MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása a valós számok halmazán! x x 0 a) x 0 (4 pont) b) x 6 x 9 5 (4 pont) c) lg x x 6 lg x d) sin x lg cos x, 5cos x (4 pont) (4 pont) a) A nevező nem lehet 0, ezért 0 ( pont) ebből x ( pont) A továbbiakban a tört akkor 0, ha számlálója 0, tehát x x 0 0, azaz x és x,5 ( pont) Így az egyenletnek csak egy valós megoldása van: x,5 ( pont) b) A rendezés után kapott x 6 5 x 9 egyenletet mindkét oldalról négyzetre emelve, ( pont) rendezés után kapjuk, hogy 0 x 9 0 ( pont) Innen x 9 ( pont) Behelyettesítéssel ellenőrizve ez jó megoldás. ( pont) c) A logaritmus értelmezése szerint: x x 6 0 és x 0 ( pont) Az első egyenlet megoldásai azon x valós számok, amelyekre x 3 vagy x ( pont) a másodiké: x ( pont) A két egyenlőtlenség megoldáshalmazának nincs közös eleme, így az egyenletnek nincs megoldása. ( pont) d) A jobb oldali kifejezés az értelezési tartományán csak nem negatív lehet, így sin x 0. ( pont) Ez csak x k k esetén teljesül ( pont) De mivel cos k 0 minden k esetén ( pont) és nullára a logaritmus nincs értelmezve, így nincs olyan valós szám, amelyre az egyenlet értelmezve lenne, így nincs megoldása. ( pont) Összesen: 6 pont
) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: x lg x 8 0 a) b) x x 6 a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x vagy x ) ( pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. azaz ha 0 lg x 8 0 x vagy. eset: x 0 x ( pont) lg x 8 0 lg x 8 lg ( pont). eset: x 8 x 9 x 3 vagy x 3 ( pont) Az x nem eleme az értelmezési tartománynak. Az értelmezési tartomány x 3 és x 3 elemei a megoldások, mert az átalakítások ekvivalensek M 3; 3 ( pont) voltak. b) Ha x 0, akkor az egyenlet 0-ra redukált alakja x x 6 0; ha x 0, akkor a megoldandó egyenlet: x x 6 0 ( pont). eset: ( x x 6 0, x 0 ). Az egyenlet gyökei: x 3 ; x ( pont) 3) Csak az x 3 megoldása az egyenletnek az x 0 feltétel miatt ( pont). eset: ( x x 6 0, x 0 ). Az egyenlet gyökei: x ; x 3 ( pont) Csak az x 3 megoldása az egyenletnek az x 0 feltétel miatt ( pont) Tehát a megoldások: x 3 és x 3. Összesen: 0 pont a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 6 b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x y lg x (9 pont) lg x lg lg y a). eset: x x 6 0, x 6 ( pont) ennek valós gyökei és -3 ( pont) Ezek megoldásai az eredeti egyenletnek ( pont). eset: x x 6 0, x 6 ( pont) ennek nincs valós megoldása ( pont) Tehát az egyenlet megoldásai a 3 és a.
b) x 0 és y a logaritmus értelmezése miatt ( pont) A logaritmus azonosságait használva lg x y lg x lg x lg y ( pont) Az lg függvény szigorú monoton nő ( pont) x y x x y ( pont) A második egyenletből kifejezzük x-et, behelyettesítve az elsőbe kapjuk, hogy 4y y 6 0 ( pont) Ennek valós gyökei és 0,75 ( pont) Az y miatt 0,75 nem eleme az értelmezési tartománynak ( pont) Ezért csak y és így egyenletnek x lehetséges. A 4) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! 5) x ; számpár megoldása az ( pont) Összesen: 4 pont x 3 (0 pont) Megoldást csakis az x 3feltételnél kereshetjük ( pont) Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát! x x x 3 x 3 4 ( pont) Rendezés után: x x 3 3 x ( pont) A baloldali kifejezés nem negatív, ezért a jobboldali kifejezés is nem negatív kell, hogy legyen ( pont) ezért x 3 feltételnek fent kell állnia. ( pont) A kezdeti feltétellel összevetve, csak x 3 teljesülhet ( pont) Visszahelyettesítés után látjuk, hogy x 3 kielégíti az egyenletet ( pont) Innen a két gyök: x 3, x 3 ( pont) Összesen: 0 pont a) Mely valós számok elégítik ki az alábbi egyenlőtlenséget? 3 3 x x 8 (4 pont) b) Az alábbi f és g függvényt is a 3;6 intervallumon értelmezzük. f x x 3 és g x 0,5x,5. Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvényt a 3;6 intervallumon! Igazolja számítással, hogy a két grafikon metszéspontjának mindkét koordinátája egész szám! (4 pont) c) Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! 0,5x x 3,5 (6 pont)
