p-adikus lineáris csoportok reprezentációi

p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 1 / 18 p-adikus lineáris csoportok reprezentációi Zábrádi Gergely zger@cs.elte.hu 2013. febr. 26.

Bevezetés p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 2 / 18 Motiváció f (x) Z[x] irreducibilis. Hogy bomlik fel f modulo p? (2 p prím)

Bevezetés p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 2 / 18 Motiváció f (x) Z[x] irreducibilis. Hogy bomlik fel f modulo p? (2 p prím) Legegyszerűbb példa: x 2 d x 2 (mod p) p d ( ) d x 2 d (x b)(x + b) (mod p) (b 0) = 1 p ( ) d x 2 d irreducibilis (mod p) = 1. p

Bevezetés p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 2 / 18 Motiváció f (x) Z[x] irreducibilis. Hogy bomlik fel f modulo p? (2 p prím) Legegyszerűbb példa: x 2 d x 2 (mod p) p d ( ) d x 2 d (x b)(x + b) (mod p) (b 0) = 1 p ( ) d x 2 d irreducibilis (mod p) = 1. p Ha d = 2 ɛ q 1... q r, akkor a kvadratikus reciprocitást használva ( ) d = p ( 2 p ) ɛ r i=1 ( ) qi p = ( 1) ɛ(p2 1)/8 r i=1 ( 1) (p 1)(q i 1)/4 ( ) p q i. Így (p 2d esetén) x 2 d felbonthatósága F p fölött csak p mod (4d)-tól függ.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 3 / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re?

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 3 / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 3 / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program. Vissza az f (x) = ( x 2 ) d példához: Kulcsészrevétel: d p, mint p függvénye egy ( ) d : (Z/4dZ) {±1} homomorfizmus (Dirichlet-karakter).

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 3 / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program. Vissza az f (x) = ( x 2 ) d példához: Kulcsészrevétel: d p, mint p függvénye egy ( ) d : (Z/4dZ) {±1} homomorfizmus (Dirichlet-karakter). Mihez rendeltük ezt hozzá?

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 3 / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program. Vissza az f (x) = ( x 2 ) d példához: Kulcsészrevétel: d p, mint p függvénye egy ( ) d : (Z/4dZ) {±1} homomorfizmus (Dirichlet-karakter). Mihez rendeltük ezt hozzá? A Galois-csoport egy karakteréhez!

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 3 / 18 Fogalmazzuk át a problémát! Kérdés: Általánosabb f (x) esetén van-e hasonló feltétel p-re? Válasz: Megoldatlan! Kvadratikus reciprocitás általánosítása? Langlands-program. Vissza az f (x) = ( x 2 ) d példához: Kulcsészrevétel: d p, mint p függvénye egy ( ) d : (Z/4dZ) {±1} homomorfizmus (Dirichlet-karakter). Mihez rendeltük ezt hozzá? A Galois-csoport egy karakteréhez! Milyen Galois-csoport? Milyen karakter? Polinomról volt szó...

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 4 / 18 F : az f (x) felbontási teste Q felett. Pl. F = Q( d). Gal(F /Q) a Galois-csoport. Pl. Gal(Q( d)/q) = Z 2. Egyetlen nemtriviális karakter: Gal(Q( d)/q) {±1}.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 4 / 18 F : az f (x) felbontási teste Q felett. Pl. F = Q( d). Gal(F /Q) a Galois-csoport. Pl. Gal(Q( d)/q) = Z 2. Egyetlen nemtriviális karakter: Gal(Q( d)/q) {±1}. Hogyan látszik Gal(F /Q)-n f (x) felbonthatósága mod p?

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 4 / 18 F : az f (x) felbontási teste Q felett. Pl. F = Q( d). Gal(F /Q) a Galois-csoport. Pl. Gal(Q( d)/q) = Z 2. Egyetlen nemtriviális karakter: Gal(Q( d)/q) {±1}. Hogyan látszik Gal(F /Q)-n f (x) felbonthatósága mod p? O F = {β F : m β (x) Z[x]} az F alg. egészeinek gyűrűje. (p) = k i=1 pe i i prímideálokra való felbontás O F -ben.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 4 / 18 F : az f (x) felbontási teste Q felett. Pl. F = Q( d). Gal(F /Q) a Galois-csoport. Pl. Gal(Q( d)/q) = Z 2. Egyetlen nemtriviális karakter: Gal(Q( d)/q) {±1}. Hogyan látszik Gal(F /Q)-n f (x) felbonthatósága mod p? O F = {β F : m β (x) Z[x]} az F alg. egészeinek gyűrűje. (p) = k i=1 pe i i Pl. Q( d)-ben: prímideálokra való felbontás O F -ben. (p) = p 2 1 p d x 2 d x 2 (mod p); ( ) (p) = p 1 p 2 d p = 1 x 2 d (x b)(x c) (mod p); (p) = (p) prím ( ) d p = 1 x 2 d irred. mod p.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 5 / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p).

