnek a kezdőpontja és a végpontja is az a pont, tehát az egymást követő élpárok csak az xa, ay párok lehetnek, a kategóriában a kompozíció pedig xa, ay ÞÑ a. 2. A halmazok kategóriáját jelölje Set: ennek az objektumai a (kis) halmazok, a nyilai a függvények, az összefűzés a függvénykompozíció. Mivel a fenti értelmezés szerint, ha f : A Ñ B egy függvény és B Ď C, akkor ugyanúgy f :A Ñ C is írható. Hogy a végpont leképezés mégis egyértelmű legyen, formálisan a függvények helyett az xa, f, By hármasokat szokás Set morfizmusainak tekinteni, ahol f : A Ñ B függvény, és A, B kis halmazok. Hasonlóan értelmezendőek a további példák is. 3. A csoportok kategóriájában az objektumok a (kis halmazokon értelmezett) csoportok, a nyilak a homomorfizmusok, az összefűzés függvénykompozíció. 4. Analóg módon értelmezhető bármely algebrai struktúrafajták kategóriája, pl. az Abel-csoportok, az egységelemes gyűrűk, vagy a monoidok kategóriája. 5. Az irányított gráfok kategóriájában az objektumok az irányított gráfok, és a nyilak az úgynevezett gráfmorfizmusok: olyan függvények, amik ponthoz pontot, élhez élt rendelnek, és megtartják a kezdő- és végpontokat. Precízen, ha G xp, E, k, vy és G 1 xp 1, E 1, k 1, v 1 y irányított gráfok, akkor egy f : G Ñ G 1 alatt egy f xf P, f E y függvénypárt értünk, ahol f P : P Ñ P 1 és f E :E Ñ E 1, valamint E k P f E # E 1 P 1 k1 f P és E v P f E # f P. E 1 v1 P 1 6. Hasonlóan, egy E : A B páros gráfból egy E 1 : A 1 B 1 -be menő (páros gráf)-morfizmus alatt egy xf A, f E, f B y függvényhármast értünk, amelyre E A f B # E # f A E 1 A 1 B 1 f B. 7. Egy A kategória nyílkategóriája az az A Ñ, aminek pontjai az A nyilai és nyilai az A kommutatív négyzetei, tehát, A Ñ pf gq : txα, βy f β α g, azaz α f # β g u. 12

o Funktor alatt két kategória közt egy olyan gráfmorfizmust értünk, ami identitáshoz identitást rendel, és megtartja az összefűzést, vagyis, (jelben F :A Ñ B), - ha α P A, α:a Ñ A 1 esetén α F :A F Ñ A 1 F, - ha α, β P A egymást követőek, akkor pα βq F α F β F, - minden A P ObA-ra 1 A F 1 A F. F egy funktor A-ból B-be A kategóriák és funktorok maguk is kategóriát alkotnak, jelöljük ezt Cat-tal: ennek az objektumai a kis kategóriák, a nyilai a köztük menő funktorok, és az összefűzés a függvénykompozíció. Azt mondjuk, hogy B teljes részkategóriája A-nak, ha feszített részgráf, azaz B Ď A és minden B, B 1 P ObB és α : B Ñ B 1 P A esetén α P B. Általánosabban, ha egy B Ď A nyílhalmaz zárt az összefűzésre, és minden β P B, β :X Ñ Y esetén 1 X és 1 Y benne van B-ben, akkor (ObB : tx P ObA 1 X P Bu objektumhalmazzal együtt) A-nak egy részkategóriáját alkotja. Az F :B Ñ A funktor [teljes] beágyazás, ha F injektív (a pontokon és a nyilakon is), és értékkészlete [teljes] részkategória A-ban. Egy kategória ϕ : A Ñ B nyila balinvertálható, ha van olyan ψ : B Ñ A, hogy ψ ϕ 1 B. Duálisan értelmezzük a jobbinvertálható nyilat. Egy kategória két objektuma, A és B izomorf (jelben A B), ha van köztük egy mindkét oldalról invertálható ϕ : A Ñ B nyíl. Könnyen adódik, hogy