Útuttó fizik feldtok egoldáához (izik1 villoérnököknek) Srkdi Tá, Márku erenc A fizik1 tárgy egyik célkitűzée, hogy hllgtókt hozzázoktuk fizik feldtok ziboliku záítá egítégével vló egoldáához, zeben z egye középikolákbn egzokott nueriku egoldái ódzerekkel. Az lábbi példávl zeretnénk eguttni ziboliku záítá előnyeit, vlint nueriku egoldái ódzer hátrányit. eldt. Egy 100 kg töegű utó v 0 108 k/h ebeéggel közlekedik. A ofőr fékezni kezd. A fékezé orán z utór indvégig 5000 N fékezőerő ht z ábr zerint. Mekkor utt tez eg z utó fékezé kezdetétől egálláig, zz ekkor z utó fékútj? 1. Sziboliku egoldái ódzer (Jvolt!) Nézzük eg, hogyn oldhtjuk eg fenti feldtot ziboliku záítái ódzerrel. A egoldái ódzer lényege, hogy fiziki ennyiégeket zibóluokkl, betűkkel jelöljük. Az egyenleteket zibóluok rendezéével oldjuk eg, íg el ne jutunk végő forulához, ziboliku egoldához. Utoló lépéként behelyetteíthetjük z dtokt ziboliku egoldá képletébe. A rendelkezére álló dtokt átváltjuk SI értékrendzerbe. 100kg k 108 30 h 5000N Az utót töegpontnk tekintjük, problé egoldáához tehát töegpont ozgáegyenletét, Newton II. törvényét hználjuk, elyet z lábbi vektoregyenlet fejez ki: r r (1.1) A problé tekinthető egydienziónk, hizen ozgá pályáj egyene. Pozitív iránynk tekintük z utó hldái irányát. A fékező erő negtív iránybn ébred, tehát z utó gyorulá előjelhelyeen z (1.) kifejezéel dhtó eg. Mivel feldtot zibolikun oldjuk eg, töeg é erő dtokt ne helyetteítjük be képletbe. (1.)
A következő lépében eghtározzuk, ennyi idő zükége hhoz, hogy z utó egálljon. Tudjuk, hogy z utó egyenleteen változó ozgát végez, így z lábbi kinetiki özefüggéből indulhtunk ki: v t) v + t ( 0 (1.3) Mely tet ebeégét dj eg z idő függvényében. Az utó bbn t időpillntbn áll eg, ikor fenti függvény v(t)0 értéket vez fel. Az lábbi egyenletből kell tehát kifejeznünk t-t. v 0 0 + t t 0 v (1.4) Ezzel kptunk egy kifejezét, ely egdj, ennyi idő kell z utó egálláához, nueriku dtokt zonbn ne helyetteítjük be. Száítuk ki, ekkor utt tez eg luló járű ennyi idő ltt. Ehhez z lábbi kinetiki özefüggét hználjuk: + t t (1.5) A fenti egyenletben t helyére behelyetteítjük (1.4)-ben kpott özefüggét, é kpott eredényt lgebrilg egyzerűítjük. + (1.6) A kpott kifejezébe behelyetteítjük gyorulá értékére korábbn eghtározott (1.)-e özefüggét, iáltl következő eredényt kpjuk: (1.7) A fenti özefüggé feldt ziboliku egoldá. A képlet ugyni eguttj, hogy egdott préterektől hogyn függ fékút. Utoló lépében behelyetteíthetjük nueriku értékeket z (1.7)-e özefüggébe: 100kg 30 108 *5000N (1.8) Az utó fékútj tehát 108.
