GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet, mik az elemei. halmaz, az "okos emberek" nem. Jelek:,, {...},, :=,,, \ 2. Nevezetes halmazok: R, Q, Z; N = {0,, 2,...}, N + = {, 2,...} 3. Halmaz megadása: i Elemekkel, pl. A := {3, 5, 2}. ii Más halmazokból. Pl: "A bp-i egyetemek" M veletekkel: A B, A B, A \ B. Venn-diagram. Példa: A := {3, 2, 2}, B := {3, 4}. Adjuk meg az A B, A B, A\B halmazokat! Tulajdonsággal: pl. R + := {x R : x > 0} Példa: adjuk meg elemeivel az A := {x R : x páros egész szám és 2 < x < 7} halmazt! II. Elemi logika. 0. Jelek:,,!,,,. Matematikai állítás: amir l eldönthet, igaz-e. Pl.: A. "Mo. f városa Róma." Ez mat. állítás, és hamis. B. "Budapest szép város." Ez nem mat. állítás. Az els ellenkez je azaz tagadása: A = "Mo. f városa nem Róma", ez igaz állítás. 2. Fontos szabályok. i A B = B A. Vigyázat! A B A B. Példák: Ha havazik, akkor hideg van = Ha nincs hideg, akkor nem havazik. De: Ha nem havazik, akkor nincs hideg. Ha n 4-gyel osztható, akkor páros = Ha n páratlan, akkor nem osztható 4-gyel. De: Ha n nem osztható 4-gyel, akkor páratlan. ii Tagadás. a de Morgan: A vagy B = A és B, A és B = A vagy B Pl.: írok vagy olvasok = nem írok és nem olvasok írok és olvasok = nem írok vagy nem olvasok b Kvantorok: legyen T egy tulajdonság pl. T x= "x pozitív". Ekkor: x T x = x T x szabály ellentéte: kivétel; x T x = x T x Pl. minden rovar bogár = van olyan rovar, amely nem bogár van olyan üvegem, ami színes = minden üvegem színtelen
c Következtetés tagadása: el bb átfogalmazni "minden"-nel. Pl.: Ha valaki magyar, akkor pesti = Minden magyar pesti = Van olyan magyar, aki nem pesti Pl.: Ha n pozitív egész, akkor n is pozitív egész = Minden n pozitív egész esetén n is pozitív egész = Van olyan n pozitív egész, hogy n nem pozitív egész 3. Más összetett állítások. Példa. Igaz állítás-e: "A napot mozogni látjuk, mert a Föld forog." Igaz, mert az állítás szerkezete "A és B és A B", és mindhárom részállítás igaz. 4. Szükséges, elégséges feltétel fogalma B A esetén: B A-nak elégséges, A B-nek szükséges feltétele. Példa: az, hogy A valaki élt 999-ben, annak, hogy B látta a napfogyatkozást, szükséges, de nem elégséges feltétele. Itt B A, de A B. 2
Házi feladatok.. Tagadjuk! "Vagy észak felé kell indulnunk, vagy vissza kell fordulnunk." "Esik az es és fúj a szél." "Minden puha szilva kukacos." "Van színtelen virág." "Minden krétai hazudik." "Ha egy szilva puha, akkor kukacos." "Ha egy csónak felborul, akkor az evez i eltörnek." "Ha x valós szám, akkor x 2 pozitív." "Ha egy természetes szám páros, akkor 0-ra végz dik." 2.Döntsük el az alábbi állításokról, hogy i igaz-e az els fele, a második fele, ill. ha mindkett igaz, akkor igaz-e a következtetés. Relációanalízis ii igaz-e az egész összetett állítás. a. "Magyarország éghajlata szárazföldi, mert közel van az Atlanti-óceánhoz." b. "Hazánk népessége fogy, mert a születések száma alacsony és a halálozásoké magas." c. "Ausztria jelent s idegenforgalommal rendelkezik, mert az EU tagállama." 3. Döntsük el, szükséges, elégséges, ill. szükséges és elégséges feltétele-e i annak, hogy valakinek jogosítványa van, az, hogy elmúlt 4 éves? ii annak, hogy x pozitív szám, az, hogy x 2 pozitív szám? iii annak, hogy x 2 4, az, hogy x legalább 2 és legfeljebb 2? iv annak, hogy egy természetes szám 0-ra végz dik, az, hogy páros? 4. Egy társaságról tudjuk, hogy aki vidéki, az vonattal jött. Az alábbiakból melyikben lehetünk biztosak? i Aki nem vidéki, az nem vonattal jött. ii Aki vonattal jött, az vidéki. iii Aki nem vonattal jött, az nem vidéki. 5. i Legyen A := {n N + : n 3}, B := {n N + : 2 n 4}. Adjuk meg elemeikkel az A, B, A B, A B, A \ B halmazokat! ii Egy könyvtárban 67 ember dolgozik. Angolul tud 47, németül 35, mindkét nyelven 23 munkatárs. Hány f nem tud sem angolul, sem németül? Útmutatás: rajzoljuk fel a Venn-diagramot, és írjuk bele a megfelel számokat. iii Egy sportklubnak atlétika- és fociszakosztálya van. A klub 30 tagjából 3 tagja az atlétika- és 20 a fociszakosztálynak. Hányan tagok mindkett ben? Útmutatás: hasonlóan, mint el bb. 3
