Egymásb ít testek 8/I 8/ R $ sin 8 z R sugú köbe íhtó szbályos nyolcszög teülete: T nyolcszög 8 R gúl téfogt: gúl $ $ R $ kúp téfogt: kúp R $ téfogtok különbsége: D b- l 6b- l, 88dm R 8 eset: beleíhtó kúp gúl lplpjánk teülete Heon-képlettel: T lp s$ ( s-)( s-b)( s- c) 0 cm gúl lplpjánk teülete beít kö sugávl T és háomszög oldlivl: T lp s lp 6 cm beleíhtó kúp téfogt: s kúp $ 7 cm eset: köé íhtó kúp gúl lplpjánk teülete köülít kö sugávl és háomszög bc bc oldlivl: T lp R 7 cm köé íhtó kúp téfogt: R T kúp R $ 68 0 8 cm lp 8 eset: köé íhtó kúp szbályos tizenkétszög köé íhtó kö sug: R, 8 cm sin gúl köé íhtó kúp téfogt: kúp R $ 8, 6 cm eset: beleíhtó kúp szbályos tizenkétszög beíhtó köének sug: tg, cm gúláb íhtó kúp téfogt: kúp $ 677, 78 cm 8 gúl szbályos htszög lplpjánk beít köe kúp lpköe szbályos htszög lpú gúl téfogt: gúl $ $ $ 6 $ $ $ kúp lpköének su- g htszög egy középponti háomszögének mgsság:
6 Összetett tégeometii lkztok 86 J N K O kúp téfogt: kúp $ $ $ K O L P hulld e hulldék téfogt: hulldék gúl - kúp k k up 6 - - - 0, 0 gl u 6 8 gúl lpéle: R gúl fedôéle: b csonkgúl m J N R + R K b l $ + b l O L P m ( R R + + ) 86 z áb szeinti jelölésekkel: 8, c 80 - $ 8 6 $ tg és b b cos 8 $ sin 6 $ b$ cos 8 tg gúl lplpjánk teülete: T lp gúl téfogt: gúl b $ $ sin 6 kúp téfogt: 6 kúp b tg $ cos 8 $ $ k up tg $ cos 8 $ két téfogt ány: z dtokt behelyettesítve: kúp á sin 6 0, 0 m gl u 87 kúp lpköe gúl lplpjánk köülít köe négyzet oldl: R tengelymetszet háomszögbôl R gúl b Rl R 8 7, cm z oldllp háomszögbôl m R - R 7 R $ R$ R 7 gúl b Rl + $ R b+ 7l 6, 6 cm 88 Tekintsük 86 ábát! b, 7 cm, 6 cm kúp lpköe gúl lp háomszögének beít köe szbályos háomszög beít köének sug mgsság hmd cm FOD deékszögû háomszögben: m 8 cm t BD 7 $ 6, 78 cm 8 gl u 8 feldt feltétele szeint: $ Pitgosz-tételbôl: + kettôt összevetve:
Egymásb ít testek 7 0 feltétel szeint: $ 0 Pitgosztétel KOP deékszögû háomszöge: R + kettôt 6 összevetve: R és R dódik henge téfogt: 6 6 6 henge $ R $ R R Jelölje henge sugát, gömb sugát R feltétel szeint henge mgsság henge + $ 6 gömb R R R henge $ henge gömb 0, 7 R Tekintsük 0 ábát feltétel szeint: $ $ $ Pitgosztételbôl: R + kettôt összevetve: + -6 + 0 6 két megoldás vn: + és - Tekintsük gömb és beít kúp tengelymetszetét: { 6,7 gömb téfogtából gömb sug: R 08, cm z BC egyenlô száú háomszögben: R sin 6, 7 7, cm CFB deékszögû háomszögben: tg 8, 77, cm kúp téfogt: $, 0 cm R Pitgosz-tétel CFB-e: R + R R$ félgömb R $ T plást R$ $ R$ $ R$ R $ $ flgmb e q R T plst R
