Városok Viadala 1980-95.

Városok Viadala 1980-95. JUNIOR 1980. 1. Egy kör kerületén piros és kék pontok vannak. Kijelölhetünk egy új piros pontot, miközben két szomszédja színt vált. Ki is vehetünk egy meglév piros pontot, szomszédai ekkor is átszínez dnek. Igazoljuk, hogy ha kezdetben két piros pont volt, akkor nem juthatunk a fenti lépésekkel olyan helyzetbe, hogy két kék legyen. (K. Kazarnovskij) 2. Egy n n-es számtáblázatban minden sor különböz (legalább egy helyen eltérnek). Mutassuk meg, hogy eltávolítható egy oszlop úgy, hogy a megmaradt táblázatban se legyen két azonos sor. (A. Andjans) 3. Keressük meg a 2,3,4,,102 számok mindazon a 1,a 2,,a 101 sorrendjeit, melyekre minden k esetén a k osztható k-val. 4. Az ABCD konvex négyszög minden oldalát N egyenl részre osztottuk. A szemközti oldalak megfelel osztópontjait összekötjük, így N 2 darab kis négyszöget kaptunk. Kiválasztunk közülük N darabot úgy, hogy közülük semelyik kett se legyen azonos sávban. (Sáv: Tekintsünk egy szemköztes oldalpáron két-két megfelel, szomszédos osztópontot. Az összeköt szakaszok között elhelyezked n darab kis négyszög alkot egy sávot.) Igazoljuk, hogy a kiválasztott négyszögek területének összege az ABCD négyszög területének N-ed része. (A. Andjans) 5. Egy egységnégyzet belsejében van véges sok szakasz, melyek összhossza 18. A szakaszok végpontjai lehetnek a négyzet határán és ezek is a szakaszokhoz tartoznak. Mindegyik párhuzamos a négyzet valamely oldalával és metszhetik is egymást. A négyzetet a szakaszok tartományokra bontják. Mutassuk meg, hogy van a négyzetben olyan tartomány, melynek területe legalább 0.01. (A. Berzinsh) SENIOR 1980. Az 1-2. és 4-5. feladatok azonosak a juniorokéval. 3. Adott a három dimenziós térben 30 darab nem nulla vektor. Mutassuk meg, hogy van köztük kett, melyek szöge kisebb 45 -nál. 1

JUNIOR 1981. 1. Keressük meg a következ egyenlet egész megoldásait, ahol k 1-nél nagyobb egész: k 2 y = x + x. ( 3 pont) 2. Legyen M egy véges síkbeli pontrendszer. Nevezzük a sík egy O pontját M majdnemközéppontjának, ha elvehet M-b l egy pont úgy, hogy a maradék O-ra középpontosan szimmetrikus. Hány majdnem-középpontja lehet egy véges pontrendszernek a síkon? Mutassunk erre példát is. (V. Prasolov, 7 pont) 3. Az ABCD húrnégyszög átlói mer legesek, köréírt körének középpontja O. Igazoljuk, hogy az AOC töröttvonal a négyszög területét felezi. (V. Varvakin, 5 pont) 4. 64 asszonyság mindegyikének van egy pletykája. Telefonálgatnak egymásnak és kicserélik az összes általuk ismert pletykát. Minden hívás pontosan 1 órás. Mennyi id kell ahhoz, hogy mindenki minden pletykát megtudjon? (A. Andjans, 8 pont) 5. A végtelen síkon két játékos a következ t játssza. Van 51 bábu: 50 bárány és egy farkas. Az X játékos a farkassal lép, az Y a bárányok közül valamelyikkel. Minden lépés iránya tetsz legesen választható, de hossza legfeljebb egy méter lehet. A játékosok felváltva lépnek. Igaz-e, hogy a farkas mindig elkaphat legalább egy bárányt, ha X kezd? (16 pont) 2

SENIOR 1981. 1. Két testet felületszomszédosnak nevezünk, ha nincs közös bels pontjuk és van egy-egy lapjuk, melyek közös része egy sokszög. Lehetséges-e, hogy 8 tetraéder közül bármely kett felületszomszédos? (A. Andjans, 7 pont) 2. A végtelen síkon két játékos a következ t játssza. Van k+1 bábu: k darab bárány és egy farkas. Az X játékos a farkassal lép, az Y a bárányok közül valamelyikkel. Minden lépés iránya tetsz legesen választható, de hossza legfeljebb egy méter lehet. A játékosok felváltva lépnek. Igaz-e, hogy k minden értékéhez létezik olyan kezd elrendezés, melyb l indulva a farkas sohasem kaphat el bárányt, ha X kezd? (10 pont) 3. Igazoljuk, hogy minden pozitív valós szám felírható 9 olyan szám összegeként, melyeknek (tízes számrendszerbeli alakjában) csak kétfajta jegye lehet, 0 és 7. (E. Turkevich, 5 pont) 4. K asszonyság mindegyikének van egy pletykája. Telefonálgatnak egymásnak és kicserélik az összes általuk ismert pletykát. Minden hívás pontosan 1 órás. Mennyi id kell ahhoz, hogy mindenki minden pletykát megtudjon? a) K=64. b) K=55. c) K=100. (A. Andjans, 5+7+12 pont) 5. Egy végtelen négyzethálós lapon hat mez t az ábra szerint kijelöltünk. Néhány mez re figurákat tettünk. Ezek helyzete megváltoztatható: ha egy figura mez jének fels és jobb oldali szomszédja üres, akkor a figurát levehetjük, miközben az említett két mez re egy-egy új figurát helyezünk. Szeretnénk a kijelölt mez kr l eltávolítani a figurákat. Lehetséges-e ez, ha: a) kezdetben hat figura van, minden kijelölt mez n egy? (8 pont) b) kezdetben egy figura van a bal alsó sarokmez n? (M. Kontsevics, 8 pont) 3

JUNIOR 1982. 1. Határozzuk meg mindazon természetes számokat, melyek 30-cal oszthatók és pontosan 30 osztójuk van. (M. Levin, 5 pont) 2. Egy négyszög minden oldala és átlója rövidebb 1 méternél. Igazoljuk, hogy letakarható egy 0.9 méter sugarú körrel. (5 pont) 3. Legyen {a k } 1-nél nagyobb különböz pozitív egészek végtelen sorozata. Mutassuk meg, hogy van 100 olyan elem, melyre a k >k. (A. Andjans, 6 pont) 4. Egy országban 101-nél több város van. A f várost 100 másik várossal köti össze közvetlen légijárat. Minden más város pontosan 10 másikkal áll közvetlen légikapcsolatban. (Ez a viszony két város között kölcsönös.) Tudjuk, hogy bármely városból bármely másikba eljuthatunk, esetleg átszállásokkal. Mutassuk meg, hogy a f város járatainak fele megszüntethet úgy, hogy továbbra is bármely városból bármely másikba eljuthassunk, esetleg átszállásokkal. (IS. Rubanov, 8 pont) 5. Az 1 1 1 1,,,,... 2 3 4 sorozat elemeib l kiválasztható-e olyan számtani sorozat a) mely 5 elem ; b) 5-nél több elem (ha igen, akkor hány elem )? (G. Galperin, 3+2 pont) 4

SENIOR 1982. 1. a) Legyenek x 1, x 2,, x k pozitív számok (k legalább 3). Igazoljuk, hogy x1 x 2 x k + +... + 2. x k + x 2 x1 + x 3 x k 1 + x1 b) Mutassuk, meg, hogy az egyenl tlenség minden k esetén éles, azaz 2 a jobb oldalra írható legnagyobb szám, melyre az egyenl tlenség a változók minden értéke mellett teljesül. (A. Prokopiev, 4+3 pont) 2. Egy négyzetet k 2 darab egyforma kis négyzetre osztunk. Egy töröttvonal áthalad minden kis négyzet középpontján, közben önmagát esetleg metszheti. Legalább hány szakaszdarabból áll a töröttvonal? (A. Andjans, 14 pont) 3. Legyen {a k } 1-nél nagyobb különböz pozitív egészek végtelen sorozata. Mutassuk meg, hogy van végtelen sok olyan elem, melyre a k >k. (A. Andjans, 3 pont) 4. A P(x) polinom f együtthatója 1. Természetes számoknál a helyettesítési értékei felveszik az összes 2 m alakú számot (m is természetes). Igazoljuk, hogy a polinom els fokú. (8 pont) Az 5. feladat megegyezik a juniorokéval. Értéke itt 2+1 pont. 5