a) Elvégezve a köbre emelést: x 3 x x x 3 x x 3 3 3 3 8 ( pont) összevonva és rendezve: x ( pont) a megoldáshalmaz tehát a ; intervallum ( pont) b) f függvény helyes ábrázolása ( pont) g függvény helyes ábrázolása ( pont) a metszéspont koordinátái ; ( pont) c) A megoldandó egyenlőtlenség ekvivalens a x 3 0,5x,5 egyenlőtlenséggel ( pont) A bal oldal nem negatív ( pont) a jobb oldal 5-nél nagyobb x-ekre negatív ( pont) Az egyenlőtlenség megoldásait a 3;6 intervallumon a b) részben ábrázolt f és g függvényekről leolvashatjuk ( pont) A megoldáshalmaz a 3; intervallum ( pont) Összesen: 4 pont 6) a) Ábrázolja a derékszögű koordinátarendszerben az f : 0;5, f x x 4x 3 függvényt! b) Tekintsük az x k paraméteres egyenletet, ahol k valós paraméter. Vizsgálja a megoldások számát a k paraméter függvényében! (7 pont) c) Ábrázolja a megoldások számát megadó függvényt a k 6;6 intervallumon! ( pont) d) Adja meg a c)-beli függvény értékkészletét! ( pont)
f x x 4x 3 x ( pont) a) Az y x parabola tengelypontja ; az x tengelyt az ;0 és Jó ábrázolás, leszűkítés a ( pont) 3;0 pontokban metszi ( pont) 0;5 intervallumra ( pont) Az abszolút érték figyelembe vétele ( pont) Helyes ábra: b) A megoldások számát az f x teljes grafikonja és az y k egyenes közös pontjainak száma adja ( pont) Ha k, akkor két közös pontja van ( pont) Ha k, akkor három közös pontja van ( pont) Ha 0 k, akkor négy közös pontja van ( pont) Ha k 0, akkor két közös pontja van ( pont) Ha k 0, akkor nincs közös pont ( pont) c) Helyes ábra d) Értékkészlete: ( pont) R 0;;3;4 ( pont) f Összesen: 6 pont
7) Az alábbi három kifejezés mindegyike esetén adja meg a valós számok halmazának azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a kifejezés értelmezhető! a) cos log x (3 pont) b) log cos x c) log cos x x a) A négyzetgyök miatt x 0 ( pont) A logaritmus miatt x 0 ( pont) A keresett halmaz: 0;+ ( pont) b) A logaritmus miatt cos x 0 ( pont) log cos x 0 ( pont) A négyzetgyök miatt azaz cos x ( pont) A koszinusz függvény értékkészlete miatt cos x ( pont) Az értelmezési tartomány tehátx x k, k ( pont) c) A logaritmus alapjai miatt x 0 és x ( pont) A logaritmus miatt cos x 0 ( pont) Tehát cos x 0 ( pont) x k ahol k ( pont) Az értelmezési tartomány tehát \ ahol k k ( pont) Összesen: 3 pont 8) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) x x (4 pont) b) x ( x)( x4) x 4 4 4 x (7 pont) a) A négyzetgyök függvény értelmezési tartománya és értékkészlete miatt: x ;0 ( pont) Négyzetre emelés után: x x ( pont) Az x x 0 egyenlet gyökei: és. ( pont) Közülük csak a eleme a fenti intervallumnak (és az átalakítások ezen az intervallumon ekvivalensek), ezért ez az egyetlen megoldás. ( pont) (A grafikus módszerrel való megoldásért szintén maximális pontszám jár)
b) Közös alapra hozva a két oldalt: x ( x)( x4) x 4 4 4. ( pont) Az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt az alapok elhagyhatóak: x x x 4 x 4 ( pont) Ebből x vagy ( pont) x 4. ( pont) Ebből x 3 vagy x3 5. ( pont) Ellenőrzés. ( pont) Összesen: pont 9) Jelölje H a 5, x 3 egyenlőtlenség pozitív egész megoldásainak halmazát. Jelölje továbbá B azon pozitív egész b számok halmazát, 6 amelyekre a logb kifejezés értéke is pozitív egész szám. Elemeinek felsorolásával adja meg a H, a B, a H B és a B\ H halmazt! ( pont) A gyökös kifejezés értelmezési tartomány vizsgálata alapján: x 5,. ( pont) Az egyenlőtlenség elvégzése során: 5, x 9 3,8 x ( pont) Tehát azok a pozitív számok elemei H halmaznak, melyek 3,8 -nál nagyobbak és 5,-nél kisebbek: H ;;3; 4;5 ( pont) k 6 6 Ha logb k, akkor b, ami 64. ( pont) A k kitevő pozitív egész, ezért a b olyan pozitív egész szám lehet, melynek valamely pozitív egész kitevős hatványa 64-gyel egyenlő: ( pont) 6 3 4 8 64 64 ( pont) B ; 4; 8; 64. ( pont) Ezért H B ;4 \ 8;64 ( pont) B H ( pont) Összesen: pont 0) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) sin x cos x (6 pont) b) x x x (7 pont) a) cos x sin x helyettesítése. ( pont) Nullára rendezve: sin x sin x 0 Szorzattá alakítás után:. ( pont) sin x sin x 0. ( pont) sin x 0 pontosan akkor, ha x k, k. ( pont)
3 sin x pontosan akkor, ha x l, l. ( pont) Ellenőrzés. ( pont) b) Ha x 0, akkor x x. ( pont) Ekkor 0 x, ahonnan x, ( pont) de ez x 0 miatt nem megoldás. ( pont) Ha x 0, akkor x x, ( pont) és az egyenlet x x. ( pont) Mivel x 0 ezért x x, azaz Ellenőrzés. x ( pont) 4 ( pont) Összesen: 3 pont