2. Elemi számolások, százalékszámítás. Algebrai alapismeretek.. Feladatok abszolút értékkel, esetszétválasztás. Abszolút érték fogalma: a := a, ha a 0 és a, ha a 0. Pl.: 2 = 2 = 2. Példák: i Mely x R számokra áll fenn az x 3 = 8 egyenl ség? Ha x 3 0, azaz x 3, akkor x 3 = 8 megoldása ; ha x 3 0, azaz x 3, akkor 3 x = 8 megoldása -5. Azaz, a és -5 számokra. ii Legyen a R, R > 0. Igazoljuk, hogy az {x R : x a R} halmaz azonos az [a R, a + R] ún. a körüli R sugarú zárt intervallummal! Az x a és x a esetek szétválasztásával oldjuk meg. 2. Százalékszámítás. A B-nek s százaléka, ha A = B s 00. Példák.. Egy ember 7.000 eurót zetett foglalóként egy ház vásárlásánál. Mennyibe került a ház, ha ez az egész összeg 20 %-át tette ki? F = H 20, azaz 7.000 = H 0.2 = H/5, így H = 5 7.000 = 85.000 euróba. 00 2. Ha egy áru ÁFÁ-ja 25%, hány százaléka a nettó ár a bruttónak? 00 25 = 0.8 része, azaz 80%-a. 3. Számok normálalakja. Ha x R +, akkor egyértelm en felírható x = r 0 k alakban, ahol r < 0 és k Z. Pl. Egy elem atomsúlya S, ha mól azaz 6 0 23 = 600...0 db, ez az Avogadro-szám atom tömege S gramm. Ha a szén atomsúlya 2, mennyi egy szénatom tömege? 2 = S = 6 0 23 x gramm, így x = 2 6 0 23 = 2 0 23 gramm. 4. Fontos szimbólum: Példák: n k= n k=m := + +... +, k 2 n a k := a m + a m+ +... + a n. Írjuk fel -val: 2 + 4 +... + 2 = 6 2k. 5. Fontos kifejezések. 6 k 2 := 4 2 + 5 2 + 6 2, k=4 Polinom: a változó egyes hatványainak számszorosait adjuk össze. Pl.: egyváltozós: x 4 x2 2 + ; kétváltozós: x2 y 3 x2 2 + xy 4 Algebrai tört: polinomok hányadosa. k= Feladat: alakítsuk algebrai törtté, egyszer sítsünk, és adjuk meg a legb vebb értelmezési tartományt! a x y x2 y 2 = x yy x2 y 2 = xy y2 x 2 +y 2 x xy xy xy b További példák: x y x+y, x+y x y = xy x2 xy a a b b+, u 3 u 2 + u 2. 4 = y x y x, y 0
6. Gyöktelenítés: ha egy a b kifejezést beszorzunk a + b-vel, akkor a 2 b 2 = a b lesz. Pl. nevez gyöktelenítése: 3 3 2 = 3 3+ 2 3 2 = 3 + 6. Házi feladatok.. a Igazoljuk: ha a R, b 0, akkor: a b b a b. b Mely x R számokra áll fenn, hogy x 5 2? Ábrázoljuk is a kapott x-ek halmazát. c Mivel azonos az {x R : x 2 3} halmaz: az {x R : x 3} vagy {x R : x 3} halmazzal? Mindegyiket ábrázoljuk! 2. a Egy autó eredeti ára 9000 euró volt, de csökkentették 7200 euróra. Hány százalékos volt az árcsökkenés? b A tej tömegének 7,3 %-a tejszín, a tejszín tömegének 62 %-a vaj. Mennyi vaj lesz 5 l tejb l? Hány liter tejb l készült 5 kg vaj? liter tej kb kg. c Évi hány százalékkal kellene az USA-nak csökkentenie károsanyag-kibocsátását, hogy 3 év alatt 27,%-os legyen a csökkenés? 3. a Az ún. Planck-hossz az elvileg legkisebb mérhet hosszúság, kb..6 0 35 méter. Az ún. Planck-id a legrövidebb mérhet id tartam, egy fotonnak ennyi id re lenne szüksége, hogy a kb. 3 0 8 m/s fénysebességgel megtegyen egy Planck-hossznyi távolságot. Számítsuk ki a Planck-id t. b Egy átlagos feln tt hány lépéssel kerüli meg a Múzeumkertet? Információk: egy :5000 méretarányú térképen az út 3,8 cm, az átlagos lépéshossz 75 cm. 4. Igaz-e? a n b a k c = n a k c a m, a m+,..., a n, c R k=m k=m n k 2 = n j + 2 = n k + 2 n 2 k=2 j= k= 5. Alakítsuk algebrai törtté, egyszer sítsünk, és adjuk meg a legb vebb értelmezési tartományt! a x y xy 2 2x+y x 2 y b k2 kl k2 l+kl 2 k 2 +kl k 2 l 2 c x+ x x 2 x+2 8 + 4 x 2 d Polinommá alakítható-e az alábbi algebrai tört? x 4 y 4 x+yx 2 +y 2 6. a Számítsuk ki 8+ 2 8 2 pontos értékét. ahol x y. b Igazoljuk, hogy 250 nem egészen 0.0-gyel nagyobb 2500 = 50-nél! 5
3. Egyenletek I. Bevezetés. Egyenlet megoldása: Módszere: egyenletrendezés, azaz az összefüggés egyszer sítése, törtek és gyökös kifejezések megszüntetése, az ismeretlen átrendezése egy oldalra. a helyes megoldás elve: ekvivalens átalakítások. Hibalehet ségek: gyök elvesztése, vagy hamis gyök. a megoldások száma: nem feltétlenül egy, lehet több megoldás is, vagy hogy nincs megoldás. Példák. i Mely x R esetén x 2 = 4? x = ±2. Nem elég x = 2, akkor elvesztenénk a -2-t. ii Mely x R esetén x = x? Megoldás: A gyök miatt eleve csak x 0 lehet, így ekvivalens átalakítás: x = x 2. Most egy nem ekvivalens átalakítás: osztunk x-szel, így x =. Ez csak x 0 esetén jó, így x = 0-t is meg kell nézni, ez is megoldás. iii Mely x R esetén x = x? Nem ekvivalens átalakítás: ha x megoldás, akkor x = x 2. Ebb l, mint az el bb, x = vagy 0. Visszahelyettesítve: csak x = 0 jó. II. Lineáris els fokú egyenletek Megoldása: rendezzük ax = b alakra ahol a, b R adott, x =?; ha a 0, akkor x = b/a. Ha a = 0, akkor b = 0 esetén x R jó, b 0 esetén megoldás ez már az átrendezés el tt is kiderülhet.. Mely x R esetén igaz, hogy a 2x + 7 = 9 x ; b 3x 6 = 3x 2? 