. évfolyam I. témakör: Hatvány, gyök, aritmus Tört kitevőjű hatványok eponenciális függvények eponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek aritmus fogalma aritmus függvények aritmus azonosságai aritmikus egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek gyakorlati alkalmazások.. Írd fel hatványok szorzataként a 7 7 7 kifejezést.. Rendezd nagyság szerint növekvő sorrendbe az tg - A, B, C 9 számokat.. Ábrázold az alábbi függvényeket és jellemezd őket a tanult szempontok alapján (értelmezési tartomány, értékkészlet, menet, zérushely, szélsőérték, paritás, periodicitás): f : R R, f ( ) g : R R, g( ) c. : 6 h R, h( ).. Oldd meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán: 6 8 0 c. 8 8 d. 9 7 87 e... Határozd meg az f : R R, f ( ) függvény zérushelyét két tizedesjegy pontossággal. 6. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: 7. 7 7. Oldd meg az alábbi egyenletrendszereket a valós számpárok halmazán:
. évfolyam 9 y y 6 y. y 7 8. A aritmus definíciója alapján határozd meg az alábbi kifejezések értékét: 8 c.. 9. Számítsd ki a következő hatványok értékét: 6 6 9 6 7 c. sin. 0. Számítsd ki a következő kifejezés pontos értékét: 6 6 sin 0 9 00. 6. Határozd meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen az alábbi kifejezések értelmezhetők: ( ) lg( 7 ).. Adott az ( ) f függvény. Határozd meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a függvény értelmezhető. Írd fel a függvény hozzárendelési szabályát. c. Ábrázold és jellemezd a függvényt. (Jellemzési szempontok: értelmezési tartomány, értékkészlet, menet, zérushely, szélsőérték, paritás, periodicitás.). Adott az ( ) f függvény. Határozd meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a függvény értelmezhető. Írd fel a függvény hozzárendelési szabályát. c. Ábrázold és jellemezd a függvényt. (Jellemzési szempontok: értelmezési tartomány, értékkészlet, menet, zérushely, szélsőérték, paritás, periodicitás.)
. évfolyam. Oldd meg az alábbi egyenleteket, alaphalmaz a valós számok halmaza: lg 9 lg 8 c. 6 d. 6 8 e. lg lg.. Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán: 0 0 0. 6. Oldd meg az alábbi egyenletrendszereket a valós számpárok halmazán: lg lg y 7 lg lg y lg y lg lg 6. ( y) 7. Kisebb mennyiségű cukor oldódása nagy mennyiségű vízben közelítőleg az t M( t) M0 a formula szerint, tehát időben eponenciálisan zajlik ( 0 a a cukor vízbe kerülésétől percben mért időt jelöli a t M (t) a t időpontig fel nem oldódott cukor mennyisége M 0 pedig a teljes cukor mennyisége, amit a vízbe tettünk). Legyen a 0, 9. Mennyi idő múlva oldódik fel a cukormennyiség fele? Ha a 99,9%-os oldódást már lényegében teljesnek nevezzük, akkor mikorra oldódik fel lényegében teljesen a cukor 8. Gazdaságkutatók szerint Közép- és Kelet-Európa átmeneti országainak átlagos főre lg F lg f jutó GDP-je n év alatt éri utol a fejlett országokét, ahol F és f a fejlett, lg r lg R illetve átmeneti országok jelenlegi főre jutó GDP-jét jelöli. 99-ben a fejlett országokban a mutató (átlagosan) 7 $, az átmeneti országokban pedig 67 $ volt. R és r azt mutatja meg, hányszorosára növekszik egy év alatt a fejlett, illetve fejlődő országok egy főre jutó GDP-je. A fejlett országokban az egy főre jutó GDP éves növekedési üteme % (vagyis R, 0 ). Hány százalékos éves növekedést kellett volna elérni az átmeneti országokban, hogy az utolérés 0 év alatt bekövetkezzen?
