Ökonometria BSc Gyakorló feladatok a kétváltozós regresszióhoz 1 Egy vállalatnál megvizsgálták 20 üzletkötő éves teljesítményét és prémiumát A megfigyelt eredményeket, és a belőlük számolt regressziós részeredményeket az alábbi táblázatban foglaljuk össze: eladott termékek (db/év) (X) prémium (ezer Ft/év) (Y ) számítási részeredmények 27 80 Xi Y i = 99 936 29 75 X = 46, Ȳ = 104 X 2 i = 45 531 67 120 Y 2 i = 222 683 70 150 (Yi Ŷi) 2 = 722 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg, hogy a teljesítmény hány százalékban magyarázza a prémium szóródását! c) Vizsgálja meg a prémium teljesítményre vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! Értelmezze az eredményt! d) Adjon 95%-os konfidencia intervallumot a 45 üzletet kötő dolgozó várható prémiumának nagyságára! 2 Egy New England székhelyű légitársaság 15 repülőjegy értékesítéssel foglalkozó irodájában megvizsgálták, hogy hogyan befolyásolja a reklámkiadás nagysága a repülőjegy értékesítésből származó bevétel alakulását Az adott év egyik hónapjára vonatkozó adatokat (mindkettő ezer dollárban mérve), és a belőlük számolt regressziós részeredményeket az alábbi táblázatban foglaljuk össze: értékesítés (ezer dollár, Y ) reklámkiadás (ezer dollár, X) számítási részeredmények 79,3 2,5 200,1 5,5 (Xi X)(Y i Ȳ ) = 2291, 5 (Xi X) 2 = 87, 5 146,0 5,2 (Yi Ȳ )2 = 89600 177,7 7,6 X = 5, 5, Ȳ = 169 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg, hogy a reklámkiadás hány százalékban magyarázza a bevétel szóródását! c) Határozza meg a bevétel reklámkiadásra vonatkozó rugalmasságát 5000 dolláros reklámkiadás esetén, majd vizsgálja meg a bevétel reklámkiadásra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten is! Értelmezze az eredményt! d) Adjon 95%-os konfidencia intervallumot a 6000 dolláros reklámkiadáshoz tartozó értékesítés várható bevételének nagyságára! 1
3 NEW!!! Egy egyéni vállalkozó fő tevékenységi körében szállítmányozással foglalkozik Munkájának elemzése során 10 véletlenszerűen kiválasztott fuvar alapján vizsgálta, hogy van-e kapcsolat a szállítás időtartama és a távolsága közt Néhány megfigyelést és a regressziós részeredményeket az alábbi táblázat foglalja össze: szállítási idő (perc, Y ) szállítási távolság (km, X) számítási részeredmények 10 4 13 4 (Xi X)(Y i Ȳ ) = 1248 (Xi X) 2 = 828 22 16 (Yi Ȳ )2 = 2006 35 20 X = 15, Ȳ = 27 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg, hogy a távolság hány százalékban magyarázza a szállítási idő szóródását! c) Határozza meg a becslés abszolút hibáját, valamint a becsült paraméterek standard hibáit! d) Számítsa ki a szállítási idő távolságra vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! e) Adjon 95%-os konfidencia intervallumot a meredekségi együttható becslésére! f) Becsülje meg a 12 km távolságra történő szállítások átlagos idejét 95%-os biztonsági szinten! Forrás: Kvantitatív módszerek példatár, BME 2013 4 NEW!!! A gazdasági fejlettség elemzése során megvizsgálták a gépjárművek számának és a GDPnek a kapcsolatát az EU 27 országáben Néhány megfigyelést és a regressziós részeredményeket az alábbi táblázat foglalja össze: ország ezer lakosra jutó autók egy főre jutó GDP számítási részeredmények (db, Y ) (ezer