2 2. Egy motorcsónak sebessége állóvízben 6 km/h. Ugyanannyi id alatt tesz meg árral szemben 3 km-t, mint árral 5 km-t. Mekkora sebességel folyik a folyó? Az egyenlet: ha a folyó sebessége x, akkor a csónaké árral, ill. árral szemben 6+x, 5 ill. 6 x. Az id =út/sebesség képlet alapján tehát = 3. Átrendezve 6+x 6 x 56 x = 36 + x lineáris, ezt megoldva x = 4 km/h. III. Másodfokú egyenletek. Alakja: ax 2 + bx + c = 0 a, b, c R, a 0. Megoldóképlet: x,2 = b± b 2 4ac 2a ; a valós megoldások száma 2, v. 0. Példák: a x x = 2. Átrendezve: x 2 x 2 = 0, a képletb l x = és 2. b x 32 2 = 8. Ez kifejtve a fenti alakú, azaz másodfokú. Itt azonban ez fölösleges, egyszer bb az átszorzás után gyököt vonni: x 3 2 = 6, azaz x 3 = ±4, azaz x = 7 és. A megoldóképlet is így jön ki. 6
IV. Egyenletek törtekkel racionális törtfüggvényekkel: a közös nevez vel felszorozva polinomot kapunk. Ha ez els - vagy másodfokú, akkor a fenti módon megoldható. Példák:. Lineárisra visszavezethet : i x + x = 3 x 2x + 2 = 3x 3 x = 5. 2 x + ii x = 3 x + x 2 x = ±3 2. Ha a jobb oldal + 3, akkor a fent kapott 5 a megoldás. 2 Ha a jobb oldal 3, akkor átszorozva 2x + 2 = 3x + 3 x =. 2 5 2. Másodfokúra visszavezethet : 2x 2 + 3x + 5 x = x + x 2x 2 + 3x + 5 = x 2 x 2 + 3x + 6 = 0. V. Paraméteres egyenletek: valamely állandókat nem rögzítünk, ennek függvényében nézzük, mik a megoldások. Pl.:. Az x + 2 = p x + 4 egyenletnek mely p R paraméter esetén van megoldása? Rendezve: p x + 2 = 0. Így, ha p = : nincs megoldás, ha p : x = 2/ p egyetlen megoldás. Pl. ha p = 2, akkor x + 2 = 2x + 4, azaz x = 2 a megoldás; ha p =, akkor x + 2 = x + 4, ez az, amikor nincs megoldás. 2. Mely p R esetén hány megoldása van és melyek? Átrendezve másodfokú lesz. x x + x + x = p 7
Házi feladatok.. Adjuk meg x 3 = x összes x R megoldását! 2. Mely x R esetén igaz, hogy a 4x + 0 = 2x; b 2 3 x + 0 = x 5 + 36 5 ; c 7x + 4 = 7x + 2; d 5x 2 = 5x +? 3. a Hány liter sót kell adni 00 liter 40%-os sóoldathoz, hogy 65%-os oldatot kapjunk? b Hány éves az a tölgyfa, amely 60 év múlva 5-ször annyi id s lesz, mint 20 évvel ezel tt volt? 4. a Oldjuk meg az x 2 x 6 = 0 egyenletet. b A v 0 kezd sebességgel felfelé hajított test t id alatt s = v 0 t g 2 t2 utat tesz meg, ahol g 0. Mennyi id alatt repül felfelé 2 métert a 7 m/s kezd sebességgel felhajított test? Vigyázat: a két gyökb l a kisebb kell, miért? Mit jelent a másik? 5. Oldjuk meg: a 2x + 3 4 x = 5 3 ; b x + 3 x 2 = 7 2 ; c 2 x = 7 x + 3 ; d x 2 2x + = x+2. 6. a A p R paraméter értékét l függ en hány megoldása van a pp x+ = p 2 egyenletnek? b A b R paraméter értékét l függ en hány valós megoldása van az x 2 +bx+ = 0 egyenletnek? c Mutassuk meg, hogy bármely a, b R esetén az x a2 = 2b 2 egyenletnek van 2 megoldása; hány van? x d A p R paraméter értékét l függ en van-e, és mi a megoldása az 4 x = p egyenletnek? 8
4. Hatványozás, logaritmus, egyenletrendszerek I. Hatványozás, logaritmus. a Ismétlés. i a n := a n, a 0 =, a n := n a, a m n := n a m. ii Ha a > 0, a, b > 0, akkor x := log a b az egyetlen valós szám, melyre a x = b. Röviden: a log a b = b. Nevezetes alapok: lg b := log 0 b; ln b := log e b ún. természetes alapú logaritmus, ahol e 2.7, def. kés bb. Feladat: adjuk meg az alábbi számok pontos értékét számológép nélkül: 9 2 ; 4 3 2 ; 8 4 3 ; log 2 4; log 2 2 ; log 4 2; log 5 ; 2 log 2 3 ; 6 log 4 3 ; 3 2 log 3 4 ; lg 00. b Exponenciális és logaritmusos egyenletek. Fel kell használni: deníciók; az exp és log függvények szigorú monotonitása, így egy értéket egyszer vesznek fel: a u = a v u = v, log a u = log a v u = v. azonosságok: a x+y = a x a y, a x y = ax, a x y = a xy ; a y x log a xy = log a x + log a y, log = log a y a x log a y, log a y c = c log a y, log a x = log b x log b a.. Oldjuk meg: a 3 2x 5 = 3 ; b log 2 x = 5; c lg3x 4 = lgx + ; d x + log 2 = 3; e lnx + 4 ln2x = x 2. Egy tenyészetben a baktériumok számát a t id pontban Nt = N 0 2 0.25 t képlettel írhatjuk le folytonos közelítéssel, ahol N 0 millió a kezdeti mennyiség a t = 0 id pontban, és az id t órákban mérjük. Hány óra alatt lesz a baktériumok száma a kezdeti mennyiség a 8-szorosa; b K-szorosa ha K > adott szám? II. Lineáris egyenletrendszerek megoldása. Oldjuk meg a "beszorzás azonos együtthatóra" módszerével! Hány megoldás van? Eredmények: 2x + 6y = 9 3x 4y = 7; 9x 3y = 6 6x 2y = 4; x y = 5 8x + 8y = 2. 3, egyértelm ; sok öszefügg egyenletek; nincs. 2 9
