MTA DOKTORI ÉRTEKEZÉS VÖRÖS GÁBOR

MTA DOKTORI ÉRTEKEZÉS VÖRÖS GÁBOR 8

Merevített lemez é héj elemek méretezée, mechanikai vizgálata Írta Vörö Gábor aki a Magyar Tudományo Akadémia doktora cím elnyeréére pályázik Budapet, 8

TARTAOMJEGYZÉK. BEVEZETÉS.. Tudományo előzmények.. Célkitűzéek, vizgálati módzerek.3. Fontoabb mennyiégek jelölée. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI.. Elmozdulá vektor.. Igénybevételek, kereztmetzeti jellemzők.3. A virtuáli munka elve.3.. A kezdeti terhelé munkája.3.. A Timohenko - Bencouter modell.3.3. A Timohenko - Vlaov modell.3.4. A Bernoulli - Vlaov modell.4. A klaziku modell vizgálata.4.. Kezdeti belő erők munkája.5. A VEM7 végeelem modell 3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA 3.. Keret kritiku terhelée 3.. Cavart tengely tabilitáa 3.3. Hajlított tengely zabad rezgéei 4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA 4.. Az ST6 modell 4.. Az ST7 modell 4... Kezdeti kapcoló erők ecentricitáa 5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA 5.. emez zabad lengéei 5.. Nyomott lemez kritiku terhelée 5.3. Nyomott lemez zabad lengéei 5.4. Hajlított lemez kritiku terhelée 6. ÖSSZEFOGAÁS 6.. Új tudományo eredmények 6.. Haznoítá lehetőégei 7. HIVATKOZÁSOK 7. Saját publikációk az értekezé témájából FÜGGEÉKEK F. Rudak cavaráa é nyíráa F.. A cavarái vetemedéi függvények tulajdonágai F.. A nyíró faktor F.3. Kereztmetzeti jellemzők zámítáa F. A VEM7 elemmátriok 5 8 3 4 9 3 3 4 6 8 3 3 33 36 43 43 44 46 49 5 54 56 57 6 6 63 64 67 68 68 7 73 75 --

. BEVEZETÉS. BEVEZETÉS A vékonyfalú rudakkal merevített lemezzerkezetek fonto zerepet játzanak a nyomátartó kézülékek, járművázak, tároló edények, konténerek, tartózerkezetek tervezéében, általában a könnyűzerkezetű, úlytakaréko tehervielő gépelemek kialakítáában. Szilárdági méretezéük, mechanikai tulajdonágaik vizgálatának klaziku módzerei az ortrotróp lemez/héj vagy a térrác modellek elméletén alapultak. Ezek közö vonáa, hogy a helyetteítő, fiktív lemez/héj vagy rúdrác modell kereztmetzeti é anyag jellemzőit a valódi zerkezet adataiból, különböző egyenértékűégi elvek zerint zármaztatták, (Farka [], Michelberger, Fekete [46], Timohenko [66]) ezért elfogadható pontoágú eredményeket cak elegendően űrű é egyenlete merevítő elem eloztáú zerkezetekre adtak. Pontoabb vizgálatokra a végeelem eljárá keretében nyílik lehetőég... ábra. Merevített lemez elem alkalmazáa.. Tudományo előzmények A merevített felületzerkezetek mechanikai vielkedéének elemzéére alkalmazott végeelem modellekben különálló rúd é lemez/héj elemeket alkalmaznak, melyeknél a megfelelő comópontokat egy fiktív merev kapcolatnak megfelelő tranzformációval kötik öze (.a. ábra). Ez a kapcolái eljárá ami az azono forgá, lineári elmozdulá kapcolatot biztoítja azt a közimert hipotézit alkalmazza, ami zerint a rúd eredetileg ík kereztmetzete a terheléi folyamat orán ík marad. A merevítő elem cavaráát i elemző munkák között érdeme megemlíteni Barik, Mukhopadhyay [6], Bedair [3], Jirouek [3], vagy a közelmúltból Brubak, Helleland [7] publikációit. Ezekben a közleményekben a merevítő rúdnál azonban cak a St-Venant féle zabad cavarái hatát vették figyelembe, mivel a fiktív merev kapcolódát leíró tranzformáció nem tartalmazza a kereztmetzet cavarái vetemedéből (öblöödééből) adódó hatáokat. --

. BEVEZETÉS Imerete, hogy a cavart rúd kereztmetzete az alakváltozá orán általában nem marad ík, vetemedik. Ha ezt az.b. ábrán bemutatott cavarái vetemedét rézben vagy egézben külő vagy belő kényzerek korlátozzák, akkor az jelentő hatáal lehet a rúd fezültégi állapotára é az egéz zerkezet mozgáára. Ezt a jelenéget nevezzük gátolt cavarának. A gátolt cavará klaziku elméletének kidolgozáa Vlaov [68] nevéhez fűződik. A cavarái vetemedé é így a gátláának hatáa különöen a vékonyzelvényű rudaknál lehet jelentő mértékű. a. b. z y N p e z N b ( ) u=ϑ ϕ.. ábra. Rúd-lemez kapcolá (a), vékony zelvény cavarái vetemedée (b). Az önálló rúdzerkezetekre elvégzett vizgálatok eredményekből tudható, hogy a gátolt cavará hatáa tabilitái é dinamikai jelenégek körében alapvetően megváltoztathatja a zerkezetek vielkedéét. A rúd kereztmetzetében a cavaró/nyíró középpont (a cavarái forgá pólupontja) é a úlypont (tömegközéppont) közötti távolág, a geometria vagy a terhelé ecentricitáa következtében a cavaró é hajlító mozgáok kapcolódhatnak, ami jelentően módoíthatja a kritiku terhelé vagy a ajátfrekvenciák értékét é a lengéképek alakját. Ez alapján feltételezhetjük, hogy merevített lemezzerkezeteknél i jelentő lehet a merevítő rúdelem torzió merevégének, ecentricitáának vagy tömegelozláának közelítő vagy pontoabb modellezéének hatáa. Erre vonatkozó méréi, é egyzerű zámítái modellek eredményeit közlik többek között Zheng, Yuren [7], Ghavami [3], [4] é Hughe, Ghoh, Chen [9]. A merevítő rúdelem cavaró vetemedéének é a lemez membrán mozgáainak kapcoláára Sapountzaki é Moko [57] egy érdeke, kétvonala kapcolái eljárát közöltek, ami elvileg megegyezik az [S] publikációban leírtakkal. Az átfogó elméleti vizgálat é a publikációk hiányát talán magyarázza az, hogy tatiku terheléeknél a rúdban a cavarái vetemedé korlátozáa olyan járuléko, helyi fezültégelozlát hoz létre, ami önmagában egyenúlyi, é ezért a méretezénél, zilárdági ellenőrzénél máodlago fezültégnek minőül. Alapvetően má a helyzet, ha a zerkezet globáli jellemzőit, például a ajátfrekvenciákat, lengéképeket, tabilitáveztét okozó -3-

. BEVEZETÉS kritiku terheléeket vizgáljuk, vagy máodrendű tatikai, dinamikai zámítát kell végezni, amikor az eredményeket az önálló rúdzerkezethez haonlóan jelentően módoíthatja a merevítő rúdelem torzió merevégének, a úlypont, nyíró középpont, terhelé ecentricitának vagy tömegelozláának közelítő vagy pontoabb modellezée. Elvileg é kellő kapacitá eetén gyakorlatilag i perze lehetége, hogy özetett, merevített felületzerkezetekben a rúdzerű alkatrézeket i lemez, héj vagy akár térbeli vége elemekkel modellezzük. Ennek következménye lehet, hogy a modell mérete, a zabadágfokok záma é a zámítái idő hatványozottan növekzik, azonban ami még ennél i fontoabb, a modell áttekinthetőége romlik é ez az eredmények értelmezéét, értékeléét nehezíti. Jobb megoldá, ha az elemek tulajdonágait javítjuk é a modellezhető jelenégek körét, pontoágát a rúdelem zintjén növeljük. Ezt a célt követve megvizgáljuk, hogy a merevítő elemek vonatkozáában a rúdelmélet keretén belül maradva milyen lehetőégek vannak a pontoabb modell megalkotáára. Gátolt cavarákor a cavaró forgának a rúd hoztengelye menti változáa