MTA DOKTORI ÉRTEKEZÉS VÖRÖS GÁBOR

MTA DOKTORI ÉRTEKEZÉS VÖRÖS GÁBOR 8

Merevített lemez é héj elemek méretezée, mechanikai vizgálata Írta Vörö Gábor aki a Magyar Tudományo Akadémia doktora cím elnyeréére pályázik Budapet, 8

TARTAOMJEGYZÉK. BEVEZETÉS.. Tudományo előzmények.. Célkitűzéek, vizgálati módzerek.3. Fontoabb mennyiégek jelölée. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI.. Elmozdulá vektor.. Igénybevételek, kereztmetzeti jellemzők.3. A virtuáli munka elve.3.. A kezdeti terhelé munkája.3.. A Timohenko - Bencouter modell.3.3. A Timohenko - Vlaov modell.3.4. A Bernoulli - Vlaov modell.4. A klaziku modell vizgálata.4.. Kezdeti belő erők munkája.5. A VEM7 végeelem modell 3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA 3.. Keret kritiku terhelée 3.. Cavart tengely tabilitáa 3.3. Hajlított tengely zabad rezgéei 4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA 4.. Az ST6 modell 4.. Az ST7 modell 4... Kezdeti kapcoló erők ecentricitáa 5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA 5.. emez zabad lengéei 5.. Nyomott lemez kritiku terhelée 5.3. Nyomott lemez zabad lengéei 5.4. Hajlított lemez kritiku terhelée 6. ÖSSZEFOGAÁS 6.. Új tudományo eredmények 6.. Haznoítá lehetőégei 7. HIVATKOZÁSOK 7. Saját publikációk az értekezé témájából FÜGGEÉKEK F. Rudak cavaráa é nyíráa F.. A cavarái vetemedéi függvények tulajdonágai F.. A nyíró faktor F.3. Kereztmetzeti jellemzők zámítáa F. A VEM7 elemmátriok 5 8 3 4 9 3 3 4 6 8 3 3 33 36 43 43 44 46 49 5 54 56 57 6 6 63 64 67 68 68 7 73 75 --

. BEVEZETÉS. BEVEZETÉS A vékonyfalú rudakkal merevített lemezzerkezetek fonto zerepet játzanak a nyomátartó kézülékek, járművázak, tároló edények, konténerek, tartózerkezetek tervezéében, általában a könnyűzerkezetű, úlytakaréko tehervielő gépelemek kialakítáában. Szilárdági méretezéük, mechanikai tulajdonágaik vizgálatának klaziku módzerei az ortrotróp lemez/héj vagy a térrác modellek elméletén alapultak. Ezek közö vonáa, hogy a helyetteítő, fiktív lemez/héj vagy rúdrác modell kereztmetzeti é anyag jellemzőit a valódi zerkezet adataiból, különböző egyenértékűégi elvek zerint zármaztatták, (Farka [], Michelberger, Fekete [46], Timohenko [66]) ezért elfogadható pontoágú eredményeket cak elegendően űrű é egyenlete merevítő elem eloztáú zerkezetekre adtak. Pontoabb vizgálatokra a végeelem eljárá keretében nyílik lehetőég... ábra. Merevített lemez elem alkalmazáa.. Tudományo előzmények A merevített felületzerkezetek mechanikai vielkedéének elemzéére alkalmazott végeelem modellekben különálló rúd é lemez/héj elemeket alkalmaznak, melyeknél a megfelelő comópontokat egy fiktív merev kapcolatnak megfelelő tranzformációval kötik öze (.a. ábra). Ez a kapcolái eljárá ami az azono forgá, lineári elmozdulá kapcolatot biztoítja azt a közimert hipotézit alkalmazza, ami zerint a rúd eredetileg ík kereztmetzete a terheléi folyamat orán ík marad. A merevítő elem cavaráát i elemző munkák között érdeme megemlíteni Barik, Mukhopadhyay [6], Bedair [3], Jirouek [3], vagy a közelmúltból Brubak, Helleland [7] publikációit. Ezekben a közleményekben a merevítő rúdnál azonban cak a St-Venant féle zabad cavarái hatát vették figyelembe, mivel a fiktív merev kapcolódát leíró tranzformáció nem tartalmazza a kereztmetzet cavarái vetemedéből (öblöödééből) adódó hatáokat. --

. BEVEZETÉS Imerete, hogy a cavart rúd kereztmetzete az alakváltozá orán általában nem marad ík, vetemedik. Ha ezt az.b. ábrán bemutatott cavarái vetemedét rézben vagy egézben külő vagy belő kényzerek korlátozzák, akkor az jelentő hatáal lehet a rúd fezültégi állapotára é az egéz zerkezet mozgáára. Ezt a jelenéget nevezzük gátolt cavarának. A gátolt cavará klaziku elméletének kidolgozáa Vlaov [68] nevéhez fűződik. A cavarái vetemedé é így a gátláának hatáa különöen a vékonyzelvényű rudaknál lehet jelentő mértékű. a. b. z y N p e z N b ( ) u=ϑ ϕ.. ábra. Rúd-lemez kapcolá (a), vékony zelvény cavarái vetemedée (b). Az önálló rúdzerkezetekre elvégzett vizgálatok eredményekből tudható, hogy a gátolt cavará hatáa tabilitái é dinamikai jelenégek körében alapvetően megváltoztathatja a zerkezetek vielkedéét. A rúd kereztmetzetében a cavaró/nyíró középpont (a cavarái forgá pólupontja) é a úlypont (tömegközéppont) közötti távolág, a geometria vagy a terhelé ecentricitáa következtében a cavaró é hajlító mozgáok kapcolódhatnak, ami jelentően módoíthatja a kritiku terhelé vagy a ajátfrekvenciák értékét é a lengéképek alakját. Ez alapján feltételezhetjük, hogy merevített lemezzerkezeteknél i jelentő lehet a merevítő rúdelem torzió merevégének, ecentricitáának vagy tömegelozláának közelítő vagy pontoabb modellezéének hatáa. Erre vonatkozó méréi, é egyzerű zámítái modellek eredményeit közlik többek között Zheng, Yuren [7], Ghavami [3], [4] é Hughe, Ghoh, Chen [9]. A merevítő rúdelem cavaró vetemedéének é a lemez membrán mozgáainak kapcoláára Sapountzaki é Moko [57] egy érdeke, kétvonala kapcolái eljárát közöltek, ami elvileg megegyezik az [S] publikációban leírtakkal. Az átfogó elméleti vizgálat é a publikációk hiányát talán magyarázza az, hogy tatiku terheléeknél a rúdban a cavarái vetemedé korlátozáa olyan járuléko, helyi fezültégelozlát hoz létre, ami önmagában egyenúlyi, é ezért a méretezénél, zilárdági ellenőrzénél máodlago fezültégnek minőül. Alapvetően má a helyzet, ha a zerkezet globáli jellemzőit, például a ajátfrekvenciákat, lengéképeket, tabilitáveztét okozó -3-

. BEVEZETÉS kritiku terheléeket vizgáljuk, vagy máodrendű tatikai, dinamikai zámítát kell végezni, amikor az eredményeket az önálló rúdzerkezethez haonlóan jelentően módoíthatja a merevítő rúdelem torzió merevégének, a úlypont, nyíró középpont, terhelé ecentricitának vagy tömegelozláának közelítő vagy pontoabb modellezée. Elvileg é kellő kapacitá eetén gyakorlatilag i perze lehetége, hogy özetett, merevített felületzerkezetekben a rúdzerű alkatrézeket i lemez, héj vagy akár térbeli vége elemekkel modellezzük. Ennek következménye lehet, hogy a modell mérete, a zabadágfokok záma é a zámítái idő hatványozottan növekzik, azonban ami még ennél i fontoabb, a modell áttekinthetőége romlik é ez az eredmények értelmezéét, értékeléét nehezíti. Jobb megoldá, ha az elemek tulajdonágait javítjuk é a modellezhető jelenégek körét, pontoágát a rúdelem zintjén növeljük. Ezt a célt követve megvizgáljuk, hogy a merevítő elemek vonatkozáában a rúdelmélet keretén belül maradva milyen lehetőégek vannak a pontoabb modell megalkotáára. Gátolt cavarákor a cavaró forgának a rúd hoztengelye menti változáa a erően eltér a lineári elozlától, ezért ezt a forgát i a hajlító mozgáokhoz haonló pontoággal leíró rúdelem comópontonként legalább hét zabadágfokú, ahol a három mozgá é három forgá mellett a hetedik zabadágfok a vetemedéi paraméter, ami a Vlaov elmélet zerint lehet a fajlago elcavarodá. A ki forgáok elméletére épülő, egyene rudak lineári tatikai vizgálatára alkalma, comópontonként hét zabadágfokú rúd végeelem már régóta imert, leíráa megtalálható - többek között - Iványi, Papp [3], Ki [4], Kitipornchai [4], Sapká, Kollár [56], Páczelt, Herpai [49] vagy Kollár [43] munkáiban. Azonban már a nyolcvana évek elején kiderült, hogy a ki forgáok feltételezéével előállított hét zabadágfokú rúdelemekből álló modell nem alkalma térbeli zerkezetek vizgálatára. Ennek oka, amint azt Argyri [3], [4] kimutatta, a forgáok nem kommutatív termézete. A virtuáli munka elvében, annak i a kezdeti terheléek é az elmozdulá növekmények kapcolatát leíró rézében a linearizálá következtében a cavaró é a hajlító nyomatékok eltérő módon követik a forgá növekményeket, má zóval a cavaró igénybevétel kvázitangen a hajlító igénybevételek pedig zemitangen tulajdonágúak leznek. Ha ezek a nyomatéki igénybevételek nem függetlenek egymától, ami például keretzerkezetnél vagy görbült elemeket i tartalmazó zerkezeteknél előfordulhat, a nem egytengelyű elemek catlakozái pontjaiban a kezdeti nyomatéki egyenúlyi állapot a forgánövekmények jellegétől függően megbomlik. A kici/nagy forgáok problémája a modellnek az úgynevezett geometriai merevégét, é ezen kereztül a tabilitái, máodrendű tatikai, dinamikai vagy a poztkritiku vizgálatok körét érinti. A végeelem módzer fejlődéének már a korai zakazában megjelentek a -4-

. BEVEZETÉS gyakorlatban i jól haználható, comópontonként hat zabadágfokú rúdelemek, azonban a hetedik vetemedéi vagy gátolt cavarái zabadágfokot i tartalmazó elemek fejleztée az előbbiekben rézletezett elvi nehézégek miatt a nyolcvana évek elején megzakadt. Az elmúlt években a nagy zámban megjelenő publikációk tanúága zerint a hét zabadágfokú rúdelemek kutatáa imét napirendre került. A nemlineári mechanika eredményeinek é módzereinek felhaználáával Kim MY é zerzőtárai [34], [35] publikálták a vége (zemitangen) forgáok é ki alakváltozáok elméletére épülő virtuáli munka elvét, amiből levezetett rúd végeelem modell már alkalma térbeli zerkezetek dinamikai, kritiku terhelé vagy tabilitá vizgálatára. Ettől kezdve egymá után jelentek meg az új elv alkalmazái körének bővítééről zóló publikációk, például a nyírái alakváltozáal i zámoló Timohenko rúdelmélet, tabilitái (kritiku terhelé), dinamiku tabilitái feladatok, poztkritiku állapot vizgálata, kompozit anyagú, görbe vagy változó kereztmetzetű rudak alkalmazáa. Kiragadott példaként említhetnénk Kim [37], [39], Sabuncu [55], Teh [6], Turkalj, Brnic [67] publikációit. Külön ki kell emelni Kim, Jeon, Kim 5-ben megjelentetett, a rugalma ágyazáú rudak vizgálatáról zóló [38] közleményét, ahol a zerzők az új elmélet alapján a rúd é egy máik rugalma rendzer (az ágyazá) özekapcolái lehetőégeit vizgálták. Ebbe a orba illezthető jelen dolgozat témaválaztáa, a merevített felületzerkezetek vizgálata, ahol a központi kérdé a rúd é egy máik mechanikai modell (lemez/héj) kapcoláa... Célkitűzéek, vizgálati módzerek Az előzőekben rézletezett előzményekre alapozva, célunk egy olyan, a végeelem módzer keretein belül i haználható eljárá elméleti alapjainak é alkalmazái lehetőégeinek kidolgozáa, amely merevített felületzerkezetek rúdzerű alkatrézeiben a gátolt cavará hatáának pontoabb vizgálatára i alkalma. Ennek kapcán két alapvető kérdét kellett megoldani: egyik a cavarái mozgát i megfelelően leíró általáno rúdelmélet illetve rúd végeelem modell megalkotáa, a máik pedig a merevítő é a merevített lemez/héj elemek özekapcoláának problémája. Már itt fonto megemlíteni, hogy a mozgáok folytonoágának feltétele még az elmozdulá módzeren belül em elégége a feladat egyértelmű leíráához. Mivel rudaknál a terhelének a nyíróközépponthoz vizonyított ecentricitáa, az úgynevezett load tiffne hatá i lényege, a merevítő rúdelemnél a kinematikai kapcolá mellett a dinamikai mezők (a kapcoló erőrendzer) illeztéére i zükég van. -5-

. BEVEZETÉS Az elméleti kérdéek tiztázáa é megoldáa után numeriku kíérletekre alkalma algoritmut é zámítógépi program környezetet kellett kialakítani. A kidolgozott eljárá ellenőrzéére özehaonlító vizgálatokat végeztünk zakirodalmi adatok é héj végeelem modelleken (COSMOS/M) végzett zámítáok eredményei alapján. Numeriku eredményeket előorban a lineári tabilitá (kritiku terhelé) é a dinamika, időben állandó erőkkel terhelt merevített zerkezetek frekvencia é lengékép zámítáa köréből mutatunk be. ( ) MU + + G σ K K U = P (.) alakú, ahol U a comóponti elmozdulá növekmény vektora, M a tömeg, K a lineári merevég, K G a σ kezdeti fezültégállapottól függő geometriai merevégi, vagy érintő merevégi mátriok, é P a külő terhelé növekményének vektora. A rugalma rendzer elvezti tabilitáát, ha egy λσ kezdeti tatiku egyenúlyi állapothoz több lehetége mozgáállapot tartozhat, azaz, zéru teher növekmény eetén i lehetége nem zéru U mozgá növekmény: ( σ ) λ K + KG U=, (.) ahol λ a kritiku terhelé paramétere. A lineári ajátérték feladat megoldáa megadja a kritiku terhelét, de nem alkalma az ezt követő pot-buckling mozgáok leíráára, azok tabil vagy intabil jellegének megállapítáára. Ilyen jellegű vizgálatokra jelen dolgozat keretében nem térünk ki, mivel elődlege cél a merevített zerkezetek mechanikai vielkedéének modellezéére alkalma alap mennyiégek, a K, K G é M, mátriok megalkotáa. Az ω frekvenciájú periodiku mozgát vagy zabad lengét végző é állandó erőkkel terhelt lineárian rugalma zerkezet frekvencia é lengékép zámítáának alapegyenlete a ( ( )) K + K M U= (.3) G σ ω ajátérték feladat. A dolgozat tárgyának elméleti megalapozáát a. é 4. fejezetekben imertetjük, é a 3. é 5. fejezetekben a módzer ellenőrzéére, minőítéére alkalma numeriku feladatokat mutatnak be. A. fejezetben a nagy forgáok, ki alakváltozáok elméletének felhaználáával levezetjük az egyene rudak vizgálatára alkalma virtuáli munka elveket é a Bernoulli-Vlaov elmélet alapján a végeelem modell mátriait. Igazoljuk, hogy ez a rúdmodell térbeli zerkezetek vizgálatára i alkalma, mivel az abban zereplő kezdeti belő -6-

. BEVEZETÉS erők nyomatékai a hajlító é a cavaró nyomatékok i zemitangen tulajdonágúak. A 4. fejezetben levezetjük a rúd é lemez/héj elemek özekapcoláára alkalma tranzformációkat. A 3. é 5. fejezetekben imertetett feladatokkal é numeriku megoldáokkal bemutatjuk a zükége é kötelező numeriku ellenőrzéek mellett a comópontonként hét zabadágfokú rúd végeelem modell zélekörű, helyenként a zokáo gépézeti, mérnöki alkalmazáok keretein túlmutató lehetőégeit. Ezek alapján i megállapítható, hogy az elmélet é a kapcolódó végeelem modell a célkitűzéekben megfogalmazott jelenégek vizgálatára alkalma. Az eredmények további haznoítáa zempontjából zükég volt a rúd kereztmetzeti jellemzők zámítáára alkalma algoritmu kidolgozáára. Olyan zámítógépi programrendzert kézíttettünk, ami tetzőlege geometriájú kereztmetzetre a tatikai, tabilitái é dinamikai feladatokhoz zükége geometriai jellemzőket, például a Wagner féle azimetria jellemzőket, nyíró középpontot, vetemedéi (öblöödéi) tényezőt, tb. meghatározza. Ezt az eljárát haználtuk fel a FemDeign végeelem programrendzer fejleztéénél i. (Bojtár, Gápár [6], 7. oldal) Röviden özefoglalva, a dolgozat fő célkitűzée annak vizgálata, hogy merevített lemez é héjzerkezeteknél a merevítő rúdelem torzió jellemzőinek, ecentricitáának vagy tömegelozláának közelítő vagy pontoabb modellezée milyen eetekben é milyen mértékben módoítja a zámítái eredményeket. -7-

. BEVEZETÉS.3. Fontoabb mennyiégek jelölée atin betű jelöléek: A kereztmetzet területe B bimoment C rúd kereztmetzet geometriai középpontja D különbégi forgátenzor E rugalmaági modulu f, f y, f z vonal mentén megozló erőrendzer F, F y, F z koncentrált erő G cúztató rugalmaági modulu I p i p I r, I I ω J k Ge k Gi k k r, k M r, M M t M M, M 3 M q M M W m S nyíró középponti polári máodrendű nyomaték S nyíró középponti polári inercia ugár a C ponti fő máodrendű nyomatékok vetemedéi (öblöödéi) tényező cavarái máodrendű nyomaték kezdeti külő erők geometriai merevégi elemmátria kezdeti belő erők geometriai merevégi elemmátria elem lineári merevégi mátria nyíró faktorok C úlyponti hajlító igénybevételek C úlyponti cavaró igénybevétel S nyíró középponti cavaró igénybevétel S nyíró középponti hajlító igénybevételek kvázitangen nyomatékú erőpár zemitangen nyomatékú erőpár Wagner féle nyomaték elem tömeg mátria N, N, N comópontok N húzó igénybevétel P külő terhelé támadápontja r, rúd kereztmetzet C ponti főtengelyei S nyíró/cavaró középpont U lineári elmozdulá növekmény vektor U * quadratiku elmozdulá növekmény vektor -8-