dollár, X) Auszria 511 39,677 Belgium 456 36,984 (Xi X)(Y i Ȳ ) = 24 015, 2 (Xi X) 2 = 5372, 16 Szlovákia 285 23,205 (Yi Ȳ )2 = 251 001 Szlovénia 514 29,203 Ȳ = 452, 5, X = 31, 45 a) Írja fel a becsült kétváltozós lineáris regressziós modellt, és értelmezze a β paraméter értékét! b) Határozza meg a determinációs együtthatót, és értelmezze a kapott eredményt! c) Számítsa ki az autók számának GDP-re vonatkozó rugalmasságát az átlagos szinten! d) Tesztelje 95%-os megbízhatósággal a meredekségi együttható becslésének relevanciáját! 2
5 Tekintsük az S t = α + βy t + u t összefüggést az egy főre eső megtakarítások S t (jövedelem mínusz fogyasztás) és az egy főre eső jövedelem Y t között, mindkettő folyó dollárban adott Az Egyesült Államokra vonatkozó 36 éves adat felhasználásával a következő becsült modellt kaptuk (A zárójelben szereplő értékek a becslések sztenderd hibái): Ŝ t = 384105 (151105) + 0067 (0011) Y t R 2 = 0538 s e = 199023 a) Mi a β együttható közgazdasági értelmezése? b) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra és miért? A valós előjelek egyeznek-e az előzetes elképzeléseivel? Amennyiben ellentmondás van, tud magyarázatot adni rá? c) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? d) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, továbbá a nullhipotézis elvetésének kritériumát Mit állapít meg? e) Tegyük fel, hogy dollár helyett száz dollárban mérjük a megtakarításokat és a jövedelmeket Hogy változik a korábbi táblázat? f) A fenti eredmények a Ramanathan könyv D) függelékében bemutatott DATA3-6 fájl használatával ellenőrizhetőek Az adatbázis ugyanezen a néven a Gretl saját adatbázisai közt is elérhető Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és ellenőrizze a fenti eredményeket a számítógép segítségével is! 6 Ön egy életbiztosító társaságnak dolgozik, és egy igazgatói értekezletre készül Közgazdász múltja azt súgja, hogy az életbiztosításban lekötött vagyont (lins, Y ) legjobban a jövedelem jelzi előre Összegyűjti a fontos adatokat (családi életbiztosítás és családi jövedelem, mindkettő ezer dollárban) és elemezni kívánja kapcsolatukat egy, az életbiztosításban lekötött vagyon és a jövedelem (X) közötti regresszió becslésével A Gretl programmal készített regressziós eredmények az alábbiak: Model 1: OLS, using observations 1 20 Dependent variable: lins Coefficient Std Error t-ratio p-value const 6,854991 7,383473 0,928424 0,365471 jovedelem 3,880186 0,112125 34,606006 0,0000 Mean of dep var 23695 SD of dep variable 114838319 Error Sum of Sq (ESS) 3710374715 Std Err of Resid 14357295 R-squared 0985 Adjusted R-squared 0984 F -statistic (1, 18) 11197575635 Prob F >1197576 is <00001 3
a) El kell magyaráznia a regresszió eredményeit, és mivel az igazgatótanács nem élvezi e kurzus elvégzésének előnyeit, egyszerű szavakkal is le kell tudnia írnia, mi történt Magyarázza meg, mit jelentenek a következők (ne csak a számokat ismertesse, hanem mutassa be, hogy a kapott értékek pontosan mit jelentenek a probléma szempontjából): (1) A konstans együttható (α) (2) A jövedelem együtthatója (β) (3) Az ˆα + ˆβx 0 érték néhány tetszőleges x 0 -ra (4) Az illeszkedés jóságát mérő R 2 determinációs együttható értéke b) Az egyik menedzser