Fizika AE, 11. feladasor Vida György József vidagyorgy@gmail.com 1. felada: Állandó, =,1 A er sség áram öl egy a = 5 cm él, d = 4 mm ávolságban lév, négyze alakú lapokból álló síkkondenzáor. a Haározzuk meg az elekromos uxus dφ E / válozási sebességé a lapok közö! b Mekkora az elolási áram a lapok közö? E d a olsó módosíás: 15. május 4., 18:9 a Az elekromos uxus meghaározásához el ször udnunk kell, hogy a kondenzáorban mekkora a érer sség: ahonnan b Az elolási áram E( = ( d Φ( = Φ elolás = = = Q( Cd = Cd, (1-1 E d f = E( A = a Cd. (1- ( a Cd a = Cd, (1-3 1-A. ábra ahol ha behelyeesíjük a síkkondenzáor kapaciásának éréké, C = a d, elolás =. (1-4 B. felada: Er s elekromágnes B = 1,6 er sség mágneses ere ud lérehozni egy A =, m kereszmesze érrészben. A mágnes köré egy N = meneb l álló ekercse helyezünk el, amelynek ki- és bemenee hurokszer en össze van köve. Az elekromágnes ezuán =, s ala kikapcsoljuk. Mekkora áram fog folyni a ekercsben, ha a ekercse alkoó kábel eljes ellenállása = Ω? db A Faraday-féle indukciós örvény szerin A E ds = A B d f, (-1 -A. ábra 1
Fizika AE, 11. feladasor megoldások ahol a jobb oldalon a mágneses indukció felülei inegrálja szerepel egy A felülere (a mágneses indukcióuxus, a bal oldalon pedig az elekromos érer sség vonalinegrálja az A felüle haára menén. A mágneses indukcióuxus a kezdei pillanaban: Φ = B d f = N B d f = N BA. (- A kereszmesze A jobb oldalon az elekromos érer sség vonalinegrálja áll, ami az elekromooros er,. A ekercsben folyó áram: = = 1 E ds = 1 B d f = 1 (NBA (-3 NA A B A =, m Ω 1,6 = 16 A. (-4, s ω 3-A. ábra ϕ( B 3. felada: Egy válóáramú generáorban l = 1 cm élhosszúságú, négyze alakú e forgaunk B =,8 er sség mágneses érben úgy, hogy a forgásengely mer leges a mágneses indukció vekorára. A forgás frekvenciája f = 5 Hz. a Számísuk ki a en a mágneses uxus éréké az id függvényében. b Mekkora feszülség kelekezik a ben az id függvényében? c Ha a ellenállása = 1 Ω, hogyan válozik a benne folyó áram az id függvényében? A mágneses uxus az alábbi kifejezés adja meg: Φ m = BdA (3-1 A B ér homogén, vagyis mindenhol ugyanabba az irányba mua és a nagysága a érben mindenhol ugyanakkora. A felülei inegrálnál egy sík lapra kell inegrálni. Ezen az elemi felülevekorok mind egy irányba muanak: mer legesek annak felüleére. egyen a felüle mer leges és a mágneses ér közö bezár szög ϕ(. Ekkor BdA = BdA cos ϕ(. Így ehá: Φ m = B cos ϕ( da = BA cos ϕ(, (3- ahol A = l a eljes felülee. Amikor a e forgajuk, akkor ez a ϕ( szöge válozajuk. Mivel egyenleesen forgajuk körbe, így ϕ( = ω, ahol ω = πf, és f = 5 Hz a felada szövege szerin. Így ehá Φ m = BA cos ( ω. (3-3 A kelekez feszülsége kiszámolhajuk az indukciós örvény alapján: ( = Edr = dφ m = d BA cos(ω = BAω sin(ω. (3-4 ( széle A ben folyó áram: ( = ( = BAω sin(ω. (3-5