. BEVEZETÉS U E elem nyíró középponti változók mátria u, v, w az S nyíró középpont elmozduláai u átlago tengelyirányú elmozdulát u, u y, u z az N comóponti elmozduláok V r, V nyíró igénybevételek, y, z N comóponti koordináta tengelyek, 3 S nyíró középponti koordináta tengelyek y CS, z CS cavaró/nyíró középpont koordinátái y SP, z SP külő terhelé ecentricitáa Görög betű jelöléek: α, α y, α z az N comóponti forgáok α, β, γ az S nyíró középponti forgáok β r, β, β ω kereztmetzet Wagner féle azimetria jellemzői δw külő teher növekmény virtuáli munkája. λ a kritiku terhelé paramétere Π G, Π G kezdeti fezültégekből zármazó energia változá Π Ge Π ρ kezdeti külő terheléek munkája a forgá növekményen linearizált alakváltozái energia tömegűrűég Θ, Θ y, Θ z kvázitangen nyomatékú erőpárok irányzöge ϑ vetemedéi paraméter φ a pirálforgá vektora φ C φ ψ r, ψ Ω ω ξ a C ponthoz kapcolt cavarái vetemedéi függvény az S ponthoz kapcolt cavarái vetemedéi függvény nyírái vetemedéi függvények a ki forgáok tenzora ajátfrekvencia rúd végeelem dimenziótlan hoz koordinátája. -9-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI Az egyene, hozúágú, tetzőlege, de állandó kereztmetzetű rúdelem koordináta rendzerei láthatóak a.. ábrán. A kereztmetzet geometriai középpontja C é az r, tengelyek a kereztmetzet főtengelyei. Ezekkel az irányokkal párhuzamoak az N comóponti y, z é az S nyíró (cavaró) középponti, 3 koordináta tengelyek. Az irány párhuzamo a rúd tengelyével. A C, S é a külő koncentrált vagy vonal mentén megozló terhelé P támadápontjának helyzetét a kereztmetzet íkjában a tetzőlege helyzetű N comópontból kiinduló, a.. ábrán jelölt relatív koordinátákkal adjuk meg. Az N, C, S é P pontok zétválaztáa a kéőbbiekben lehetővé tezi az ecentriku kapcolódáok kezeléét. X N Z Y y N N z z SP z CS z NC N z C 3 P S y NC y CS y SP f z f y r y.. ábra. okáli koordináta rendzerek é ecentricitáok A következőkben feltételezzük, hogy a. a kereztmetzet alakja a aját íkjában nézve nem változik, b. az alakváltozáok kicik, c. a rúd anyaga lineárian rugalma, homogén, izotróp, d. a cavarái vetemedéi mozgá kici. e. a kereztmetzet cavarái vetemedée é az S pont helye zabad é gátolt cavará eetén azono (Vlaov, [68]), f. a cavaró é nyíró középpont egybeeik (Muttnyánzky, [48], 6. oldal), g. a σ r, σ, é τ r fezültégkomponenek elhanyagolhatóak... Elmozdulá vektor A b. feltétel zerint a kereztmetzet olyan mozgát végez, aminek réze egy adott pont körüli forgá. A.. ábra zerinti A vektort az e egyégvektorral adott, álló tengely körül Θ zöggel az a helyzetbe forgató tranzformáció (Simmond, [6], 58. oldal): ( ) ( )( ) a= AcoΘ + e A inθ + e e A coθ, --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ami a zögfüggvények máodfokú közelítéével a következő alakban írható fel: a I+ Ω+ Ω Ω A, (.) ahol Ω a ki forgáok tenzora é I az egyégtenzor: γ β coθ Θ Θ Θ Θe= [ α β γ] T I= γ α Ω = β α, in,,,. A Θ e a.. ábra. Vége forgá Az elmozdulá vektor a kereztmetzet merevtetzerű mozgáának amit az S pont körüli forgá é az S pont u S haladó mozgáa ír le é a íkra merőlege, ki mértékű u v cavarái vetemedé özege. A vége forgáok (.) zerinti máodrendű közelítéével a rúd egy tetzőlege anyagi pontjának elmozdulá vektora, ami a pillanatnyi é a kezdeti helyzetek különbége: * u= us + I+ Ω+ Ω Ω ( R RS) + uv ( R RS) = U+ U, (.) A.. ábra jelöléeivel: u ϑϕ us = v, v, S r y CS u = R R = =. (.3) w z A (.) vektor lineári é máodfokú rézei: CS 3 U = S + ( S) + v = U y U u Ω R R u U z ( ) ( ) α( ) α( ) u+ ϑϕ β zcs γ r ycs u+ ϑϕ + β 3 γ = v + z = v α CS 3 w r y CS w+ α, (.4a) --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI * U * * U = ( ΩΩ ) ( R RS) = U y * U z αβ ( r ycs ) αγ ( z ) CS αβ αγ (.4b) + + 3 = ( α + γ )( r ycs ) + βγ ( zcs ) = ( α + γ ) + βγ 3. βγ ( r- ycs ) ( α + β )( zcs ) βγ ( α + β ) 3 A (.4a) egyenletben ϑ() a vetemedéi paraméter é φ(r,) jelöli a St Venant féle vetemedéi függvényt, melynek tulajdonágait az F. függelék. fejezete rézletezi. Az u, v, w elmozduláok é az α, β, γ forgá paraméterek az S ponthoz kötött mennyiégek (.3.a. ábra). Az (u, v, w, α, β, γ, ϑ ) hét mozgá paraméter mindegyike az, illetve dinamikai feladatoknál az é az idő függvénye. Vékonyfalú zelvényeknél a vetemedéi függvény φ = -ω, ahol ω a zektor terület függvény zokáo jelölée, [46], [5], [68]. a. b. M 3 t z CS C α γ S u y CS w v β r τ t σ τ r z CS M M t C N V S M M r y CS V r M w M r.3. ábra Mozgá paraméterek (a.) é igénybevételek (b.) A (.) elmozdulá vektornak eltérő alakját kapjuk, ha a merevtet mozgá vetemedé orrendjét felceréljük. Ha a kereztmetzet vetemedik é ezek után mint egy merev alakzat mozog, az elmozdulá vektor a (.4a-b) komponenekkel a máodfokú tagokig bezárólag az * u= uv + us + I+ Ω+ Ω Ω ( R RS + uv) ( R RS + uv) U+ U + Ω u v (.b) alakban írható fel. Ezt alkalmazták, többek között Kim MY [33], Pi, Trahair [5] é Turkalj, Brnic [67], azonban a kéőbb bemutatandó virtuáli munka elv quadratizáláa orán ebből a harmadik tag kieik. Ez igazolta Kim MY, aki a kéőbbi publikációiban már a (.) elmozdulá vektort alkalmazta, [34], [35], [37]. A forgá középpontjának megválaztáában a zakirodalom nem egyége, találhatunk példát a C úlypont [35], [39], az S cavaró középpont [5], [8], [44], vagy a tetzőlege N pont [4] alkalmazáára, őt vegye megoldára i, amikor a hajlító forgáok középpontja a C, --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI a cavaró forgáoké pedig az S pont [34], [37], [67]. Önálló rúdzerkezeteknél ezek a lehetőégek elfogadhatóak, néha haznoak, de ha a rúdelemet má zerkezeti elemhez kapcoljuk amint azt a kéőbbiekben bemutatjuk cak az S lehet a forgó mozgá pólua... Igénybevételek, kereztmetzeti jellemzők A különböző rúdelméletekben általánoan elfogadott dinamikai hipotézi zerint a zérutól különböző fezültég koordináták a.3.b ábra zerinti σ normál é τ r, τ cúztató fezültégek. A normál fezültég a kereztmetzet alakjától függetlenül a σ N M M B r = + r + ϕ (.5) A Ir I Iω özefüggé zerint zámolható. A nyírából é a cavarából zármazó cúztató fezültégek elozláa az F függelékben rézletezett (F.), (F.8), (F.) máodrendű peremérték feladatok ponto vagy közelítő megoldáával határozható meg. Az elozláok konkrét formájától függetlenül a fezültégekkel egyenértékű húzó, nyíró, valamint a cavaró, hajlító nyomatéki igénybevételek a C úlyponti tengelyekre é a bimoment a következők: N = σ da, V = τ da, V = τ da, ( ) r r A A A M = rτ τ da, M = σ da, M = rσ da, B = ϕσ da. t r r A A A A (.6) A C úlyponti igénybevételekből a belő erők hajlító, cavaró nyomatékai valamint a Wagner féle nyomaték az S pontra, a.. ábra zerinti é 3 koordinátákkal: M = τ da, M = τ da, r 3 r A A ( τ τ ) M = da= M + M = M V y + V z, 3 r r t CS r CS A M = σ da = M z N, 3 r CS A M = σ da = M + y N, 3 CS A ( 3) M = + σ da= N i + M β M β + B β. W p r r ω A (.7) A (.6), (.7) özefüggéekben megjelenő kereztmetzeti jellemzők az A terület, az I r, I fő máodrendű nyomatékok, az I ω vetemedéi (öblöödéi) tényező, az I p polári máodrendű nyomaték é i p inercia ugár valamint a β r, β, β ω Wagner féle azimetria jellemzők: -3-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI A = da, I = da, I = r da, I = ϕ da, r ω A A A A I I r y z da I I A y z, i, ( ) ( ) ( ) p p = CS + CS = + r + CS + CS p = A A βr = (r + ) da z CS, β = r(r + ) da y CS, βω = ϕ I I (r + ) da. I r A A ω A (.8) A cavaró/nyíró középpont y CS, z CS koordinátáit az F. függelék (F.4b) özefüggée zerint lehet kizámítani. A (.8) jellemzők kizámítái módzerét az [S] é [S6] cikkek rézletezik..3. A virtuáli munka elve A rúdelem tetzőlege mértékű mozgáa vége zámú, ki mozgá növekmények orozatával írható le. A növekmény orozatnak két egymá utáni elemét mutatja a.4. ábra, ahol a V a már meghatározott, imert konfiguráció, továbbiakban kezdeti állapot a V az ezt követő, egyenlőre imeretlen, meghatározandó konfiguráció. V u u = U+U * u V.4. ábra. Kezdeti állapot é a növekmény A virtuáli munka elvének a kezdeti állapotra vonatkoztatott, update agrange formája Bathe [8] jelöléeivel, ( ) ( ) ( ) S δ H d V q δ u d V p δ u d A=, (.9) V V A ahol S a II. Piola-Kirchhoff fezültég tenzor, H a Green-agrange alakváltozái tenzor, q é p a térfogati é felületi terhelé é u a V konfigurációt megadó elmozdulá. Ebben az alfejezetben a vektor-tenzor mennyiégek leíráára az indee jelölémódot é az ortogonáli koordináta rendzerekben haználato özegzéi konvenciót alkalmazzuk. A kontinuummechanikai mennyiégek értelmezée é a jelölémód rézlete leíráa megtalálható többek között a [], [] vagy [6] könyvekben. Ennek megfelelően átírva a (.9) virtuáli munka elvet: S ij δ( H ij ) d V q i δ( u i ) d V p i δ ( u i ) d A=. (.) V V A -4-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI A V konfigurációhoz tartozó terheléek é fezültégek felírhatóak mint a V kezdeti állapothoz tartozó értékek é a növekmények özege: q = q + q, p = p + p, S = τ + S, (.) i i i i i i ij ij ij ahol τ ij a Cauchy féle - vagy kezdeti - fezültégek tenzora. Haonló módon, az elmozdulá növekmény é a virtuáli elmozdulá ( ) ( ) u = u + u = u + U + U, δ u =δ u =δ U + U, (.) * * i i i i i i i i i i ahol felhaználtuk az elmozdulá vektor növekmény (.) zerinti felbontáát. Ezzel a virtuáli mozgáokból zámolt Green-agrange féle virtuáli alakváltozá alakban írható fel, ahol δ =δ =δ + + ( Hij ) Hij ( ui, j uj,i uk,iuk, j ) * * 3 * =δ ( Ui,j + U j,i + Uk,iUk,j + Ui,j + U j,i + ) δ ( εij + ηij + εij ) * * * εij = ( Ui, j + U j,i ), ηi, j = Uk,iUk, j, εij = ( Ui, j + U j,i ), (.3) é a továbbiakban elhagyott réz: 3 = U U +U U +U U. * * * * k,i k, j k,i k, j k,i k, j A fezültég é a lineári alakváltozá növekmények kapcolata a rúdelem anyagára tett feltételezének megfelelően lineári, azaz Sij δ( Hij ) δ( Sijε ij ). (.4) Ha a (.)-(.3) felbontáokat é a (.4) anyagtörvényt behelyetteítjük a virtuáli munka elvének (.) alakjába, továbbá figyelembe véve, hogy az imert kezdeti állapot megoldá, azaz a V konfigurációt meghatározó mennyiégekre a virtuáli munka elve teljeül, ij ( ij ) i ( i ) i ( i ) τ δ ε d V q δ U d V p δ U d A=, (.5) a következő eredményt kapjuk: V V A δ vagy röviden * * * Sijεij d V + τijηij d V+ τijεij d V qu i i d V pu i i d A V V V V A q u d V p u d A =, iδ i iδ i V A (.6) -5-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( ) δ Π + Π + Π Π δ =. (.7) G G Ge W Itt az elő Π tag a linearizált növekményekből zármazó alakváltozái energia, a máodik é harmadik (Π G +Π G ) tag a kezdeti fezültégekből zármazó energia változá, a negyedik Π Ge tag a kezdeti külő terheléek munkája a forgá növekményen é az utoló tag a külő teher növekmény virtuáli munkája. A következőkben a rúdra vonatkozó virtuáli munka elv felíráához a (.6) általáno elvbe behelyetteítjük a (.3) tenzoroknak a (.4a-b) elmozdulá koordinátákkal kifejtett alakjait. A (.3) alakváltozái tenzorok koordinátái: U U U y U U z ε =, ε = +, ε3 = +. r (.8a) U U y U z η = + +, U U Uz Uz U U U y Uy η = +, η3 +, r r = (.8b) * * * * * * U * U U y * U U z ε =, ε = +, ε3 = +. (.8c) r A (.6)-(.7) elő, Π tagjában, mivel a rúdelem anyaga lineárian rugalma é homogén, az egyzerű Hooke törvény zerint S = E ε, S = G ε, S = G ε, (.9) 3 3 valamint a (.8a) alakváltozáok é a (.4a) elmozdulát helyetteítve, a kereztmetzetre vonatkozó integrálá elvégzée után a Π U U U y U U z = S ε dv E G dv = + + + + = r V V ij ij E A( u β zcs γ ycs ) Irβ Iγ Iωϑ d = + + + + + G Ak (( v γ) + ( α ϑ) z ) + Ak ( w β) ( α ϑ) y ( ) r CS CS ( )( ) + Ir + I J α ϑ + Jα d (.) eredményt kapjuk, ahol az E é G a rugalmaági moduluok. Az integrálá orán figyelembe vettük a φ(r,) vetemedéi függvény F. függelék (F.3b-7b) tulajdonágait valamint a (.8) zerinti kereztmetzeti jellemzőket. A (.8a) é (.9) özefüggéek zerint, a kereztmezet mozgáára tett feltételezé miatt, a V r é V nyíró igénybevételekhez a -6-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI kereztmetzetben állandó τ r, τ nyíró fezültégek adódnak, ami nyilván közelíté, é így az ezekből kizámított nyírái alakváltozái energia értéke i cak közelítének tekinthető. A (.) alakváltozái energia kifejezében k r é k nyíró faktorok a közelítő (állandó) é a ponto nyíró fezültégekből zámolt alakváltozái energiák hányadoa. A nyíró faktorok definícióját é zámítái módját az F. függelék. fejezete é az [S6] publikácó imerteti. A (.6) máodik é harmadik tagjában a kezdeti fezültégi állapot zérutól különböző koordinátái legyenek a (.3.b) ábra zerinti fezültégkoordináták: τ = σ, τ = τ, τ = τ. (.) r 3 A (.6)-(.7) máodik Π G tagja a (.8b) tenzor koordináták é a (.4a) elmozduláok helyetteítée után: Π U = τη dv = σ G ij ij V V U y U z + + dv U U U U z Uz U U y Uy + τr + + τ + dv. r r V A továbbiakban ebből a kifejezéből az áthúzott tagot elhagyhatjuk, mivel azt a (.) elő tagjával özeadva, a U U ( E+ σ ) E (.a) egyzerűíté jogoága belátható. Az aláhúzott tagokban ugyancak nagyágrendi megfontolából elhagyjuk a kimértékű cavarái vetemedé növekmény é a többi mozgá paraméter zorzatait: U U ϕ = + + 3 + 3 r r U U ϕ = + + 3 + + 3 + ( u ϑϕ β γ ) ϑ γ ( u β γ )( γ) ( u ϑ ϕ β γ ) ϑ β ( u β γ )( β), (.b). Ezen egyzerűíté következtében tűnik el a (.) é a (.b) elmozdulá vektorok közötti különbég. Ezzel a (.6) virtuáli munka elv máodik tagja Π = N( v + w ) + M α M v α M w α + V ( w α u γ) V ( v α u β) d (.3) G W 3 r ( β γ βγ ) τ ( αα γγ ) τ ( αα ββ ) r r 3 A + M M d + + + + dad, -7-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ahol felhaználtuk a normál fezültég (.5) alakját, az igénybevételek é az M W Wagner féle nyomaték (.6)-(.7) definícióit. A (.6)-(.7) harmadik, Π G tagja a (.8c) tenzor koordináták é a (.4b) elmozduláok helyetteítéével * * * * * * U U U y U U z Π G = τijeij dv = σ + τr + + τ + dv r V V = M ( α γ + αγ ) M3( α β + αβ ) + Vrαβ + Vαγ + ( M M r)( β γ + βγ ) d (.4) τr ( αα γγ ) τ3( αα ββ ) dad, A + + + ahol imét felhaználtuk az igénybevételek (.6) - (.7) definícióit. Ezek után a (.3) é a (.4) özege lez a kezdeti belő erőkből zármazó energia változá: ΠGi = ΠG+ ΠG = ( ) ( ) ( ) N v w MWα M βγ βγ M αγ αγ v α + + + + + (.5) M w V w V v V V u d. ( αβ αβ α ) ( β) α ( γ) α ( γ β) 3 + + + r + r ahol N, M, M, M 3, V r, V a rúdelem kezdeti állapotában a.3.b ábra zerinti húzó, cavaró, hajlító é nyíró igénybevételek, az u, v, w, α, β é γ pedig az S nyíró középponti mozgá növekmény paraméterek. A (.6) utoló két tagja a külő térfogati é felületi teher növekmény virtuáli munkája. Dinamikai feladatokban, időben gyoran változó mozgá növekményeknél a d Alambert elv zerinti tehetetlenégi erő lez a térfogati erő növekménye: ( * ) q = ρ u = ρ U + U. i i i i Itt a két pont jelöli az idő zerinti máodik deriváltat é ρ a tömegűrűég. Ezzel, valamint a virtuáli mozgá növekmény (.) alakjával, a máodfokúnál magaabb kitevőjű tagokat elhagyva, a tehetetlenégi erő növekmény virtuáli munkája δw = qiδui d V U i δui dv = δπm V V ρ, ami a (.4a) helyetteítée é a kereztmetzeti integrálok elvégzée után -8-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( β γ )( β γ) δ ΠM = ρ Au zcs + ycs δu zcsδ + ycsδ ( α ) ( α ) + A v + z δ v + A w y δw CS ( ) + CS CS + α p δ α + γ δγ rβ δ β + ωϑ δϑ CS A vz wy i I +I I d. (.6) A további külő erő növekmények munkája az imert módon zámítható, [49], [54], [74]. Mivel a jelen dolgozatban vizgált feladattípuok kritiku terhelé, lengékép, ajátfrekvencia zámítáa nagy rézénél ilyen terheléek nincenek, ezek további rézletezéétől itt eltekintünk..3.. A kezdeti terhelé munkája A (.6) elvben negyedik é ötödik Π Ge tag a kezdeti külő terheléek munkája a forgá növekményen, ami a rúdelem A p felületén működő p, p y, p z megozló terheléekből a Π = = + ( ) * ( p) pu d A p βα ( r y ) γα ( z ) Ge i i CS CS Ap Ap ( γβ ( ) ( α γ )( )) γβ ( ) ( α β )( ) ( ) + py zcs + r ycs + pz r ycs + z CS d özefüggé zerint zámolható. Ez alapján felírhatjuk.. ábrán jelölt P ponton átmenő vonal mentén megozló f, f y, f z, vagy a j jelű kereztmetzet P pontjában ható F, F y, F z koncentrált ecentriku kezdeti terheléek munkáját i: Π ( ) * Ge i i f f = fu d ( ) ( ( ) ) = f ( zspγ + yspβ) α + fy βγzsp ( α + γ ) ysp + fz βγ ysp α + β z SP d, ( F ) * ΠGe = F U j = F ( z γ + y β) α + F βγz ( α + γ ) y + F βγ y α + β z ( ) ( ( ) ) SP SP y SP SP z SP SP j. (.7) (.8) A kezdeti külő terhelé anyagi ponthoz kötött konzervatív erőrendzer, ami azt jelenti, hogy a mozgá növekményekkel a támadápontok elmozdulnak, de az erők iránya változatlan. Vizgáljuk meg azt az eetet, ha a rúdra ható kezdeti külő terhelé koncentrált erőpár, ami két azono nagyágú, egymához közel lévő, párhuzamo hatávonalú, de ellenkező irányítáú koncentrált erővel egyenértékű. Ha a Π Ge (.8) kifejezéében az F erő P támadápontjának az S nyíró középponthoz vizonyított koordinátái a.. ábrának megfelelően SP, y SP é z SP, akkor ebben a pontban a (.4b) U * vektort rézleteen kifejtve: -9-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( ) ( ) + ( + ) SP β + γ + yspαβ + zspαγ * U = ( ΩΩ ) ( RP R S ) = SPαβ ysp α + γ + zspβγ. (.9) SPαγ yspβγ zsp α β Előzör legyen a j jelű kereztmetzetben egy M cavaró nyomaték, ami egyenértékű a.5 ábra zerinti, F = M /k nagyágú é Θ irányú erőpárral. A P é P pontokban ható erők felbonthatóak a kereztmetzet r, főtengelyei irányú komponenekre: P : =, y = y + k in θ, z = z k co θ, F = F co θ, F = F in θ, SP SP SP SP SP y z P : =, y = y k in θ, z = z + k co θ, F = F co θ, F = F in θ. SP SP SP SP SP y z 3, (z, ) F y F P F z k P k M F z Θ P F y S, (y, r).5. ábra. Cavaró erőpár felbontáa Ezzel a kezdeti terhelő erőpár négy erőkomponenének az eredő (.8) munkája a (.9) mozgá növekményen: Π ( βγ ( ) ( α γ )( )) ( βγ ( ) ( α γ )( )) βγ ( ) ( α β )( ) = FcoΘ z kcoθ + y + kinθ FcoΘ z + kcoθ + y kinθ Ge SP SP SP SP ( ) ( βγ ( ) ( α β )( )) + FinΘ y + kinθ + z kcoθ SP SP FinΘ ysp kinθ + zsp + kcoθ j A kijelölt műveleteket elvégezve, rendezé után a in Θ Ge = M co Θ ( ) Π β γ βγ (.3) eredményt kapjuk. Az M nyomatékú kezdeti erőpár munkája függ az erőpárt alkotó erők Θ irányzögétől i. Ezt zemlélteti a.6a. ábra, ahol a kereztmetzet forgá növekményének irányától függően az anyagi ponthoz kötött erőpár nyomatékának iránya állandó, vagy érintő irányú. Az ilyen tulajdonágú erőpárt, illetve a nyomatékát Argyri [3], [4] nyomán kvázitangen nyomatéknak j. --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI nevezzük. Az erőpárt alkotó erők a mozgó anyagi ponthoz kötött, állandó irányú vektorok. a. b. y Θ = π/ M M y M / M M M z z z y M / y z.6. ábra. Kvázitangen (a.) é zemitangen (b.) cavaró erőpár Az M cavaró nyomaték a.6b. ábra zerinti két M / nyomatékú, egymára merőlege erőpárral i előállítható. Ilyenkor a kereztmetzet forgá növekményének irányától függetlenül az erőpárok eredő nyomatéka a kereztmetzeti forgá zögfelezője irányába mutat. Az ilyen tulajdonágú nyomatékot zemitangen nyomatéknak nevezzük. Az M nyomatékú zemitangen erőpár munkája a (.3) egyenletből előzör az M /, Θ majd az M /, Θ + π/ helyetteítéel zámítható. Mivel ( ) ( ) in Θ + π / = in Θ, co Θ + π / = co Θ, a (.3) alapján belátható, hogy a zemitangen kezdeti cavaró erőpár munkája Π Ge =. 3, (z, ) F F P k M y Θ y F z P k F z P F F S, ().7. ábra. M y hajlító erőpár felbontáa Haonló módon zámítható az M y nyomatékú kvázitangen hajlító erőpár (.8) munkája a (.9) mozgá növekményeken. A.7. ábra zerinti felbontáal, ahol F= M y /k, a P : = k in Θ, y = y, z = z k co Θ, F = F co Θ, F = F in Θ, SP y SP SP SP SP y y z y P : = k in Θ, y = y, z = z + k co Θ, F = F co Θ, F = F in Θ. SP y SP SP SP SP y y z y helyetteíté é rendezé után a in Θ y Ge = M y + co y Π ( α γ ) αγ Θ j --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI eredményt kapjuk. Ebből, ha az M y zemitangen nyomatékú, ami két kvázitangen nyomatékú erőpár eredője, az M y /, Θ y é az M y /, Θ y + π/ helyetteítéel mot i a Π Ge = eredményt kapjuk. Ezzel igazoltuk a következő megállapítát: A rúdra működő, kvázitangen nyomatékú kezdeti terhelő erőpárok munkája a forgá növekményeken: q in Θ ΠGe ( M ) = ( ) M β γ βγ co Θ in Θ y M y ( α γ ) αγ coθy in Θ z + Mz ( α β ) αβco Θz, a zemitangen tulajdonágú kezdeti terhelő erőpárok munkája pedig: ( ) j (.3) ΠGe M =. (.3).3.. A Timohenko Bencoter modell Az előzőekben felírt (.) é (.5) rézeredményeket özeadva, a (.7) virtuáli munka elv alakja ( ) δπ+π Π δπ δw Gi Ge M E A( u β zcs γ ycs ) Irβ Iγ Iωϑ d =δ + + + + +δ G Ak (( v γ) + ( α ϑ) z ) + Ak ( w β) ( α ϑ) y ( )( ) ( ) r CS CS + Ir + I J α ϑ + Jα d N( v w ) M( βγ βγ ) M( αγ αγ v α ) M3 αβ ( αβ w α ) +δ + + + + + + Ge M ( ) ( ) ( ) + MWα + Vr w + β α V v γ α Vrγ Vβ u d δπ δπ δ W =, (.33) ahol a Π Ge a kezdeti terhelétől függően (.7), (.8) vagy (.3), a δπ M pedig (.6) zerinti. Ebben a legáltalánoabb alakú elvben hét valóban független paraméter zerepel. Régóta imert, de vizonylag kevé publikáció foglalkozik Bencoter [4] elméletével, aki a Vlaov elmélet továbbfejleztéeként a cavarái forgát é a vetemedéi paramétert független változóknak tekintette. Szakirodalmi közléek zerint ez az elmélet előorban a zárt vékonyzelvényű rudak etén lehet hazno. A Bencoter féle elmélet alkalmazáa orán a Π --