ekkor ϕ bármely balinverze megegyezik bármely jobbinverzével, tehát egyetlen egy, mindkét oldali inverze van, amit ϕ -1 jelöl. Az invertálható nyilakat izomorfizmusoknak is hívjuk. Az izomorf objektumokat kategóriaelméletileg (azaz a nyilak nyelvén ) nemigen tudjuk megkülönböztetni egymástól: ha A A 1, akkor az A-ból induló [ill. A- ba érkező] nyilak egy az egyben megfelelnek az A 1 -ből induló [ill. oda érkező] nyilaknak. Legyenek A 1,.., A n egy adott A kategória objektumai. Ezek direkt szorzata alatt egy olyan P P ObA objektumot értünk, amihez adva vannak p i : P Ñ A i úgynevezett projekció -nyilak (i 1,.., n), hogy akárhogy is veszünk egy közös X P ObA objektumból induló pf i q i nyílcsaládot (f i : X Ñ A i ), az egyértelműen átvezethető a pp i q i nyílcsaládon, úgy értve, hogy D!s:X Ñ P : @i : pf i s p i q Ez, izomorfizmus erejéig egyértelműen definiálja P -t, már ha létezik, és ekkor ezt a P -t A 1 ˆ A 2 ˆ... ˆ A n -nel jelölik. Ha n 0-val elismételjük a fentieket, a végobjektum fogalmához jutunk: végobjektuma az A kategóriának, ha minden X objektumból pontosan egy nyíl megy P -be: D!s:X Ñ P. P 13

Egy ilyen n tényezős direkt szorzatot szinte minden konkrét példában a megfelelő elem n-esekből álló struktúra jeleníti meg, a végobjektumot ugyanakkor az egyelemű struktúra. Nincs ez másként a kategóriák kategóriájában, Cat-ben sem: Ha A 1,.., A n P ObCat, akkor az A 1 ˆ... ˆ A n direkt szorzat pontjai legyenek az xa 1,..., A n y pontsorozatok, az ilyenek közti nyilak a (koordinátánként köztük menő) xα 1,..., α n y nyílsorozatok (α i P A i ), ezzel összhangban xα 1,..., α n y k : xα k 1,..., α k ny, xα 1,..., α n y v : xα v 1,..., α v ny, és az összefűzés is koordinátánként értelmezett. Az üres direkt szorzat pedig legyen az egy objektumú diszkrét kategória (Cat végobjektuma). A direkt szorzatot ugyanígy fogjuk használni esetlegesen nem kis kategóriákra is. Ha egy A kategória nyilait és vele együtt az összefűzést is megfordítjuk, akkor az A op ellentett kategóriáról beszélünk, ennek tehát a kompozícióját a g f : f g határozza meg, és a végpont és kezdőpont A Ñ ObA függvények értelemszerűen felcserélődnek. Minden lokálisan kicsi A kategória meghatároz egy A op ˆ A Ñ Set funktort, a hom-funktort, amely az xa, By objektumpárhoz az ApA Bq hom-halmazt rendeli (ami kis halmaz, így valóban Set objektuma), és az xα, βy nyílpárhoz az f ÞÑ α f β függvényt. Az ellentett-kategória révén jön egy kézenfekvő dualitás a kategóriaelméletben: Ha valamely fogalmat a nyilak (-ból kirakott diagramok) nyelvén meg tudunk fogalmazni, annak rögvest ott van a duális fogalma, amit néhány kivételtől eltekintve mindig a fogalom neve elé helyezett ko- előtag jelez. A direkt szorzat duálisa (koszorzat avagy koproduktum) a kategóriák körében éppúgy mint a halmazok vagy gráfok körében, a diszjunkt unió: fogjuk a szóban forgó kategóriák egy-egy egymástól diszjunkt izomorf példányát, és ezek unióját vesszük, jelben A \ B. Legyen adott egy A kategória, és képezzük ennek az A Ñ nyílkategóriáját. Jön