JUNIOR 1982-83. sz 1. Egy pakliban lév 32 kártyát színek szerint egyesével sorba raktunk: makk, zöld, piros, tök, makk, zöld, piros, tök, stb. Valaki leemeli a pakli egy részét, megfordítja és a megmaradt rész két lapja közé teszi. Most a tetejér l leemelünk 4 lapot, majd újra 4-et, újra 4-et, s így tovább. Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen 4-esben négy különböz szín lesz. (A. Merkov, 12 pont) 2. Sorbaállítunk néhány tárgyat, melyek pirosak vagy kékek. Mindkét szín el fordul. Tudjuk, hogy bármely két tárgy, melyek között pontosan 10, vagy 15 másik tárgy van, azonos szín. Legfeljebb hány elemb l állhat a sor? (7 pont) 3. Legyenek m, n, k 1-nél nagyobb pozitív egészek. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok megoldása van a következ egyenletnek: m!n!=k!. (7 pont) 4. a) Egy kört 10 pont 10 egyenl ívre oszt. Páronként összeköti ket 5 húr. Található-e köztük mindig két egyenl hosszú húr? b) Egy kört 20 pont 20 egyenl ívre oszt. Páronként összeköti ket 10 húr. Bizonyítsuk be, hogy van köztük két egyenl hosszú húr. (VV. Proizvolov, 7+12 pont) JUNIOR 1982-83. tavasz, els forduló 1. Valaki 3.5 órát gyalogolt. Bármely egy órás id tartam alatt 5 kilométert tett meg. Igaz-e, hogy átlagsebessége 5 km/h? (NN. Konstantinov, 8 pont) 2. a) Egy szabályos 4k szöget paralelogrammákra darabolunk. Igazoljuk, hogy legalább k darab téglalap lesz köztük. b) Határozzuk meg az a,-részben említett téglalapok összterületét, ha a 4k szög oldalhossza x. (VV. Proizvolov, 11+2 pont) 3. Svambrániában N város van, bármely kett közt vezet út. Az utak nem metszik egymást. Ahol találkozásuk lenne, ott az egyik út felüljárón vezet át az alatta lev másik oldalára. Egy gonosz varázsló egyirányúsítja az utakat úgy, hogy ha valaki elindul egy városból, soha ne térhessen oda vissza. Bizonyítsuk be a következ ket: a) Az adott egyirányúsítást a varázsló megteheti. b) Lesz olyan város, amelyb l bármelyik városba eljuthatunk és olyan is, amelyet nem hagyhatunk el. c) Egy és csak egy olyan út van, mely érinti az összes várost. (LM. Koganov, 3+1+5 pont) 4. Az M és K számok jegyei ugyanazok, csak más sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy: a) 2M és 2K jegyeinek összege ugyanannyi. b) M/2 és K/2 jegyeinek összege ugyanannyi, ha M és K is páros. c) 5M és 5K jegyeinek összege ugyanannyi. (AD. Lisitszkij, 4+4+2 pont) 5. Egy billiárdasztal derékszög háromszög alakú, minden csúcsnál egy-egy lyukkal. A háromszög egyik szöge 30. Egy golyót a 30 -os csúcsnál lév lyuktól ellökünk a szemközti oldal felez pontja felé. Igazoljuk, hogy 8 ütközést követ en a golyó a 60 -os csúcsnál lév lyukba gurul. (6 pont) 6

JUNIOR 1982-83. tavasz, második forduló Az 1-3. feladatok megegyeznek az els forduló feladataival. 4. A végtelen négyzethálós papíron ketten játszanak. Az els játékos beszínez egy még be nem színezett rácspontot pirosra, a második egyet kékre, s így tovább felváltva. Az els játékos célja, hogy legyen 4 piros pont, melyek négyzetet alkotnak, ahol a négyzet oldalai rácsegyenesek. A második játékos célja ennek megakadályozása. Gy zhet-e az els játékos? (DG. Azov, 18 pont) 5. Mutassuk meg, hogy 17 különböz természetes szám közül kiválasztható öt úgy, hogy vagy egyikük osztja a másik négy mindegyikét, vagy egyik sem osztja semelyik másikat. (18 pont) SENIOR 1982-83. sz 1. Bizonyítsuk be, hogy minden 1-nél nagyobb egészre 3 n [ n ] + [ n ] +... + [ n ] = [ log2 n] + [ log3 n] +... + [ logn n]. (VV Kisil, 15 pont) 2. Létezik-e olyan (nem feltétlenül konvex) poliéder, melyben az élek teljes listája a következ : AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH. (8 pont) 3. Egy papírcsíkra egymás után 60 jelet írtak, mindegyik O, vagy X. Ezután a csíkot feldaraboljuk úgy, hogy mindegyiken a jelsorozat szimmetrikus legyen. Például: O, XX, OXXO, XOX, stb. a) Mutassuk meg, hogy így felvághatjuk 25-nél kevesebb darabra. b) Adjuk meg a jelek olyan sorozatát, mely esetén legalább 15 darabra kell vágni. c) Próbáljuk meg a (b)-beli korlátot javítani. (12+12+? pont) 4. a) Legyen egy szabályos n-szög bels pontja M, ennek az oldalegyenesekre es mer leges vetületei K 1, K 2,, K n. Bizonyítsuk be, hogy n MK + 1 MK + 2... + MK = n MO, 2 ahol O az n-szög középpontja. (14 pont) b) Legyen M egy szabályos tetraéder bels pontja, indítsunk M-b l vektorokat az oldallapokra es mer leges vetületekhez. Mutassuk meg, hogy ezen vektorok összege 4 MO, 3 ahol O a tetraéder középpontja. (VV Prasolov,14 pont) 5. Egy város metróhálózatának terve egy önmagát metsz zárt görbe, többszörös keresztez dések nélkül. Mutassuk meg, hogy az alagút megépíthet úgy, hogy a szerelvény felváltva haladjon át a keresztez déseken alul, ill. felül. (12 pont) 7

SENIOR 1982-83. tavasz, els forduló 1. Egy kör mentén elhelyeztük 1-t l 1000-ig a számokat. Mutassuk meg, hogy páronként összeköthet k a számok 500 egymást nem metsz húrral úgy, hogy minden húr végpontjainál lev számok különbsége 750-nél kisebb abszolútérték legyen. (AA. Razborov, 14 pont) 2. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalain találhatók rendre a P, M, K pontok. AM, BK és CP egy ponton mennek át, továbbá AM + BK + CP összeg nullvektor. Bizonyítsuk be, hogy ekkor P, M, K az oldalak felez pontjai. (8 pont) 3. Svambrániában N város van, bármely kett közt vezet út. Az utak nem metszik egymást. Ahol találkozásuk lenne, ott az egyik út felüljárón vezet át az alatta lev másik oldalára. Egy gonosz varázsló egyirányúsítja az utakat úgy, hogy ha valaki elindul egy városból, soha ne térhessen oda vissza. Bizonyítsuk be a következ ket: a) Az adott egyirányúsítást a varázsló megteheti. b) Lesz olyan város, melyb l bárhova eljuthatunk és olyan is, melyet nem hagyhatunk el. c) A varázsló N! módon valósíthatja meg tervét. (LM. Koganov, 2+1+4 pont) 4. Néhány fiú körben ül. Mindenkinél van páros sok cukorka. Egy jelre mindenki a nála lev cukorkák felét átadja a jobb oldali szomszédjának. Ha ezután valakinek páratlan sok lenne, kap egyet a kör közepén lev kupacból. Az eljárást tovább ismételgetjük. Mutassuk meg, hogy el bbutóbb minden fiúnál ugyanannyi cukor lesz. (A. Andjans, 7 pont) 5. Egy szabályos k-szög belsejében választunk egy olyan pontot, melynek mer leges vetületei az oldalak bels pontjai. A vetületek az oldalakat 2k kis szakaszra vágják. Számozzuk meg sorban 1-t l 2k-ig a szakaszokat. Igazoljuk, hogy a páratlan sorszámú szakaszok összhossza egyenl a páros sorszámúakéval. (A. Andjans, 6 pont) SENIOR 1982-83. tavasz, második forduló Az 1-3. feladatok megegyeznek az els forduló 1-3. feladataival. 4. a) A végtelen négyzethálós papíron ketten játszanak. Az els játékos beszínez egy még be nem színezett rácspontot pirosra, a második egyet kékre, s így tovább felváltva. Az els játékos célja, hogy legyen 4 piros pont, melyek négyzetet alkotnak, a négyzet oldalai rácsegyenesek. A második játékos célja ennek megakadályozása. Gy zhet-e az els játékos? b) Mi lesz kérdésünkre a válasz, ha a második játékos minden alkalommal két rácspontot is beszínezhet? (DG. Azov, 12+30 pont) 5. Egy szabályos n-szög k csúcsát kiszínezzük. A színezést majdnem egyenletes-nek nevezzük, ha teljesül a következ : Legyen M a sokszög m darab, szomszédos csúcsának a halmaza, ugyanilyen halmaz legyen N is. Az M-ben és N-ben lev beszínezett csúcsok száma tetsz leges m-re legfeljebb eggyel térhet el. Mutassuk meg, hogy minden n, k számpárra (n k) létezik majdnem egyenletes színezés és ez elforgatás erejéig egyértelm. (M. Kontsevics, 30 pont) 8