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI (.) alakjához haonló energia kifejezét haználtak tatikai zámítáokhoz Shakourzadeh, Batoz [58] é zárt zelvényű egyene rudak dinamikai vizgálatáról közölt eredményeket Cortinez [9]. A kezdeti igénybevételeket tartalmazó, (.5) zerinti Π Gi megegyezik MY Kim é zerzőtárai [34] által közölt alakkal, de ott a mozgáparaméterek a C úlyponthoz kötött mennyiégek, továbbá a (.33) egyenletben aláhúzott tagot, az aiáli mozgá hatáát elhagyták. Ez a tag egyene rúdnál valóban elhanyagolható, de im [44] vagy Gu [6] eredményei zerint görbe rudaknál, térbeli keretzerkezeteknél hatáa fonto lehet..3.3. A Timohenko Vlaov modell A gátolt cavará Vlaov elméletének alap feltételezée zerint a vetemedéi paraméter a fajlago elcavarodá: ϑ = α. (.34) Ezt a belő kinematikai kényzert beírva a (.33) elvbe, a nyírái alakváltozáokat i zámítába vevő, közimert Timohenko féle rúdmodellre érvénye virtuáli munka elvet kapjuk: ( ) δ Π + Π Π δπ δwζ Gi Ge M =δ E A( u β zcs + γ ycs ) + Irβ + Iγ + Iωα d +δ G Akr( v γ) + Ak( w β) + Jα d +δ N v + w + M + M + v M + + w ( ) ( β γ βγ ) ( αγ αγ α ) 3( αβ αβ α ) ( ) ( ) ( ) + MWα + Vr w + β α V v γ α Vrγ Vβ u d δπ δπ δ W =. Ge M (.35).3.4. A Bernoulli Vlaov modell A klaziku rúdelméletek közimert, Bernoulli, vagy Euler-Bernoulli geometriai hipotézie zerint a lehajláok é a forgáok kapcolata: β = w, γ = v. (.36) Ezzel a (.35) virtuáli munka elvének a Bernoulli-Vlaov rúdmodellre érvénye alakja: -3-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( ) δ Π + Π Π δπ δw Gi Ge M =δ EA( u + w zcs + v ycs ) + EIrw + EIv + EIωα + GJα d +δ N v + w + M v w vw + M v v + M w w ( ) ( ) ( α α ) 3( α α ) ( ) M V w V v V v V w u d + Wα + r α α r + δπ δπ δw =. Ge M (.37) ahol δπ Ge a kezdeti terhelétől függően vonal mentén megozló, koncentrált erő vagy kvázitangen nyomatékú erőpár a (.7), (,8) vagy a (.3) alapján δπ = δ f z v y w ( ) Ge SP SP α ( ( α ) ) ( α ) ( ) f y w v zsp + + v ysp f z w v ysp + + w z SP d +δ ( SP SP ) F z v y w α Fy( wvz SP + ( α + v ) ysp) Fz( wvy SP + ( α + w ) zsp) q in Θ +δ M ( w v ) + wv co Θ q in Θ y q in Θ z M y ( α v ) αv coθy + Mz ( α w ) + αw co Θz, i j (.38) a δπ M pedig a (.6) álltaláno kifejezéből a (.34) é (.36) belő kinematikai kényzerfeltételek helyetteítéével: ( )( ) δπ = ρ Au + wz + vy δ u+ z δ w+ y δv M CS CS CS CS ( ) ( CS CS ) ( CS CS p ) + A v + α z δ v + A w α y δ w + A vz wy + α i δα + I v δv +I w δ w + I α δα d. r ω ] (.39).4. A klaziku modell vizgálata A rudak vizgálatához már régóta haznált, közimert virtuáli munka elvet többek között Vlaov [68], Timohenko [65], Wahizu [69] nyomán a ki forgáok feltételezééből kiindulva írhatjuk fel. Ha a (.) elmozdulá vektorban a máodrendű U * tagot elhagyjuk, akkor a (.6) - (.7) virtuáli munka elvben az ehhez kapcolódó rézek kimaradnak: -4-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI δ Sijεij d V + τijηij d V qi δui d V pi δ ui d A=, V V V A vagy röviden a már bevezetett jelöléekkel: ( ) δ Π + Π δ =. (.4) G W Már itt i látzik, ha a linearizált elmozdulá mezőből indulunk ki, akkor a virtuáli munka elvének kvadratiku alakjából lényege elemek kimaradnak. A következőkben azt vizgáljuk meg, hogy a túl korai linearizálának mi a következménye. A (.3) zerinti Π G átalakítáához a zakirodalomban zokáo utat követve a következő két feltételezét alkalmazzuk (Ziegler, [73]) : (.4) M = M = M /, τ da= V y, τ da= V z. r r r SP 3 SP A A Az M r, M é M definíciói a (.7) egyenletek. Az elő feltétel zimmetriku kereztmetzetekre, a máodik é harmadik állandó cúztató fezültég elozláokra pontoan teljeül. Ha feltételezzük, bár ez pontoan nem mindig igazolható hogy a (.4) kereztmetzet alakjától é a fezültégelozlá jellegétől függetlenül minden eetben érvénye, akkor azt a (.3)-ba helyetteítve, a (.4) virtuáli munka elvben zereplő tagok: ( Π Π ) δ + δw G =δ Π +δ N( v w ) MWα M( βγ βγ ) Mvα M3wα + + + d (.4) +δ Vw r α Vv α + ( Vβ Vrγ ) u Vy r SP( αα + γγ ) Vz SP( αα + ββ ) d δw. Itt a Π kifejezée ugyanaz, mint a (.), mert abban nem jelenik meg az U * vektor. Ebből a klaziku Bernoulli Vlaov modell a (.34) é (.36) belő kinematikai kényzerfeltételek helyetteítéével: ( ) δπ+π δ W = G =δ ( + + ) + + + + EA u w zcs v ycs EIrw EIv EIωα GJα d +δ N( v + w ) + MWα + M( v w vw ) Mv α M3w α d ( ) ( ) ( ) +δ Vw r α Vv α Vv r + Vw u Vy r SP αα + vv Vz SP αα + ww d δw, (.43) formában írható fel, amiből kiindulva a V= r M, V=M, r V= r f, y V= f z egyenúlyi egyenletek, a (.7) egyenértékűégi egyenletek, különböző integrál átalakítáok é -5-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI egyzerűítéek felhaználáával további, az egyene rúdelemre alkalmazható klaziku elv formákat lehet levezetni. (Attard [5], Ki [4], Kitipornchai [4], Mohri [47]) Ezek rézletezée jelen dolgozatnak nem célja..4.. Kezdeti belő erők munkája A lineári elmozdulá mezőre épülő (.4) é a nagy forgáok hatáát i tartalmazó (.33) Timohenko Bencoter elmélet zerinti elveket özehaonlítva, látzik hogy az M, M 3 nyomatékok é a V r, V nyíró igénybevételek együtthatóiban van lényege különbég. Vizgáljuk meg az eltéréek jellegét é értelmét! M M M r M V r V M r V r V M.8. ábra. Rúdvégi igénybevételek - terheléek Vágjunk ki a rúdból egy hozúágú, egyene tengelyű rézt, ahol a rúdzakaz végein a belő erőrendzer komponenei, mint kezdeti külő terheléek jelennek meg (.8. ábra). Tételezzük fel, hogy ninc kezdeti húzó igénybevétel, a végponti terhektől eltekintve az zakaz terheletlen, a nyíró igénybevételek hatávonala átmegy az S nyíróközépponton, továbbá a rúdelem mozgáa laú é ninc teher növekmény: N =, M = M, M = M, y = z =, Π =, W =. (.44) r 3 SP SP M Ezek az egyzerűítéek a következő vizgálat lényegét nem érintik. Tételezzük fel továbbá, hogy az M cavaró nyomaték zemitangen, az M é az M 3 hajlító nyomatékok pedig kvázitangen tulajdonágúak: ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) q( ) ( ) q( ) ( ) q( ) ( ) q( ) ( ) F V, F V, y r y r F V, F V, z z M M, M M M = M, M = M, Θ =, y r y r y M = M, M = M, Θ =. z z z (.45) A vizgált zakazra alkalmazzuk a (.33) virtuáli munka elvet. A kezdeti külő terheléek -6-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI a.8. ábra zerinti rúdvégi erők é nyomatékok munkája a forgá növekményen a (.8), (.3) é (.3) özege, de ebből mot cak a kvázitangen nyomatékok (.3) munkája lez zérutól különböző, ami a (.45) rúdvégi terhek é az M r =V é a M =-Vr egyenúlyi feltételek helyetteítée é egyzerű integrál átalakítáok után a következő lez: Π =Π = = q q q ( M ) M αγ M αβ [ M αγ M αβ ] Ge Ge y z r = ( M αγ M αβ ) d= Vαγ M ( αγ ) Vαβ M ( αβ ) + + d. r r r Ezt beírva a (.33) elő három tagjába, Π + ΠGi ΠGe = Π + MWα M βγ βγ Mr αγ αγ vα M + + + αβ + αβ + w α ( ) ( ) ( ) + V ( w + β ) α V ( v γ ) α + ( V β Vγ ) u d Vαγ M ( αγ ) Vαβ M ( αβ ) + + d, r r r r a lehetége özevonáok utáni eredmény Π + ΠGi ΠGe = Π (.46) M M M v M w V w V v V V u d, + Wα ( βγ βγ ) r α α r α α ( β rγ) + + + ami megegyezik a (.44) egyzerűítéek zerint átalakított (.4) elvben a Π + Π G tagokkal. Az eredmények alapján megállapíthatjuk, hogy a (.45) kiinduló feltételezéekkel özhangban, a (.4) zerinti, klaziku virtuáli munka elvben a hajlító nyomatékok kvázitangen, a cavaró nyomaték pedig zemitangen tulajdonágúak. Ez az eltérő tulajdonág a klaziku elv alkalmazái lehetőégeit erően korlátozza, mivel a.6. ábra é az ehhez fűzött magyarázat zerint a forgá növekmények közben a kvázitangen é a zemitangen nyomatékok növekményei eltérőek leznek. Térbeli zerkezeteknél, nem egytengelyű rúdelemek catlakozáánál vagy görbe rudaknál, ahol a cavaró é hajlító igénybevételek nem függetlenek, egy terheletlen comópontra a kezdeti nyomatéki egyenúlyi állapot a növekményekkel kiegézülve nem marad meg (.9. ábra). Ezt a hatát Argyri [3], [4] mutatta ki é a comóponti egyenúly hiba javítáához egy korrekció geometriai merevégi mátri alkalmazáát javaolta. A korrekció mátri zármaztatáának módzerét általáno eetre Teh é Clarke [6] írták le. A vége forgáok feltételével megzerkeztett (.33) elv é az abból zármaztatott (.35), (.37) elvek alkalmazáa eetén a korrekció mátriok alkalmazáára ninc zükég é a néha kérdée (.4) feltételek alkalmazáát i elkerültük. -7-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI Ebben a fejezetben bemutatott vizgálatok eredményeit a következőkben foglalhatjuk öze: A (.) alakú, a forgá paraméterek máodfokú tagjait i tartalmazó elmozdulá vektorral megzerkeztett (.33) virtuáli munka elv minden további kiegézíté nélkül alkalmazható térbeli rúdzerkezetek vizgálatára, mivel abban a belő erők nyomatékai zemitangen tulajdonágúak. Ha a kezdeti hajlító é cavaró igénybevételek függetlenek, egyene rudaknál, vagy ík keretek íkbeli terheléénél é mozgáánál a (.37) é a (.4) elvek azono értékűek. Megmutattuk, hogy ez a két tétel, amit Kim é zerzőtárai [35] a (.37) Bernoulli-Vlaov modellre igazoltak, az általáno (.33) Timohenko Bencoter, é minden további, ebből zármaztatott modellre i érvénye. M=M q M α Mα/ M=M M.9. ábra. Nyomatéki egyenúly változáa.5. A VEM7 végeelem modell A virtuáli munka elvének (.33), (.35) vagy (.37) alakjaiból kiindulva, konkrét zerkezetekre vonatkozó megoldáokat lehet meghatározni. Egyik lehetőég a variációzámítá imert módzerével a peremérték feladat (agrange egyenletek, termézete peremfeltételek) zármaztatáa. Ez akkor hazno, ha az adott modell egyzerű é így van lehetőég ponto, vagy közelítő, de zárt alakú megoldá előállítáára, MY Kim, [36]. A máik lehetőég valamely direkt numeriku eljárá, célzerűen az általánoan haználható végeelem módzer alkalmazáa. A továbbiakban a virtuáli munka elvének (.37) Bernoulli-Vlaov formájából kiindulva, a lehető legegyzerűbb interpoláció alkalmazáával írjuk fel az elem mátriokat. Vezeük be az alábbi definíció zerinti átlago tengelyirányú elmozdulát: u = U da = u βzcs + γ y CS, u = u + βzcs γ ycs = u w zcs v y CS. A (.47) A Az elem comóponti paraméterei (zabadágfokai) legyenek az S nyíróközéppont három elmozduláa, a három forgá é a hetedik zabadágfok a vetemedéi paraméter: -8-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI T i = [ u v w α β γ ϑ] i U = i =,, E, ( 4, ) (.48) ahol U E az elem változók ozlop mátria. A két comópontú, tizennégy zabadágfokú elemen az átlago aiáli elmozdulát lineári, a lehajláokat é a cavaró forgát harmadfokú Hermite polinomokkal interpoláljuk. ( ) ( ) ( ) ( ) u ξ = u( ξ) + u ξ, v ξ = v F + γ F + v F + γ F, 3 4 w ξ = wf β F + wf β F, 3 4 α ξ = α F + ϑ F + α N + ϑ N, 3 4 (.5) 3 3 3 3 F = 3ξ + ξ, F = ξ ξ + ξ, F 3 = 3ξ ξ, F 4 = ξ ξ, ξ =. A hajlító é cavaró mozgáok azono zintű interpolációja akkor fonto é hazno, ha a vizgált feladatban ezek kapcolódáával kell zámolni. Az interpoláció függvényeket a (.37) é a kezdeti terheléeket hatáát leíró (.38) kifejezéekbe helyetteítve, az elem k lineári merevégi, k G = (k Gi + k Ge ) geometriai merevégi é (.39) zerint a m konzizten tömeg mátriai a következő módon zámíthatók ki: δuku = δ EAu + EI w + EI v + EI α + GJα d, (.5) ( ) T E E r ω T E Gi E ( ) ( α α ) 3( α α ) δuk U = δ N v + w + M v v + M w w ( ) Wα r α α ( )( ) ( ) + M v w vw + M + V w V v + Vv r + Vw wz CS + vy CS Vv r + Vw u d, (.5) T E Ge E = f ( z SP y SP ) ( fyzsp fz ysp ) ( fy ysp fz zsp ) + + δuk U δ v w α wv α f y v f z w d y SP z SP + δ ( ) F z γ + y β α + ( F z + F y ) βγ ( F y + F z ) α F z β F y γ q in Θ q in Θ y + M ( β γ ) βγ coθ M y ( ) α γ αγ co Θ y SP SP y SP z SP y SP z SP z SP y SP q in Θ z + Mz ( α β ) αβco Θz, j (.53) -9-