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 5 / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p). Gal(F /Q) tranzitívan hat {p 1,..., p r }-en. Orbit-stabilizátor lemma r = Gal(F /Q) : Gal(F /Q) p1.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 5 / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p). Gal(F /Q) tranzitívan hat {p 1,..., p r }-en. Orbit-stabilizátor lemma r = Gal(F /Q) : Gal(F /Q) p1. Gal(F /Q) p1 véges sok p-től eltekintve ciklikus. Kitüntetett generátor: Frob p, melyre Frob p (β) β p (mod p 1 ). p 1 választása: konjugáltság.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 5 / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p). Gal(F /Q) tranzitívan hat {p 1,..., p r }-en. Orbit-stabilizátor lemma r = Gal(F /Q) : Gal(F /Q) p1. Gal(F /Q) p1 véges sok p-től eltekintve ciklikus. Kitüntetett generátor: Frob p, melyre Frob p (β) β p (mod p 1 ). p 1 választása: konjugáltság. A konkrét példánkban: d F p Frob p ( d) ( d) p d (mod p 1 ) Frob p ( d) = d Frob p -t az 1-be viszi a Gal(Q( d)/q) {±1} karakter. Itt p kivételes p 4d.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 5 / 18 Állítás (Ha O F = Z[α] (f (α) = 0), akkor) (p) = k i=1 pe i i f (x) k i=1 g i(x) e i (mod p). Gal(F /Q) tranzitívan hat {p 1,..., p r }-en. Orbit-stabilizátor lemma r = Gal(F /Q) : Gal(F /Q) p1. Gal(F /Q) p1 véges sok p-től eltekintve ciklikus. Kitüntetett generátor: Frob p, melyre Frob p (β) β p (mod p 1 ). p 1 választása: konjugáltság. A konkrét példánkban: d F p Frob p ( d) ( d) p d (mod p 1 ) Frob p ( d) = d Frob p -t az 1-be viszi a Gal(Q( d)/q) {±1} karakter. Itt p kivételes p 4d. Tehát x 2 d mod p felbonthatóságának leírása a {Gal(Q( d)/q) karakterei} {(Z/4dZ) karakterei} megfeleltetésen múlik. N.B. Q( d) Q(µ 4d ) (lásd később).

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 6 / 18 Problémák:

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 6 / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 6 / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 6 / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen. Lehetséges megoldások:

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 6 / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen. Lehetséges megoldások: Változó f és F helyett Gal(Q/Q) = lim F Gal(F /Q) abszolút Galois-csoport: egyetlen objektum. Q: az algebrai számok teste, Gal(Q/Q) pedig Q automorfizmuscsoportja.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 6 / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen. Lehetséges megoldások: Változó f és F helyett Gal(Q/Q) = lim F Gal(F /Q) abszolút Galois-csoport: egyetlen objektum. Q: az algebrai számok teste, Gal(Q/Q) pedig Q automorfizmuscsoportja. Karakterek helyett nem felt. 1-dimenziós reprezentációk.

Miért reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 6 / 18 Problémák: f (x)-et változtatva mind F és így Gal(F /Q), mind N = 4d és így (Z/NZ) változik. Gal(F /Q) nem mindig kommutatív, ezért (1-dimenziós) karakterei nem írják le teljesen. Lehetséges megoldások: Változó f és F helyett Gal(Q/Q) = lim F Gal(F /Q) abszolút Galois-csoport: egyetlen objektum. Q: az algebrai számok teste, Gal(Q/Q) pedig Q automorfizmuscsoportja. Karakterek helyett nem felt. 1-dimenziós reprezentációk. Inverz limeszt veszünk: Ẑ := lim N (Z/NZ) = = {(a N ) N : a N (Z/NZ), a N a M (mod M) ha M N}. Kínai maradéktétel Ẑ = p Z p, ahol Z p = lim r Z/p r Z és megérkeztünk...