JUNIOR 1983-84. sz 1. Az ABCD négyzet belsejében található az M pont. Bizonyítsa be, hogy az ABM, BCM, CDM és DAM háromszögek súlypontjai egy négyzetet határoznak meg. (V. Prasolov, 4 pont) 2. Keressük meg az összes olyan k természetes számot, ami el állítható két 1-t l különböz relatív prím összegeként. (8 pont) 3. Szerkesszünk négyszöget, ha adottak az oldalai és az átlók felez pontjait összeköt szakasz. (IZ. Titovich, 12 pont) 4. a 1, a 2, a 3, egy természetes számokból álló monoton növekv sorozat. Minden k-ra teljesül, hogy aa k = 3k. Keressük meg a 100 -at. (A. Andjans, 12 pont) 5. Egy N N-es sakktáblán N 2 darab lovat helyeztünk el. Lehetséges-e olyan átrendezés, hogy bármely két figura, ami ütésben áll, az átrendezés után szomszédos mez kön legyenek (azaz a mez knek legalább egy határos pontja legyen)? Vizsgáljunk meg két esetet: a) N = 3; b) N = 8. (S. Stefanov, 2+12 pont) JUNIOR 1983-84. tavasz, els forduló 1. 175 müty r drágább, mint 125 bigyó, de olcsóbb, mint 126 bigyó. Igazoljuk, hogy nem vásárolhatunk 3 müty rt és 1 bigyót 80 forintért. (S. Fomin, 3 pont) 2. Az ABCDE konvex ötszögben AE = AD, AB = AC, és a CAD szög egyenl az AEB és az ABE szögek összegével. Bizonyítsuk be, hogy a CD szakasz az ABE háromszög AM súlyvonalának kétszerese. 3. Tekintsük egy N N-es négyzetrács szélén lev 4(N-1) négyzetet. Beírható-e 4(N-1) szomszédos egész úgy az egyes mez kbe, hogy minden az átlókkal párhuzamos oldalú téglalap sarokmez iben lev számok összege ugyanannyi legyen? Maga a két átló is elfajult téglalapnak számít, itt a kérdéses összeg a két mez ben álló számok összege. Vizsgáljuk meg a következ eseteket: a) N=3; b) N=4; c) N=5. (VG. Boltyanszkij, 2+3+4 pont) 4. Az N természetes szám számjegyeinek szorzatát jelölje P(N). Számjegyeinek összegét jelölje S(N). Hány megoldása van az alábbi egyenletnek: P(P(N)) + P(S(N)) + S(P(N)) + S(S(N)) = 1984. (4 pont) 5. Adott egy végtelen négyzethálós lap, egy egységnyi oldalú négyzetekkel. Két négyzet közötti távolságot úgy határozzuk meg, mint a legrövidebb út hossza az egyik ilyen négyzetb l a másikba, ha úgy haladunk közöttük, mint a sakkban a bástya. Határozza meg a legkevesebb színt, amelyikkel kiszínezhet a lap (minden négyzet egyszín ) oly módon, hogy minden négyzetpár, amelyek között a távolság hat egységgel egyenl, más szín. Adjon egy példát a színezésre és bizonyítsa be, hogy kevesebb színnel a kívánt cél nem érhet el! (AG. Pechovskij, IV. Itenberg, 8 pont) 9

JUNIOR 1983-84. tavasz, második forduló 1. Megegyezik az els forduló 5. feladatával. 2. Egy tánccsoportban 15 fiú és 15 lány egymással párhuzamosan sort alkot, vagyis 15 pár alakul. Egyik párban sem több a fiú és a lány közötti magasságbeli különbség 10 centiméternél. Bizonyítsuk be, hogy ha a fiúk és a lányok mindkét sorban nagyság szerint csökken sorrendben állnának, akkor a magasságbeli különbség minden újonnan alakult párban legfeljebb 10 centiméter lenne. (AG. Pechovskij, 8 pont) 3. Megegyezik az els forduló 3. feladatával. 4. Mutassa meg, hogyan lehet szétvágni egy egyenl szárú derékszög háromszöget hozzá hasonló háromszögekre oly módon, hogy bármely két ilyen háromszög különböz méret. (AV. Savkin, 12 pont) 5. Két pár szomszédos természetes szám (8, 9) és (288, 289) a következ tulajdonságokkal rendelkezik: mindegyik párban, mindegyik számban, mindegyik prímtényez legalább a második hatványon szerepel. Bizonyítsuk be, hogy végtelen sok ilyen pár van. (A. Andjans, 12 pont) 10

SENIOR 1983-84. sz 1. Adott az ABCD négyzet CB és CD oldalán M és K pont, melyekre a CMK háromszög kerületének hossza a négyzetoldal kétszeresével egyezik meg. Mekkora az MAK szög? (7 pont) 2. Tekintsük az összes 9-jegy számot, melyeknek számjegyei valamilyen sorrendben a számok 1-t l 9-ig. Két ilyen szám egymás párja, ha összegük 987654321. a) Bizonyítsuk be, hogy legalább 2 ilyen számpár van! ((a,b) és (b,a) egy párnak számít) b) Bizonyítsuk be, hogy a párok száma páratlan szám! (G. Galperin, 14 pont) 3. Az ABC háromszög körülírt körének középpontja, O, a háromszögön belül helyezkedik el. O-ból mer legeseket bocsátunk az oldalakra, ezek meghosszabbítva a köréírt kört K, M, P pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy OK + OM + OP = OI, ahol I a háromszög beírt körének középpontja. ( V. Galperin, 10 pont) 4. a 1, a 2, a 3... egy monoton növekv, természetes számokból álló sorozat. Tudjuk, hogy minden k-ra aa k = 3k. Határozzuk meg a 1983 -at! (A. Andjans, 8 pont) 5. Adva van egy minden irányban végtelen sakktábla, ezen bizonyos mez k halmazát jelölje A. Egy-egy királyt helyezünk el minden olyan mez re, mely nem tartozik A-hoz. A királyokat a következ képpen mozgathatjuk: minden mozgatás során vagy helyben maradnak, vagy egy olyan szomszédos mez re lépnek, amit esetleg a lépés végrehajtása el tt egy másik király foglalt el. Minden mez n csak egy király állhat. Létezik-e olyan k szám, melyre k mozgatás után minden mez n állni fog egy király, ha a) A olyan mez k összessége, melyek koordinátái 100-zal oszthatók. ( A mez ket egy függ leges és egy vízszintes számegyenes által meghatározott, egész számokból álló számpár egyértelm en meghatározza.) (9 pont) b) A olyan mez k összessége, amelyeket 100 tetsz legesen megadott királyn üt illetve lefed. (5 pont) Megjegyzés: Ha A-t 1 mez alkotja, akkor k=1, és az eljárás a következ : a mez vel egy sorban lév k közül a baloldaliak egyet jobbra lépnek. 11

