Matematika M. zárthelyi megoldáok, 07 tavaz A coport Pontozá: 0 + + 6 + 50 pont. Számíta ki az alábbi adatokhoz legkiebb négyzete értelemben legjobban illezkedő legfeljebb máodfokú polinomot! x i 3 0 y i 3 6 0 Megoldá: A kereett polinom p(x a x + a x + a 0. A Gau-féle normálegyenlet megoldáát kereük, ahol a Gram-mátrix 5 5 5 A A 5 5 35, 5 35 99 a jobb oldal pedig A f 5 7 tehát a megoldandó egyenletrendzer 5 5 5 5 5 35 5 35 99 a 0 a a, 5 7. Ekkor a megoldá 5 5 5 5 5 35 5 5 35 99 7 5 5 5 0 0 0 4 0 0, innen a, a 5, a 0 4 5, tehát a kereett polinom p(x x 5 x + 4 5.. Számíta ki az e At mátrixfüggvényt, ha A az alábbi: ( A 4 Megoldá: A mátrix karakteriztiku polinomja p(λ A λ I ( λ( 4 λ + λ + 6λ + 9 (λ + 3,. tehát a mátrixnak egy kétzere ajátértéke van, λ 3. Ekkor kereük azt a h(x a x + a 0 előfokú polinomot, amely megoldáa a h( 3 e 3t, h ( 3 te 3t Hermite-interpoláció feladatnak. Ekkor a megoldandó egyenletrendzer: a ( 3 + a 0 e 3t, a te 3t, innen a te 3t, a 0 3te 3t + e 3t. e At h(a te 3t A + ( 3te 3t + e 3t ( (t + e 3t te I 3t te 3t ( te 3t (Megjegyzé : Termézeteen a polinomot h(λ, t a λt + a 0 alakban i lehet kereni, az i ugyanez a megoldá.
3. Laplace-tranzformáció felhaználáával zámíta ki az alábbi kezdetiérték-feladat megoldáát! y 0, ha 0 t <, (t + 4y(t y(0 0; y (0, ha t, Táblázat rézlet: L(e at f(t, ( F ( a, L(η(t af(t a, e a F (, L(η,, L(in, +, L(co, +. Megoldá: Legyen Y ( L(y, é η(t az egyégugráfüggvény, ekkor a megoldandó egyenlet é Laplacetranzformáltja a következő: Innen Y ( y(0 y (0 }}}} 0 Y ( Az elő tagban parciáli törtekre bontunk: Ekkor Y ( y(t y (t + 4y(t η(t +4Y ( e ( + 4 Y ( }} e ( + 4 + + 4 e }} ( + 4 4 4 + 4. ( e 4 4 + + 4 + 4 ( η(t 4 η(t co((t + 4 in(t in(t ha 0 t <, in(t + 4 4 co((t ha t. 4. Egy gyárban három gép gyárt lemezalkatrézeket. A folyamat orán megérülhetnek a termékek. Az elő gépből 0,0 valózínűéggel, a máodik gépből 0,06 valózínűéggel, a harmadik gépből 0,08 valózínűéggel kerül ki érülten egy elem, ezért a termékek felét az elő gépen gyártják, a máodik é harmadik gépen pedig egy-egy negyedét. Egy érülé javítható, de cak ha mm-nél nem nagyobb átmérőjű. Egy érülé átmérője mm-ben mérve exponenciáli elozláú 0 ha t 0, f(t e t ha t > 0 űrűégfüggvénnyel. a. Mennyi a valózínűége, hogy egy érült terméket az elő gépen gyártottak? b. Minőégellenőrzékor 000 véletlenzerűen válaztott terméket vizgálunk meg. Mennyi az ezek között levő érültek zámának várható értéke é zóráa? c. Mennyi a valózínűége, hogy egy érülé nem javítható? Megoldá: a. Legyenek a B, B, B 3 eemények rendre azok, hogy egy adott terméket az.,., 3. gépen gyártottak. Ekkor B, B, B 3 telje eeményrendzert alkot. Legyen A eemény az, hogy a termék érült. A feladat zerint P (A B 0, 0 P (B P (A B 0, 06 P (B 4 P (A B 3 0, 08 P (B 3 4
Ekkor a kereett valózínűég a Baye-tétel zerint P (B A P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + P (A B 3 P (B 3 00 00 + 6 00 4 + 8 00 4 00 4 00 8. b. n000 terméket válaztunk ki, egy termék pedig P (A P (A B P (B +P (A B P (B +P (A B 3 P (B 3 0, 04 valózínűéggel lez hibá. Ekkor a hibáak ξ darabzáma a mintában binomiáli elozláú n 000 é p 0, 04 paraméterekkel (ξ Bin(000; 0, 04, tehát Eξ n p 000 0, 04 40, Dξ np( p 000 0, 04 0, 96 40 0, 96 c. Legyen η a érülé átmérője, ekkor P (η > f η (x dx F η ( e. 9 5 38, 4. 4 pont Mindegy, hogy az integrállal zámoljuk ki vagy integráláal meghatározzuk az elozláfüggvényt, eetleg fejből tudjuk az exponenciáli elozlá elozláfüggvényét. Bármelyik megoldára jár a pont.