. EGYENES RÚDEEM AAPEGYENETEI ( ( α ) ( α ) ( α ) α) T δumu E E = ρa u δu+ v + zcs δv+ w ycs δw+ vzcs wy CS + ip δ ( δ δ α δα ) ρ Iv v Iw w I d. + + r + ω (.54) A (.5) alakú egyzerű interpoláció nagy előnye, hogy az elem mátriok zárt alakban kiintegrálhatóak, ami a numeriku zámítáok lehetége hibaforráait cökkenti. A harmadfokú elem megbízhatóágát, pontoágát Teh [63], [64] vizgálatai i igazolják. A (.5) - (.54) zárt alakban kiintegrált elem mátriokat az [S9], [S], [S3], közlemények, illetve a teljeég kedvéért az F. függelék i rézleteen bemutatja. A (.5), vagy (F.) k lineári merevégi mátri, ami az itt bemutatott é a klaziku modellben azono, megtalálható többek között Attard [5], Baroum, Gallagher [7], Iványi, Papp [3], Kim [34], Kitipornchai [4] publikációiban i. A k Gi geometriai merevégi mátrinak a direkt nyírát é az aiáli mozgát i tartalmazó (.5), vagy (F.a), valamint az m konzizten tömegmátri (.54), (F.4) formáját imertető közleményt a zakirodalomban nem találtam. Az (F.5), a forgáokra nézve i energetikailag konzizten, diagonál tömegmátri, amit Archer [] eljáráát követve, a merev tetek mozgáát leíró, elemi dinamikai özefüggéek alapján lehet megzerkezteni. Ennek rézleteit é pontoági vizgálatát az [S4] publikáció é az [S7] dolgozat közli. -3-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA 3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA Az előzőekben rézletezett elmélet é a VEM7 végeelem modell ellenőrzééhez haznált feladatok közül itt cak hármat imertetünk. A numeriku ellenőrzéhez ajánlott feladatort imertet Teh [63], [64]. Ezekre é még további feladatokra vonatkozó numeriku vizgálati eredmény a [S3], [S4], [S5], é [S7] publikációkban i található. A következőkben bemutatandó feladtok célja, a zükége é kötelező numeriku ellenőrzéeken túl, a rúd é a comópontonként hét zabadágfokú rúd végeelem modell zélekörű, helyenként a zokáo gépézeti, mérnöki alkalmazáok keretein túlmutató lehetőégeinek rövid bemutatáa. Ezek alapján i megállapítható, hogy a modell a célkitűzéekben megfogalmazott jelenégek vizgálatára alkalma. 3.. Keret kritiku terhelée A 3.. ábrán látható téglalap kereztmetzetű, nyitott íkbeli keret az F erő hatáára elvezti tabilitáát, a íkjára merőlegeen kihajlik é elfordul. A kritiku terhelé értéke függ az erő kereztmetzeten belüli ecentricitáától i é irányától i. = 4 mm b = 3 mm t =,6 mm Z X F t E = 74 N/mm ν =.3 r, y, z P P P b 3.. ábra. Keret terhelée é méretei A feladattal kapcolatban érdeme megjegyezni, hogy Argyri [3] a nyitott keret vizgálatával mutatta ki a.4. fejezetben imertetett klaziku modellben a hajlító é cavaró nyomatékok forgá növekmények közbeni eltérő vielkedéét. A következő zámítá eredményei i igazolják, hogy a klaziku modell nem alkalma térbeli zerkezetek vizgálatára. A kritiku terhelé zámítáát három különböző kezdeti terheléi eetre végeztük el, az F erő támadápontja a P (z SP = -b/), a P (z SP = ) é a P pont (z SP = +b/). A kritiku erők zámított é referencia értékeit a 3.. táblázatban foglaltuk öze. A pozitív eredmények a 3.. -3-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA ábra zerinti, a negatív az azzal ellenkező erő irányt jelentik. A táblázat elő két ora a VEM7 végeelem modellel az (.) alakú ajátérték feladat legkiebb pozitív é negatív ajátértékeiből, két különböző (N e = 4 é ) elemzámmal meghatározott eredményeket mutatja. átzik, hogy egyene zakazonként már két elem i elfogadható eredményt ad. Az elő két or eredményeinek maimáli eltérée kiebb mint %, ami a (.5) alakú harmadfokú interpoláció minőégét igazolja. A 3.. táblázat 3. é 4. oraiban a zakirodalomban megtalálható eredmények közül adtunk meg kettőt. Az 5. é 6. orokban a héjelemekből álló végeelem modellek eredményeit adtuk meg. A 6. or zerinti COSMOS/M modellt é az egyik kihajlott alakot mutatja a 3.. ábra. Végül, a táblázatban a 7. é 8. orok a.4.. fejezetben, a klaziku modell alkalmazhatóágának korlátira tett megállapítáokat illuztrálják, mivel ezek az eredmények közel fele akkorák, mint a ponto értékek. : F a P pontban : F a P pontban 3: F a P pontban. N e =4,33 / -,79,9 / -,6948,45 / -,6668. N e =,3 / -,7,88 / -,683,4 / -,655 3. Ref [7],88 / -,684 4. Ref [4],3 / -,7,88 / -,683,4 / -,655 5. Ref [4] a, / -,73,83 / -,7,4 / -,675 6. a,9 / -,73,84 / -,6957,33 / -,668 7. Ne = b,5399 / -,433,5537 / -,438,5669 / -,443 8. Ref [4] b,5568 / -,463 a ABACUS, 5 Q9 hell (S9R5) elem, a COSMOS/M, 6 hell (SHE4T) elem, b klaziku modell, (.43), U* = 3.. táblázat. Keret kritiku terheléei (N) 3.. ábra. COSMOS/M modell, F cr =,9 N. -3-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA Ezzel a feladattal bemutattuk, hogy a kidolgozott VEM7 végeelem modell térbeli rúdzerkezetek kritiku terheléeinek, valamint ecentriku kezdeti terheléeinek kezeléére alkalma. 3.. Cavart tengely tabilitáa A gépézeti gyakorlatban gyakran előfordul, hogy egy hozú rudat, vagy tengelyt cavaró é eetleg ezzel együtt má igénybevételek i terhelik. Ez eetenként zükégeé tezi a cavart rudak tabilitái kérdéeinek elemzéét. A zakirodalomból már régóta imertek az erre vonatkozó eredmények. (Goto [5], Ponomarjov [53], Ziegler [73]) A következő egyzerű feladat célja annak igazoláa, hogy a dolgozatban bemutatott rúdmodell a cavart rudak lineári tabilitái problémájának vizgálatára i alkalma. Az erre épülő végeelem modell a kiegézítő lehetőégekkel együtt felhaználható bonyolultabb, a valóágo üzemi vizonyokat i változó kereztmetzet, rugalma támazok, időben változó kombinált terheléek modellező feladatok vizgálatára. A 3.3. ábrán látható, zimmetriku kereztmetzetű tengely igénybevétele tizta cavará. egyen a konzol zabad végén működő M kezdeti cavaró erőpár két, egymára merőlege irányú kvázitangen nyomatékú erőpár eredője: ( ) M = - a M, M = am. (3.) q q Az a paraméter értékével beállíthatjuk az eredő nyomaték kvázitangen vagy zemitangen tulajdonágát, ugyani a.5 é.6 ábrákhoz tartozó megjegyzéekkel özhangban, ha a = vagy akkor M = M q vagy ha a =,5 akkor M = M. (Itt érdeme megemlíteni, hogy Yau [7] ezt a felbontát alkalmazta az I zelvényű cavart rudak tabilitávizgálatához, amikor feltételezte, hogy az eredő cavaró igénybevétel zabad St Venant féle cavarái réze zemitangen, a gátolt cavarái réz pedig kvázitangen termézetű.) z M z, y, r Θ Θ + π/ (-a)m am 3.3. ábra Konzol terhelée A (.37) virtuáli munka elvének az adott feladatra érvénye alakja, mivel a kereztmetzet zimmetriku, y CS = z CS = é M = M: -33-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA δ EAu + EI w + EI v + EI α + GJα d+ δ M v w v w d δπ =. (3.) ( ) ( ) r ω Ge A tengely = végén a két merőlege é kvázitangen nyomatékú kezdeti terhelő erőpár eredő munkája a forgá növekményeken a (.3) vagy (.38) alapján: in Θ ΠGe = M ( a) ( w v ) vw co Θ + =. (3.3) Itt i látzik hogy ha a =,5 akkor M = M é Π Ge =, ami megfelel a (.3) általáno érvényű megállapítának. Mivel a (3.) elvben a kezdeti M cavaró terhelé cak a v é w mozgáokkal kapcolódik, a továbbiakban cak ezekre a változókra vonatkozó megoldát elemezzük. Képezve a (3.) v é w zerinti variációit, egyzerű integrál átalakítáok után a következő peremérték feladathoz jutunk: EI v + Mw =, EI w Mv =, (3.4a) = : v=, w=, v =, w =, = : EIv + Mw M ( a)( v inθ w coθ) =, (3.4b) EIrw Mv + M ( a)( v coθ + w inθ) =. Érdeme megfigyelni, hogy az a paraméter cak a peremfeltételben jelenik meg, az egyenletekben nem. A terhelé megoztáa nem befolyáolja a belő egyenúlyt, mivel a belő erők nyomatékai eetünkben az a értékétől függetlenül mindig zemitangen termézetűek. Ez megfelel a.4.. fejezetben rézletezett általáno érvényű vizgálat eredményeinek. A (3.4a) egyenlet megoldáa, ami teljeíti az = peremre vonatkozó kinematikai peremfeltételeket: ( ) = ( ) ( ) v c inψ/ ψ/ c coψ/, M I w = ck coψ/ + ck ink ψ /, ψ =, k =. ( ) ( ) ( ) E I I r I r r (3.5) Ezt a megoldát az = végpontra vonatkozó (3.4b) dinamikai peremfeltételekbe helyetteítve, a következő lineári, homogén egyenletrendzerhez jutunk: ( ) ( ) ( ) ( ) in Θ co ψ /k + co Θ inψ co Θ co ψ + in Θ inψ/k ( a) co Θ co ψ + k inθ inψ k inθ coψ co Θ inψ ( ) inψ co ψ + c + = ( co ψ + ) inψ c. (3.6) -34-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA Az együttható mátri determinánának zéru feltételéből felírható a karakteriztiku egyenlet. Ha a =,5 akkor a coψ + = egyenlet megoldáából a kritiku zemitangen nyomaték: E M cr = π Ir I, (3.7) é ha a = vagy a = é Θ = vagy Θ = π/, (bármely értékpárra ugyanazt az eredményt kapjuk) akkor a karakteriztiku egyenlet coψ = alakú lez, é a kvázitangen kritiku nyomaték: M E = π I I. (3.8) q cr r Ugyanezt az eredményt kapjuk bármely Θ értékre, ha k =, azaz ha I r = I. Ezek a régóta imert egyzerű eredmények megtalálhatóak például Ponomarjov [53] könyvének 43. oldalán. A VEM7 végeelem modell ellenőrzéére megvizgáltuk azt az eetet, amikor a tengely végén cak egy kvázitangen nyomaték van, a =, de annak Θ iránya változik. A 3.3 ábra zerinti konzol adatai legyenek: = mm, A = mm, I r = 45 mm 4, I = 5 mm 4, J = mm 4, E =, 5 MPa, ν =,3. Ezekkel az adatokkal k = /3, é a ψ (3.5) definíciójának átrendezéével a kritiku nyomaték q E 5 M cr = ψ ( Θ ) I r I = 3, ψ ( Θ ) Nmm. A 3.. táblázat a különböző N e elemzámmal kizámolt ψ értékeket tartalmazza. átzik, hogy már az N e = feloztáal i igen ponto eredményeket kaptunk. A VEM7 modellel kizámított eredmények alapján megrajzolt ψ(θ ) függvényt a 3.4. ábra mutatja, ahol látzik, hogy a kritiku nyomaték legkiebb értéke a Θ = 45 irányú terhelő erőpár állához tartozik. Ehhez a terheléhez tartozó kritiku kvázitangen nyomatéki tényező ψ min értékét úgy i meghatározhatjuk, ha a (3.6) egyenletrendzer együttható mátriában a Θ = 45 é az a = értékeket helyetteítjük, amiből átalakítáok után a k tg ψ min =, k (3.9) k karakteriztiku egyenletet kapjuk. Ha k =, akkor ψ min = ±π/, megegyezik a (3.8) eredménnyel. Ez a feladat jól zemlélteti a különböző termézetű külő terhelő erőpárok kezeléének lehetőégét é fontoágát. Egy zerkezeten belül a kapcolódó elemekről átadódó comóponti nyomatéki terhelé a.4.. fejezetben elvégzett vizgálat eredményei zerint azonban mindig zemitangen termézetű. -35-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA A gépézeti alkalmazáok zempontjából különöen fonto lehet az özetett igénybevételű, például a nyomott é cavart tengelyek, fúrózerzámok tabilitávizgálata. A mot bemutatott rövid ellenőrző feladat igazolja, hogy a nagy forgáok elméletét alkalmazó rúd é a VEM7 végeelem modell ilyen típuú vizgálatok végzéére i alkalma lehet. Θ (fok) N e = N e = 4 Ref.,576,578 a π/ =,578,43,43,5,8486,8483 3,7374,7373 45,6435,6435 b arc tg,75 =,6435 a (3.8) egyenlet, b (3.9) egyenlet 3.. táblázat. A ψ nyomatéki tényező értékei, konvergencia tezt, k = /3..5 ψ k = k = /3.5 Θ (fok).5 45 67.5 9 3.4. ábra. A kvázitangen kritiku nyomaték változáa 3.3. Hajlított tengely zabad rezgéei A rugalma zerkezetekre ható állandó (időben állandó) terheléek megváltoztatják a zerkezet dinamikai jellemzőit. Közimert a nyomott egyene rúdra érvénye megoldá, ami zerint a hajlító lengé frekvenciájának négyzete é a nyomó/húzó terhelé között lineári a kapcolat. Ha a nyomóerő közelít a Euler féle kritiku értékhez, a legkiebb frekvencia a zéruhoz tart. Ez azonban túl egyzerű feladat, abban az értelemben, hogy a nyomó igénybevétel változáával a lengékép nem változik, mivel az elő hajlító lengékép é a kihajlott alak (a két ajátvektor) azono. Ettől eltérő eetekben az állandó kezdeti terhelé a ajátfrekvenciákkal együtt a lengéképeket i módoítja. A lengéképek pontatlanága azokban a dinamikai zámítáokban, melyek a modálanalízi módzerét alkalmazzák, (pl. zeizmiku vizgálatok) jelentő hibát eredményezhet a zerkezeti válazokban, mint például -36-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA a maimáli igénybevétel nagyága é helye. Ez a jelenég eetenként zükégeé teheti az (.3) alakú máodrendű dinamikai (a megjelölé a máodrendű tatikai zámítá elnevezé analógiája) zámítáok elvégzéét. Előzör vizgáljuk meg, hogy a rúd tengelyére merőlege, hajlító igénybevételt okozó állandó terheléek hogyan módoítják a rúd dinamikai vielkedéét. Ebben a körben a legegyzerűbb alapfeladat a 3.5. ábra zerinti, állandó é zimmetriku kereztmetzetű kéttámazú tartó zabad rezgéeinek vizgálata. M z = 4 m M C, S z v(,t) α(,t) 3.5. ábra. Kéttámazú tartó. A virtuáli munka elvének alakja a (.37), (.38) é (.39) felhaználáával, mivel mot a kereztmetzet zimmetriku, y CS = z CS =, a kezdeti igénybevétel az M = M r = M egyene, tizta hajlítá é a kezdeti terhelé a két rúdvégi kvázitangen erőpár: δπ = δ ( EAu + EIrw + EI v + EIωα + GJα ) d+ δ M ( v α v α ) d ( ) p r ω + ρ Au δ u+ v δ v+ w δ w+ I α δ α + Iv δv+iw δ w + I α δα d (3.) M δ [ αv ] = átható, hogy a kezdeti hajlító igénybevétel cak a v(,t) oldalirányú mozgát é az α(,t) cavaró forgát kapcolja öze, a longitudináli é a z irányú hajlító lengéek függetlenek maradnak. Elhagyva a harmadik vegye deriváltakat, a forgából é a vetemedéi mozgából zármazó tehetetlenégi erők hatáát képezzük a (3.) virtuáli munka elv v é α zerinti variációit. A zokáo integrál átalakítáok után a következő peremérték feladathoz jutunk: EI v + Mα + ρav =, EI α GJα + Mv + ρi α =. ω ( ) ( ) EIv M α δv =, EI v δv =, ( ) ( ) EIωα + GJα Mv δα =, EI α δα =. p ω (3.) (3.a) -37-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA Ha a rúd két végén a cukló megtámaztá a kereztmetzet cavarái vetemedéét nem akadályozza, a peremfeltételeket a következők leznek: =, = : v =, α =, v =, α =. (3.b) Ezeket a peremfeltételeket teljeítő megoldá π π v(,t) = v in i inωt, α(,t) = α in i inωt, (3.3) alakban írható fel, amit a (3.) egyenletbe helyetteítve a v, α maimáli kitéréekre a következő homogén lineári egyenletrendzert kapjuk: 4 π π EI v i ρaω M i = 4 π π π M i EIω i + GJ i ρipω α (3.4) Ebből, ha ninc hajlító igénybevétel, azaz M =, a nem kapcolt hajlító é cavaró lengéek ajátfrekvenciáira a jól imert özefüggéeket kapjuk: 4 π EI π GJ π EI ω ωbi = i, ωti = i + i, i =,,.... (3.5) ρa ρip GJ (udvig [45], 5. oldal) Márézről, tatikai feladatra, ha ω =, a következő nyomaték ajátértékek adódnak: π π EI ω M i = i EGIJ + i, i =,,..., GJ é a legkiebb, i = ajátérték a kifordulát okozó kritiku nyomaték, (Iványi [3], 37. oldal): π π EI M =M EGI J AI GJ π cr =± + ω =± ρ pωbωt A továbbiakban cak az i= megoldát vizgáljuk. Vezeük be a. (3.6) µ = M /M (3.7) nyomaték terheléi tényezőt. Ezzel, é a (3.5) frekvenciákkal a (3.4) lineári egyenletrendzer átalakítható: ( ) A ωb ω AIpµ ωb ω t v AI ( ) pµ ωbωt I α =. (3.8) p ωt ω -38-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA Az együttható mátri determinánának zéru feltételéből felírható a karakteriztiku egyenlet, aminek megoldáa ha ω b < ω t az elő két kapcolt ajátfrekvencia: ω ωt+ ω b ωt ω b,, = + µ ωtωb (3.9a) ω ωt+ ω b ωt ω b, = + + µωω t b. (3.9b) A kapcolt hajlító - cavaró frekvencia é a hajlító terhelé kapcolatát mutatja a 3.6 ábra bal oldali réze. Érdeme megfigyelni, hogy a terhelé növeléével az elő frekvencia cökken, a máodik vizont növekzik. ω α i p /v ω t + ω b ω b /ω t ω, ω t (ω t + ω b)/ ω, ω b µ = M/M cr µ - + 3.6. ábra. A kapcolt hajlító-cavaró frekvenciák é az elő lengékép változáa A legkiebb ajátfrekvencia imeretében a (3.8) elő egyenletből felírhatjuk a megfelelő lengéképben a hajlító é a cavaró komponenek keveredéi arányát : αip ωb ω, =, (3.) v µ ω ω b t ahol i p = (I p /A) /, a polári inercia ugár. A keveredéi arány é a terhelő nyomaték kapcolatát mutatja a 3.6 ábra jobb oldali réze. átzik, hogy a kezdetben tizta hajlító lengéképben (α = ) a nyomaték növekedéével a frekvencia változánál gyorabban növekzik a cavaró réz aránya. Határeetben, ha M = M cr é µ =, az arány értéke α i p b v ω =. (3.) ω t Haonló jellegű eredmények vezethetők le az i > indeű megoldá párokra. A VEM7 modell ellenőrzéére haonlítuk öze a 3.5. ábra zerinti, = 4 m hozú, kéttámazú tartóra a zárt alakú é a végeelem megoldáokat. A kereztmetzeti é -39-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA anyagjellemzőket a 3.7 ábra mutatja. Az elő nem kapcolt hajlító é cavaró frekvenciák (3.5) értékei ω b = 69, ec - é ω t = 6,4 ec -, a kritiku hajlító nyomaték pedig a (3.6) zerint M = M cr = ±35,8 6 Nmm. A 3.3. táblázatban özegyűjtött eredmények alapján megállapítható, hogy a elemmel elvégzett végeelem zámítáok eredményei gyakorlatilag megegyeznek az elméleti özefüggéek zerinti értékekkel. M VEM7 (3.9a) (3.9b) (3.) ( 6 Nmm) µ ω, ω, α i p /v ω, ω, α i p /v 68,93 6,4 69, 6,4,84 65,5 6,8,45 65,58 6,8,46,569 54,9 66,7,74 54,93 66,7,75 35,995 6,39 75,4,45 6,34 75,4,46 3.3. táblázat Kapcolt frekvenciák (/ec) é lengéképek özehaonlítáa (N e = ) Érdeme az előzőekben levezetett három érdeke rézeredményt kiemelni: a. A (3.4) egyenletrendzer zerint cak az azono i indeű (félhullám zámú) hajlító é cavaró lengéek kapcolódnak. b. A (3.6) zerint a kritiku hajlító nyomaték arányo a terheletlen zerkezet hajlító é cavaró frekvenciáinak zorzatával. c. A (3.) zerint a kritiku hajlító nyomatékkal terhelt egyene rúd térbeli kihajlott alakjában a kihajlá é az elcavarodá aránya megegyezik a terheletlen rúd hajlító é cavaró frekvenciáinak arányával. z = m F z, IPE F A = 848 mm P z I r =,943 e 7 mm 4 SP I =,43 e 6 mm 4 C, S J = 6,847 e 4 mm 4 y, r I ω =,74 e mm 4 i p = 85,57 mm E =, e 5 N/mm G =,8 e 5 N/mm ρ = 8, e -9 N ec /mm 4 3.7. ábra. Konzol ecentriku terheléel Ha a hajlító igénybevétel nem állandó, egyzerű, ponto megoldáokat nem lehet felírni. Ilyen feladat például a 3.7. ábrán látható konzolra vonatkozó vizgálat elvégzée. A zimmetriku kereztmetzet középpontjának é a terhelő erő P támadápontjának távolága z SP, a teher ecentricitáa. A két zérutól különböző kezdeti igénybevétel az M = M r egyene hajlítá é a V = F állandó nyírá. -4-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA Mivel mot i cak az y irányú hajlító é cavaró mozgáok leznek kapcoltak, a (.37) virtuáli munka elvének cak a v(,t) é α(,t) növekményekre vonatkozó rézét írjuk fel. δ Π =δ ( EI v EI GJ ) d M ( v v ) V v + α + α +δ β α + α α α d ω r r ρ Av v I pα α Iv v I ωα α d Fz SP. α = + δ + δ + δ + δ + δ = (3.) Képezzük a (3.) v é α zerinti variációit, alkalmazzuk a zokáo integrál átalakítáokat, majd helyetteítük a dm r /d = V egyenúlyi egyenletet (a orrend fonto) é az M r () = feltételt, az eredmény a következő mozgáegyenlet é peremfeltétel lez: EIv + ( M rα) + ρav ρiv = EI α GJα β M α + M v + ρi α ρi α =. ( ) ω r r r p = : v =, α =, v =, α =, = : v =, EI v + ρi v =, α =, EI α + GJα + ρi α + Fz α =. ω ω SP ω (3.3) (3.4) Mivel az M r nem állandó, ez egy változó együtthatójú, negyedrendű parciáli differenciál egyenlet rendzer, ami zárt alakban nem oldható meg. A 3.7 ábra zerinti IPE kereztmetzetű konzolra a numeriku megoldáokat a VEM7 végeelem modell felhaználáával zámítottuk ki. A 3.4 táblázat az elő két, nem kapcolt frekvencia é az N e elemzám kapcolatát mutatja. N e ω b (/ec) ω t (/ec) F cr (kn) 98,6 5,6 ±46,46 4 98, 5, ±46,5 8 98, 5, ±46,3 98, 5, ±46,3 3.4. táblázat. Pontoág vizgálat, z SP =. a: z SP = mm, F cr = ± 46,3 kn b: z SP = mm, F cr = -,38 / +65,6 kn F (kn) ω, ω, α i p /v F (kn) ω, ω, α i p /v 98, 5, - 9,7 7,4,3 ± 89,39 48,,5-93,89,7,98 ±3 76,7 45,8,373 98, 5, ±46 7,7 4,,546 +65 9,3 4,9,5 3.5. Táblázat. Frekvencia (/ec) é lengékép változáa -4-

