echanika II. Szilárdságtan Zalka Károl / q / B Budapest, 05
Zalka Károl, 05, e-kiadás Szabad ezt a kiadvánt sokszorosítani, terjeszteni és elektronikus vag bármel formában tárolni. Tilos viszont a kiadvánt bármel formában megváltoztatni és bármel formában értékesíteni. Lektor: Rákócz Katalin okl. építészmérnök v, 05. 0..
Tartalomjegzék Előszó. Bevezetés. Központos húzás 8. eszültségszámítás 8. z alakváltozás meghatározása 9. Gakorlati alkalmazás.. Központosan húzott rudak méretezése.. Gakorló feladat 5. Központos nomás 7. Zömök rudak 8. Karcsú rudak 9. Gakorlati alkalmazás.. Központosan nomott zömök és karcsú szerkezetek méretezése.. Gakorló feladatok 4 4. Tiszta nírás 8 4. eszültség és alakváltozás 8 4. Nírófeszültségek reciprocitási (dualitási) tétele 40 4. Gakorlati alkalmazás 40 4.. Tisztán nírt rudak méretezése 4 4.. Eg speciális gakorlati alkalmazás: csavarkötés 4 4.. Gakorló feladatok 4 5. Síkbeli feszültségállapot 49 5. őiránok és főfeszültségek 49 5. feszültségi állapot ohr féle ábrázolása 5 5. Gakorlati alkalmazás 55. Egszerű, egenes hajlítás 57. Rugalmas anagú tartók egszerű, egenes hajlítása. feszültségek meghatározása 58. Keresztmetszeti ténezők. Rugalmas-képléken anagú tartók egszerű, egenes hajlítása.4 Gakorlati alkalmazás 5.4. ajlított tartók méretezése 5.4. Gakorló feladatok 7 7. erde hajlítás 74 7. feszültségek meghatározása 75 7. Gakorlati alkalmazás 77 - iii -
7.. éretezés ferde hajlítás esetén 77 7.. Gakorló feladatok 77 8. Összetett hajlítás 8 8. nírófeszültségek meghatározása 84 8. Nírófeszültségek egszerű keresztmetszeteknél 8 8. Gakorlati alkalmazás 89 9. ajlított tartók rugalmas alakváltozása 94 9. tartó meggörbült tengelvonalának differenciálegenlete 95 9. z alakváltozások meghatározása Otto ohr módszerével 00 9. z alakváltozások meghatározása munkatételek segítségével 0 9.4 erevségi követelmének 04 9.5 Gakorlati alkalmazás 05 0. ajlított tartók méretezése 5 Külpontos húzás. húzóerő döféspontja az egik főtengelre esik 4.. feszültségképlet és a semleges tengel helzete 4.. aghatárpont 8.. Gakorlati alkalmazás 0. húzóerő döféspontja általános helzetű 4.. feszültségképlet és a semleges tengel helzete 5.. keresztmetszet magidoma.. Gakorlati alkalmazás 8. Külpontos nomás 4. Külpontosan nomott zömök rudak 4.. úzószilárdsággal rendelkező zömök rudak 4.. úzószilárdsággal nem rendelkező zömök rudak 4... Erő a magidomon belül 4... Erő a magidomon kívül, de a keresztmetszetet érintő egeneseken belül 4 : Rugalmas megoldás 44 B: Képléken megoldás 48.. Gakorlati alkalmazás 50. Külpontosan nomott karcsú rudak 0.. úzószilárdsággal rendelkező karcsú rudak.. úzószilárdsággal nem rendelkező karcsú rudak... Betonszerkezetek... alazott szerkezetek 4.. Gakorlati alkalmazás 5. keresztmetszet teherbírási vonala 7. Csavarás 7. Kör keresztmetszetű tömör rudak csavarása 7. Négszög keresztmetszetű rudak csavarása 74. Vékonfalú szelvének csavarása 7.4 Gakorlati alkalmazás 80 Irodalom 8 - iv -
Előszó Korábbi tanulmánaink során a echanika I (Statika) című tárg merev testek statikáját tárgalta. Ismertette a mechanika alapfogalmait és megismerkedtünk a határozott tartók viselkedésével és a terhek hatására keletkező igénbevételek meghatározásával. Jelen jegzet tárga a echanika II (Szilárdságtan). Ez a tantárg azt mutatja be, hog a szerkezetekben keletkező igénbevételek milen feszültségeket és alakváltozásokat okoznak. ire valaki sikeresen befejezi (építő-, építész-) mérnöki tanulmánait, számos tárgat kell teljesítenie a mechanika és tartószerkezetek témakörökben. Sokéves tapasztalatok azt mutatják, hog ezek közül talán a Szilárdságtan a legnehezebben elsajátítható tárg. Ennek valószínűleg az az oka, hog a félév során sokféle, meglehetősen különböző területtel és jelenséggel pl. húzás, nomás, nírás, hajlítás, csavarás kell foglalkozni. különböző viselkedési módok és jelenségek megértése már külön-külön is nehézségeket okozhat. Ezen túlmenően azonban az esetenként egmásra épülő anagrészek időnként megkövetelik a korábban elhangzottak naprakész ismeretét, illetve bizonos elvek azonnali alkalmazását. jegzet elkészítésével ehhez a nehéz feladathoz szeretnénk segítséget nújtani. Szilárdságtan kurzus elsődleges feladata jelenségek bemutatása és alapelvek ismertetése. végső cél azonban az, hog a megszerzett ismeretek gakorlati alkalmazáshoz vezethessenek. tárg íg a gakorlati alkalmazásokhoz is igekszik hátteret biztosítani és olan eljárásokat bemutatni, amelek felhasználhatók a gakorlati munka során is. gakorlati alkalmazást a jegzet 45 részletesen kidolgozott számpélda bemutatásával segíti. szilárdságtan alapelvei segítségével levezetett összefüggések legtöbbször közvetlenül alkalmazhatók gakorlati számítások elvégzésére. Néhán esetben azonban az elméleti összefüggések olan bonolult és esetleg hosszadalmas eljárásokhoz vezetnének, amelek módosítás nélküli alkalmazása kevéssé átlátható számításokhoz vezetne. gakorlati munka egszerűsítése és megkönnítése céljából ilen esetekben célszerű bizonos egszerűsítéseket bevezetni. Lehetséges például eges elméleti részproblémák általános megoldását táblázatos, illetve grafikus formában előre megadni, hog az adott gakorlati problémát megoldó szakembernek csak ki kelljen választani a saját adatai segítségével a ő problémájához tartozó részmegoldást, amivel utána viszonlag egszerűen jut problémája megoldásához. z ilen egszerűbb eljárások megalkotása általában a kutatók, közzététele pedig a szabvánkészítők feladatkörébe tartozik. míg a szilárdságtan alapösszefüggései nem függenek szabvánoktól, addig ezek az egszerűsített eljárások tartalmukban és formájukban is változhatnak a mindenkori érvénes szabvánelőírásoknak megfelelően. Esetünkben a karcsú nomott rudak méretezésével foglalkozó. és.. pontokban és a tiszta nírás eg speciális gakorlati esetét tárgaló 4.. pontban ismertetünk ilen eljárásokat. Bár a jegzetben bemutatott eljárások összhangban vannak a jegzet 05 januári megjelenésekor érvénben lévő szabvánokkal, minden gakorlati alkalmazás esetén a felhasználó kötelessége és felelőssége ellenőrizni, hog az alkalmazás idején is megfelelnek-e ezek az eljárások az éppen akkor érvénes szabvánelőírásoknak. - -
legújabb szabvánok részletes ismertetésével egébként későbbi félévek szaktantárgai, például a a- és acélszerkezetek, a Vasbeton szerkezetek és a Kő-, falazott és egéb szerkezetek foglalkoznak. jegzet -8 fejezeteit Rákócz Katalin lektorálta. szokásos lektori tevékenséget messze meghaladó, gondos és lelkiismeretes munkájáért ezúton is szeretném hálás köszönetemet kifejezni. Budapest, 05 január Zalka Károl
Bevezetés merev testek statikája tanulmánozása során azzal a feltételezéssel éltünk, hog a szerkezetek méret- és alakváltozásokat nem szenvednek. Ez a feltételezés lehetővé teszi a tartókon keletkező igénbevételek viszonlag egszerű és a pontossági igéneknek megfelelő meghatározását. Tartószerkezeteink azonban szilárd testek, amelek a rájuk ható külső erők hatására megváltoztatják a méretüket és alakjukat. z alakváltozás során a szilárd testekben feszültségek keletkeznek. külső erők hatására a szilárd testekben bekövetkező alakváltozások és a keletkező feszültségek meghatározásával a szilárdságtan foglalkozik. keresett szilárdságtani menniségek meghatározása rendszerint bonolult feladatokhoz vezet. Éppen ezért vizsgálataink során egszerűsítő feltételezésekkel élünk és felhasználunk kísérleti tapasztalatokat is. z egszerűsítő feltételek a következők: ) a terhelés statikus jellegű (amikor is a külső erők nagságát fokozatosan növeljük és végleges nagságukat csak a végleges alakváltozás létrejöttekor érik el) ) az alakváltozások kicsinek (ameleket az egensúli egenletek felírásánál nem kell figelembe venni) ) a szilárd testek anaga homogén (minden pontban azonos fizikai tulajdonságú) és izotróp (eg pontban minden iránban azonos tulajdonságú) 4) a szilárd testek anaga ideálisan rugalmas-képléken z. és. feltételt a jegzetben tárgalt összes jelenség esetén (minden fejezetben) maradéktalanul érvénesnek tekintjük; a. és 4. feltétel esetenként módosított formában, illetve bizonos kiegészítéssel vag megszorítással érvénes. Ezeket az esetleges módosításokat, illetve kiegészítéseket minden esetben az érintett fejezetben ismertetjük. feszültség feszültség núlás núlás a) b). ábra. Rugalmas-képléken anagú húzott acél próbapálca feszültség-núlás diagramja. a) ténleges, b) idealizált.