azzal érvel, hogy a piaci hüvelykujjszabály szerint az embereknek öt dollár életbiztosításuk van a jövedelmük minden egyes dollárjára Egy másik azt mondja, hogy ez valószínűtlen, ez a szám túl magas Meg szeretné vizsgálni ezt a véleménykülönbséget (1) Milyen null- és alternatív hipotézist használna ezen feltételezések megkülönböztetésére? (2) Tesztelje a hipotézist 5%-os elsőfajú hibát használva (3) Számolja ki és értelmezze a próba tesztstatisztikáit (4) Készítsen 95%-os konfidencia-intervallumot a jövedelem együtthatójának becslésére 7 A következő adófüggvényt az 50 amerikai állam és Washington szövetségi főváros keresztmetszeti adatainak felhasználásával becsülték T ax = 0221 (0087) + 0142 (<00001) Income n = 51 R 2 = 0997 ˆσ = 0687, ahol Tax az összes befizetett adó, az Income pedig a teljes jövedelem, mindkettő milliárd dollárban mérve A zárójelben lévő számok az adott változó együtthatójának szignifikanciáját tesztelő statisztikából számolt p-értékek a) A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az előzetes elképzeléseivel? Magyarázza meg! b) Hogyan értelmezné a jövedelem együtthatóját? c) Fogalmazza meg a null- és alternatív hipotézist, amit a fönt megadott p-értékkel tesztelhet Szignifikánsak-e az együtthatók 5%-os szinten? Igazolja válaszát! d) A fenti eredmények a Ramanathan könyv D) függelékében bemutatott DATA3-4 fájl használatával ellenőrizhetőek Az adatbázis ugyanezen a néven a Gretl saját adatbázisai közt is elérhető Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és ellenőrizze a fenti eredményeket a számítógép segítségével is! 8 Egy cég építkezéseknél használt szigetelőanyagot gyárt A szigetelő keresletére felírt egyszerű modell Q t = α + βp t + u t, ahol Q t adott hónapban leszállított szigetőanyag mennyisége gallonban mérve, és P t a szigetelőanyag gallononkénti ára dollárban A modellt 89 hónap adatainak felhasználásával becsültük, keresztmetszeti adatként tekintve rájuk A következő táblázat a számítógépes output egy részlete (az adatok a Ramanathan könyv DATA3-5 adatbázisában találhatóak meg) 4
Model 1: OLS, using observations 1 89 Dependent variable: Q Coefficient Std Error const 5962,053755 955,809956 P -381,0092383 104,765725 Error Sum of Sq (ESS) 1869999e+08 Std Err of Resid 146609133 R-squared 0132 Adjusted R-squared 0122 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? b) Mi az ár együtthatójának értelmezése? Írja le, mennyivel változik a kereslet, amikor a gallononkénti ár megnő egy dollárral c) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? d) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? e) Véleménye szerint megfelelő a modell? Mit gondol, milyen más változókat kellene a modellbe fölvenni? 9 Egy gépkocsi fenntartási költségeinek következő két modelljét becsültük: E t = α 1 + β 1 Age t + ε 1,t E t = α 2 + β 2 Miles t + ε 2,t ahol E a kumulált fenntartási költség (az üzemagyag nélkül) dollárban, a Miles változó a megtett út kumulált mennyisége (ezer mérföldben), az Age változó pedig a jármű életkorát jelöli hetekben mérve A két modellt 57 elemű minta felhasználásával becsültük A futási eredményeket az alábbi táblázatok foglalják össze: Model A: OLS, using observations 1 57 Dependent variable: E Coefficient Std Error t-ratio p-value const -625,935025 104,149581-6,009962 0,0000 Age 7,343478 0,32958 22,281356 0,0000 Error Sum of Sq (ESS) 7401653e + 06 Std Err of Resid 366845346 R-squared 0900 Model B: OLS, using observations 1 57 Dependent variable: E 5
