ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Komplex természettudományi tagozat Fizika 11. osztály IV. rész: Mechanikai rezgések és hullámok Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019.
2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék IV. rész: Mechanikai rezgések és hullámok.... 4 113. A harmonikus rezgőmozgás................... 4 114. A rezgőmozgás kinematikája.................. 6 115. A rezgőmozgás grafikonjai................... 8 116. A rezgőmozgás dinamikai leírása................ 10 117. A rezgő rendszer energiája................... 12 118. Feladatmegoldás......................... 14 119. A fonálinga lengésidejének mérése............... 16 120. A fonálinga mozgásegyenlete.................. 17 121. Csillapított rezgés:....................... 20 122. Kényszerrezgés, rezonancia................... 21 123. A hullámmozgás......................... 22 124. A hullámok visszaverődése................... 24 125. A hullámok törése........................ 26 126. A hullámok interferenciája................... 28 127. Az állóhullámok......................... 29
Tartalomjegyzék 3. 128. A hullámok elhajlása...................... 31 129. Hangtan alapjai......................... 33 130. Hangtani jelenségek....................... 35 131. Hangtan a hétköznapokban.................. 37 132. Feladatmegoldás......................... 38 133. Összefoglalás.......................... 39
4. 113. óra. A harmonikus rezgőmozgás 113. óra A harmonikus rezgőmozgás Rezgés: Minden változás, amely időbeli ismétlődést mutat 1. Rezgőmozgás: A test egyensúlyi helyzetéből kimozdul, és két szélső helyzet között szimmetrikusan periodikus mozgást végez, mely lehet csillapítatlan 2 és csillapított 3. Kísérlet. Hogyan változik a rugóra felfüggesztett test rezgésideje különböző nagyságú kitérítés esetén? Kicsi és nagy kitérés esetén is a rezgésidő ugyanannyinak adódik. Kísérlet. Mérd meg egy rugóra felfüggesztett test rezgésidejét különböző tömegek esetén! Tömeg 10 periódus Rezgésidő Rezgésidő négyzete 0g 0 s 0 s 0 s 2 50g 7,2 s 0,72 s 0,5184 s 2 100g 9,6 s 0,96 s 0,9216 s 2 150g 12 s 1,2 s 1,44 s 2 200g 13,6 s 1,36 s 1,8496 s 2 250g 15,2 s 1,52 s 2,3104 s 2 300g 16,3 s 1,63 s 2,6569 s 2 113.1. táblázat. A tömeg és a rezgésidő négyzete között van lineáris összefüggés. Adott tömeg esetén mindig ugyanazt a periódusidőt kapjuk, ez a rendszer egy jellemző adata. 1 Ez az általános definíció a fizika minden területén megállja a helyét. 2 Ez az idealizált eset. 3 A csillapított rezgőmozgásnak több típusa is van, ezekről később lesz szó.
113. óra. A harmonikus rezgőmozgás 5. A rezgésidő és a tömeg összefüggése: A mérési adatokat grafikonon ábrázolhatjuk, és láthatjuk, hogy nem egyenes arányosság van a két mennyiség között. T ( s) 2 1.5 1 0.5 0 m( kg) 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 1. ábra. A rugó rezgésideje a rákasztott tömeg függvényében. A két mennyiség között négyzetgyökös összefüggést fedezhetünk fel. 113. Házi feladat. Ábrázold a tömeg függvényében a rezgősidő négyzetét! Határozd meg az egyenes egyenletét! 113. Szorgalmi. Hogyan változik egy rugó rezgésideje, ha függőleges helyett vízszintes irányban rezeg, illetve ha a Holdon rezeg?
6. 114. óra. A rezgőmozgás kinematikája 114. óra A rezgőmozgás kinematikája A rezgőmozgás fizikai mennyiségei: Egyensúlyi helyzet: A testre ható erők eredője itt nulla. Kitérés: Az egyensúlyi helyzetből a tömegpont pillanatnyi helyébe mutató helyvektor. Jele általában: y Amplitudó: A maximális kitérés nagysága. Jele: A Rezgésidő: Egy teljes rezgés időtartama. Jele: T Rezgésszám: Egységnyi idő alatti rezgések száma. Jele: f Kísérlet. Próbáljuk meg szinkronba hozni egy egyenletes körmozgást végző test és egy rezgő teste mozgását! Némi kísérletezés után be lehet állítani, hogy a rezgést végző test és a körpályán mozgó másik test oldalról nézve egyszerre mozogjon. Referencia körmozgás: A rezgéshez egy ω szögsebességű körmozgás rendelhető, melynek α szögelfordulásnál vett vetülete fedésbe hozható a rezgéssel. A körpálya sugara amplitudó nagyságú. ω = 2π T α = ω t r = A Harmonikus rezgőmozgás: A test mozgása összhangban van 1 egy egyenletes körmozgást végző test vetületének mozgásával. 1 Az összhang miatt nevezik harmonikusnak.