Házi feladatok.. a Adjuk meg az alábbi számok pontos értékét számológép nélkül: 4 3 2 ; 9 2 ; 8 2 3 ; log 3 9; log ; log 3 3 3 3; log 9 3; log 7 ; 5 log 5 3 ; 25 log 5 3 ; 5 2 log 5 9 ; lg0 4 ; lg 000000; log 2 2 π log ; log 2008 π + log 2008 π 2008 π ; log 2008 π. b Melyik nagyobb számológép nélkül, log 2 3 vagy log 4 8? c Hogyan számítható ki számológépen 7 2 a lg x és 0 x funkciók segítségével? 2. Oldjuk meg: a 5 x+ = ; b 25 372x 3 = ; c log 3 x = 2; d lg5x 4 = lg x; x + 2 e log 9 x = 3; f log 3 = 2; g lnx + 3 + lnx 3 = 2 x 3 3. Egy radioaktív izotóp bomlásánál az izotópok számát a t id pillanatokban egy id ben csökken exponenciális függvény írja le: Nt = N 0 e λt, ahol N 0 az N értéke t = 0 pillanatban, λ > 0 az ún. bomlási állandó, e 2, 7. Számítsuk ki az N 0 -tól független T felezési id t, azaz, amelyre bármely t 0 esetén Nt + T = Nt, 2 a ha λ = ln 2, azaz Nt = N 00 0 2 t 00 ; b általában λ függvényében! 4. Oldjuk meg! Hány megoldás van? 3x + 3y = 9 4x + 2y = 0; 5x + 3y = 8x 2y = 5; 7x y = 3 4x 2y = 6; x 2y = 3x 6y = 3; 4x y = 5 8x + 2y = 2. Eredmények: 2,,, -, 0,3, sok öszefügg k, nincs. 2 2 0
5. Mátrixok, vektorok. a Gyakoroljuk az A+B és A B mátrix, ill. az Ax vektor kiszámítását, tetsz legesen felírt A és B mátrixokkal és x vektorral! A 2 2 esetre kétszer, az egyik esetben az A = I mátrixszal; a 3 3 esetre egyszer. b Igazoljuk a denícióból, hogy c Mutassuk meg, hogy az lineáris egyenletrendszer LAER felírható 5 3 2 x y = 2 5 3 2 { 5x + 3y = 2 alakban! 2x + y = és 3 2 5 egymás inverzei! d Szorozzuk be a fenti LAER-t a mátrix b pontban kapott inverzével, és ellen- rizzük, hogy a kapott vektor koordinátái valóban megoldásai a LAER-nek! 2. Determináns kiszámolása. Gyakoroljuk tetsz legesen felírt mátrixokkal: a 2 2 esetre kétszer; a 3 3 e- setre legalább egyszer, ugyanazt Sarrus-szabállyal és az els sor szerint kifejtve is végigszámolva. 2 3. Számítsuk ki az A := mátrix sajátértékeit, és adjuk meg az összes, ill. 2 3 egy-egy konkrét sajátvektort! Eredmények: sajátértékek 4 és, egy-egy sajátvektor 2 és.
Házi feladatok.. a Számoljuk ki az A + B és A B mátrixokat, ill. az Ax vektort, ha 3 4 A =, B =, x =. 2 3 3 4 b Ellen rizzük az IA = A = AI azonosságot az A = a b 2. a Legyen A = c d b Számítsuk ki a fentib l a hogy az valóban inverz! 3. Determináns kiszámolása. a b 3 4 2 3, deta 0. Igazoljuk, hogy A = 3 4 2 3 =? 3 2 0 =? 3 5 2 =? 3 Sarrus-szabállyal, ill. az els sor szerint kifejtve is 3 2 0 2 3 4 5 =? 0 3 2 3 2 0 2 3 4 5 deta mátrixra! d b c a mátrix inverzét, és ellen rizzük a denícióból, =? 4. Számítsuk ki az alábbi mátrixok sajátértékeit, és adjunk meg egy-egy konkrét sajátvektort! 2 3 A =, B =. 2 3 2 Eredmények: A: 4 és, 2 és, ill. B: ± 6, 3 ± 6.. 2
6. Geometria, trigonometria, vektorm veletek I. Ismétlés. Vektor fogalma. Egy P pontot gyakran azonosítunk az OP vektorral. Vektor megadása: sor vagy oszlop. Pontok távolsága síkon ill. térben, polárkoordináták. Szögek értelmezése radiánban dimenziótlan, szögfüggvények. Írjuk fel az alábbi szögek radián értékét, ill. sin, cos és ha van tg értékeiket: 0, 30, 45, 60, 90, 50, 80, 270, 360. Periodikusság: sin α = sinα + 2kπ k Z, és cos-ra is. Példa: a Föld sugarának meghatározása. Eratoszthenész meggyelése: ha a Nap Syenében pontosan delel kútban tükröz dik, akkor a 800 km-re lev Alexandriában 7, 2 -os szögben esik be. Ebb l a sugár 800 km/tg 7, 2 800/0, 263 6334 km. Elemibb út: 7, 2 = 360 /50, így a kerület 800 50= 40 000 km. Háromszög további adatai 3 adatból sin- és cos-tétel. a Sin-tétel: sin α = b sin β = c sin γ. Cos-tétel. Mi lesz c 2 = a 2 + b 2 -tel, ha a derékszöget elrontjuk? c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Spec. esetek: γ = π/2 Pith.; γ = 0 c = a b. II. Feladatok.. a Milyen messze van a 3,-4 síkbeli pont az origótól? b Mekkora a 2,-3 és 7,9 síkbeli pontok távolsága? c Mekkora a 2,,- és 4, -2, térbeli pontok távolsága? 2. a Mekkora egy derékszög háromszögben az a befogó, amely 45 -os szöget zár be a mellette lév 0 cm hosszú átfogóval? b Mekkora egy derékszög háromszögben az az átfogó, amely 60 -os szöget zár be a mellette lév 3 cm hosszú befogóval? c Egy 40 m hosszú híd egyik hídf jénél állva a másik parton álló lámpaoszlopot a híddal 30 -os szöget bezáró irányban látjuk. Milyen messze van a lámpaoszlop a másik hídf t l? Feltesszük, hogy a híd és a part is egyenes, és mer legesek egymásra. 3. Adjuk meg az,- 3, a 0,3 és a 2,2 pontok polárkoordinátáit. 2 2 4. a Egy háromszög egyik oldala 0 cm hosszú, a csúcsainál lév szögek 60 és 45. Mekkora a másik két oldal? b Egy 60 -os útelágazástól A falu 7 km-re, B falu 4 km-re van egyenes úton, rajz. Mekkora A és B távolsága? kb. 6,08 km 5. a Számítsuk ki néhány tetsz legesen felírt vektor skaláris szorzatát! Két-két 2 és 3 dimenziós példa. b Számítsuk ki két-két tetsz legesen felírt 3 dimenziós vektor vektoriális szorzatát! 3
Házi feladatok.. a Mekkora a 2,- és 5,3 síkbeli pontok távolsága? b Mekkora az egységkocka testátlója? 2. a Egy 0 -os emelked n megtett út végén egy autó km-órája 2500 m-vel mutat többet. Mennyivel került magasabbra? b Egy 000 m magas fennsíkon állva az Ararát 40 km-re lév csúcsát vízszinteshez képest 6 -os szögben látjuk. Ez alapján milyen magas a csúcs tengerszint felett? c Egy egységnégyzet alapú négyzetes oszlopot elmetszünk egy 30 -os szögben emelked síkkal. Mekkora a síkmetszet területe? 3. a Adjuk meg az, 3, a -4,0 és a -,- pontok polárkoordinátáit. b Jelölje r és ϕ a síkbeli pontok polárkoordinátáit. Ábrázoljuk az r = 2, ϕ = π 4 koordinátájú pontot, ill. a C := {r, ϕ : r =, ϕ [0, 2π} halmazt! 4. a Egy 45 -os útelágazástól A város 0 km-re, B város 5 km-re van egyenes úton. Mekkora A és B távolsága? b Egy A-ból induló egyenes f útról a 3. km-nél jobbra 5 -os szögben ágazik el egy szintén egyenes út. Ezen 6 km után érünk B-be. Milyen messze van légvonalban A és B? c A Föld-Hold távolság 382,5 ezer km. Egy üstökös a Földr l nézve a Holddal 73 -os, a Holdon lév rállomásr l nézve a Földdel 06 -os szöget zár be. Milyen messze van a Földt l? 5. Számítsuk ki az alábbi vektorok skaláris és a c-d esetben vektoriális szorzatát! a a =, 2, b = 7, ; b a =, 2, b = 3, ; c a =, 2, 0, b = 3, 4, ; d a = 3,, 2, b =, 4, 2. 6. Számítsuk ki az alábbi vektorok által bezárt szöget! Útmutatás: cos γ = a b, ebb l egyértelm γ [0, π]. a b i a = 3, + 3, b = 4, 4; ii a =, 2, b = 6, 3. 7. Mutasuk meg a kiszámítási képletb l, hogy bármely térvektorra a a = 0. 4
7. Függvények I. Kompozíció fogalma x gx fgx, "két gép egymás után". Példák.. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g kompozícióját és annak legb vebb értelmezési tartományát! a fx := x + 4 x 4 és gx := x2 ; b fx := x 2 + e x és gx := 3x; c fx := x 2 és gx := x; d fx := x 3/2 és gx := x ; e fx := 2x és gx := 3x; f fx := 2x 3 és gx := x +. 2. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g h kompozícióját! fx := 0 x, gx := x és hx := x 2. 3. Szemléltessük az alábbi példákon, hogy általában f g g f! a fx := x 2 és gx := x + ; b fx := sin x és gx := 2x. 4. Az alábbi f g kompozíciófüggvények esetén adjuk meg, melyik az f és melyik a g függvény! a fgx = e 2x, b fgx = lnx 2, c fgx = x 3 2, d fgx = sin 2 x, e fgx = 4 + x, f fgx = 3x. 5. Az fghkx = + cos 2 x kompozíciófüggvény esetén adjuk meg, melyik az f, g, h ill. k függvény! II. Inverz fogalma: ha f injektív, akkor y f y az fx = y egyenl ség egyetlen x megoldása y R f esetén. A képlet kiszámítása után persze áttérhetünk x változóra! Adjuk meg az alábbi függvények inverzét! a fx := x 3 2x + x R, x /2; b fx := 4 + 3 2x x R; c fx := e 3x + 4 2 x R. III. Függvények ábrázolása.. Elemi függvények. Hatvány, exp, log: ismételjük át az 5. el adás III.a-b rajzait. Sin, cos grakonja. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! fx := x 6, x 5, x 5/2, x 4/3, x 2/3, x /4, x /2, 3 2 x, 2 5 x, 4 x, lg x. 2. fx + c, fx + c, c fx, f x, fc x ábrázolása, pl. a sin-függvényen. 3. Egyes térer sségek leírhatók az fr := c függvénnyel, ahol c > 0 állandó. r 2 Ábrázoljuk az f függvényt pl. c = 2 esetén! 5
