Galton- deszka Számítógéppel segített matematikai modellezés Prezentációs projektmunka Kertész Balázs

Galton- deszka Számítógéppel segített matematikai modellezés Prezentációs projektmunka Kertész Balázs

2 galton2.nb Történeti áttekintő Sir Francis Galton (1822-1911) Polihisztor Társadalomfilozófia, eugenetika, pszichológia Geográfia, meteorológia, matematikai statisztika statisztikus számítások 1860 tól Legelső kísérleti feljegyzéseit eugenetikus vizsgálódása során készítette. Ezen munkái során figyelt fel a leszármazott ős kapcsolatra ( Charles Darwin fél-unokatestvé re) Eredményein felbuzdulva természettudományi eseményeket figyelt meg. Megjegyezném, hogy Galton nem matematikus volt. Élete nagy részét mindig is természeti jelenségek tanulmányozásába vetette, ám fő irányvonala a társadalomtudományokon belül az öröklődés kutatására irányult.

galton2.nb 3 Galton-deszka leírása Az eredeti deszka Felépítése egyszerű Párhuzamos sorokban szabályos háromszög alakzatban felvert szögek Egy kísérlet leírása: A kísérletek során a legfelső középső szögre egy golyó ejtése Így az két irányba térhet ki: jobbra és balra Rápattan a következő sor valamely szögére, és ott is hasonlóan tesz, mint az előzőn Legvégül eléri az alsó sor alá elhelyezett tartálysort A kísérlet eredménye, hogy melyik edénybe esett bele a golyó A deszka elvi tökéletlensége: (Law of Error) Lendület, így a továbbpattanási esély megváltozása Esetleges nem jó szögre pattanás Kivédésükre csatornákat helyezett el a szögsorok között

4 galton2.nb Az eszköz rajza

Az eszköz rajza galton2.nb 5

6 galton2.nb A deszka működési elve Egy mindenre kiterjedő pontos modellezéssel szemléltetem, hogy milyen esetektől tekintünk el a Galton-deszka vizsgálata során. nailpositionsgalton n_ : Flatten Table 2 k j, Sqrt 3 j 2, j, 0, n, k, 0, j, 1 X_List, V_List, nf_nearestfunction, earthacceleration : g_, frictioncoefficient : Μ_, potentialradius : Λ_, potentialstrength : Σ_, potentialsteepness : n_ : forcecf X, nf X 1, V, g, Μ, Λ, Σ, n forcecf Compile X, _Real, 1, pnearest, _Real, 1, V, _Real, 1, g, Μ, Λ, Σ, n, Module dist Sqrt X pnearest. X pnearest, Earth acceleration 0, g friction force Μ V Sqrt V.V scattering potential If dist Λ, 0, 0, Σ Pi 2 Λ dist X pnearest Sin Pi 2 Λ dist Cos Pi 2 Λ dist ^ n 1 ; softedgedisk mp_, Ρ_, cmp_, crim_, pp_: 36 : GraphicsComplex Append Table mp Ρ Cos φ, Sin φ, φ, 0., 2. Pi, 2 Pi pp, mp, Polygon Append, pp 2 & Partition Range pp 1, 2, 1, VertexColors Append Table crim, pp 1, cmp Manipulate Module V0 10.^ V0Exp, ymin Sqrt 3 2 nmax 1 2, xmin nmax 1 2 2, scatterpoints, nf, nds, path, X, t, bl 1 ArcTan 10.^ V0Exp Pi 2., wh, wh bl 1 bl ArcTan n Pi 2 ; scatterpoints nailpositionsgalton nmax N; nf Nearest scatterpoints ; nds NDSolve X'' t X t, X' t, nf, g, Μ, Λ, V0, n, X 0 x0 nmax 2, 0.75, X' 0 v0 Cos Αv, Sin Αv, X, t, 0, 100, PrecisionGoal 4, MaxStepSize Λ 10, MaxSteps 10 000, Method EventLocator, "Event" X t 2 ymin X t 1 ^2 xmin^2 Quiet; path ParametricPlot Evaluate X t. nds 1, t, 0, nds 1, 1, 2, 1, 1, 2, PlotRange All, Frame True, Axes False, PlotStyle Directive Opacity 0.66, Thickness 0.0012, Darker Red ; Graphics softedgedisk, Λ, GrayLevel bl, GrayLevel wh & Take scatterpoints, All, path 1, PlotRange xmin, xmin, ymin, 0.75, ImagePadding 10, ImageSize 150, 150, nmax, 4, "Szögek száma", 1, 10, 1, Appearance "Labeled", ImageSize Small, Delimiter, g, 1, "Nehézségi gyorsulás", 0, 2, ImageSize Small, Μ, 0.38, "Törési együttható", 0, 10, ImageSize Small, Delimiter, Style "Szögekre vonatkozó paraméterek:", Bold, Λ, 0.2994, "A szög vastagsága", 0.001, 1 2, ImageSize Small, V0Exp, 0.88, "Szög erőssége", 1, 3, ImageSize Small, n, 3, "Felület keménysége", 1, 20, ImageSize Small, Delimiter, Style "Beesési körülmények:", Bold, x0, 0, "Helyzet", 1 2, 1 2, ImageSize Small, v0, 2.22, "Az eldobás erőssége", 0, 5, ImageSize Small, Αv, Pi 2, "Az eldobás szöge", Pi, 0, ImageSize Small, SaveDefinitions True, AutorunSequencing 1, 2, 3

