Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Hasonló dokumentumok
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Kalkulus. Komplex számok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. A komplex számok definíciója

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

1. Komplex számok. x 2 = 1 és x 2 + x + 1 = 0. egyenletek megoldását számnak tekinthessük:

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

Analízis elo adások. Vajda István szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Matematika A1a Analízis

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik

1. A komplex számok ábrázolása

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

7. gyakorlat megoldásai

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Komplex számok trigonometrikus alakja

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 16

Baran Ágnes. Gyakorlat Komplex számok. Baran Ágnes Matematika Mérnököknek Gyakorlat 1 / 33

Diszkrét matematika I.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 11B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

2018/2019. Matematika 10.K

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

Lineáris algebra mérnököknek

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 10.B OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT/ ÖSSZ 148 ÓRA

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Matematika 1 mintafeladatok

Trigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Komplex számok (el adásvázlat, február 12.) Maróti Miklós

Matematika 8. osztály

8. előadás. Kúpszeletek

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Függvény fogalma, jelölések 15

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

2. Algebrai átalakítások

Diszkrét matematika 1. középszint

Függvények határértéke és folytonosság

Diszkrét matematika I.

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

17. előadás: Vektorok a térben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Matematika tanmenet 10. osztály (heti 3 óra) A gyökvonás 14 óra

Waldhauser Tamás szeptember 8.

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere MATEMATIKA

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Diszkrét matematika I.

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Komplex számok algebrai alakja

2017/2018. Matematika 9.K

1. Analizis (A1) gyakorló feladatok megoldása

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Magasabbfokú egyenletek

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA

Diszkrét matematika 2. estis képzés

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

1. GONDOLKODÁSI MÓDSZEREK, HALMAZOK, KOMBINATORIKA, GRÁFOK

I. A négyzetgyökvonás

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára

TARTALOM. Előszó 9 HALMAZOK

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya

Diszkrét matematika 2.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Matematika A1a Analízis

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Typotex Kiadó. Bevezetés

Átírás:

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 016. ősz

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz. Harmadfokú egyenlet Harmadfokú egyenlet megoldása Keressük meg az ax 3 + bx + cx + d = 0 egyenlet megoldásait (a 0)! Végigosztva a-val kapjuk az x 3 + b x + c x + d = 0 egyszerűbb egyenletet. Emlékeztető: másodfokú egyenlet megoldása: x + px + q = 0. Az x = y p helyettesítéssel eltűnik az x-es tag: y + q = 0. Innen átrendezéssel és gyökvonással megkapjuk a lehetséges megoldásokat y-ra, ahonnan kiszámolhatóak az x 1, x megoldások. Hasonló helyettesítéssel a harmadfokú egyenlet y 3 + py + q = 0 alakra hozható.

Harmadfokú egyenlet Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 3. Keressük meg az y 3 + py + q = 0 egyenlet megoldásait! Ötlet: keressük a megoldásokat y = u + v alakban! Most (u + v) 3 = u 3 + 3u v + 3uv + v 3. A harmadfokú egyenlet: (u + v) 3 3uv(u + v) (u 3 + v 3 ) = 0 y 3 +py +q = 0 Célunk olyan u, v találása, melyekre 3uv = p, (u 3 + v 3 ) = q. Ekkor u + v megoldás lesz! u, v megtalálása: u 3 v 3 = ( p 3 )3, u 3 + v 3 = q, u 3, v 3 gyökei lesznek a z + qz + ( p 3 )3 = 0 másodfokú egyenletnek. A gyökökből u, v köbgyökvonással kijön: y = 3 q (q ) ( p ) 3 + 3 + + q (q ) ( p ) 3 3 + 3

Harmadfokú egyenlet Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 4. Keressük meg az x 3 1x + 0 = 0 egyenlet megoldásait! (Most x = y, és rögtön látszik, hogy az x = 1 gyök lesz.) p = 1, q = 0 helyettesítéssel a x = 3 q (q ) ( p ) 3 + 3 + + q (q ) ( p ) 3 3 + 3 képletbe azt kapjuk, hogy x = 3 10 + 43 + 3 10 43 A négyzetgyök alatt negatív! Meg lehet-e menteni a megoldóképletet?