SENIOR 1983-84. tavasz, els forduló 1. 175 müty r drágább, mint 125 bigyó, de olcsóbb, mint 126 bigyó. Igazoljuk, hogy nem vásárolhatunk 3 müty rt és 1 bigyót (a) 80 forintért; (b) 100 forintért. (S. Fomin, 2+3 pont) 2. Egy tetsz leges tetraéder alapjának csúcsaiból húzzuk meg a 2-2 magasságvonalat az oldallapok háromszögeiben. Az egy oldallapon lev két talppont meghatároz egy egyenest. Bizonyítsuk be, hogy van olyan sík, mely mindhárom ilyen egyenessel párhuzamos. (I. F. Sharygin, 9 pont ) 3. Egy négyzetrácsos, 29 29-es méret papírból a rács mentén 99 db 2 2-es négyzetet vágtunk le. Bizonyítsuk be, hogy még legalább 1 db 2 2-es négyzet levágható a lap maradék részéb l. (S. Fomin, 4 pont) 4. Adott egy növekv f függvény, melyre f : [0,1] [0,1]. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egész n-re a függvény grafikonja lefedhet n db 1/n 2 terület téglalappal, melyeknek oldalai a koordinátatengelyekkel párhuzamosak. f(x) folytonos függvény az intervallumon belül, és a téglalapokhoz kerületük is hozzátartozik. ( A. Andjans, 8 pont ) 5. a) Egy 20 20-as négyzethálós lap minden négyzetén áll egy figura. Bálint mond egy d számot, és Márton átállítja a figurákat úgy, hogy minden figura legalább d távolsággal mozduljon el eredeti helyér l, és minden mez re pontosan 1 figura kerüljön. ( A távolság a négyzetek középpontjai közt mérend.) Milyen d-re valósítható ez meg? ( 4 pont) b) Mi a válasz, ha a lap mérete 21 21-es? ( S.S. Krotov, Moszkva, 4 pont) (Adjuk meg a maximális d-t, mutassunk egy megfelel mozgatást, és igazoljuk, hogy nincs ennél nagyobb d, amelyre a mozgatás kivitelezhet.) 12

SENIOR 1983-84. tavasz, második forduló 1. Megegyezik az els forduló 5. feladatával. 2. Megegyezik az els forduló 2. feladatával. 3. Egy mindkét irányban végtelen hosszú folyosó egyik oldalán végtelen sok szoba helyezkedik el. A szobák egymást követ egész számokkal vannak megszámozva, és minden szobában van egy zongora. A szobákban véges sok zongorista él. (Egy szobában akár több is.) Minden nap két szomszédos szobában lakó zongorista ( pl. a k-adik és a k+1-edik ) megelégeli a másik gyakorlását, és a k-1-edik illetve a k+2-edik szobába költöznek át. Igazoljuk, hogy véges számú nap elteltével abbahagyják a költözködést. ( V. G. Ilichev, 12 pont ) 4. Megegyezik az els forduló 4. feladatával. (Nem kell feltenni a folytonosságot.) 5. Legyen p(n) egy n természetes szám partícióinak száma természetes számok összegére. A partíciók diverzitásán azt értjük, hogy hány különböz számot tartalmaznak a partíciók. Legyen q(n) n összes partíciója diverzitásának összege. ( Pl. p(4) = 5, hiszen a 4-nek 5 db. partíciója van: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1; és q(4) = 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 7. ) Bizonyítsuk be, hogy minden természetes n-re: a) q(n) = 1+p(1)+p(2)+p(3)+...+p(n-1), ( 9 pont ) b) q( n) 2n p( n). ( A. V. Zelevinsky, Moszkva, 3 pont) JUNIOR 1984-85. sz, els forduló 1. Az ABC háromszögben a B-nél lév szög szögfelez je az AC oldalt D pontban metszi, a C- nél lév szög szögfelez je az AB oldalt E pontban metszi. A két szögfelez O pontban metszi egymást és az OD és OE szakaszok hossza megegyezik. Bizonyítsuk be, hogy vagy a BAC = 60, vagy az ABC háromszög egyenl szárú. (6 pont) 2. Egy falut négyzet alakúra terveztek és 9 háztömbb l áll, melyeknek oldalai d hosszúságúak. A háztömböket 3 3-as alakzatban építették és mindegyiküket egy beton járda veszi körül. Elindulunk a falu egyik sarkából. Melyik az a legkisebb távolság, amit meg kell tennünk, hogy visszatérjünk a kiindulási pontba, ha azt akarjuk, hogy minden járdán legalább egyszer végighaladjunk? (Moszkvai folklór, 6 pont) 3. Keressük meg a n 2 2 + 7 = x egyenlet összes megoldását, ha n és x egész szám. Bizonyítsuk be, hogy több megoldás nincs. (4 pont) 4. Egy téglalapba egy négyszöget írtunk be, melynek csúcsai a téglalap különböz oldalain találhatók. Bizonyítsuk be, hogy a beírt négyszög kerülete nem kisebb mint a téglalap átlójának a kétszerese. (V.V. Proizvolov, 8 pont) 5. Bizonyítsuk be, hogy 18 egymást követ háromjegy szám között van legalább egy, amely osztható jegyeinek az összegével. (6 pont) 13

JUNIOR 1984-85. sz, második forduló Az 1-2. feladatok megegyeznek az els fordulóbeliekkel. 3. M egy síkbeli véges ponthalmaz, semely három pontja sincs egy egyenesen. Néhány pontpár közti szakaszt behúztunk, de egyik pontból sem indul egynél több. Ha létezik AB és CD egymást metsz szakasz, akkor ezt a két szakaszt elhagyjuk s helyettük behúzzuk az AC és BD szakaszokat. Ha van további metszéspont, ismét lecseréljük a szakaszokat. Lehetséges-e ezt a cserélgetést végtelenségig folytatni? (V. E. Kolosov, 6 pont) 4. Hat zenész muzsikált egy zenei fesztiválon. Minden koncerten néhányan zenéltek, amíg a többiek közönségként hallgatták ket. Legalább hány koncert volt, ha mindenki meg tudta hallgatni a többieket? (Kanadai feladat, 12 pont) 5. Camelot szigetén 13 szürke, 15 barna és 17 karmazsin szín kaméleon van. Ha két különböz szín kaméleon találkozik, akkor mindkett nek a színe a harmadik színre változik (pl. ha egy szürke és egy barna szín kaméleon találkozik, akkor mindkett nek a szine karmazsin színre változik). Lehetséges-e, hogy egy id után minden kaméleon egyforma szín lesz? (V.G. Ilichev, 12 pont) JUNIOR 1984-85. tavasz, els forduló 1. Az ABC háromszögnek egy súlyvonala, egy szögfelez je és egy magassága egy bels O pontban metszi egymást. A szögfelez nek az a szakasza, amelyik összeköti az O pontot a csúccsal, ugyanolyan hosszú, mint a magasságnak az a szakasza, amelyik összeköti az O pontot a háromszög megfelel csúcsával. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög szabályos. 2. Rendelkezésünkre áll 68 érme, amelyek közül semelyik kett sem egyforma tömeg. Mutassuk meg, hogyan lehet 100 méréssel megtalálni a legkisebb és a legnagyobb tömeg érmét egy kétkarú mérleg segítségével. (S. Fomin, Leningrad, 5 pont) 3. Keressük meg az 3 ( x + y) = z, 3 ( y + z) = x, ( z + x) 3 = y egyenletrendszer összes valós megoldását. (A. Aho, J. Hopcroft, J. Ullman ötlete alapján, 5 pont) 4. Három szöcske egy egyenes vonalon helyezkedik el. Minden másodpercben az egyikük ugrik egyet. Minden ugrásnál az egyik szöcske átugrik egy másik szöcskét (de nem mind a kett t). Bizonyítsuk be, hogy 1985 másodperc után a szöcskék nem kerülhetnek vissza a kiinduló helyzetbe. (Leningrádi Matematikai Olimpia, 5 pont) 5. Egy adott sorozatnak minden elemét (a második elemt l kezdve) úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk az el tte lév elemet a számjegyeinek összegével. A sorozatnak az els eleme 1. Szerepel-e a sorozatban a 123 456? (S. Fomin, 5 pont) 14

