Élesmenetű csavar egyensúlya másként A szakirodalom ld pl: [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] tanulmányozása során feltűnt, hogy ~ leginkább a laposmenetű csavar erőjátékának vizsgálatát közlik, annak egyensúlyi állapotában; ~ az élesmenetű csavarra vonatkozó elemzések körül nincs minden teljesen rendben Ez utóbbi alatt azt értem, hogy elvileg egymástól lényegesen eltérő levezetések találhatók a könyvekben, melyek talán nincsenek igazán megvilágítva Minthogy úgy tűnik, van itt némi elrendeznivaló legalábbis számunkra, nézzük meg, mit tehetünk ez ügyben Ehhez tekintsük az 1 ábrát is! 1 ábra Az 1 ábrán egy élesmenetű csavar egy részét ábrázoltuk; a csavart az M erőpár és a V erő terheli A csavarszár a menete alsó felületén támaszkodik fel az anyamenet megfelelő szakaszára Az alsó menetfelület egy r k közepes sugarú csavarvonala P pontjában a felületre merőleges elemi dn nyomóerő, valamint ds súrlódóerő ébred Utóbbi hatásvonala a közepes csavarvonal α k menetemelkedési szögével egyező hajlású csavarvonal - érintő, nyílértelme pedig olyan, hogy az elfordulást akadályozni igyekszik Az élesmenet profilját a β fél - ékszög jellemzi Az 1 ábrán feltüntettük a síkba terített közepes csavarvonalat is Az adott csavarmenetre állandó h menetmagassággal a közepes menetemelkedési szögre írható [ 4 ], hogy
2 h tg k 2 rk ( 1 ) A továbbiakban ( 1 ) - ben néhol kényelemi okok miatt elhagyjuk a k indexet Mivel a dn elemi nyomóerő a menetfelület P pontbeli érintősíkjára merőleges hatás - vonalú, ezért a szögviszonyok jellemzéséhez előállítjuk ezt az érintősíkot ld: 2 ábra! 2 ábra A 2 ábra [ 3 ] nyomán készült Itt PQ : a P ponton átmenő csavarvonal hengerének alkotója Az SQ egyenes az alapkörhöz a Q pontban húzott érintő; ha ennek S pontjából α k szög alatt húzott egyenes átmegy a P ponton, akkor az SP egyenes a P pontbeli csavarvonal érintője Tudjuk, hogy az élesmenetű csavartestnek a henger tengelyén átfektetett síkkal való metszete olyan háromszög, melynek oldalai a vízszinteshez β szög alatt hajlanak Ha tehát a QO sugár meghosszabbítására úgy mérjük fel a β szöget, hogy annak ferde szára P - n menjen át, akkor az RP egyenes a csavarfelület P - beli alkotója Minthogy az egyenes vonalú csavarfelület P - beli érintősíkját kifeszíti a csavarvonal P - beli érintője és a P - n átmenő alkotója [ 6 ], így az RP alkotó és az SP érintő kifeszítik az alsó csavarfelület P pontbeli érintősíkját
3 A 2 ábra jobb oldali részén is megtalálható, a további számításhoz szükséges derékszögű háromszögeket a 3 ábrán gyűjtöttük össze 3 ábra A 2 ábra alapján közvetlenül: d x y z ; ( 2 ) D D D a 3 ábra felső része alapján: x D dcos, yd dcos, zd dcos ( 3 ) Most ( 2 ) és ( 3 ) - mal: 2 2 d dcos dcos dcos, innen: 2 cos cos cos 1 ( 4 ) Majd a 3 ábra alsó része alapján:
4 d cos, u d cos, v d cos w ( 5 ) Ezután ( 4 ) és ( 5 ) - tel: 2 d d d 1 u v w ( 6 ) Ismét a 2 ábra alapján: w u, tg w v tg ( 7 ) Most ( 6 ) és ( 7 ) - tel: 2 d d d tg tg 1, w w w innen: d 1 w 1 tg tg 2 2, ( 8 ) majd ( 5 ) és ( 8 ) - cal: 1 cos 1 tg tg ( 9 ) Most egy függőleges vetületi egyensúlyi egyenlettel: V dncos dscos 90 0, innen:
5 V Ncos Ssin ( 10 ) Most a Coulomb - súrlódás képlete szerint: S N, ( 11 ) így ( 10 ) és ( 11 ) - gyel: V N cos sin ( 12 ) Most alkalmazzuk a virtuális munka elvét [ 1 ], [ 2 ]! M Vz Sl 0 ( 13 ) Ezután vessünk egy pillantást a 4 ábrára! Eszerint is: s r, z r tg, r l cos 4 ábra Forrása: [ 1 ] ( 14 ) Most ( 13 ) - at átírva ( 14 ) - gyel:
6 r M Vr tg S 0, cos innen: r M Vr tg S cos Most ( 11 ) és ( 15 ) - tel: r M V r tg N cos Majd ( 12 ) - ből: V N cos sin Ezután ( 16 ) és ( 17 ) - tel: r V M Vrtg cos cos sin ( 15 ) ( 16 ) ( 17 ) ( 18 ) Bevezetjük a P M r ( 19 ) jelölést, így ( 18 ) és ( 19 ) - cel: 1 P V tg cos cos sin ( 20 ) Újabb egyszerűsítő jelöléssel, ( 20 ) - ból: P V Z, ( 21 ) ahol: 1 Z tg cos cos sin Most ( 22 ) - ből ( 9 ) - cel: 1 Z tg ; cos 1 sin 1 tg tg ( 22 ) ( 23 )
7 azonos átalakításokkal: 1 tg tg Z tg cos 1sin 1 tg tg tg 1 sin 1 tg tg 1 tg tg cos 1sin 1 tg tg sin tg 1 tg tg 1 tg tg cos cos 1sin 1 tg tg 2 tg 1 2 tg tg 1sin tg 1 tg 2 tg 2 cos 2 cos cos 1sin 1 tg tg 1sin 1 tg tg tg cos 1 tg tg 1 sin 1 tg tg, tehát: tg cos 1 tg tg Z ( 24 ) 1 sin 1 tg tg Majd ( 21 ) és ( 24 ) - gyel: tg cos 1 tg tg P V, 1sin 1 tg tg ( 25 ) illetve ( 19 ) és ( 25 ) - tel: tg cos 1 tg tg M V r 1sin 1 tg tg ( 26 ) A ( 26 ) képlet adja meg az élesmenetű csavar egyensúlya illetve állandó sebességű teheremelése esetén a szükséges forgatónyomaték nagyságát Az alkalmazott szokásos feltevések mellett ez a pontos képlet Ez a dolgozat azért született, mert ezt vagy egy hasonló képletet csak nagyon ritkán lehet találni a szakirodalomban Úgy is fogalmazha - tunk, hogy elvileg helytelen, bár gyakorlatilag elegendően pontos képletek terjedtek el, gyakran meg sem említve azok közelítő mivoltát
Az említett képletek a pontos képlet speciális eseteiként adódnak Speciális esetek: S1) 0 ( * ) Ekkor fennállnak az alábbiak is: cos 1, sin tg, 2 1 tg 1 8 ( 27 ) Most ( 26 ) és ( 27 ) - tel: 2 tg tg 1 tg cos M V r Vr ; 2 1 tg 1 tg 1 tg cos bevezetve a tg * cos rövidítő jelölést, ( 28 ) és ( 29 ) - cel kapjuk, hogy tg tg * M* Vr Vr tg * 1 tg tg * ( 28 ) ( 29 ) ( 30 ) Többnyire ezt a képletet találjuk meg a tankönyvekben / szakkönyvekben, az élesmenetű csavarra S2) 0, 0 ( ** ) Ekkor ( 29 ) - ből: tg * tg, ( 31 ) cos0 így ( 30 ) és ( 31 ) - gyel: tg tg M** Vr Vrtg 1tg tg ( 32 ) Többnyire ezt a képletet találjuk meg a tankönyvekben / szakkönyvekben, a laposmenetű csavarra