8 Összetett tégeometii lkztok Tekintsük ábát R Thlész-tétel mitt DB 0 DB z BC egyenlô száú háomszög szához ttozó mgsság z BC szá z FC deékszögû háomszögbôl: C R + R R z BC teülete: R $ BD R R $ BD R 6R Pitgosz-tétel z BD deékszögû háomszöge: D R - R CD C - D R $ - $ R $ $ R $ DEC + BC, met szögeik egyállású szögek CD $ R $ m $ R C R R $ R 6 Tekintsük ábát R feltételt felhsználv z FC-e felít Pitgosztételben: C R + R R Thlész-tétel mitt z DB 0 BD + CF, R met -nál levô szögük közös, és mindkettô deékszögû m B : C D : F R D R R R D DC C - D R - gömb áltl levágott kúp C középpont vontkozón hsonló z eedetihez hsonlóság ány: m R R DC : C : R két kúpplást teületének ány: t m T 6 t T gömb belsejében levô plástész teülete: T- t T- T T keesett ány: t :( T- t) : 6 000 7 Tekintsük ábát! { gömb felszínébôl sug: R 8, cm BC-bôl R sin á 6, cm BFC deékszögû háomszögbôl: tg, cm kúp téfogt: kúp $ 6, 6 cm 8 Tekintsük kúp és beít gömb tengelymetszetét! Pitgosz-tétel z FC deékszögû háomszöge:,6 + 8 88, dm z BC teülete: 8 u 6 dm ( + ) $ u $ (8,8 +,6) u,6 $ 8, gömb $ u $ 70, 08 dm Tekintsük 8 ábát feldt feltétele: u 6u () kúp mgsság Pitgosz-tételt felhsználv: - tengelymetszet te- ülete: $ ( + ) $ u $ - ( + ) $ u ( + u ) -t ()-be helyettesítve: - u
Egymásb ít testek ( + u ) 00 $ 6u 6u - u + 0 u, - u u Két megoldás vn z egyik esetben gömb sug, z lkotó, másikbn sugá és z lkotó 00 háom test közös tengelymetszete lpján: m, BC egyenlôszáú háomszögben: CB 7 ; CF R$ sin 7 R, m CFB-ben: tg CF 7, m cos CB, m z BC teülete: (CB + ) $ u CF $ u 0, m CB 0 Tekintsük ábát R cm, cm CFB deékszögû háomszögbôl: sin { {, 0 {, 0 BC egyenlô száú háomszögbôl: 8 R R$ sin, 0 R 76, cm gömb 6, 7 cm, dm 0 8 áb jelöléseivel: kúp egyenlô oldlú BC szbályos u $ $ u cm gömb cm 68, 08 cm 0 áb jelöléseit hsználjuk Feltétel: $ $ $ $ OFB deékszögû háomszögben Pitgosz-tétel: R ( - R) + - R + 0 () CFB deékszögû háomszögben Pitgosz-tétel: + + 8 8 " ()-be: - R+ 0 R R kúp $ $ $ R 7 0 izsgáljuk kúp tengelymetszetét (például áb CFB háomszögében ) Pitgosz-tétel CFB deékszögû háomszöge: - $ kúp + $ $ kup, gömb kup $ $ $, kup gmb q 0 Pitgosz-tétel áb CFB háomszögée: - kúp + $, gömb R feltétel szeint R R
0 Összetett tégeometii lkztok kúp $ $ gömb R $ $ $ $ 8 kup gmb q 06 Tekintsük 8 ábát kúp egyenlô oldlú BC szbályos u kúp + $ kup ; gömb u kup kúp $ gömb u 7 07 eset: gömb köé ít kúp 8 áb jelöléseit hsználjuk, kúp + $ ; gömb u kup kúp $ gömb u kúp egyenlô oldlú BC szbályos u kup 7 eset: gömbbe ít kúp áb jelöléseit hsználjuk, kúp egyenlô oldlú BC szbályos R 08/I kúp + $ ; 6 gömb R 6 k up 8 kúp $ gömb R $ 7 k up 6 kúp gömb $ kúp kúp 6 kúp : gömb : kúp : : 6 : 6 : kúp gömb $ kúp 8 kúp kúp : gömb : kúp 8: : 7 : : 08 csonkkúp plástjánk teülete: T plást ( b + c) ( b+ c) Tekintsük gömbök és kúp tengelymetszetét FE FE FE, met külsô pontból húzott éintôszkszok FE