JUNIOR 1984-85. tavasz, második forduló 1. Egy háromszög oldalai a, b és c, γ a c oldallal szemközti szög. Bizonyítsuk be, hogy γ c (a + b)sin. 2 (V. Prasolov, 5 pont) 2. Az A szám egészrésze I(A) a legnagyobb egész szám, amelyik nem nagyobb mint A. Az A szám törtrésze, F(A), megadható az A - I(A) fejezéssel. a) Adjunk példát olyan A számra, amelyre teljesül a következ : F(A) + F(1/A) = 1. b) Lehet-e az (a)-ban kapott A racionális szám? (I. Varge, 3+5 pont) 3. Egy osztályba 32 diák jár. Alkottak 33 klubot, mindegyikben 3 f vel. Nincs két klub, melyek tagsága azonos lenne. Igazoljuk, hogy van két klub, melyeknek pontosan egy közös tagja van. (8 pont) 4. Egy négyzetet 5 téglalapra osztottunk szét úgy, hogy a 4 csúcsa 4 olyan téglalaphoz tartozik, melyeknek a területe egyenl. Az ötödik téglalapnak nincs közös pontja a négyzet oldalaival (lásd az ábrát). Bizonyítsuk be, hogy az ötödik téglalap négyzet. (5 pont) 5. Egy 10 10-es táblázatba beírtuk a 0, 1, 2, 3,..., 9 számokat úgy, hogy mindegyik szám 10- szer szerepel. a) El lehet rendezni ezeket a számokat úgy, hogy minden oszlopban, vagy minden sorban legfeljebb 4 különböz szám legyen? b) Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan sor vagy oszlop, amelyik több mint 3 különböz számot tartalmaz. (L. D. Kurlyandchik, 6+6 pont) SENIOR 1984-85. sz, els forduló 1. Az ABCDEF konvex hatszögben a következ szakaszpárok párhuzamosak: AB és CF; CD és BE; EF és AD.. Igazoljuk, hogy az ACE és BDF háromszögek területei egyenl k. (5 pont) 2. Azonos a juniorok 2. feladatával. Itt 5 ponot ér. 3. Az ABC háromszög B és C csúcsánál 40 -os szög van. Legyen D a B-b l induló szögfelez és AC közös pontja. Igazoljuk, hogy BD+DA=BC. (5 pont) 4. Bizonyítsuk be, hogy 18 egymást követ háromjegy szám között van legalább egy, amely osztható jegyeinek az összegével. (5 pont) 5. Camelot szigetén 13 szürke, 15 barna és 17 karmazsin szín kaméleon van. Ha két különböz szín kaméleon találkozik, akkor mindkett nek a színe a harmadik színre változik (pl. ha egy szürke és egy barna szín kaméleon találkozik, akkor mindkett nek a szine karmazsin színre változik). Lehetséges-e, hogy egy id után minden kaméleon egyforma szín lesz? (V.G. Ilichev, 12 pont) 15

SENIOR 1984-85. sz, második forduló 1. Azonos az els forduló 1. feladatával. 2. Az a 1, a 2,, a 100 számok 1-100-ig az egészek valamilyen sorrendben. Definiáljuk a b i számokat: b =. i a k k= 1 Mutassuk meg, hogy az így kapott száz szám 100-as maradékai között lesz 11 különböz. (L. D. Kurliandcsik, 10 pont) 3. Egy szabályos tízszög minden átlóját meghúztuk. Minden csúcshoz és az átlók minden metszéspontjához odaírunk egy +1 számot. Egy lépésben egy tetsz leges oldal, vagy átló mentén megváltoztathatom az összes szám el jelét. Elérhetjük-e, hogy minden szám -1 legyen? (10 pont) 4. Hat zenész muzsikált egy zenei fesztiválon. Minden koncerten néhányan zenéltek, a többiek pedig közönségként hallgatták ket. Legalább hány koncert volt, ha mindenki meg tudta hallgatni a többieket? (Kanadai feladat, 10 pont) 5. Egy 7 7-es táblára 16 darab 1 3-as lapot és egy 1 1-est tettek átfedés nélkül. Mutassuk meg, hogy az 1 1-es lap vagy a középs, vagy a tábla szélén van. (10 pont) SENIOR 1984-85. tavasz, els forduló 1. Az ABCD négyszögben AB=BC=d, a B-nél lev szög 100, a D-nél lev pedig 130. Mekkora a BD átló? (4 pont) 2. Az 1,2,,1985 számokból legfeljebb hányat választhatunk ki úgy, hogy semely két kiválasztott különbsége se legyen prím? (6 pont) 3. Legyenek a, b, c valós számok. Tudjuk, hogy a+b+c>0, bc+ca+ab>0 és abc>0. Igazoljuk, hogy mindhárom szám pozitív. (6 pont) 4. Egy egyenes mentén van három szöcske. Minden másodpercben egyikük átugorja valamelyik másikat, de egyszerre nem ugornak át soha kett t. Igazoljuk, hogy 1985 ugrás után nem lehetnek a kiindulási helyzetben. (Leningrád városi versenyér l, 4 pont) 5. Egy négyzetet 5 téglalapra osztottunk szét úgy, hogy a 4 csúcsa 4 olyan téglalaphoz tartozik, melyeknek a területe egyenl. Az ötödik téglalapnak nincs közös pontja a négyzet oldalaival (lásd az ábrát). Bizonyítsuk be, hogy az ötödik téglalap négyzet. (4 pont) i 16

SENIOR 1984-85. tavasz, második forduló 1. Igazoljuk, hogy egy egységkocka tetsz leges síkra es mer leges vetületének területe ugyanakkora számérték, mint a kocka vetületének hossza a síkra mer leges egyenesre. (6 pont) 2. Az O középpontú kör sugara másodpercenként 360/n fokot fordul el, ahol n pozitív egész. A kiindulóhelyzetben legyen a sugár OM 0. Egy másodperc múlva legyen OM 1, újabb két másodperc múlva (azaz indulástól kezdve 3 másodperc múlva) OM 2, újabb három másodperc múlva (azaz indulástól kezdve 6 másodperc múlva) OM 3, stb. Mely n számok esetén osztják a kört n egyenl részre az M 0, M 1,, M n-1 pontok? a) A 2 hatványai mind ilyen számok-e? b) Van-e olyan n, amelyik nem 2 hatványa? (V.V. Proizvolov, 4+4 pont) 3. Egy osztályba 32 diák jár. Alkottak 33 klubot, mindegyikben 3 f vel. Nincs két klub, melyek tagsága azonos lenne. Igazoljuk, hogy van két klub, melyeknek pontosan egy közös tagja van. (6 pont) 4. Az R sugarú félkör nem takarható le az F konvex alakzattal. Lehetséges-e, hogy F-nek két egybevágó példányával letakarható egy R sugarú kör? Mi a helyzet, ha F konkáv? (N.B. Vasziljev, A.G. Samosvat, 8 pont) 5. Egy négyzetet téglalapokra vágtunk. Néhány téglalap láncot alkot, ha a négyzet valamelyik oldalát az arra es mer leges vetületeik lefedik és ez a lefedés egyréteg. Azaz nincs olyan egyenes, mely a négyzet másik oldalával párhuzamos és a lánc két téglalapját is átszelné. a) Mutassuk meg, hogy bármely két téglalaphoz hozzávehet néhány, melyekkel együtt láncot alkotnak. b) Oldjuk meg a problémát térben, kockát téglatestekre vágva. (A lánc vetülete most valamelyik élet fedi egyréteg en.) (A.I. Goldberg, V.A. Gurevics, 12+12 pont) 17