z ideálisan rugalmas-képléken anag jellemzőivel a. fejezetben még részletesebben foglalkozunk; itt most csak annit rögzítünk, hog az anag összetett görbevonallal jellemezhető feszültség-núlás diagramját (./a ábra) a szilárdságtani vizsgálatokhoz két egenes szakasszal helettesítjük (./b ábra). z első (ferde) szakasz a rugalmas, a második (vízszintes) szakasz pedig a képléken viselkedés tartománát jellemzi. szilárdságtan feladata tehát a terhek hatására a szerkezetekben keletkező feszültségek és alakváltozások meghatározása, abból a célból, hog biztonságos és gazdaságos szerkezeteket tervezhessünk. Ez az ún. erőtani tervezés. z erőtani tervezés gakorlati végrehajtását szabvánok szabálozzák. ielőtt rátérhetünk a különböző típusú feszültségek és alakváltozások tárgalására, néhán alapfogalmat kell bevezetni. Igénbevétel szerkezetre ható külső erőknek a keresztmetszetre gakorolt hatását a normálerő, níróerő és nomaték összességét igénbevételnek nevezzük. z igénbevételek két nag csoportra oszthatók: a) egszerű (egfajta) és b) összetett (többfajta) igénbevételek. a) Egszerű igénbevételek (. ábra): - központos húzás/nomás (± N) - tiszta nírás (T) - egszerű (vag tiszta) hajlítás () - csavarás ( z ) b) Összetett igénbevételek (. ábra): - külpontos húzás/nomás (± N, ) - összetett hajlítás (, T) - csavarás és összetett hajlítás ( z,, T) / / B z z a) központos húzás b) központos nomás c) tiszta nírás d) egszerű (vag tiszta) hajlítás (az B szakaszon) e) csavarás. ábra. Egszerű igénbevételek. gakorlatban az egszerű igénbevételek ameleket alapigénbevételeknek is nevezünk ritkábban fordulnak elő. értékadó teher vonatkozó szabvánok előírásainak megfelelően, teherkombinációk alapján meghatározott teher. értékadó igénbevétel mértékadó teher hatására keletkező igénbevétel. 4
B a) b) c) d). ábra. Összetett igénbevételek. a) külpontos húzás (a függőleges rúdon) és összetett hajlítás (a vízszintes rúdon), b) külpontos nomás (a függőleges rúdon) és összetett hajlítás (a vízszintes rúdon), c) összetett hajlítás, d) csavarás (az B szakaszon) és összetett hajlítás (a tartón végig). Törőigénbevétel törőigénbevétel az az igénbevétel, amel hatására a szerkezet tönkremeg. atárigénbevétel határigénbevétel az az igénbevétel, amelet a szerkezet léneges méretváltozás nélkül elbír. eszültség Tekintsük az.4/a ábrán vázolt, egensúlban lévő erőrendszerrel terhelt merev testet. n I. II. n- I. Δ n Δ I. d τ α n δ i i+ i a) egensúlban lévő merev test b) egensúlban lévő I. rész c) az n normálishoz tartozó feszültségek.4 ábra. feszültség származtatása. Eg tetszőleges felület mentén vágjuk a testet két részre. jobboldali rész eltávolítása után az I. jelű baloldali rész továbbra is egensúlban van. z egensúlt az átvágási felület mentén jelentkező a II. jelű rész hatását pótló belső erők biztosítják. Jellemezzük az átvágási felület felületelemét az n normálissal. Jelölje a felületelemen működő belső erők eredőjét (.4/b ábra). (z átvágási felületen nagszámú ilen belső erő van, de most csak eget, a felületelem n normálisához tartozót tüntettük fel az ábrán.) felületelemek számát növelve és a méretüket csökkentve bevezethetjük a 5
δ lim fajlagos belső erőt. továbbiakban az n normálishoz tartozó fajlagos belső erőt feszültségnek nevezzük. feszültség dimenziója erő/felület, pl. N/mm. δ feszültség vektormenniség, amel mindig eg átvágási felület adott pontjához tartozó normális függvéne. gakorlati számítások során gakran a δ feszültség összetevőivel dolgozunk (.4/c ábra). Ezek a normálfeszültség és a nírófeszültség. δ cosα τ δ sin α Törőfeszültség törőigénbevétel hatására fellépő feszültséget törőfeszültségnek nevezzük. atárfeszültség szabvánokban megadott feszültség, amit az anag káros alakváltozások nélkül képes elviselni. határfeszültség a törőfeszültségnél kisebb feszültség, amelet úg is származtathatunk, hog a törőfeszültséget eg egnél nagobb számmal elosztjuk. Ez az egnél nagobb szám a biztonság nagságát is jellemző ún. biztonsági ténező. biztonsági ténező nagságát szabvánok írják elő. z erőtani tervezés alapegenlete; a méretezés elvei z erőtani tervezés részletei különböző időkben, különböző országokban és különböző tervezés-filozófiát követve kismértékben különbözők lehetnek. z erőtani tervezés elve azonban mindig uganaz: a terhek hatására keletkező mértékadó feszültségek és alakváltozások (Y ) ne haladják meg a szabván által megadott, még károsodás nélkül elviselhető határfeszültségeket és alakváltozásokat (Y ). Ezt az alapelvet a méretezés alapegenlete (egenlőtlensége) fejezi ki matematikai formában: d d Y Y (.) méretezéskor tehát két dolgot kell vizsgálnunk: ) a tartó rendelkezik-e kellő szilárdsággal, hog biztonságosan, tönkremenetel nélkül el tudja viselni a terhekből származó igénbevételeket. Ez a szilárdsági vizsgálat. ) a tartó rendelkezik-e kellő merevséggel és nem szenved-e túlságosan nag alakváltozásokat, melek a használatot zavarják (és ellentétesek a kis alakváltozásokra vonatkozó feltétellel). Ez a merevségi vizsgálat. szilárdsági vizsgálatot a teherbírási határállapotban végezzük el, azaz az érvénes szabván szerinti, biztonsági ténezővel beszorzott terhekből számított igénbevételekre méretezünk. merevségi vizsgálat során a használhatósági határállapotra vonatkozó terhekből (a terhek biztonsági ténező nélküli alapértékéből) számított alakváltozást vizsgáljuk: nem haladja-e meg a szabván által megengedett határértéket. méretezés történhet feszültség-összehasonlítással és igénbevétel-összehasonlítással. méretezés során a feladat kétféleképpen jelentkezhet:
a) Ellenőrzés. Ez az egszerűbb feladat, amikor minden adott és a megfelelőséget kell igazolni, vagis ki kell mutatni, hog az (.) feltétel teljesül. b) Tervezés. z (.) feltétel ismeretlent tartalmaz, pl. a keresztmetszet méretét, vag a fesztávot, vag a határfeszültséget, stb. megoldást a feltétel átrendezésével állítjuk elő, úg hog az egik oldal csak az ismeretlent tartalmazza. z (.) alapegenlet általános alakú. Gakorlati esetekben vonatkozhat feszültségekre, illetve erőkre és nomatékokra, valamint alakváltozásokra, úg, hog teljesüljön a illetve és feltétel, valamint a feltétel. határfeszültség mértékadó feszültség határerő mértékadó erő határnomaték mértékadó nomaték megengedett alakváltozás mértékadó (maimális) alakváltozás 7
Központos húzás Bevezetésben tett egszerűsítő feltételezéseken túlmenően feltételezzük még azt is, hog a vizsgált szerkezetek egenestengelű, prizmatikus (a rúdtengel mentén állandó keresztmetszetű) rudak, amelek rugalmasan viselkednek. Központos húzás az az igénbevételi mód, melnek során a rudat a két végkeresztmetszetén két olan azonos nagságú, de ellentétes iránú húzóerő terheli, amelek közös hatásvonala a rúd súlponti tengele. áshog fogalmazva: központos húzásról akkor beszélünk, ha az igénbevételi ábrákon azt látjuk, hog a vizsgált keresztmetszetben csak normálerő működik (és T 0 és 0) és ez a normálerő húzóerő. központos húzás esetében két feladat jelentkezik: meg kell határozni a keresztmetszeten keletkező feszültségeket és ki kell számítani a rúd megnúlását.. eszültségszámítás Tekintsük a. ábrán vázolt egenestengelű, állandó keresztmetszetű rudat, amelre a két rúdvégen két közös hatásvonalú, azonos nagságú, de ellentétes iránú koncentrált húzóerő hat. közös hatásvonal a keresztmetszet S súlpontján átmenő súlponti tengel. Célunk a rúdban keletkező feszültségek meghatározása. k súlponti tengel z S d. ábra. Központosan húzott rúd. Bevezetésben részletezett és az.4 ábrán bemutatott eljárást követve a vizsgált rudat a k keresztmetszetnél két részre vágjuk (. ábra). jobboldali rész bal oldalán az átvágási felületen ébredő az egensúlt biztosító feszültségeket -val jelöljük. jobboldali rész egensúlát vizsgálva a i z, 0 8
vetületi egenlet a d + ( ) egenlethez vezet. eltételezve hog a feszültségek megoszlása egenletes, a konstansként kiemelhető az integráljel elé: 0 d + 0 ( ) ivel az integrálkifejezés a keresztmetszeti területet jelenti, a feszültség meghatározására szolgáló képletet a (.) igen egszerű formában kapjuk. feszültség ebben az esetben merőleges a keresztmetszetre, íg a fajlagos belső erő normálfeszültség. Dimenziója N/mm, illetve Pa.. z alakváltozás meghatározása. ábrán vázolt l hosszúságú rúd baloldali végét rögzítettnek tekintjük, a jobboldali végét pedig eg nagságú húzóerővel terheljük. rúd súlától eltekintünk. Célunk a húzott rúd alakváltozásának vizsgálata. rúd a húzóerő hatására megnúlik, miközben keresztiránú megrövidülést szenved. eladatunk a l megnúlás és a a keresztiránú megrövidülés meghatározása. a a l l. ábra. központosan húzott rúd megnúlása és keresztiránú megrövidülése. ielőtt a megnúlást meghatároznánk, vezessünk be néhán új fogalmat és vizsgáljuk meg részletesebben a húzott rúd viselkedését. hossziránú megnúlás és az eredeti rúdhossz hánadosát fajlagos megnúlásként definiáljuk: l ε (.) l asonlóképpen, a keresztiránú megrövidülés és az eredeti keresztiránú méret hánadosa a keresztiránú fajlagos megrövidülés: 9
a ε k a ind a fajlagos megnúlás, mind pedig a keresztiránú fajlagos megrövidülés dimenziótlan menniség. Poisson-féle szám ε m ε k az anagok fontos jellemzője. Szokásos értéke fémek esetében 4, kő, beton és tégla esetében pedig 8 között van anagtól függően, azaz a fajlagos hossziránú megnúlás -4-szerese, illetve -8-szorosa a fajlagos keresztiránú megrövidülésnek. Szokásos a Poisson ténezőt is használni, ami a Poisson-féle szám reciproka: ε ν k m ε Bevezetésben az. ábrán vázlatosan bemutattuk a feszültség és alakváltozás közötti kapcsolatot. ost eg kicsit részletesebben foglalkozunk ezzel a fontos kapcsolattal. húzófeszültség és a fajlagos núlás közötti kapcsolatot szemléletesen a húzódiagram segítségével ábrázolhatjuk. húzódiagram megszerkesztéséhez a vizsgálandó anagból próbapálcát készítenek, amelet szakítógépbe fognak, majd fokozatosan növekvő nagságú húzóerővel terhelik. z egmáshoz tartozó feszültség és fajlagos núlás értékeit koordinátarendszerben ábrázolják. B B képléken tartomán felkeménedési szakasz rugalmas tartomán O ε ε ε B l ε l. ábra. oltacél húzódiagramja. Eg ilen diagramot mutatunk be a. ábrán, ahol a foltacél jellegzetes viselkedése látható. diagram első O szakasza az acél rugalmas viselkedését mutatja. feszültség és az ε fajlagos megnúlás ezen a szakaszon aránosak egmással és íg ez a szakasz egenes vonallal ábrázolható. elírható tehát a ferde egenest jellemző Eε (.) 0