3. PÉDÁK A RUDMODE AKAMAZÁSÁRA A 3.5 táblázat az elő két kapcolt frekvencia, a lengékép é a kezdeti teher nagyága, iránya é ecentricitáa közötti kapcolatot mutatja, ahol mot α é v a konzol zabad végének mozgájellemzői. A 8a-c. ábrák alapján megállapítható, hogy a teher ecentricitá még zimmetriku kereztmetzet eetén i jelentően módoítja a ajátfrekvenciák változáának a jellegét. Nagyobb mértékű a lengéképek változáa. A 3.5.b táblázatba az IPE zelvény felő rézén (z SP = mm) lefelé ható F = - kn F cr / erő hatáára az elő két ajátfrekvencia értékének cökkenée a terheletlen (F = ) értékekhez képet 4% é %, ugyanakkor az elő, eredetileg tiztán hajlító lengéképben az erő támadápont oldalirányú mozgáának több mint 3% zármazik a cavaró mozgából. További eredményeket találhatóak az [S3] publikációban. 5 / a: z SP = α i p /v ω, 5 ω, -5 5 kn -5 5 kn 5 / ω, b: z SP = 5 mm α i p /v 5 ω, kn kn -5 5-5 5 5 / c: z SP = mm α i p /v ω, 5 ω, kn kn -5 5-5 5 8. ábra. Frekvencia, lengékép é a teher ecentricitá kapcolata -4-

4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA 4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA Ebben a fejezetben megvizgáljuk, hogy a comópontonként hét zabadágfokú VEM7 rúdelemet hogyan lehet má, comópontonként hat zabadágfokú elemekkel özekapcolni úgy, hogy a 3. fejezetben bemutatott kedvező tulajdonágok a kapcolá után i megmaradjanak. Az elődlege alkalmazái terület a merevített lemez é héjzerkezetek pontoabb mechanikai vizgálata, illetve az.. fejezetben megfogalmazott célkitűzéeknek megfelelően a merevítő rúdelem torzió mozgáainak pontoabb modellezée. A.5 fejezetben é az F. függelékben rézletezett elem mátriok a rúdnak a kereztmetzeti főtengelyek irányával meghatározott lokáli koordináta rendzerében felírt mennyiégek. A lokáli, r, é a globáli X, Y, Z rendzer közötti, a.. ábrán i követhető tranzformáció két lépéből áll: a kereztmetzeti mozgáparaméterek áthelyezée az N comópontba é forgatá a globáli X, Y, Z rendzerbe. Az elemek özeilleztéének, az egéz zerkezetre vonatkozó rendzer mátriok özeállítáának az alapelve az, hogy a kapcolódó comópontokba tranzformált mozgá paramétereik (zabadágfokaik) azonoak. Ez a feltétel biztoítja a kapcolódó zerkezeti elemek között, a kapcolódó felületek mentén, az elmozdulá vektormező zükége mértékű folytonoágát. 4.. Az ST6 modell Előzör vizgáljuk meg röviden a végeelem módzer (mozgá módzer) keretében zokáo kapcolái eljárát. A 4.. ábra zerint, a kereztmetzet íkjában lévő közö N comópont legyen a lemez középfelületén, aminek a mozgá é forgá paraméterei a rúdelem lokáli rendzerében N T u, uy, uz, α, αy, αz, ϑ. (4.) = z S z CS C r z NC y N y CS y NC 4.. ábra. merevítő elem kapcoláa -43-

4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA Az r = -y NC é = - z NC koordinátájú N comópont mozgáa a (.4a) özefüggé alapján: ( ) ( ) u = u βy + γz + ϑϕ N, u = v+ α z + z, u = w α y + y, NC NC y NC CS z NC CS α = α, α = β, α = γ, y z é ebből a lokáli é a comóponti változók tranzformációja (4.) N u znc ync ϕ u v ( znc + zcs ) uy w ( ync + ycs ) u z α = α (4.3) β α y γ α z ϑ ϑ Ez a tranzformáció azono kereztmetzetű rúdelemek kapcoláa eetén az egéz kereztmetzet mentén biztoítja a (.) elmozduláok folytonoágát. Rúd é lemez/héj kapcolánál a mozgáok folytonoági feltételének pontoítáa, különö tekintettel a cavará hatáára, további vizgálatokat igényel. 4.. Az ST7 modell Ha az egyene rúdelem nem cak a kereztmetzetében, hanem a palátja mentén i catlakozik egy máik elemhez, akkor a mozgáok folytonoágát a tengelyével párhuzamo kapcoló vonal mentén i biztoítani kell. A cavará orán, miközben a kereztmetzet a S pont körül α zöggel elcavarodik, az eredetileg egyene, az N pontokon átmenő, tengely irányú anyagi vonal pirál alakot vez fel. Az ebből zármazó forgá arányo az S é N pontok távolágával. A 4. ábra jelöléeivel, a pirálforgá φ vektora d α = RSN = RNC + R CS = ϑ ync y CS d +. (4.4) znc + z CS φ ϑ( ) Ezzel kiegézítve a (4.) egyenleteket, az N ponthoz tartozó forgái zabadágfokok a következő formában írhatóak fel: α = α, α = β + ϑ( y + y ), α = γ + ϑ( z + z ), (4.5) y NC CS z NC CS amiből a kereztmetzeti mozgáparaméterek é a comóponti változók inverz kapcolata illetve a tranzformáció mátria: -44-

4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA N u znc ync ync zcs znc ycs ϕ u v ( znc + zcs ) uy w ( ync + ycs ) u z α = α β ( ync + ycs ) α y γ ( znc + zcs ) α z ϑ ϑ. (4.6) z S z CS C r C N φ z NC N y NC y CS y r S α R SN 4.. ábra. A pirál forgá definíciója A (4.5) egyenletekhez má módon i eljuthatunk. Írjuk fel a (.4a) U vektor gradien tenzorát: ϕ ϕ u + ϑ ϕ+ β ( zcs ) γ ( r ycs ) ϑ γ ϑ + β r D = U k,n v = α ( zcs ) α. w + α ( r ycs ) α A D tenzor azimetriku rézének, a különbégi forgá tenzornak a vektor invariána az ω forgá vektor (Béda, Kozák, Verhá [], 38. oldal): ωz ω y = ωz ω y ω ω T ( D D ) aminek koordinátái (.34) é (.36) Bernoulli-Vlaov feltételek helyetteítéével ω = α, ϕ y ( w ) ϕ ω = β + ϑ α ( r ycs) = β + ϑ ( r ycs), ϕ z ( v ) ϕ ω = γ + ϑ + α ( zcs) = γ ϑ + ( zcs). r r, -45-

4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA A φ függvény elő parciáli deriváltjait az. függelék (F.a-b) egyenletekből fejezhetjük ki: ϕ τ ϕ τ r Gϑ Gϑ Helyetteíté után a forgávektor koordinátái: ( z ), ( r y ) r = + CS = CS. r =, y = ( r ycs) + τ τ ω α ω β ϑ, ωz = γ ϑ ( zcs). (4.7) G G Ha a kapcoló vonal - é közelítőleg az N comópont i - a rúd terheletlen palátján van, ahol a cúztató fezültégek értéke zéru é r = -y NC, = -z NC, akkor az ω forgávektor koordinátái megegyeznek a (4.5) tranzformáció utoló három egyenletével: ω = α, ω y = α y, ω z = α z. Ebből látzik, hogy a (4.6) tranzformáció zigorúan véve cak akkor igaz, ha a kapcoló vonal a merevítő rúdelem terheletlen palátján van. Ezt az ellentmondát cak úgy lehetne feloldani, ha kilépnénk a rúdelmélet köréből. 4... Kezdeti kapcoló erők ecentricitáa Ha két mechanikai rendzert özekapcolunk, akkor a kapcolt rendzer virtuáli munka elvében a réz-rendzerekre vonatkozó tagok özeadódnak. A következő egyenletben a rúdelemre vonatkozó virtuáli munka elvében zereplő, például a (.37) alakú tagok indee legyen, a rúdhoz kapcolt réz-rendzerhez tartozó tagoké pedig : ( ( + Gi+ Ge) M W) ( M W) δ Π Π Π δπ δ + δπ δπ δ =. A Π belő zerkezetét a merevítendő réz mechanikai modellje zabja meg, az lehet vékony vagy vatag lemez, görbült héj, vagy akár egy máik rúdmodell. A δw é δw tagok a rézrendzerekre ható öze külő erő növekmények virtuáli munkái, amelyek tartalmazzák a két rendzer közötti kapcoló erő növekmény munkáját i. Ez a virtuáli munka réz, ha a kapcolódó felületen a mozgáok folytonoak, az özegzé orán kieik é a δw + δw = δw özeg már cak a kapcolt rendzerre ható külő erő növekmények hatáát írja le: ( ( ) ) ( ) δ Π + Π + Π δπ + δπ δπ δ =. Gi Ge M M W Ennek a rövid gondolatornak a célja annak igazoláa, hogy a rúdelem geometriai merevégének kizámítáakor a Π = pu d A (4.8) * Ge i i A tagot, vagyi a kezdeti kapcoló erőrendzert é annak ecentricitáát i figyelembe kell venni. A.5. fejezet zerinti VEM7 modellben a (.5) interpoláció következménye, hogy a kezdeti terheléekből kizámított N húzó é V r, V nyíró igénybevételek értéke elemenként -46-

4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA állandó. Ezt az állandó igénybevételi állapotot az elem kapcoló vonalának koordinátájú N é N végpontjaiban működő ( ), z ( ) y = y = y + y = z = z + z (4.9) SP SN NC CS SP SN NC CS F = N, F = V, F = V, F =+ N, F =+ V, F =+ V. (4.) y r z y r z F z F y S z C N F F z F y S N F C y 4.3. ábra. Ecentriku kapcoló erők koncentrált erőkkel i létre lehet hozni. A kezdeti igénybevételek tekintetében a kapcoló felületen megozló erőrendzer é az elemvégi koncentrált erők egyenértékűek. Ezeket az erőket é a (4.9) koordinátákat a (.8) egyenletbe helyetteítve, kezdeti kapcoló erőrendzer munkáját a forgá növekményeken a Π = ( )( Vy + Vz ) + ( ) Vz + ( ) Vy α α β β γ γ Ge r SN SN SN r SN ( αβ αβ ) Ny ( αγ αγ ) Nz ( βγ βγ )( V z V y ) SN SN r SN + SN (4.), özefüggé zerint lehet zámolni amiből az erők-igénybevételek megfelelő helyetteítéével az (F.3a) alakú geometriai merevégi mátri egyzerűen kifejthető. A kapcoló felület/vonal mentén megozló erőrendzerrel egyenértékű elem végponti (4.) koncentrált terhelő erőrendzerben az erők mellett termézeteen erőpárok i vannak. Azonban a kapcoló erő az belő erő, é amint azt a.4.. fejezetben igazoltuk, a (.33) alakú virtuáli munka elvében a belő erők nyomatékai zemitangen termézetűek. A (.3) zerint a zemitangen erőpárok virtuáli munkája zéru, így azok a (4.) kifejezében nem zerepelnek. A (4.6) é (4.) eredmények kapcán a következőket érdeme megjegyezni: a. A (4.6) mátri a tartalmazza a (4.3) tranzformációt i, így az egyzerre biztoítja a mozgáok kereztmetzeti é a kapcoló vonal menti folytonoágot. b. A (4.3) é (4.6) tranzformációk között cak a mátriok hetedik ozlopaiban van különbég. Ezek a tagok kapcolják öze a rúd tengelyirányú húzó, hajlító mozgáait é a vetemedéi paraméteren kereztül a cavaró mozgát. -47-