JUNIOR 1985-86. sz 1. Egy bajnokságon nyolc futballcsapat vesz részt. Minden egyes csapat pontosan egyszer játszik minden csapattal, nincsenek döntetlenek. Bizonyítsa be, hogy a bajnokság végén lehet találni négy csapatot (legyenek A, B, C és D) úgy, hogy A legy zte B-t, C-t és D-t, B csapat C-t és D-t, C pedig D-vel játszott meccsén diadalmaskodott! 2. A macska-egér játék során a macska az egeret üldözi az A, a B, illetve a C labirintusban. K M K M K M A B C A macska a K pontból indul, az egyik K-val szomszédos pontba lép egy ábrabeli vonalon haladva. Ezután az M pontban kezd egér mozog ugyanezen szabály szerint, majd ismét a macska következik és így tovább. Ha a macska és az egér bármikor egy helyen tartózkodik, a macska felfalja az egeret. Létezik-e a macska számára nyer stratégia, amelynek segítségével biztosan elkapja az egeret A, B, illetve C esetben? (A. Szoszinszkij, A:1 pont, B:3 pont, C:1 pont) 3. Egy osztály minden egyes tanulója a következ feladatot kapja: Vegyünk két koncentrikus, 1 és 10 egységnyi sugarú kört! A kisebbik körhöz húzzunk három érint t, melyeknek A, B és C metszéspontjai a nagyobbik kör belsejében vannak. Mérjük S meg ABC háromszög S területét és az S 1, S 2, S 3 körcikkszer, A, B, C csúcsú területeket is, majd számítsuk ki S 1 +S 2 +S 3 S értékét. Igazolja, hogy minden tanuló ugyanazt az eredményt kapja! (A.K.Tolpygo, 4 pont) A B C S 2 S 3 4. Két játékos egymással sakkozik órákat használva (ha az egyik játékos lépett, megállítja a saját óráját és elindítja ellenfeléét). Amikor a játékosok befejezték negyvenedik lépésüket, mindkét óra 2 óra 30 percet mutatott. Bizonyítsa, hogy a játék során volt olyan pillanat, amikor az egyik óra 1 perccel és 51 másodperccel mutatott kevesebbet a másiknál! Kijelenthet -e továbbá, hogy a két óraállás közötti különbség valamikor pontosan két perc volt? (S. Fomin, Szentpétervár, 4 pont) 5. Két ember fej vagy írást játszik egy-egy pénzérmével. Az egyik tízszer, a másik tizenegyszer dobja föl a sajátját. Mekkora annak a valószín sége, hogy a második érem esetén többször lesz az eredmény fej, mint az els nél? (Azok számára, akik nem járatosak a valószín ségszámítás rejtelmeiben, a kérdést az alábbi formában is feltehetnénk: Vegyük az összes olyan 21 jegy számot, amelyeknek minden számjegye 1 vagy 2. Az esetek hányadrészében fordul el a 2-es számjegy az utolsó 11 jegy között többször, mint az els 10 között? ) (S. Fomin, Szentpétervár, 4 pont) 6. Az X 1, X 2,... sorozatban X 1 =0,5 és X k+1 =(X k ) 2 +X k minden természetes k szám esetén. Adja meg az 1/(X 1 +1)+1/(X 2 +1)+...+1/(X 100 +1) összeg értékének egészrészét! (A. Andjans, Riga, 10 pont) 18

7. A szupersakk fantázianev játékot 30x30-as táblán játsszák 20 különböz figurával. Minden figura saját szabályai szerint mozog, de egyik mez r l sem léphet húsznál több másikra. Egy figura leüt egy másikat, ha arra a mez re lép, ahol az éppen tartózkodik. A megengedett lépések (pl m lépés el re, n lépés jobbra) nem függnek a figurák indulási helyét l. Bizonyítsa, hogy a) Egy figura nem tud leütni egy adott mez n álló másikat több mint 20 kiindulási mez r l. b) Létezik a húsz figurának olyan elrendezése a táblán, ahol egyikük sem tud leütni egy másik figurát sem egyetlen lépésben. (A. K. Tolpygo, Kiev, 3+5 pont) 19

JUNIOR 1985-86. tavasz 1. Az ABC háromszög A és B csúcsán keresztül egy-egy egyenest húzunk, amelyek a háromszöget négy részre (három háromszögre és egy négyszögre) osztják. A négy alakzat területe közül három egyenl nagyságú. Bizonyítsa, hogy e három terület közül a négyszög az egyik! (G. Galperin, A. Savin, Moszkva, 3 pont) 2. Az N természetes szám tízes számrendszerbeli alakjában minden egyes számjegy osztja N-t (a 0 számjegy nem fordul el ). Legfeljebb hányféle különböz számjegyb l állhat N? (S. Fomin, Szentpétervár, 6 pont) 3. Egy város utcái háromféle irányúak és a várost egyenl terület szabályos háromszögekre osztják. A keresztez désekben a forgalom csak egyenesen, 120 o -kal jobbra vagy balra haladhat tovább az ábrán látható módon. Kizárólag a keresztez désekben szabad kanyarodni. Két autó áll egy keresztez désben. Az egyik elindul valamelyik szomszédos keresztez dés felé, és amikor eléri, a második kocsi is kezd haladni felé. Ett l a pillanattól fogva azonos sebességgel mozognak, ám nem feltétlenül kanyarodnak ugyanarra. El fordulhat-e, hogy valamikor találkoznak? (N. N. Konsztantinov, Moszkva, 4 pont) 4. Az ABCD négyzet AB és CD oldalán rendre adottak a K és L pontok, a KL szakaszon pedig adott az M pont. Igazolja, hogy az AKM és MLC háromszögek köréírt köreinek M-t l különböz metszéspontja az AC átlóra esik. (V. N. Dubrovszkij, 5 pont) 5. Egy bajnokság els napján a részt vev húsz futballcsapat mindegyike egy-egy meccset játszik, majd másnap egy-egy újabb összecsapás következik. Bizonyítsa, hogy a második nap után kiválasztható tíz csapat úgy, hogy nincs közöttük kett, amelyek már játszottak egymással. (S. A. Genkin, 6 pont) 6. A sziszifuszi munka : Egy dombra felvezet lépcs 1001 fokból áll, közülük néhányon egy-egy kavics található. Sziszifusz felemel egy kavicsot az egyik fokról, majd a fölötte lev legközelebbi üres fokra helyezi. Ezután ellenfele, Aid egy fokkal lejjebb gurít egy kavicsot, amelynek a lépcs foka alatt közvetlenül üres fok következik. A lépcs n található összesen 500 kavics a legalsó 500 lépcs fokon helyezkedik el. Sziszifusz és Aid felváltva rakosgatják a kavicsokat, Sziszifusz lép els ként. Célja, hogy a legfels fokra tegye az egyik kavicsot. Megakadályozhatja ezt Aid? (S. Jeliszejev, 8 pont) 7. Egy osztályban harmincan elhatározzák, hogy meglátogatják egymást. Minden egyes diák egy este során több látogatást tehet, ám otthon kell maradnia, ha aznap vendéget vár. Igazolja, hogyha mindenki meg akar látogatni mindenkit, a) négy este nem elég, b) öt este nem elég, c) tíz este elégséges, d) hét este is elég. (3+3+3+3 pont) 20