összefüggés, ahol az E állandó az aránossági ténező, a ferde egenes meredeksége. Ezt az állandót rugalmassági ténezőnek (vag rugalmassági modulusnak, vag Young modulusnak) hívják. ivel a fajlagos megnúlás dimenziótlan menniség, az E rugalmassági ténező dimenziója azonos a feszültség dimenziójával, vagis N/mm, illetve Pa. aránossági határig érvénes (.) összefüggést Robert ooke angol fizikus 0-ban állította fel és ooke törvénének nevezzük. Gakorlati szempontból is igen fontos rámutatni az anagnak arra a tulajdonságára, hog amíg az O rugalmas tartománban vagunk, addig a feszültség megszüntetése esetén a szerkezet most a próbapálca visszaneri az eredeti hosszát, vagis nem következik be maradó alakváltozás. Ez a viselkedés csak a rugalmas tartománra érvénes. aránossági határt túllépve a diagram eg rövid görbe szakasszal foltatódik, majd a folási határt (és az ε folási núlást) elérve igen nag núlások következnek be, miközben a feszültség nem csökken. Ez a képléken viselkedés. ( képléken viselkedés során keletkező képléken alakváltozások a terhelés megszűnése után nem nerhetők vissza.) képléken tartománt az ún. felkeménedési szakasz követi. Ekkor a feszültség a nag núlások mellett tovább növelhető. Végül elérjük a B szakítószilárdságot, ami után a próbapálca elszakad.. ábrán átlagos minőségű foltacél anag sematikus -ε diagramját láthatjuk. Különböző anagminőségű acélanagok diagramjai egmástól jelentősen eltérhetnek. foltacélhoz hasonló anagokat, ameleknél jelentősebb maradó alakváltozások keletkeznek és legtöbbször folási határral rendelkeznek, szívós anagoknak nevezzük. Ezekkel ellentétben, az olan anagokat amelek jelentős mértékben csak rugalmas alakváltozásra képesek, az alakváltozásuk viszonlag kicsin és folási határt nem mutatnak, rideg anagoknak nevezzük. Eg rideg anag jellegzetes -ε diagramját láthatjuk a.4 ábrán. Rideg anagok tartószerkezetek készítésére nem alkalmasak, mert a tartószerkezetektől elvárjuk, hog a tönkremenetelt megelőzően jelentős alakváltozást szenvedjenek (megfoljon az anag), íg lehetőség legen a menekülésre. B B O: rugalmas tartomán O l ε l.4 ábra. Rideg anag húzódiagramja. szilárdságtan fő feladata a szilárd test belsejében keletkező feszültségek és az alakváltozások vizsgálata. vizsgálatok során fontos szerepet játszik a kérdéses anag feszültség-alakváltozás diagramja. Jelentős nehézséget okozhat azonban a diagramok sokfélesége és az a tén hog alakjuk gakran nehezen írható le egszerű matematikai összefüggésekkel. Ezen a nehézségen úg lehet segíteni, hog a ténleges diagramot olan jól kezelhető egszerűbb diagrammal helettesítjük, amel a valóságot jól megközelíti. Ez tulajdonképpen azt jelenti, hog a szóban forgó anagot olan idealizált tulajdonságokkal
ruházzuk fel, amelek igen közel állnak a ténleges tulajdonságokhoz, de jóval egszerűbb vizsgálatokat tesznek lehetővé. Ilen idealizált modellre utaltunk a Bevezetésben, amikor a 4. egszerűsítő feltételben azt rögzítettük, hog a vizsgált szerkezetek anaga ideálisan rugalmas-képléken. z ilen elasztoplasztikusnak is nevezett anag feszültség-núlás diagramját mutatjuk be a.5 ábrán. z idealizált diagramot úg kapjuk, hog a szívós anag eredeti húzódiagramját (. ábra) egenes vonalakkal helettesítjük. z ideálisan rugalmas-képléken anag a folási határ eléréséig rugalmasan viselkedik és érvénes a ooke-törvén, majd azonnal eg vízszintes szakasz következik, amel a képléken viselkedést jellemzi. B képléken szakasz rugalmas tartomán O ε l ε l ε m ε ε r.5 ábra. Ideálisan rugalmas-képléken anag húzódiagramja. igelmet érdemel eg ideálisan rugalmas-képléken anag viselkedése a próbapálca tehermentesítése esetén. a a tehermentesítés az O rugalmas tartománban történik, vagis amíg érvénesek a és ε ε összefüggések, akkor a próbapálca visszaneri a teljes addig elszenvedett megnúlását. a viszont a tehermentesítés az B képléken szakaszon történik (szaggatott vonal a.5 ábrán), vagis amikor a fajlagos núlás meghaladta a folási núlást, akkor a próbapálca az addig elszenvedett teljes ε fajlagos megnúlásnak csak eg részét, az ε r rugalmas megnúlást neri vissza és az ε m képléken megnúlás megmarad. z ábrán érvénes hog ε ε r, és ε a teljes núlás. ooke-törvén ismeretében, az ideálisan rugalmas-képléken anagmodell bevezetésével és rugalmas viselkedés feltételezésével most már meghatározható a központosan húzott rúd megnúlása. (.) ooke-törvén, a feszültség meghatározására szolgáló (.) összefüggés és a fajlagos megnúlás (.) képletének kombinálásával felírható hog l Eε E l ahonnan megkapjuk az erővel terhelt, l hosszúságú, keresztmetszeti területtel és E rugalmassági ténezővel rendelkező központosan húzott rúd megnúlását: l l [mm] (.4) E
. Gakorlati alkalmazás Előbb összefoglaljuk a központosan húzott rudak méretezésével kapcsolatos tudnivalókat, majd a képletek alkalmazását eg gakorló feladat segítségével mutatjuk be. Bár a méretezéssel kapcsolatos alábbi összefoglalás központosan húzott rudakra vonatkozik, a méretezés itt ismertetett elvei a későbbi fejezetekben tárgalt igénbevételek esetében is érvénesek és felhasználhatók... Központosan húzott rudak méretezése méretezést a szilárdsági vizsgálattal kezdjük. feladat kétféleképpen jelentkezhet: vag (méreteivel és anagával) már adott eg központosan húzott szerkezet, vag pedig valamel adat már rendelkezésre áll, de nem mind, és nekünk kell megállapítani a hiánzó adatot. z első esetben ellenőrzésről, a második esetben pedig tervezésről beszélünk. indkét esetben a méretezés Y Y alapegenletét alkalmazzuk a központos húzás esetére, ami a feszültség-összehasonlítás esetében a az igénbevétel-összehasonlítás esetében pedig az (.5a) h (.5b) h összefüggéshez vezet. két vizsgálat egenértékű. (.5a) és (.5b) összefüggésekben h a rúd határereje a rúd hasznos keresztmetszete a rúd anagának (szabván szerinti) határfeszültsége a rúd mértékadó terhe, vagis a rúdban működő húzóerő (amit a vonatkozó szabvánelőírások szerint kell meghatározni) rúd h hasznos keresztmetszetével kapcsolatban megjegezzük, hog a hasznos jelző arra utal, hog ha a rúd keresztmetszete a hossz mentén valahol valamilen módon gengítve van, akkor itt a gengített, vagis a legkisebb keresztmetszettel kell számolni. Különböző módon gengített rudakat mutat a. ábra, ahol a hasznos keresztmetszeteket satírozás jelöli. a) b) c). ábra. úzott rudak szokásos gengítései: a) lukkal, b) beharapással, c) csavarmenettel.
