Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1
Tartalom I. fejezet: Bevezetés...3 II. fejezet: Trazies káosz kilyukasztott, kardioid alakú biliárdasztalo...7 II.a Túlélő részecskék száma és az ütközések száma közötti összefüggés...10 II.b Túlélő részecskék és a valós idő közötti összefüggés...14 II.c Ütközésszám és valós idő közötti összefüggés...20 II.d A yílás méretéek övelése...22 III. fejezet: Matematikai megközelítés...23 III.a Létezés és egyértelműség...33 III.b Perro-Frobeius-operátor alkalmazása biliárdasztalra...42 III.c Módosított Perro-Frobeius-operátor...44 IV. fejezet: Négyzet alakú kilyukasztott biliárdasztal esete...48 IV.a Túlélő részecskék száma és az ütközések száma közötti összefüggés...49 IV.b Túlélő részecskék száma és a valós idő közötti összefüggés...54 IV.c Ütközésszám és valós idő közötti összefüggés...58 Összefoglalás...61 Irodalomjegyzék...62 2
I. fejezet Bevezetés Képzeljük el egy ideális, lyukkal em redelkező biliárdasztalt. Eze azt értem, hogy ha elidítuk egy pot-szerű golyót valahoa a falo, egységyi sebességgel, akkor az eergiaveszteség élkül fog az idő végeztéig pattogi a biliárdasztalo. Ilye feltételek mellett, ha a biliárdasztal falá elidítuk véletleszerűe, véletle iráyvektorral és egységyi sebességgel golyókat, bizoyos esetekbe eze részecskék mozgása kaotikus lesz. Hogy mikor lesz kaotikus a golyók mozgása, függ a biliárdasztal alakjától. A szakdolgozatom két esettel foglalkozik részletese: ha a biliárdasztal kardioid illetve, ha égyzet alakú, ugyais a kardioido a részecskék mozgása kaotikus lesz, ezzel szembe a égyzete em. Most hogy megva az asztaluk, mi törtéik akkor, ha valahol az asztal falát kilyukasztjuk? Természetese potosítauk kell a kérdést. Első ilye potosítása a kérdések, hogy vajo, ha kezdetbe elidítuk bizoyos számú részecskét, akkor az idő múlásával meyi úgyevezett túlélő részecske marad a biliárdasztalo, azaz meyie em hagyják el a biliárdasztalt. Fotos megjegyezi, hogy külö kell választai az időtől való függést, illetve az ütközésszámtól való függést. A fázistér A másik fotos kérdés, hogy a részecskék eloszlása a fázistére hogya fog alakuli az idő illetve az ütközésszám övelésével? Egy részecskéek a képe a fázistére a következőképpe keletkezik: Mivel a részecske pattog a biliárdasztal 3
falá, ezért va egy visszaverődési szög. Ezalatt a visszaverődési szög alatt egész potosa a biliárdasztal falá megtalálható beesési pothoz tartozó ormális vektor és a pot visszaverődése utái sebességvektor által közrezárt szöget értjük. Eek a visszaverődési szögek a sziusza lesz az ordiátája a potak a fázistérbe. A biliárdasztalt határát meg tudjuk adi egy zárt görbével, eek a görbéek va egy kiiduló potja, így a fázistérbe ábrázolt potok abszcisszája a visszaverődés helye és a kezdőpot közötti görbe-ívhossz lesz. A dolgozat későbbi fejezeteibe az. ütközés utái fázistére a túlélő részecskék utolsó helyzetét fogom ábrázoli és emellett ugyaeze részecskék kiiduló potját is, Ez az úgyevezett Birkhoff -leképezés. Megjegyzés: A Birkhoff-leképezésbe a túlélő részecskék utolsó helyzetei magas iduló potszám eseté a fázistér jól határolható területeire esek. Ugyaez elmodható a túlélő részecskék kezdő helyzetére is a fázistérbe. Már korábba megmutatták, hogy eze két esetbe a fázisábrák területei megegyezek [1]. 1.1 ábra: sematikus ábra, melye a fázistérbe megjeleő (s, si(χ)) potok ábrázolásához szükséges értékek szerepelek Az sejthető, hogy bizoyos agyo speciális helyről és szöggel idított részecskék soha em fogják elhagyi a biliárdasztalt, például az is ilye eset, amikor a kiiduló potba húzható merőlegessel megegyező iráyba idítjuk el a részecskéket, azaz a visszaverődési szög és a visszaverődés helyéhez tartozó ormális által közrezárt szög 0. Természetese ehhez az is kell, hogy a falo lévő kiiduló pottal szembe lévő 4
potba húzható ormális megegyezze a kiiduló potba húzható ormálissal. Ekkor a golyóbis oda-vissza fog pattogi a biliárdasztal falá. Az említett példa 0 valószíűséggel fog bekövetkezi. De mi a helyzet azokkal a trajektóriákkal, amik ugya elhagyják a biliárdasztalt, de csak agyo hosszú idő utá? Megjegyzés: A későbbiekbe a túlélő részecskék sokaságáak a kezdőpotjáak és a végpotjáak az elhelyezkedését fogom evezi a fázistérbe. A szakdolgozat második fejezetébe láti fogjuk, hogy a kardioid-alakú biliárdasztalo való kaotikus pattogás fázisábrája mid az idő, mid az ütközésszám múlását tekitve fraktál-szerű képet fog mutati. Ezzel szembe a 4. fejezetbe azt fogjuk tapasztali, hogy égyzet-alakú biliárdasztal eseté a fázisábrák más jellegűek leszek. Viszot midkét esetbe láti fogjuk, hogy a hosszú-életű részecskék elhelyezkedése a fázisábrá egyarát mutat émi szabályszerűséget. Az eddig tárgyalt biliárdasztal eseté már a kezdetekbe megmodtuk, hogy a pattogó részecskék pot-szerűek, emiatt két pattogás között a a részecskék em fogak kölcsöhati egymással. Most ézzük egy látszólag más jeleséget. Előkészítő jeleség Képzeljük el egy tárolót, ami ideális gázzal va megtöltve és ézzük meg, hogya ürül ki ez a tároló, ha valahol kilyukasztjuk a falá egy I lyukkal, ami korog alakú. Legye eek az I lyukak a területe: ΔA, legye a f(u,t) a részecskékek a sűrűsége a fázistére, N(t) legye a részecskék száma a tárolóba a kilyukasztástól számított t időpotba, legye V a tároló térfogata és u a részecskék sebességvektora. Az f(u,t) eloszlás azért jö létre, mert a részecskék egymással álladóa ütközek, a részecske u sebessége ezért véletleszerű. Ekkor f-re feáll, hogy: f (u,t ) d 3 u= N (t ). V Az u sebességgel távozó részecskékek a száma dt idő alatt: 5
3 dn =dtδa uf ( u,t ) d u, ahol jelöli a yílás felületéek ormálisát. Ezek alapjá a dt idő alatt elhagyó részecskék száma. dn (t ) 3 = ΔA u f (u, t) d u. dt A jobb oldalo szereplő egatív előjel éppe amiatt kell, mert a részecskék számáak a megváltozása a yíláso való távozásból adódik. Mivel egy ideális gázzal megtöltött tárolót vizsgáluk, a részecskék, mit említettük a fallal való ütközése túl egymással is kölcsöhatásba kerülek. Ez molekuláris káoszt fog eredméyezi, ami ahhoz vezet, hogy a részecske sebességvektoráak az iráya egyeletes eloszlású lesz. Ekkor a fázistérbeli f(u,t) sűrűség csak a sebesség agyságától (ν) és az időtől (t) függ. Térjük át polár koordiátákra. Jelölje θ a sebességvektor és a ormális által közrezárt szöget, így u= ν cos (θ). Az előző egyeletet átírva kapjuk: π/2 2π dn (t) = ΔA ν f ( ν, t) ν 2 d ν cos θ si θ d θ d φ. dt 0 0 0 Ezek alapjá a következő is igaz lesz: f ( ν, t)ν 2 d ν 4 π = 0 N (t). V Ha ezt átredezzük úgy, hogy a jobb oldalo csak 1 maradjo, akkor azt tapaszaljuk, hogy a bal oldalo egy valószíűségi sűrűségfüggvéyt itegráluk, ami a ν hosszúságú sebességvektorok valószíűségi sűrűsége lesz, jelöljük ezt w(ν,t)-vel w (ν, t)= 4π f ( ν, t) ν 2 V. N (t) 6