Coefficient Std Error t-ratio p-value const -796,074573 134,74494-5,908011 0,0000 Miles 53,450724 2,926144 18,266661 0,0000 Error Sum of Sq (ESS) 1050175e + 07 Std Err of Resid 43696796 R-squared 0858 a) Milyen előjelet vár β 1 -re és β 2 -re? A megfigyelt előjelek megfelelnek-e várakozásainak? b) Melyik modellt gondolja "jobbnak" a kettő közül? Fogalmazza meg az alkalmazott kritériumot c) A jobbnak ítélt modellben a t-statisztikák segítségével végezzen el a megfelelő próbákat az együtthatók szignifikanciájának tesztelésére Ne felejtse el felírni a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztika eloszlását, beleértve a szabadságfokot, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát Mit állapít meg? d) Az A modellben tegyük fel, hogy az Age változót hetek helyett napokban mértük Írja át a táblázatot ennek megfelelően e) A fenti eredmények a Ramanathan könyv D) függelékében bemutatott DATA3-7 fájl használatával ellenőrizhetőek Az adatbázis ugyanezen a néven a Gretl saját adatbázisai közt is elérhető Töltse be az adatbázist a Gretl programba, és ellenőrizze a fenti eredményeket a számítógép segítségével is! 10 NEW!!! Különböző egyetemek 222 professzorának fizetési adatainak (ezer dollárban, Y ) és a PhD fokozat megszerzése óta eltelt évek számának (X) kapcsolatát vizsgáltuk az alábbi kétváltozós lineáris regressziós modell segítségével: SALARY t = α + β Y EARS t + ε t, t = 1,, 222 A futási eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze: Model 1: OLS, using observations 1 222 Dependent variable: SALARY Coefficient Std Error t-ratio p-value const 522375 237282 2201 00000 YEARS 149110 0113559 1313 00000 Mean dependent var 7909747 SD dependent var 2387269 Sum squared resid 7061139 SE of regression 1791538 R 2 0439366 Adjusted R 2 0436817 F (1, 220) 1724126 P-value(F ) 182e 29 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? Értelmezze az együtthatókra kapott becsléseket! b) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? c) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? 6
d) Mit tesztel a futási eredmények táblázatának utolsó sorában szereplő F (1, 220) érték? Fogalmazza meg null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikát, eloszlását és a szabadságfokokat, valamint a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? e) Vizsgálja meg annak következményeit, ha a fizetést ezer dollár helyett dollárban mérnénk! f) Állapítsa meg a fizetéseknek a tapasztalatszerzésre vonatkozó rugalmasságát a PhD megszerzése óta eltelt 10 éves időtáv viszonylatában (azaz X t = 10 esetén)! 