4. MEREVÍTŐ EEM KAPCSOÁSA c. A mátriok hetedik ozlopának elő elemében zerepel a φ N mennyiég, ami a St Venant féle cavarái vetemedéi függvény értéke az N comópontban. Ennek akkor van zerepe, ha az ecentriku húzá cavaró hatáát i modellezni akarjuk. Imerete, hogy a rúd elcavarodik a húzóerő hatáára, ha az a kereztmetzet olyan pontjában működik, ahol a φ nem zéru értékű (Ponomarjov, [5] 85. oldal). d. A (4.) egyzerű alak a (.5) alakú harmadfokú interpoláció következménye. Magaabb fokzámú interpoláció eetén a megozló kapcolóerő rendzer hatáának zámítáára a (.7) özefüggét kellene haználni. e. A (4.6) tranzformáció ebben a formájában bármely má, comópontonként hét zabadágfokú rúdelemhez haználható, függetlenül az elem comópontjainak zámától vagy az alkalmazott rúdelmélettől. f. A (4.6) tranzformáció megzerkeztéénél cak a ki alakváltozáok feltételét haználtuk fel, ezért az nem cak homogén é lineárian rugalma anyagtulajdonág, hanem má anyagtörvény például ki képlékeny alakváltozá, vagy anizotróp, rétege, kompozit anyagú rudak eetén i alkalmazható. -48-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA 5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA Amint azt már az.. fejezetben rézleteebben kifejtettük, a merevített lemezzerkezetek vizgálatával foglalkozó publikációk a merevítő elem cavarái merevégét vagy teljeen elhanyagolják vagy cak a St-Venant féle zabad cavarái hatát vezik figyelembe. A következőkben a zerkezetek lemez/héj rézének modellezééhez haznált négy comóponto vatag íkhéj elem a zakirodalomban MITC4 néven imert (Mied Interpolation of Tenorial Componenet, Bathe é Dvorkin [9]) lemezelem é egy membrán elem kombinációja. A membrán komponenben az elem íkjára merőlege forgái merevéget angolul drilling freedom Cook [8] által javaolt módon határoztuk meg. Az elemkombináció rézlete, magyar nyelvű leíráa megtalálható az [S3] kutatái jelenté 3. fejezetében. Ez a íkhéj elem működik a FemDeign végeelem programrendzerben i ([], [6] 69. oldal) é amennyire ezt meg lehetett állapítani, ugyanolyan, mint a COSMOS/M programrendzer SHE4T nevű vatag héjeleme []. Az átvizgált közleményekben nem található olyan rézleteen leírt é így reprodukálható, ellenőrizhető zámítái eredmény, amit felhaználhatnánk a numeriku vizgálatokhoz. A aját zámítái eredmények ellenőrzééhez é minőítééhez ezért többnyire a COSMOS/M v.6 végeelem rendzer SHE4T héjeleméből özeállított modelleket alkalmazzuk. A zámítáokhoz különböző modelleket haználunk, ezek jelelölée a következő: ST7 VEM7 rúd é MITC4 íkhéj elemek a 4. é 4... fejezetek zerinti kapcoláa ST6 SHE4T VEM7 rúd é MITC4 íkhéj elemek 4. fejezet zerinti kapcoláa COSMOS/M héjelemből álló modell SHE4T+BEAM3D COSMOS/M héjelem é térbeli rúdelem kapcoláa 5.. táblázat. Számítái modellek jelölée A numeriku vizgálatokhoz haználható modell méreteinek meghatározáánál fonto volt, hogy a mérnöki zempontból reáli terheléek é méretek mellett a merevítő rúdelem cavaró mozgáa i jelentő legyen. Figyelembe vettük Sheikh, Elwi é Grondin [59] eredményeit, akik a merevített lemezek lehetége mozgáainak vizgálatához tizenegy különböző méret, karcúági, anyagjellemző é terhelé vizonyzámot definiáltak. A továbbiakban vizgáljuk az 5. ábra zerinti, téglalap alakú, párhuzamo é azono oztáú T zelvényű rudakkal merevített ík lemeznek egy b zéleégű rézét. A áv X -49-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA tengellyel párhuzamo oldalain a zimmetria peremfeltételek: u =, Θ = Θ =. (5.a) Y X Z A panel két vége legyen teljeen befogott, itt a peremfeltételek: u = u = u =, Θ = Θ = Θ =, ϑ =. (5.b) X Y Z X Y Z Z b = 6 Y t = 4 z, N y t w z NC Z X b w C r z CS =8 t f b f S 5.. ábra. Merevített lemez méretei (mm) A rúd változó merevég hatáának vizgálatánál rögzített lemez méretek mellett (b = 6 mm, t = 4 mm) a merevítő elem arányait megtartva, méretét változtatjuk. Az 5. ábra zerinti vékony zelvényű T kereztmetzet jellemzői a t w függvényében: t = t, b = t, b = t, f w f f w w 4 4 4 A = 3 t, I = 4,5 t, I = 85 t, J = t, I =, w r w w w ( ) β = 6 t, z = - 3,5 t +, z = -7t, r w NC w CS w é a dimenziótlan lemez merevítő terület arányzám: ω (5.a) δ= A bt+bt f f w w tw A = bt = 8. (5.b) p Például, δ =, arány eetén a merevítő elem kereztmetzeti jellemzői: t f = 4 mm, t w = 4 mm, b w = 8 mm, b f = 4 mm, A =48 mm, I r = 3,59 5 mm 4, I =,76 4 mm 4, J =,56 3 mm 4, I ω =, β r = 64 mm, z NC = -56 mm, z CS = -8 mm. Az anyagjellemzők legyenek: E =, 5 MPa, ν =,3, ρ = 8, -9 N ec /mm 4. (5.3) A zámítái modellekben a lemezávon 36, a SHE4T modellben a vékonyfalú T zelvény egy kereztmetzetében 6 héjelemet alkalmaztunk. Ez az eleműrűég biztoítja a fontoabb eredmények legalább három tizedejegynyi pontoágát. -5-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA 5.. emez zabad lengéei Előzör vizgáljuk az 5.. ábra zerinti panel zabad lengéeit. Az 5. ábra a δ terület arány függvényében mutatja az elő három - b hajlító é t, t cavaró - ajátfrekvencia változáát. Az ábra alapján a következőket állapíthatjuk meg: a. A b hajlító frekvencia értéke (kék vonal) az ST6 é ST7 modellek eetén azono. Ilyenkor a merevítő elem nem cavarodik, cak hajlító lengét végez, ezért a (4.3) é (4.6) tranzformációk közötti eltéré, a tranzformáció mátriok hetedik ozlopa nem működik. b. A t é t cavaró frekvenciáknál az ST6 é ST7 értékek (piro é zöld vonalak) azonoak ha δ =, azaz ninc merevítő elem. c. Nagyobb merevítő kereztmetzeteknél, növekvő δ eetén az ST6 é ST7 eredmények különbége cökken, a két (piro é zöld) vonal közel azono értékűvé válik. A rúd mozgáát a hozzá képet cökkenő merevégű lemez egyre kiebb mértékben módoítja, így a két réz közötti kapcolá módjának hatáa i cökken. d. Ha az özekapcolt rúd é lemez elemek merevége özemérhető, az ST6 é ST7 modellekkel kizámolt t é t frekvenciákban jelentő különbég mutatkozik. Mindig az ST7 értékek a kiebbek, tehát ez a kapcolái eljárá a modell eredő merevégét cökkenti. Az 5. táblázatból megállapítható, hogy a t torzió frekvenciában a legnagyobb eltéré több mint %. e. A SHE4T eredmények (fekete pontok) az ST7 vonalak közelében vannak, ami arra utal, hogy az ST7 értékek a pontoabbak. A nagyobb δ értékeknél tapaztalható nagyobb eltéré oka a SHE4T héj modellben megjelenő rúd nyírái alakváltozá lehet, ami a Bernoulli Vlaov rúdmodellből (.3.4. fejezet) termézeteen hiányzik. Ezt a kérdét a.3.3. fejezetben imertetett Timohenko Vlaov modell alkalmazáával lehetne tiztázni. f. A különböző modellekből a δ =, környezetében eltérő lengékép orrend adódik. A frekvenciák növekvő orrendjében az ST6 modell zerinti orrend t-b-t, az ST7 eredmények zerint t-t-b. A lengéképek pontatlanága jelentő hibát eredményezhet a további dinamikai zámítáokban, például a modálanalízi alkalmazáánál. δ =, (t w = 4 mm) δ =,9 (t w = 8,5 mm) mode ST6 ST7 SHE4T mode ST6 ST7 SHE4T t 39,3 3,4 3, t 57,45 55,93 53,58 t 6,7 49,4 47,97 b 6,47 6,47 6,3 b 58,33 58,33 57,33 t 68,96 68,79 65,45 5.. táblázat. Sajátfrekvenciák, ω (Hz). -5-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA 8 w (HZ) ST6-t ST7-t ST6-t ST7-t ST6-ST7-b SHE4T-t,t d =A/Ap..4.6.8 5.. ábra. Merevített lemez zabad lengéei - 5-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA.5 l ST6-ST7-b ST6-t ST7-t SHE4T SHE4T+BEAM3D d=a/ap..4.6.8 5.3. ábra. Merevített lemez kritiku nyomó terhelée -53-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA 5.. Nyomott lemez kritiku terhelée Az 5.. ábra zerinti panel X irányú kezdeti nyomó terheléét az u aiáli elmozdulá megadáával hozzuk létre. Az X = peremen az (5.b) peremfeltételekben u X = u X = - mm elmozdulá az 5.. ábra zerinti hozmérettel é az (5.3) anyagjellemzővel E σ = u X =, MPa (5.4) átlago nyomó fezültégnek felel meg. Az (.) ajátérték feladat legkiebb λ ajátértéke a kritiku terhelé paramétere é ezzel a kritiku nyomó fezültég σ cr = λσ. Az 5.3. ábra mutatja a λ terhelé paraméter, a különböző kihajlott alakok - melyekben a merevítő elem hajlítáa (b) vagy cavarodáa (t) a dominán mozgáforma - é a δ terület arány kapcolatát. Az ábra alapján a következőket állapíthatjuk meg: a. Ha a merevítő kereztmetzete zéru vagy kici, a globáli, vagy Euler féle kihajlá mutatkozik. A δ növeléével a λ teher paraméter gyoran növekzik (kék vonal). Mivel a merevítő elem nem cavarodik, az ST6 é ST7 eredmények azonoak. b. Növekvő merevítő kereztmetzetnél a merevítő elem elcavarodó angolul tripping alakja jelentkezik (piro vonal). Itt már jelentő a különbég az ST6 é ST7 eredmények között, de az előző fejezet ajátfrekvencia eredményeihez haonlóan - mindig az ST7 értékek a kiebbek, vagyi az ST7 modell merevége kiebb. A hat zabadágfokú merevítő rúdelem cavaró merevégének cökkentéére Patel, Datta é Seikh [5] egy cavaró korrekció faktor alkalmazáát javaolták. Az ST7 modellben a 4. é 4... fejezetekben imertetett, mechanikailag értelmezhető é megalapozott kapcolái eljáráal értük el a cavaró merevég kívánato cökkenéét. c. Nagyobb merevítő kereztmetzeteknél az ST6 é ST7 eredmények különbége cökken, a két vonal azono, közel állandó értékűvé válik. Ezen a rézen a merev rudak a lemezt önálló rézekre oztják é a nyomott lemezávok kritiku terhelée a rúd kereztmetzet további növeléével már nem változik. d. A SHE4T eredmények (fekete pontok) az ST7 vonal közelében vannak, ami arra utal, hogy az ST7 értékek a pontoabbak. e. Az ST6 é a SHE4T+BEAM3D eredmények (zöld pontok) a vizgált méret tartományban gyakorlatilag azonoak. A 4.. fejezet zerint az ST6 modell a kapcolá módját tekintve ugyanaz, mint a SHE4T+BEAM3D, cak abban a comópontonként hat zabadágfokú rúdelem helyett a.5. fejezet zerinti VEM7 elem zerepel. Ezek zerint a jelentő numeriku eredmény változá az α cavaró forgá é a v, w lehajláok azono zintű (.5) interpolációjának é a 4., 4... fejezetekben imertetett kapcolái -54-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA eljárának a következménye. Ebben a feladatban kiebb a rúd aját cavarái jellemzőinek a jelentőége, mivel mot az (5.a) jellemzők között I ω =. f. Az 5. táblázat zerint δ =, eetén az ST6 é ST7 eredmények közötti eltéré közel 3%, ami igen jelentő, főleg ha figyelembe vezük, hogy ez az ST7 modellben a biztonág javára történő változá. δ (t w, mm) ST6 ST7 SHE4T SHE4T + BEAM3D, (,),94,94,93, (4,),3344,35,74,397,45 (6,),45,383,3395,463,9 (8,5),4,47,399.448 5.. táblázat. Kritiku terheléi paraméter λ. A zakirodalomban elfogadott beorolá zerint merevített lemezeknél nyomá következtében háromféle tabilitáveztéi forma jelentkezhet: globáli vagy Euler féle kihajlá, továbbá két lokáli alak, a merevítő elcavarodáa vagy a lemez horpadáa. Negyediknek még meg zokták említeni a merevítő rúd alaktorzuláával járó formákat i, ezek vizgálata azonban már túl mutat a rúdelmélet korlátain. A tabilitávezté utáni állapotot vizgálva, Sheikh, Elwi, Grondin [59] é méréek alapján Ghavami [3] megállapították, hogy a többi lehetége formával özevetve, a merevítő elem elcavarodáa (tripping) különöen vezélye, mert ez jár az egéz zerkezet teherbíráának vagy a merevégének legnagyobb mértékű cökkenéével. Ezt a jelenéget illuztrálja az idézett [59] közleményből átvett 5.4.a ábra. Az 5.3. ábrából megállapítható, hogy a nagyobb kereztmetzetű merevítő rudak a lemezt önálló ávokra oztják é ezért a zerkezet kritiku terhelée a rúd kereztmetzet további növeléével már nem változik. Ezt az állandó zakazt többek között Bedair [3], Brubak é Helleland [7] analitiku vizgálatai i kimutatták, náluk azonban a globáli kihajlát jelentő kezdeti réz után közvetlenül a lokáli lemezhorpadát jelentő vízzinte zakaz következik, mivel a merevítő rudaknál cak a St-Venant féle zabad cavarái hatáal zámoltak. Ezt mutatja a [7] közleményből átvett 5.4.b. ábra, ahol hiányzik az 5.3. ábrán a kék vonal é a δ,6 pont közötti átmeneti zakaz, ahol a különöen vezélyenek minőített lokáli tabilitáveztéi forma, a merevítő elem elcavarodáa lép fel. A merevítő elem elcavarodáát - a tripping jelenégét - Zheng é Yuren [7] egy olyan Vlaov rúdmodellel vizgálták, gátolt cavarái elméletet alkalmazták, ahol a -55-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA kapcolódó lemez rézt egy lineárian rugalma vonaltámaz helyetteíti. Ebből a vonaltámaz modellből hiányzik lemeznek a terheléekkel változó geometriai merevége. Bár a lemez hullámoodáának merevég cökkentő hatáát különböző faktorokkal zámolják, ez a modell cak erően merevített, gyenge lemezeléű zerkezetekre ad elfogadható eredményt. Fig. 3. oad veru deformation behaviour. 5.4a. ábra. Stabilitávezté utáni teherbírá változá, Sheikh, Elwi,Grondin [59]. Fig. 6. Elatic buckling tre (ES) in the global and local buckling range of a uniaially loaded plate (, ) with an eccentric tiffener (, height h w, b e =3t). 5.4.b. ábra. Nyomott lemez globáli é lokáli tabilitáveztée, Brubak é Helleland [7]. 5.3. Nyomott lemez zabad lengéei A 3.3. fejezetben bemutatott megoldáok i igazolták azt a közimert tényt, hogy a rugalma zerkezetekre ható állandó terheléek megváltoztatják a zerkezet dinamikai jellemzőit. Az (.3) alakú máodrendű dinamikai feladat megoldáával mot röviden azt mutatjuk be, hogy a nyomó terhelé hogyan módoítja az 5.. ábra zerinti merevített lemez dinamikai vielkedéét. Az (5.b) zerinti lemez merevítő terület arányzám legyen δ =,. -56-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA Az 5.6 ábra mutatja az ST7 modellel kizámolt elő öt ajátfrekvencia, lengékép é az (5.) zerinti kezdeti nyomó fezültég λ terhelé paraméterének kapcolatát. A λ = értéknél az elő három t, t, b frekvencia megegyezik az 5.. táblázatban, illetve az 5.. ábrán megadottakkal. Ha a terhelé paraméter közelít az 5.. táblázat zerinti λ cr =,35 kritiku értékhez, akkor a legkiebb frekvencia zéruhoz tart. A többi ajátfrekvencia i cökken, bár a hajlító lengéeknél (piro vonalak) a cökkené mértéke kiebb. A terhelé növeléével a lengéképek orrendje i változik, az elő (t3 b) orrend váltá a kritiku terhelé 3% körül jelentkezik. A különböző frekvenciák é lengéképek változáára vonatkozó megállapítáok nem általánoíthatóak, má méretvizonyú é kezdeti terheléű zerkezetben má jellegű változáokat tapaztalhatunk. Azt vizont a bemutatott eredmények alapján megállapíthatjuk, hogy a jelenég vizgálatára az ST7 modell alkalma. 5.4. Hajlított lemez kritiku terhelée Az 5.. ábrán adott méretű merevített lemez terhelée legyen p felületi nyomá. A kritiku terhelé értéke irányonként változik, ha a p felfelé mutat, a merevítő elemben, ha lefelé mutat, a lemezben lez a jellemző igénybevétel nyomá, é ennek megfelelően a tabilitáveztéi formák i eltérőek leznek. Z b Y Z p X 5.5. ábra. Merevített lemez, felületi nyomá Vizgáljuk az azono oztáú T zelvényű rudakkal merevített ík lemeznek egy b zéleégű rézét. A áv X tengellyel párhuzamo oldalain a zimmetria peremfeltételek: u =, Θ = Θ =. (5.5a) Y X Z A panel két végén, a lemez középfelületén lévő comópontokban a támazok legyenek az 5.6 ábra zerinti rögzített cuklók. Itt a peremfeltételek: u = u = u =. (5.5b) X Y Z Mivel ez a megfogá nem a lemez-rúd rendzer emlege tengelyén van, a hajlítá mellett, az ecentriku elhelyezé miatt a p irányától függően, további húzó vagy nyomó igénybevételek keletkeznek. -57-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA A kezdeti állapotot jellemző terhelé legyen p = MPa. Az (.) ajátérték feladat legkiebb λ ajátértéke a kritiku terhelé paramétere é ezzel a kritiku nyomá p cr = λp. Az 5.7. ábra mutatja a λ terhelé paraméter, a különböző kihajlott alakok é az (5.b) zerinti δ terület arány kapcolatot. Az ábra alapján a következőket állapíthatjuk meg: a. Ha a λ negatív, azaz ha a p iránya az 5.6. ábra zerint lefelé mutat, akkor a merevítő elem méretétől függetlenül mindig a lemez réz hullámoodik. A lefelé mutató terhelé közvetlen hajlító hatáa a felül lévő lemezben X irányú nyomó igénybevételt hoz létre, ugyanakkor az ecentriku támazokban az X irányú reakció erők a lemezt húzára terhelik. A két ellentéte hatá eredménye a közel lineárian növekvő (negatív irányban) λ terhelé paraméter. b. Ha a λ pozitív - a p felfelé mutat - é a merevítő kereztmetzete kici, globáli, vagy Euler féle kihajlá mutatkozik (kék vonal). A merevítő elem nem cavarodik, az ST7 é a SHE4T eredmények nagy pontoággal azonoak. (5.3. táblázat) c. A pozitív λ rézen, növekvő merevítő kereztmetzetnél a merevítő elem elcavarodó angolul tripping alakja jelentkezik (piro vonal). A SHE4T eredmények (fekete pontok) itt i az ST7 vonalhoz vannak közelebb. δ (t w, mm) ST7 ST6 SHE4T,5 () +,7 / -,377 +,75 / -.364,5 (3) +,65 / -,65 +,355 / -,798 +,54 / -,588, (4) +, / -,966 +,9 / -,9 +,88 / -,89,45 (6) +,89 / -,96 +,99 / -,49 +,565 / -,763 5.3. táblázat. Kritiku terheléi paraméter λ. Ebben a fejezetben bemutatott megoldáok igazolják, hogy az ST7 modell a lehetége lengéi é tabilitáveztéi formákat elfogadható pontoággal leírja. -58-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA 8 6 4 w (HZ) l.5..5..5 5.6. ábra. Merevített lemez nyomó terhelé - frekvencia - lengékép változáa ( δ =,, λ cr =,35 ) -59-