két egyszerű, de fontos funktor A Ñ dom A : az egyik (dom) a baloldal funktor, cod a másik (cod) a jobboldal funktor, melyek egy A Ñ B nyílhoz mint A Ñ -beli objektumhoz A-t illetve B-t rendelik, egy kommutatív négyzethez pedig annak a bal illetve jobb oldalát. Azt mondjuk, hogy ϕ:f ùñ G természetes transzformáció az F, G : A Ñ B funktorok közt, ha ϕ voltaképpen egy A Ñ B Ñ funktor (A pontjaihoz B-beli nyilakat rendel) úgy, hogy ϕ dom F és ϕ cod G. Ekkor tehát A ϕ : A F Ñ A G minden A P ObA-ra, és ezen A ϕ nyilak összessége, ha meg 14

van adva F és G, már meghatározza ϕ-t. A ϕ:f ùñ G és ψ :G ùñ H természetes transzformációk (függőleges) kompozíciója alatt az A ÞÑ A ϕ Aψ természetes transzformációt értjük. Egy ϕ : A Ñ B Ñ természetes transzformációt természetes izomorfizmusnak nevezünk, ha minden A P ObA objektumhoz a hozzárendelt A ϕ nyíl egy B-beli izomorfizmus. 0.2. Reflexiók 0.2. Definíció. Legyen B teljes részkategóriája A-nak, és legyen A P ObA. Ekkor egy f : A Ñ B nyílról azt mondjuk, hogy A reflexiónyila B-be, ha B P ObB és minden B-be menő g : A Ñ B 1 nyíl egyértelműen átvezethető f-en, azaz D!h P B : g f h. A f B D! h @g Ugyanekkor a B-beli B pontot illetve a h nyilat az A illetve a g (f általi) vetületének B 1 hívjuk. Ugyanezt a jelenséget úgy is szokták fogalmazni, hogy f univerzális tulajdonságú az A-ból induló B-be érkező nyilak között. Azt mondjuk, hogy B reflektív részkategória A-ban, ha A minden objektumának van vetülete B-ben. A duális fogalmak a ko-vetület avagy koreflexió, illetve a koreflektív részkategória. Tehát A ko-vetülete a B a B teljes részkategóriában, ha van olyan f : B Ñ A (koreflexió-) nyíl, amire @g :B 1 Ñ A D!hPB : g h f. Központi jelentőségű lesz a következő ismert tény: izomorfizmus erejéig egyértelmű. egy objektum vetülete 0.3. Állítás. Legyen B Ď A teljes részkategória. Ekkor a következők érvényesek: a) Amennyiben B és B 1 is vetülete A-nak B-ben, úgy B B 1. b) Legyen f :A Ñ B egy reflexiónyila A-nak B-be. Ekkor egy f 1 :A Ñ B 1 nyíl (ahol B 1 P ObB) pontosan akkor lesz szintén reflexiója A-nak, ha van egy t : B Ñ B 1 izomorfizmus, amire fẗ f 1. Az ilyen t ekkor mindig egyértelműen meghatározott. c) Tegyük fel, hogy A B, B P ObB. Ekkor B az A vetülete B-ben. Bizonyítás. Az a) és c) állítás mindkettő közvetlen folyománya b)-nek, így elegendő azt megmutatni. Tegyük fel először, hogy adott egy A-ból induló másik reflexiónyíl, f 1 : A Ñ B 1. Mivel f reflexiónyíl és B 1 P ObB, van egyetlen t P B az f 1 -hez, hogy f t f 1, és f- hez is csak egy ilyen van, méghozzá az 1 B. Hasonlóan, minthogy f 1 is reflexiónyíl, D!t 1 PB : f 1 t 1 f, de akkor f t t 1 f 1 t 1 f f 1 B miatt t t 1 1 B. Ugyanígy 15