11 NEW!!! A fogyasztói elmélet széles körben használt összefüggése az Engel-görbe, amely egy adott jószágra való kiadások és egy egyén vagy család jövedelme között állít fel összefüggést A Ramanathan könyv DATA3-14 adatbázisa a teljes jövedelemre (income, X) és a belföldi utazási kiadásokra (exptrav, Y ) vonatkozó adatokat tartalmazza az 50 amerikai államra és Washingtonra vonatkozóan Mindkét változót milliárd dollárban mérték A futási eredményeket az alábbi táblázat foglalja össze: Model 2: OLS, using observations 1 51 Dependent variable: exptrav Coefficient Std Error t-ratio p-value const 0498120 0535515 09302 03568 income 00555731 000329311 1688 00000 Mean dependent var 6340706 SD dependent var 7538343 Sum squared resid 4171103 SE of regression 2917611 R 2 0853199 Adjusted R 2 0850203 F (1, 49) 2847850 P-value(F ) 470e 22 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? Értelmezze az együtthatókra kapott becsléseket! b) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? c) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? d) Mit tesztel a futási eredmények táblázatának utolsó sorában szereplő F (1, 49) érték? Fogalmazza meg null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikát, eloszlását és a szabadságfokokat, valamint a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? e) Be kell-e vonni más változókat is a modellbe? Ha igen, melyek azok? Válaszait indokolja! f) Állapítsa meg az utazásra fordított kiadások jövedelemre vonatkozó rugalmasságát 3 milliárd dolláros jövedelemszint esetén! 12 NEW!!! Használt lakások eladási árainak (millió forint, Y ) alakulását vizsgáljuk a lakás alapterületének (m 2, X) függvényében Egy 100 elemű minta alapján az alábbi futási eredményeket kaptuk: 7
Model 1: OLS, using observations 1 100 Dependent variable: eladasiar Coefficient Std Error t-ratio p-value const 0471989 200422 02355 08143 alapterulet 0382395 00276348 1384 00000 Mean dependent var 2494100 SD dependent var 1372263 Sum squared resid 6311405 SE of regression 8025092 R 2 0661455 Adjusted R 2 0658001 F (1, 98) 1914742 P-value(F ) 879e 25 a) Milyen előjelet vár α-ra és β-ra, és miért? A regressziós együtthatók megfigyelt előjelei egyeznek-e az elvárásaival? Értelmezze az együtthatókra kapott becsléseket! b) Mit tud mondani az illeszkedés jóságáról? c) Tesztelje, hogy minden regressziós együttható szignifikánsan különbözik-e nullától, vagy sem (1%-os szignifikancia szinten szinten) Írja fel a null- és alternatív hipotézist, a tesztstatisztikákat, azok eloszlásait és a szabadságfokokat, és a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg? d) Mit tesztel a futási eredmények táblázatának utolsó sorában szereplő Fogalmazza meg nullés alternatív hipotézist, a tesztstatisztikát, eloszlását és a szabadságfokokat, valamint a nullhipotézis elvetésének kritériumát! Mit állapít meg?fogalmazza meg null- és alternatív hipotézist, és ismertesse következtetéseit! e) Be kell-e vonni más változókat is a modellbe? Ha igen, melyek azok? Válaszait indokolja! f) Állapítsa meg az eladási ár alapterületre vonatkozó rugalmasságát egy 40 millió forintos lakás esetén! 13 Egy politikai kampányban részt vevő munkatárs a V t = α + βp t + ε t modellt becsülte t = 1, 2,, 22 esetén, ahol V t a szavazáson megjelentek száma a t szavazókerületben, és P t a szavazókerület népessége Amikor az eredményeket nyomtatták, a nyomtató meghibásodott, szétmázolva néhány eredményt A megadott információk ismeretében töltse ki a hiányzó részleteket Együttható Becslés Sztenderd hiba t-hányados ˆα 26034 14955 ˆβ 0137 0028 ESS=30596 P =54478 s 2 V =31954 s 2 P =92591 R 2 = s 2 e= V = 8