galton2.nb 7 Szögek száma 4 Nehézségi gyorsulás Törési együttható Szögekre vonatkozó paraméterek: A szög vastagsága Szög erőssége Felület keménysége Beesési körülmények: Helyzet Az eldobás erőssége Az eldobás szöge

8 galton2.nb A deszka működési elve Ezekután feltesszük, hogy ideális esetben vizsgáljuk a kísérleteket, eltekintünk a súrlódástól, egyenetlenségtől, lendülettől és egyéb külső befolyásoló tényezőtől. Tehát rendelkezésünkre áll egy olyan tábla, amelynek n sora van (n, és minden i-edik sorban i szög van beleverve (1 i n). Minden egyes szögön a rá ejtett golyó két irányba pattanhat tovább pontosan 0.5 0.5 eséllyel. Továbbá tekintjük azt is, hogy az egyes sorokon bekövetkezett részesemények (merre ugrik tovább a golyó) függetlenek egymástól. Kétsoros Galton deszka

galton2.nb 9 A deszka működési elve Ezekután tekintsük a Galton-deszka n-edik sorát, amely alatt n 1 gyűjtőedény van. A tartályokat számozzuk 0-tó l n-ig haladva. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy egy kísérlet során milyen kimenetelt kapunk, tehát meg szeretnénk állapítani mekkora eséllyel esik az k-adik tartályba a golyó. Jelöljük ezt P n k -vel. Mivel egyes i-edik tartályba kerülés többféleképpen előállhat, így a golyó azokat az utakat járhatja be, amelyeken pontosan k-szor pattant jobbra, és n k-szor pattant balra. k-szor eltérés pedig n k féleképpen választható ki az n-sor közül. Így P n k = Manipulate With d di, Graphics Arrow.5, 1,.5, 0, RGBColor 1,.21, 0, Table With bp PDF BinomialDistribution d, p, d k, Polygon k d p d 0, d 1.2, k d p d 1, d 1.2, k d p d 1, d 1.2 bp, k d p d 0, d 1.2 bp, k, 0, d, RGBColor 1,.21, 0, Disk.5, 1.5,.2, Lighter Black,.35, Disk,.08 & Flatten Table Table k y p y 1, y, k, y, y, d, 1, Black, Table Line k d p d 1, d.2, k d p d 1, d 1.2, k, 0, d 1, PlotRange Automatic, d 3 2, 5 2, ImageSize 300, 260, p, 0.5, "valószínűség", 0, 1, Appearance "Labeled", di, 4, "szintek", 1, 10, 1, Appearance "Labeled", AppearanceElements "ResetButton" n k. 2 n valószínűség 0.5 szintek 4 Megjegyzés: Ezen a példán a változó valószínűségeket, hogy milyen eséllyel pattan tovább a golyó jobbra, illetve balra, azzal reprezentálom, hogy minden egyes i-edik sorhoz képest az i 1-edik sorban levő szögek hogyan helyezkednek el.

10 galton2.nb Néhány számítás Számítsuk ki, hogy egy kísérlet során mekkora valószínűséggel esik az egyes tartályokba egy golyó rögzített szögsorszám mellett. (Azaz P n k értékét. Manipulate PDF BinomialDistribution n, p, k, n, 4, "szögsor", 1, 10, 1, Appearance "Labeled", k, 0, "tartály", 0, n, 1, Appearance "Labeled", p, 0.5, " ", 0, 1, Appearance "Labeled", ControlPlacement Bottom, Alignment Center, AppearanceElements "ResetButton" szögsor 4 tartály 0 0.0625 0.5

galton2.nb 11 Néhány számítás Manipulate BarCharts`BarChart Table PDF BinomialDistribution n,.5, k, k, 0, 8, BarLabels Range 0, 8, PlotRange.5, 9.5,.1, 1, ImageSize 300, 250, n, 4, "Szögsor", 1, 8, 1, Appearance "Labeled", Initialization Get "BarCharts`" Szögsor 4 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 4 5 6 7 8

