A feszítőfákból számolt súlyvektorok mértani közepének optimalitása a logaritmikus legkisebb négyzetes célfüggvényre nézve Bozóki Sándor MTA SZTAKI, Budapesti Corvinus Egyetem Vitaliy Tsyganok Laboratory for Decision Support Systems, The Institute for Information Recording of National Academy of Sciences of Ukraine; Department of System Analysis, State University of Telecommunications 2017. június 15. p. 1/33
nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix A = 1 a 12 a 14 a 15 a 16 a 21 1 a 23 a 32 1 a 34 a 41 a 43 1 a 45 a 51 a 54 1 a 61 1 p. 2/33
nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix gráfja A = 1 a 12 a 14 a 15 a 16 a 21 1 a 23 a 32 1 a 34 a 41 a 43 1 a 45 a 51 a 54 1 a 61 1 p. 3/33
A logaritmikus legkisebb négyzetek (LLS) módszere min i, j : a ij ismert [ log a ij log w i > 0, ( wi w j )] 2 i = 1, 2,...,n. Normalizálás: n i=1 w i = 1, vagy n i=1 w i = 1, vagy w 1 = 1. p. 4/33
Tétel (Bozóki, Fülöp, Rónyai, 2010): Legyen A egy nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix, amely G gráfja összefüggő. Ekkor a logaritmikus legkisebb négyzetes feladat optimális megoldása (w = exp y) egyértelmű és az alábbi egyenletrendszer megoldásaként adódik: (Ly) i = log a ik minden i = 1, 2,...,n-re, y 1 = 0 k:e(i,k) E(G) ahol L a G gráf Laplace-mátrixa (l ii az i. csúcs foka és l ij = 1 pontosan akkor, ha az i. és j. csúcsok szomszédosak). p. 5/33
példa 1 a 12 a 14 a 15 a 16 a 21 1 a 23 a 32 1 a 34 a 41 a 43 1 a 45 a 51 a 54 1 a 61 1 4 1 0 1 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 1 0 1 3 1 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 0 0 1 y 1 (= 0) y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 = log(a 12 a 14 a 15 a 16 ) log(a 21 a 23 ) log(a 32 a 34 ) log(a 41 a 43 a 45 ) log(a 51 a 54 ) log a 61 p. 6/33
A feszítőfás megközelítés (Tsyganok, 2000, 2010) 1 a 12 a 14 a 15 a 16 a 21 1 a 23 a 32 1 a 34 a 41 a 43 1 a 45 a 51 a 54 1 a 61 1 p. 7/33
A feszítőfás megközelítés (Tsyganok, 2000, 2010) 1 a 12 a 14 a 15 a 16 a 21 1 a 23 a 32 1 a 34 a 41 a 43 1 a 45 a 51 a 54 1 a 61 1 1 a 12 a 14 a 15 a 16 a 21 1 a 23 a 32 1 a 41 1 a 51 1 a 61 1 p. 8/33
p. 9/33
A feszítőfás megközelítés Minden feszítőfa indukál egy súlyvektort. A súlyvektorok pl. számtani vagy mértani középpel történő aggregálásával kapott súlyvektor is egy értelmes megoldása a súlyozási feladatnak. p. 10/33
Tétel (Lundy, Siraj, Greco, 2017): A teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix összes feszítőfájából számolt súlyvektor mértani közepe a logaritmikus legkisebb négyzetes feladat megoldása. p. 11/33
Tétel (Lundy, Siraj, Greco, 2017): A teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix összes feszítőfájából számolt súlyvektor mértani közepe a logaritmikus legkisebb négyzetes feladat megoldása. Ugyanez igaz a nem teljesen kitöltött esetben is: Tétel (Bozóki, Tsyganok): A teljesen vagy nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrix összes feszítőfájából számolt súlyvektor mértani közepe a logaritmikus legkisebb négyzetes feladat megoldása. p. 12/33
bizonyítás Jelölje E(G) a G gráf éleinek halmazát, e(i,j) pedig az i. és a j. csúcs között futó élt. A G gráf feszítőfáit jelölje T 1,T 2,...,T s,...,t S, ahol S a feszítőfák száma. A T s feszítőfa éleinek halmazát E(T s )-sel jelöljük. A T s feszítőfából számolt súlyvektort w s,s = 1, 2,...,S, jelöli. w s skalárral való szorzástól eltekintve egyértelmű. Feltehetjük, hogy w s 1 = 1. Legyen továbbá y s := logw s, s = 1, 2,...,S (elemenkénti logaritmus). p. 13/33
bizonyítás Jelölje w LLS a logaritmikus legkisebb négyzetes feladat optimális megoldását (a w1 LLS = 1 normalizálással) és legyen y LLS := logw LLS. Ekkor (Ly LLS) = minden i = 1, 2,...,n-re, i k:e(i,k) E(G) b ik ahol b ik = log a ik minden e(i,k) E(G) élre. b ik = b ki minden e(i,k) E(G) élre. A tétel bizonyításához elég igazolni, hogy ( L 1 S ) S y s s=1 i = k:e(i,k) E(G) b ik minden i = 1, 2,...,n-re. p. 14/33