A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 7 / 18...a p-adikus számok(hoz)

A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 7 / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0.

A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 7 / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0.

A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 7 / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése.

A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 7 / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése. Konkrét megadásuk: 0 x Q p p-adikus sorfejtése: x = x N p N + + x n p n +..., ahol x n {0, 1,..., p 1}, x N 0 x p = p N.

A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 7 / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése. Konkrét megadásuk: 0 x Q p p-adikus sorfejtése: x = x N p N + + x n p n +..., ahol x n {0, 1,..., p 1}, x N 0 x p = p N. Teljes (ultra)metrikus tér: x + y p max( x p, y p ).

A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 7 / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése. Konkrét megadásuk: 0 x Q p p-adikus sorfejtése: x = x N p N + + x n p n +..., ahol x n {0, 1,..., p 1}, x N 0 x p = p N. Teljes (ultra)metrikus tér: x + y p max( x p, y p ). A zárt egységgömb Z p := {x Q p : x p 1} egy részgyűrű, melyben a nyílt egységgömb pz p = {x Q p : x p < 1} az egyetlen maximális ideál. Z p /pz p = Fp a p elemű test, és Z p = lim r Z/p r Z.

A p-adikus számok p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 7 / 18...a p-adikus számok(hoz) A p-adikus abszolútérték p : Q R 0, a b pn p := p n, ha p ab, és 0 p := 0. A p prím hatványai kicsik : lim n p n = 0. A p-adikus számok teste: Q p := (Q, p ) a Q telítése. Konkrét megadásuk: 0 x Q p p-adikus sorfejtése: x = x N p N + + x n p n +..., ahol x n {0, 1,..., p 1}, x N 0 x p = p N. Teljes (ultra)metrikus tér: x + y p max( x p, y p ). A zárt egységgömb Z p := {x Q p : x p 1} egy részgyűrű, melyben a nyílt egységgömb pz p = {x Q p : x p < 1} az egyetlen maximális ideál. Z p /pz p = Fp a p elemű test, és Z p = lim r Z/p r Z. Q Q p Gal(Q p /Q p ) Gal(Q/Q)

Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 8 / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}.

Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 8 / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}. Gal(Q ab /Q) = lim N Gal(Q(µ N )/Q) = lim N (Z/NZ) = Ẑ izomorf csoportok karakterei megegyeznek.

Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 8 / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}. Gal(Q ab /Q) = lim N Gal(Q(µ N )/Q) = lim N (Z/NZ) = Ẑ izomorf csoportok karakterei megegyeznek. Ẑ = GL 1 (Ẑ) kommutatív többdim. irred. reprezentációk. Langlands ( 1967): { n dim Galois-reprezentációk } { GL n repr.-k. }?

Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 8 / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}. Gal(Q ab /Q) = lim N Gal(Q(µ N )/Q) = lim N (Z/NZ) = Ẑ izomorf csoportok karakterei megegyeznek. Ẑ = GL 1 (Ẑ) kommutatív többdim. irred. reprezentációk. Langlands ( 1967): { n dim Galois-reprezentációk } { GL n repr.-k. }? Megjegyzés: Ẑ = p Z p. Rögzítve a p-t ( lokálisan p-nél ) elég GL n (Z p )-t vizsgálni.

Osztálytest-elmélet p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 8 / 18 Tétel (Kronecker-Weber) (1853, 1886, 1896 Hilbert) Q maximális Abel-féle bővítése Q ab = Q(µ ) = N Q(µ N), ahol µ N = {ε C: ε N = 1}. Gal(Q ab /Q) = lim N Gal(Q(µ N )/Q) = lim N (Z/NZ) = Ẑ izomorf csoportok karakterei megegyeznek. Ẑ = GL 1 (Ẑ) kommutatív többdim. irred. reprezentációk. Langlands ( 1967): { n dim Galois-reprezentációk } { GL n repr.-k. }? Megjegyzés: Ẑ = p Z p. Rögzítve a p-t ( lokálisan p-nél ) elég GL n (Z p )-t vizsgálni. Galois-oldalon: Gal(Q/Q) helyett Gal(Q p /Q p ) reprezentációi. Megengedjük Gal(Q p /Q p ) olyan reprezentációit is, amiknek a képe nem véges GL n (Z p ) (kompakt) helyett GL n (Q p ) (nem kompakt).

Reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 9 / 18 Az általános lineáris csoport GL n (Q p ) := {A Q n n p : det A 0} csoport. Definíció G := GL n (Q p ) reprezentációja: (V, π) rendezett pár, V : vektortér (valamilyen K test felett); π : GL n (Q p ) GL(V ) csoporthomomorfizmus.

Reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 9 / 18 Az általános lineáris csoport GL n (Q p ) := {A Q n n p : det A 0} csoport. Definíció G := GL n (Q p ) reprezentációja: (V, π) rendezett pár, V : vektortér (valamilyen K test felett); π : GL n (Q p ) GL(V ) csoporthomomorfizmus. G egy topologikus csoport folytonos reprezentációk: V egy topologikus vektortér, és G V V ; (g, v) π(g)v V folytonos.

Reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 9 / 18 Az általános lineáris csoport GL n (Q p ) := {A Q n n p : det A 0} csoport. Definíció G := GL n (Q p ) reprezentációja: (V, π) rendezett pár, V : vektortér (valamilyen K test felett); π : GL n (Q p ) GL(V ) csoporthomomorfizmus. G egy topologikus csoport folytonos reprezentációk: V egy topologikus vektortér, és G V V ; (g, v) π(g)v V folytonos. Példa (tautologikus reprezentáció) V = Q n p, π : GL n (Q p ) GL n (Q p ) az identitás.

Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 10 / 18 Milyen reprezentációk vannak?

Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 10 / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk)

Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 10 / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon.

Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 10 / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon. Itt K = Q p és π egy racionális törtfüggvénye a koordinátáknak GL n (Q p )-n. Spec. eset: tautologikus reprezentáció.

Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 10 / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon. Itt K = Q p és π egy racionális törtfüggvénye a koordinátáknak GL n (Q p )-n. Spec. eset: tautologikus reprezentáció. Sima reprezentációk (klasszikus) Langlands-program

Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 10 / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon. Itt K = Q p és π egy racionális törtfüggvénye a koordinátáknak GL n (Q p )-n. Spec. eset: tautologikus reprezentáció. Sima reprezentációk (klasszikus) Langlands-program V általában végtelen dimenziós, viszont a K test topológiája mégsem játszik szerepet:

Milyen reprezentációk? p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 10 / 18 Milyen reprezentációk vannak? Algebrai reprezentációk (kapcsolat: Lie-algebra reprezentációk) Példa: Algebrai reprezentációk V = {Q p fölötti homogén k-adfokú n-változós polinomok}, GL n (Q p ) hat az (x 1,..., x n ) változókon, mint oszlopvektorokon. Itt K = Q p és π egy racionális törtfüggvénye a koordinátáknak GL n (Q p )-n. Spec. eset: tautologikus reprezentáció. Sima reprezentációk (klasszikus) Langlands-program V általában végtelen dimenziós, viszont a K test topológiája mégsem játszik szerepet: Definíció A (V, π) egy sima reprezentációja GL n (Q p )-nek, ha folytonos úgy, hogy V -t a diszkrét topológiával látjuk el.

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 11 / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan?

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 11 / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt.

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 11 / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt. Folytonosság: nyílt őse nyílt, azaz ha π(g)w = v, akkor g U GL n (Q) nyílt környezet, melyre π(h)w = v minden h U-ra.

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 11 / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt. Folytonosság: nyílt őse nyílt, azaz ha π(g)w = v, akkor g U GL n (Q) nyílt környezet, melyre π(h)w = v minden h U-ra. Hogy néz ki g egy U környezete?

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 11 / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt. Folytonosság: nyílt őse nyílt, azaz ha π(g)w = v, akkor g U GL n (Q) nyílt környezet, melyre π(h)w = v minden h U-ra. Hogy néz ki g egy U környezete? Például U = {h GL n (Q p ): g 1 h I (mod p k )}, ahol I az egységmátrix. Ez egy nyílt részcsoport egy mellékosztálya és π(h)w = v = π(g)w π(g 1 h)w = w.