114. óra. A rezgőmozgás kinematikája 7. Kitérés-idő: Ha a referencia körmozgást végző test α = ω t fázisszögű, akkor a rezgési síkra vett vetülete adja rezgő test helyét. A α y y sin(α) = y A y(t) = A sin (ω t) Sebesség-idő: A referencia körmozgás kerületi sebességére igaz, hogy v k = ω r = ω A, ennek vetülete lesz a rezgés sebessége: v k v α v α cos(α) = v v k v(t) = A ω cos (ω t) Gyorsulás-idő: A körmozgás A ω 2 nagyságú centripetális gyorsulásának a rezgés síkjára vett merőleges vetületét tekintjük. a cp α α a a sin(α) = a a cp a(t) = A ω 2 sin (ω t) 114. Házi feladat. Vezesd le a rezgés gyorsulás-idő függvényét! 114. Szorgalmi. Deriválással ellenőrizd a házi feladatot!
8. 115. óra. A rezgőmozgás grafikonjai 115. óra A rezgőmozgás grafikonjai 1. Feladat. Írjuk fel egy rezgőmozgás kitérés-idő, sebesség-idő és gyorsulásidő függvényeit! Legyen A = 1 cm és T = 2π s y( cm) 1 0 1 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 4π t(s) v( cm s ) 1 0 1 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 4π t(s) a( cm ) s 2 1 0 1 π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π 7π 2 4π t(s) 2. ábra. A harmonikus rezgőmozgást végző test kitérés-idő, sebességidő, gyorsulás idő grafikonjai. Vegyük észre, hogy ahol az egyik függvény szinte nem változik, az alatta lévő ugyanakkor nulla, ahol pedig növekedés van, ott az alatta lévő pozitív, ahol csökkenés van, ott az alatta lévő negatív.
115. óra. A rezgőmozgás grafikonjai 9. A maximális sebesség: A rezgő test sebessége akkor a legnagyobb, amikor az egyensúlyi helyzeten áthalad, értéke: v max = A ω Egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor a gyorsulás értéke zérus. A maximális gyorsulás: A harmonikus rezgőmozgást végző test gyorsulása a két szélső helyzetben a legnagyobb, értéke: a max = A ω 2 Ezekben a szélső helyzetekben pedig a sebesség értéke zérus. 115. Házi feladat. Egy harmonikus rezgőmozgás maximális kitérése 3 cm, periódusideje 2 másodperc. Ábrázold a kitérést, a sebességet és a gyorsulást az idő függvényében! 115. Szorgalmi. Van-e olyan helyzet, amikor a kitérés, a sebesség, vagy a gyorsulás mérőszáma mind azonos? Esetleg olyan, amikor kettő azonos?
10. 116. óra. A rezgőmozgás dinamikai leírása 116. óra A rezgőmozgás dinamikai leírása 2. Feladat. Milyen lehet egy test mozgása, ha nem hat rá erő, vagy a rá ható erők eredője nulla, vagy ha állandó erő hat rá? Ha az eredő erő nulla, akkor egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, vagy nyugalomban van. Állandó erő esetén egyenletesen gyorsul az erő vektorának irányába 1. A rezgőmozgás dinamikai feltétele: Minden test harmonikus rezgőmozgást végez az egyensúlyi helyzete körül, ha a kitérítésével egyenesen arányos visszahúzó erő hat rá. Egyensúlyban a kitérítés nulla, így az eredő erő is. Ha kimozdítjuk innen a testet, akkor a rugó miatt rá egy ellentétes, de a kitéréstől lineárisan függő erő hat rá 2. Az arányossági tényező a rugóállandó 3. F = D y Ezt az erőtörvényet írhatjuk be Newton II. törvényébe, a dinamika alapegyenletébe: n F i = m a i A gyorsulásba a kitérést tartalmazó összefüggést írhatjuk be, amit felismertünk 4. D y = m ω 2 y 1 A test nem feltétlenül mozog ténylegesen az erő irányába. 2 Ez a Hooke-törvény, de más erőtörvény is tud rezgőmozgást létrehozni. 3 Ha D = 42 N m, akkor a rugót 42 N erővel lehet 1 m-rel nagyobbra kihúzni. 4 A gyorsulásra felírt a = ω 2 y kinematikai összefüggést használjuk fel.
116. óra. A rezgőmozgás dinamikai leírása 11. Az y vektor előtti skalárok meg kell, hogy egyezenek, így: D = m ω 2 ω = összefüggést felhasz- A körfrekvencia és a periódusidő közötti ω = 2 π T nálva a harmonikus rezgőmozgás periódusideje: T = 2 π m D D m A rugó effektív tömege: Pontos mérések és elméleti számításokból levezethető, hogy a tömeghez hozzá kell adni a rugó tömegének harmadát, ez a rugó effektív tömege. Ennek alapján: T = 2 π m + m rugó 3 D 116. Házi feladat. Mekkora a rugóállandója annak a rugónak, amelyen 20 kg tömegű test 2 másodperces periódusidővel rezeg. Mekkora a maximális sebesség és a maximális gyorsulás, ha a legnagyobb kitérés 8 cm? 116. Szorgalmi. Igazold a rugó effektív tömegére vonatkozó összefüggést a mérési adatokból!
12. 117. óra. A rezgő rendszer energiája 117. óra A rezgő rendszer energiája 3. Feladat. Igazold, hogy rugó rezgésidejének összefüggése mértékegység szerint másodperc! T = 2 π m [ m ] D D = kg N m = kg kg m s 2 m = s 2 4. Feladat. Igazold, hogy vízszintesen és függőlegesen rugóra rögzített test mozgása is harmonikus rezgőmozgás! Ha µ = 0, akkor a vízszintes rugón lévő test mozgásegyenlete: D x = m a Függőleges rugó új egyensúlyi helyzetében Newton II. törvénye: D y 0 m g = 0 D = m g y 0 Az új egyensúlyi helyzettől mérve y-et, felírható a mozgásegyenlet: D (y 0 y) m g = m a D y = m a Rezgő test energiája: A kinetikus és rugalmas energia összege: E teljes = E kin + E rug = 1 2 m v2 + 1 2 D x2 Szélső helyzetekben a kinetikus energia nulla és a rugalmas energia maximális. Egyensúlyi helyzetben fordítva.
117. óra. A rezgő rendszer energiája 13. 5. Feladat. Igazoljuk az energiamegmaradás tételével a rezgésekre felírt összefüggéseket! 1 2 m v2 + 1 2 D x2 = 1 2 D A2 x2 A 2 + m D v2 A 2 = 1 Felhasználva a sin 2 α + cos 2 α = 1 összefüggést: x A m D v A = sin α x = A sin α = cos α v = A m D cos α 6. Feladat. Mekkora a rezgő test frekvenciája, amplitudója és melyik időpillanatban vagyunk éppen? x = 7, 3625 10 5 m v = 0, 5114092 m s a = 562, 7175 m s 2 117. Házi feladat. Készíts Excellben (vagy Geogebrában) egy programot, mely a rezgőmozgás grafikonjait rajzolja ki! 117. Szorgalmi. Módosítsd a programot, hogy a kezdő időpont bárhova állítható legyen!
14. 118. óra. Feladatmegoldás 118. óra Feladatmegoldás 7. Feladat. Egy tetoválógép tűje 2 mm-es amplitúdóval rezeg. A meghajtó motor fordulatszáma 7000 percenként. a) Mekkora a tű rezgésének frekvenciája és periódusideje? b) Mekkora a tű maximális sebessége és maximális gyorsulása? c) Egyensúlyi helyzeten áthaladás után 8 s-mal hol a tű? d) Az egyensúlyi helyzeten áthaladást követően mennyi idő múlva lesz a tű kitérése először 1,5 mm? e) Mekkora lesz a tű sebessége az egyensúlyi helyzeten való áthaladás után 6 másodperccel? f) Az egyensúlyi helyzeten való áthaladást követően mikor lesz a tű sebessége először 5 mm/s? g) Mekkora lesz a tű gyorsulása az egyensúlyi helyzeten áthaladás után 3 másodperccel? h) Az egyensúlyi helyzeten való áthaladást követően mikor lesz a tű gyorsulása először 4 cm/s 2? 8. Feladat. Egy felfüggesztett, nyújtatlan rugót egy ráakasztott test 5 cm-rel nyújt meg. A testet 3 cm-rel az egyensúlyi helyzet alá visszük,
118. óra. Feladatmegoldás 15. és ott elengedjük. Mekkora lesz a rezgés periódusideje, a rezgő test maximális sebessége és maximális gyorsulása? 118. Házi feladat. Egy varrógép tűje harmonikus rezgőmozgást végez. Mozgása legalsó és legfelső pontja között 4 cm a távolság. A gép 9 s alatt 24 öltést ejt. a) Mekkora a tű max. sebessége és max. gyorsulása? b) A cérna egy 1 cm átmérőjű lassan elforduló cérnaorsóról tekeredik le. Hányat fordul 1 perc alatt a cérnaorsó, ha egy öltéshez 4 mm cérnára van szükség? 118. Szorgalmi. A víz alá nyomott fakocka mozgása vajon harmonikus rezgőmozgásnak tekinthető? Mi a helyzet a labdával?
16. 119. óra. A fonálinga lengésidejének mérése 119. óra A fonálinga lengésidejének mérése Matematikai inga: Elhanyagolható tömegű, l hosszú fonalra függesztett, m tömegű pontszerű test, mely egy erőtérben mozog. Lengésidő: Az inga egy teljes lengésének időtartama. Jele: T Kísérlet. Hogyan függ az inga lengésideje a kitérítés nagyságától? Kis kitérítésekre a lengésidő ugyanaz marad. várható eltérés. Nagy kitérítés esetén Kísérlet. Hogyan függ az inga lengésideje az inga tömegétől? Bármekkora tömeget rakunk az ingára, a lengésidő ugyanannyi. Kísérlet. Hogyan függ az inga lengésideje az inga hosszától? Az inga lengésidejének négyzete arányos a hosszával.