Egymásb ít testek b c tpéz középvonlánk fele, ezét FE + Pitgosz tétele z O TO deékszögû háomszöge: + ( - ) ( + ) T plást $ $ 60 0, 6 cm 0 Tekintsük 8 ábát OEC + BFC, met C-nél levô u - u szögük közös és mindkettô deékszögû m 80-00 cm és cm kúp +, dm kúp $, 7 dm 0 Tekintsük 8 ábát z BC teülete: $ Pitgosz-tétel z FBC de- ( + ) $ u 7 ( + ) $ ékszögû háomszöge: + + 7 6 6 + 6 á 07, cm á 0, 7 dm és 0 6 kúp + k up + Tekintsük 8 ábát k k ( + ) ku (*) z u BC teülete: ( + ) u + u Pitgosz-tétel z FBC deékszögû háomszöge: + + u + ( + ) u + (*) egyenletbôl $ ( ) k $ u k$ u -, illetve + összefüggéseket Pitgosz-tételbe helyettesítve: 8ku $ - 6k u $ + 6k u 6 0 -ben negyedfokú egyenlethez jutunk Ennek megoldási: u k + k( k - ) vgy u k- k( k- ), h k $ kup k u Tekintsük 8 ábát k $ k $ (*) z BC gmb q u teülete: ( + ) u + + u -et (*)-b beív: $ $ u k $ u k$ u - Pitgosz-tétel z FBC deékszögû háomszöge: + J k u $ - N J k $ u N K O + K O Ennek egyszeûbb lk hozásából K O K O L P L P 8ku $ - 6k u $ + 6k u 6 0 -ben negyedfokú egyenlethez jutunk Ennek megoldási: u k + k( k - ) vgy u k- k( k- ), h k $ 08/
Összetett tégeometii lkztok k up + + áb jelöléseit lklmzzuk: + flgmb e q + 8 { feltétel szeint + sin {, 7 gmb q u Tekintsük 8 ábát u CFB deékszögû Tlp háomszögben FBC 0 - { OB felezi z FBC -et FBO - { OFB deékszögû háomszögben tg - K J { N u { 60 O L P Tekintsük 8 ábát k up n$ g qmb + n$ u + nu (*) z BC teülete: $ u( + ) mindkét oldl -el vló szozás után u $ ( + ) (*) összefüggést felhsználv: u$ nu nu $ u $ n k up g qmb$ n 6 kúpok közös észe egy kettôs csonkkúp két kúp síkszimmetikus gömb középpontján átmenô, kúpok közös tengelyée meôleges sík közös észt lkotó két csonkkúp közös lpköe ebben síkbn vn, középpontj zonos gömb középpontjávl CB 0 Thlész-tétel mitt BT T k $ R feltétel mitt T TB R - kr ( - k)r gsságtétel z CB deékszögû háomszög TC mgsságá: k$ R$ ( - k) $ R R k( -k) lklmzzuk páhuzmos szelôszkszok tételét CB, és szelôie: T R - k R T kr k k T ( kr ) k k - - - R( -k) T kr k k ( k- ) $ R$ két kúp közös észének téfogt: közös csonkkúp ( + + ) ( k-) $ R$ k k k J - - - N R + R ( - k) + R ( - k) K k k k O L P 6/I 6/
Egymásb ít testek ( k-) ( -k) R 7 ( 7- k+ k ) közös ész és gömb k k qq z s ( k ) ( k) ( 7 k k ) téfogtánk hánydos: - - - + gqmb k 7 gömbök téfogtánk ány sugk ányánk köbe J N K R R O O 8 E középvonl z O E C-ben: L P CO O O + FO + O O + O C + + 8 CO E + CFB, met mindkettô deékszögû és C-nél levô szögük közös m u Pitgosztétel z FBC deékszögû háomszöge: u u + (8) u 6 u 6 kúp u + u kúp u $ 8 8 áb jelölései szeint: z BC teülete: $ ( + ) $ u feltételt felhsználv: u két dbot szétszedve és z egyiket tengelye köül 80 -kl elfogtv összeilleszthetôk úgy, hogy együtt egyenes henget lkossnk Ennek hengenek téfogt megegyezik könyökcsô téfogtávl henge lpköének sug, mgsság + b keesett téfogt: $ ( + b) 0 fôkömetszet: 0/I áb OO OO R - u; O O u; O OO u R sin, sin, u sin R - u + sin, 0/I cos - - összefüggést felhsználv sin, - R - u + - z fôkömetszete meôleges fôkömetszet: 0/ áb KO R - ; KO + u; OO R - u Pitgosz-tétel z O OK deékszögû háomszöge: (u+) (R-u) +(R-) RR ( - u) R+ u koábbn u- kpott összefüggést felhsználv: R - u R e+ - o R és R + u + - + - 0/