. évfolyam II. témakör: Trigonometria Forgásszögek szögfüggvényei, tulajdonságai összefüggések visszakeresések trigonometrikus függvények ábrázolása, jellemzése két vektor skaláris szorzata, skaláris szorzat a koordinátarendszerben szinusztétel, koszinusztétel trigonometrikus egyenletek. 9. Határozd meg azokat a forgásszögeket, amelyekre igaz, hogy sin. 0. Add meg azokat a szögeket, amelyekre 0 intervallumon igaz, hogy cos.. Van-e olyan forgásszög, amelyre tg? Ha igen, akkor add meg a szöget, ha pedig nem, akkor indokold meg miért nincs.. Az alábbi függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaz Add értékkészletüket: f ( ) sin g( ) cos c. h ( ) cos.. Ábrázold és jellemzed az alábbi függvényeket: f : R R, f ( ) sin g : R, g( ) cos 6 c. h : R \ R, h( ) tg.. Számítsd ki a két vektor skaláris szorzatát: a, b 8, 0, q6 p.. Egy háromszög szögei közül a középső másfélszer akkora, mint a legkisebb, és harmadakkora, mint a legkisebb és a legnagyobb összege. A legrövidebb oldal hossza egység. Mekkorák a háromszög szögei? Számítsd ki a háromszög hiányzó oldalainak hosszát! c. Add meg a háromszög területét!
. évfolyam 6. Háromszög alakú kertünket be szeretnénk keríteni dróthálóval. Két oldalának hossza 0 méter és 8 méter, valamint az általuk bezárt szög 7 8. Hány négyzetméter dróthálóra lesz szükségünk, ha azt akarjuk, hogy a kerítés 8 cm magas legyen? Mennyibe kerül a kerítés, ha 00 Ft-ba kerül méterenként és a keletkező hulladékra és illesztésekre tekintettel a szükségesnél %-kal többet vásárolunk. 7. Oldd meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: sin 0 tg c. cos6 cos d. sin sin 0 e. tg ctg f. sin cos.
. évfolyam III. témakör: Koordinátageometria Műveletek koordinátáikkal adott vektorokkal vektor hossza, két pont távolsága két vektor hajlásszöge háromszögek kerülete, területe szakasz osztópontjai, háromszögek súlypontja egyenest meghatározó adatok a koordinátarendszerben, összefüggéseik egyenes egyenlete két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge, háromszögek nevezetes vonalainak egyenletei kör egyenlete, háromszög köré írt köre kör és egyenes kölcsönös helyzete, kör érintői. 8. Mekkora szöget zárnak be egymással az alábbi vektorok: 6 b 9 a és a 6 és c? 9. Egy háromszög A illetve B csúcsának helyvektorai: a és b csúcsába mutató helyvektorról tudjuk,hogy c b a. Számítsd ki a C csúcs koordinátáit. Számítsd ki a háromszög kerületét, és területét.. A háromszög C 0. Egy paraleramma két csúcsa A 8, B 6, átlóinak metszéspontja Írd fel az AB vektor koordinátáit. Határozd meg a hiányzó csúcsok koordinátáit. c. Számítsd ki a paraleramma szögeit. M.. Egy háromszög két csúcsa A, B 8, súlypontjának koordinátái S. Számítsd ki a harmadik csúcs koordinátáit. Írd fel az A csúcsból induló súlyvonal egyenletét. c. Számítsd ki az az A csúcsból induló súlyvonal és a BC oldal metszéspontjának koordinátáit.. Határozd meg az e : 7y egyenletű egyenesnek azt a pontját, amely egyenlő távolságra van a P és a Q pontoktól. Milyen távol van a P pont az e egyenestől?. Határozd meg a : ( ) y k egyenletű körnek azt a pontját, amely egyenlő távolságra van az A ( ) és B ( 6 ) pontoktól.. Adott az A (79), B (0) és C ( 6 ) háromszög. Számítsd ki legnagyobb szögének nagyságát. Írd fel a háromszög köré írt kör egyenletét.. Adott az y 6y egyenletű kör. Határozd meg a kör középpontjának a koordinátáit és a kör sugarát. Vizsgáld meg, hogy a P ( ) illetve a Q (7) pontok illeszkednek-e a körre? c. Írd fel a körhöz a P ( ) pontban húzott érintő egyenletét. 6