5. MEREVÍTETT EMEZ VIZSGÁATA.. -. -. l ST7-b ST7 SHE4T d=a/ap...3.4 5.7. ábra. Merevített lemez kritiku felületi nyomá terhelée -6-

6. ÖSSZEFOGAÁS 6. ÖSSZEFOGAÁS A. fejezetben a vége forgáok, ki alakváltozáok linearizált elméletének felhaználáával levezettem az egyene rudak vizgálatára alkalma virtuáli munka elvet é ez alapján a VEM7 végeelem modell mátriait. Igazoltam, hogy ez a rúdmodell térbeli zerkezetek vizgálatára i alkalma, mivel az abban zereplő kezdeti belő erők nyomatékai a hajlító é a cavaró nyomatékok i zemitangen tulajdonágúak. A 4. fejezetben bemutattam a rúd é lemez/héj elemek özekapcoláára alkalma tranzformációkat. Megállapítottam, hogy a mozgáok folytonoágának feltétele mellett, mivel rudaknál a terhelének a nyíróközépponthoz vizonyított ecentricitáa, az úgynevezett load tiffne hatá i lényege, az elemek közötti kapcoló vonalon megozló belő erőrendzer illeztée i zükége. A 3. é az 5. fejezetben imertetett feladatok é numeriku megoldáok - a fonto é kötelező numeriku ellenőrzéek mellett - bemutatták a comópontonként hét zabadágfokú rúd végeelem modell zélekörű, helyenként a zokáo gépézeti, mérnöki alkalmazáok keretein túlmutató lehetőégeit. A dolgozatban a következő feladatok megoldáát rézleteztem: - térbeli keretzerkezet kritiku terhelée, - tetzőlege kereztmetzetű cavart tengelyek tabilitáa, - időben állandó hajlító terheléű tengelyek zabad rezgéeinek frekvenciája é lengéképei, - merevített ík lemez zabad lengéei, - aját íkjában nyomott lemez kritiku terhelée, - aját íkjában nyomott lemez zabad lengéei - hajlított lemez kritiku terhelée. Ezek alapján i megállapítható, hogy az elmélet é a kapcolódó VEM7 végeelem modell jól haználható a célkitűzéekben megfogalmazott jelenégek vizgálatára. A mérnöki alkalmazáok zempontjából fonto rézletkérdé az eetenként jelentő zámú kereztmetzeti jellemző gyor é ponto zámítáa. Az F. fejezetben a cavarái é nyírái peremérték feladatokat zélőérték elvek formájába írtam át. Az átfogalmazott feladatok numeriku megoldáához a végeelem módzer ezközeit haználtam. A módzer előnye, hogy alkalmazáakor nem kell megkülönböztetni a különböző típuú például vékony nyitott, többcellá vagy zárt - zelvényeket, ezek egyégeen kezelhetőek. -6-

6. ÖSSZEFOGAÁS 6.. Új tudományo eredmények Az eredmények imeretében megfogalmazhatjuk az.. fejezet végén feltett kérdére a válazt. Ha a merevítő elem mozgáában a cavaró komponen i megjelenik, akkor a rúdelem torzió jellemzőinek, ecentricitáának vagy tömegelozláának közelítő vagy pontoabb modellezée jelentő mértékben módoítja a zámítái eredményeket. A dolgozatban rézleteen bemutatott tézieimet a következőkben foglalom öze:. Igazoltam, hogy a rúdelemre ható konzervatív erőrendzer zemitangen nyomatékainak (idegen) munkája az elmozdulá növekményen zéru.. Felírtam a comópontonként hét zabadágfokú, egyene rúdelem mátriait, a. A geometriai merevégi mátrinak a direkt nyírát é az aiáli mozgát i tartalmazó alakját,.c. A kvázitangen nyomatékú kezdeti külő terhelé geometriai merevégi mátriát,.d. A telje, energetikailag konzizten tömegmátriot, 3. Kidolgoztam a merevítő rúd é a lemez/héj modell végeelem kapcoláának módzerét. 3.a. Felírtam a mozgáok é forgáok kapcoló vonal menti folytonoágát biztoító tranzformáció mátriát. 3.b. evezettem a kezdeti belő (kapcoló) erő ecentricitáát leíró geometriai merevégi mátriot. 4. Kidolgoztam a merevített felületzerkezetek tatikai, tabilitái é dinamikai problémáinak megoldáára alkalma algoritmut. 4.a. Elkézítettem a zámítáok elvégzéére alkalma végeelem programrendzert. 5. Kidolgoztam egy, a tetzőlege geometriájú rudak kereztmetzeti jellemzőinek zámítáára alkalma algoritmut é zámítógépi programot. Ezzel a cavarái é nyírái jellemzőket a rugalmaágtani alapegyenletekből levezetett elliptiku peremérték feladatok végeelem megoldáa alapján határozhatjuk meg. A zámítógépi program a kerekedelmi forgalomban i kapható FEM-Deig programrendzer rézét képezi. -6-

6. ÖSSZEFOGAÁS 6.. Haznoítá lehetőégei Mivel a vékonyfalú rudakkal merevített zerkezetek fonto zerepet játzanak a könnyűzerkezetű, úlytakaréko tehervielő gépelemek kialakítáában, a bemutatott eredmények é főleg a zámítái módzer haznoítáa a mérnöki munkában kézenfekvő. A további kutatá-fejlezté célja a módzer megbízhatóágának alapoabb elemzée é az alkalmazái kör bővítée lehet. A közvetlen kutatái célok között megemlíteném a Timohenko - Vlaov modell alkalmazáát, különö tekintettel a kompozit zerkezetekre, a nagy mozgáok é a poztkritiku állapot vizgálatára alkalma módzert é az időben periodikuan változó terheléek, a dinamiku tabilitá kérdéének vizgálatát. -63-

7. HIVATKOZÁSOK 7. HIVATKOZÁSOK. Anderon JM, Trahair NS Stability of monoymmetric beam and cantilever J. Structural Engineering (ASCE), Vol.98. pp. 647-6. (97). Archer GC, Whalen TM Development of rotationally conitent diagonal ma matrice for plate and beam element Computer Method in Appl. Mech. Engng. Vol.94. pp.675-89. (5) 3. Argyri JH, Hilpert O, Malejannaki GA, Scharpf DW On the geometric tiffne of beam in pace a conitent V.W approach Comput. Method Appl. Mech. Engng. Vol.. pp.5-3. (979) 4. Argyri, JH An ecurion into large rotation Computer Method in Appl. Mech. Engng. Vol.3. pp. 85-55. (98) 5. Attard MM ateral buckling analyi of beam by the FEM Computer and Structure Vol.3(). pp. 7-3. (986) 6. Barik M, Mukhopadhyay M A new tiffened plate element for the analyi of arbitrary plate Thin-Walled Structure Vol. 4. pp.65-39. () 7. Baruom RS, Gallagher RH Finite element analyi of torional fleural tability problem Int. J. Numerical Method in Engng. Vol.. pp.335-5. (97) 8. Bathe KJ, Ramm E, Wilon E Finite element formulation for large deformation dynamic analyi Int. J. Numer. Meth. Eng. Vol.9. pp.353-86. (975) 9. Bathe KJ, Dvorkin EH A four node plate bending element baed on Mindlin/Reiner plate theory and mied interpolation Int J Num Meth in Engng Vol.. pp. 367-83. (985). Bathe KJ Finite Element Procedure Prentice-Hall, New-Jerey (998). Béda G, Kozák I, Verhá J Kontinuummechanika, Műzaki Könyvkiadó (986). Bedair OK, Troitky MS A tudy of the fundamental frequency characteritic of eccentrically and concentrically imply upported tiffened plate Int. J. Mechanical Science Vol.39(), pp.57-7. (997) 3. Bedair, OK The elatic behavior of multi tiffened plate under uniform compreion Thin-Walled Structure Vol.7. pp. 3-35. (997) 4. Bencoter SU A theory of torion bending for multicell beam J Appl. Mechanic Vol.. pp.5-34. (954) 5. Bercin AN, Tanaka M Coupled fleural-torional vibration of Timohenko beam Sound Vibr. Vol 7. pp.47-59. (997) 6. Bojtár I, Gápár Z Végeelemmódzer építőmérnököknek Terc, Budapet (3) 7. Brubak, Helleland J Approimate buckling trength analyi of arbitrary tiffened, tepped plate Engineering Structure Vol.9(9). pp.3-33. (7) 8. Cook RD. On the Allman triangle and related quadrilateral element Comput Struct Vol.. pp.65-67. (986) 9. Cortinez VH, Piovan MT, Roi RE Comment on coupled fleural-torional vibration of Timohenko beam J. Sound and Vibration Vol. 4(). pp.375-78. (999). COSMOS/M v.6 Uer Manual, Structural Reearch and Analyi Corporation (SRAC) CD verion, (). Farka J Fémzerkezetek Tankönyvkiadó, Budapet (974). FEM-Deign 7. Uer Manual, StruSoft honlap, http://www.fem-deign.com/ 3. Ghavami K Eperimental tudy of tiffened plate in compreion up to collape J. Contruct. Steel Reearch Vol.8. pp.97-. (994) 4. Ghavami K, Khedmati MR Numerical and eperimental invetigation on the compreion behaviour of tiffened plate J. Contruct. Steel Reearch Vol.6. pp.87-. (6) -64-

7. HIVATKOZÁSOK 5. Goto Y, i XS, Kaugay T Buckling analyi of elatic pace rod under torional moment J. Engineering Mechanic (ASCE) Vol.(9). pp.86-33. (996) 6. Gu JX, Chan S A refined finite element formulation for fleural and torional buckling of beam-column with finite rotation Engineering Structure Vol.7. pp.749-59. (5) 7. Hiao KM, Yang RT, in WY A conitent finite element formulation for linear buckling analyi of patial beam Computer Method in Appl. Mech. Engng. Vol.56. pp.59-76. (998) 8. Hiao KM, in WY A co-rotational formulation for thin-walled beam with monoymmetric open ection Computer Method in Appl. Mech. Engng. Vol.9. pp. 63-85. () 9. Hughe OF, Ghoh B, Chen Y Improved prediction of imultaneou local and overall buckling of tiffened panel Thin-Walled Structure Vol.4. 87-56. (4) 3. Iványi M, Papp F Acél CAD Műegyetemi Kiadó, Budapet (998) 3. Iványi M Stabilitátan 959, Műegyetemi Kiadó, Budapet (6) 3. Jirouek J A family of variable ection curved beam and thick hell or membrane tiffening ioparametric element Int. J. Numerical Method in Engng. Vol.7. pp.7-86. (98) 33. Kim MY, Chang SP, Kim SB Spatial tability analyi of thin-walled pace frame Int. J. Numer. Meth. Eng. Vol.39. pp.499-55. (996) 34. Kim MY, Chang SP, Kim SB Spatial potbuckling analyi of nonymmetric thin-walled frame. II: Geometrically non-linear FE procedure J. Engineering Mechanic (ASCE) Vol.7(8), 779-9. () 35. Kim MY, Chang SP, Park HG Spatial potbuckling analyi of nonymmetric thinwalled frame. I: Theoretical conideration baed on emitangential property J. Engineering Mechanic (ASCE) Vol.7(8). pp.769-78. () 36. Kim MY, Yun HT, Kim NI Eact dynamic and tiffne matrice of nonymmetric thinwalled beam-column Computer and Structure Vol.8. pp. 45-48. (3) 37. Kim MY, Kim NI, Kim SB Spatial tability of hear deformable nonymmetric thinwalled curved beam: a centroid-hear center formulation J. Engineering Mechanic (ASCE), Vol. 3(). pp.33-5. (6) 38. Kim NI, Jeon SS, Kim MY An improved numerical method evaluating eact tatic tiffne matrice of thin-walled beam-column on elatic foundation Computer and Structure, Vol. 83, pp.3-. (5) 39. Kim NI, Dong KS, Kim MY Improved fleural-torional tability analyi of thin-walled compoite beam and eact tiffne matri Int. J. Mechanical Science Vol.49, pp.95-69. (7) 4. Kim SB, Kim MY Improved formulation for patial tability and free vibration of thin walled tapered beam and pace frame Engineering Structure Vol.. pp.446-58. () 4. Ki F A new apect for the ue of thin walled beam a hell tiffener of pacecraft tructure Proc. of conf. on Spacecraft Structure and Mechanical Teting Noordwijk, The Netherland, Oct. 9-.987. pp.455-59. (987) 4. Kitipornchai S, Chan, S Stability and non-linear finite element analyi of thin walled tructure in Finite element application to thin-walled tructure, ed. Bull, J.W. Elevier (989) 43. Kollár P Fleural-torional vibration of open ection compoite beam with hear deformation Solid and Structure, Vol.38. pp.7543-58. () 44. im NH, Kang YJ Out of plane tability of circular arche Int. J. Mechanical Science, Vol. 46, pp. 5-37, (4) -65-

7. HIVATKOZÁSOK 45. udvig G Gépek dinamikája Műzaki Könyvkiadó (973) 46. Michelberger P, Fekete A Könnyűzerkezetek Tankönyvkiadó, Budapet (98) 47. Mohri F, Brouki A, Roth JC Theoretical and numerical tability analye of unretrained, monoymmetric thin-walled beam J. Contruct. Steel Reearch Vol.59. pp.63-9. (3) 48. Muttnyánzki Á Szilárdágtan Műzaki Könyvkiadó, (98) 49. Páczelt I, Herpai B A végeelem módzer alkalmazáa rúd feladatokban Műzaki Könyvkiadó, Budapet (987) 5. Patel SN, Datta PK, Sheikh AH Buckling and dynamic intability analyi of tiffened hell panel Thin-Walled Structure Vol.44. 3-33. (6) 5. Pi Y, Trahair NS, Rajaekaran S Energy equation for beam lateral buckling J. Structural Engineering (ASCE), Vol.8(6), pp. 46-79. (99) 5. Ponomarjov SD Szilárdági zámítáok a gépézetben. kötet, Műzaki Könyvkiadó (964) 53. Ponomarjov SD Szilárdági zámítáok a gépézetben 7. kötet, Műzaki Könyvkiadó (964) 54. Przemieniecki JS Theory of matri tructural analyi McGraw-Hill, NY (986) 55. Sabuncu M, Evran K Dynamic tability of rotating aymmetric cro-ection Timohenko beam ubjected to an aial periodic force. Finite Element in Anal. Deign Vol.4. pp.-6. (5) 56. Sapká A, Kollár P ateral-torional buckling of compoite beam Int J Solid and Structure Vol.39. pp.939-63. () 57. Sapountzaki EJ, Moko VG An improuved model for the dynamic analyi of plate tiffened by parallel beam Engineering Structure Vol.3(6). pp.7-33.(8) 58. Shakourzadeh H, Guo YQ, Batoz J A torion bending element for thin-walled beam with open and cloed ection Computer and Structure Vol.55(6). pp. 45-54. (995) 59. Sheikh IA, Elwi AE, Grondin GY Stiffened teel plate under uniaial compreion J. Contruct Steel Reearch Vol.58(5-8). pp.6-8. () 6. Simmond JG Tenzoranalízi dióhéjban Műzaki Könyvkiadó, 985 6. Teh H Spatial rotation kinematic and fleural-torional buckling J. Engineering Mechanic (ASCE), Vol. 3(6). pp.598-65. (5) 6. Teh H, Clarke MJ Symmetry of tangent tiffne matrice of 3D elatic frame J. Engineering Mechanic (ASCE), Vol. 5(). pp.48-5. (999) 63. Teh H Cubic element in practical analyi and deign of teel frame Engineering Structure Vol.3. pp.43-55. () 64. Teh H Beam verification for 3D elatic teel frame analyi Computer and Structure Vol.8(). pp. 67-79. (4) 65. Timohenko SP, Gere JM Theory of Elatic Stability MacGraw Hill, NY (96) 66. Timohenko S, Woinowky-Krieger S emezek é héjak elmélete Műzaki Könyvkiadó, Budapet (966) 67. Turkalj G, Brnic J, Prpic-Oric J arge rotation analyi of elatic thin-walled beam-type tructure uing ESA approach Computer and Structure, Vol. 8. pp.85-64. (3) 68. Vlaov VZ Thin-walled elatic beam National Science Foundation, Wahington (96) 69. Wahizu K Variational method in elaticity and platicity Pergamon Pr. Oford, (956) 7. Wempner G Mechanic of olid with application to thin bodie Sijthoff Noordhoff (98) 7. Yau JD Stability of tapered I-beam under torional moment Finite Element in Anal. Deign Vol.4. pp.94-7. (6) -66-

7. HIVATKOZÁSOK 7. Zheng G, Yuren H Tripping of thin-walled tiffener in the aially compreed tiffened panel with lateral preure and end moment Thin-Walled Structure Vol.43. 789-99. (5) 73. Ziegler H Principle of tructural tability Birkhauer, Stuttgart (977) 74. Zienkiewicz OC The finite element method 4 th ed. McGraw-Hill, ondon (989) 7. Saját publikációk az értekezé témájából S. Vörö GM A variational principle for torion problem of compoite rod Periodica Polytechnica, Vol.3(4), pp 367-76. (979) S. Vörö GM A pecial purpoe element for hell-beam ytem Computer and Structure, Vol.9(), pp.3-8. (988) S3. Vörö G Több funkció héj é rúdzerkezet zámoló végeelem rendzer kutatái jelenté, NKFP /6. e_deign Projekt, M. (témavezető Papp F.) (3) S4. Vörö GM Free vibration of thin walled beam Periodica Polytechnica, Ser.Mech.Eng. Vol.48(), pp 99-. (4) S5. Vörö GM Coupled vibration of thin walled beam Proc of ICCES 4, Advance in Computational and Eperimental Engng. and Science, Funchal, Portugal, 4.VII. 6-9. pp.99-4. CD-Edition (4) S6. Vörö GM, Kirchner I Calculation of cro ectional propertie Proc. of GÉPÉSZET 4, Budapet, pp.4-6. (4) S7. A gátolt cavará hatáának vizgálata rudakban é merevítő rúdelemekben. Habilitáció pályázat, Budapeti Műzaki é Gazdaágtudományi Egyetem, (5) S8. Vörö GM Improved formulation of pace tiffener Proc of emc6, 6th European Solid Mechanic Conference, Budapet, CD-Edition (6) S9. Vörö GM Buckling and vibration of tiffened plate International Review of Mechanical Engineering (I.RE.M.E.) Vol.(), pp 49-6. (7) S. Vörö GM An improved formulation of pace tiffener Computer and Structure, Vol.85(7-8) pp.35-59 (7) S. Vörö GM Finite element analyi of tiffened plate Periodica Polytechnica, Ser.Mech.Eng. Vol.5(), pp.-9. (7) S. Vörö GM Mechanical analyi of reinforced plate tructure Proc. of GÉPÉSZET 8, Budapet, pp M-7/-6. CD-Edition (8) S3. Vörö GM On coupled bending-torional vibration of beam with initial load Journal of Computational and Applied Mechanic, Vol.9(), pp.-7. (8) -67-