Összetett tégeometii lkztok Ezeket felhsználv megfelelô lgebi átlkítások után: Re+ - - - - o 0, 7R Bontsuk fel tetédet beít gömb középpontjából csúcsokhoz vezetô szkszokkl négy tetédee Ezeknek tetédeeknek egy-egy lpj közös z eedeti tetédeel, $ mgsságuk pedig beít gömb sug, Pitgosz-tétel z SB deékszögû háomszöge: x -b Pitgosz-tétel z SC deékszögû háomszöge: C y x ( -b ) CB egyenlô száú háomszögben BF mgsság felezi z C lpot Pitgosz-tétel BFC y deékszögû háomszöge: m + y-t behelyettesítve és megfelelô átlkításokt + b x b elvégezve: m tetéde téfogt: $ $ b $ $ ( -b ) tet- + b ( - b ) xb x y $ m - b éde felszíne: b b $ + + - + + beíhtó gömb sug felszín és téfogt összefüggés felhsználásávl megfelelô lgeb- b$ - b i átlkítások után: b+ - b + + b kock köé íhtó gömb középpontj testátlók metszéspontj, sug testátló fele: R kock élfelezéspontjin átmenô gömb középpontj testátlók met- széspontj, sug lpátló fele: kock beít gömbjének középpontj testátlók metszéspontj, sug z él fele: u ; R : : u : : : : $ b b szimmeti mitt OS b, hol S z lblcl háomszög középpontj lblcl szbályos háomszögben lt ; ls lt $ lso deékszögû háomszögben lo R; ls ; OS $ Pitgosz-tétel z 8
Egymásb ít testek lso deékszögû háomszögben: J N J N K O K O + R K 8 O K O L P L P 7 7 + R R gqmb sug R 6 8 gömb - 6 gömbsüveg ; gömb - 6P gömbsüveg + 6T kö Tekintsük z átlós metszetet! R és és m R- ( -) gömb R és ( - ) gömbsüveg m ( R - m ) ( - ) ( - 8 ) dob o kock -6 $ /I / gömb R és T kö és P gömbsüveg Rm ( - ) ( - ) ( 6 - ) dobo kock -6$ + 6 $ téfogtú felszínû gúláb ít gömb sug ; z oldllp teülete J N K O K O $ + K O $ K tg O L n P tg T0, gúl T n n n $ $ és tg n $ $ + J N tg tg nk gúl T n T n n n n + tg $ + O K O + $ 0 $ + n$ L P ; tg n gl u $ gl u + tg + n
6 Összetett tégeometii lkztok 7/I 7/ 6 oktéde 8 $ cm R gmb q cm és gmb q, 6 cm 7 középpontok egy oldlú kock csúcsi C Tekintsük z átlós síkmetszetet! ETO deékszögû háomszögben ET ; OT C ; OE R - Pitgo- sz-tétel z ETO deékszögû háomszöge: + ( ) ( R- ) + R- R 0 R! R, - másodfokú egyenlet pozitív megoldás gömb sug - R 8 Legyen külsô kock éle, belsô kock éle b, gömb sug R Tekintsük négy él J bn J N b felezôpontjá illeszkedô síkmetszetet és z átlós síkmetszetet: R; K O + R K O K O L P L P d b R feldt dti szeint - b d R - R d R J N K O - K O L P + d; + b+ l + d; b $ d d 8/I 8/