. évfolyam IV. témakör: Kombinatorika és valószínűségszámítás Összeszámlálási alapfeladatok (permutációk ismétléssel és ismétlés nélkül, variációk ismétléssel és ismétlés nélkül, ismétlés nélküli kombinációk), gráfok, események, műveletek eseményekkel, klasszikus modell, komplementer esemény valószínűsége, visszatevéses mintavétel, visszatevés nélküli mintavétel. 6. Anna, Bea, Csilla, Dóra és Eszter együtt mentek mozib Mozijegyük egymás mellé szólt. Hányféleképpen ülhettek le egymás melletti öt székre a lányok? Útközben Csilla és Dóra összevesztek. Hányféle sorrendben ülhettek le, ha Csilla és Dóra nem ültek egymás mellé? c. A mozi után beültek egy cukrászdába egy kerek asztal köré. Hányféleképpen ülhettek le, ha mozi után Csilla és Dóra kibékültek? 7. A 0,,,,,, 6 számjegyek felhasználásával számokat készítünk. Hányféle hétjegyű szám készíthető, ha a számjegyeket többször is felhasználhatjuk hétjegyű szám készíthető, ha minden számjegy legfeljebb egyszer szerepelhet c. négyjegyű páratlan szám készíthető, ha minden számjegy legfeljebb egyszer szerepelhet d. ötjegyű páros szám készíthető, ha a számjegyeket többször is fel lehet használni e. ötjegyű, néggyel osztható szám készíthető, ha minden számjegy legfeljebb egyszer szerepelhet? 8. A lapos magyar kártya csomagból véletlenszerűen kihúzunk öt lapot. Hány olyan húzás lehetséges, amelyben a kihúzott lapok között pontosan kettő zöld van nincs benne a piros ász c. van piros? 9. Egy teniszversenyen nyolc fő vett részt: András, Béla, Csaba, Dani, Elemér, Feri, Géza és Hub Eddig András játszott már Danival és Gézával. Béla játszott Csabával, Ferivel és Hubával. Feri játszott már Edével is. Géza túl van már a Danival való mérkőzésen. Szemléltesd gráffal a lejátszott mérkőzéseket. Összefüggő-e a gráf? Van-e neki izolált pontja? c. Hány mérkőzés van még hátra, ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik? d. Hányféleképpen alakulhatott a verseny végeredménye, ha tudjuk, hogy Dani az első két hely valamelyikén végzett és Elemér nem lett utolsó? 0. Egy számítógép monitorán egy számegyenes intervalluma látható. Véletlenszerűen felvillannak e szakaszon egyes pontok. Jelentse A azt az eseményt, hogy a felvillanó pont a 0 intervallumba esik, B pedig azt, hogy a 0-be. Adjuk meg, hogy mely intervallumban lehet a felvillanó pont, hogy a következő események teljesüljenek: A B A B c. A B. 7
. évfolyam. András feldobott egy dobókockát 00-szor, és lejegyezte a dobások eredményeit: -est - ször -est 7-szer -ast -ször -est 8-szor -öst 9-szer 6-ost 6-szor dobott. Jelölje A azt az eseményt, hogy a dobott szám prím. Határozd meg az A esemény gyakoriságát, relatív gyakoriságát András kísérletében.. Most díszítjük a karácsonyfánkat. darab marcipános szaloncukrot teszünk majd fel rá. Hány darab, az előbbiekkel azonos színű csomagolópapírban levő kókuszos szaloncukrot tegyünk még fel a fára, hogy annak a valószínűsége, hogy kókuszosat választunk a fáról, legyen?. Egy dobókockát feldobunk -szer egymás után. Mennyi annak a valószínűsége, hogy legalább egyszer 6-ost dobunk?. Gabi és Zsuzsi a következő szabályok szerint játszanak: feldobnak egy-egy dobókockát és a dobott számokat összeszorozzák. Gabi kap egy pontot, ha a szorzat osztható -tel vagy páratlan, Zsuzsi kap egy pontot, ha a szorzat legfeljebb 6 vagy legalább. Milyen valószínűséggel kap pontot Gabi? Milyen valószínűséggel kap pontot Zsuzsi? c. Milyen valószínűséggel kapnak mindketten egy pontot? d. Milyen valószínűséggel kap valamelyikük egy pontot (esetleg mindketten)?. Egy dobozban fehér és 6 kék golyó van, amelyek tapintással nem különböztethetők meg. Visszatevéses mintavétellel kihúzunk 7 db-ot.mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzottak között legalább fehér van? 6. Egy rejtvényújságba 7 helyes megfejtés érkezett egy rejtvényre, vidékről, a többi Budapestről. Hét ajándékot sorsolnak ki a nyertesek között. Mennyi annak a valószínűsége, hogy minden nyertes budapesti pontosan kettő nyertes budapesti c. legalább egy nyertes vidéki? 8