F. RUDAK CSAVARÁSA ÉS NYÍRÁSA F. RUDAK CSAVARÁSA ÉS NYÍRÁSA Az egyene, prizmatiku rudak cavarái é nyírái feladatainak rugalmaágtani megoldáa, azok pontoabb é rézleteebb leíráa több helyen i megtalálható a zakirodalomban, Ponomarjov [5], Wempner [7] itt cak az előzőekben többzör felhaznált mennyiégek ponto értelmezééhez zükége rézletekre térünk ki. A következőkben i az F.. ábra zerinti derékzögű Decarte féle koordináta rendzert haználjuk, melynek kezdőpontja a kereztmetzet C geometriai középpontja é a rúd tengelye. Köük ki továbbá, hogy az r é tengelyek középponti főtengelyek, azaz r da = da = r da = r da = I da = I,,, r. A A A A A Cavaráakor az igénybevétel a kereztmetzet íkjára merőlege M t cavaró nyomaték, nyírákor pedig az S nyíró középponton átmenő hatávonalú V r é V nyíróerők é az ezekhez kapcolódó M r é M hajlító nyomatékok. A cavarái é nyírái feladatok megoldáa orán a következő egyzerűítő feltételeket alkalmazzuk: a. a kereztmetzet alakja a terhelé orán tengely irányából nézve nem változik, b. a mozgáok é az alakváltozáok kicik, c. a rúd anyaga lineárian rugalma, homogén é izotróp. d. a rúd palátja terheletlen é nincen térfogati erőhatá e. a σ r, σ, é τ r fezültégkomponenek elhanyagolhatóan kicik f. az M t cavaró é a V r, V nyíró igénybevételek állandóak F.. A cavarái vetemedéi függvények tulajdonágai Tizta cavarákor az a. feltétel zerint a kereztmetzet a aját íkjában nézve, ahogy azt az F.. ábra i mutatja, mint egy merev alakzat forog az S pont körül. A b. feltétel zerint az elmozdulá vektor az U U e R R e U = U y = α S + u,r, = - -zcs ( ) ( ) ( ) α ( ) α ( r- y ) z CS formában írható fel, ahol R egy tetzőlege anyagi pontba, R S az S forgápontba mutató vektor: R = re + e, R = y e + z e. A b., c. é f. feltételek alapján, az elmozdulá r S CS r CS vektorból az alakváltozáok a lineári geometriai egyenletek é a fezültégek az egyzerű Hooke törvény zerint a következő formában írhatók fel: u -68-

F. RUDAK CSAVARÁSA ÉS NYÍRÁSA u σ = E ε = E, u u τ r = G γ r = G α ( z CS ), τ = G γ = G + α ( r y CS ). r Szabad cavará eetén a kereztmetzet pontjai az tengely irányában zabadon elmozdulhatnak, ezért a σ normál fezültég zéru. Továbbá, mivel minden kereztmetzet alakja é cavaró igénybevétele azono, a cúztató fezültégek az koordinátától függetlenek. A két kiköté következménye: ( ) ( ) ( ) σz =, u r,, α = ϑ = állandó, α = ϑ + c, ahol ϑ a fajlago elcavarodá, ami mot állandó. z e t n R C e r r R S R R S N y S α() F.. ábra. A kereztmetzet cavaró forgáa Vezeük be a St Venant féle vetemedéi függvényeket a következő definícióval: C ( CS CS ) u = ϑ ϕ rz + y = ϑϕ. (F.a) ahol φ C (r,) a C középponthoz, φ(r,) pedig az S cavaró középponthoz kapcolt vetemedéi függvény. A cavarái cúztató fezültégek új alakja az (F.) helyetteítée után: C C ϕ ϕ ϑ τ r = Gϑ, τ = G + r. r Ezekkel a belő erőkre vonatkozó τ / r + τ / = egyenúlyi egyenlet a r (F.b) C C ϕ ϕ + = r (F.a) alakban írható fel. A d. feltétel zerint a rúd palátja terheletlen ezért a kereztmetzet peremgörbéjén az eredő cúztató fezültég vektor cak érintő irányú lehet. Ha az F.. ábra zerinti t é n a peremgörbe érintő é kifelé mutató normáli egyégvektorai, akkor a fezültégekre vonatkozó dinamikai peremfeltétel: C C ϕ ϕ τrnr + τn =, vagy r + = r e e n R t (F.b) -69-

F. RUDAK CSAVARÁSA ÉS NYÍRÁSA A φ C függvény tulajdonágai:. Az (F.a) homogén parciáli differenciál egyenlet é a kereztmetzet kontúrvonalán az (F.b) peremfeltétel egy additív kontantól eltekintve egyértelműen meghatározza a St Venant féle vetemedéi függvényt. Ugyani ha φ C megoldá, akkor (φ C + K) i megoldá. A K értéke legyen olyan, hogy C ϕ da = A. (F.3a). A φ C vetemedéi függvény é a ϑ fajlago elcavarodá a tengelyirányú mozgát nem határozza meg egyértelműen. Az u(r,) elmozdulá (F.) zerinti alakjából látzik, hogy van egy határozatlan, lineári függvény, melynek együtthatói a cavaró középpont koordinátái. Ez a lineári függvény a rúdnak egy merevtet zerű mozgáát írja le, amit az (F.a-b) dinamikai peremérték feladat nem határoz meg. Szükég van egy olyan kiegézítő, kinematikai feltételre, ami ezt a merevtet mozgát korlátozza, kizűri, de a kereztmetzet zabad vetemedéét nem gátolja. Ennek megfelelően írjuk elő, hogy a kereztmetzet pontjainak tengelyirányú mozgáa a lehető legkiebb legyen, azaz teljeíti a C ϑ ( ϕ ) CS CS u da= rz + y da= minimum. A A feltételt. A kétváltozó zélőérték feladat megoldáából a cavaró középpont koordinátái: C C ycs = ϕ da, zcs r ϕ da. I = I r A 3. A rúd igénybevétele tizta cavará, ezért a nyíróerők értéke zéru: A (F.4a) C C ϕ ϕ Vr = τ r da = Gϑ da =, V = τ da = Gϑ + r da =. r A A A A Mivel az r é főtengelyek, teljeülnek a következő feltételek: C C ϕ ϕ da =, da = r A A. (F.5a) 4. A belő erők nyomatéka az C pontra megegyezik a cavaró igénybevétellel: amiből az M t C C ϕ ϕ t = ( τ yz τz) = ϑ + + r A A M r da G r r da, = Gϑ J definíció zerint a cavarái máodrendű nyomaték C C ϕ ϕ J = Ir + I r da r A. (F.6a) -7-

F. RUDAK CSAVARÁSA ÉS NYÍRÁSA 5. Ha φ C az (F.a-b) megoldáa, akkor a Gau-Oztrogradzkij tétel felhaználáával elvégezhető a következő átalakítá: A C C C C ϕ ϕ ϕ ϕ r da = + da r r A amiből az (F.6a) felhaználáával a következő özefüggé írható fel: A C C ϕ ϕ + da = Ir + I J r. (F.7a) A φ függvény tulajdonágai: A úlyponti é a cavaró középponti vetemedéi függvényeknek az (F.a) definíció zerinti kapcolata: A C C ϕ = ϕ rz + y, ϕ = ϕ+ rz y. CS CS CS CS Ebből az (F.3a) - (F.7a) új alakjai, mivel az r é középponti főtengelyek, orrendben a következők leznek: ϕ da = A. (F. 3b) ϕ da =, r ϕ da =. A A (F.4b) ϕ ϕ da = Az CS, da = AyCS r A A. (F.5b) ϕ ϕ J = Ir + I r da r A. (F.6b) ϕ ϕ + da = Ir + I + A( ycs + zcs ) J r. (F.7b) F.. A nyíró faktorok Cavarámente nyírá eetén a V r é V nyíróerők hatávonalai átmennek a kereztmetzet S nyíró középpontján. Mivel a kereztmetzet főtengelyeivel párhuzamo V r é V nyíró igénybevételek egymától függetlenek, előzör vizgáljuk cak a V r é a kapcolódó M hajlítá hatáát. Egyene hajlítá közben a rúd pontjai cak az F.. ábra zerinti é y irányokba mozognak. A Bernoulli hipotézit felhaználva az elmozdulá koordináták: Vr U = vr + ψ r, U y = v, U z =, AG -7-

F. RUDAK CSAVARÁSA ÉS NYÍRÁSA ahol ψ r (,r,) a nyírái vetemedéi függvény é v() a rúd tengelyének lehajláa. Az alakváltozáok a lineári geometriai egyenletek é a fezültégek az egyzerű Hooke törvény zerint a következő formában írhatók fel: Vr E ψr Vr ψr Vr ψr σ = Eε = Ev r +, τ r = G γ r =, τ = G γ =. AG A r A Ha a nyírái vetemedét külő kényzerek nem gátolják, akkor a ψ r (r,) kétváltozó függvény lez é a normál fezültégnek cak a lineári rézével kell zámolni: M V ψ V ψ σ = r, τ =, τ =, r r r r r I A r A A belő erőkre vonatkozó σ / + τ / r + τ / = egyenúlyi egyenlet a r fezültégek, valamint az igénybevételek közöttivr = dm / d kapcolat helyetteítéével a ψr ψr A + = r r I (F.8a) alakban írható fel. A d. feltétel zerint a rúd palátja terheletlen ezért a kereztmetzet peremgörbéjén a fezültégekre vonatkozó dinamikai peremfeltétel ψr ψr r + = r e e n, (F.8b) ahol n a kereztmetzet peremgörbéjén a kifelé mutató normáli egyégvektor. S M z C y r V V r M r F.. ábra. Cavará mente nyírá A nyíráából zármazó U alakváltozái energia ponto értékét az (F.8a-b) peremérték feladat megoldáa után az V r ψr ψr U = ( γ rτr γ τ ) da ( τr τ ) da + da + = G + = G A r A A A Vr ψrr da A = G A I özefüggé zerint zámolhatjuk, ahol az integrál átalakítáánál felhaználtuk a Gau- Oztrogradzkij tételt. -7-

F. RUDAK CSAVARÁSA ÉS NYÍRÁSA A nyírái energia közelítő értékét kapjuk, ha azt a kereztmetzetben állandó, a külő terheléel egyenértékű, átlago nyíró fezültégből zámítjuk ki: A Vr Vr r A U = τ da = da = G G A G A. A nyírái energia ponto é közelítő kifejezéeinek özevetééből U = U ψrr da kru, I = A ahol az r főirányhoz tartozó nyíró faktor: kr = ψrr da, I Az előzőekhez haonló módon vizgálva a V nyíró igénybevétel hatáát, a A (F.9) M V ψ V ψ σ =, τ =, τ =, r r Ir A r A fezültégekből az egyenúlyi egyenletek felhaználáával a ψ ψ A ψ ψ + = r, r I e + e = r r n (F.) peremérték feladatot írhatjuk fel, aminek megoldáa után az főirányhoz tartozó nyíró faktor: k = ψ da. I r A (F.) F.3. Kereztmetzeti jellemzők zámítáa Az (F.), (F.8) é (F.) elliptiku peremérték feladatokat az imert eljárát követve a következő variációzámítái feladatok formájában i fel lehet írni: δ A C C C C ϕ ϕ ϕ ϕ + + r da = r r, (F.a) ψr ψr A δ + ψrr da = r I A, (F.b) ψ ψ A δ + ψ da =. r I A r (F.c) Ezeket a zélőérték feladatokat végeelem módzerrel oldottuk meg. Az alkalmazott elemtípu íkbeli 8 é 6 comóponto, máodfokú, izoparametriku elem, comópontonként egy zabadágfokkal. Mivel mind a három eetben azono a merevégi mátriot adó máodfokú réz, é cak a lineári rézek különböznek, az egyenletrendzer megoldáánál az -73-

F. RUDAK CSAVARÁSA ÉS NYÍRÁSA egy zerkezet három terheléi eet lehetőégét i ki lehet haználni. Az egye terheléi eetekhez tartozó φ C (r,), ψ r (r,) é ψ (r,) megoldáokból az előzőekben felorolt, zükége kereztmetzeti jellemzők kizámíthatóak. További, igen hazno lehetőég, hogy ezekkel a megoldáokkal, az egye kereztmetzetek cavaró é nyíró igénybevételeinek imeretében, a cúztató fezültég elozláokat i meg lehet határozni. A végeelem hálózat a többi, integrál formában meghatározott (terület, máodrendű nyomatékok, tb.) kereztmetzeti jellemző gyor é ponto kizámítáára i felhaználható. A módzer előnye, hogy alkalmazáakor nem kell megkülönböztetni a különböző típuú például vékony nyitott, többcellá vagy zárt zelvényeket, ezek egyégeen kezelhetőek. Az eljárá pontoágára vonatkozó özehaonlító vizgálatok eredményeit az [S6] publikáció imerteti. A módzert a FEM- Deign programrendzer Section_Editor moduljában alkalmaztuk, [6], []. -74-

F. A VEM7 EEM MÁTRIXOK F. A VEM7 EEM MÁTRIXOK t z CS ϑ α C γ w S v u y CS β r T j U E = 4 (, ) [ u v w ] = α β γ ϑ j =, j F.. ábra. Comóponti zabadágfokok ineári merevégi mátri A lineári merevégi mátri definíciója a (.5) egyenlet: k ( 4, 4) δuku = δ EAu + EI w + EI v + EI + GJ d, ( α α ) T E E r ω a a b c b c d e d e f g f g h e h i c i j g k =, (F.) a b c d e f g h i j a = EA/, b = EI /, c = 6 EI /, d = EI /, e = 6 EI /, 3 3 r r f = GJ/ 5 + EI /, g = GJ/ + EI /, h = EI /, i = EI /, 3 6 ω 6 ω r j = GJ/ 5+ 4EI ω /, k = - GJ/ 3+ EI /. ω -75-

F. A VEM7 EEM MÁTRIXOK Geometriai merevégi mátri A geometriai merevégi mátri definíciója a (.5) egyenlet: T δuk E GiUE = δ N v + w + M v w vw + M v v + M w w ( ) ( ) ( α α ) 3( α α ) ( ) α ( )( ) ( ) M α V w V v V v V w w z v y V v V w u d. + W + r + r + CS + CS r + Az M r é M kezdeti hajlító igénybevételek elemenként lineári függvény zerint változnak, a többi kezdeti igénybevétel elemenként állandó: M = M V y +V z. t CS r CS M =M Nz =R ( ξ )+R ξ, r CS M =M +Ny =S ( ξ )+S ξ, 3 CS M =N i +M β M β +B β =P( ξ )+P ξ, w p r r w ξ = /. k G G Gi T 4, 4 kg kg ( ) k k = v v a i R+a t +m b h R+b a is a b t +m hs b k d m G = S b mr b gp, 4c d m 4r S 4c d 4rR 4r P, (F.) k v v a jr a t +m b h R+b a j S+a b t+m hs b k d n G = S b nr b fp, 4c+ d m 4 S 4c+ d 4R 4 P v v v a j R+a t m b hr b v a js a b t m h S+b i a i +a d p +b p +b f, t m b q S+b c t +m/ rs c b t m q R+b t m/ c rr c hr b h S+b gp S+c R+c e G = R S S R P -76-

F. A VEM7 EEM MÁTRIXOK - A k Gi mátri elemeknek a normál é cavaró fezültégekből zármazó réze: ( ) ( ) ( ) 3( ) N v w M v w vw M v α v α M w α w α MWα + + + + + d a = 6N/ 5, b = N/, c = N/ 3, d= 3(P+P )/ 5, e=(p+p )/ 6, t =M /, t =M /, ( ) ( ) P ( ) ( ) P ( ) ( ) P ( ) ( ) ( ) f P = P /, g P = P /, h P = P+ P /, i P = 7 P+ 7 P /, j = 7 P+ 7 P /, m P = 9 P+ 3P /, n = 3P+ 9 P /, p P = 3P P /, q = P 3P /, r = 3P+P /, = P+ 3P /. P P (F..a) Az itt nem rézletezett f R, g R,... R é f S, g S,... S értékeket a P R é P S helyetteítéel kapjuk. - A k Gi mátri elemek direkt nyírái réze: ( ) Vw Vv α d r a = V / 4, a = V / 4, r b = V /, b = V /, r = r = c V /, c V /. (F.b) - A k Gi mátri elemek aiáli mozgá rézei: ( + )( + ) Vv Vw y v z w d r CS CS d = V y, d = V z, r CS CS = ( CS r CS ) = ( r CS + CS ) m V y V z /, m V z V y /. (F.c) - A k Gi mátri elemek átlago aiáli mozgá réze: ( Vv ) + Vw u d r r v = V /, v = V /. (F.d) -77-

F. A VEM7 EEM MÁTRIXOK Kezdeti terheléek: A kezdeti koncentrált terhelé mátri definíciója a (.53) egyenlet: T δuk U E Ge E = δ F ( zspγ yspβ) α ( Fy zsp Fz ysp ) βγ ( Fy ysp Fz zsp ) α Fz zspβ Fy yspγ + + + + q in Θ in q Θ y + δ M ( β γ ) βγ coθ M y ( α γ ) αγ coθy q in Θ z + Mz ( α β ) αβco Θz. j i k Ge Ge = 4, 4 k Ge ( ) k, (F.3) - Koncentrált erők a j kereztmetzetben: k Gei = ( Fy y SP+Fz z SP ) Fy SP / Fz SP /, i =,.(F.3a) Fz z SP ( Fz y SP+Fy z SP) / Fy y SP j - Kvázitangen koncentrált nyomatékok a j kereztmetzetben: k Gei q M y inθ y q q q Mz coθz M y coθy + Mz inθ z =, i =,. q Mz inθ z q q M coθ + M inθ q M inθ q + M y inθ y j (F.3.b) -78-

F. A VEM7 EEM MÁTRIXOK Konzizten tömegmátri A tömegmátri definíciója a (.54) egyenlet: m ( 4, 4) m m = ρ A, T m m a b+k i b z f+m i f z =, CS CS b+ k ir b ycs f m ir f ycs 4 4 m b i+k p iω f ycs f zcs f i+m p iω h+ 4e ir h ycs h+ 4e i h zcs 4 h i p+ 4e iω a b+ k i b z f m i f z =, CS CS b+k ir b ycs f+m ir f ycs 4 4 m b i p+ k iω f ycs f zcs f ip m iω h+ 4e ir h ycs h+ 4e i h zcs 4 h i p+ 4e iω a c k i c z g+m i g z CS CS c k ir c ycs g j ir g ycs 4 4 m = c zcs c ycs c i p k iω g ycs g zcs g i p+ m iω g+m ir g ycs j e ir j ycs g m i g zcs j e i j zcs 4 4 g zcs g ycs g ip m iw j ycs j zcs j ip e iω (F.4), a = /6, b = 3/35, c = 9/7, e = /3, f = /, g = 3 / 4, h = / 5, j = / 4, k = 6 / 5, m = /, i = I / A, i = I / A, i = i +i + y + z, i ω 4 =I / A. r r p r CS CS ω (F.4a) Diagonál tömegmátri: m ( 4, 4) m n = m n, ρa 4 diag mn = ip ( ir + zcs + / 48) ( i + ycs + / 48) i ω. (F.5) -79-