Ellenőrzés z ellenőrzés során adottak a keresztmetszet méretei (), a rúd határfeszültsége ( ) és a szabvánelőírásoknak megfelelően meghatározott húzóerő nagsága ( ). eszültségösszehasonlítás esetén a (.5a) egenlőtlenség alkalmazásával a rúd megfelel, ha a rúd anagának határfeszültsége nem kisebb mint a mértékadó feszültség: h a az ellenőrzéshez az igénbevétel-összehasonlítást választjuk, akkor a (.5b) egenlőtlenség alkalmazásával a rúd megfelel, ha a rúd határereje nem kisebb mint a rúd mértékadó terhe: h Tervezés tervezési feladat kétféleképpen jelentkezhet. a adott a húzóerő nagsága ( ) és a rúd anaga ( ), akkor a feladat a keresztmetszet h méretének meghatározása. (.5b) összefüggés átrendezésével ekkor az h (.) képlethez jutunk. tervezés során előfordulhat olan eset is, amikor a rúd mérete kötött például a rendelkezésre álló hel miatt és ilenkor a húzóerő nagsága és a keresztmetszet méretének ismeretében keressük azt a anagminőséget, ami kielégíti a (.5b) feltételt. (.5b) összefüggés a (.7) h formában alkalmazható, vagis megmutatja, hog mekkora határfeszültségű anagot kell alkalmazni. gakorlati esetek többségében a (.) és (.7) képletekkel kapott eredmén nem ad azonnali végeredmént, vagis keresztmetszeti méretet, illetve határfeszültséget. z egenlőtlenségnek megfelelően kerekíteni kell, és ez minden esetben felfelé történő kerekítést jelent. szilárdsági vizsgálatot követi a merevségi vizsgálat, amel az alakváltozások meghatározásával foglalkozik. lakváltozás húzott rúd méretezése után szükség lehet a rúd megnúlásának meghatározására. Ezt a (.4) összefüggés felhasználásával tehetjük meg: al l (.8) E (.8) képletben a a húzott rúdban keletkező, a vonatkozó szabvánelőírások szerint a terhek alapértékéből meghatározandó rúderő és a rúd jellemző általában a teljes 4
keresztmetszete. z esetleges heli gengítést az alakváltozás vizsgálatánál az egszerűség kedvéért nem szokás figelembe venni. Gakorlati esetek gakorlatban központosan húzott rudakkal leggakrabban függesztő rudak, kábelek, rácsos tartó húzott rúdjai és különböző például háromcsuklós tartóknál alkalmazott vonórudak formájában találkozhatunk... Gakorló feladat atározzuk meg a.7/a ábrán vázolt szerkezet B jelű lehorgonzó rúdjának szükséges átmérőjét és a rúd megnúlását. kör keresztmetszetű lehorgonzó rúd betonacélból készül, amel mindkét végén csavaros kapcsolattal rendelkezik. z alkalmazott betonacél határfeszültsége legen 09 N/mm, a rugalmassági modulusának értéke pedig E 00000 N/mm. szabvánelőírások szerint meghatározott teher értéke legen 0 kn a szilárdsági tervezéshez és a 8. kn az alakváltozási számításhoz. számításokhoz szükség lesz a lehorgonzó rúdban keletkező erő értékére. Ez az érték a nomatéki egenlet segítségével.5 B B.5 0 7.5 kn a szilárdsági tervezéshez ( 0 kn értékkel számolva) és Ba.5 8. 4.58 kn a rúd megnúlásának meghatározásához ( a 8. kn értékkel számolva)..5 B.0.5 m s a) b).7 ábra. Kéttámaszú gerenda lehorgonzó rúddal. a) a tartó vázlata, b) rúdvég csavaros kapcsolata. 5
Tervezés rúderő és a határfeszültség ismeretében a (.) összefüggés megadja a keresztmetszet minimálisan szükséges méretét: h B 7500 8.7 mm 09 ivel a rúd csavarmenettel gengített (.7/b ábra) és íg a gengített keresztmetszet a veszéles keresztmetszet, olan köracélt kell választani (például a Segédlet csavaradatokat tartalmazó táblázata segítségével), amelik esetében a gengített (ún. nettó) keresztmetszetet kielégíti a fenti feltételt. Ø átmérőjű betonacél ilen, mert a csavarmenet okozta gengítés után figelembe vehető hasznos keresztmetszet s 84. mm egnúlás lehorgonzó rúd megnúlását a (.8) összefüggés segítségével határozzuk meg. számításhoz a rúd teljes keresztmetszeti területét vesszük, mert az a.5 m hosszú rúd jellemző területe. Ø átmérőjű betonacél π.mm 4 bruttó keresztmetszeti területével számolva a rúd megnúlása Bal 4580 500 l.mm E. 00000
Központos nomás Bevezetésben tett egszerűsítő feltételezéseken túlmenően feltételezzük még azt is, hog a vizsgált szerkezetek egenestengelű, prizmatikus (a rúdtengel mentén állandó keresztmetszetű) rudak. Központos nomás az az igénbevételi mód, melnek során a rudat a két végkeresztmetszetén két olan azonos nagságú, de ellentétes iránú nomóerő terheli, amelek közös hatásvonala a rúd súlponti tengele. ásképp fogalmazva: központos nomásról akkor beszélünk, ha az igénbevételi ábrákon azt látjuk, hog a vizsgált rúd keresztmetszetében csak normálerő működik (és T 0 és 0) és ez a normálerő nomóerő. a az előző fejezetben tárgalt központos húzás és a most tárgalandó központos nomás fenti definícióját és a két jelenséget felületesen összehasonlítjuk, azt gondolhatnánk, hog elegendő az erő előjelét megváltoztatni és minden a központos húzásra levezetett összefüggés azonnal alkalmazható (ellenkező előjellel). Ez azonban nag tévedés lenne. nomás esetében uganis felléphet eg olan jelenség, amel alapvetően megkülönböztetheti a központos húzást (./a ábra) és a központos nomást (./b ábra). gakorlati esetek túlnomó részében ezt a jelenséget számításba kell vennünk a szerkezetek méretezésekor. l a) b) c) h. ábra. a) központos húzás, b) központos nomás, c) karcsú nomott rúd kihajlása. Ez a jelenség a kihajlás, melnek során a nomott rúd eredetileg egenes tengele (az összenomódáson kívül) meg is görbül (./c ábra). kihajlás a rúd teherbírására és alakváltozására nézve kedvezőtlen jelenség. ttól függően, hog a nomott rúd kihajlik-e, vag nem, a rudakat két csoportra osztjuk: a karcsú rudak és a zömök rudak csoportjára. Sajnos nem adható egzakt, egszerű és a gakorlatban is jól alkalmazható szabál arra nézve, hog eg rúd karcsú vag zömök, illetve hog kell-e a kihajlással számolni vag nem. Íg most gakorlati útmutatásként csak azt rögzítjük, hog ha a rúd karcsúságát jellemző 7
l 0 (.) h hánados nag (például 0-nél nagobb), akkor a rudat karcsú rúdnak tekintjük, ha pedig a hánados kicsi (például 5-nél kisebb), akkor a rúd általában zömök rúdnak tekinthető. fenti hánadosban h a keresztmetszet mérete és l 0 a rúd kihajlási hossza a vizsgált iránban. z l 0 kihajlási hossz függ a rúd l hosszától és a megtámasztási viszonaitól; a./c ábrán vázolt esetben l 0 l. kihajlási hosszal és a karcsúsággal a. pontban részletesen foglalkozunk, ahol azt is látni fogjuk, hog a karcsúságot szokás az l 0 /i hánadossal is jellemezni (ahol i az inerciasugár). gakorlatban nem szokott problémát okozni annak eldöntése, hog eg rúd karcsú vag zömök. a mégis, akkor a megoldás igen egszerű: a rudat karcsúnak kell tekinteni. oglalkozzunk először a jóval egszerűbb, bár a gakorlatban talán ritkábban előforduló esettel, amikor a vizsgált rúd zömök.. Zömök rudak zömök rudakat a gakorlatban úg szokás jellemezni, hog nincs nagságrendi különbség a keresztmetszet kisebbik mérete és a rúd hossza között. vizsgálat teljesen a. fejezetben bemutatott módon hajtható végre, annak figelembevételével, hog a) most nomófeszültségek lépnek fel (. ábra) és b) a rúd összenomódik. k súlponti tengel z S d. ábra. Központosan nomott zömök rúd. z tengelre vonatkoztatott vetületi egenletből most a központos húzásnál levezetett képlethez hasonlóan a összefüggést kapjuk, amit a határerő számításakor az (.) (.) formában alkalmazunk. többi képlet is átvehető a. fejezetből, vagis a rúd összenomódása a l l E 8