9 Megjegyzések: M1 A 4 ábra laposmenetű csavaremelő esetét szemlélteti M2 A ( 25 ) képlet majdnem ugyanebben az alakjában megtalálható [ 3 ] - ban Sokszor mondtuk már: régi könyv nem rossz könyv! M3 A 2 és a 3 ábra ismerős lehet; nem véletlenül, mert az axonometrikus ábrázolással kapcsolatos levezetéseink során is alkalmaztunk hasonlókat, illetve a belőlük kinyerhető összefüggéseket M4 Több szerző vektoralgebrai úton állítja elő a szükséges képleteket Egy nem szokványos megoldás található pl: [ 7 ] - ben Eszerint, az itteni jelölésekkel: cos sin cos M Vr, cos cos sin ahol 1 2 cos sin cos Most ( a ) - val: cos cos sin M cos sin cos cos Vr cos cos sin sin cos cos cos cos sin tg cos cos sin cos 1 tg cos cos ( a ) ( b ) ( c ) Ezután ( b ) - vel: 1 1 1 2 cos cos sin cos 1 tg cos, innen:
10 1 cos ( d ) 1 tg cos Most ( c ) és ( d ) - vel: tg M cos tg 1 tg cos Vr 1 tg 1tg 1tg cos cos ámde 2 1tg cos sin cos tg cos cos 1tg tg, így 1 tg cos cos 1 tg tg ( f ) ; ( e ) Majd ( e ) és ( f ) - fel: M tg 1 tg cos tg cos 1 tg tg Vr 1tg 1tg cos 1tgcos 1tg tg tg cos 1 tg tg 1 sin 1 tg tg, ( g ) tehát ( g ) - ből: tg cos 1 tg tg M Vr 1sin 1 tg tg ( h ) A ( h ) képlet tartalmazza a ( 26 ) képletet is, ám nem csak a teher emelésére, hanem a süllyesztésére is érvényes; utóbbi az alsó előjelekkel Az elvégzett átalakítások során egyúttal néhány lehetséges képletalak - változatot is bemutattunk M5 Ha bevezetjük a ' 1 cos tg tg ' ( i ) képlettel értelmezett látszólagos súrlódási tényezőt v ö: [ 4 ]!, akkor az ( e ) és ( i ) képletekkel:
11 tg ' tg tg ' M Vr Vr Vrtg ' 1 tg ' 1 tg tg ' ( j ) M6 A csavar meghúzásához / a teher emeléséhez, illetve a csavar meglazításához / a teher süllyesztéséhez szükséges kerületi erő nagysága a ( 19 ) és a ( j ) képletekkel: P V tg ' ( k ) M7 A szakirodalom egy részében v ö: [ 4 ]! eltérés található fentiekhez képest; ott ugyanis az élesmenet ékszögét β - val jelölik, míg itt azt mi 2β - val jelöltük Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk másként Irodalom: [ 1 ] Muttnyánszky Ádám: Statika 8 kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1964 [ 2 ] L G Lojcjanszkij ~ A I Lurje: Kursz teoreticseszkoj mehaniki Tom 2: Dinamika 6 izdanije, Moszkva, Nauka, 1983 [ 3 ] Nagy Dezső: Dinamika Magyar Mérnök és Építész Egylet, Budapest, 1905 [ 4 ] Zsáry Árpád: Kötőelemek és kötések Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973 [ 5 ] Herrmann Miksa: Gépelemek Németh József Technikai Könyvkereskedése, Budapest, 1924 [ 6 ] Hajdu Endre ~ H Temesvári Ágota: Konstruktív geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995 [ 7 ] Franz Ziegler: Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper Springer Verlag Wien / VEB Fachbuchverlag Leipzig, 1985 Sződliget, 2011 január 15 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár