OKTV 006/007. A döntő feladatai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y x és y x!. Egy tengelyesen szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai AB és CD. A DC; CB és BD szakaszok hosszai ebben a sorrendben egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagjai. Az AD; AB és AC szakaszok hosszai ebben a sorrendben szintén egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagjai. Határozza meg a trapéz oldalai hosszának arányát!. Anna dobókockájának lapja fehér, lapja fekete, Bori dobókockájának minden lapja fehér. a) Bori be akarja festeni a kockája néhány lapját feketére úgy, hogy ha a festés után egyszerre dobnak a kockáikkal, akkor az azonos szín dobásának 7 valószínűsége legyen. 8 Hány lapot fessen be Bori? b) Mutassa meg, hogy Bori nem tudja úgy festeni a kockáját, hogy az azonos szín dobásának valószínűsége legyen! c) A Bori által feketére festett lapok számához rendeljük hozzá az azonos szín dobásának valószínűségét! Adja meg ennek a függvénynek az értékkészletét!
OKTV 006/007. A döntő feladatainak megoldásai. Legyenek az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenlet gyökei az x és x valós számok! Bizonyítsa be, hogy ekkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet gyökei az y Megoldás: x és y x! Írjuk fel az x ( a + d) x + ad bc 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói közötti összefüggéseket: () x x a + d illetve +, () x x ad bc. ( pont) Az y ( a + d + abc + bcd) y + ( ad bc) 0 egyenlet elsőfokú tag együtthatójának ellentettjét alakítva kapjuk: a + d + abc + bcd a + d + ( a + d) bc, () a + d + abc + bcd ( a + d) ( a + d)( ad bc). Az () és () összefüggéseket ()-ba helyettesítve: a műveletek elvégzése és rendezés után: () a b + abc + bcd ( x + x ) ( x + x ) xx +, a b + abc + bcd x + + x. ( pont) Másrészt az y ( a + b + abc + bcd) y + ( ad bc) 0 nulladfokú tagjába ()-t helyettesítve : ( ad bc) ( x x (5) ( ad bc) x x ( pont) )
OKTV 006/007. () és (5) felhasználásával az y ( a + d + abc + bcd) y + ( ad bc) 0 egyenlet felírható a következő képpen is: (6) y ( x + x ) y + x x 0. (6) bal oldalát szorzattá alakíthatjuk: (7) ( y x )( y x ) 0. A (7) egyenlet gyökei pedig valóban az x és x valós számok. ( pont) Az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenletnek akkor vannak valós gyökei, ha D ( a + b + abc + bcd) ( ad bc) 0. Ez a feltétel () és (5) segítségével ( + x ) x x 0 azaz ( x ) 0 x, x alakú lesz. Ez utóbbi minden x és x valós számra teljesül, ez pedig pontosan azt jelenti, hogy ha az x ( a + d ) x + ad bc 0 egyenletnek vannak valós gyökei, akkor az y ( a + d + abc + bcd ) y + ( ad bc) 0 egyenlet valós gyökei is léteznek ( pont) összesen: 0 pont
OKTV 006/007.. Egy tengelyesen szimmetrikus trapéz párhuzamos oldalai AB és CD. A DC; CB és BD szakaszok hosszai ebben a sorrendben egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagjai. Az AD; AB és AC szakaszok hosszai ebben a sorrendben szintén egy növekvő számtani sorozat három egymást követő tagjai. Határozza meg a trapéz oldalai hosszának arányát! Megoldás: Készítsünk a feltételeknek megfelelő ábrát! Az ábrán merőlegest bocsátottunk a C illetve D pontokból az AB szakaszra, a merőlegesek talppontjai P illetve Q. D C.. A Q P B Legyen AB a, BC b és CD c, továbbá AC e! A tengelyes szimmetria miatt nyilvánvaló, hogy DA b és BD e. Az AQ illetve BQ befogók hossza: () illetve () a c AQ, a + c BQ. ( pont)