Ezt felhaszálva és kiszámolva az itegrálokat: dn (t) Δ A N (t ) = ν w (ν,t )dν dt π. dt 4π V 0 Jól látható, hogy az itegrál mögötti rész egy várható érték, egész potosa a sebességi modulus várható értéke, tehát amit kapuk: dn (t ) Δ A ν N (t ) =. dt 4V Eek a differeciálegyeletek lehetséges megoldása: N (t )=N (0) e κ t addig, ameddig <ν> időbe kostasak tekithető. Itt κ az úgyevezett szökési ráta, ami a kokrét esetbe κ= Δ A ν. 4V A dolgozat felépítése A biliárdasztalo való pot-szerű részecskék pattogása és az ideális gáz esete látszólag külöbözik, mégis, amit azt a következő fejezetbe láti fogjuk, ha a biliárdasztalukat kardioid-alakúak választjuk, akkor a részecskék mozgása kaotikus lesz, és abba az esetbe ha valahol kilyukasztjuk az asztal falát, akkor az asztalo maradó részecskék száma expoeciálisa fog csökkei. Eze kívül umerikusa megfogjuk határozi a szökési rátát. További kérdés lehet az, hogy midezt hogya tudjuk matematikai formába ötei? Erre részletese a III. fejezetbe fogok kitéri, amikor megismerkedük éháy új fogalommal és a Perro-Frobeius-operátorral. Piaigiai és Yorke mukája yomá [2] láti fogjuk, hogy eek az operátorak milye feltételek mellett lesz fixpotja, és ez mikor egyértelmű. Megmutatjuk, hogy ez az elmélet hogya alkalmazható a 7
kilyukasztott kaotikus-biliárdokra. Végül a fejezet végé láti fogjuk, hogy a fixpotok létezésére voatkozó tétel a feltételek megváltoztatása mellett is igaz lesz. Eek a módosításak a szükségességét az veti fel, hogy a mikrolézerek kutatása sorá gyakra haszálak körtől eltérő peremű kis üveg-biliárdokat. A féysugár ezekbe midaddig visszapatta, ameddig a beesési szög az úgyevezett határszögél agyobb. Ellekező esetbe azoba a féyyaláb megtörés utá kilép és csak a másik része verődik vissza. Ebbe a szögtartomáyba tehát a biliárd lyukas, de a lyukba eső részecskékek csak egy háyada lép ki a redszerből. Ezt a tulajdoságot az R reflexiós együttható bevezetésével vesszük figyelembe [3]. 0<R( x ) 1 aak a valószíűsége, hogy a biliárd a fázistérbe x=(s,si(χ)) koordiátájú pot továbbra is a biliárd belsejébe marad. A teljes lyukhatás az R(x)=0 esetek felel meg a fázistér egy tartomáyába. A szakdolgozatak az egyik fotos, saját eredméye, hogy általáosítja a Piaigiai-Yorke megközelítést reflexiós együtthatóval jellemzett esetekre is és kimutatja, hogy a lecsegés itt is expoeciális, ameyibe a diamika kaotikus. A másik saját eredméy a IV. fejezetbe részletese taglalt vizsgálatok elvégzése utá kaptam, amikor egy olya kilyukasztott biliárdasztalo ismételtem meg a II. fejezetbe fellelhető vizsgálatokat, amikor a részecskék viselkedése em lesz kaotikus. A lecsegés ekkor hatváyfüggvéy típusú. 8
II. fejezet Trazies káosz kilyukasztott, kardioid alakú biliárdasztalo Ábra 2.1: kardioid alakú biliárdasztalo való pattogás és képe a fázistére Az első vizsgált eset az úgyevezett kardioid alakú biliárd asztal esete. Képzeljük el egy kardioidot amiek a falá véletleszerűe szétszóruk potokat. Ezutá ezeket a potokat egységyi sebességgel elidítjuk egy véletle χ iráyba ([-π/2,π/2]- egyeletes eloszlással). Ekkor ezekek a részecskékek a mozgása szabálytala lesz, amit azt a 2.1 ábra sugallja. A vizsgálat megkezdése előtt defiiáljuk a kardioidot: D2.1 Defiíció: A kardioid olya síkgörbe, amit egy rögzített körö kívül csúszás élkül legördülő, vele azoos sugarú kör egy rögzített potja ír le. Egyelete derékszögű koordiátákba: ( x 2 + y 2)2 2 a x (x 2+ y 2)=a 2 y 2. 9
Paraméterese: x=a cos t(1+cos t), ahol t [ π, π ] y=a si t(1+cos t ) Megjegyzés: A kardioid-alakú biliárdasztalo való pattogás eseté a fázistér ordiátája a visszaverődési szög sziusza lesz, azaz a 2.1 ábra jelölése szerit si(χ). A D2.1 defiíció szeriti paraméterezés mellett a kardioid szimmetrikus az x-tegelyre. Emiatt va értelme az előjeles görbeívhosszak. Mivel a kardioid görbéjéek az x-tegelytől felfelé illetve lefelé eső görbeívhossza egyarát 4 egység, ezért a fázistér abszcisszája a becsapódási pot és a (0; 2) (itt s=0) koordiátájú pot közötti előjeles kardioidgörbeívhossz, leosztva 4-gyel. Midezt azért tesszük, hogy a fázistér égyzet-alakú legye. A feladat megoldásakor az a paramétert midig 1-ek választottam. A vizsgálat elkezdése előtti első feladatom az volt, hogy Matlab segítségével írjak egy olya függvéyt, ami a kardioido belüli mozgást követi, azaz bemeetek kér egy kiidulási potot a kardioid görbéjé (s), illetve egy [-π/2,π/2] közötti χ szöget (kiiduló pothoz húzható ormális és a sebesség iráya által közrezárt szög), kimeetkét pedig a visszapattaás helyét és a visszapattaás helyéhez húzható éritőre merőlegessel közrezárt szöget. Eredeti tervem az volt, hogy a kiidulási poto átmeő és az iráyszöggel megegyező iráyszögű egyeessel metszem el a kardioidot. Viszot ezzel sajos em várt akadályokba ütköztem, ugyais ha ki szeretém számoli a metszéspotokat, akkor egy emlieáris egyeletredszert kell megoldaom, amit a Matlab túlságosa potatlaul számolt ki, így más eszközökhöz kellett yúlom. Az új módszer léyege, hogy agyo apró lépésekét haladok a kiiduló potból a kiiduló iráyszöggel megegyező iráyba egésze addig, ameddig el em hagyom a kardioidot, ezutá visszalépek egyet és megézem, hogy a kardioid falá melyik pot va ehhez a pothoz a legközelebb. A visszaverődési szög meghatározása émiképpe köyebb feladat volt. Szükségük va a kardioid egy adott potjába húzható éritő meredekségére, ami: dy cos t+cos 2 t =. dx si t+si 2 t 10