a fajlagos összenomódás pedig az l ε l összefüggésből határozható meg. egjegezzük, hog amíg eg húzott rúd megnúlásának értékére a tervezési folamat során gakran szükség lehet, addig eg zömök rúd összenomódása nem szokott érdekes lenni és a gakorlatban nem is szokás kiszámítani. További eltérést jelent a központosan húzott rudak esetétől az, hog itt a) a Bevezetőben rögzített feltételezésektől eltérve nemcsak homogén, hanem inhomogén anagú nomott szerkezeteket (például falazott szerkezeteket) is vizsgálhatunk b) a gengítések például téglafúgák nem okoznak nag problémát és a kisebb gengítéseket a tervezés során gakran el is szokták hanagolni, valamint c) olan anag is szóba jöhet, amelnek nincs számottevő húzószilárdsága (például beton és tégla). kísérletek azt mutatják, hog kis húzószilárdságra azért szükség van a keresztiránú húzás miatt. Karcsú rudak z olan rudat, amelnek a hossza a keresztmetszet méreteihez viszonítva nag, karcsú szerkezetnek nevezzük. karcsú rudak viselkedése jóval bonolultabb a zömök rudak viselkedésénél. Ez können belátható, például eg hosszú, a hosszához képest nagon vékon léccel végzett kísérlet segítségével. z eredetileg egenes tengelű rúd a nomóerő fokozatos növelése mellett hirtelen meggörbül, bekövetkezik a./c ábrán már vázolt kihajlás jelensége, melnek során az alakváltozások rohamosan nőnek és a rúd tönkremeg. Ez eg igen veszéles jelenség. tönkremenetel uganis stabilitásvesztés, ami kisebb, esetleg jóval kisebb nomóerőnél bekövetkezik, mint a zömök viselkedés feltételezésével meghatározott törőerő értéke. e T l EI z z T+dT a d +d dz e b h a) b) c) d). ábra. Karcsú rúd. a) kihajlás előtt, b) kihajlás után, c) az egensúli állapot, d) a rúd eg elemi szakasza. 9
z egenestengelű prizmatikus rudak kihajlásproblémáját Euler már 757-ben megoldotta. megoldást olan homogén, izotróp rudakra adta meg, amelek rugalmas viselkedésére érvénes a (.) ooke-törvén. kihajlás részletesebb vizsgálata és az Euler-féle kritikus erő levezetése céljából tekintsük a. ábrán vázolt, a tetőponton erővel terhelt karcsú rudat, amel alul mereven befogott és a felső vége szabad. konzoltartó hossza l és a keresztmetszet méretei b és h (< b). Jelölje E a rúd rugalmassági ténezőjét. keresztmetszet tengelre vonatkoztatott tehetetlenségi nomatéka I bh /. z -z tengelű koordinátarendszer kezdőpontját a rúd tetőpontjához rögzítjük (./a ábra). kezdeti pillanatokban, amíg a nomóerő kicsin, a rúd tengele egenes marad. tetőponti erő és a vele eg egenesen működő, a befogási keresztmetszetnél keletkező reakcióerő biztosítja a rúd egensúlát (./a ábra). rúd ekkor zömök rúdként viselkedik és érvénesek a. pontban (a húzott rúd analógiája segítségével) megadott összefüggések. tetőponti erő értékének növelésével azonban a tetőpont vízszintesen hirtelen elmozdul, például e távolságra, és a rúd csak ol módon maradhat egensúlban, ha a befogásnál keletkező reakcióerő mellett keletkezik eg e nomaték is (./b ábra). Ezen túlmenően, most már nem közös hatásvonalú a rúdra ható két erő. rúdra ható erők elrendezése és a rúd viselkedése tehát alapvetően megváltozott és íg nem érvénesek a zömök rúdra megadott összefüggések. megoldást a kihajlott állapotot jellemző egensúli állapot (./c ábra) vizsgálata adja. rúdban működő erő függőleges komponense a rúd mentén állandó (). rúdban működő erő vízszintes komponense és a rúdban működő nomaték viszont nem állandó a rúd mentén és ezeket a T(z) és az (z) függvének írják le. z alábbiakban felírt egensúli egenletekben T és függvénként szerepel. Tekintsük a rúd eg elemi szakaszát (./d ábra). z iránú vetületi egenletből dt 0, vagis nomatéki egenlet alapján i, T + T + dt 0 T 0 a + Tdz + d d 0 T ahonnan egszeri deriválás után azt kapjuk hog T Vegük figelembe a fenti T 0 összefüggést és az helére helettesítsük be a hajlított tartó meggörbült tengelvonalára vonatkozó EI'' összefüggést (amelnek levezetése korábbi matematikai tanulmánainkból már ismert, de e jegzet 9. pontjában is megtalálható): T EI 0 0
Innen: + 0 EI Ez a probléma negedrendű, homogén, lineáris differenciálegenlete, ami általános alakban az formában írható, ahol bevezettük az + α 0 (.4) α (.5) EI jelölést. differenciálegenlethez a következő nég peremfeltétel tartozik. ) a tartó tetőponti eltolódása zérus (a koordinátarendszerünkben, amelnek a kezdőpontja a tetőpontban van és amel egütt mozog a tetőponttal./c ábra): ( 0) ) az érintő (első derivált) a befogásnál függőleges (vag máshogan megfogalmazva: az érintő a befogásnál párhuzamos a z tengellel): ( l) ) a nomaték (amel az EI'' összefüggés tanúsága szerint az ''-vel arános) a tetőpontban zérus, íg: ( 0) 4) a níróerő (amel az EI'' és ' T összefüggések tanúsága szerint az '''-vel arános) a befogásnál zérus, íg: ( l) (.4) differenciálegenlet rendszáma csökkenthető. E célból integráljuk az egenletet egszer: 0 0 0 0 + + C α második és negedik peremfeltétel felhasználásával a C konstans kiküszöbölhető és íg az 0 ( l ) ( l ) 0 C 0 + α 0 differenciálegenlethez jutunk. Ismételt integrálással
+ + C α 0 és az első és harmadik peremfeltétel felhasználásával egenletünk tovább egszerűsödik: ( 0) (0) 0 C 0 + α 0 (.) Ehhez a másodrendű, homogén, lineáris differenciálegenlethez az első és második (eredeti) peremfeltétel tartozik. (.) differenciálegenlet szerkezetileg a matematika és fizika jól ismert egenlete. megoldás formában kereshető. z első és második derivált előállítása sin αz + B cosαz (.7) α cosαz Bα sin αz α sin αz Bα cosαz és visszahelettesítés után látható, hog a megoldás valóban kielégíti a (.) differenciálegenletet. megoldás ténleges előállításához meg kell határozni a (.7) összefüggésben szereplő és B állandókat. Ez a peremfeltételek segítségével történik. z első peremfeltétel megadja a B értékét második peremfeltétel az összefüggést eredménezi. ( 0) sin(0) + B cos(0) 0 B 0 ( l) α cosαl 0 cosαl 0 - π π π αl.4 ábra. koszinusz függvén 0 és π között. ivel sem az α sem az nem lehet zérus [a (.7) összefüggés tanúsága szerint ez a
triviális megoldás], innen a cos α l 0 egenletet kapjuk. z egenlet (első) megoldása (.4 ábra): π α l a ebből az α-t kifejezzük és felhasználjuk a (.5) képletet π l EI akkor innen előállítható a kihajlást végző, alul befogott és felül szabad végű rúd egensúlát definiáló erő. Ez az erő a rúd kritikus ereje: kr π EI (.8) 4l kritikus erő egenes aránban függ a rúd EI merevségétől, fordított és négzetes aránban a rúd l hosszától, és a rúd megtámasztási viszonaitól. Érdemes a (.8) képletet az kr π EI (.9) l 0 alakba átírni, ahol l 0 νl a rúd kihajlási hossza. lul befogott és felül szabad végű rúd esetében ν (.5/a ábra). zért érdemes a kritikus erő képletére bevezetni a (.9) szerkezetű képletet, mert ez a képlet több, más megtámasztási viszonokkal rendelkező központosan nomott rúd kritikus erejének meghatározására is alkalmas, ha a ν ténező megfelelő értékét alkalmazzuk. a például a rúd alul-felül csuklós megtámasztással rendelkezik, akkor az itt bemutatott levezetés mintájára (de a csuklós megtámasztásoknak megfelelő peremfeltételekkel) végrehajtott levezetés a kritikus erő értékére az kr π EI (.0) l képletet eredménezi. Ekkor is alkalmazható tehát a (.9) összefüggés, ha a rúd kihajlási hosszának meghatározására a ν értéket alkalmazzuk (.5/b ábra). Ezen túlmenően, a (.9) összefüggés alkalmazható például a mindkét végén befogott (de vízszintesen nem elmozduló) megtámasztású (.5/c ábra), a mindkét végén befogott (és vízszintesen elmozduló) megtámasztású (.5/d ábra) és az egik végén befogott és a másik végén csuklós megtámasztású rúd (.5/e ábra) esetében is. kritikus erő értékének meghatározásához szükséges ν értékeket a.5 ábrán adjuk meg. z ábrán a kihajlási hossz szemléletes jelentését is bemutatjuk (amel a fél szinusz hullámhossz, azaz a valós vag képzeletbeli kihajlott tartóalak két infleiós pontjának távolsága).