14 Aggregált személyi jövedelem (X) és egészségügyi kiadások (Y ) kapcsolatát modelleztük az Y t = α + βx t + ε t modellel, ahol t = 1, 2,, 51 Amikor az eredményeket nyomtatták, a nyomtató meghibásodott, szétmázolva néhány eredményt A megadott információk ismeretében töltse ki a hiányzó részleteket Együttható Becslés Sztenderd hiba t-hányados ˆα 0325 1018 ˆβ 000196 7227 ESS= X=1051 TSS=159985 Ȳ = R 2 = s e =1742 F (1, 49)= 15 Bruttó jövedelmek (milliárd dollár, X) és adók (milliárd dollár, Y ) kapcsolatát modelleztük az Egyesült államok összes államában, beleértve a szövetségi fővárost, Washingtont is A becsült modell Y t = α + βx t + ε t alakú, ahol t = 1, 2,, 51 Amikor az eredményeket nyomtatták, a nyomtató meghibásodott, szétmázolva néhány eredményt A megadott információk ismeretében töltse ki a hiányzó részleteket Együttható Becslés Sztenderd hiba t-hányados ˆα 0126-1745 ˆβ 0142 1217 ESS=2315 X=7055 TSS=702043 Ȳ = R 2 = s e = F (1, 49)= 9
Megoldások 1 a) α = 43, 05, β = 1, 325, azaz Y t = 43, 05 + 1, 325 X t a becsült modell β = 1, 325 azt jelenti, hogy a teljesítmény egységnyi változásával az éves prémium átlagosan 1325 forinttal változik b) R 2 = 0, 887, azaz a teljesítmény 88, 7%-ban magyarázza a prémium mintabeli szóródását c) 0, 586, azaz a teljesítmény 1%-os növekedése 0586%-os átlagos növekedést jelent a prémiumban d) X = 45 esetén Ŷ = 102, 67 Mivel s e = 6, 33 és s Y = 6, 49, így CI: (88, 2; 117, 15) 2 a) α = 24, 96, β = 26, 19, azaz Y t = 24, 96 + 26, 19 X t a becsült modell β = 26, 19 azt jelenti, hogy a reklámkiadás egységnyi (ezer dolláros) növelésével a bevétel átlagosan 26 190 dollárral növekedik b) R 2 = 0, 669, azaz a reklámkiadás 66, 9%-ban magyarázza a bevétel mintabeli szóródását A feladat megoldása során fel kell használni az alábbi összefüggést: RSS = n (Ŷt Ȳ )2 = t=1 n (ˆα + ˆβX t Ȳ )2 = t=1 n (Ȳ ˆβ X + ˆβX t Ȳ )2 = t=1 n ˆβ 2 (X t X) 2 = t=1 = ˆβ 2 S xx = S2 xy S Sxx 2 xx = S2 xy S xx c) 0, 839 a rugalmasság X = 5 esetén A reklámkiadás 1%-os növekedése 0, 839%-os átlagos növekedést jelent a bevételben Átlagos szinten ugyanez: 0, 852 d) X = 6 esetén Ŷ = 182, 1 CI: (75, 55; 288, 65) 3 a) α = 4, 395, β = 1, 507, azaz Y t = 4, 395 + 1, 507 X t a becsült modell β = 1, 507 azt jelenti, hogy a távolság egységnyi (1 km) növelésével a szállítási idő átlagosan 1, 5 perccel növekedik b) R 2 = 0, 937, azaz a távolság 93, 7%-ban magyarázza az idő mintabeli szóródását A feladat megoldása során fel kell használni előző feladat megoldásában felírt RSS mutatóra vonatkozó összefüggést c) s e = 3, 96, sˆα = 2, 416, s ˆβ = 0, 138 d) 0, 837 a rugalmasság az átlagos szinten, azaz a távolság 1%-os növelése 0, 837%-os átlagos növekedést jelent a szállítási időben e) CI: [1, 188; 1, 825] f) X = 12 esetén Ŷ = 22, 48, és s Ŷ = 1, 319, így CI: (19, 44; 25, 52) 4 a) α = 311, 9, β = 4, 47, azaz Y t = 311, 9 + 4, 47 X t a becsült modell β = 4, 47 azt jelenti, hogy a GDP egységnyi (ezer dollár) növelésével az ezer főre jutó autók száma átlagosan 4, 47 darabbal növekszik b) R 2 = 0, 427, azaz a GDP 42, 7%-ban magyarázza az autók mintabeli szóródását A feladat megoldása során fel kell használni előző feladat megoldásában felírt RSS mutatóra vonatkozó összefüggést c) 0, 31 a rugalmasság az átlagos szinten, azaz a GDP 1%-os növelése 0, 31%-os átlagos növekedést jelent az autók darabszámában 10