120. óra. A fonálinga mozgásegyenlete 17. 120. óra A fonálinga mozgásegyenlete Az inga próbál visszatérni az egyensúlyi helyzetébe, tehát úgy viselkedik, mint egy rugó. Meghatározzuk a visszatérítő erőt és a kitérést, ebből kiszámítjuk a "rugóállandót", amit behelyettesítjük a rugóállanó összefüggésébe. α G r K G α G r Az ingára hat a K kötélerő, amely mindig a kötél irányába mutat, továbbá a lefelé mutató G nehézségi erő. A nehézségi erőt kötélirányú (radiális 1 ) és arra merőleges (tangenciális 2 ) komponensre bontjuk: G = G r + G t A visszatérítő erőt a nehézségi erő radiális komponensének tekintjük, a kitérést pedig közelítjük az egyensúlyi helyzettől mért vízszintes távolsággal. Ez a két állítás csak nagyon kis kitérés esetén, azaz kb. 5 foknál kisebb esetben használható. Ez után hasonló háromszöget keresve felírhatjuk a következő összefüggést: sin α = G t G G t = G sin α Az inga kitérése közelíthető az egyensúlyi helyzettől vízszintesen mért távolsággal: sin α = x l x = l sin α 1 azaz sugárirányú 2 azaz érintő irányú
18. 120. óra. A fonálinga mozgásegyenlete Ezek után felírhatjuk a "rugóállandót", mely az erő és a kitérés hányadosa: D = F x = G sin α l sin α = G = m g l l A lengésidőre a következő összefüggést kapjuk a behelyettesítés után: m m T = 2π D = 2π m g l = 2π m l m g T = 2 π l g Ebben nem szerepel a tömég és a maximális kitérítés, a kísérletekkel összhangban. 9. Feladat. Az olyan fonálingát, melynek a lengésideje 2 s, tehát oda és vissza is 1-1 s alatt lendül át, másodpercingának szokás nevezni. Milyen hosszú a másodpercinga? 10. Feladat. Milyen hosszú lenne a másodpercinga a Holdon, ha ott a nehézségi gyorsulás a földi értéknek kb. a hatodrésze? 11. Feladat. Mennyi a lengésideje annak a fonálingának, amelynek 40 cm a hossza? 12. Feladat. Mekkora az előbbi ingának a lengésideje a Holdon? 13. Feladat. Mekkora a lengésideje egy 3 kg-os, 140 cm-es kötélen lógó testnek? 119. Házi feladat. Egy hosszú kötélre felkötött test 1 perc alatt 12 teljes lengést végez. Milyen hosszú kötélen függ a test? Milyen nehéz a test? 120. Házi feladat. Fejezzük ki a lengésidő összefüggéséből a g-t. A mérési eredményeink alapján határozzuk meg a nehézségi gyorsulás értékét! g = 4 π2 l T 2
120. óra. A fonálinga mozgásegyenlete 19. 119. Szorgalmi. Mennyi a g értéke ott, ahol a 4 m hosszú fonálinga 40 másodperc alatt végez 20 teljes lengést? Lehet-e ez a hely a Föld felszínén?
20. 121. óra. Csillapított rezgés: 121. óra Csillapított rezgés: Csillapítatlan rezgés: Az amplitudó nagysága nem csökken. A kezdeti 1 2 DA2 rugalmas energia átalakul 1 2 mv2 max kinetikus energiává, majd vissza. Az ilyen rezgést szabad rezgésnek is nevezik. Sajátfrekvencia: A szabad rezgés frekvenciája, mely a másodpercenkénti rezgéseket jelenti és csak a rendszer jellemzőitől függ. Jele: f 0 Csillapított rezgések: Az amplitudó nagysága idővel csökken. Az energia a súrlódás és a közegellenállás miatt disszipálódik 1 a rendszerből. A hangszálak rezgését csillapítja a levegő, cserébe a levegő jön rezgésbe. Közegellenállással csillapított rezgés: Az amplitudók csökkennek és egy csökkenő exponenciális függvényt rajzolnak ki. Súrlódással csillapított rezgés: Az amplitudók csökkennek és egy csökkenő lineáris függvényt rajzolnak ki. 1 Visszafordíthatatlanul hőenergiává alakul a test energiája
122. óra. Kényszerrezgés, rezonancia 21. 122. óra Kényszerrezgés, rezonancia Kényszerrezgés: Egy f frekvenciájú, periodikus külső erő hat a testre. A testet a gerjesztő erő f frekvenciájú rezgésre kényszeríti. Kísérlet. Egy rugóval rögzített testre különböző frekvenciájú külső erőt fejtünk ki. Milyen mozgást végez a test? Rezonancia: Maximális amplitudó f = f 0 -nál várható. Az f gerjesztő frekvencia függvényében ábrázoljuk az amplitudót. A maximum értéke függ a csillapítás mértékétől is. Csatolt rezgés: Két rezgő test között az energia oda-vissza áramlik, egymást hozzák rezgésbe. Egyenlő hosszúságú ingák esetén a változás szabályos, eltérő hossz esetén kevésbé. Kísérlet. Wilberforce-ingát hozzunk kitérésbe! Mi történik? 121. Házi feladat. Hogyan lehet védekezni a földrengések ellen? 120. Szorgalmi. Tervezz Wilberforce-ingát!