Matematika M. zárthelyi megoldáok, 07 tavaz B coport Pontozá: 0 + + 6 + 50 pont. Írja fel az alábbi adatokra a Lagrange féle interpoláció polinomot, é zámíta ki a polinom értékét a megadott x 0 helyen. x i x y i 0 0 Megoldá: A kereett harmadfokú polinom p 3 (x 3 f k L k (x, ahol k0 L k (x 3 i 0 i k x x i x k x i Ekkor p 3 (x ( + ( (x + (x (x ( + ( ( + (x + (x (x ( + ( ( + (x + (x + (x (x + (x + (x + ( + ( + ( ( + ( + ( 3 4 x3 9 4 x. 6 pont Ekkor az x 0 pontban a függvényérték p 3 (0.. Számíta ki az e At mátrixfüggvényt, ha A az alábbi: ( 3 A 4. A mátrix karakteriztiku polinomja p(λ A λ I ( 3 λ( λ + 4 λ + λ + (λ +, tehát a mátrixnak egy kétzere ajátértéke van, λ. Ekkor kereük azt a h(x a x + a 0 előfokú polinomot, amely megoldáa a h( e t, h ( te t Hermite-interpoláció feladatnak. Ekkor a megoldandó egyenletrendzer: a ( + a 0 e t, a te t, innen a te t, a 0 te t + e t. e At h(a te t A + ( te t + e t ( ( te t te I t 4te t ( + te t (Megjegyzé : Termézeteen a polinomot h(λ, t a λt + a 0 alakban i lehet kereni, az i ugyanez a megoldá. 3. Laplace-tranzformáció felhaználáával zámíta ki az alábbi kezdetiérték-feladat megoldáát! y 0, ha 0 t < 5, (t + 9y(t y(0 0; y (0, ha t 5,
Táblázat rézlet: L(e at f(t, ( F ( a, L(η(t af(t a, e a F (, L(η,, L(in, +, L(co, +. Legyen Y ( L(y, é η(t az egyégugráfüggvény, ekkor a megoldandó egyenlet é Laplace-tranzformáltja a következő: Innen Y ( y(0 y (0 }}}} 0 Y ( Az elő tagban parciáli törtekre bontunk: Ekkor Y ( y(t y (t + 9y(t η(t 5 +9Y ( e 5 ( + 9 Y ( }} e 5 ( + 9 + + 9 e 5 }} ( + 9 9 9 + 9. ( e 5 9 9 + + 9 3 3 + 9 ( η(t 5 9 η(t 5 co(3(t 5 + 9 3 in(3t 3 in(3t ha 0 t < 5, 3 in(3t + 9 9 co(3(t 5 ha t 5. 4. Egy gyárban három gép gyárt lemezalkatrézeket. A folyamat orán megérülhetnek a termékek. Az elő gépből 0,0 valózínűéggel, a máodik gépből 0, valózínűéggel, a harmadik gépből 0,08 valózínűéggel kerül ki érülten egy elem, ezért a termékek felét az elő gépen gyártják, a máodik é harmadik gépen pedig egy-egy negyedét. Egy érülé javítható, de cak ha 3mm-nél nem nagyobb átmérőjű. Egy érülé átmérője mm-ben mérve exponenciáli elozláú 0 ha t 0, f(t e t ha t > 0 űrűégfüggvénnyel. a. Mennyi a valózínűége, hogy egy érült terméket az elő gépen gyártottak? b. Minőégellenőrzékor 000 véletlenzerűen válaztott terméket vizgálunk meg. Mennyi az ezek között levő érültek zámának várható értéke é zóráa? c. Mennyi a valózínűége, hogy egy érülé nem javítható? Megoldá: a. Legyenek a B, B, B 3 eemények rendre azok, hogy egy adott terméket az.,., 3. gépen gyártottak. Ekkor B, B, B 3 telje eeményrendzert alkot. Legyen A eemény az, hogy a termék érült. A feladat zerint P (A B 0, 0 P (B P (A B 0, P (B 4 P (A B 3 0, 08 P (B 3 4 Ekkor a kereett valózínűég a Baye-tétel zerint P (B A P (A B P (B P (A B P (B + P (A B P (B + P (A B 3 P (B 3 00 00 + 0 4 + 8 00 4 00 0 0.
b. n000 terméket válaztunk ki, egy termék pedig P (A P (A B P (B +P (A B P (B +P (A B 3 P (B 3 0, 05 valózínűéggel lez hibá. Ekkor a hibáak ξ darabzáma a mintában binomiáli elozláú n 000 é p 0, 05 paraméterekkel (ξ Bin(000; 0, 05, tehát Eξ n p 000 0, 05 50, Dξ np( p 000 0, 05 0, 95 50 0, 95 47, 5. c. Legyen η a érülé átmérője, ekkor P (η > 3 3 f η (x dx F η (3 e 3. 4 pont Mindegy, hogy az integrállal zámoljuk ki vagy integráláal meghatározzuk az elozláfüggvényt, eetleg fejből tudjuk az exponenciáli elozlá elozláfüggvényét. Bármelyik megoldára jár a pont.