l l 0 l l 0 0.5l l 0 0.7l l 0 l l 0 l l a) ν b) ν c) ν 0.5 d) ν e) ν 0.7.5 ábra. Különböző megtámasztási viszonokkal rendelkező rudak ν ténezői és l 0 kihajlási hosszai. angsúlozni kell, hog a fent megadott eredmének csak a rugalmas viselkedés tartománában érvénesek, amikor a nomófeszültség nem haladja meg az aránossági határt, vagis amíg (. ábra). bból a célból hog részletesebben megvizsgálhassuk hog mi történik amikor a nomófeszültség eléri, illetve túllépi az aránossági határt, vezessük be az Euler-féle kritikus nomófeszültséget és nézzük meg értékének alakulását annak függvénében, hog a rúd mennire érzéken a kihajlásra. z Euler-féle kritikus nomófeszültséget az Euler-féle kritikus erő és a rúd keresztmetszeti területének hánadosával definiáljuk: kr π EI kr l a felhasználjuk az inerciasugár négzetére vonatkozó i I/ összefüggést, akkor a fenti képlet a következőképpen rendezhető át: 0 kr π E l0 i a itt bevezetjük a karcsúsági ténező fogalmát a l λ 0 i formában, amel a rúdhosszal egenesen és az inerciasugárral fordítottan arános, akkor az Euler-féle kritikus nomófeszültség a kr π E λ 4
alakban adható meg. kr Engesser görbe Tetmajer egenes Euler hiperbola λ λ. ábra. Kritikus nomófeszültség a karcsúság függvénében. z Euler-féle kritikus nomófeszültség alakulása a karcsúság függvénében a. ábrán látható. z Euler hiperbola csak a rugalmas tartománban, vagis a pontig érvénes. Ezt a szakaszt foltonos vonal ábrázolja. z aránossági határt túllépve a nomott rúd képléken alakváltozást végez. Ennek a bonolult viselkedésnek a kísérleti és elméleti vizsgálatával többen is foglalkoztak, akik közül itt csak kettőt említünk: a képléken tartománban a magar Tetmajer (88) egenes alkalmazását javasolta, míg a német Engesser (898) változó rugalmassági ténezőt feltételezve görbe szakasszal fejezte be az Euler-féle hiperbolát (. ábra). központosan nomott rúd kr e 0 kezdeti külpontossággal nomott rúd e 0 e.7 ábra. Nomott rúd viselkedése kezdeti külpontosság nélkül, illetve kezdeti külpontossággal. kihajlás jelenségének veszélességével kapcsolatban még eg szempontot érdemes szem előtt tartani. karcsú rúd kritikus erejének fenti levezetése során feltételeztük, hog a vizsgált rúd egenestengelű és központosan nomott (./a ábra). rúd elméleti viselkedése ennek megfelelően olan, hog a nomóerő folamatos növelése során a kezdeti időszakban a rúdtengel egenes marad, majd eg bizonos ponton (a kritikus erő értékének elérésekor) hirtelen nag tetőponti elmozdulások jönnek létre és a rúd eltörik. Ezt az elméleti viselkedést mutatja a.7 ábrán a két egenes szakaszból álló (foltonos vonallal ábrázolt) függvén, amelnek első szakasza a függőleges tengelen fekszik majd a második szakasz az kr -nál jobbra vízszintesen elágazik. gakorlatban viszont a rudak tengele még a leggondosabb gártás esetén sem tökéletesen egenes és a teher központos elhelezése sem biztosítható maradéktalanul. gakorlati esetek nag részében vízszintes kitérítő erő is jelentkezhet 5
(például szélerő vag a nem tökéletesen függőleges rúd önsúlának következtében). Kezdeti külpontosság (e 0 ) jelentkezhet tehát, ami már a kritikus erő elérése előtt esetleg jóval korábban elfogadhatatlanul nag vízszintes elmozdulásokat eredménezhet. Ezt a viselkedést az e 0 -ból induló (szaggatott vonallal ábrázolt) görbe mutatja. Ebből az is következik, hog a gakorlatban a kihajlás jelensége mindig de különböző mértékben befolásolja a nomott rúd viselkedését. Lásd a. ábrát a.. pontban. Itt jegezzük meg, hog van olan méretezési filozófia, amel szerint központosan nomott rúd nem is létezik és minden rudat külpontosan nomott szerkezetként kell kezelni.. Gakorlati alkalmazás Előbb összefoglaljuk a központosan nomott zömök és karcsú szerkezetek méretezésével kapcsolatos tudnivalókat, majd a képletek alkalmazását két gakorló feladat segítségével mutatjuk be. elzetünk jóval bonolultabb, mint a központosan húzott rudaknál volt. Ennek nemcsak az az oka, hog itt most zömök és karcsú szerkezetekkel is foglalkozunk, amelek viselkedése alapvetően eltér egmástól, hanem az is, hog a szerkezetek viselkedése jelentősen függ attól is, hog milen anagból készültek. a, acél és vasbeton szerkezetekkel szaktantárgak külön kurzusok keretein belül foglalkoznak, íg ebben a pontban az alkalmazási területet beton- és falazott szerkezetekre korlátozzuk... Központosan nomott zömök és karcsú szerkezetek méretezése gakorlati alkalmazás során is élesen elkülönül a zömök és a karcsú rudak csoportja. zömök rudak esetében a kihajlás veszélével nem számolunk és a. pontban összefoglalt elméleti összefüggések közvetlenül alkalmazhatók. karcsú rudaknál a kihajlás jelenségének figelembe vétele a probléma vizsgálatát megnehezíti és valamiféle egszerűsítések bevezetése szükséges, ha a gakorlat számára könnebben kezelhető eljárásokat akarunk létrehozni. Ezek az egszerűsítések szabvánelőírások felhasználásával, egszerű képletek illetve diagramok formájában egészítik ki a. pontban tárgalt elméleti összefüggéseket... pontban a központosan húzott rudak méretezésével a tervezéssel és ellenőrzéssel kapcsolatban elmondott elvek most, a nomás esetében is, érvénesek. indig a méretezés alapegenletét (egenlőtlenségét) használjuk, ahol az a szabvánelőírások szerint meghatározott mértékadó teher (nomóerő) és a nomott szerkezet határereje, amelnek meghatározását az alábbiakban mutatjuk be különböző esetekre és anagokra. Ellenőrzéskor az egenlőtlenség teljesülését kell kimutatni, tervezéskor pedig az éppen hiánzó adatot határozzuk meg az egenlőtlenség segítségével. Zömök rudak gakorlatban központosan nomott zömök szerkezetekkel leggakrabban különböző típusú alapozásoknál találkozhatunk. Központosan nomott, zömök rúd lehet az alaptest és az alaptest alatti talaj is..8 ábra eg központosan nomott pillér központosan megépített alapozását mutatja. zömök rúdra érvénes (.) képlet alapján felírható (.) t összefüggés mind az ellenőrzéshez, mind pedig a tervezéshez alkalmazható. talaj határfeszültsége ( t ) általában adott szokott lenni. Értékét a talajmechanikai szakvéleménből vehetjük ki, ami szokásos talajok esetén általában 0. N/mm és 0. N/mm között mozog.