Ebből egyszerű forgatással megkaphatjuk az éritő iráyszögére merőleges szöget, amiből a már korábba meghatározott iráyszög segítségével megkaphatjuk az outputba szereplő visszaverődési szöget. Most már kilyukaszthatjuk a kardioidukat. A kilyukasztott kardioid esete Ábra 2.2: I yílással kilyukasztott kardioid alakú biliárdasztalo való pattogás és képe a fázistére, ahol a yílás mérete 0.2182 ívhosszegység, yílás elhelyezkedése a fázistér abszcisszájá s [ 1 ; 0.9727] és s [0.9727 ;1]. Mivel ha egy pot belekerül az I yílásba akkor elhagyja a biliárdot, az hogy milye szöggel teszi az em számít, ezért a yílás elhelyezkedése a fázistérbe em függ si(χ)-tól. A 2.2 ábrá jól látható a vizsgált kilyukasztott kardioid. A vizsgálatok megkezdése előtt beem felmerülő első kérdés az volt, hogy hol legye a lyukak a helye? É egy elég speciális helyet választottam, mégpedig az origó külöböző méretű köryezetét. Ez a választás azért tűik ígéretesek, mert amit azt később láti fogjuk, miél agyobbra választom meg az origó köryezetét, a biliárd diamikája aál jobba kezd hasolítai olya biliárd asztaléhoz, ahol a részecskékek a mozgása em kaotikus. A fejezet későbbi részeibe láti fogjuk, hogy ez agyo érdekes jeleségeket fog eredméyezi. Ezek alapjá már megkezdhetjük a vizsgálataikat. Két fő csapásvoal meté haladuk: a túlélő részecskék számáak eloszlása hogya függ az ütközések számától, illetve a valós időtől. Feltehetjük, hogy a részecskék azoos, egységyi sebességgel 11
mozogak a kardioidba, így két ütközés közötti idő megegyezik a két ütközési pot közötti távolsággal. II.a Túlélő részecskék száma és az ütközések száma közötti összefüggés Először azt vizsgáljuk meg, hogy a túlélő részecskék száma hogya függ az ütközések számától. Az ezt vizsgáló program működéséek az elve a következő: Egyeletes eloszlással szórjuk szét potokat a kardioid görbéjé, és mide pothoz redeljük egyeletes eloszlással egy véletle iráyszöget. Ezutá lyukasszuk ki a kardioidot a fetebb leírt helye. Azo potokat, akik beleesek ebbe a lyukba, töröljük ki. Majd a következő lépésbe mide megmaradó poto hajtsuk végre a pattogást jelető leképezést egésze addig, ameddig bele em megy a lyukba vagy el em ér egy megadott pattogásszámot. A 2.3 ábrá az abszcissza mutatja az ütközések számát, az ordiáta pedig a túlélő részecskék N() számáak a természetes alapú logaritmusát külöböző méretű yílások eseté. A yílás mérete 0.4425 és 1.4142 ívhosszegység között mozog. Egész potosa a yílás helyei paraméterese t [ π /10, π /10]; [ π /6, π /6] ;[ π / 4, π /4 ];[ π /3, π /3], az megadva: ezekhez tartozó yílásméretek: 0.4425; 0.7321; 1.0824; 1.4142 melyeket az 2.4 ábrá redre sárga, fekete, zöld, piros szíű görbék jelölik. Azt láthatjuk a 2.3-as ábrá, hogy miél agyobbra választjuk a yílás méretét, aál kevésbé lesz expoeciális eloszlású a részecskék mozgása. Mide olya görbére, melyekre szemmel láthatóa lehetett, egyees szakaszokat illesztettem (melyet kék szíel jelöltem az ábrá). Ezek meredeksége a szökési rátáak tapasztalati úto yert értéke lesz, melyek értéke a két kisebb yílásméretek eseté redre: κ=0.0054; 0.0149. Ha ezekek a számokak a reciprokát vesszük, akkor megkapjuk, hogy várhatóa meyi pattogást fog végezi egy részecske, ameddig el em hagyja a biliárdasztalt. A vizsgált esetekbe az eredméy: redre 185 illetve 67 ütközés. Megjegyzés: A κ szökési rátát az N () e κ összefüggésből olvashatjuk le. 12
2.3 ábra: ütközésszám és túlélő részecskék számáak természete logaritmusa, iduló részecskeszám 10000, yílás mérete: 0.4425; 0.7321; 1.0824; 1.4142 egység, melyeket redre sárga, fekete, zöld és piros szíekkel jelölük (illesztett ábra lesz ehelyett) Fázisábák A 2.4 ábra fekete szíű ábrái láthatóak a túlélő részecskékek az adott lépésszám utá elért helyzete, ezzel szembe a piros szíű ábráko a túlélő részecskék kiiduló helyzetei láthatók. 2.4 a, b, c, d ábrák eseté egyarát az iduló részecskeszám 100000 volt. A fázisábrá jól látható a részecskék fraktál-szerű elredeződése. (Az ábra em tökéletes, ami abból adódik, hogy jobb felbotás eléréséhez sokkal gyorsabb számítógépre lett vola szükségem.) 13
2.4.a ábra: fázisábra 1 iteráció utá 2.4.b ábra: fázisábra 5 iteráció utá 14
2.4.c ábra: fázisábra 10 iteráció utá 2.4.d ábra: fázisábra 20 iteráció utá Az a,b,c,d ábrák eseté az iduló részecskeszám egyarát: 100000; a yílás mérete: 1.0824 15
II.b Túlélő részecskék és a valós idő közötti összefüggés Ebbe az alfejezetbe a valós időtől való függést vizsgáljuk. Változtatuk kell émiképpe a programuko. Most ugyais egy részecskét addig mozgatuk, ameddig el em hagyja a kardioidot, vagy addig, ameddig a biliárdasztalo mozgással eltöltött ideje meg em halad egy, a programba iputkét megadott felső időkorlátot. Túlélő részecskék N(t) eloszlása a vártak megfelelőe expoeciális lesz, amely a 2.5 ábrá jól meg is figyelhető. Eze az ábrá a vizsgált kardioidok yílás-mérete és elhelyezkedése azoos a 2.3 ábrá látható esetekkel. Eek megfelelőe a szíhaszálat is azoos. Eltérés csupá ayi, hogy a 2.3 ábra x-tegelye a valós időt jelöli. 2.5 ábra: valós idő és a túlélő részecskék számáak természetes logaritmusa; iduló részecskeszám 10000; a yílás mérete: 0.4425; 0.7321; 1.0824; 1.4142 egység, melyeket redre sárga, fekete, zöld és piros szíekkel jelölük Ez az ábra meglepetés volt a számomra, ugyais ha a lyukat agyra választom, akkor agyo sokáig em lesz expoeciális a túlélő részecskékek az eloszlása, viszot így is sokkal egyeesebbek az eloszlásgörbék, mit a diszkrét esetbe 16
A em-expoecialitás oka a lyuk helyzetéek megválasztásába keresedő. Ugyais miél agyobbra választom meg a lyukat az origó körül, aál jobba kezd kardioid-alakú biliárd asztaluk egy olya lyukas objektumra hasolítai, amibe a részecskék pattogása em kaotikus. Ebbe az esetbe is kék szíel illesztettem egyeest a szemmel egyeesek tűő részekre, és az itt kapott meredekségek yílásméret szerit övekvő sorredbe: 0.0036; 0.0092; 0.0150. Ebbe az esetbe is, ha ezekek a becsült szökési rátákak vesszük a reciprokait, akkor megkaphatjuk, hogy adott yílás méret mellett várhatóa meyi időt tölt egy részecske a biliárdasztalo. Így a vizsgálat sorá kapott értékek eseté a részecskék várhatóa redre: 277.8; 108.7; 66.7 időegységet fogak eltöltei a biliárdasztalo. Fázisábrák Ugyaúgy, mit a diszkrét esetbe, folytoos esetbe is tudjuk ábrázoli a túlélő részecskék helyzetét a fázistére. Ebbe az esetbe is egy részecske mozgása akkor áll meg, ha elhagyja a biliárdasztalt, de mivel adtuk a részecskékek egy felső időkorlátot, így ha em hagyja el a részecske a biliárdot, akkor is megáll, ha eléri a megadott felső időkorlátot. A fekete szíel plottolt ábrák jelölik a részecskékek a helyzetét valamilye adott t idő elteltével. Az összehasolítás miatt ugyaazo yílásméret mellett vizsgálom a fázisábrát, mit a diszkrét esetbe, azaz 1.084 egység mellett. Eze vizsgálatok eredméyei a 2.6 ábrá láthatók, amik a struktúrájukat tekitve hasoló képet mutatak a 2.4 ábra képével. Viszot em leszek azoos sűrűségűek, ami aak tudható be, hogy a hosszú-életű részecskékek két ütközés között megtett útjáak az átlaga em lesz 1. Erre a kérdésre részletesebbe ki fogok téri a II.3 potba, amikor az ütközésszám, illetve a valós idő közötti összefüggés lesz terítéke. További észrevétel, hogy a diszkrét esettel elletétbe a 2.6 ábrá látható fázisábráko lévő kiszíezett területek kezdetbe em azoos méretűek. Ezzel szembe, amit azt már a bevezetésbe is említettem, a diszkrét esetbe a túlélő részecskék kiidulásáak illetve végállomásáak a helyei a fázisábrá területei megegyezek (Birkhoff -leképezés területtartó). 17