Láuk, iért célzerű feldtokt ziboliku záítál egoldni! 1) A záológépet ck végén kell elővenni. A inilizált ennyiégű nueriku záolá keveebb hiblehetőéget rejt gábn. Az elvégzendő záolái feldt okzor olyn egyzerű, hogy kár fejben i kizáíthtó. Jelen eetben például z egéz záok hlzán i elvégezhető űvelet. ) Keveebb kerekítéből zárzó ponttlnágot vizünk záoláb hhoz képet, inth inden rézeredényt kizáítottunk voln nuerikun. Ugyni inden rézeredény eghtározákor bizonyo kerekítéel élnénk, ely záolát lépéről lépére ponttlnbbá tezi. (v.ö.. fejezet) 3) H egváltozttjuk kiindulái prétereket, ne kell telje gondoltenetet újr végigjárni, elég ck z új dtokt behelyetteíteni z (1.7) özefüggébe. Ezzel dott eetben gépidőt tkríthtunk eg. 4) A végeredényként kpott ziboliku kifejezé feltárj z özefüggéeket ennyiégek között. Ez izik lényege! Az özefüggéek elezéét, következtetéek levonáát dizkuziónk hívják. Erre látunk példát z lábbikbn: Az (1.7)-e kifejezéből könnyedén kiolvhtjuk, hogy fékút egyeneen rányo z utó töegével, hizen z zálálóbn zerepel. Ez hétköznpi tpztltinkkl teljeen egybevág. Egy nehéz, pontobbn ngy tehetetlenégű járű, pl. egy vont fékútj áltlábn hozbb, int egy ki töegű utóé. Az fékezőerő nevezőben zerepel. Tehát inél erőebb fék, nnál rövidebb fékút. Ez világo. Igen eglepő lenne, h zálálóbn bukknn fel. Nyobn átnéznénk levezetét, ninc-e benne hib. Tehát ziboliku záolá könnyebben ellenőrizhető. (Tnárként i könnyebb jvítni ziboliku záítál leírt levezetéeket, dolgoztbn könnyebb rézpontokt dni z egye levezetéi lépéekre.) Még egy érdeke özefüggé i kiolvhtó z (1.7)-e egoldából. A fékút kezdőebeég négyzetével rányo. (Az utóvezetők záár életbevágón fonto lehet, hogy ezek zerint ebeégkorlát 0 %-o túllépée fékutt 44 %-kl növeli eg.) Mindez rejtve rd z előtt, ki feldtot nuerikun oldj eg. H tovább nézzük z (1.7) végeredényt, felfedezhetjük benne járű kezdeti kinetiku energiájár vontkozó E 0 1 / v 0 özefüggét. 1 1 E0 (1.9) Megállpíthtjuk tehát, hogy z utó fékútj egyeneen rányo kezdeti kinetiku energiájávl, é fordítottn rányo fékező erővel. Az (1.9)-e özefüggé é unktétel közötti kpcolt feltáráát z Olvór bízzuk.
. Nueriku egoldái ódzer (Kerülendő!) Elrettenté gynánt beuttjuk okk záár egzokott, de kevébé zerencé nueriku egoldái ódzert. A fiziki ennyiégek konkrét nueriku értékeit leírv állítjuk fel z egyenleteinket, z egyenletrendezé orán indvégig záokkl dolgozunk. A rendelkezére álló dtokt átváltjuk SI értékrendzerbe. 100kg k 108 30 h 5000N Az utót töegpontnk tekintjük, problé egoldáához tehát töegpont ozgáegyenletét, Newton II. törvényét hználjuk, elyet z lábbi vektoregyenlet fejez ki: r r (.1) A problé tekinthető egy dienziónk, hizen ozgá pályáj egyene. Pozitív iránynk tekintük z utó hldái irányát. A fékező erő negtív iránybn ébred, tehát z utó gyorulá előjelhelyeen (.) kifejezéel htározhtó eg. Mivel feldtot nuerikun oldjuk eg, töeg é erő dtokt egyből behelyetteítjük képletbe, é két tizedejegy pontoággl kizáítjuk gyorulát: 5000N 100kg 4,16 (.) A következő lépében eghtározzuk, ennyi idő zükége hhoz, hogy z utó egálljon. Tudjuk, hogy z utó egyenleteen változó ozgát végez, így z lábbi kinetiki özefüggéből indulhtunk ki: v t) v + t ( 0 (.3) Mely tet ebeégét dj eg z idő függvényében. Az utó bbn t időpillntbn áll eg, ikor fenti függvény v(t)0 értéket vez fel. Mivel feldtot nuerikun oldjuk eg, z dtokt rögtön behelyetteítjük fenti egyenletbe, é egyenlővé tezük nullávl: 0 30 4,16 t (.4) A nueriku egyenletet egoldjuk t-re két tizedejegy pontoággl, z lábbi eredényt kpjuk:
t 7, 1 Tehát 7,1 idő ltt áll eg z utó. Száítuk ki, ekkor utt tez eg luló járű ennyi idő ltt. Ehhez z lábbi kinetiku özefüggét hználjuk: v t + 0 t (.5) A nueriku dtokt behelyetteítjük képletbe, é kizáítjuk fékút hozát: 4,16 v t t 30 7,1 0 18 Tehát z utó fékútj 108,18. Láuk, iért ne célzerű fenti egoldái ódzert hználni! 1) Sokt kell felelegeen nyokodni záológépet. ( 7,1) 16,3 108,1 108, (.6) ) A záolá eredénye igen ponttln. A helye eredény ugyni 108 lenne, (v.ö. ziboliku záítái ódzer (1.8)) A ponttlnág ok, hogy inden rézeredény kizáítákor kerekítettük z eredényeinket, kerekítéi hibák feldt egoldá orán pedig hlozódtk. Hiáb záoltunk tehát két tizedejegy pontoággl, ár végeredény elő tizedejegye i fl inforációt hordoz. (Egy utó fékútjánál 18 c tévedé kár bleetvezélye i lehet) 3) A ppírr vetett ok zá eltkrj gondoltenet lényegét. Nehezen derül ki, h hibát vétettünk záolábn, ég nehezebben, hogy hol vétettük hibát! (Egy tnár ligh tud értékelni egy záokkl áttekinthetetlenül teleírt dolgoztot.) 4) H ódoítjuk kezdeti dtokt, pl: nézzük eg, hogy lkul fékút 50 k/h ebeég ellett, teljeen újr kell záolnunk z egézet. Eredénye tnulát kívánunk!