OKTV 006/007. A feltételek miatt a feladatban két növekvő számtani sorozat - egymást követő tagja szerepel, fenti jelöléseinkkel ezek a következők: () c ; b; e, () b ; a; e. Legyen a () sorozat differenciája d! Mivel a sorozat növekvő, ezért nyilvánvaló, hogy d > 0. A számtani sorozat tulajdonsága miatt: (5) c b d és és e b + d. ( pont) A () számtani sorozatra teljesül, hogy e + b a, azaz (5)-öt behelyettesítve: b + d d (6) a b +. ( pont) Az ADQ és BDQ háromszögek derékszögűek, ezért () és () felhasználásával a Pitagorasz-tétel alapján felírjuk, hogy: (7) a c a + c b e. ( pont) az (5) és (6) kifejezéseiből következik, hogy egyrészt másrészt a c d, a + c b d. ( pont)
OKTV 006/007. Ezeket, illetve az ugyancsak (5)-ből kapott beírjuk (7)-be: e b + d összefüggést d b d b ( b + d). ( pont) Elvégezve a műveleteket, rendezés és egyszerűsítés után a (8) b 5bd d 0 egyenletre jutunk. Tekintsük (8)-at b -ben másodfokú egyenletnek, a megoldóképlet segítségével kapjuk, hogy: b d és b d. Figyelembe véve a d > 0 feltételt a b d nem megoldás. ( pont) Ezért b d. Így (5) és (6) szerint: 7d a ; 6d b ; d c. ( pont) Ebből következően az ABCD trapéz oldalai hosszának aránya: AB : BC : CD : DA 7 : 6 : : 6. ( pont) összesen: 0 pont
OKTV 006/007.. Anna dobókockájának lapja fehér, lapja fekete, Bori dobókockájának minden lapja fehér. a) Bori be akarja festeni a kockája néhány lapját feketére úgy, hogy ha a festés után egyszerre dobnak a kockáikkal, akkor az azonos szín dobásának valószínűsége 8 7 legyen. Hány lapot fessen be Bori? b) Mutassa meg, hogy Bori nem tudja úgy festeni a kockáját, hogy az azonos szín dobásának valószínűsége legyen! c) A Bori által feketére festett lapok számához rendeljük hozzá az azonos szín dobásának valószínűségét! Adja meg ennek a függvénynek az értékkészletét! Megoldás: Tegyük fel, hogy Bori x számú lapot festett be. Először vizsgáljuk azt az eseményt, hogy mindketten feketét dobnak! Jelöljük A -val azt az eseményt, hogy Anna feketét dob, és B -vel azt, hogy Bori dob feketét Ezek valószínűségei a következők: P ( A) 6, illetve x P ( B). ( pont) 6 Az A és B egymástól független események, ezért annak valószínűsége, Hogy mindketten feketét dobnak, P P P, ( AB) ( A) ( B) azaz () x P ( A B). ( pont) 6
OKTV 006/007. Másodszor vizsgáljuk azt, hogy mindketten fehéret dobnak. Legyen C illetve D az az esemény, hogy Anna illetve Bori fehéret dob! Ezek valószínűségei: P ( C) illetve 6 6 x P( D). ( pont) 6 Mivel a dobások egymástól függetlenek, így annak valószínűsége, hogy mindketten fehéret dobnak: () (6 x) P( C D). ( pont) 6 Az azonosan fekete, illetve azonosan fehér szín dobása egymást kizáró események, ezért az azonos szín dobásának valószínűsége az () és () valószínűségek összege: rendezés és egyszerűsítés után: x (6 x) P( A B + C D) +, 6 6 () x P( A B + C D). ( pont) 8 Bori kívánsága szerint ez 8 7 kell, hogy legyen. () x 8 7 8. A () egyenlet megoldása x 5, ezért a feladat a) részének kérdésére az a válaszunk, hogy Borinak a saját kockája 5 lapját kell feketére befestenie ahhoz, hogy az azonos szín dobásának valószínűsége 7 legyen. 8 ( pont)
OKTV 006/007. A feladat b) kérdése szerint az azonos szín dobásának valószínűsége lenne. Ez a (5) x 8 egyenlet megoldásából kapott x mellett teljesülne. 5 (5) megoldása: x, ez nem egész, így nem lehet kocka lapjainak száma. Ezért az azonos szín dobásának valószínűsége valóban nem lehet. A c) kérdésre adandó válaszhoz először határozzuk meg az f (x) -szel Jelölt függvény értelmezési tartományát! ( pont) Mivel Bori a kockájának 0,,,,, 5 vagy 6 lapját festheti be feketére, ezért: D { 0;;;;;5;6 }. ( pont) f () alapján a függvény értékkészletének elemei kiszámíthatók, így rendre azt kapjuk, hogy: 5 7 R f ; ; ; ; ; ;. ( pont) 8 9 9 8 összesen: 0 pont