2.6.a ábra:1 időegység utái fázisábra 2.6.b ábra: 5 időegység utái fázisábra 18
2.6.c ábra: 10 időegység utái fázisábra 2.6.d ábra: 20 időegység utái fázisábra Az a,b,c,d ábrák eseté az iduló részecskeszám egyarát: 100000; a yílás mérete: 1.0824 19
II.c Ütközésszám és valós idő közötti összefüggés Ha megpróbálák ábrázoli a túlélő részecskék számáak valós idő, illetve ütközésszám szeriti eloszlását egy skálá, akkor bajba leék. A probléma az, hogy ha például azt ézzük meg, hogy háy darab olya pot va, mely túlél három ütközést, illetve hogy háy darab olya pot va, ami túlél három időegységet, akkor em foguk azoos értéket kapi. Így ahhoz, hogy egyszerre tudjuk ábrázoli, traszformáluk kell az ütközésszám szerit ábrázolt görbét úgy, hogy ábrázolásál az ütközés számot meg kell szorozi a hosszú életű részecskék két ütközés között megtett átlagos hosszával (idejével). Eek a vizsgálatak az eredméyei a szokásos yílásméretek mellett a 2.8 ábrá láthatóak. Piros szíű görbék jelölik a valós idő szeriti eloszlást, a fekete pedig a traszformált ütközés szeriti eloszlás. Eze ábrák alapjá jól látható, hogy em midegy, hogy valós idő szerit vagy ütközésszám szerit vizsgálóduk. Az ábrák tetejé látható érték a hosszú-életű részecskékek két ütközés között eltelt átlagos ideje, amit úgy számolok, hogy elidítom a biliárdasztal falá a golyókat és egésze addig pattogtatom őket, ameddig el em érek egy rögzített pattogásszámot vagy el em hagyják a biliárdasztalt. A program, ami elvégzi ezt a pattogást, rögzíti a golyóbisok által megtett utat, ami az egységsebesség miatt meg fog egyezi az idővel. Ha összeadjuk az összes túlélő részecskéek a megtett útját, majd leosztjuk azokak a számával és a pattogás számmal, akkor megkapjuk a keresett értéket. Az ugrások számával eek az értéke változi fog. A 2.1 táblázato látható, hogy külöböző yílásméret és külöböző iterációszám eseté hogya fog változik. 2.1 táblázat: \I 0.4425 0.7321 1.0824 1.4142 50 1.4217 1.1063 0.5464 0.3615 150 1.0203 0.5772 0.3821 0.3587 250 0.7997 0.4959 0.3915 0.3500 350 0.6988 0.4809 0.3904 0.3972 450 0.6438 0.4730 0.3900 0.3497 t coll közelítő értékei külöböző iterációszám () és külöböző yílásméret (I) eseté 20
A 2.1 táblázatba szereplő értékek alapjá arra a következtetésre juthatuk, hogy mide yílás méret eseté a két ütközés között eltelt átlagos idő az ütközésszám övelésével kovergáli fog, ha végtelehez tartuk az ütközések számával. A traszformált ütközés szeriti eloszlást úgy kapjuk, hogy a túlélő részecskék számát t coll függvéyébe ábrázoljuk. A két eloszlás eltérése jól mutatja, hogy a folytoos idejű és a diszkrét idejű leírás alapvetőe külöbözik. 2.8 ábra: Túlélő részecskék eloszlása a valós idő szeriti (piros) és traszformált ütközés szeriti eloszlása redre 0.4425; 0.7321; 1.0824; 1.4142 kerületegységyi yílás mellett. A t coll -t 2.1 táblázat utolsó sorába szereplő értékekkel közelítettük. Végül azt vizsgáltam meg, hogy a fázisábrá milye lesz a hosszú-életű részecskékek a sűrűsége. A 2.9 ábrá látható ez az sűrűség. A fekete szíel jelölt potok úgy készültek, hogy felosztottam a fázisteret 0.01x0.01-es égyzetrácsra és megszámoltam, hogy 150 pattogás utá háy darab pot esik egy égyzetrácsba, majd ezeket az utolsó időpotba mért túlélő részecskék számával ormálom. A piros szíel szíezett potok jelölik a 150 valós időegységig mozgó potok sűrűségét a fázistérbe. A 2.10 ábrá jól látható, hogy a hosszú életű részecskék a két külöböző 21
szempot szerit vizsgált esetbe a fázisábrá közel azoos helye találhatóak, a sűrűségük viszot em azoos. 2.9 ábra: hosszú-életű részecskék sűrűsége a fázistére. A pirossal jelölt potok 150 időegységet túlélő részecskék, fekete szíel a 150 pattogást túlélő részecskék, iduló részecskeszám: 30000, a yílás mérete: 1.0824 2.10 ábra:hosszú-életű részecskék elhelyezkedése a fázistére. Ez az ábra a valódi elhelyezkedésüket jelöli a fázistérbe a részecskékek, itt ics égyzetes felosztás. Iduló részecskeszám 30000; a yílás mérete: 1.0824 22
II.d A yílás méretéek övelése Amikor a túlélő részecskék számáak eloszlását vizsgáltuk, azt tapasztaltuk, hogy a yílás méretéek övelésével a túlélők számáak eloszlása egyre kevésbé mutatott expoeciális jelleget. Ezért érdekes lee láti, hogy a fázisábrák hogya is fogak kiézi agyo agy yílás-méret eseté. Válasszuk tehát a yílás méretét külööse agyra: 2.3431 ívhosszegység méretűre. Látható, hogy már 5 ütközés eseté már em ayira kivehető a fraktál-szerű mitázat (2.11.b ábra), 20 ütközés eseté már csak agyo kevés potról beszélhetük. A kiszökési diamika tehát emcsak gyorsabb, haem más jellegű is, mit a kaotikus esetekbe. 2.11.a ábra: fázisábra 1 iteráció utá 23
2.11.b ábra: fázisábra 5 iteráció utá 2.11.c ábra:fázisábra 10 iteráció utá Az a,b,c ábrák eseté az iduló részecskeszám egyarát: 100000; a yílás mérete: 2.3431 24
III. fejezet Matematikai megközelítés Ebbe a fejezetbe bevezetük egy operátort, amiek a segítségével fogjuk vizsgáli az úgyevezett feltételese ivariás (Coditioaly ivariat) eloszlásokat felhaszálva a Piaigiai Yorke Expadig maps o sets which are almost ivariat: decay ad chaos [2] című cikket. A feltételese ivariás eloszlások agyo haszos eszközek fogak bizoyuli a későbbiekbe, ugyais eek a segítségével matematikai úto is be tudjuk láti, hogy kaotikus-biliárdba a túlélő részecskék számáak eloszlása expoeciális, eze kívül meg tudjuk határozi a hosszú-életű részecskékek a fázistére való eloszlását. Mielőtt ezt megteék, szükségük lesz fixpot tételekre. Ugyais eek a feltételese ivariás eloszlásak a sűrűségfüggvéyét, mit egy fixfüggvéyekét fogjuk megkapi a bevezetett operátorak. T3.1 Tétel (Schauder-féle fixpot tétel): Legye C zárt, kovex és em üres részhalmaza az X Baach-térek. Legye f :C C folytoos operátor úgy, hogy f(c) prekompakt X-e (Egy X ormált tér U részhalmaza prekompakt, ha lezártja kompakt X-e). Ekkor létezik az f operátorak legalább egy fixpotja C-. Eek a tételek a bebizoyításához szükségük lesz egy másik fixpot tételre az úgyevezett Brouwer-féle fixpot tételre, melyek a bizoyítása meghaladja eek a szakdolgozatak a kereteit, viszot a Schauder-féle fixpot tétel bizoyításához élkülözhetetle eszközük lesz. Az f fixpotjá azt a x C potot értjük, melyre f ( x )= x. T3.2 Tétel (Brouwer-féle fixpot tétel): Legye S em üres kompakt, kovex 25
részhalmaza egy véges dimeziós Euklideszi térek, ekkor mide f folytoos függvéyre, melyre f : S S, létezik az f-ek fixpotja. ([3], Theorem 2.6) Megjegyzés: Eek a fixpot-tételek speciális és szemléletes esete, hogy mide f folytoos függvéyre, amely egy zárt véges dimeziós gömbből képez ömagába lesz legalább egy fixpotja. A Schauder-féle fixpot tétel bizoyítása előtt szükségük va a következő defiícióra illetve állításra: D3.1 Defiíció (kovex burok): {x 1... x }:=F X, ahol X Baach-tér, ekkor F kovex burka: { co ( F ):= i =1 } t i x i : t i=1, t i 0. i=1 Megjegyzés: Látható, hogy co(f) kompakt, hisze korlátos és zárt. Kovex burok azért fotos fogalom, mert így éháy pot segítségével tuduk defiiáli egy kovex halmazt. A3.1 Állítás: X Baach tér, legye K X kompakt, legye ε >0, ekkor létezik F X véges halmaz és P : K co( F ) leképzés úgy, hogy tetszőleges x K eseté d ( x, P (x ))= x P( x) <ε Megjegyzés: Ez az állítás léyegébe ayit mod, hogy tetszőleges Baach-tér beli K kovex halmazhoz találhatuk véges számú potot, melyek kovex-burka kellőe közelíti K-t Bizoyítás: Ha K kompakt, akkor létezik F véges ε-háló K-ra, azaz F ={x 1,..., x } X, melyre {B(x i, ε )} K, ahol B( x i, ε) az x i középi=1 potú, ε sugarú yílt gömböt jelöli, azaz {B( x i, ε )} yílt fedése K-ak. i=1 Defiiáljuk a következő függvéyt: 26
φi ( x)= { } ε d (x, x i) ha x B (x i, ε). 0 ha x B (x i, ε) Eze függvéyek jól láthatóa K yílt fedésébe szereplő ε-sugarú gömbök segítségével vaak defiiálva, mégpedig abba az esetbe, ha x beleesik egy adott gömbbe, akkor a függvéy értéke ε és az x-ek a középpottól való távolságáak a külöbsége, egyébkét 0. Az látható, hogy ha x K, akkor mide i-re φi ( x) folytoos és φi ( x)>0. i=1 D.3.2 Defiíció (Schauder-projekció): x K -ra legye φ( x)= φi ( x ). Ekkor i =1 φ : K ℝ +, így bevezethetjük a Schauder-projekció-t: φi ( x) x i P (x ):= i=1 φ( x ). A bizoyítás folytatása: Tehát P : K X és folytoos és mivel φi (x) /φ(x)=1, ezért P ( x ) co(f ) i=1 továbbá d ( P( x), x)= i=1 φi (x ) φ ( x) x i x = i ( x i x) φ( x) i =1 φ( x ) φi ( x) φ ( x) x i x ε i =ε i =1 φ( x ) i =1 φ(x ) így kész vagyuk a bizoyítással. Bizoyítás (Schauder-féle fixpot tétel): Mivel f(c) prekompakt, ezért K = f (C ) kompakt, így mide ε>0-hoz létezik véges ε-háló K-ra. Legye egy ilye ε-háló: F ={x 1... x }. Mivel K kompakt, ezért korlátos, így ε övelésével egyre kevesebb yílt gömbre lesz szükségük K yílt fedéséhez, tehát függ ε-tól. Azt mutatjuk meg, hogy létezik olya x 0 C, hogy x 0 f (x 0 ) <ε. 27
Tekitsük a következő leképezést: g :=P f. A P Schauder-projekció defiíciójából jól látható, hogy g C-ből képez co(f)-be. Szorítsuk meg g-t co(f)-re. Mivel C kovex és co F C ekkor g : co F co F. Ekkor Brouwer tétele (T3.1) miatt létezik x 0 co F úgy, hogy g ( x 0)= x 0, de ekkor x 0 f ( x 0 ) = g ( x 0 ) f (x 0 ) = P( f ( x 0)) f ( x 0) <ε Az utolsó becslés azért igaz, mert P f egy C X kovex halmazból képez egy F X véges halmaz kovex burkába. tehát kielégíti az A3.1 állítás feltételeit. Eze a fixpot-tétele kívül szükségük va éháy defiícióra, mielőtt bevezeték az új operátort. D3.3 Defiíció (törött voal összefüggőség): Legye S ℝ. Azt modjuk, hogy S Arc-wise bouded azaz törött voal összefüggő ami azt jeleti, hogy létezik egy δ valós szám az S-hez úgy, hogy tetszőleges két S-beli pot összeköthető törött voallal, úgy hogy a törött voal hossza legfeljebb δ. Megjegyzés: A legkisebb ilye δ számot evezzük S átmérőjéek. A törött voal összefüggő halmazok ismerete élkülözhetetle egy új fogalom bevezetéséhez: D3.4 Defiíció (expazív leképezés): Tegyük fel, hogy az A zárt halmaz előáll, mit p A= Ai. Legyeek az Ai k törött-voal összefüggőek. Továbbá tegyük fel, i=1 hogy a T az A halmazból képez valahova. Ekkor azt modjuk, hogy a T leképzés expazív, ha az alábbi feltételek teljesülek: E1 A T (A) E2 A T ( A) em üres ( A az A határa) E3 Létezik λ>1, úgy hogy a T Jacobi mátrixa DT(x) λ-expazív mátrix, azaz 28
if { DT ( x) v : v =1} λ teljesül mide x B -re és B=A T 1 ( A). Megjegyzés: A defiícióból em következik, hogy a T leképezés ivertálható. Köyedé találhatuk olya leképezést, ami em ivertálható, mégis expazív, ekkor A kompoeseit érdemes úgy megválasztai, hogy a kompoeseke a T leképezés bijektív legye: P1 példa: Legye a 2 valósszám. Legye T :[0,1] [0, a /2] a következőképpe defiiálva: T ( x)= { ax ha x [0,1 /2] a(1 x ) ha x [1/ 2, 1] }, ez a függvéy látható a 3.1 ábrá. 3.1 ábra: P1 példába szereplő leképezés és iverze a=2.2 paraméter választás mellett Lássuk, hogy ez a leképzés miért is lesz expazív. E1 teljesül, hisze, A=[0,1], ekkor T(A)=[0,a/2], mivel a>2, ezért A T (A). E2 is igaz lesz, hisze az A határa 0 és az 1 lesz, ezeket, ha T-be írjuk egyarát 0-át kapuk, de az bee va az A határába, így késze vagyuk. E3 feltétel elleőrzése kicsit ehezebb feladat, hisze a T em ivertálható, mivel em bijekció. Igazából az a fő kérdés, hogy, hogya értelmezhetjük ilyekor B-t. A 3.1 ábrá jól látható, hogy T az A1=[0,1/2] A2 =[1/2, 1] itervallumoko ivertálható. Szorítsuk, meg a T-t ezekre az itervallumukra, majd ivertáljuk. T 1 :=T [0,1 / 2] ; T 2 :=T [1 /2,1] Jelölés mellett már tudjuk defiiáli B-t: 1 B=A (T 1 1 ( A) T 2 (A)) 29
Mivel a leképzésük egydimeziós, ezért a Jacobi-mátrix skalár értékű lesz az x helye, továbbá mivel lieáris, ezért értéke a, ha x A1 és -a, ha x A2. Probléma csak az x=1/2 helye lehet (ugyais ott a leképzés em deriválható), de az em lehet bee B-be, hisze, eleve úgy választottuk meg a-t, hogy ez az eset e fordulhasso elő. Így sikerült beláti, hogy DT(x) a-expazív mide x B, továbbá a>2 kostassal. Megjegyzés: Ha A= Ai törött-voal összefüggő, ahoa a T leképzés képez és m a Lebesgue mérték, illetve ha m(a) véges, akkor a későbbiekbe feltehetjük, hogy m(a)=1. (Egyszerűe leormálhatjuk.) Ezzel a lépéssel émiképp megköyítjük később a dolgukat. D3.5 Defiíció: Tekitsük f C ( A), az A halmazo folytoos függvéyt, legye μ egy olya mérték, amire: dμ= fdm. Megjegyzés: A D3.5 defiícióból jól látható, hogy f 0 a μ sűrűsége. Most már megva az eszköztáruk ahhoz, hogy bevezessük a Frobeius-Perro operátort D3.6 Defiíció: Vezessük be egy új operátort, melyet jelöljük P 1 -el (eze operátor segítségével fogjuk defiiáli a P Perro-Frobeius-operátort). P 1 ( f (x ))= d ( μ T 1 ). dm Megjegyzés: Ha a T leképzés iverze egyértelmű, akkor, alkalmazva a lácszabályt és dμ helyére fdm-et írva adódik: P 1 f = f T 1 det DT 1. Ebből az alakból az is látszik, hogy P 1 ( f ) dm=dμ1 léyegébe egy helyettesítéses itegrál, azaz ha f a tér sűrűségfüggvéye, akkor P 1 ( f ) a tér potjaiak T iverz szeriti traszformálás utái sűrűség, Aak érdekébe, hogy P 1 ( f ) sűrűség lehesse kell, hogy ormáljuk, és így kapjuk a következő defiíciót: 30
P 1 ( f ) 1>0 D3.7 Defiíció (Perro-Frobeius-operátor): Ha, akkor legye a P következőképpe defiiálva: P ( f ( x ))=. 1 az ahol L 1 P 1 ( f ( x)), P 1 ( f ) 1 orma, azaz a P 1 ( f ) itegrálja a dm szerit az A-: P 1 ( f ) 1= A P 1 ( f )dm= A d ( μ T ). A 1 helyettesítés utá: P 1 ( f ) 1= T lácszabályt alkalmazva és 1 1 ( A) dμ= μ(t ( A)). A3.2 Állítás: A fetiek alapjá a P Perro-Frobeius operátor-ra az alábbiak teljesülek: i, Ha f az A- sehol se egatív, akkor P(f) se lesz az, ii, P ( f ) dm=1, A iii, P(f)=f potosa akkor, ha dμ=fdm feltételese ivariás, azaz, ha μ (T 1 ( E ))=aμ( E) mide E Borel halmazra és α= μ(t 1( A)) Bizoyítás: Az i pot triviálisa igaz. Az ii pot akkor lesz igaz, ha feltesszük, hogy az A halmaz Lebesgue mértéke 1. Az iii pot azért lesz igaz, mert, ha P(f)-et itegráljuk az m Lebesque-mérték szerit, akkor a következő adódik: P ( f )dm= d (μ T 1 ). α Megszorozva midkét oldalt α-val és felhaszálva, hogy P(f)=f, azt kapjuk, hogy α fdm=d ( μ T 1). Mivel fdm=dμ, így mide E Borel-halmazo: αμ (E )= μ(t 1 ( E )) Megjegyzés: A feltételes ivariacia jeletése szemléletese a yitott biliárd esetéél megmaradva, hogy a túlélő részecskék eloszlása a fázistére em változik, ha folyamatosa töltjük vissza a részecskéket megfelelő tempóba, ezért jeleik meg az α szorzó: μ ( E )= μ(t 1 (E ))/α. A kompezáció élkül μ 1 ( E) éppe 1 μ 1 (T (E )) ek e κ szorosa lee, az expoeciális lecsegés miatt szükségszerűe 31
e κ =α Megjegyzés: Mivel P ( f )=P 1 ( f )/α, ezért, ha f fixpotja a P operátorak, akkor αf =P 1 ( f ). Tehát α sajátértéke és f saját függvéye lesz a P 1 operátorak. Ezt az α-t az előző megjegyzés alapjá fel tudjuk íri más alakba: α=e κ, ahol κ a szökési ráta. Megjegyzés: f em lesz egyértelmű, ugyais dμ több f eseté is lehet feltételese ivariás. Megjegyzés: Legye x A egy pot, T 1 (x ) viszot egy véges pot halmaz, ami em biztos, hogy egyértelmű, amit az a példá jól látható is volt (ahol két elemű). Ha y T 1 ( x), akkor a DT(y) Jacobi-mátrix em sziguláris, emiatt létezik az yak olya U köryezete és olya lokális iverz függvéyei T 1 i :U A, hogy az U T T 1 i =id, 1 1 T ( y ) T i ( A) maga utá voja, hogy eze T i lokális iverz függvéyekre feáll, hogy T 1 i T ( y)= y. Midezek miatt U- P-re va explicit formulák: 1 det DT 1 i ( x ) f T i ( x ) Pf ( x)= i T 1 fdm 1 =e κ det DT 1 ( x). i ( x) f T i (A) Látszik, hogy A azo halmazai, ahol a T-ek egyértelmű iverze va diszjuktak leszek. Ugyaakkor véges sok ilye halmaz va. Érdemes ezeket tekitei az A halmaz Ai kompoeseiek. A későbbiekbe a kompoeseke midig ezeket a halmazokat értjük. Megjegyzés: Térjük vissza a D3.4 defiícióhoz tartozó megjegyzésbe haszált P1 példához. Amit arról már volt korábba szó, T 1 ( A) két elemű, ahol az egyik az U 1=( 0,1 /a), a másik az U 2=(1 1/a,1) itervallum. Ezeke az itervallumoko egyértelműe létezik iverz, és éppe ezek leszek a lokális iverzek x x 1 1 (lásd 3.1 ábra): T 1 ( x )=, ha x U 1 és T 2 (x )=1, ha x U 2. a a 32
Az Ai kompoesei a [0,1/2]; [1/2, 1]. Ezek alapjá most már megtudjuk adi a Perro-Frobeius-operátort erre a speciális T leképzésre. Ehhez szükségük lesz a determiásokra. Mivel ebbe az esetbe a T leképezésük egydimeziós, ezért: det Dφ i (x ) =1/a i=1,2-re egyarát. Ezekből adódik a következő: Pf ( x)= f ( x / a)+ f (1 x /a) a fdm 1 T ( A) 1 /a Ahol T 1 ( A) 1 f dm= f dm+ 0 f dm=α=e κ. 1 1/ a Megjegyzés: Mire is jó valójába a Perro-Frobeius-operátor? Ez azt is megmutatja, hogy az idő múlásával, a fázistér sűrűsége hogya változik. Tegyük fel, hogy az f a T leképzés -szeri alkalmazása utá a fázistér sűrűsége. Ekkor a Perro-Frobeius operátor: f +1=P ( f ), ami átírható a következő alakba: f +1 ( y )=P ( f ( y ))=e κ f (x ). ( y) det DT ( x) x T 1 Visszatérve arra a godolatra, hogy eze operátor hogya alkalmazható a kaotikus biliárdokra, arra jutuk, hogy ha a részecskék biliárdasztalo való pattogására úgy tekitük mit egy leképzésre, azo részecskék halmazáak eloszlásáak a sűrűségfüggvéye a fázistére, akik soha em hagyják el a biliárdasztalt, fixpotjai leszek a Perro-Frobeius operátorak. Eze godolatmeet kifejtésére a fejezet legvégé fogok sort kerítei. III.a Létezés és egyértelműség Mielőtt kimodaák egy tételt a feltételese ivariás mérték létezéséről, előtte szükségük va egy apró lemmára, melyet felhaszáluk a későbbiekbe tételek bizoyításához. 33
L3.1 Lemma: Tetszőleges a i vektorokra és bi valós számokra, i=1,2,...,q igaz az alábbi összefüggés: Bizoyítás: Először a i max a i. b i i bi a i bee megmutatjuk, hogy bi burkába, azaz létezek olya h i együtthatók, hogy va { ai a,..., q bi bq a hi bi = i átredezve a ( hi bi ) b i = a i, így h i -t i va ai bi az { ai a,..., q bi bq } bi bi ai bi } kovex, ekkor -ek választva valóba bee kovex burkába, így az egyelőtleség ebből már yilvávalóa következik. T3.3 Tétel: Legye T: A ℝ leképezés expazív ekkor létezik P-ek fixpotja, azaz olya f, melyre Pf=f. Ekkor tehát va olya μ mérték, melyre: i, μ feltételese ivariás T leképezésre ézve, ii, μ abszolút folytoos az m Lebesgue mérték-re ézve, iii, μ(a)=1, Megjegyzés: Az A3.2 állítás azt garatálja, hogy ha va egy expazív leképezésre ézve ivariás mérték, akkor aak a sűrűségfüggvéye előáll, mit a PerroFrobeius operátor fixpotja. Bizoyítás: A tétel bizoyításáak elkezdése előtt szükségük va egy új fogalomra, és eze új fogalom segítségével defiiált halmazra. D3.8 Defiíció (regularitás): Legye a regularitása mide C(A)-beli Lipschitzes f függvéyek a következőképpe defiiálva: 34