Házi feladatok.. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g kompozícióját és annak legb vebb értelmezési tartományát! a fx := x2 + x és gx := ex ; b fx := x 2 és gx := sin x + 2; c fx := 2 x és gx := log 2 x; d fx := x és gx := x + 3. 2. Írjuk fel az alábbi valós függvények f g h kompozícióját! fx := 4x, gx := x és hx := 2 x +. 3. Az alábbi f g kompozíciófüggvények esetén adjuk meg, melyik az f és melyik a g függvény! a fgx = cos 3x, b fgx = lnsin x, c fgx = x + 5 3/2, d fgx = e x. 4. Az alábbi kompozíciófüggvények esetén adjuk meg sorrendben a kompozíció tagjait! a cos 2 4x, b 3x 2, c + x 2 5/2, d 0 2x. 5. Igaz-e az alábbi függvényekre, hogy f g = g f? a fx := cos x és gx := x 2 ; b fx := e x és gx := ln x. 6. Adjuk meg az alábbi függvények inverzét! a fx := 2x + x R, x ; b fx := 5 2 x 2 +6 x R. x 7. Mutassuk meg, hogy az fx := x 2 2x függvénynek nincs inverze, de az, félegyenesre vett lesz kítésének már van. 8. Egy gáz állapotegyenlete pv = 0.02T, ahol p, V és T rendre a nyomás, térfogat és h mérséklet. Ábrázoljuk a V = 0.0 rögzített térfogat esetén a pt függvényt; b T = 00 rögzített h mérséklet esetén a pv függvényt! 9. Ábrázoljuk az alábbi függvényeket! fx := x 3/2, x + 2, x 2/3, 2x 3/4, x + 4, cos 3x, 3 cos x, 2 x, 3 x, ln x, log 2 3 x 6
8. Végtelen számsorozatok. Sorozat és határérték fogalma. Sorozat: N + R leképezés. Jelölés: tagjait a, a 2, a 3... indexekkel, a sorozat a n. Példa: az /n sorozat:, /2, /3... Közelít a 0-hoz, de 0 nem tagja, hanem mije a sorozatnak? Sorozat határértéke: lim a n = A R, ha ε > 0 N = Nε N + : n > N esetén a n A < ε. A paraméterek jelentése: ε hibahatár akármilyen kicsi lehet, N küszöbindex. A sorozat tehát bármilyen kis hibahatáron belül megközelíti A-t elég nagy n-re. A " N = Nε N + : n > N esetén" kitétel lazábban: "elég nagy n-re". Gyakori jelölés: a n A. Ha van ilyen A, akkor a n konvergens. 2. Példák. Írjuk fel az els néhány tagot, és rajzoljuk fel szemléletesen a számegyenesen mind a sorozatot, mind a limeszt. Az absztrakt deníciót nem használjuk, a cél ehelyett az lesz, hogy a szemlélet számára világossá tegyük a fogalmat. a a n := n 0. b a n := n 2 0. c a n := n2 + = + n 2 n 2. d a n := 2 n 0. e a n := 2 n 0. "Ugrálva" tart. f a n := 5 n konstans sorozat limesze is 5. g Nem minden sorozat konvergens. Pl. a n := n : nincs határértéke divergens. 3. M veletek: ha lim a n = A és lim b n = B, akkor: lima n + b n = A + B, lima n b n = A B, lima n b n = A B, ha B 0: lim an b n = A B, ha a n 0 és α R: lim a α n = A α. Szemléletesen mindez azért igaz, mert elég nagy n-re a n A és b n B. Példák: lim 2n+ 3n 5 = lim 2+ n 3 5 n 4. mint határérték. Csak szemléltetünk. Pl.: a n := n 2 + ; = 2 3 ; lim 5 + n = 5. a n := 2 n ; a n := 2 n -nek végtelen limesze sincs. 5. Fontos határértékek: +, ha α > 0; lim n α =, ha α = 0; 0, ha α < 0; lim q n = 7 +, ha q > ;, ha q = ; 0, ha q < ;, ha q.
Példák: lim n = lim n /2 = +, lim 3 n = lim n /3 = 0, lim 2 3 n = 0, lim 4 n = lim 4 n = 0, lim 3 n = +. 6. Szabályok végtelen limeszre. i Rendezés: ha lim a n = + és n-re b n a n, akkor lim b n = +. Hasonlóan -re, ha b n a n. Példa: lim n 2 + n + 2n n + 3 n +, mert bn := n 2 +... a n := n 2 +. ii M veletek. Összegsorozat: ha lim a n = + és lim b n R vagy +, akkor lima n + b n = + ; ha lim a n = és lim b n R vagy, akkor lima n + b n = ; ha lim a n = + és lim b n = v. fordítva: lima n + b n bármi lehet. Példák: limn 2 +2n = +, lim n n =, lim[ n+ 2 n 2 +2n ] =, lim [ n + 8 n ] = 8. Az utóbbiaknál rossz lenne "+ + = 0". Szorzatsorozat: ha lim a n = + és lim b n = B > 0 vagy +, akkor lima n b n = + ; ha lim a n = + és lim b n = B < 0 vagy, akkor lima n b n = ; ha lim a n = + és lim b n = 0: lima n b n bármi lehet. Ha lim a n = : ugyanezek fordított el jelekkel. Példák: lim + n 2n = +, lim n 3 2 n = +, lim 2 n = 2. n Az utóbbinál rossz lenne "+ 0"-ra eredménynek + vagy 0. Reciproktáblázat: lim a n = + vagy 0 0 + := 0 és a n > 0 0 := 0 és a n < 0 lim a n = 0 nem tudjuk + Példák: lim = 0, lim n 2 +2n = + ; hányados: lim n4 n + 3 n + 3 n 2 = +, lim 4 n 2 = 7 rossz lenne " 0 =. n 2 0 n 7. Racionális törtfüggvények limesze. Formálisan ". Módszer: a legnagyobb kitev j taggal egyszer sítünk. Példák: lim n2 +2n 3n 2 +n 5 = 3, lim n n 2 + = 0, Házi feladatok. lim 4n3 n 2 +2n = +. Létezik-e, ha igen, mennyi? Ismert limeszek + a szabályok alapján lehet megoldani. a lim n, lim 3 n, lim n 3/2, lim 4 3 n, lim 3 4 n, lim 2 3 n, lim 3 n, lim π n b lim 2 + 3 n 4 n 2, lim 3+ 2 n 5 n 3. c lim 2+ 3 n n, lim n+2 2 n+ 2, lim n3 4 n n, lim 2 n 3 n 2, lim n 2 +4n+3, lim n 2 4n + 3, lim n 4 + 2 + 3 n, lim n n 2. d lim 3n+5 7n 4, lim n2 + n 2, n2 lim, lim n2 +3, 2n+3 2 n 3 8 lim 2n2 n 3n 2 +0n, lim n + 2 n n 2.