bizonyítás Nehézség: az egyes feszítőfákhoz tartozó Laplacemátrixok különböznek a G gráf Laplace-mátrixától. Tekintsünk egy tetszőleges T s feszítőát. Ekkor ws i wj s minden e(i,j) E(T s ) esetén. = a ij Definiáljuk az A s nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixot az alábbiak szerint: a s ij := a ij minden e(i,j) E(T s )-re és a s ij := ws i w minden e(i,j) E(G)\E(T s )-re. Legyen most is j s b s ij := log as ij (= ys i ys j ). Vegyük észre, hogy az A és A s nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok Laplace-mátrixai megegyeznek. p. 15/33
bizonyítás 1 a 12 a 14 a 15 a 16 a 21 1 a 23 a 32 1 a 32 a 21 a 14 a 41 a 41 a 12 a 23 1 a 41 a 15 a 51 a 51 a 14 1 a 61 1 1 a 12 a 14 a 15 a 16 a 21 1 a 23 a 32 1 a 32 a 21 a 14 a 41 a 41 a 12 a 23 1 a 41 a 15 a 51 a 51 a 14 1 a 61 1 p. 16/33
bizonyítás Mivel a T s feszítőfa a w s súlyvektort indukálja, ez utóbbi egyúttal az A s nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixszal felírt logaritmikus legkisebb négyzetes feladat optimális megoldása is. Teljesül tehát az alábbi egyenletrendszer: (Ly s ) i = k:e(i,k) E(T s ) b ik + k:e(i,k) E(G)\E(T s ) b s ik i = 1,...,n-re. Lemma: Minden i = 1, 2,...,n esetén S b ik + s=1 k:e(i,k) E(T s ) k:e(i,k) E(G)\E(T s ) b s ik = S k:e(i,k) E(G) b ik p. 17/33
a lemma bizonyítása p. 18/33
a lemma bizonyítása p. 19/33
a lemma bizonyítása p. 20/33
a lemma bizonyítása b 1 12 = b 15 + b 54 + b 43 + b 32 p. 21/33
a lemma bizonyítása b 1 12 = b 15 + b 54 + b 43 + b 32 p. 22/33
a lemma bizonyítása b 1 12 = b 15 + b 54 + b 43 + b 32 b 4 15 = b 12 + b 23 + b 34 + b 45 p. 23/33
a lemma bizonyítása b 1 12 = b 15 + b 54 + b 43 + b 32 b 4 15 = b 12 + b 23 + b 34 + b 45 p. 24/33
a lemma bizonyítása b 1 12 = b 15 + b 54 + b 43 + b 32 b 4 15 = b 12 + b 23 + b 34 + b 45 b 1 12 + b4 15 = b 12 + b 15 p. 25/33
a lemma bizonyítása b 1 12 = b 15 + b 54 + b 43 + b 32 b 4 15 = b 12 + b 23 + b 34 + b 45 b 1 12 + b4 15 = b 12 + b 15 p. 26/33
a lemma bizonyítása b 1 12 = b 15 + b 54 + b 43 + b 32 b 4 15 = b 12 + b 23 + b 34 + b 45 b 1 12 + b4 15 = b 12 + b 15 p. 27/33
bizonyítás A tétel bizonyításához vegyük az alábbi egyenletek összegét s = 1, 2,...,S-re: (Ly s ) i = k:e(i,k) E(T s ) b ik + és alkalmazzuk a lemmát: S b ik + s=1 k:e(i,k) E(T s ) k:e(i,k) E(G)\E(T s ) k:e(i,k) E(G)\E(T s ) b s ik b s ik = S i = 1,...,n-re k:e(i,k) E(G) b ik y LLS = 1 S S s=1 y s. p. 28/33
Megjegyzés: A fenti bizonyítás a teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixokat (S = n n 2 ) speciális esetként tartalmazza. p. 29/33
Konklúzió Megmutattuk két súlyozási módszer ekvivalenciáját. p. 30/33
Főbb hivatkozások időrendi sorrendben 1/2 Tsyganok, V. (2000): Combinatorial method of pairwise comparisons with feedback, Data Recording, Storage & Processing 2:92 102 (ukrán nyelven). Tsyganok, V. (2010): Investigation of the aggregation effectiveness of expert estimates obtained by the pairwise comparison method, Mathematical and Computer Modelling, 52(3-4) 538 54 Siraj, S., Mikhailov, L., Keane, J.A. (2012): Enumerating all spanning trees for pairwise comparisons, Computers & Operations Research, 39(2) 191 199 Siraj, S., Mikhailov, L., Keane, J.A. (2012): Corrigendum to Enumerating all spanning trees for pairwise comparisons [Comput. Oper. Res. 39(2012) 191-199], Computers & Operations Research, 39(9) page 2265 p. 31/33
Főbb hivatkozások időrendi sorrendben 2/2 Lundy, M., Siraj, S., Greco, S. (2017): The mathematical equivalence of the spanning tree and row geometric mean preference vectors and its implications for preference analysis, European Journal of Operational Research 257(1) 197 208 Bozóki, S., Tsyganok, V. ( 2017) The logarithmic least squares optimality of the geometric mean of weight vectors calculated from all spanning trees for (in)complete pairwise comparison matrices. Bírálat alatt, https://arxiv.org/abs/1701.04265 p. 32/33
Köszönöm. bozoki.sandor@sztaki.mta.hu http://www.sztaki.mta.hu/ bozoki p. 33/33