d) s ˆβ = 1, 034, t = 4,47 1,034 = 4, 32 > t = 2, 06, azaz a becslés releváns, szignifikánsan nem nulla az értéke 5 a) β a megtakarítási határhajlandóság, azaz a várható átlagos változás az egy főre jutó megtakarításban akkor, ha a jövedelem egy dollárral nő b) α < 0, hiszen 0 jövedelem mellett is van kiadása a háztartásnak β > 0, növekvő jövedelem mellett várhatóan növekednek a megtakarítások is β esetén a becslés ezzel egyezik, α esetén viszont nem, ez hibás modellspecifikációra utal c) R 2 = 0, 538 közepesen jó illeszkedés A jövedelem a megtakarítás mintabeli szóródásának 53, 8%-át magyarázza d) H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a konstansra hasonlóan β esetén t = 0, 067/0, 011 = 6, 09 > t 34(0, 995) = 2, 704, tehát β szignifikánsan nem nulla, α esetén t = 2, 54 < 2, 704, azaz α szignifikánsan nulla e) A tengelymetszet a századrészére változik, a meredekség változatlan marad, R 2 változatlan, s e a századrészére változik 6 a) A konstans együttható azt jelenti, hogy 0 jövedelem mellett átlagosan mennyi a családok életbiztosításban tartott pénze A jövedelem együtthatója azt jelenti, hogy a jövedelem egységnyi megváltozása mekkora változást okoz az életbiztosítási megtakarítás átlagos értékében Adott X 0 mellett az ˆα+ ˆβX 0 érték az ezen X 0 értékhez tartozó, a modell által becsült életbiztosítási összeg átlagos értékét jelöli R 2 azt mutatja meg, hogy a jövedelem 98, 4 szátalékban magyarázza az életbiztosítás mintabeli szóródását b) H 0 : β = 5, H 1 : β < 5 t = 3,88 5 0,11 = 10, 18, t = 2, 101, így H 0 elvetve CI: (3, 65; 4, 11) 7 a) β > 0 egybevág a feltételezésekkel A konstansnak nincs értelmezése b) A jövedelem növekedésével nő a befizetett adó átlagos mennyisége is c) H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a konstansra hasonlóan β szignifikáns, mert a p-értéke 5 százalék alatt van, α nem szignifikáns 8 a) β < 0 és α 0 A kereslet csökken az ár növekedésével, α nem értelmezhető b) A keresletben bekövetkező változás akkor, ha az ár egységnyivel változik Ha a gallononkénti ár 1 dollárral nő, akkor az átlagos kereslet 381 gallonnal csökken c) Rossz, mert alacsony az R 2 szóródásának Az ár csak 13, 2%-át tudja magyarázni a kereslet mintabeli d) H 0 : β = 0, H 1 : β 0, konstansra hasonlóan t β = 3, 64, t α = 6, 24, t 87 (0, 995) = 2, 64, így mindkét nullhipotézis elvetve e) Nem Új házak építése, útépítések, stb 9 a) Pozitívakat, hiszen a korral és a megtett út növekedésével nőnek a fenntartási költségek b) Az "A" modellt, magasabb az R 2, kisebb az ESS mutató értéke is c) t β = 22, 24, t α = 6, 009, t 55 (0, 995) = 2, így mindkét nullhipotézis elvetve, szignifikánsak az együtthatók d) Konstans változatlan, β a hetedrészére változik Hibáik ugyanígy Hibatag, t hányados, p-érték, R 2 nem változik 11