t b a.8 ábra. Központosan nomott alaptest. mértékadó központos teher meghatározásánál figelemmel kell lenni arra, hog az tartalmazza az alaptest önsúlát is. z alaptest területének megállapításakor a névleges (a, b) méreteket a számítások során csökkentett értékekkel kell figelembe venni, a talajban végzett munkák kisebb pontosságának ellensúlozása céljából. csökkentés szokásos mértéke - cm. eli nomás z építőipari gakorlatban előfordulnak olan esetek, amikor viszonlag nag erő adódik át viszonlag kis felületen, úg, hog közben lehetőség van a kialakuló feszültségek szétterjedésére az alátámasztó szerkezetben. beszorító feszültségek n (körben cm hámozással).9 ábra. eli nomás vizsgálata központos alátámasztás esetében. Ilen helzet alakul ki például, amikor eg nag fesztávú és teherbírású (pl. acél) tartó betontömbre támaszkodik. Nagobb terhelésű födémgerendák felfekvésénél hasonló helzettel találkozhatunk. jelenséget ami pecsétnomásként is ismeretes az jellemzi, hog a felső (támaszkodó) és alsó (alátámasztó) szerkezettel kapcsolatban érvénesek a, felső >>,alsó és felső alsó << (.) egenlőtlenségek. Ilen esetekben szükségessé válhat a felfekvés ellenőrzése. ivel itt a kihajlás jelenségével nem kell számolni, kis módosítással alkalmazható a 7
zömök rudakra megadott (.) összefüggés. Kísérleti tapasztalatok azt mutatják, hog az erőátadódás során úgnevezett beszorító feszültségek keletkeznek, miközben nő az a felület ahol nomófeszültségek ébrednek az alátámasztó szerkezetben (.9 ábra). Ez a teherbírás megnövekedéséhez vezet. megnövekedett teherbírás eg m növelő ténezővel vehető figelembe: m (.) ahol a ténleges megtámasztó felület (a.9 ábra szerint) és a megtámasztó szerkezet anagának határfeszültsége. z m növelő ténező az n m (.4) képlettel számítható, ahol n a megtámasztó szerkezeten kialakítható legnagobb központos felület. z n felületet körbe-körbe cm hámozással kell kialakítani. Ez a keresztmetszetcsökkentés azt hivatott figelembe venni, hog az alaptest szélei lerepedések formájában hajlamosak a különböző sérülésekre. szabvánelőírások az m ténező értékét maimálják; betonnál például m ma. heli nomás vizsgálata akkor is elvégezhető, ha az alátámasztó szerkezet (pl. alaptest) nem központosan helezkedik el. Ilen esetekben eljárhatunk úg, hog a felesleges részek eltávolításával az elrendezést központossá tesszük (.0 ábra). b/ n b/ b/ cm b/ b/ cm b/ cm n b b.0 ábra. eli nomás vizsgálata aszimmetrikus alátámasztás esetében. a) szélső helzet, b) sarokhelzet. Itt jegezzük meg, hog a.8 és.9 ábrák összehasonlítása után arra a (téves) következtetésre is juthatnánk, hog az alaptestek felső szintjén rutinszerűen mindig el kell végezni a heli nomás vizsgálatát. gakorlatban előforduló szerkezetek esetében azonban általában nem teljesül a (.) alatti első feltétel, uganis az alaptestre felülő fal/pillér határfeszültsége nem szokott sokkal nagobb lenni az alaptest határfeszültségénél és íg a pecsétnomás jelensége az esetek túlnomó részében nem szokott mértékadó lenni az alaptestek felső síkján. méretezési eljárás során természetesen a heli nomás vizsgálatakor is az összefüggés teljesülését kell kimutatni. a) b) 8
Karcsú rudak. és. pontokban bemutatott vizsgálatok azt mutatják, hog amíg a zömök rudak az egenes tengel megtartása mellett számítható törőerő elérésével mennek tönkre, addig a karcsú rudak szokásos tönkremenetele jellegében egészen más. karcsú rúd meggörbül és az egre növekvő oldaliránú elmozdulások a rúd tönkremeneteléhez vezethetnek, még akár jóval a zömök (kihajlás nélküli) viselkedés feltételezésével számítható törőerő értékének elérése előtt. Ez a felismerés egben a probléma gakorlati szempontból können kezelhető megoldásának előállítását is elősegíti. Ábrázoljuk e célból a kétfajta tönkremeneteli módot jellemző (határ-)erőket eg koordinátarendszerben (. ábra). kr zömök zömök rúd határereje: kihajlási határerő: kr π EI l 0 0 karcsú rúd határereje: φ k 0 karcsúság. ábra. Központosan nomott rúd határereje zömök és karcsú viselkedés feltételezése esetén. Külön-külön tételezzük fel, hog a vizsgált rúd zömök rúdként (kihajlás nélkül), illetve karcsú rúdként (de a nomási törőerő elérését nem vizsgálva) viselkedik. indkét esetben ábrázoljuk a határerőt a karcsúság függvénében. zömök rúd esetében természetesen vízszintes egenest kapunk, hiszen a karcsúság nem befolásolja a (kihajlást nem végző) rúd határerejét. karcsú rúd határerejét (kritikus erejét) a. ábrán vázolt görbéhez hasonló görbe jellemzi, amelnek a kezdeti szakaszát a képléken viselkedés határozza meg.. ábrán (foltonos vonallal) ábrázolt két határerő-függvénnel kapcsolatban három fontos következtetés vonható le: ) a rúd teherbírását kisebb karcsúság mellett (a 0-k 0 szakaszon) a zömök rúdként kiszámított határerő határozza meg, majd a karcsú rúdként kiszámított kritikus erő a meghatározó ) eg adott rúd teherbírása nem lehet nagobb sem a zömök, sem pedig a karcsú viselkedéshez tartozó teherbírásnál ) eg adott rúd teherbírása kifejezhető a zömök rúdként kiszámított teherbírás aránában Ez utóbbi megfigelés lehetővé teszi eg igen egszerű eljárás bevezetését. központosan nomott rúd határteherbírása meghatározható a zömök rúdra alkalmazott (.) összefüggés felhasználásával, ha azt eg megfelelő a kihajlást figelembe vevő csökkentő ténezővel egészítjük ki: ϕ (.5) Ez a ténező a φ kihajlási ténező, amel a kihajlás veszéles következménét hivatott érvénesíteni. Eg jellegzetes φ függvénalakot a. ábrán pontvonallal ábrázolunk. kihajlási ténező elméleti maimális értéke.0, ami a tökéletesen kihajlásmentes zömök rúdra vonatkozik (. ábra). φ kihajlási ténező értékét elsősorban a rúd karcsúsága, a megtámasztási viszonok, a rúd anaga, valamint a keresztmetszet alakja befolásolják. Kiterjedt kísérleti és kutatómunka eredméneire támaszkodva a kihajlási ténező értékei 9