22. 123. óra. A hullámmozgás 123. óra A hullámmozgás Hullám: Egy rendszer állapotának megváltozása (zavar) a térben tovaterjed. A terjedés irányába anyag nem szállítódik előre. A hullámok csoportosítása a terjedő hatás típusa szerint: Mechanikai hullámok: Rugalmas közegben egy deformáció terjedhet tova, vagyis a részecskék rezgésállapota terjed. Elektromágneses hullámok: A térerősség zavarai terjednek tova. Közeg sem kell hozzá, vákuumban is terjedhet. Gravitációs hullámok: Einstein a gravitáció magyarázatára készített egy modellt, a téridőt. A téridő görbületének hullámszerű változását jósolta meg 1915-ben. Rengeteg kutatás után 2015. szeptember 14-én észlelték először. A hullámok csoportosítása a dimenziószám alapján: Vonal menti hullámok: Rugalmas pontsoron, kötélen, gumiszalagon, dróton, húron, bármilyen egy dimenziós közegben terjedő hullámok. Példa Felületi hullámok: A víz hullámai, a dob és a cintányér, illetve bármilyen két dimenziós membrán rezgései. Példa Térbeli hullámok: A levegőben terjedő hanghullámok, pontszerű fényforrás által keltett gömbhullámok, síkhullámok, továbbá a földrengések. Példa
123. óra. A hullámmozgás 23. A hullámok csoportosítása a rezgés iránya szerint: Transzverzális hullámok: A rezgés merőleges a terjedés irányára. Folyadékokban és gázokban nincsenek ilyen hullámok. Hullámhegyek és hullámvölgyek váltogatják egymást. Pl.: fény, a kötélen terjedő hullámok, mexikói hullám Longitudinális hullámok: A rezgés iránya megegyezik a terjedés irányával. Minden halmazállapotban létrejöhet. Sűrűsödések és ritkulások követik egymást. Pl.: hang, autók megindulása a zöld lámpánál. A kettő kombinációja: A víz hullámaiban a víz felszíni részecskéi körmozgást végeznek, csak fáziseltéréssel. Amplitúdó: Hullámhossz: Periódusidő: Rezgésszám: A rezgőmozgás legnagyobb kitérése. Jele: A Legközelebbi, azonos fázisú pontok távolsága. Jele: λ Az egyensúly körül rezgő pont rezgésideje. Jele: T A hullámforrás rezgésszámával egyenlő. Jele: f Terjedési sebesség: Egy kiszemelt fázis sebessége. Jele: c Kiszámítása: c = s t = λ T = λ f 122. Házi feladat. Értelmezd a fogalmakat transzverzális hullámon! 121. Szorgalmi. Értelmezd a fogalmakat longitudinális hullámon!
24. 124. óra. A hullámok visszaverődése 124. óra A hullámok visszaverődése Egydimenziós hullámok visszaverődése: Rögzített végről: A hullám ellentétes fázisban verődik vissza, mert amikor a hullám a rögzített véghez érkezik, akkor a gumikötél erőt fejt ki a falra, a fal ugyanilyen nagyságú, de ellentétes irányú erőt fejt ki a gumikötélre, mely erő ellentétes fázisba lendíti át. Szabad végről: Ekkor a hullám azonos fázisban verődik vissza, mert amikor a zavar elérkezik a szabad véghez, nem lép fel erő, amely fázisugrást okozna. Kétdimenziós hullámok leírásához használt fogalmak: Hullámfront: az azonos fázisban lévő pontok összessége, távolságuk λ. Körhullám: az azonos fázisú pontok koncentrikus körökön mentén találhatók Egyenes hullám: az azonos fázisú helyek párhuzamos egyeneseken vannak. Sugár: hullámfrontra merőleges vektor, erre halad a hullám. Visszaverődési törvény: A bejövő hullám eléri a közeghatárt. Merőlegest állítunk a határra a beesési ponton át. Ehhez képest mérjük az α beesési szöget és a α visszaverődési szöget. A bejövő és visszaverődő hullám normálisai és a beesési merőleges egy síkban vannak továbbá α = α.
124. óra. A hullámok visszaverődése 25. A tükör-módszer: Egy körhullám vagy egyeneshullám a közeghatárra ér. Vegyünk fel egy fiktív hullámforrást úgy, hogy tükrözzük a valódi forrást a közeghatárra. Ekkor a fiktív pontból jövő hullámok adják a visszavert hullámot. Példa Háromdimenziós hullámok visszaverődése: Gömbhullám: Az azonos fázisban rezgő pontok egy gömbfelületen vannak, melyek középpontja a pontszerű forrás. A gömbfelületek távolsága λ. Síkhullám: A hullámfrontok egymástól λ távolságra lévő párhuzamos síkok. 123. Házi feladat. Hullámtanilag sűrű, illetve ritka köteleket összeragasztunk és hullámot indítunk el egyik végén. Milyen jelenségeket figyelhetünk meg? 1. Ritkából sűrűbe. 2. Sűrűből ritkába. 122. Szorgalmi. Írj 1 oldalas esszét a földrengésekről!