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 5. Harmadfokú egyenlet x = 3 10 + 43 + 3 10 43 Formálisan számolva, a ( 3) = 3 feltétellel: 10 + 43 = 10 + 9 3 = 3 + 3 3 + 3 ( 3) + ( 3) 3 = ( + 3) 3. Hasonlóan 10 43 = ( 3) 3. Ezzel a megoldás: x = ( + 3) + ( 3) = 4. Felmerülő kérdések Számolhatunk-e 3-mal formálisan? Miért épp így kell számolni a 10 + 43 értékét? Hova tűnt az x = 1 megoldás? Mi a harmadik gyöke az egyenletnek?

Számfogalom bővítése Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 6. Természetes számok: N = {0, 1,,... } Nincs olyan x N természetes szám, melyre x + = 1! N halmazon a kivonás nem értelmezett! Egész számok: Z = {...,, 1, 0, 1,,... } A kivonás elvégezhető: x = 1. Nincs olyan x Z egész szám, melyre x = 1! Z halmazon az osztás nem értelmezett! { } Racionális számok: Q = p q : p, q Z, q 0 Az osztás elvégezhető: x = 1. Nincs olyan x Q racionális szám, melyre x =! Q halmazon a négyzetgyökvonás nem (mindig) elvégezhető! Valós számok: R. Nincs olyan x R valós szám, melyre x = 1! U.i.: Ha x 0, akkor x 0. Ha x < 0, akkor x = ( x) > 0.

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 7. Számfogalom bővítése Komplex számok körében az x = 1 egyenlet megoldható! Komplex számok alkalmazása: egyenletek megoldása; geometria; fizika (áramlástan, kvantummechanika, relativitáselmélet); grafika, kvantumszámítógépek. Komplex számok bevezetése Legyen i az x = 1 egyenlet megoldása. A szokásos számolási szabályok szerint számoljunk az i szimbólummal formálisan, i = 1 helyettesítéssel: Általában: (1 + i) = 1 + i + i = 1 + i + ( 1) = i. (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i.

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 8. A komplex számok definíciója Definíció Az a + bi alakú kifejezéseket, ahol a, b R, komplex számoknak (C) hívjuk, az ilyen formában való feĺırásukat algebrai alaknak nevezzük. Összeadás: (a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d)i. Szorzás: (a + bi)(c + di) = ac bd + (ad + bc)i. A z = a + bi C (a, b R) komplex szám valós része: Re(z) = a. A z = a + bi C (a, b R) komplex szám képzetes része: Im(z) = b. Figyelem! Im(z) bi Az a + 0 i alakú komplex számok a valós számok. A 0 + bi alakú komplex számok a tisztán képzetes számok. Az a + bi és a c + di algebrai alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: a + bi = c + di, ha a = c és b = d.

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 9. A komplex számok definíciója Megjegyzés A komplex számok alternatív definíciója: (a, b) R R párok halmaza, ahol az összeadás: (a, b) + (c, d) = (a + c, d + b); a szorzás: (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc). A két definíció ekvivalens: i (0, 1). Az a + bi formátum kényelmesebb számoláshoz. Az (a, b) formátum kényelmesebb ábrázoláshoz (grafikusan, számítógépen). További formális számokra nincs szükség: Tétel(Algebra alaptétele, NB) Ha n > 0, a 0,..., a n C, a n 0, akkor minden a 0 + a 1 x + a x +... + a n x n kifejezés esetén létezik olyan z C komplex szám, hogy a 0 + a 1 z + a z +... + a n z n = 0.

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 10. Számolás komplex számokkal Definíció Egy x szám ellentettje az az ˆx szám, melyre x + ˆx = 0. Egy r R szám ellentettje: r. Álĺıtás (HF) Egy z = a + bi C komplex szám ellentettje a z = a bi komplex szám. Definíció Egy z = a + bi C algebrai alakban megadott komplex szám abszolút értéke: z = a + bi = a + b. Valós számok esetében ez a hagyományos abszolút érték: a = a. Álĺıtás(HF) z = a + bi 0, z = a + bi = 0 z = a + bi = 0.

Számolás komplex számokkal Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 11. Definíció Egy x szám reciproka az az ˆx szám, melyre x ˆx = 1. 1 Egy r R \ {0} szám reciproka: r. Mi lesz 1 1+i? Ötlet: gyöktelenítés, konjugálttal való bővítés: 1 1 + = 1 1 + 1 1 = 1 (1 + )(1 ) = 1 1 ( ) Hasonlóan: = 1 1 = 1 +. 1 1 + i = 1 1 i 1 + i 1 i = 1 i (1 + i)(1 i) = 1 i 1 i = 1 i 1 ( 1) = 1 i = 1 1 i.

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Számolás komplex számokkal Definíció Egy z = a + bi algebrai alakban megadott komplex szám konjugáltja a z = a + bi = a bi szám. Álĺıtás(HF) Egy z 0 komplex szám reciproka 1 z = z z z. A definíció értelmes, hiszen a nevező: z z = (a + bi)(a bi) = a (bi) = a + b = z. Nullosztómentesség: z w = 0 z = 0 vagy w = 0. Két komplex szám hányadosa: z w = z 1 w.

Számolás komplex számokkal Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 13. Tétel (HF) 1 z = z; z + w = z + w; 3 z w = z w; 4 z + z = Re(z); 5 z z = Im(z) i; 6 z z = z ; 7 z 0 esetén z 1 = z z ; 8 0 = 0 és z 0 esetén z > 0; 9 z = z ; 10 z w = z w ; 11 z + w z + w (háromszög egyenlőtlenség).

Számolás komplex számokkal Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 14. Tétel(HF). z w = z w ;. Bizonyítás z w = z w z w = z w z w = z z w w = z w = ( z w ).

Komplex számok ábrázolása Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 15. A komplex számok a komplex számsíkon: Im(z) z= r(cos ϕ + i sin ϕ) r ϕ Re(z) Ha z = a + bi C, akkor Re(z) = a, Im(z) = b. A (Re(z), Im(z)) vektor hossza: r = a + b = z. A z nemnulla szám argumentuma ϕ = arg(z) [0, π) A koordináták trigonometrikus függvényekkel kifejezve: Re(z) = a = r cos ϕ, Im(z) = b = r sin ϕ

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 16. Komplex számok trigonometrikus alakja Definíció z C nemnulla szám trigonometrikus alakja a z = r(cos ϕ + i sin ϕ), ahol r > 0 a szám abszolút értéke. Figyelem! A 0-nak nem használjuk a trigonometrikus alakját. A trigonometrikus alak nem egyértelmű: r(cos ϕ + i sin ϕ) = r(cos(ϕ + π) + i sin(ϕ + π)). Definíció Egy nemnulla z C argumentuma az a ϕ = arg(z) [0, π), melyre z = z (cos ϕ + i sin ϕ). z = a + bi algebrai alak; z = r(cos ϕ + i sin ϕ) trigonometrikus alak. Itt a = r cos ϕ, b = r sin ϕ.

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 17. Áttérés algebrai alakról trigonometrikus alakra a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) a = r cos ϕ b = r sin ϕ Ha a 0, akkor tgϕ = b a, és így arctg b a, ha a > 0; ϕ = arctg b a + π, ha a < 0. }

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 18. Számolás trigonometrikus alakkal Legyen z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ) A szorzatuk: zw = z (cos ϕ + i sin ϕ) w (cos ψ + i sin ψ) = = z w (cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ + i(cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ)) = addíciós képletek: cos(ϕ + ψ) = cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ sin(ϕ + ψ) = cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)) A szorzat abszolút értéke: zw = z w. A szorzat argumentuma: ha 0 arg(z) + arg(w) π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w); ha π arg(z) + arg(w) < 4π, akkor arg(zw) = arg(z) + arg(w) π. A sin, cos függvények π szerint periodikusak, az argumentum meghatározásánál redukálni kell az argumentumok összegét.

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 19. Moivre-azonosságok Tétel HF Legyen z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ), és legyen n N. Ekkor zw = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)); z w = z w (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)), ha w 0; z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). A szögek összeadódnak, kivonódnak, szorzódnak. Az argumentumot ezek után redukcióval kapjuk! Geometriai jelentés Egy z C komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon mint nyújtva-forgatás hat. z -vel nyújt, arg(z) szöggel forgat.

Komplex számok gyökei Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 0. Példa ( ) 8-t: 1+i Számoljuk ki ( ) 8 ( ) 8 ( 1+i = 1 1 + i = cos π 4 + i sin ) π 8 4 = = cos ( 8 π 4 ) + i sin ( 8 π 4 ) = cos π + i sin π = 1 További komplex számok, melyeknek a 8-adik hatványa 1: 1; 1; i : i 8 = (i ) 4 = ( 1) 4 = 1; i; 1+i ; 1+i ; sőt: ±i 1+i : ( i 1+i ) 8 = i 8 ( 1+i ) 8 = 1 1 = 1.

Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Gyökvonás A z = z (cos ϕ + i sin ϕ) és w = w (cos ψ + i sin ψ) trigonometrikus alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: z (cos ϕ + i sin ϕ) = w (cos ψ + i sin ψ), ha z = w ϕ = ψ + k π valamely k Z szám esetén.