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 11 / 18 Sima reprezentációk Mit jelent ez pontosan? Diszkrét topológia: minden egyelemű {v} V nyílt. Folytonosság: nyílt őse nyílt, azaz ha π(g)w = v, akkor g U GL n (Q) nyílt környezet, melyre π(h)w = v minden h U-ra. Hogy néz ki g egy U környezete? Például U = {h GL n (Q p ): g 1 h I (mod p k )}, ahol I az egységmátrix. Ez egy nyílt részcsoport egy mellékosztálya és π(h)w = v = π(g)w π(g 1 h)w = w. Tétel Tehát egy (V, π) reprezentáció pontosan akkor sima, ha minden v V vektor stabilizátora G-ben egy nyílt részcsoport.

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 12 / 18 Példa sima reprezentációra K test a diszkrét topológiával, H G zárt részcsoport (pl. a felsőháromszög-mátrixok részcsoportja), és V = C c (G/H, K) (lokálisan konstans kompakt tartójú függvények). (π(g)f )(g 0 H) := f (g 1 g 0 H) ha f V és g, g 0 G.

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 12 / 18 Példa sima reprezentációra K test a diszkrét topológiával, H G zárt részcsoport (pl. a felsőháromszög-mátrixok részcsoportja), és V = C c (G/H, K) (lokálisan konstans kompakt tartójú függvények). (π(g)f )(g 0 H) := f (g 1 g 0 H) ha f V és g, g 0 G. A fenti példa nem más, mint H triviális reprezentációjának az indukált reprezentációja: ind G H (1 H).

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 12 / 18 Példa sima reprezentációra K test a diszkrét topológiával, H G zárt részcsoport (pl. a felsőháromszög-mátrixok részcsoportja), és V = C c (G/H, K) (lokálisan konstans kompakt tartójú függvények). (π(g)f )(g 0 H) := f (g 1 g 0 H) ha f V és g, g 0 G. A fenti példa nem más, mint H triviális reprezentációjának az indukált reprezentációja: ind G H (1 H). Tétel (Harris és Taylor 2001, Henniart 2000) Ha l p, akkor létezik egy kölcsönösen egyértelmű természetes megfeleltetés: { } { } GLn (Q p ) irreducibilis Gal(Qp /Q p ) n-dim.. sima reprezentációi reprezentációi Q l felett

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 13 / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 13 / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <.

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 13 / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <. Nem az egész Gal(Q p /Q p ), hanem egy sűrű részcsoport W Qp = {g Gal(Q p /Q p ) n Z x Z p : g(x) x pn reprezentációit kell tekinteni. (mod p)}

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 13 / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <. Nem az egész Gal(Q p /Q p ), hanem egy sűrű részcsoport W Qp = {g Gal(Q p /Q p ) n Z x Z p : g(x) x pn reprezentációit kell tekinteni. Mit jelent az, hogy természetes megfeleltetés? (mod p)}

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 13 / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <. Nem az egész Gal(Q p /Q p ), hanem egy sűrű részcsoport W Qp = {g Gal(Q p /Q p ) n Z x Z p : g(x) x pn reprezentációit kell tekinteni. Mit jelent az, hogy természetes megfeleltetés? L-függvények (és ε-faktorok) megegyeznek a két oldalon. (mod p)} A megfeleltetés megjelenik bizonyos geometriai objektumok (Shimura-varietások) kohomológiájában.

Lokális Langlands p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 13 / 18 Idézőjelek oka az előző tételben: GL n (Q p ) oldalán algebrailag zárt, 0-karakterisztikájú testek (pl. Q l vagy C) feletti reprezentációk kellenek Kell egy végességi feltétel a sima reprezentációkra: (V, π) megengedhető, ha minden H G kompakt nyílt részcsoportra dim K V H <. Nem az egész Gal(Q p /Q p ), hanem egy sűrű részcsoport W Qp = {g Gal(Q p /Q p ) n Z x Z p : g(x) x pn reprezentációit kell tekinteni. Mit jelent az, hogy természetes megfeleltetés? L-függvények (és ε-faktorok) megegyeznek a két oldalon. (mod p)} A megfeleltetés megjelenik bizonyos geometriai objektumok (Shimura-varietások) kohomológiájában. A tétel igaz Q p helyett F /Q p véges bővítésre is. Ez az ún. lokális Langlands-megfeleltetés.