SENIOR 1985-86. sz 1. Adott egy konvex négyszög és belsejében egy M pont. A négyszög kerülete legyen l, átlóinak hossza e és f. Mutassuk meg, hogy M-nek a csúcsoktól való távolságainak összege nem nagyobb, mint l+e+f. (V. Prasolov, 3 pont) 2-3-4. Megegyezik a juniorok 4-5-6. feladatával. Itt csak 3-7-7 pont. 5. a) Az A 1 A 2 A 3...A n konvex poligon bels pontja O.Tekintsük az összes A i OA j szöget, ahol i és j két különböz egész 1 és n között. Bizonyítsuk be, hogy ezek közül legalább n-1 nem hegyesszög. b) Ugyanez a probléma n csúcsú konvex poliéderre. (V. Boltyanszkij, 8+4 pont) 6. Az ABC háromszög A-ból induló magasságának talppontja H, B-b l induló szögfelez jének talppontja E. Tudjuk, hogy a BEA szög 45. Igazoljuk, hogy EHC = 45. (I. Sharygin, 10 pont) 7. A szupersakk fantázianev játékot 100x100-as táblán játsszák 20 különböz figurával. Minden figura saját szabályai szerint mozog, de egyik mez r l sem léphet húsznál több másikra. Egy figura leüt egy másikat, ha arra a mez re lép, ahol az éppen tartózkodik. A megengedett lépések (pl m lépés el re, n lépés jobbra) függhetnek a figurák aktuális helyzetét l. Bizonyítsa, hogy létezik a húsz figurának olyan elrendezése a táblán, ahol egyikük sem tud leütni egy másik figurát sem egyetlen lépésben. (A. K. Tolpygo, Kiev, 5 pont) SENIOR 1985-86. tavasz 2 k 1. Mely k természetes szám esetén veszi fel a maximumát? k 1.001 (4 pont) 2. A juniorok 5. feladata. Itt 4 pont. 3. Egy tetsz leges tetraéder éleit valamilyen irányítással tekintsük hat vektorként. Lehet-e összegük zérus? (4 pont) 4. Az F függvény minden valós számon értelmezett, és minden x-re F(x+1)F(x)+F(x+1)+1=0. Igazoljuk, hogy F nem folytonos. (A.I. Plotkin, 4 pont) 5. Az ABCD paralelogramma BAD szögének felez je BC-t és CD-t rendre K-ban és L-ben metszi. Tudjuk, hogy ABCD nem rombusz. Mutassuk meg, hogy a CKL háromszög köréírt körének középpontja rajta van a BCD háromszög köréírt körén. (10 pont) 6. Tudjuk, hogy a... a 0. Igazoljuk, hogy a a1 2 2n 1 2 2 2 2 1 a 2 + a3... + a 2n 1 a1 a2 + a3... + a 2n 1 ( ) 2. 7. A juniorok 7. feladata. Itt 3+2+2+3 pont. (L. Kurliandcsik, 8 pont) 21

JUNIOR 1986-87. sz 1. Adott két kétjegy szám, x és y. Tudjuk, hogy x kétszer akkora, mint y. y egyik jegye az összege, másik jegye pedig a különbsége x számjegyeinek. Keressük meg x és y lehetséges értékeit, és bizonyítsuk be, hogy más megoldás nincs. 2. Az ABCD négyzet és az O kör 8 pontban metszik egymást, és így négy köríves háromszög keletkezik, AEF, BGH, CIJ és DKL háromszögek. (EF, GH, IJ és KL körívek.) Bizonyítsuk be, hogy a) EF és IJ ívek hosszainak összege egyenl GH és KL ívek hosszainak összegével. b) Az AEF és CIJ íves háromszögek kerületeinek összege egyenl a BGH és DKL íves háromszögek kerületeinek összegével. (V. V. Proizvolov, 2 pont) 3. Egy játékot ketten játszanak. Van egy téglalap alakú csokoládé, ami 60 kockából áll, 6 10- es elrendezésben. A tábla csokoládét csak a rácsvonalak mentén szabad eltörni. Az els játékos valahol eltöri a táblát, és megeszi az egyik részt. Ezután a másik játékos eltöri a megmaradt darabot, és is megeszi az egyik részt. Az els játékos is megismétli ezt, és így tovább. Az a játékos nyer, aki egyetlen kockát hagy meg. Ha mind a ketten jól játszanak, melyikük fog nyerni? (S. Fomin, 4 pont) 4. Tekintsük az 1, 2,..., N halmaz részhalmazait! Minden részhalmazban kiszámítjuk az elemek reciprokainak szorzatát. Mennyi az így kapott szorzatok összege? (4 pont) 5. Keressük meg egy adott körbe írt háromszögek magasságpontjainak (a magasságvonalak metszéspontjainak) mértani helyét! (A. Andjans, 7 pont) 6. Egy futballbajnokságban (minden csapat mindegyik másikkal egyszer játszik, a gy zelem 2, a döntetlen 1, a vereség 0 pontot ér) 28 csapat vesz részt. A bajnokság alatt a mérk zések több, mint 75 %-a végz dött döntetlennel. Bizonyítsuk be, hogy a végén volt két csapat, amelyik azonos pontszámot ért el! (M. Vera, gimn. tanuló, Magyarország, 7 pont) 7. Egy sakktábla minden mez jét kékre vagy pirosra színeztük. Bizonyítsuk be, hogy a királyn tehet egy körutat az összes egyszín mez érintésével! A királyn az ilyen szín mez ket többször is meglátogathatja. Más szín mez re nem léphet rá, viszont áthaladhat felettük. A királyn vízszintes, függ leges vagy átlós irányban tetsz leges távolságot léphet. (A. K. Tolpugo, 9 pont) 22

JUNIOR 1986-87. tavasz, els forduló Városok Viadala 31+ a + a 1+ a + a. (2 pont) 2. Egy hegyesszög háromszögben a magasságok talppontjai egy új háromszöget alkotnak. Tudjuk, hogy ennek a háromszögnek két oldala párhuzamos az eredeti háromszög két oldalával. Bizonyítsuk be, hogy a harmadik oldal is párhuzamos az eredeti háromszög valamelyik oldalával! 2 4 2 1. Bizonyítsuk be, hogy a minden értékére ( ) ( ) 2 (2 pont) 3. Van két darab háromliteres üvegünk. Az egyik 1 liter vizet, a másik 1 liter 2 %-os sóoldatot tartalmaz. Az egyik edényb l át lehet önteni kívánt mennyiség folyadékot a másik edénybe és összekeverni ket, hogy különböz összetétel sóoldatokat nyerjünk. Ezt többször is megtehetjük. El lehet-e így állítani 1,5 %-os sóoldatot abban az üvegben, ami eredetileg vizet tartalmazott? (S. Fomin, 3 pont) 4. Derékszög háromszög alakú csempéink vannak, melyeknek befogói 1 illetve 2 cm hosszúak. Kirakhatunk-e egy négyzetet 20 darab ilyen csempéb l? (S. Fomin, 3 pont) JUNIOR 1986-87. tavasz, második forduló 1. Egy gép minden bedobott ötcentesért kidob öt darab egycentest, és minden egycentesért öt darab ötcentest. Lehetséges-e, hogy Péternek a gép segítségével egy id után ugyanannyi egycentes és ötcentes érméje legyen, ha az elején egy egycentese volt? (F. Nazarov, Leningrádi olimpia, 1987, 3 pont) 2. Egy nyolcszögb l valamely átlójával nyolcféleképpen vághatunk le négyszöget. Lehetségese, hogy e nyolc négyszög közül (a) négynek; (b) ötnek van beírt köre? (P. M. Sedrakjan, Jereván, 2+2 pont) 3. Egy 8 8-as sakktábla bal alsó sarkában lev 3 3-as négyzetben elhelyeztünk kilenc gyalogot. Bármelyik gyalog átugorhat egy másikat úgy, hogy a mellette lév üres mez re áll; vagyis bármelyiket középpontosan tükrözhetjük a szomszédjára. (Az ugrások vízszintesek, függ legesek és átlósak is lehetnek.) Ilyen lépésekkel kell áthelyezni a gyalogokat a sakktábla egy másik sarkába (egy másik 3 3-as négyzetbe). Áthelyezhetjük-e ket a) a bal fels sarokba? b) a jobb fels sarokba? (J. E. Briskin, 2+3 pont) 4. Az ABC hegyesszög háromszög A-nál lév szöge 60 -os. Bizonyítsuk be, hogy a B-hez és C-hez tartozó magasságok által bezárt szög valamelyik szögfelez je átmegy a körülírt kör középpontján. (V. Pogrebnyak, 12 éves tanuló, Vinnitsa, 5 pont) 5. Néhány kockát kiszíneztünk hat színnel, úgy, hogy minden kockának hat különböz szín oldala van. (A színek az egyes kockákon különféleképpen lehetnek elhelyezve.) A kockákat úgy helyeztük el egy asztalon, hogy egy téglalapot alkossanak. Megtehetjük, hogy kivesszük valamelyik oszlopot, elforgatjuk (az egészet együtt) a hosszanti tengelye körül, majd visszatesszük a téglalapba. Ugyanezt megtehetjük egy sorral is. Elérhetjük-e bármilyen kiindulási helyzetb l ilyen lépésekkel, hogy az összes kocka tetején ugyanolyan szín legyen? (D. Fomin, Leningrád, 5 pont) 23