t 1 t 1 B1. Tehát t 1 t -1. Ha meg f 1 f t egy t : B Ñ B 1 izomorfizmusra, akkor tetszőleges g : A-ból B-be menő nyílhoz D!h : g fḧ, így ez f 1 -en is egyértelműen vezethető át: g f 1 ẗ -1 ḧ. Példák. 0.2.1. Tekintsük a csoportok (és homomorfizmusaik) kategóriájának az Abel csoportok Ab teljes részkategóriáját. Ekkor egy G csoport vetülete Ab-ban a G { rg, Gs kommutátor szerinti faktorcsoportja (illetve minden ezzel izomorf csoport), a reflexiónyíl pedig a kanonikus G Ñ G { rg, Gs leképezés. 0.2.2. Legyen adva egy A kategória két ugyanoda menő nyila: f : B Ñ D és g : C Ñ D, tekintsük ezekhez az A kategóriának egy fiktív, mondjuk -gal 88 B f jelölt objektumával vett P f,g bővítését, amelyben az A Ñ nyilak az A 88 D C g kommutatív négyzetek, és -ból az identitáson kívül nem indul nyíl. Az összefűzés értelemszerű. Ebben a P f,g kategóriában a pont A-ban vett ko-vetületét úgy hívják, hogy pullback: ezen tehát minden f, g jobbalsó szélű kommutatív négyzet egyértelműen átvezethető. Set-ben egy f :B Ñ D és g :C Ñ D nyílpár pullback-je reprezentálható a txb, cy P B ˆ C b f c g u halmazzal. A pullback duálisát, az egy pontból induló f, g nyílpár pushout-ját jelen tézisben nem használjuk. 0.2.3. Hasonlóan, bármely diagram limeszét lehet így koreflexióval, kolimeszét pedig reflexióval jellemezni (ld.pl. [JoyCat], 13.27). Amit még használni fogunk, az egy adott A kategóriabeli párhuzamos X f Y nyílpár koegyenlítője: g ehhez az A-t bővítsük megint egy objektummal, amiből indulva a Ñ A nyilak legyenek azon t : Y Ñ A A-beli nyilak, amelyekre f t g t, és vegyük a bővített kategóriában a pont A-beli reflexióját (már ha létezik). Ezt Set-ben reprezentálja az a halmaz, amit úgy kapunk, hogy az Y -beli x f és x g elemeket azonosítjuk egymással (minden x P X esetére): X f Y Y { g ahol tehát az a legszűkebb ekvivalenciareláció, amire @x : x f x g. A fenti pullback tehát megkérdezi B-t és C-t, hogy az f és a g hol egyenlő, a koegyenlítő pedig felszólítja Y -t, hogy f és g legyenek egyenlőek. 0.3. Idempotensek Egy e:a Ñ A nyilat idempotensnek hívunk, ha e e e. 16

Figyeljük meg, hogy ha valamely x f, g y nyílpár kompozíciója egyik irányból az AÑBÑA identitás (azaz f g 1 A ), akkor a másik irányból, g f idempotens [ugyanis: g f g f g 1 A f g f]. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy a g f : B Ñ B idempotens felhasad (az A objektumon keresztül, g-re és f-re). Az A kategória idempotensen teljes (avagy, Cauchy-teljes 3 ), ha minden idempotens nyila felhasad. Minden kategória kibővíthető egy idempotensen teljes kategóriává, erre a 3. fejezetben szükségünk lesz. 0.4. Definíció. Egy adott A kategória idempotens bővítése alatt azt az A id kategóriát értjük, aminek objektumai az A idempotens nyilai, és amiben e, f P ObA id közt akkor megy az eredeti α P A nyíl, ha e, α, f összefűzhetőek és e és f bal- ill. jobbegységként viselkedik α-ra nézve: e α f α. Hogy a nyilak eleje és vége A id -ben meghatározott legyen, precízen ezen xe, α, fy nyílhármasokat szokás venni: A id : txe, α, fy e α f αu. Az összefűzés marad az eredeti: xe, α, fy xf, β, gy : xe, α β, gy, az egységnyilak (identitások) az xe, e, ey hármasok lesznek. Az A ÞÑ 1 A (és nyilakon α ÞÑ x1 A, α, 1 B y) megfeleltetés A-nak egy teljes AÑB beágyazása A id -be, s minthogy az összefűzést A-tól örökli, A id -ben ugyanazok a nyilak lesznek idempotensek, és ezek A id -ben immár mind felhasadnak: ha e:a Ñ A idempotens, akkor A id tehát idempotensen teljes. x1 A, e, 1 A y x1 A, e, ey xe, e, 1 A y. 0.5. Állítás. Egy A kategória e : B Ñ B idempotense pontosan akkor hasad fel az A objektumon keresztül, ha A id -ben 1 A e. Bizonyítás. Mindkét állítás olyan A-beli x f, g y nyílpár létezéséről szól, melyre AÑBÑA g f e és f g 1 A (ez már maga után vonja azt is, hogy x1 A, f, ey P A id és xe, g, 1 A y P A id, mármint hogy 1 A f e f és e g 1 A g). o 0.4. Monoidok Monoidnak, avagy egységelemes félcsoportnak nevezünk egy asszociatív művelettel ellátott halmazt, amelyre nézve a halmazban van egy egyszersmind bal és jobb oldali egységelem. A műveletet egyszerűen egymás mellé írással jelöljük, az egységelemet 3 A metrikus terek háromszögegyenlőtlensége dpa, bq ` dpb, cq ě dpa, cq és a kategóriák összefűzés művelete pabq ˆ pb Cq Ñ pacq közti analógia explicitté tehető lásd [Lawvere], és e tekintetben a kategóriák idempotens teljességének a metrikus terek Cauchy-teljessége felel meg, amikor is minden Cauchy-sorozat konvergens. 17

1-gyel. Tehát minden x, y, z elemére xpyzq pxyqz és 1x x x1 teljesülnek. Legyenek A és B monoidok. Egy f : A Ñ B függvény homomorfizmus köztük, ha az A-beli egységelemet a B egységelemébe viszi, és minden a, a 1 P A elemekre paa 1 q f a f a f 1. Természetesen a monoidok és homomorfizmusaik is kategóriát alkotnak, a monoidok kategóriáját. Az A és B monoidok közti két oldali hatás vagy idegen szóval biakt, az egy M halmaz, ellátva egy A ˆ M Ñ M és egy M ˆ B Ñ M függvénnyel (amiket szintén egymás mellé írással jelölünk), úgy, hogy 1m m, m1 m, pamqb apmbq, a 1 pamq pa 1 aqm és pmbqb 1 mpbb 1 q teljesül minden a, a 1 P A, m P M, b, b 1 P B elemekre. Egy A és B monoidok közti biaktot röviden így jelölünk: M : A B. Ha M : A B és N : C D monoidok közti biaktok, f : A Ñ C és g : B Ñ D monoidhomomorfizmusok, akkor egy h : M Ñ N leképezést f, g menti biakthomomorfizmusnak nevezünk, amennyiben minden a P A, m P M, b P B elemekre pambq h a f m h b g. Gyakran használt speciális esetben A C, B D és f és g is identitás. Ezeket a konfigurációkat később így is ábrázoljuk: A M f h B g C N D illetve A M h B N Példák. 1. Minden A monoid tekinthető A A biaktnak: a bal és jobb oldali hatást is az eredeti monoidműveletként értelmezve. 2. Bármely, egységelemes gyűrűk közti bimodulus magában foglal egy biaktot, amit úgy kapunk, hogy az additív struktúrákat egyszerűen figyelmen kívül hagyjuk. 3. Hasonlóan, egy G csoport K test feletti lineáris reprezentációja egy V vektortéren (jobboldali hatással) meghatároz egy K G biaktot: a vektortér struktúrából adódóan K multiplikatív monoidja balról hat V -n, míg G a reprezentáció szerint jobbról. A két hatás felcserélhetősége (a fenti pamqb apmbq kitétel) abból következik, hogy G minden eleme V -nek egy lineáris transzformációját határozza meg a reprezentációban. Legyenek A, B, C monoidok, M egy A-B-biakt, és N egy B-C-biakt. Értelmezzük ekkor az M ˆ N tenzorszorzatot az alábbi módon: B M ˆ N : M ˆ N { B 18