a erően eltér a lineári elozlától, ezért ezt a forgát i a hajlító mozgáokhoz haonló pontoággal leíró rúdelem comópontonként legalább hét zabadágfokú, ahol a három mozgá é három forgá mellett a hetedik zabadágfok a vetemedéi paraméter, ami a Vlaov elmélet zerint lehet a fajlago elcavarodá. A ki forgáok elméletére épülő, egyene rudak lineári tatikai vizgálatára alkalma, comópontonként hét zabadágfokú rúd végeelem már régóta imert, leíráa megtalálható - többek között - Iványi, Papp [3], Ki [4], Kitipornchai [4], Sapká, Kollár [56], Páczelt, Herpai [49] vagy Kollár [43] munkáiban. Azonban már a nyolcvana évek elején kiderült, hogy a ki forgáok feltételezéével előállított hét zabadágfokú rúdelemekből álló modell nem alkalma térbeli zerkezetek vizgálatára. Ennek oka, amint azt Argyri [3], [4] kimutatta, a forgáok nem kommutatív termézete. A virtuáli munka elvében, annak i a kezdeti terheléek é az elmozdulá növekmények kapcolatát leíró rézében a linearizálá következtében a cavaró é a hajlító nyomatékok eltérő módon követik a forgá növekményeket, má zóval a cavaró igénybevétel kvázitangen a hajlító igénybevételek pedig zemitangen tulajdonágúak leznek. Ha ezek a nyomatéki igénybevételek nem függetlenek egymától, ami például keretzerkezetnél vagy görbült elemeket i tartalmazó zerkezeteknél előfordulhat, a nem egytengelyű elemek catlakozái pontjaiban a kezdeti nyomatéki egyenúlyi állapot a forgánövekmények jellegétől függően megbomlik. A kici/nagy forgáok problémája a modellnek az úgynevezett geometriai merevégét, é ezen kereztül a tabilitái, máodrendű tatikai, dinamikai vagy a poztkritiku vizgálatok körét érinti. A végeelem módzer fejlődéének már a korai zakazában megjelentek a -4-

. BEVEZETÉS gyakorlatban i jól haználható, comópontonként hat zabadágfokú rúdelemek, azonban a hetedik vetemedéi vagy gátolt cavarái zabadágfokot i tartalmazó elemek fejleztée az előbbiekben rézletezett elvi nehézégek miatt a nyolcvana évek elején megzakadt. Az elmúlt években a nagy zámban megjelenő publikációk tanúága zerint a hét zabadágfokú rúdelemek kutatáa imét napirendre került. A nemlineári mechanika eredményeinek é módzereinek felhaználáával Kim MY é zerzőtárai [34], [35] publikálták a vége (zemitangen) forgáok é ki alakváltozáok elméletére épülő virtuáli munka elvét, amiből levezetett rúd végeelem modell már alkalma térbeli zerkezetek dinamikai, kritiku terhelé vagy tabilitá vizgálatára. Ettől kezdve egymá után jelentek meg az új elv alkalmazái körének bővítééről zóló publikációk, például a nyírái alakváltozáal i zámoló Timohenko rúdelmélet, tabilitái (kritiku terhelé), dinamiku tabilitái feladatok, poztkritiku állapot vizgálata, kompozit anyagú, görbe vagy változó kereztmetzetű rudak alkalmazáa. Kiragadott példaként említhetnénk Kim [37], [39], Sabuncu [55], Teh [6], Turkalj, Brnic [67] publikációit. Külön ki kell emelni Kim, Jeon, Kim 5-ben megjelentetett, a rugalma ágyazáú rudak vizgálatáról zóló [38] közleményét, ahol a zerzők az új elmélet alapján a rúd é egy máik rugalma rendzer (az ágyazá) özekapcolái lehetőégeit vizgálták. Ebbe a orba illezthető jelen dolgozat témaválaztáa, a merevített felületzerkezetek vizgálata, ahol a központi kérdé a rúd é egy máik mechanikai modell (lemez/héj) kapcoláa... Célkitűzéek, vizgálati módzerek Az előzőekben rézletezett előzményekre alapozva, célunk egy olyan, a végeelem módzer keretein belül i haználható eljárá elméleti alapjainak é alkalmazái lehetőégeinek kidolgozáa, amely merevített felületzerkezetek rúdzerű alkatrézeiben a gátolt cavará hatáának pontoabb vizgálatára i alkalma. Ennek kapcán két alapvető kérdét kellett megoldani: egyik a cavarái mozgát i megfelelően leíró általáno rúdelmélet illetve rúd végeelem modell megalkotáa, a máik pedig a merevítő é a merevített lemez/héj elemek özekapcoláának problémája. Már itt fonto megemlíteni, hogy a mozgáok folytonoágának feltétele még az elmozdulá módzeren belül em elégége a feladat egyértelmű leíráához. Mivel rudaknál a terhelének a nyíróközépponthoz vizonyított ecentricitáa, az úgynevezett load tiffne hatá i lényege, a merevítő rúdelemnél a kinematikai kapcolá mellett a dinamikai mezők (a kapcoló erőrendzer) illeztéére i zükég van. -5-

. BEVEZETÉS Az elméleti kérdéek tiztázáa é megoldáa után numeriku kíérletekre alkalma algoritmut é zámítógépi program környezetet kellett kialakítani. A kidolgozott eljárá ellenőrzéére özehaonlító vizgálatokat végeztünk zakirodalmi adatok é héj végeelem modelleken (COSMOS/M) végzett zámítáok eredményei alapján. Numeriku eredményeket előorban a lineári tabilitá (kritiku terhelé) é a dinamika, időben állandó erőkkel terhelt merevített zerkezetek frekvencia é lengékép zámítáa köréből mutatunk be. ( ) MU + + G σ K K U = P (.) alakú, ahol U a comóponti elmozdulá növekmény vektora, M a tömeg, K a lineári merevég, K G a σ kezdeti fezültégállapottól függő geometriai merevégi, vagy érintő merevégi mátriok, é P a külő terhelé növekményének vektora. A rugalma rendzer elvezti tabilitáát, ha egy λσ kezdeti tatiku egyenúlyi állapothoz több lehetége mozgáállapot tartozhat, azaz, zéru teher növekmény eetén i lehetége nem zéru U mozgá növekmény: ( σ ) λ K + KG U=, (.) ahol λ a kritiku terhelé paramétere. A lineári ajátérték feladat megoldáa megadja a kritiku terhelét, de nem alkalma az ezt követő pot-buckling mozgáok leíráára, azok tabil vagy intabil jellegének megállapítáára. Ilyen jellegű vizgálatokra jelen dolgozat keretében nem térünk ki, mivel elődlege cél a merevített zerkezetek mechanikai vielkedéének modellezéére alkalma alap mennyiégek, a K, K G é M, mátriok megalkotáa. Az ω frekvenciájú periodiku mozgát vagy zabad lengét végző é állandó erőkkel terhelt lineárian rugalma zerkezet frekvencia é lengékép zámítáának alapegyenlete a ( ( )) K + K M U= (.3) G σ ω ajátérték feladat. A dolgozat tárgyának elméleti megalapozáát a. é 4. fejezetekben imertetjük, é a 3. é 5. fejezetekben a módzer ellenőrzéére, minőítéére alkalma numeriku feladatokat mutatnak be. A. fejezetben a nagy forgáok, ki alakváltozáok elméletének felhaználáával levezetjük az egyene rudak vizgálatára alkalma virtuáli munka elveket é a Bernoulli-Vlaov elmélet alapján a végeelem modell mátriait. Igazoljuk, hogy ez a rúdmodell térbeli zerkezetek vizgálatára i alkalma, mivel az abban zereplő kezdeti belő -6-