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 14 / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról?

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 14 / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat...

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 14 / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat... Tétel (Wiles; Taylor és Wiles 1995; Breuil, Conrad, Diamond és Taylor 2001), Minden Q feletti elliptikus görbe moduláris. ( Fermat-sejtés.)

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 14 / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat... Tétel (Wiles; Taylor és Wiles 1995; Breuil, Conrad, Diamond és Taylor 2001), Minden Q feletti elliptikus görbe moduláris. ( Fermat-sejtés.) E elliptikus görbéhez l-adikus Galois-reprezentáció (l p prím): V l (E) := Q l Zl lim E[l n ]. dim Ql V l (E) = 2. Invariánsok: a p (E) := Tr(Frob p V l (E)) Z Z l. Modularitás (L-üggvények egyezése): f = n=0 a n(f )q n moduláris forma, melyre a p (f ) = a p (E) ( p-re).

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 14 / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat... Tétel (Wiles; Taylor és Wiles 1995; Breuil, Conrad, Diamond és Taylor 2001), Minden Q feletti elliptikus görbe moduláris. ( Fermat-sejtés.) E elliptikus görbéhez l-adikus Galois-reprezentáció (l p prím): V l (E) := Q l Zl lim E[l n ]. dim Ql V l (E) = 2. Invariánsok: a p (E) := Tr(Frob p V l (E)) Z Z l. Modularitás (L-üggvények egyezése): f = n=0 a n(f )q n moduláris forma, melyre a p (f ) = a p (E) ( p-re). Stratégia: Modulo l megfeleltetés: olyan f moduláris forma kell, amire a p (f ) a p (E) (mod l).

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 14 / 18 Kérdés: Mit lehet mondani az eredeti problémáról, Gal(Q/Q) reprezentációiról? Nem sokat... Tétel (Wiles; Taylor és Wiles 1995; Breuil, Conrad, Diamond és Taylor 2001), Minden Q feletti elliptikus görbe moduláris. ( Fermat-sejtés.) E elliptikus görbéhez l-adikus Galois-reprezentáció (l p prím): V l (E) := Q l Zl lim E[l n ]. dim Ql V l (E) = 2. Invariánsok: a p (E) := Tr(Frob p V l (E)) Z Z l. Modularitás (L-üggvények egyezése): f = n=0 a n(f )q n moduláris forma, melyre a p (f ) = a p (E) ( p-re). Stratégia: Modulo l megfeleltetés: olyan f moduláris forma kell, amire a p (f ) a p (E) (mod l). Próbáljuk meg a Galois -reprezentációt és a moduláris formát is egyszerre felemelni 0-karakterisztikába.

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 15 / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l).

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 15 / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l). Megjegyzés: A megfordítás Deligne (1971) tétele.

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 15 / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l). Megjegyzés: A megfordítás Deligne (1971) tétele. Felemelés 0-karakterisztikába: mely objektumoknak van az adott modulo l redukciójuk (mindkét oldalon)? Majd ezt a két halmazt megfeleltetni egymásnak.

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 15 / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l). Megjegyzés: A megfordítás Deligne (1971) tétele. Felemelés 0-karakterisztikába: mely objektumoknak van az adott modulo l redukciójuk (mindkét oldalon)? Majd ezt a két halmazt megfeleltetni egymásnak. Különböző lokális feltételek: Szükség van az l = p esetre is!

Globális tételek p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 15 / 18 Tétel (Serre-sejtés 1967, Khare és Wintenberger 2008) A Gal(Q/Q) minden irreducibilis dim Fl r V = 2 páratlan (komplex konjugálás determinánsa 1) reprezentációjához f moduláris forma, melyre a p (f ) Tr(Frob p V ) (mod l). Megjegyzés: A megfordítás Deligne (1971) tétele. Felemelés 0-karakterisztikába: mely objektumoknak van az adott modulo l redukciójuk (mindkét oldalon)? Majd ezt a két halmazt megfeleltetni egymásnak. Különböző lokális feltételek: Szükség van az l = p esetre is! Modulo p és a p-adikus Langlands-program (Breuil 2000-es évek): { } Gal(Qp /Q p ) n dim -s F p r (ill. K/Q p véges) reprezentációi { } GLn (Q p ) F p r (ill. K)? feletti reprezentációi

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 16 / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira:

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 16 / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés:

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 16 / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés: Folytonos reprezentációk p-adikus Banach-tereken.