9. Végtelen sorok. Téma: hogyan lehet sok szám összegét értelmezni? Példák: a rajzon, számegyenesen: + 2 + 4 +... + 2 n +... = 2. b /3 tizedestört-alakja. Mit jelent az, hogy 0, 333...? Végtelen sor összege. Egy sort konvergensnek deniáltunk, ha az s n := n a k szeletek sorozata konvergens; k= ekkor a sor összege lim s n. Más indext l is indulhat. Célok: egy adott sor konvergens-e; ha lehet, számítsuk ki az összegét. 2. Fontos példák. a A q n mértani sor. Ez q < esetén konvergens, és 0 indext l vett összege q n := lim s n = lim n q k = lim qn+ =, azaz + q + q q q2 +... =. q k=0 Pl. az el bb, q = /2. Ha q, akkor a sor divergens. Példák: 2 i. n = 2 3 n 3 n = = 3, hiszen q = 2 = 2 <. 2 3 3 3 ii. + +... = 2 4 8 2 n = = 2, hiszen q = = <. 3 2 2 iii. 2 n +3 n 5 n = 2 n + 3 n = 5 n 5 n 2 5 + 2 + 3 5 = 25 6. iv. 5 3 n divergens, hiszen q = 5 >. Itt a sorösszeg +, hiszen -nél nagyobb 3 számokat adunk össze. v. vi. 5 3 n divergens, hiszen q = 5 3 = 5 3 n 3 n 5 n = 3 5 n = + 3 5 = 5 8, hiszen q = 3 5 <. Vigyázat, nem tagonként szorzunk! Azaz pl. nem vii. Legyen q < adott szám, N adott egész. >. Vigyázat: hiába q <! n=n n 5 n q n =? 3 n.... megoldás: q N + q N+ + q N+2 +... = q N + q + q 2 +... = qn q. 2. megoldás: n=n b Hipergeometrikus sor: q n = n= q n N q n = qn q q = qn q., ahol α > 0 rögzített szám. n α Áll. biz. nélkül: α > esetén konvergens, α esetén divergens. Pl. n= divergens ezt láttuk az ea-n, de pl. n n= 3. Konvergenciavizsgálat: egy adott a n sor konvergens-e? Itt nem muszáj kezd indexet írni, mert nem számít. 9 n 2 konvergens.
a Szükséges feltétel: a n 0. b Kritériumok. Nem elégséges, pl. a n := /n. Gyökkritérium. Ha lim n a n =: q: q < absz. konv., q > div. Hányadoskritérium. Ha lim a n+ a n =: q: " Ha van ilyen q, akkor ugyanaz jön ki mindkét kritériummal amelyre elég nagy n-re a n c q n ; a hányadoskritériumot általában könnyebb kiszámolni! Ha ezek nem m ködnek pl. mert q =, akkor mással próbálkozunk, pl. ha felismerjük, hogy hipergeom. sor, akkor α-tól függ en konv. vagy div.; ha a n konvergens, akkor a n is konvergens; ha nem teljesül a szükséges feltétel, azaz ha a n 0, akkor a sor div. Példák: i n 2 2 n konv.-e? Hányadoskritérium: a n+ a n = n+2 2 n+ 2n n 2 = + n 2 2 2 < konv. ii n nn+ konv.-e? 3 n a Hányadoskritérium: n+ a n = n+n+2 3 n = n+2 < konv. 3 n+ nn+ n 3 3 iii n 5 n 3 n konv.-e? Hányadoskritérium: a n+ a n = 5n+ 3 n+ 3n 5 n = 5 3 > div. Észrevétel: ez egy divergens geometriai sor, q = 5 mellett. Már néztük is. 3 a Megj.: fontos az abszolút érték! Rossz megoldás: n+ a n = 5 < konv. 3 iv konv.-e? n 3 Hányadoskritérium: nem m ködik, mert q =. Mivel hipergeom. sor, ahol a kitev α = 3 >, így konv. v n konv.-e? n 2 Hányadoskritérium: nem m ködik, mert q =. Abszolút értéke hipergeom. sor:, amely α = 2 > miatt konv. az eredeti sor is konv. n 2 Házi feladatok.. Konvergens-e a sor? Ha igen, mennyi az összege? a b 3 n c 3 n d 3 n 2 n e 4 n 4 n 2 n 4 n g 2-t l indul! h 3 n 3 n+2 n=2 n 4 n f 2 n 2. Értelmezzük és bizonyítsuk be a szemléletesen ismert 0.999... = egyenl séget! 3. Konvergens-e a sor? a n b n 3 2 n c n 5 7 n d 2n+2n+3 e n n 2 n 5 n 3 n 6 n 4 n 2 f 2 3n+0 g 3 n h n 3 n i j n k n2 +3n 3 2n+ n! 2 n n+! n 4 n 3 l n m n n 20
0. Egyváltozós függvények deriválása. A derivált fogalma és geometriai jelentése példákon. i Vezessük le: fx := x 2 dierenciálható bármely a-ban, éspedig f a = 2a. Rajzoljuk fel az a-beli érint t, és szemléltessük, hogy f a értéke ennek meredeksége. Pl. az a = pontban: f = 2, azaz az -beli érint meredeksége 2. Az érint egyenlete: meredeksége 2. l + h = f + f h = + 2h, ez átmegy, -en és Ennek jelentése közelítés szempontjából: f = l =, és kis h-ra f + h l + h, azaz + h 2 + 2h. Ez az f lineáris közelítése a = körül. Konkrétan most az is látszik, hogy h 2 -et hagytuk el. ii Deriváltfüggvény: f x = 2x x R. iii Példák nem deriválható függvényre csak a geometriai jelentést szemléltessük: fx := x az a = 0 pontban: nincs érint, mert töréspontja van; fx := 3 x az a = 0 pontban: nincs véges meredekség érint. 2. A továbbiakban a deriváltfüggvény kiszámításával foglalkozunk, azaz fx képletéb l f x képletét állítjuk el. Felidézend ld. ea: fx := x α, e x, ln x, sin x, cos x deriváltja. Jelölés: f x helyett néha fx -t írunk, pl. e x = e x. 3. Deriválási szabályok ea-ról felidézend. i Összeg, szorzat, hányados deriváltja. Pl. deriváljuk: e x + sin x, x, x 2 x3/2 4 ln x, x 2 sin x, x 3 e x ln x, 3x sin x x2. cos x 3x 4, x sin x, ii Kompozícióderivált ea-ról felidézend. Néhány spec. esete: g α = αg α g, pl. g 2 = 2gg, g = g, g 2 ln g = g g, eg = e g g, fcx = c f cx, pl. f x = f x, fx 2 = f x 2 2x. Több tagra: fghx = f ghx g hx h x láncszabály. Példák: sinx 2, sin 2 x, e cos x, ln + x 2,, sin 2x, cos x e x, 2x + 3, 3x, x + x 2,, x deriváltja. cosx 3 esin2 iii Alkalmazások néhányat vezessük le: tg x =, cos 2 x ctg x =, sin 2 x sh x = chx, ch x = shx, th x =, ch 2 x cth x = ln x = negatív x-re is. x 2 sh 2 x.