. BEVEZETÉS erők nyomatékai a hajlító é a cavaró nyomatékok i zemitangen tulajdonágúak. A 4. fejezetben levezetjük a rúd é lemez/héj elemek özekapcoláára alkalma tranzformációkat. A 3. é 5. fejezetekben imertetett feladatokkal é numeriku megoldáokkal bemutatjuk a zükége é kötelező numeriku ellenőrzéek mellett a comópontonként hét zabadágfokú rúd végeelem modell zélekörű, helyenként a zokáo gépézeti, mérnöki alkalmazáok keretein túlmutató lehetőégeit. Ezek alapján i megállapítható, hogy az elmélet é a kapcolódó végeelem modell a célkitűzéekben megfogalmazott jelenégek vizgálatára alkalma. Az eredmények további haznoítáa zempontjából zükég volt a rúd kereztmetzeti jellemzők zámítáára alkalma algoritmu kidolgozáára. Olyan zámítógépi programrendzert kézíttettünk, ami tetzőlege geometriájú kereztmetzetre a tatikai, tabilitái é dinamikai feladatokhoz zükége geometriai jellemzőket, például a Wagner féle azimetria jellemzőket, nyíró középpontot, vetemedéi (öblöödéi) tényezőt, tb. meghatározza. Ezt az eljárát haználtuk fel a FemDeign végeelem programrendzer fejleztéénél i. (Bojtár, Gápár [6], 7. oldal) Röviden özefoglalva, a dolgozat fő célkitűzée annak vizgálata, hogy merevített lemez é héjzerkezeteknél a merevítő rúdelem torzió jellemzőinek, ecentricitáának vagy tömegelozláának közelítő vagy pontoabb modellezée milyen eetekben é milyen mértékben módoítja a zámítái eredményeket. -7-

. BEVEZETÉS.3. Fontoabb mennyiégek jelölée atin betű jelöléek: A kereztmetzet területe B bimoment C rúd kereztmetzet geometriai középpontja D különbégi forgátenzor E rugalmaági modulu f, f y, f z vonal mentén megozló erőrendzer F, F y, F z koncentrált erő G cúztató rugalmaági modulu I p i p I r, I I ω J k Ge k Gi k k r, k M r, M M t M M, M 3 M q M M W m S nyíró középponti polári máodrendű nyomaték S nyíró középponti polári inercia ugár a C ponti fő máodrendű nyomatékok vetemedéi (öblöödéi) tényező cavarái máodrendű nyomaték kezdeti külő erők geometriai merevégi elemmátria kezdeti belő erők geometriai merevégi elemmátria elem lineári merevégi mátria nyíró faktorok C úlyponti hajlító igénybevételek C úlyponti cavaró igénybevétel S nyíró középponti cavaró igénybevétel S nyíró középponti hajlító igénybevételek kvázitangen nyomatékú erőpár zemitangen nyomatékú erőpár Wagner féle nyomaték elem tömeg mátria N, N, N comópontok N húzó igénybevétel P külő terhelé támadápontja r, rúd kereztmetzet C ponti főtengelyei S nyíró/cavaró középpont U lineári elmozdulá növekmény vektor U * quadratiku elmozdulá növekmény vektor -8-

. BEVEZETÉS U E elem nyíró középponti változók mátria u, v, w az S nyíró középpont elmozduláai u átlago tengelyirányú elmozdulát u, u y, u z az N comóponti elmozduláok V r, V nyíró igénybevételek, y, z N comóponti koordináta tengelyek, 3 S nyíró középponti koordináta tengelyek y CS, z CS cavaró/nyíró középpont koordinátái y SP, z SP külő terhelé ecentricitáa Görög betű jelöléek: α, α y, α z az N comóponti forgáok α, β, γ az S nyíró középponti forgáok β r, β, β ω kereztmetzet Wagner féle azimetria jellemzői δw külő teher növekmény virtuáli munkája. λ a kritiku terhelé paramétere Π G, Π G kezdeti fezültégekből zármazó energia változá Π Ge Π ρ kezdeti külő terheléek munkája a forgá növekményen linearizált alakváltozái energia tömegűrűég Θ, Θ y, Θ z kvázitangen nyomatékú erőpárok irányzöge ϑ vetemedéi paraméter φ a pirálforgá vektora φ C φ ψ r, ψ Ω ω ξ a C ponthoz kapcolt cavarái vetemedéi függvény az S ponthoz kapcolt cavarái vetemedéi függvény nyírái vetemedéi függvények a ki forgáok tenzora ajátfrekvencia rúd végeelem dimenziótlan hoz koordinátája. -9-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI Az egyene, hozúágú, tetzőlege, de állandó kereztmetzetű rúdelem koordináta rendzerei láthatóak a.. ábrán. A kereztmetzet geometriai középpontja C é az r, tengelyek a kereztmetzet főtengelyei. Ezekkel az irányokkal párhuzamoak az N comóponti y, z é az S nyíró (cavaró) középponti, 3 koordináta tengelyek. Az irány párhuzamo a rúd tengelyével. A C, S é a külő koncentrált vagy vonal mentén megozló terhelé P támadápontjának helyzetét a kereztmetzet íkjában a tetzőlege helyzetű N comópontból kiinduló, a.. ábrán jelölt relatív koordinátákkal adjuk meg. Az N, C, S é P pontok zétválaztáa a kéőbbiekben lehetővé tezi az ecentriku kapcolódáok kezeléét. X N Z Y y N N z z SP z CS z NC N z C 3 P S y NC y CS y SP f z f y r y.. ábra. okáli koordináta rendzerek é ecentricitáok A következőkben feltételezzük, hogy a. a kereztmetzet alakja a aját íkjában nézve nem változik, b. az alakváltozáok kicik, c. a rúd anyaga lineárian rugalma, homogén, izotróp, d. a cavarái vetemedéi mozgá kici. e. a kereztmetzet cavarái vetemedée é az S pont helye zabad é gátolt cavará eetén azono (Vlaov, [68]), f. a cavaró é nyíró középpont egybeeik (Muttnyánzky, [48], 6. oldal), g. a σ r, σ, é τ r fezültégkomponenek elhanyagolhatóak... Elmozdulá vektor A b. feltétel zerint a kereztmetzet olyan mozgát végez, aminek réze egy adott pont körüli forgá. A.. ábra zerinti A vektort az e egyégvektorral adott, álló tengely körül Θ zöggel az a helyzetbe forgató tranzformáció (Simmond, [6], 58. oldal): ( ) ( )( ) a= AcoΘ + e A inθ + e e A coθ, --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ami a zögfüggvények máodfokú közelítéével a következő alakban írható fel: a I+ Ω+ Ω Ω A, (.) ahol Ω a ki forgáok tenzora é I az egyégtenzor: γ β coθ Θ Θ Θ Θe= [ α β γ] T I= γ α Ω = β α, in,,,. A Θ e a.. ábra. Vége forgá Az elmozdulá vektor a kereztmetzet merevtetzerű mozgáának amit az S pont körüli forgá é az S pont u S haladó mozgáa ír le é a íkra merőlege, ki mértékű u v cavarái vetemedé özege. A vége forgáok (.) zerinti máodrendű közelítéével a rúd egy tetzőlege anyagi pontjának elmozdulá vektora, ami a pillanatnyi é a kezdeti helyzetek különbége: * u= us + I+ Ω+ Ω Ω ( R RS) + uv ( R RS) = U+ U, (.) A.. ábra jelöléeivel: u ϑϕ us = v, v, S r y CS u = R R = =. (.3) w z A (.) vektor lineári é máodfokú rézei: CS 3 U = S + ( S) + v = U y U u Ω R R u U z ( ) ( ) α( ) α( ) u+ ϑϕ β zcs γ r ycs u+ ϑϕ + β 3 γ = v + z = v α CS 3 w r y CS w+ α, (.4a) --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI * U * * U = ( ΩΩ ) ( R RS) = U y * U z αβ ( r ycs ) αγ ( z ) CS αβ αγ (.4b) + + 3 = ( α + γ )( r ycs ) + βγ ( zcs ) = ( α + γ ) + βγ 3. βγ ( r- ycs ) ( α + β )( zcs ) βγ ( α + β ) 3 A (.4a) egyenletben ϑ() a vetemedéi paraméter é φ(r,) jelöli a St Venant féle vetemedéi függvényt, melynek tulajdonágait az F. függelék. fejezete rézletezi. Az u, v, w elmozduláok é az α, β, γ forgá paraméterek az S ponthoz kötött mennyiégek (.3.a. ábra). Az (u, v, w, α, β, γ, ϑ ) hét mozgá paraméter mindegyike az, illetve dinamikai feladatoknál az é az idő függvénye. Vékonyfalú zelvényeknél a vetemedéi függvény φ = -ω, ahol ω a zektor terület függvény zokáo jelölée, [46], [5], [68]. a. b. M 3 t z CS C α γ S u y CS w v β r τ t σ τ r z CS M M t C N V S M M r y CS V r M w M r.3. ábra Mozgá paraméterek (a.) é igénybevételek (b.) A (.) elmozdulá vektornak eltérő alakját kapjuk, ha a merevtet mozgá vetemedé orrendjét felceréljük. Ha a kereztmetzet vetemedik é ezek után mint egy merev alakzat mozog, az elmozdulá vektor a (.4a-b) komponenekkel a máodfokú tagokig bezárólag az * u= uv + us + I+ Ω+ Ω Ω ( R RS + uv) ( R RS + uv) U+ U + Ω u v (.b) alakban írható fel. Ezt alkalmazták, többek között Kim MY [33], Pi, Trahair [5] é Turkalj, Brnic [67], azonban a kéőbb bemutatandó virtuáli munka elv quadratizáláa orán ebből a harmadik tag kieik. Ez igazolta Kim MY, aki a kéőbbi publikációiban már a (.) elmozdulá vektort alkalmazta, [34], [35], [37]. A forgá középpontjának megválaztáában a zakirodalom nem egyége, találhatunk példát a C úlypont [35], [39], az S cavaró középpont [5], [8], [44], vagy a tetzőlege N pont [4] alkalmazáára, őt vegye megoldára i, amikor a hajlító forgáok középpontja a C, --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI a cavaró forgáoké pedig az S pont [34], [37], [67]. Önálló rúdzerkezeteknél ezek a lehetőégek elfogadhatóak, néha haznoak, de ha a rúdelemet má zerkezeti elemhez kapcoljuk amint azt a kéőbbiekben bemutatjuk cak az S lehet a forgó mozgá pólua... Igénybevételek, kereztmetzeti jellemzők A különböző rúdelméletekben általánoan elfogadott dinamikai hipotézi zerint a zérutól különböző fezültég koordináták a.3.b ábra zerinti σ normál é τ r, τ cúztató fezültégek. A normál fezültég a kereztmetzet alakjától függetlenül a σ N M M B r = + r + ϕ (.5) A Ir I Iω özefüggé zerint zámolható. A nyírából é a cavarából zármazó cúztató fezültégek elozláa az F függelékben rézletezett (F.), (F.8), (F.) máodrendű peremérték feladatok ponto vagy közelítő megoldáával határozható meg. Az elozláok konkrét formájától függetlenül a fezültégekkel egyenértékű húzó, nyíró, valamint a cavaró, hajlító nyomatéki igénybevételek a C úlyponti tengelyekre é a bimoment a következők: N = σ da, V = τ da, V = τ da, ( ) r r A A A M = rτ τ da, M = σ da, M = rσ da, B = ϕσ da. t r r A A A A (.6) A C úlyponti igénybevételekből a belő erők hajlító, cavaró nyomatékai valamint a Wagner féle nyomaték az S pontra, a.. ábra zerinti é 3 koordinátákkal: M = τ da, M = τ da, r 3 r A A ( τ τ ) M = da= M + M = M V y + V z, 3 r r t CS r CS A M = σ da = M z N, 3 r CS A M = σ da = M + y N, 3 CS A ( 3) M = + σ da= N i + M β M β + B β. W p r r ω A (.7) A (.6), (.7) özefüggéekben megjelenő kereztmetzeti jellemzők az A terület, az I r, I fő máodrendű nyomatékok, az I ω vetemedéi (öblöödéi) tényező, az I p polári máodrendű nyomaték é i p inercia ugár valamint a β r, β, β ω Wagner féle azimetria jellemzők: -3-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI A = da, I = da, I = r da, I = ϕ da, r ω A A A A I I r y z da I I A y z, i, ( ) ( ) ( ) p p = CS + CS = + r + CS + CS p = A A βr = (r + ) da z CS, β = r(r + ) da y CS, βω = ϕ I I (r + ) da. I r A A ω A (.8) A cavaró/nyíró középpont y CS, z CS koordinátáit az F. függelék (F.4b) özefüggée zerint lehet kizámítani. A (.8) jellemzők kizámítái módzerét az [S] é [S6] cikkek rézletezik..3. A virtuáli munka elve A rúdelem tetzőlege mértékű mozgáa vége zámú, ki mozgá növekmények orozatával írható le. A növekmény orozatnak két egymá utáni elemét mutatja a.4. ábra, ahol a V a már meghatározott, imert konfiguráció, továbbiakban kezdeti állapot a V az ezt követő, egyenlőre imeretlen, meghatározandó konfiguráció. V u u = U+U * u V.4. ábra. Kezdeti állapot é a növekmény A virtuáli munka elvének a kezdeti állapotra vonatkoztatott, update agrange formája Bathe [8] jelöléeivel, ( ) ( ) ( ) S δ H d V q δ u d V p δ u d A=, (.9) V V A ahol S a II. Piola-Kirchhoff fezültég tenzor, H a Green-agrange alakváltozái tenzor, q é p a térfogati é felületi terhelé é u a V konfigurációt megadó elmozdulá. Ebben az alfejezetben a vektor-tenzor mennyiégek leíráára az indee jelölémódot é az ortogonáli koordináta rendzerekben haználato özegzéi konvenciót alkalmazzuk. A kontinuummechanikai mennyiégek értelmezée é a jelölémód rézlete leíráa megtalálható többek között a [], [] vagy [6] könyvekben. Ennek megfelelően átírva a (.9) virtuáli munka elvet: S ij δ( H ij ) d V q i δ( u i ) d V p i δ ( u i ) d A=. (.) V V A -4-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI A V konfigurációhoz tartozó terheléek é fezültégek felírhatóak mint a V kezdeti állapothoz tartozó értékek é a növekmények özege: q = q + q, p = p + p, S = τ + S, (.) i i i i i i ij ij ij ahol τ ij a Cauchy féle - vagy kezdeti - fezültégek tenzora. Haonló módon, az elmozdulá növekmény é a virtuáli elmozdulá ( ) ( ) u = u + u = u + U + U, δ u =δ u =δ U + U, (.) * * i i i i i i i i i i ahol felhaználtuk az elmozdulá vektor növekmény (.) zerinti felbontáát. Ezzel a virtuáli mozgáokból zámolt Green-agrange féle virtuáli alakváltozá alakban írható fel, ahol δ =δ =δ + + ( Hij ) Hij ( ui, j uj,i uk,iuk, j ) * * 3 * =δ ( Ui,j + U j,i + Uk,iUk,j + Ui,j + U j,i + ) δ ( εij + ηij + εij ) * * * εij = ( Ui, j + U j,i ), ηi, j = Uk,iUk, j, εij = ( Ui, j + U j,i ), (.3) é a továbbiakban elhagyott réz: 3 = U U +U U +U U. * * * * k,i k, j k,i k, j k,i k, j A fezültég é a lineári alakváltozá növekmények kapcolata a rúdelem anyagára tett feltételezének megfelelően lineári, azaz Sij δ( Hij ) δ( Sijε ij ). (.4) Ha a (.)-(.3) felbontáokat é a (.4) anyagtörvényt behelyetteítjük a virtuáli munka elvének (.) alakjába, továbbá figyelembe véve, hogy az imert kezdeti állapot megoldá, azaz a V konfigurációt meghatározó mennyiégekre a virtuáli munka elve teljeül, ij ( ij ) i ( i ) i ( i ) τ δ ε d V q δ U d V p δ U d A=, (.5) a következő eredményt kapjuk: V V A δ vagy röviden * * * Sijεij d V + τijηij d V+ τijεij d V qu i i d V pu i i d A V V V V A q u d V p u d A =, iδ i iδ i V A (.6) -5-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( ) δ Π + Π + Π Π δ =. (.7) G G Ge W Itt az elő Π tag a linearizált növekményekből zármazó alakváltozái energia, a máodik é harmadik (Π G +Π G ) tag a kezdeti fezültégekből zármazó energia változá, a negyedik Π Ge tag a kezdeti külő terheléek munkája a forgá növekményen é az utoló tag a külő teher növekmény virtuáli munkája. A következőkben a rúdra vonatkozó virtuáli munka elv felíráához a (.6) általáno elvbe behelyetteítjük a (.3) tenzoroknak a (.4a-b) elmozdulá koordinátákkal kifejtett alakjait. A (.3) alakváltozái tenzorok koordinátái: U U U y U U z ε =, ε = +, ε3 = +. r (.8a) U U y U z η = + +, U U Uz Uz U U U y Uy η = +, η3 +, r r = (.8b) * * * * * * U * U U y * U U z ε =, ε = +, ε3 = +. (.8c) r A (.6)-(.7) elő, Π tagjában, mivel a rúdelem anyaga lineárian rugalma é homogén, az egyzerű Hooke törvény zerint S = E ε, S = G ε, S = G ε, (.9) 3 3 valamint a (.8a) alakváltozáok é a (.4a) elmozdulát helyetteítve, a kereztmetzetre vonatkozó integrálá elvégzée után a Π U U U y U U z = S ε dv E G dv = + + + + = r V V ij ij E A( u β zcs γ ycs ) Irβ Iγ Iωϑ d = + + + + + G Ak (( v γ) + ( α ϑ) z ) + Ak ( w β) ( α ϑ) y ( ) r CS CS ( )( ) + Ir + I J α ϑ + Jα d (.) eredményt kapjuk, ahol az E é G a rugalmaági moduluok. Az integrálá orán figyelembe vettük a φ(r,) vetemedéi függvény F. függelék (F.3b-7b) tulajdonágait valamint a (.8) zerinti kereztmetzeti jellemzőket. A (.8a) é (.9) özefüggéek zerint, a kereztmezet mozgáára tett feltételezé miatt, a V r é V nyíró igénybevételekhez a -6-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI kereztmetzetben állandó τ r, τ nyíró fezültégek adódnak, ami nyilván közelíté, é így az ezekből kizámított nyírái alakváltozái energia értéke i cak közelítének tekinthető. A (.) alakváltozái energia kifejezében k r é k nyíró faktorok a közelítő (állandó) é a ponto nyíró fezültégekből zámolt alakváltozái energiák hányadoa. A nyíró faktorok definícióját é zámítái módját az F. függelék. fejezete é az [S6] publikácó imerteti. A (.6) máodik é harmadik tagjában a kezdeti fezültégi állapot zérutól különböző koordinátái legyenek a (.3.b) ábra zerinti fezültégkoordináták: τ = σ, τ = τ, τ = τ. (.) r 3 A (.6)-(.7) máodik Π G tagja a (.8b) tenzor koordináták é a (.4a) elmozduláok helyetteítée után: Π U = τη dv = σ G ij ij V V U y U z + + dv U U U U z Uz U U y Uy + τr + + τ + dv. r r V A továbbiakban ebből a kifejezéből az áthúzott tagot elhagyhatjuk, mivel azt a (.) elő tagjával özeadva, a U U ( E+ σ ) E (.a) egyzerűíté jogoága belátható. Az aláhúzott tagokban ugyancak nagyágrendi megfontolából elhagyjuk a kimértékű cavarái vetemedé növekmény é a többi mozgá paraméter zorzatait: U U ϕ = + + 3 + 3 r r U U ϕ = + + 3 + + 3 + ( u ϑϕ β γ ) ϑ γ ( u β γ )( γ) ( u ϑ ϕ β γ ) ϑ β ( u β γ )( β), (.b). Ezen egyzerűíté következtében tűnik el a (.) é a (.b) elmozdulá vektorok közötti különbég. Ezzel a (.6) virtuáli munka elv máodik tagja Π = N( v + w ) + M α M v α M w α + V ( w α u γ) V ( v α u β) d (.3) G W 3 r ( β γ βγ ) τ ( αα γγ ) τ ( αα ββ ) r r 3 A + M M d + + + + dad, -7-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ahol felhaználtuk a normál fezültég (.5) alakját, az igénybevételek é az M W Wagner féle nyomaték (.6)-(.7) definícióit. A (.6)-(.7) harmadik, Π G tagja a (.8c) tenzor koordináták é a (.4b) elmozduláok helyetteítéével * * * * * * U U U y U U z Π G = τijeij dv = σ + τr + + τ + dv r V V = M ( α γ + αγ ) M3( α β + αβ ) + Vrαβ + Vαγ + ( M M r)( β γ + βγ ) d (.4) τr ( αα γγ ) τ3( αα ββ ) dad, A + + + ahol imét felhaználtuk az igénybevételek (.6) - (.7) definícióit. Ezek után a (.3) é a (.4) özege lez a kezdeti belő erőkből zármazó energia változá: ΠGi = ΠG+ ΠG = ( ) ( ) ( ) N v w MWα M βγ βγ M αγ αγ v α + + + + + (.5) M w V w V v V V u d. ( αβ αβ α ) ( β) α ( γ) α ( γ β) 3 + + + r + r ahol N, M, M, M 3, V r, V a rúdelem kezdeti állapotában a.3.b ábra zerinti húzó, cavaró, hajlító é nyíró igénybevételek, az u, v, w, α, β é γ pedig az S nyíró középponti mozgá növekmény paraméterek. A (.6) utoló két tagja a külő térfogati é felületi teher növekmény virtuáli munkája. Dinamikai feladatokban, időben gyoran változó mozgá növekményeknél a d Alambert elv zerinti tehetetlenégi erő lez a térfogati erő növekménye: ( * ) q = ρ u = ρ U + U. i i i i Itt a két pont jelöli az idő zerinti máodik deriváltat é ρ a tömegűrűég. Ezzel, valamint a virtuáli mozgá növekmény (.) alakjával, a máodfokúnál magaabb kitevőjű tagokat elhagyva, a tehetetlenégi erő növekmény virtuáli munkája δw = qiδui d V U i δui dv = δπm V V ρ, ami a (.4a) helyetteítée é a kereztmetzeti integrálok elvégzée után -8-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( β γ )( β γ) δ ΠM = ρ Au zcs + ycs δu zcsδ + ycsδ ( α ) ( α ) + A v + z δ v + A w y δw CS ( ) + CS CS + α p δ α + γ δγ rβ δ β + ωϑ δϑ CS A vz wy i I +I I d. (.6) A további külő erő növekmények munkája az imert módon zámítható, [49], [54], [74]. Mivel a jelen dolgozatban vizgált feladattípuok kritiku terhelé, lengékép, ajátfrekvencia zámítáa nagy rézénél ilyen terheléek nincenek, ezek további rézletezéétől itt eltekintünk..3.. A kezdeti terhelé munkája A (.6) elvben negyedik é ötödik Π Ge tag a kezdeti külő terheléek munkája a forgá növekményen, ami a rúdelem A p felületén működő p, p y, p z megozló terheléekből a Π = = + ( ) * ( p) pu d A p βα ( r y ) γα ( z ) Ge i i CS CS Ap Ap ( γβ ( ) ( α γ )( )) γβ ( ) ( α β )( ) ( ) + py zcs + r ycs + pz r ycs + z CS d özefüggé zerint zámolható. Ez alapján felírhatjuk.. ábrán jelölt P ponton átmenő vonal mentén megozló f, f y, f z, vagy a j jelű kereztmetzet P pontjában ható F, F y, F z koncentrált ecentriku kezdeti terheléek munkáját i: Π ( ) * Ge i i f f = fu d ( ) ( ( ) ) = f ( zspγ + yspβ) α + fy βγzsp ( α + γ ) ysp + fz βγ ysp α + β z SP d, ( F ) * ΠGe = F U j = F ( z γ + y β) α + F βγz ( α + γ ) y + F βγ y α + β z ( ) ( ( ) ) SP SP y SP SP z SP SP j. (.7) (.8) A kezdeti külő terhelé anyagi ponthoz kötött konzervatív erőrendzer, ami azt jelenti, hogy a mozgá növekményekkel a támadápontok elmozdulnak, de az erők iránya változatlan. Vizgáljuk meg azt az eetet, ha a rúdra ható kezdeti külő terhelé koncentrált erőpár, ami két azono nagyágú, egymához közel lévő, párhuzamo hatávonalú, de ellenkező irányítáú koncentrált erővel egyenértékű. Ha a Π Ge (.8) kifejezéében az F erő P támadápontjának az S nyíró középponthoz vizonyított koordinátái a.. ábrának megfelelően SP, y SP é z SP, akkor ebben a pontban a (.4b) U * vektort rézleteen kifejtve: -9-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( ) ( ) + ( + ) SP β + γ + yspαβ + zspαγ * U = ( ΩΩ ) ( RP R S ) = SPαβ ysp α + γ + zspβγ. (.9) SPαγ yspβγ zsp α β Előzör legyen a j jelű kereztmetzetben egy M cavaró nyomaték, ami egyenértékű a.5 ábra zerinti, F = M /k nagyágú é Θ irányú erőpárral. A P é P pontokban ható erők felbonthatóak a kereztmetzet r, főtengelyei irányú komponenekre: P : =, y = y + k in θ, z = z k co θ, F = F co θ, F = F in θ, SP SP SP SP SP y z P : =, y = y k in θ, z = z + k co θ, F = F co θ, F = F in θ. SP SP SP SP SP y z 3, (z, ) F y F P F z k P k M F z Θ P F y S, (y, r).5. ábra. Cavaró erőpár felbontáa Ezzel a kezdeti terhelő erőpár négy erőkomponenének az eredő (.8) munkája a (.9) mozgá növekményen: Π ( βγ ( ) ( α γ )( )) ( βγ ( ) ( α γ )( )) βγ ( ) ( α β )( ) = FcoΘ z kcoθ + y + kinθ FcoΘ z + kcoθ + y kinθ Ge SP SP SP SP ( ) ( βγ ( ) ( α β )( )) + FinΘ y + kinθ + z kcoθ SP SP FinΘ ysp kinθ + zsp + kcoθ j A kijelölt műveleteket elvégezve, rendezé után a in Θ Ge = M co Θ ( ) Π β γ βγ (.3) eredményt kapjuk. Az M nyomatékú kezdeti erőpár munkája függ az erőpárt alkotó erők Θ irányzögétől i. Ezt zemlélteti a.6a. ábra, ahol a kereztmetzet forgá növekményének irányától függően az anyagi ponthoz kötött erőpár nyomatékának iránya állandó, vagy érintő irányú. Az ilyen tulajdonágú erőpárt, illetve a nyomatékát Argyri [3], [4] nyomán kvázitangen nyomatéknak j. --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI nevezzük. Az erőpárt alkotó erők a mozgó anyagi ponthoz kötött, állandó irányú vektorok. a. b. y Θ = π/ M M y M / M M M z z z y M / y z.6. ábra. Kvázitangen (a.) é zemitangen (b.) cavaró erőpár Az M cavaró nyomaték a.6b. ábra zerinti két M / nyomatékú, egymára merőlege erőpárral i előállítható. Ilyenkor a kereztmetzet forgá növekményének irányától függetlenül az erőpárok eredő nyomatéka a kereztmetzeti forgá zögfelezője irányába mutat. Az ilyen tulajdonágú nyomatékot zemitangen nyomatéknak nevezzük. Az M nyomatékú zemitangen erőpár munkája a (.3) egyenletből előzör az M /, Θ majd az M /, Θ + π/ helyetteítéel zámítható. Mivel ( ) ( ) in Θ + π / = in Θ, co Θ + π / = co Θ, a (.3) alapján belátható, hogy a zemitangen kezdeti cavaró erőpár munkája Π Ge =. 3, (z, ) F F P k M y Θ y F z P k F z P F F S, ().7. ábra. M y hajlító erőpár felbontáa Haonló módon zámítható az M y nyomatékú kvázitangen hajlító erőpár (.8) munkája a (.9) mozgá növekményeken. A.7. ábra zerinti felbontáal, ahol F= M y /k, a P : = k in Θ, y = y, z = z k co Θ, F = F co Θ, F = F in Θ, SP y SP SP SP SP y y z y P : = k in Θ, y = y, z = z + k co Θ, F = F co Θ, F = F in Θ. SP y SP SP SP SP y y z y helyetteíté é rendezé után a in Θ y Ge = M y + co y Π ( α γ ) αγ Θ j --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI eredményt kapjuk. Ebből, ha az M y zemitangen nyomatékú, ami két kvázitangen nyomatékú erőpár eredője, az M y /, Θ y é az M y /, Θ y + π/ helyetteítéel mot i a Π Ge = eredményt kapjuk. Ezzel igazoltuk a következő megállapítát: A rúdra működő, kvázitangen nyomatékú kezdeti terhelő erőpárok munkája a forgá növekményeken: q in Θ ΠGe ( M ) = ( ) M β γ βγ co Θ in Θ y M y ( α γ ) αγ coθy in Θ z + Mz ( α β ) αβco Θz, a zemitangen tulajdonágú kezdeti terhelő erőpárok munkája pedig: ( ) j (.3) ΠGe M =. (.3).3.. A Timohenko Bencoter modell Az előzőekben felírt (.) é (.5) rézeredményeket özeadva, a (.7) virtuáli munka elv alakja ( ) δπ+π Π δπ δw Gi Ge M E A( u β zcs γ ycs ) Irβ Iγ Iωϑ d =δ + + + + +δ G Ak (( v γ) + ( α ϑ) z ) + Ak ( w β) ( α ϑ) y ( )( ) ( ) r CS CS + Ir + I J α ϑ + Jα d N( v w ) M( βγ βγ ) M( αγ αγ v α ) M3 αβ ( αβ w α ) +δ + + + + + + Ge M ( ) ( ) ( ) + MWα + Vr w + β α V v γ α Vrγ Vβ u d δπ δπ δ W =, (.33) ahol a Π Ge a kezdeti terhelétől függően (.7), (.8) vagy (.3), a δπ M pedig (.6) zerinti. Ebben a legáltalánoabb alakú elvben hét valóban független paraméter zerepel. Régóta imert, de vizonylag kevé publikáció foglalkozik Bencoter [4] elméletével, aki a Vlaov elmélet továbbfejleztéeként a cavarái forgát é a vetemedéi paramétert független változóknak tekintette. Szakirodalmi közléek zerint ez az elmélet előorban a zárt vékonyzelvényű rudak etén lehet hazno. A Bencoter féle elmélet alkalmazáa orán a Π --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI (.) alakjához haonló energia kifejezét haználtak tatikai zámítáokhoz Shakourzadeh, Batoz [58] é zárt zelvényű egyene rudak dinamikai vizgálatáról közölt eredményeket Cortinez [9]. A kezdeti igénybevételeket tartalmazó, (.5) zerinti Π Gi megegyezik MY Kim é zerzőtárai [34] által közölt alakkal, de ott a mozgáparaméterek a C úlyponthoz kötött mennyiégek, továbbá a (.33) egyenletben aláhúzott tagot, az aiáli mozgá hatáát elhagyták. Ez a tag egyene rúdnál valóban elhanyagolható, de im [44] vagy Gu [6] eredményei zerint görbe rudaknál, térbeli keretzerkezeteknél hatáa fonto lehet..3.3. A Timohenko Vlaov modell A gátolt cavará Vlaov elméletének alap feltételezée zerint a vetemedéi paraméter a fajlago elcavarodá: ϑ = α. (.34) Ezt a belő kinematikai kényzert beírva a (.33) elvbe, a nyírái alakváltozáokat i zámítába vevő, közimert Timohenko féle rúdmodellre érvénye virtuáli munka elvet kapjuk: ( ) δ Π + Π Π δπ δwζ Gi Ge M =δ E A( u β zcs + γ ycs ) + Irβ + Iγ + Iωα d +δ G Akr( v γ) + Ak( w β) + Jα d +δ N v + w + M + M + v M + + w ( ) ( β γ βγ ) ( αγ αγ α ) 3( αβ αβ α ) ( ) ( ) ( ) + MWα + Vr w + β α V v γ α Vrγ Vβ u d δπ δπ δ W =. Ge M (.35).3.4. A Bernoulli Vlaov modell A klaziku rúdelméletek közimert, Bernoulli, vagy Euler-Bernoulli geometriai hipotézie zerint a lehajláok é a forgáok kapcolata: β = w, γ = v. (.36) Ezzel a (.35) virtuáli munka elvének a Bernoulli-Vlaov rúdmodellre érvénye alakja: -3-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( ) δ Π + Π Π δπ δw Gi Ge M =δ EA( u + w zcs + v ycs ) + EIrw + EIv + EIωα + GJα d +δ N v + w + M v w vw + M v v + M w w ( ) ( ) ( α α ) 3( α α ) ( ) M V w V v V v V w u d + Wα + r α α r + δπ δπ δw =. Ge M (.37) ahol δπ Ge a kezdeti terhelétől függően vonal mentén megozló, koncentrált erő vagy kvázitangen nyomatékú erőpár a (.7), (,8) vagy a (.3) alapján δπ = δ f z v y w ( ) Ge SP SP α ( ( α ) ) ( α ) ( ) f y w v zsp + + v ysp f z w v ysp + + w z SP d +δ ( SP SP ) F z v y w α Fy( wvz SP + ( α + v ) ysp) Fz( wvy SP + ( α + w ) zsp) q in Θ +δ M ( w v ) + wv co Θ q in Θ y q in Θ z M y ( α v ) αv coθy + Mz ( α w ) + αw co Θz, i j (.38) a δπ M pedig a (.6) álltaláno kifejezéből a (.34) é (.36) belő kinematikai kényzerfeltételek helyetteítéével: ( )( ) δπ = ρ Au + wz + vy δ u+ z δ w+ y δv M CS CS CS CS ( ) ( CS CS ) ( CS CS p ) + A v + α z δ v + A w α y δ w + A vz wy + α i δα + I v δv +I w δ w + I α δα d. r ω ] (.39).4. A klaziku modell vizgálata A rudak vizgálatához már régóta haznált, közimert virtuáli munka elvet többek között Vlaov [68], Timohenko [65], Wahizu [69] nyomán a ki forgáok feltételezééből kiindulva írhatjuk fel. Ha a (.) elmozdulá vektorban a máodrendű U * tagot elhagyjuk, akkor a (.6) - (.7) virtuáli munka elvben az ehhez kapcolódó rézek kimaradnak: -4-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI δ Sijεij d V + τijηij d