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 16 / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés: Folytonos reprezentációk p-adikus Banach-tereken. Lokálisan analitikus reprezentációk lokálisan konvex vektortereken.

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 16 / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés: Folytonos reprezentációk p-adikus Banach-tereken. Lokálisan analitikus reprezentációk lokálisan konvex vektortereken. Definíció GL n (Q p ) egy K feletti Banach-tér reprezentációja: (V, π) pár; V egy K feletti vektortér, : V R 0 norma, amire nézve teljes, és π : GL n (Q p ) GL(V ) folytonos.

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 16 / 18 Topológiai feltételek GL n (Q p ) modulo p ill. p-adikus repr.-ira: mod p: sima reprezentációk K/Q p véges felett: sima reprezentációk C feletti sima reprezentációk... Két különböző megközelítés: Folytonos reprezentációk p-adikus Banach-tereken. Lokálisan analitikus reprezentációk lokálisan konvex vektortereken. Definíció GL n (Q p ) egy K feletti Banach-tér reprezentációja: (V, π) pár; V egy K feletti vektortér, : V R 0 norma, amire nézve teljes, és π : GL n (Q p ) GL(V ) folytonos. Példa Banach-tér reprezentációra B GL n (Q p ): felsőháromszög-mátrixok részcsoportja. V = {f : G/B Q p folytonos} a sup-normával (G/B kompakt).

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 17 / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 17 / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett Igaz p-adikus helyett modulo p együtthatókra is. Általánosítás GL n (Q p )-re: teljesen megoldatlan, ha n > 2. Sőt, F /Q p véges bővítés esetén GL 2 (F )-re is! Eszközök:

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 17 / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett Igaz p-adikus helyett modulo p együtthatókra is. Általánosítás GL n (Q p )-re: teljesen megoldatlan, ha n > 2. Sőt, F /Q p véges bővítés esetén GL 2 (F )-re is! Eszközök: Mod p: V megengedhető V GLn(Zp) <. Áttérve a duálisra V GL n(z p) <. V diszkrét V kompakt. Nakayama lemma V végesen generált modulus F p [[GL n (Z p )]] = lim k F p [GL n (Z/p n Z)] felett.

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 17 / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett Igaz p-adikus helyett modulo p együtthatókra is. Általánosítás GL n (Q p )-re: teljesen megoldatlan, ha n > 2. Sőt, F /Q p véges bővítés esetén GL 2 (F )-re is! Eszközök: Mod p: V megengedhető V GLn(Zp) <. Áttérve a duálisra V GL n(z p) <. V diszkrét V kompakt. Nakayama lemma V végesen generált modulus F p [[GL n (Z p )]] = lim k F p [GL n (Z/p n Z)] felett. Megengedhető Banach-tér reprezentáció: V = Hom ct K (V, K) végesen generált modulus K Zp Z p [[GL n (Z p )]] felett.

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 17 / 18 Tétel (Colmez 2008, Breuil, Berger, Paškunas, Emerton, Kisin) Létezik { egy természetes megfeleltetés } GL2 (Q p ) irreducibilis p-adikus Banach-tér reprezentációi { } Gal(Qp /Q p ) 2-dim.. reprezentációi Q p felett Igaz p-adikus helyett modulo p együtthatókra is. Általánosítás GL n (Q p )-re: teljesen megoldatlan, ha n > 2. Sőt, F /Q p véges bővítés esetén GL 2 (F )-re is! Eszközök: Mod p: V megengedhető V GLn(Zp) <. Áttérve a duálisra V GL n(z p) <. V diszkrét V kompakt. Nakayama lemma V végesen generált modulus F p [[GL n (Z p )]] = lim k F p [GL n (Z/p n Z)] felett. Megengedhető Banach-tér reprezentáció: V = Hom ct K (V, K) végesen generált modulus K Zp Z p [[GL n (Z p )]] felett. Lok. anal. reprezentációk duálisa: D(G, K) disztribúcióalgebra felett modulus.

p-adikus reprezentációk p-adikus lineáris csoportok reprezentációi 2013. febr. 26. 18 / 18 Köszönöm szépen a figyelmet!