SENIOR 1986-87. sz 1. Az ABCD trapéz átlóinak metszéspontja M. AD és BC párhuzamosak, AB mer leges ADre és a trapézba kör írható. Legyen a beírt kör sugara R. Mekkora a DCM háromszög területe? 2. Megadható-e egy olyan N szám, melyre létezik N-1 darab végtelen számtani sorozat, rendre 2, 3, 4,..., N-1 differenciákkal, úgy, hogy minden természetes szám valamelyikben szerepeljen? 3. Megadható-e 100 darab háromszög, melyek közül egyik sem takarható le a többi 99 segítségével? 4. Legyen N!!=N(N-2)(N-4)...5 3 1, ha N páratlan és N!!=N(N-2)(N-4)...6 4 2, ha N páros. Például 8!!=8 6 4 2 és 9!!=9 7 5 3 1. Igazoljuk, hogy 1986!!+1985!! osztható 1987-tel. (V.V. Proizvolov, 5 pont) 5. A juniorok 6. feladata. Itt 5 pont. 6. Egy sakktábla mez ire ráírtuk 1-t l 32-ig a számokat, mindegyik kétszer szerepel. Mutassuk meg, hogy kiválasztható 32 mez úgy, hogy minden sorból és oszlopból választunk legalább egy mez t, és a kiválasztott mez kön különböz számok állnak. (A. Andjans, 8 pont) 7. Egy kör kerületén adott 21 pont. Tekintsük az összes, két pont által meghatározott ívet. Bizonyítsuk be, hogy legalább 100 olyan ív van, amelynek középponti szöge kisebb 120 -nál. (A.F.Szidorenko, 8 pont) SENIOR 1986-87. tavasz, els forduló 1. Felírhatjuk-e 1986-ot 6 darab páratlan négyzetszám összegeként? (2 pont) 2. A háromdimenziós térben adott az ABCD paralelogramma és az S sík. Az A, B, C pontoknak a távolsága S-t l a, b, c. Határozzuk meg D távolságát S-t l. (2 pont) 3. A juniorok 3. feladat. Itt 2 pont. 4. Kiválasztjuk a sakktábla egyik mez jét. Vesszük a középpontjának a fekete mez k középpontjától mért távolságait s tekintjük ezek négyzetösszegét. Legyen ez s. A világos mez k középpontjaira ugyanez v. Igazoljuk, hogy s=v. (A. Andjans, 3 pont) 24

SENIOR 1986-87. tavasz, második forduló 1. Legyen p(x) egész együtthatós polinom. Tudjuk, hogy p(x)-p(y)=1, ahol x és y egészek. Mutassuk meg, hogy x és y különbsége 1. 2. Egy egységsugarú kört lefedtünk hét darab azonos nagyságú körrel. Bizonyítsuk be, hogy átmér jük nem kisebb az egységnél. 3. Egy városban egy lakástulajdonos egy napon belül csak egy másik lakástulajdonossal cserélhet lakást. (Nem lehet több között "körbecserélés".) Bizonyítsuk be, hogy két nap alatt tetsz leges adott állapotból tetsz leges másikba juthatunk a megengedett cserékkel. (N.N. Konstantinov, 5 pont) 4. Igazoljuk, hogy minden természetes n-re: 2 3 4... (n 1) n < 3. (V. Proizvolov, 5 pont) 5. Az ABC szabályos háromszög M bels pontjának az oldalakra es mer leges vetületei D, E, F. Határozzuk meg azon M-ek mértani helyét, melyekre DEF derékszög háromszög. (J. Tabov, 5 pont) 6. Két játékos játszik a 8 8-as sakktáblán. A kezd elhelyez egy lovat valamelyik mez re. Ezután felváltva lépkednek, de nem léphetnek már korábban érintett mez re. Aki nem tud lépni, veszt. Melyik játékosnak van nyer stratégiája? (V. Zudilin, Moldova, 12 éves diák, 6 pont) JUNIOR 1987-88. sz 1. Bizonyítsuk be, hogy minden 3-hatvány utolsó el tti számjegye páros. (V.I. Plachko, 3 pont) 2. Határozzuk meg azon M pontok mértani helyét az ABCD rombusz belsejében, amelyekre az AMB és a CMD szögek összege 180. (5 pont) 3. Egy játékban két játékos felváltva választ egyre nagyobb természetes számokat. Ha valaki az n számot választja, a következ az n+1, n+2,..., 2n-1 számok bármelyikét választhatja. Az els szám a 2. Az nyer, aki az 1987-et választja. Ki nyer, ha mindkét játékos a lehet legügyesebben játszik? (5 pont) 4. Van egy AC ívvel, és egy ABC töröttvonallal határolt síkidom úgy, hogy az ív és a törött vonal az AC húr ellentétes oldalán helyezkedik el. Szerkesszünk egy olyan egyenest, mely az AC ív középpontján megy át, és felezi a síkidom területét. (5 pont) 5. Adottak A, B és C nem negatív számok, amikr l tudjuk, hogy A 4 + B 4 + C 4 2 (A 2 B 2 + B 2 C 2 + C 2 A 2 ). a) Bizonyítsuk be, hogy A, B és C egyike sem nagyobb, mint a másik kett összege. b) Bizonyítsuk be, hogy, A 2 + B 2 + C 2 2 (AB + BC + CA). c) Következik-e az eredeti egyenl tlenség a (b)-ben lév b l? (V.A. Senderov, Moszkva, 3+2+2 pont) 6. Van 2000 almánk, néhány kosárban elrendezve. Kivehet k kosarak, és/vagy a kosarakból almák. Bizonyítsuk be, hogy ekkor lehetséges az, hogy ugyanannyi alma lesz minden megmaradt kosárban, és legalább 100 alma marad összesen. (Razborov, 8 pont) 7. Három háromszögnek (egy kék, egy zöld, és egy piros) van egy közös bels pontja, M. Bizonyítsuk be, hogy kiválasztható minden háromszögb l egy csúcs úgy, hogy az M pont az általuk alkotott háromszög egy bels pontja. (Bárány Imre, Magyarország, 8 pont) JUNIOR 1987-88. tavasz, els forduló 25

1. Januárban Kolját és Vászját húszszor osztályozták az iskolában, és mindkett 20 osztályzatot kapott (ezek mindegyike legalább kettes volt). Kolja annyi ötöst kapott, mint Vászja négyest, annyi négyest, mint Vászja hármast, annyi hármast, mint Vászja kettest, és annyi kettest, mint Vászja ötöst. Ha mindkett jüknek ugyanaz az átlaga, határozzuk meg, hogy Kolja hány kettest kapott. (S. Fomin, Leningrad) 2. Az ABCD konvex négyszögben BC felez pontja M, DA felez pontja N. Az AC átló felezi MN-t. Bizonyítsuk be, hogy az ABC és az ACD háromszögek területe egyenl. 3. (a) Egy szabályos tízszög csúcsait felváltva feketére és fehérre festették. Két játékos a következ játékot játssza. Egymás után húznak egy átlót, mely összeköt két azonos szín csúcsot. Ezek az átlók nem metszhetik egymást. Az gy z, aki az utolsó átlót behúzza. Ki nyer, ha mindkét játékos a legjobb stratégiával játszik? (b) Válaszoljuk meg a kérdést szabályos tizenkétszög esetén. (V.G. Ivanov) 4. Egy sakktábla négyzeteibe beírtuk a számokat 1-t l 64-ig (1-t l 8-ig balról jobbra az els sorba, 9-t l 16-ig balról jobbra a második sorba, és így tovább). A számok elé plusz, vagy mínuszjeleket írtunk úgy, hogy minden sorban és oszlopban 4-4 plusz és mínuszjel van. Bizonyítsuk be, hogy a leírt számok összege nulla. 26