Reg ( f )=sup { } f ' ( x) : x A és f ' ( x) értelmezve va és fdm=1, f ( x) A ahol f'' az f gradiesét jelöli Megjegyzés: Látható, hogy a defiíció az A halmazo ormált függvéyekre va értelmezve. Ez természetese általáosítható tetszőleges L1 -beli függvéyre. A regularitásra tekithetük úgy, mit egy C ( A) A fukcioálra, ami megmodja, hogy f ' ( x) f (x ) értéke az olya x A potok közül, ahol f '(x)-ek értelme va, hol a legagyobb. D3.9 Defiíció: { } H = C ( A): f 0, f Lipschitzes, Reg ( f )< és A fdm=1. Azaz a H halmaz legye az A- emegatív folytoos, Lipschitzes véges regularitású és A- egységyi Lebesgue mértékű. sup Reg P ( f ) ρ mide f H -ra, ahol ρ f-től Amit be szereték láti: lim függetle kostas. Erre azért lesz szükségük, mert ρ segítségével defiiáli tudjuk az olya függvéyek halmazát, amelyek bee vaak H-ba, és ρ-val felülről becsülhető regularitásúak. Ahhoz, hogy megbecsüljük J i (x )= det Dφ i ( x ) és Reg(P(f))-et, vezessük 1 DT 1 i (x ) =sup DT i ( x), v v =1 be a következőket:, ezutá felhaszálva az L3.1 lemmát: 1 1 1 1 ( Pf ) ' i [ J i f T i ]' i J ' i f T i i J i ( DT i )( f ' T i ) = + Pf i J i f T 1 i J i f T 1i i J i f T 1 i i 1 J ' i 1 f ' T i max +max D T i. Ji i i f T 1 i A D3.4 defiíció E3 potjából kapjuk, hogy parciális deriváltjai korlátosak a 1 DT 1 i ( x ) 1 λ továbbá, mivel a T B=( A T 1 A) -, ezért DT(x) is korlátos B-, így 1 is korlátos. Továbbá létezik det DT 1 i (T ( x ))=(det DT ( x )) 35 M < úgy, hogy
sup J ' i ( x) M, Ezt felhaszálva adódik: J i(x ) () Reg ( Pf ) M + 1 Reg ( f ). λ Ezt iterálva: lim sup Reg ( P ( f )) Mλ = ρ, ahol ρ függetle f-től, így amit igazoli szerettük λ 1 vola azt igazoltuk is. ( 1λ ) Reg (g )= Megjegyzés: legye P(f)=g, ekkor tudjuk, hogy Reg (Pg ) M + () 2 ( ) ( ) Reg ( f ). 1 1 1 M+ Reg (Pf ) M +M + λ λ λ Jól látható, hogy ha iteráluk, egy mértai sorozatot foguk kapi. D3.10 Defiíció: Legye H ρ={ f H : Reg f ρ} Ha f H ρ, akkor ρ Reg ( Pf ) M + = ρ [emlékeztetőül ρ-t a következőképpe λ defiiáltuk: ρ=mλ/(λ-1)], így H ρ ivariás P-, azaz A következő lépésbe megmutatjuk, hogy a P (H ρ) H ρ. H ρ kompakt, kovex részhalmaza C(A)-ak. Először, tegyük fel a kompaktságot. Legye f H ρ. Feltehetjük, hogy létezik β, úgy, hogy akárhogy választuk ki x,y potokat, bármelyik Ai halmazba össze tudjuk köti őket legfeljebb β hosszúságú törött voallal, ezt a β-t megkaphatjuk úgy is, hogy vesszük az összes Ai hez tartozó átmérőket és ezekek vesszük a maximumát. Tudjuk, hogy az f (z ) ' ρ egyelőtleség mide z Ai eseté f ( z) feáll, tegyük fel továbbá, hogy x, y Ai. Ekkor ha összekötjük ezt a két potot törött voallal és eze a görbé itegráluk, akkor adódik, hogy l ( f ( x)) l ( f ( y)) ρ(x y) ρβ ahol az utolsó egyelőtleség azért lesz igaz, mert x és y közötti távolság legfeljebb β lehet. Logaritmusokat összevova majd a logaritmus függvéy szigorú mootoitása miatt a logaritmust elhagyva kapjuk a következő egyelőtleségeket: 36
ρβ f ( y)e mide ρβ f ( x) f ( y)e, x, y Ai, mide Ai -re. Az egyelőtleségek yilvávalóa akkor is igazak leszek, ha f(x) helyére sup A f (x) et, f(y) helyére if i sup A f (x) e ρβ if i Mivel A f dm=1 mide Ai Ai f ( x ) et íruk: f ( x) (*) f H ρ eseté, így H ρ egyeletese (mide H ρ -beli függvéyre ugyaazo korlát érvéyes). korlátos H ρ zárt, mivel a feti (*) egyelőtleség H ρ határpotjaira is (határfüggvéyeire) teljesül. H ρ kovex, mivel Reg(f) egy kovex fukcioál, ami jól látható, a T3.3 tétel kimodása előtt belátott L3.1 lemmából. Mivel H ρ kompakt és kovex részhalmaza a C(A) Baach-térek, továbbá P : H ρ H ρ, tehát kielégíti a T3.1 Schauder-féle fixpot tétel feltételeit, kaptuk, hogy létezik olya f H ρ, hogy azt P ( f )= f, a μ mérték, melyet dμ= f dm módo defiiáluk, kielégíti az (i)-(iii) feltételeket, így késze vagyuk a bizoyítással. Megjegyzés: A T3.3 tételt általáosa bizoyítottuk, azaz ayit haszáltuk ki, hogy a T 1 (x ) halmaz véges mide x-re. A feti okoskodás természetese akkor is igaz, ha T 1 (x ) egyértelmű mide x eseté, vagyis ha a leképzés ivertálható. Megjegyzés: A T3.3 tételbe szereplő feltételese ivariás mérték em feltétleül egyértelmű, hisze a tétel bizoyításáak utolsó lépésébe kapott fixpot (fixfüggvéy) A kompoesei va értelmezve. Éppe ezért, ha bizoyos kompoeseke azoosa ullára változtatjuk a függvéyt, ugyaúgy fixpotot fog adi, éppe eek a problémáak az elkerülése miatt bizoyítjuk a következő T3.4 tételt, de mielőtt ezt megteék, vezessük be egy új halmazt. { } D3.11 Defiíció: K = f C ( A): if A f >0 és sup A f < és A fdm=1. Megjegyzés: K az olya függvéyek halmaza, melyek folytoosak az A halmazo, 37
ugyaeze az A halmazo korlátosak, egy 0-ál agyobb alsó, illetve egy véges felső korláttal és A- az f-ek a Lebesgue mértéke 1. Azt már tudjuk, hogy ha expazív leképezésekre létezi fog ivariás mérték. Ahhoz viszot, hogy ez a mérték egyértelmű legye, szükségük lesz még egy feltételre, mégpedig a kompoeseke való trazitivitásra, melyek a defiíciója a következő: D3.12 Defiíció (trazitivitás): Tegyük fel, hogy A törött-voal összefüggő, ekkor azt modjuk, hogy T trazitív az A kompoesei, ha mide i,j létezik egy tőlük függő egész pozitív szám, úgy, hogy 1 i, j p, párra Ai T ( A j) T3.4 Tétel: Tegyük fel, hogy T kielégíti az előző, T3.3 tétel feltételeit, továbbá tegyük fel, hogy T a kompoeseke trazitív, ekkor egyértelműe létezik olya f K, hogy P(f)=f Mielőtt még beláták ezt a tételt, szükségük lesz egy segéd állításra. Ezekívül a továbbiakba midig feltesszük, hogy a T3.3 tétel feltételei teljesülek, továbbá. a supremum ormát értjük C(A)-. A3.3 Állítás: a P, 1 operátorok Legye f, g K ekkor P ( f ) P ( g ) M f g kielégítik egyelőtleséget, ahol M csak az f és g alsó illetve felső korlátjától függ, em pedig -től. Bizoyítás: Legye β ( f )= P 1 ( f ) 1 és hasolóa β (g )= P 1 (g ) 1. Mivel f >0 és if g>0, így yilvávalóa β ( f )és β (g ) f, g K ezért if A A pozitívak, ekkor P ( f ) P ( g ) = a P 1 ( f ) P 1 (g ) β ( f ) β ( g) P 1 ( f ) P1 ( g ) P ( g)( β ( f ) β ( g )) + 1 β( f ) β ( f ) β( g ) 38
( f g ) ( ) P 1 (1) P 1 ( g ) β (1) P 1 (1) β (1) P ( g ) β (1) + f g +. β( f ) β ( f ) β( g ) β( f ) β ( f ) Mivel az azoosa 1 függvéy és a g is H ρ -ba va, így felhaszálva a már korábba látott (*) egyelőtleséget adódik, hogy sup P (1) < és sup P ( g) < és β (1)if f β ( f ) β (1)sup f. A A Ezek segítségével már megkapható M, ugyais P (g ) P 1 (1) β (1) P ( g ) β (1) P 1 (1) β (1) sup + + A =M. β ( f ) β( f ) if f if f A A Így késze vagyuk. Bizoyítás (T3.4 tétel):tegyük fel, hogy a P-ek va két külöböző fixpotja K-ba: f 1, f 2. Először azt mutatjuk meg, hogy ekkor f 1, f 2 H ρ, azaz a következő állítás igaz: A3.4 Állítás: Ha f K melyre P f = f, akkor f H ρ Bizoyítás: Legye f K és legye s=sup A f és δ =if A f. Legye g Lipschitzes, melyre if A g δ és sup A g s. Az A3.3 állításból következik, hogy mide g-re, amely kielégíti a feti feltételeket feáll (azaz g K-beli): P ( f ) P ( g ) M f g. Itt M csak s-től és δ-tól függő szám. Vegyük észre, hogy f az ilye g-kek a határa. Rögzítsük egy ε>0 számot, és legye f g ε / M ebből yilvávalóa következik, hogy P ( f ) P ( g ) M f g ε mide 1 -re. Ezért sup Reg ( g ) ρ. f P (g ) ε. A g :=P (g ) függvéy Lipschitzes és lim Ebből az következik, hogy d ( g, H ρ ) 0, ha, így d ( f, H ρ) ε, ahol 39
d ( x, Y )=if { x y : y Y }. Mivel ez mide ε>0-ra igaz és H ρ zárt, ezért f H ρ. T.3.4 tétel bizoyításáak folytatása Az f 1 és f 2 két külöböző fixpot, ekkor legye α j = T 1 (A) f j dm. Mivel f j ( x)>0, hisze f 1 ; f 2 K. Ezért j=1,2-re α j >0. Ekkor vagy α 1=α 2 vagy α 1 α 2. Először tegyük fel, hogy α 1=α 2. Legye f s ( x)=sf 1 ( x )+( 1 s) f 2 ( x )=s ( f 1( x) f 2 (x ))+ f 2 ( x) s ℝ. Nem szorítjuk meg az s-t a [0,1] itervallumra, mivel a két fixfüggvéy külöbözik ezért a belőlük előállított függvéy vehet fel egatív értékeket is. Az yilvávalóa látszik, hogy mide s-re A f s dm=1. Ha f s ( x) 0, akkor Pf s= f s is teljesül. Legye σ az a legagyobb s, melyre még feáll if A f s 0. Ekkor if A f σ =0. f s és mivel H ρ kompakt, ezért f σ H ρ. Mivel f σ =lim s σ Ha sikerüle valahogy beláti azt, hogy f σ K, akkor az elletmodaa aak, hogy if A f σ =0. Hogy ezt elérjük szükségük lesz még egy állításra: A3.5 Állítás: Tegyük fel, hogy T trazitív a kompoeseke, továbbá ha f H ρ és { P(f)=f, akkor f K, ahol K = f C ( A):if Bizoyítás: if Ai A } f 0 és sup A f < és A fdm=1. Legye f H ρ és P f = f. Tegyük fel hogy éháy i-re f =0 A (*) egyelőtleségből következik, hogy ekkor az f azoosa 0 az Ai -. Legye S 1 azo halmaza az Ai kompoesekek, ahol f(x)>0, S 2= A S 1. A kompoeseke való trazitivitás defiíciójából következik, hogy létezik olya, hogy S 2 T ( S 1 ) em üres, ugyais a kompoesek uiójából alkotjuk meg az új diszjukt kompoeseket, akkor a kompoeseke való trazitivitás meg fog maradi az újoa keletkezett kompoeseke is. Legye x 0 S 2 T (S 1), ezért éháy j-re 1 T j S 1, x 0 S 2, f ( x 0)=0, így elletmodásra így f (T 1 j (x 0 ))>0, de mivel jutuk. A regularitásból és a (*) egyelőtleségből most már következik if 40 Ai f >0
mide i-re. Mivel {Ai } véges, így if A f >0 tehát valóba K-beli. Ezek utá feltehetjük, hogy α 1 α 2. Legye α 1>α 2. Mivel Pf = P1 f α1, ezért P 1 ( f 1 (x ))=α 1 f 1( x) és P 1 ( f 2 ( x))=α 2 f 2 ( x). Legye β olya, melyre βf 2 ( x) f 1 ( x). Így az alábbi írható fel: βα2 f 2( x)=βp 1 ( f 2 (x ))= P1 ( βf 2 ( x)) P 1 ( f 1 (x ))=α 1 f 1( x), ebből az következik, ( )( ) α hogy f 2 ( x ) 1 α2 f 1( x) β, de ez lehetetle, mert () α1 α2, ha, így elletmodásra jutottuk. A P1 példa feltételese ivariás mértéke Láttuk, hogy az eddig haszált P1 példák kielégíti a T3.3 tétel feltételeit, tehát ehhez iterációval megkaphatjuk az ivariás mérték súlyfüggvéyét. Természetese em feledkezhetük meg arról, hogy az iterációt egy olya függvéyel kell idítauk, amiek a regularitása korlátos, folytoos az A kompoesei, emegatív, Lipschitzes és A- a Lebesque-mértéke 1. Azt is láttuk, hogy ha csak eyit teszük fel, ez a feltételese ivariás függvéy em feltétleül lesz egyértelmű. Ezt a problémát hidalja át a T3.4 tétel, így ha aak plusz feltételét teljesíti a példakét haszált leképzésük, azaz T a kompoesei trazitív, akkor egyértelmű lesz ez a mérték. Azt már korábba láttuk, hogy két kompoes lesz. Mivel T :[0 ; 1 / 2] [0 ; a /2]és T :[ 1/2 ; 1] [ 0 ; a/ 2] ezért Ai T ( A j) em lehet üres i, j tetszőleges megválasztása mellett, már =1 eseté. Így T a kompoesei trazitív lesz. Tehát T-hez találhatuk egyértelmű feltételese ivariás mértéket. Eek az ivariás mértékek a sűrűségfüggvéyét iterációval megtudjuk találi. Iduló függvéykét haszáljuk az f 0 (x )= βx+1 β /2 függvéyt. 41 Ezzel
1 f 0 ( x) dx=1. Ha erre az f függvéyre alkalmazzuk a P Perro-Frobeius 0 operátort, azaz Pf ( x)=e κ f 0 ( x / a)+ f 0 (1 x /a ), a akkor az így kapott függvéy: κ P ( f 0 )= f 1= e 2, azaz kostas. Erre újra alkalmazzuk a Perro-Frobeiusa ( ) operátort (-1)-szer, amit ezutá kapuk: f = 2 eκ a. Mivel f kostas és ormáltak kell leie, ezért e κ =a / 2. A szökési ráta tehát κ=l 2>0. Amíg a>2, addig trazies káosz va (a=2 eseté ics trazies káosz, tehát κ=0). A szökési ráta meghatározásá kívül az is kiderült, hogy a példákba a feltételese ivariás mérték sűrűsége kostas. Vegyük észre, hogy a sűrűség a lyuk helyé az x (1/a,1 1/a) itervallumba is értelmezve va. III.b Perro-Frobeius-operátor alkalmazása biliárdasztalra Felmerülhet a kérdés hogy az elmúlt éháy oldalo tárgyalt Perro-Frobeius operátort hogya tudjuk alkalmazi a kaotikus biliárdasztalokra. Abba az esetbe, ha a biliárdasztalukat kilyukasztjuk, a részecskék száma expoeciálisa csökkei fog, a fázisábrá a részecskék sokasága fraktál-szerű képet fog mutati. Mit láttuk, a T leképezés a pattogó részecskék helyzetéek a fázistére való változását jelöli. Nyitott kérdés, hogy yitott biliárdasztal eseté ez a leképezés expazív lesz-e. Tapasztalatok azt mutatják, hogy ez a feltétel teljesüli fog, viszot ezekek a belátása meghaladja eek a dolgozatak a kereteit. Az egyértelműség feltétele em fog sérüli, ugyais a T leképzés csak egy egykompoesű halmazo va értelmezve, ahol ez az A az egész fázisteret jelöli, így biztosa trazitív lesz. Ezzel szembe korábba bebizoyították, hogy a zárt, kardioid-alakú biliárdasztal eseté a részecskék mozgása kaotikus lesz [4], [5]. Mideesetre ha a yitott biliárdasztal eseté a T leképezés expazív és trazitív, akkor igaz lesz, hogy a P ( f )=e κ P 1 ( f ) operátorak lesz fixpotja. 42