Fizika AE, 11. feladasor megoldások 4. felada: = 5 mh indukiviású és =,3 Ω ellenállású ekercse = 3 V elekromooros erej elephez kapcsolunk. Mennyi id ala éri el az áram az állandósul érék 5%-á, illeve 75%-á? El ször az kell megvizsgálnunk, hogy mi örénik a ekerccsel, ha abban válozó áram folyik. A Faraday-féle indukciós örvény alapján abban feszülségnek kell indukálódnia: i = B d f = (B( A N = ( N ( µ A l (4-1 ( = µ N A l d( = d(, (4- ahol a ekercsi indukiviása. Ennek ismereében fel udjuk írni az áramkörben a hurokörvény, gyelve arra, hogy a ekercsen es feszülség elleneje a ekercsben indukálódo feszülségnek: = + d + ( (4-3 d ( = ( (4-4 1 d ( = (4-5 1 d ( = (4-6 [ ( ln ( ] = (4-7 ( ( ln ( = (4-8 ( ( 4-A. ábra ( ( = e (4-9 ( = ( 1 e, (4-1 ahol felhasználuk, hogy ( =, hiszen a bekapcsolás pillanaában nem foly áram. Az egyes áramköri elemeken es feszülség: ( ( = ( = 1 e, (4-11 ( = d( = e. (4-1 Az áram állandósul éréke: ( = lim ( =, (4-13 Ennek 5%-á akkor éri el az áramkör, ha 5% = 1 = (1 / ( = (1 e 1/ = 1 e 1/ (4-14 3
Fizika AE, 11. feladasor megoldások 1/ = ln 1 = ln. (4-15 Ehhez eljesen hasonlóan a 75%-os ese: 75% = 3 4 = (3 /4 ( (4-16 3/4 = ln 4. (4-17 ( 5. felada: f = 5 Hz-es áramkörben = 5 Ω nagyságú ohmikus ellenállás és ismerelen önindukciójú ekercse kapcsolunk sorosan. A fázisszög ϕ = 45. Mekkora az önindukiviás, és mekkora kondenzáor beikaása szünei meg a fáziskésés? X C A forgóvekoros leírásból azonnal lászik, hogy a ekercs impedanciájá megkaphajuk úgy, min X ϕ 5-A. ábra Z A ekercs impedanciája: X = g ϕ = g 45 =. (5-1 X = ω (5- = X ω = π f = 5 Ω π 5 Hz = 1 π H. (5-3 A kondenzáor impedanciájának meg kell egyeznie az indukiviás impedanciájával, hogy ne legyen fáziskésleleés, vagyis X C = X (5-4 1 = ω ωc (5-5 ω = ω = π 5 Hz 5 Ω = 6,37 1 5 F. C = 1 1 (5-6 6. felada: Mekkora feszülség indukálódik egy raban l = 1 m széles e csomagarójában, ha a raban sebessége v = 7 km/h és a Föld mágneses erének függ leges komponense B = 3 µ? l v A( A( + A( 6-A. ábra A kelekez feszülsége kiszámolhajuk az indukciós örvény alapján: Edr = dφ m = d BdA. (6-1 széle Kérdés, hogy i milyen felülee kell válaszani. Jó gondola, ha a -edik id pillanaban ez a felüle egy olyan églalap, amelynek az egyik oldala a e csomagaró az induláskor, az azzal szemközi oldal pedig a e csomagaró az ado id pillanaban. A felüle ehá az a erüle, ami a e csomagaró súrol a kezdei pillanaól az ado id pillanaig. Az indukciós örvény így fel udjuk írni, egyedül arra kell gyelni, hogy az inegrálás haára lesz i id függ. A bal oldalon a körinegrálban csak o 4
Fizika AE, 11. feladasor megoldások van E érer sség, ahol van csomagaró, vagyis a églalap 4 oldala közül csak egyen. O pedig ez az inegrál a feszülsége adja meg: Edr = Edr = (. (6- széle vas rész A jobb oldalon pedig felhasználhajuk, hogy az A( felüle egy sík, a B ér homogén, és ez a ke egy irányba mua, vagyis: d BdA = B d da = B d A( = B ( d l v = Blv. (6-3 A( A ke összeolvasva kapjuk, hogy ( = Blv, (6-4 vagyis a feszülség állandó nagyságú. 7. felada: Egy = 3 mh indukiviású, = 6 Ω ohmikus ellenállású ekercse egy = 1 V-os feszülségforrásra kapcsolunk. Haározzuk meg az áram id függésé a kapcsoló ábillenése uán! A felada megoldása nagyon hasonló a 4. feladaéhoz. Írjuk fel a. Kirchhoörvény a kapcsoló ákapcsol állásában: ( = ( + ( (7-1 = d + ( (7- = 1 d( ( (7-3 = [ ln ( ] ( = ln ( (7-4 ( ( ( = ( e, (7-5 ahol ( az ákapcsolás pillanaában folyó áram nagysága. Az ákapcsolás el, az áramkör állandósul állapoában ( = nagyságú állandó nagyságú áram foly, így 7-A. ábra ( = e. (7-6 Az ellenálláson és a ekercsen es feszülség: ( = ( = e, ( = d( = e. (7-7 5