V qi δui d V pi δ ui d A=, V V V A vagy röviden a már bevezetett jelöléekkel: ( ) δ Π + Π δ =. (.4) G W Már itt i látzik, ha a linearizált elmozdulá mezőből indulunk ki, akkor a virtuáli munka elvének kvadratiku alakjából lényege elemek kimaradnak. A következőkben azt vizgáljuk meg, hogy a túl korai linearizálának mi a következménye. A (.3) zerinti Π G átalakítáához a zakirodalomban zokáo utat követve a következő két feltételezét alkalmazzuk (Ziegler, [73]) : (.4) M = M = M /, τ da= V y, τ da= V z. r r r SP 3 SP A A Az M r, M é M definíciói a (.7) egyenletek. Az elő feltétel zimmetriku kereztmetzetekre, a máodik é harmadik állandó cúztató fezültég elozláokra pontoan teljeül. Ha feltételezzük, bár ez pontoan nem mindig igazolható hogy a (.4) kereztmetzet alakjától é a fezültégelozlá jellegétől függetlenül minden eetben érvénye, akkor azt a (.3)-ba helyetteítve, a (.4) virtuáli munka elvben zereplő tagok: ( Π Π ) δ + δw G =δ Π +δ N( v w ) MWα M( βγ βγ ) Mvα M3wα + + + d (.4) +δ Vw r α Vv α + ( Vβ Vrγ ) u Vy r SP( αα + γγ ) Vz SP( αα + ββ ) d δw. Itt a Π kifejezée ugyanaz, mint a (.), mert abban nem jelenik meg az U * vektor. Ebből a klaziku Bernoulli Vlaov modell a (.34) é (.36) belő kinematikai kényzerfeltételek helyetteítéével: ( ) δπ+π δ W = G =δ ( + + ) + + + + EA u w zcs v ycs EIrw EIv EIωα GJα d +δ N( v + w ) + MWα + M( v w vw ) Mv α M3w α d ( ) ( ) ( ) +δ Vw r α Vv α Vv r + Vw u Vy r SP αα + vv Vz SP αα + ww d δw, (.43) formában írható fel, amiből kiindulva a V= r M, V=M, r V= r f, y V= f z egyenúlyi egyenletek, a (.7) egyenértékűégi egyenletek, különböző integrál átalakítáok é -5-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI egyzerűítéek felhaználáával további, az egyene rúdelemre alkalmazható klaziku elv formákat lehet levezetni. (Attard [5], Ki [4], Kitipornchai [4], Mohri [47]) Ezek rézletezée jelen dolgozatnak nem célja..4.. Kezdeti belő erők munkája A lineári elmozdulá mezőre épülő (.4) é a nagy forgáok hatáát i tartalmazó (.33) Timohenko Bencoter elmélet zerinti elveket özehaonlítva, látzik hogy az M, M 3 nyomatékok é a V r, V nyíró igénybevételek együtthatóiban van lényege különbég. Vizgáljuk meg az eltéréek jellegét é értelmét! M M M r M V r V M r V r V M.8. ábra. Rúdvégi igénybevételek - terheléek Vágjunk ki a rúdból egy hozúágú, egyene tengelyű rézt, ahol a rúdzakaz végein a belő erőrendzer komponenei, mint kezdeti külő terheléek jelennek meg (.8. ábra). Tételezzük fel, hogy ninc kezdeti húzó igénybevétel, a végponti terhektől eltekintve az zakaz terheletlen, a nyíró igénybevételek hatávonala átmegy az S nyíróközépponton, továbbá a rúdelem mozgáa laú é ninc teher növekmény: N =, M = M, M = M, y = z =, Π =, W =. (.44) r 3 SP SP M Ezek az egyzerűítéek a következő vizgálat lényegét nem érintik. Tételezzük fel továbbá, hogy az M cavaró nyomaték zemitangen, az M é az M 3 hajlító nyomatékok pedig kvázitangen tulajdonágúak: ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) q( ) ( ) q( ) ( ) q( ) ( ) q( ) ( ) F V, F V, y r y r F V, F V, z z M M, M M M = M, M = M, Θ =, y r y r y M = M, M = M, Θ =. z z z (.45) A vizgált zakazra alkalmazzuk a (.33) virtuáli munka elvet. A kezdeti külő terheléek -6-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI a.8. ábra zerinti rúdvégi erők é nyomatékok munkája a forgá növekményen a (.8), (.3) é (.3) özege, de ebből mot cak a kvázitangen nyomatékok (.3) munkája lez zérutól különböző, ami a (.45) rúdvégi terhek é az M r =V é a M =-Vr egyenúlyi feltételek helyetteítée é egyzerű integrál átalakítáok után a következő lez: Π =Π = = q q q ( M ) M αγ M αβ [ M αγ M αβ ] Ge Ge y z r = ( M αγ M αβ ) d= Vαγ M ( αγ ) Vαβ M ( αβ ) + + d. r r r Ezt beírva a (.33) elő három tagjába, Π + ΠGi ΠGe = Π + MWα M βγ βγ Mr αγ αγ vα M + + + αβ + αβ + w α ( ) ( ) ( ) + V ( w + β ) α V ( v γ ) α + ( V β Vγ ) u d Vαγ M ( αγ ) Vαβ M ( αβ ) + + d, r r r r a lehetége özevonáok utáni eredmény Π + ΠGi ΠGe = Π (.46) M M M v M w V w V v V V u d, + Wα ( βγ βγ ) r α α r α α ( β rγ) + + + ami megegyezik a (.44) egyzerűítéek zerint átalakított (.4) elvben a Π + Π G tagokkal. Az eredmények alapján megállapíthatjuk, hogy a (.45) kiinduló feltételezéekkel özhangban, a (.4) zerinti, klaziku virtuáli munka elvben a hajlító nyomatékok kvázitangen, a cavaró nyomaték pedig zemitangen tulajdonágúak. Ez az eltérő tulajdonág a klaziku elv alkalmazái lehetőégeit erően korlátozza, mivel a.6. ábra é az ehhez fűzött magyarázat zerint a forgá növekmények közben a kvázitangen é a zemitangen nyomatékok növekményei eltérőek leznek. Térbeli zerkezeteknél, nem egytengelyű rúdelemek catlakozáánál vagy görbe rudaknál, ahol a cavaró é hajlító igénybevételek nem függetlenek, egy terheletlen comópontra a kezdeti nyomatéki egyenúlyi állapot a növekményekkel kiegézülve nem marad meg (.9. ábra). Ezt a hatát Argyri [3], [4] mutatta ki é a comóponti egyenúly hiba javítáához egy korrekció geometriai merevégi mátri alkalmazáát javaolta. A korrekció mátri zármaztatáának módzerét általáno eetre Teh é Clarke [6] írták le. A vége forgáok feltételével megzerkeztett (.33) elv é az abból zármaztatott (.35), (.37) elvek alkalmazáa eetén a korrekció mátriok alkalmazáára ninc zükég é a néha kérdée (.4) feltételek alkalmazáát i elkerültük. -7-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI Ebben a fejezetben bemutatott vizgálatok eredményeit a következőkben foglalhatjuk öze: A (.) alakú, a forgá paraméterek máodfokú tagjait i tartalmazó elmozdulá vektorral megzerkeztett (.33) virtuáli munka elv minden további kiegézíté nélkül alkalmazható térbeli rúdzerkezetek vizgálatára, mivel abban a belő erők nyomatékai zemitangen tulajdonágúak. Ha a kezdeti hajlító é cavaró igénybevételek függetlenek, egyene rudaknál, vagy ík keretek íkbeli terheléénél é mozgáánál a (.37) é a (.4) elvek azono értékűek. Megmutattuk, hogy ez a két tétel, amit Kim é zerzőtárai [35] a (.37) Bernoulli-Vlaov modellre igazoltak, az általáno (.33) Timohenko Bencoter, é minden további, ebből zármaztatott modellre i érvénye. M=M q M α Mα/ M=M M.9. ábra. Nyomatéki egyenúly változáa.5. A VEM7 végeelem modell A virtuáli munka elvének (.33), (.35) vagy (.37) alakjaiból kiindulva, konkrét zerkezetekre vonatkozó megoldáokat lehet meghatározni. Egyik lehetőég a variációzámítá imert módzerével a peremérték feladat (agrange egyenletek, termézete peremfeltételek) zármaztatáa. Ez akkor hazno, ha az adott modell egyzerű é így van lehetőég ponto, vagy közelítő, de zárt alakú megoldá előállítáára, MY Kim, [36]. A máik lehetőég valamely