Ha a > 0, akkor a x = e ln a x = e ln a x ln a = a x ln a. Ha a > 0, a, akkor log a x = ln x ln a =. x ln a iv Szorzatderivált több tagra. Vezessük le: fgh = f gh + fg h + fgh stb. Pl.: x e x sin x 4. Inverz deriváltja: y = fx esetén f y =. f x Példa: legyen x [ π, π ], és y = sin x [, ]. Ekkor cos x 0, így 2 2 arc sin y = cos x = sin 2 x = y 2. Hasonlóan jön ki: arc tg y = +y 2. 5. Deriválttáblázat: lásd pl. https://digitus.itk.ppke.hu/ benedek/analizis/pdf/seged/derivalttablazat.pdf Fejb l tudni kell: fx := x α, a x, log a x, sin x, cos x, tg x, ctg x, arc tg x, sh x, ch x, th x, cth x deriváltját. A többi arc és az area függvényekét csak táblázatból. A zárójelesek könnyen ki is számíthatók az el ttük lev kb l. Házi feladatok.. Adjuk meg fx := x 3 érint jének meredekségét az, pontban. Írjuk fel az érint egyenletét. Mely c, d R mellett érvényes a legjobb + h 3 c + dh lineáris közelítés h 0 esetén, és mi köze ennek az a = pontbeli deriválthoz, ill. érint höz? 2. f x =?, ha fx =... x 4, x 3, x,, x x, 3x 5 4x 2 + 2 x 2 3 x, 2 x, x, 4 3 cos x 5 sin x, e x sin x, x 5 cos x, xe x, x ln x, x 2 x+ log 2 x,, sin x, x, x 2 4x 3, x 2, shx, x sin x cos x, x 2 4 x cos x ln x chx x 3/2 ln x, ln 4x, lnx 2 +3x 4, ln cos x, e x, e x2 2, x+ 5/2, 3x+ 5/2, cos 4x, tg x, ctg x, lg 5x, e x sin x, 2 + x2, x 2 5/2, +x 4,, x x x,,, x 2 +x 2 +x 2 x e +x 2,, 2x, x ln, xe 2x, lnx + + x x 2 3/2 e 2x + +x +x 2, arcsin x, arc tgx 2, arc tg x, x arc tg x ln + x 2 2. 3. a Legyen c > 0 állandó, fx := lncx. f x =?, hogyan függ ez c-t l és miért? b x x =? Útm.: x x = e ln x x. 22
I. Taylor-polinomok.. Taylor-polinom és -sor. Cél: polinommal közelíteni fx-et. Pl. ha sin x-et polinommal közelítjük, akkor tetsz leges értéke közelít leg kiszámítható míg a pontos érték nem, a számológép is ezt teszi. A megfelel közelítések az ún. Taylor-polinomok ld. el adás: T n x := n k=0 f k a k! x a k = fa + f ax a + f a 2 x a 2 +... + f n a n! x a n. Megj.: T n a = fa, T na = f a,..., T n n a = f n a. Tehát az a pontban egyre jobban simul f-hez, ha n-et növeljük. Példák az a = 0 pontban: a e x esetén T x = + x, T 2 x = + x + x2 rajzzal, 2!..., T n x = + x + x2 +... + xn. 2! n! b fx := + x esetén f x = 2 +x /2, f x = 4 +x 3/2, így f0 =, f 0 = és f 0 =. Ebb l T 2 4 2x = + x x2. 2 8 II. Hatványsorok, Taylor-sor.. Hatványsorok konvergenciája.. példa: tekintsük a x n = + x + x 2 +... formális sort, ahol x R. Ekkor hatványfüggvényeket adunk össze, ezért ezt a sort hatványsornak hívhatjuk. Kérdés: mely x esetén konvergens? Tudjuk a választ x helyett q-val láttuk: ha x <. A sor összegét is tudjuk:, ez most az összegfüggvény. x Általában: hatványsornak egy c n x n sort hívunk, ahol a c n -ek adott számok. Kérdés: mely x R esetén konvergens? 2. példa: n+ 3 n x n. Ekkor a n := n+ 3 n x n mellett a n+ a n = n+2 3 x n+ 3 x. Tehát: ha 3 x <, azaz ha x <, akkor konvergens a sor. Ha x >, akkor 3 3 divergens. Ha x =, akkor még nem tudjuk. 3 Megj.: ez általában is így van lásd ea.: i R R + lehet R = + is, hogy a sor konvergens, ha x < R, és véges R esetén divergens, ha x > R. ii Az x = ±R pontokban a sor lehet konv. és div. is. Mostantól a R, R ún. nyílt konvergenciaintervallumot fogjuk keresni. A példában ez 3, 3. 23
2. Taylor-sor. Itt találkozik a két fogalom hatványsor, ill. Taylor-polinom: i A hatványsoroknál a sor adott, és azt néztük, mely x-re értelmezhet összegfüggvény. Fordítva: adott függvény melyik hatványsor összege? ii Mit tesz a Taylor-polinom, ha n? Mindkett re a válasz: a Taylor-sor, k=0 f k a k! x a k. Taylor-sorba fejtés: a szummákat néhány els taggal is szemléltessük a Ismert sorok: ha x <, akkor x = x R esetén e x = b Szorzás, hatvány: ha x R: x e 2x = x n, cos x = n! pl. n x2n 2n!, x n ; 2 n x n+ n!, ha x < : +x = sin x = n x2n+ n x n. 2n+!. Megj.: egy függvény Taylor-sorát gyakran nem tudjuk felírni, mert a szükséges f n x képletek elbonyolódnak. Adott n-re viszont a Taylor-polinom mindig felírható, mint közelítés, és ez bármilyen pontos lehet, ha n elég nagy. Házi feladatok.. Írjuk fel az alábbi függvények adott Taylor-polinomjait az a = 0 pont körül: a fx := e 2x esetén T 2 x, c fx := ch x esetén T 4 x, b fx := sin x esetén T 3 x, c fx := 4 x esetén T 2 x. 2. Adjuk meg az alábbi hatványsorok nyílt konvergenciaintervallumát. 4 n x n, x 2n 4 n, n xn, nn+ 3. Fejtsük Taylor-sorba a 0 pont körül: Ha x R: fx := e x, fx := x 2 sin x, ha x < : fx := x 2. 2 n x n n!. 24