26. 125. óra. A hullámok törése 125. óra A hullámok törése A közeg sűrűsége: Hullámtani értelemben ez a a benne haladó hullámok terjedési sebességével kapcsolatos. Sűrű 1 közegben a hullám gyorsabban tud a haladni. 2 Snellius Descartes-törvény: A beeső hullám, a beesési merőleges és a megtört hullám egy síkban van. Azonos sűrűségnél nincs törés. Ha sűrűbb közegbe hatol be a hullám - vagyis ahol lassabban halad - a beesési szögnél kisebb lesz a törési szög. c 1 = sin α c 2 sin β = n 2:1 Relatív törésmutató: Ha hullám az 1. közegből a 2.-ba halad, akkor a második közeg elsőre vonatkozó 3 törésmutatója: n 2:1 = c 1 c 2 14. Feladat. A hanghullám terjedési sebessége levegőben 340 m, vízben 1490 m. Mekkora szögben törik meg az a hanghullám, ha 10 fokos s s beesési szögben érkezik? 1 Nincs köze a hagyományos ρ = m v sűrűséghez 2 Két különböző közeg akár azonos sűrűségű is lehet, amennyiben bennük a fázissebesség azonos. 3 Ebből következik, hogy n 2:1 = 1 n 1:2
125. óra. A hullámok törése 27. 15. Feladat. Fénynél a víz levegőre vonatkoztatott törésmutatója n víz:levegő = 1, 33 Mekkora szögben törik meg a 30 fokban érkező fénysugár? Totálreflexió: Ha a hullám egy sűrűbb közegből egy hullámtanilag ritkább közeg határához érkezik, továbbá a beesési szög elég nagy, akkor a teljes hullám visszaverődik a határfelületről. Határszög: Azt határozza meg, hogy a hullám egy hullámtanilag sűrűbb közegből egy hullámtanilag ritkább közeg határához érkezve hogyan halad tovább: megtörik, vagy teljes visszaverődés történik. 124. Házi feladat. Mekkora a határszög a vízből levegőbe haladó fénysugár esetén? 123. Szorgalmi. Készits rövid PPT-t, vagy esszét a totálreflexió alkalmazásairól!
28. 126. óra. A hullámok interferenciája 126. óra A hullámok interferenciája Szuperpozíció elve: Hullámok találkozása: Interferencia jelensége: A tartós interferencia feltétele: Konstruktív interferencia: Destruktív interferencia: 16. Feladat. Írjuk fel a maximális erősítés illetve gyengítés feltételét! 125. Házi feladat. Rajzoljuk le a víz felszínén kialakuló két forrás által keltett hullámok interferenciaképét! 124. Szorgalmi. Egy 5 Hz frekvenciájú haladó hullámok 2 m/s sebességgel folyamatosan haladnak az Y alakú gumizsinór 1 m hosszú szárain. Hány hullámhossznyi hullámvonulat figyelhető meg a szárakon?
127. óra. Az állóhullámok 29. 127. óra Az állóhullámok Az állóhullám létrejötte: Interferenciajelenség jön létre két egymással szemben haladó, azonos amplitúdójú (és azonos frekvenciájú) hullám hatására. Duzzadó hely és csomópont: Duzzadó helyeknél az amplitúdó maximális, csomópontnál a pontok nyugalomban vannak, ezek felváltva követik egymást és távolságuk állandó. 2 csomópont között a fázis azonos és a pontok egyszerre haladnak át az egyensúlyi helyzeten. Egy csomópont két oldalán a fázisok ellentétesek. Szimmetrikus eset: A mindkét végén rögzített és a mindkét végén szabad rugalmas pontsoroknál az L hosszúságú hullámtér a hullámhossz felének egész számú többszöröse: L = λ 2 k ahol k N Aszimmetrikus eset: Egyik végén rögzített és a másik végén szabad rugalmas pontsornál az L hosszúságú hullámtér a λ negyedének páratlan számú többszöröse: L = λ 4 (2k + 1) ahol k N
30. 127. óra. Az állóhullámok 17. Feladat. Egy 38 cm-es mindkét végén nyitott síp 440 Hz-es hangot bocsájt ki. a.) Ha befogjuk az egyik végét, mekkora lesz a hang frekvenciája? b.) Ha befogjuk a másik végét is, mekkora lesz a hang frekvenciája? c.) Ha kettévágjuk középen és mindkét végét nyitva hagyjuk? d.) Ha 2:3 arányban vágjuk szét és a kisebbik darab egyik végét lezárjuk? 18. Feladat. Mekkora frekvenciájú hullámforrást kelt az 1 méter hosszú kifeszített dróton 4 duzzadóhellyel rendelkező állóhullámot, ha a fázissebesség 6 m/s? 126. Házi feladat. Hasonlítsd össze a longitudinális és transzverzális állóhullámokat a következő szimuláció segítségével. Készíts rajzot az egyik olyan felharmonikushoz, mely nincs a szimulációban és határozd meg a hullámhosszát! 125. Szorgalmi. Adj kvalitatív magyarázatot a Chladni-féle porábrák mintázataira!
128. óra. A hullámok elhajlása 31. 128. óra A hullámok elhajlása Hullámelhajlás: A hullám egy réshez érve behatol az árnyéktérbe. Minél kisebb a rés (a hullámhosszhoz képest) ez annál nagyobb. Huygens-elv: Christiaan Huygens (1629 1695) szerint a hullámtér minden pontja elemi hullámok kiindulópontja és a később kialakuló hullámfront ezek burkológörbéje. 19. Feladat. Magyarázzuk meg a hullámterjedést egyenes és körhullámok esetén, illetve a visszaverődés, a hullámtörés és a hullámelhajlás jelenségét is! A hullámtér pontjai kibocsátják a kis elemi körhullámokat és ezek hozzák létre a következő hullámfrontot. A hullámtörés esetén az új közegben más a hullámhossz. A visszaverődés során pedig a felületről indulnak ki az elemi hullámok. Elhajlás esetén a rés pontjaiből indul ki a hullám. Kísérlet. Irányítsunk lézersugarat egy rácsra. Mi történik? Huygens Fresnel-elv: Augustin-Jean Fresnel francia fizikus (1788-1829) a burkoló fogalmát interferenciára cserélte, ezzel magyarázva a kétrés-kísérlet eredményét. 20. Feladat. Adott d rácsállandójú rács és egy λ hullámhosszúságú hullám jut rá. Az erősítés feltétele, hogy az úthosszkülönbsége a λ egész számú többszöröse. sin α = s d = λ n d d = n λ sin α ahol n N
32. 128. óra. A hullámok elhajlása 127. Házi feladat. Egy lézersugár 22,92 fokban hajlik el egy d = 1, 67 10 6 m rácsállandójú rácson. Milyen hullámhosszúságú a fény? 126. Szorgalmi. Írd fel a maximális kioltás helyeit egy d rácsállandójú rács, és egy λ hullámhosszúságú hullám esetén!
129. óra. Hangtan alapjai 33. 129. óra Hangtan alapjai Kísérlet. Telefon rezeg a kezünkben, majd az asztalon. különbséget? Hallunk-e A levegő részecskéi rezgésbe jönnek, nagyobb felület esetén több rezeg, így hangosabb. Kísérlet. Milyen mozgást végez a hangvilla? Egy késsel megmutathatjuk, hogy harmonikus rezgőmozgást végez. A rezgést láthatóvá tehetjük, ha a hangvillát végighúzunk kormozott üvegen, mert láthatjuk a hullámokat. Kísérlet. Pohár peremén végighúzzuk az ujjunkat. Mi történik? A pohár egésze rezgésbe jön, és egy szép hangot hallunk. Kísérlet. Fújjunk bele egy üvegbe. Mi történik? A nyomás bent megnő, a részecskék elindulnak kifelé, bent lecsökken a nyomás, ezért újra befelé mennek, végeredményben ide-oda mozognak, rezegnek, ezt halljuk hangként. Hang: Egy rugalmas közegben kialakuló mechanikai hullám (azaz a rezgésállapot tovaterjedése), mely longitudinális és az ember a fülével képes érzékelni. Hangmagasság: Magas vagy mély, fizikailag a rezgés frekvenciája. 20 Hz és 20 khz között észleljünk a hangot, alatta infrahangokról, felette ultrahangokról beszélünk.
34. 129. óra. Hangtan alapjai Hangteljesítmény és hangerősség: A hullám által szállított energia másodpercenként a hangteljesítmény, jele: P. Ha egy adott felületre meghatározzuk, kapjuk a hangerősséget, melynek jele: I. A hangerősség lehet hangos és halk. Az emberi hallásküszöb értéke egy 1000 Hz-es hangra: I 0 = 10 12 W/m 2, a fájdalomküszöb 1 W/m 2. Decibel: 10-szerese: A megadott intenzitás és a referencia hányadosának lg-jének L I = 10 log 10 ( I I 0 ) 21. Feladat. Hány decibelnek felel meg a fájdalomküszöb? 128. Házi feladat. Jancsi 100 db-el ordít és Julcsi is. Hány db-el ordítanak egyszerre? 127. Szorgalmi. Egy béka 60 db-el brekeg. 5 béka hány db-el brekeg?
130. óra. Hangtani jelenségek 35. 130. óra Hangtani jelenségek Hanglebegés: Két közel azonos frekvenciájú hanghullám találkozásakor kioltás és erősítés felváltva tapasztalható. A hangmagasság és az hangerőváltozás frekvenciája: f hang = f 1 + f 2 2 f beat = f 1 f 2 Doppler-effektus: Ha a forrás közeledik az észlelőhöz, a hullámok feltorlódnak, így magasabbnak tűnik a hang. Távolodás esetén mélyebb lesz, mert a hullámok ritkulnak. f = c + v észlelő c + v forrás f 0 Kísérlet. Mérjük meg a hang sebességét állóhullám segítségével! ( ) t m c = λ f = 4 L f Pontos érték: c = 331, 5 + 0, 6 C s Diatónikus hangsor: Bizonyos hangok együttes, vagy egymás utáni hangzása kellemes érzetet okoz, ez a konszonancia. Ellenkező esetben disszonanciáról beszélünk. Kiegyenlített hangolás: A hangok mértani sorozatot alkotnak, ahol q = 12 2. Itt a hangközök a következők: c, cisz, d, eisz, e, f, fisz, g, gisz, a, aisz, h, c. Ezek nevei: prím, kis szekund, nagy szekund, kis terc, nagy terc, kvart, szűkített kvint, kvint, kis szext, nagy szext, kis szeptim, nagy szeptim és oktáv. 129. Házi feladat. Számítsuk ki a kiegyenlített hangolás esetén az egyes hangok frekvenciáját, ha az a hang 440 Hz-es!
36. 130. óra. Hangtani jelenségek Hangköz Elnevezés Arány Frekvencia c prím 1 264 Hz d szekund 9/8 297 Hz e terc 5/4 330 Hz f kvart 4/3 352 Hz g kvint 3/2 396 Hz a szext 5/3 440 Hz h szeptim 15/8 495 Hz c oktáv 2 528 Hz 130.1. táblázat. A természetes diatónikus hangskála hangközei. 128. Szorgalmi. Rajzold le a következő hangok amplitudóját az idő függvényében: tiszta zenei hang, négyszögjel, fűrészfogjel, zörej, dörej, összetett periódikus hang.
131. óra. Hangtan a hétköznapokban 37. 131. óra Hangtan a hétköznapokban Emberi hallás: Rezgésbe jön a dobhártya, melyhez belülről kapcsolódik a kalapács. Ez további hallócsontocskáknak adja tovább a rezgést, mely a folyadékkal teli csigába jut. A Corti-féle szervben lévő szőrszálak továbbítják az agyba az ingerületet. 22. Feladat. A bronzharang 78%-a réz és 22%-a ón. Ütéskor kiad egy rövid, fémes hangot, majd megjelenik a zúzóhang, melynek részei alaphang, alsó és felső oktáv, terc és kvint. Ábrázoljuk az egyes hangok intenzitását egy olyan harangnál, melynek az alaphangja 200 Hz és a magasabb hangjai halkabbak! A hangszín-spektrum: A hangforrás által kibocsájtott hangok és felhangok magasságának intenzitásának részletes megadása. Az ember esetében a különböző felhangok Hangrobbanás: A hangsebességnél gyorsabb forrás által kibocsájtott hangok konstruktívan összeadódnak. Például szuperszonikus repülő, csattanó ostor, dörgés hangja. A hanghatás mellett a nyomásnövekedés a levegőben lévő víz kicsapódását is okozhatja. v test = c sin α 130. Házi feladat. Add meg egy harang hangszín-spektrumát, ha alaphangja 300 Hz és 100 db és a magasabbak hangok az előzőhöz képest fele akkora intenzitásúak! 129. Szorgalmi. Keress filmekben, rajzfilmekben Mach-kúpot, mérd le a szöget és számíts ki az adott test sebességét!
38. 132. óra. Feladatmegoldás 132. óra Feladatmegoldás 23. Feladat. A tengervízben 1500 m/s-mal halad a hang. Egy 30 khz-es ultrahanghullám 3 másodperc alatt ér vissza a tengerfenékről. Milyen mély a tenger? Mekkora idő alatt érne vissza a hullám, ha a hajó 36 km/h-val halad? 24. Feladat. Egy hanghullám érkezik a vízfelszínre 34 fokos beesési szögben. Mekkora szögben törik meg? 25. Feladat. János mellett 72 km/h-val elhalad egy autó, miközben végig dudál. Jánosnak abszolút hallása van és megállapította, hogy milyen hangköznek felel meg a közeledő és a távolodó autó frekvenciájának aránya. Milyen hangközt hallott János? (c hang = 340 m/s) 26. Feladat. Mekkora egy 3 méter hosszúságú inga lengésideje a Holdon? 27. Feladat. Adjuk meg a gitár A 2 húrjának kitérését az idő függvényében, ha 3 mm a maximális kitérés! Ábrázoljuk grafikonon a sebességét és a gyorsulást is! 28. Feladat. Milyen gyorsan rezeg egy 10 másodperc rezgésidejű rugó az elindításától számított 3. másodpercben, ha az egyensúlyi helyzetéből indítottuk. 29. Feladat. Egy méhecske hangja 5 méterről 15 db hangerőnek felel meg. Micimackótól 5 méterre egy 45 db-el zümmögő méhkas van. Hány méhecske van ott? 30. Feladat. Egy 9 méter hosszú rugót másodpercenként 2-szer lendítünk meg és három teljes hullám fér rá a kötélre. Mekkora a fázissebesség a rugóban?
133. óra Összefoglalás 133. óra. Összefoglalás 39.