12 galton2.nb A deszka modellezése Lássunk egy kísérletet: In[1]:= vonal m_ : Plot x m 1.2, x, m 2.5, m 2.5, ColorFunction Function x, y, If m 2 x m 2 1, Black balpont t_, m_, z_ : Graphics PointSize.05, RGBColor 1,.21, 0, Point m 2 z.5 Floor t,.5 t, 4 m 2 z.5 Floor t,.5 t m 2 z.5 ^2 m.2 jobbpont t_, m_, z_ : Graphics PointSize.05, RGBColor 1,.21, 0, Point m 2 z.5 Floor t,.5 t, 4 m 2 z.5 Floor t,.5 t m 2 z.5 ^2 m.2 In[4]:= bal t_, m_, z_ : Plot 4 x m 2 z.5 ^2 m.2, x, m 2 z.5, m 2 z.5 Floor t,.5 t, AspectRatio Automatic, Axes False, PlotStyle Red, Dashed, Frame False, RegionFunction Function x, y, m 2 z.5.5 x m 2 z.5, PlotPoints 25 jobb t_, m_, z_ : Plot 4 x m 2 z.5 ^2 m.2, x, m 2 z.5, m 2 z.5 Floor t,.5 t, AspectRatio Automatic, Axes False, PlotStyle Blue, Dashed, Frame False, RegionFunction Function x, y, m 2 z.5.5 x m 2 z.5, PlotPoints 25 balramozgas t_, m_, z_ : bal t, m, z, balpont t, m, z jobbramozgas t_, m_, z_ : jobb t, m, z, jobbpont t, m, z esetbj t_, m_, z_, x_, p_ : Piecewise balramozgas t, m, z, x p, jobbramozgas t, m, z, x p

galton2.nb 13 In[9]:= lista RandomReal 1, 6 lista2 RandomReal 1, 6 ; sumlista k_ : Sum lista2 i, i, 1, k sumlista 0 : 0 Manipulate Evaluate For j 1, j Length lista, j, Piecewise lista2 j 0, lista j p, lista2 j 1, lista j p ; Show Graphics Lighter Black,.35, Disk,.08 & Flatten Table Table k y 0.5 y.5, y, k, y, y, m, 1, Black, Table Line k m 0.5 m.5, m.2, k m 0.5 m.5, m 1.2, k, 0, m 1, Black, Table Line k m 0.5 m.5, m 1.2, k m 0.5 m.5, m 1.2, k, 0, m, esetbj t Floor t 2 0.0001, 2 Floor t,.5 1, sumlista 2 Floor t,.5.5 1, lista2 2 Floor t,.5 1, 1, vonal m, PlotRange 0.4, m 1.27, Frame True, ImageSize 300, 300, t, 0.00001, "Idő", 0.00001, m 2 0.01, 0.001, Appearance "Labeled", m, 4, "Szint", 1, Length lista, 1, Appearance "Labeled", p,.5, "Valószínűség", 0, 1, Appearance "Labeled", ControlPlacement Top, Top, Bottom, AppearanceElements "ResetButton" Out[9]= 0.243123, 0.735174, 0.488385, 0.269791, 0.794939, 0.941811 Idő 0.39201 Szint 1 0.5 1.0 1.5 Out[13]= 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 2 1 0 1 2 Valószínűség 0.5 In[14]:= sumlista 4 Out[14]= 1

14 galton2.nb Forrásanyag és jogi nyilatkozat A prezentáció anyagának széleskörő tanumányozásához az internetet hívtam segítségül. Többek között vizsgáltam a következő oldalakat: - wikipedia több témábavágó oldala - Wolfram Research, Inc -hasznos forrásanyagot pedig a hik.hu címe nyújtott. Galton-deszká ját bemutató forráskódok érdekében úgyszintén a Wolfram Research oldalait böngésztem. Ezeket kissé megváltoztatva a célnak megfelelően implementáltam a prezentáció anyagába. Mivel újrahasznált kódokat alkalmaztam (még ha tartalmilag változtak is), azokat publikációkban felhasználni nem szabad; továbbadni, értékesíteni, vagyoni haszonnal élni belőle bármilyen úton is tilos. Továbbá ezen forráskódok a Wolfram Research tulajdona, melyet copyright véd.

galton2.nb 15 Köszönetnyilvánítás Köszönöm megtisztelő figyelmeteket!