10 a) α > 0, hiszen ez a PhD megszerzése utáni átlagos kezdőfizetésnek felel meg, ami egy fix kiiknduló fizetés β > 0, mert azt reméljük, hogy az évek múlásával nő a fizetés A kezdőfizetés α = 52 237 dollár, innen minden évben átlagosan 1491 dollárral nő az éves fizetés b) R 2 = 0, 439 gyenge illeszkedés, a évek múlása 43, 9%-ban magyarázza a fizetések mintabeli szóródását c) A p-értékek alapján mindkét együttható szignifikánsan nem nulla A hipotéziseket, tesztstatisztikákat, stb lásd a korábbi feladatokban d) A regressziósfüggvény relevanciáját teszteli ANOVA teszttel H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a p-érték alapján elvetjük a nullhipotézist, azaz modellünk releváns e) Mindkét együttható ezerszeresére változik R 2 változatlan, t-statisztika változatlan, hibák ezerszeresükre változnak f) rugalmasság= 0, 222, azaz az évek 1%-os növekedése a fizetések 0, 222%-os átlagos növekedését eredményezik 11 a) Pozitív mindkettő Nulla jövedelem mellett is költünk utazásra (nyilván nem releváns eset, így a konstans értelmezésétől most eltekinthetünk), a jövedelem növekedése pedig pozitívan hat az utazásra fordított összegre, méghozzá 1 milliárd dolláros jövedelem növekedés átlagosan 55 573 100 dollár növekedést okoz a belföldi utazásokra fordított összegben b) R 2 = 0, 853 jó illeszkedés, a jövedelem 85, 3%-ban magyarázza a kiadások mintabeli szóródását c) A p-értékek alapján a konstans szignifikánsan nulla, míg a meredekségi együttható szignifikánsan nem nulla A hipotéziseket, tesztstatisztikákat, stb lásd a korábbi feladatokban d) A regressziófüggvény relevanciáját teszteli ANOVA teszttel H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a p-érték alapján elvetjük a nullhipotézist, azaz modellünk releváns e) Érdemes bevonni új változókat is, pl népesség, munkanélküliségi ráta, stb (számos lehetőség felsorolható, az olvasóra bízzuk) f) rugalmasság= 0, 25, azaz a jövedelem 1%-os növekedése a kiadások 0, 25%-os átlagos növekedését eredményezik 12 a) Konstansnak nincs releváns értelmezése, β pedig az alapterület függvényében mutatja az árváltozást Nyilván pozitív előjelet várunk erre, és ezt igazolja is a becslés Az alapterület 1 m 2 növekedése átlagosan 382 395 forintos árdrágulást jelent b) R 2 = 0, 661 közepes illeszkedés Az alapterület 66, 1%-ban magyarázza a kínálati ár mintabeli szóródását c) A p-értékek alapján a konstans szignifikánsan nulla, míg a meredekségi együttható szignifikánsan nem nulla A hipotéziseket, tesztstatisztikákat, stb lásd a korábbi feladatokban d) A regressziófüggvény relevanciáját teszteli ANOVA teszttel H 0 : β = 0, H 1 : β 0, a p-érték alapján elvetjük a nullhipotézist, azaz modellünk releváns e) Igen, szobák száma, emelet, tájolás, stb f) Y = 40 esetén a modell szerint X = 105, 84, így a rugalmasság= 1, 012, azaz a terület 1%-os növekedése az ár 1, 012%-os átlagos növekedését eredményezi 12
13 α szenderd hibája sˆα = ˆα/t = 1, 741 β esetén t = 0, 137/0, 028 = 4, 893 V = ˆα + ˆβ P = 33, 497 Mivel T SS = (V t V ) 2 = (n 1)s 2 V = 21 31, 954 = 671, 034, így R2 = 1 ESS/T SS = 0, 544, és s 2 e = ESS/(n 2) = 15, 298 14 α szenderd hibája sˆα = ˆα/t = 0, 319 β esetén ˆβ = 72, 27 0, 00196 = 0, 142 Ȳ = ˆα+ ˆβ X = 15, 25 ESS = s 2 e (n 2) = 148, 7 R 2 = 1 ESS/T SS = 0, 99, F (1, 49) = 49 0, 99/0, 01 = 4851 15 ˆα = 0221 β esetén s ˆβ = 0142/1217 = 0001169 Ȳ = ˆα+ ˆβ X = 97971 s e = ESS/(n 2) = 0687 R 2 = 1 ESS/T SS = 0, 997, F (1, 49) = 49 0, 997/0, 003 = 16284, 3 13