direkt numeriku eljárá, célzerűen az általánoan haználható végeelem módzer alkalmazáa. A továbbiakban a virtuáli munka elvének (.37) Bernoulli-Vlaov formájából kiindulva, a lehető legegyzerűbb interpoláció alkalmazáával írjuk fel az elem mátriokat. Vezeük be az alábbi definíció zerinti átlago tengelyirányú elmozdulát: u = U da = u βzcs + γ y CS, u = u + βzcs γ ycs = u w zcs v y CS. A (.47) A Az elem comóponti paraméterei (zabadágfokai) legyenek az S nyíróközéppont három elmozduláa, a három forgá é a hetedik zabadágfok a vetemedéi paraméter: -8-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI T i = [ u v w α β γ ϑ] i U = i =,, E, ( 4, ) (.48) ahol U E az elem változók ozlop mátria. A két comópontú, tizennégy zabadágfokú elemen az átlago aiáli elmozdulát lineári, a lehajláokat é a cavaró forgát harmadfokú Hermite polinomokkal interpoláljuk. ( ) ( ) ( ) ( ) u ξ = u( ξ) + u ξ, v ξ = v F + γ F + v F + γ F, 3 4 w ξ = wf β F + wf β F, 3 4 α ξ = α F + ϑ F + α N + ϑ N, 3 4 (.5) 3 3 3 3 F = 3ξ + ξ, F = ξ ξ + ξ, F 3 = 3ξ ξ, F 4 = ξ ξ, ξ =. A hajlító é cavaró mozgáok azono zintű interpolációja akkor fonto é hazno, ha a vizgált feladatban ezek kapcolódáával kell zámolni. Az interpoláció függvényeket a (.37) é a kezdeti terheléeket hatáát leíró (.38) kifejezéekbe helyetteítve, az elem k lineári merevégi, k G = (k Gi + k Ge ) geometriai merevégi é (.39) zerint a m konzizten tömeg mátriai a következő módon zámíthatók ki: δuku = δ EAu + EI w + EI v + EI α + GJα d, (.5) ( ) T E E r ω T E Gi E ( ) ( α α ) 3( α α ) δuk U = δ N v + w + M v v + M w w ( ) Wα r α α ( )( ) ( ) + M v w vw + M + V w V v + Vv r + Vw wz CS + vy CS Vv r + Vw u d, (.5) T E Ge E = f ( z SP y SP ) ( fyzsp fz ysp ) ( fy ysp fz zsp ) + + δuk U δ v w α wv α f y v f z w d y SP z SP + δ ( ) F z γ + y β α + ( F z + F y ) βγ ( F y + F z ) α F z β F y γ q in Θ q in Θ y + M ( β γ ) βγ coθ M y ( ) α γ αγ co Θ y SP SP y SP z SP y SP z SP z SP y SP q in Θ z + Mz ( α β ) αβco Θz, j (.53) -9-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( ( α ) ( α ) ( α ) α) T δumu E E = ρa u δu+ v + zcs δv+ w ycs δw+ vzcs wy CS + ip δ ( δ δ α δα ) ρ Iv v Iw w I d. + + r + ω (.54) A (.5) alakú egyzerű interpoláció nagy előnye, hogy az elem mátriok zárt alakban kiintegrálhatóak, ami a numeriku zámítáok lehetége hibaforráait cökkenti. A harmadfokú elem megbízhatóágát, pontoágát Teh [63], [64] vizgálatai i igazolják. A (.5) - (.54) zárt alakban kiintegrált elem mátriokat az [S9], [S], [S3], közlemények, illetve a teljeég kedvéért az F. függelék i rézleteen bemutatja. A (.5), vagy (F.) k lineári merevégi mátri, ami az itt bemutatott é a klaziku modellben azono, megtalálható többek között Attard [5], Baroum, Gallagher [7], Iványi, Papp [3], Kim [34], Kitipornchai [4] publikációiban i. A k Gi geometriai merevégi mátrinak a direkt nyírát é az aiáli mozgát i tartalmazó (.5), vagy (F.a), valamint az m konzizten tömegmátri (.54), (F.4) formáját imertető közleményt a zakirodalomban nem találtam. Az (F.5), a forgáokra nézve i energetikailag konzizten, diagonál tömegmátri, amit Archer [] eljáráát követve, a merev tetek mozgáát leíró, elemi dinamikai özefüggéek alapján lehet megzerkezteni. Ennek rézleteit é pontoági vizgálatát az [S4] publikáció é az [S7] dolgozat közli. -3-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA 3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA Az előzőekben rézletezett elmélet é a VEM7 végeelem modell ellenőrzééhez haznált feladatok közül itt cak hármat imertetünk. A numeriku ellenőrzéhez ajánlott feladatort imertet Teh [63], [64]. Ezekre é még további feladatokra vonatkozó numeriku vizgálati eredmény a [S3], [S4], [S5], é [S7] publikációkban i található. A következőkben bemutatandó feladtok célja, a zükége é kötelező numeriku ellenőrzéeken túl, a rúd é a comópontonként hét zabadágfokú rúd végeelem modell zélekörű, helyenként a zokáo gépézeti, mérnöki alkalmazáok keretein túlmutató lehetőégeinek rövid bemutatáa. Ezek alapján i megállapítható, hogy a modell a célkitűzéekben megfogalmazott jelenégek vizgálatára alkalma. 3.. Keret kritiku terhelée A 3.. ábrán látható téglalap kereztmetzetű, nyitott íkbeli keret az F erő hatáára elvezti tabilitáát, a íkjára merőlegeen kihajlik é elfordul. A kritiku terhelé értéke függ az erő kereztmetzeten belüli ecentricitáától i é irányától i. = 4 mm b = 3 mm t =,6 mm Z X F t E = 74 N/mm ν =.3 r, y, z P P P b 3.. ábra. Keret terhelée é méretei A feladattal kapcolatban érdeme megjegyezni, hogy Argyri [3] a nyitott keret vizgálatával mutatta ki a.4. fejezetben imertetett klaziku modellben a hajlító é cavaró nyomatékok forgá növekmények közbeni eltérő vielkedéét. A következő zámítá eredményei i igazolják, hogy a klaziku modell nem alkalma térbeli zerkezetek vizgálatára. A kritiku terhelé zámítáát három különböző kezdeti terheléi eetre végeztük el, az F erő támadápontja a P (z SP = -b/), a P (z SP = ) é a P pont (z SP = +b/). A kritiku erők zámított é referencia értékeit a 3.. táblázatban foglaltuk öze. A pozitív eredmények a 3.. -3-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA ábra zerinti, a negatív az azzal ellenkező erő irányt jelentik. A táblázat elő két ora a VEM7 végeelem modellel az (.) alakú ajátérték feladat legkiebb pozitív é negatív ajátértékeiből, két különböző (N e = 4 é ) elemzámmal meghatározott eredményeket mutatja. átzik, hogy egyene zakazonként már két elem i elfogadható eredményt ad. Az elő két or eredményeinek maimáli eltérée kiebb mint %, ami a (.5) alakú harmadfokú interpoláció minőégét igazolja. A 3.. táblázat 3. é 4. oraiban a zakirodalomban megtalálható eredmények közül adtunk meg kettőt. Az 5. é 6. orokban a héjelemekből álló végeelem modellek eredményeit adtuk meg. A 6. or zerinti COSMOS/M modellt é az egyik kihajlott alakot mutatja a 3.. ábra. Végül, a táblázatban a 7. é 8. orok a.4.. fejezetben, a klaziku modell alkalmazhatóágának korlátira tett megállapítáokat illuztrálják, mivel ezek az eredmények közel fele akkorák, mint a ponto értékek. : F a P pontban : F a P pontban 3: F a P pontban. N e =4,33 / -,79,9 / -,6948,45 / -,6668. N e =,3 / -,7,88 / -,683,4 / -,655 3. Ref [7],88 / -,684 4. Ref [4],3 / -,7,88 / -,683,4 / -,655 5. Ref [4] a, / -,73,83 / -,7,4 / -,675 6. a,9 / -,73,84 / -,6957,33 / -,668 7. Ne = b,5399 / -,433,5537 / -,438,5669 / -,443 8. Ref [4] b,5568 / -,463 a ABACUS, 5 Q9 hell (S9R5) elem, a COSMOS/M, 6 hell (SHE4T) elem, b klaziku modell, (.43), U* = 3.. táblázat. Keret kritiku terheléei (N) 3.. ábra. COSMOS/M modell, F cr =,9 N. -3-