Fizika AE, 11. feladasor megoldások 8. felada: Egymással párhuzamosan köünk egy feszülségre felölö kondenzáor és egy indukiviású ekercse. a Írjuk fel a dierenciálegyenlee a kapaciásban árol ölésekre! b Haározzuk meg az egyes elemekre es feszülség id függésé! udjuk, hogy a kondenzáor feszülségé megadhajuk az C ( = Q( C = 1 Q( = + ( (8-1 C alakban, ahol Q( = a kondenzáor kezdei ölése: Q( = = C, és ( az áramkörben folyó áram. A ekercsen es feszülsége pedig megadhajuk min ( = d(. (8- A. Kirchho-örvény felírva megkapjuk, hogy = C ( + ( (8-3 = 1 Q( = + ( + d(. (8-4 C Ennek mindké oldalá id szerin deriválva: = 1 C ( + d ( (8-5 = d ( + 1 (. (8-6 C ( ω ω C ( ( 4 C 8-A. ábra 3 4 Emelle még az udjuk, hogy abban a pillanaban, amikor összeérineük a kondenzáor és a ekercs kivezeései, akkor még éppen nem foly áram, vagyis ( = =. Ennek az egyenlenek a megoldásá már korábbról ismerjük. Egy olyan függvény keresünk, amelynek a második deriválja önmaga, csak még meg van szorozva egy negaív számmal. A szinusz és a koszinusz függvény ilyen függvény. egálalánosabban az alábbi alakban írhajuk fel az egyenle megoldásá: ( = sin ( ω + φ, (8-7 ahol ω = 1 C, illeve és φ ké paraméer, amelyek esz leges éréke melle az el bbi függvény kielégíi a feni dierenciálegyenlee. Az és a φ paraméerek éréké a kezdei feléel rögzíi, ugyanis udjuk, hogy = -ban az áram éréke nulla, illeve hogy kezdeben feszülségre vol felölve a kondenzáor. Az el bbib l: = ( = = sin ( ω + φ = sin ( φ (8-8 = sin(φ (8-9 = φ, (8-1 míg az uóbbiból: = C ( + ( (8-11 = C ( + ( (8-1 6
Fizika AE, 11. feladasor megoldások vagyis = ( = d( = + (, (8-13 = ( ω cos(ω = = ω (8-14 = = ω. (8-15 ehá az áram id függése: ( = sin(ω. (8-16 ω Ebb l már könnyen számolhajuk a kondenzáor és a ekercs feszülségének id függésé: C ( = + 1 C = Cω ( = d( ( = sin(ω (8-17 Cω [ cos(ω ] = + ( cos(ω 1 = cos(ω, ω (8-18 = d ( ω sin(ω = cos(ω. (8-19 9. felada: e = V-os, 5 Hz frekvenciájú hálózaról áplál berendezésen áfolyó áram er ssége e = A. A felve eljesímény P = 3 W. a Mekkora az áram és a feszülség fáziskülönbsége? b Mekkora a berendezés válóáramú ellenállása? c Mekkora a berendezés ohmikus ellenállása? d függ eseben a eljesímény nem udjuk egyszer en úgy számolni, min az áram és a feszülség szorzaá, hiszen mind a ké mennyiség id függ, így az így elkészíe mennyiség is id függ lenne. A eljesímény így min egy id álago kell elkészíenünk. A -edik pillanaban id ala elvégze munka ((. Ha ez összegezzük egy véges 1 - l -ig aró id inervallumra, akkor megkapjuk a eljes munká: W ( 1, = 1 ((, (9-1 amelynek felhasználásával az álageljesímény a [ 1, ] id inervallumon: P = 1 1 ((. (9-1 Periodikusan válozó áramok eseében elég egy periódusra álagolni: P = 1 ((. (9-3 7
Fizika AE, 11. feladasor megoldások Nézzük meg, hogy mekkora a eljesímény, ha ϕ a fáziskülönbség az áram és a feszülség közö. egyen ( = cos(ω és ( = cos(ω+ϕ, ahol ω = π akkor P = 1 = 1 = = = = = cos(ω cos(ω + ϕ (9-4 cos(ω [ cos(ω cos(ϕ sin(ω sin(ϕ ] (9-5 cos(ϕ cos(ϕ cos (ω 1 + cos(ω [ cos(ϕ + sin(ω 4ω ( cos(ϕ ] + sin(4π sin( 4ω sin(ϕ sin(ϕ sin(ϕ cos(ω sin(ω (9-6 1 sin(ω (9-7 [ cos(ω 4ω + sin(ϕ ] (9-8 ( cos(4π cos( 4ω (9-9 cos ϕ = cos ϕ = e e cos ϕ. (9-1 a Ez alapján az els kérdésre azonnal megadhajuk a válasz: b A berendezés impedanciája: cos ϕ = P = 3 W =,68 e e V A (9-11 ϕ = 47,1. (9-1 Z = = e e = V A = 11 Ω. (9-13 c Az ohmikus ellenállás = Z cos ϕ = e P = P e e e e = 3 W = 75 Ω. (9-14 ( A 8
Fizika AE, 11. feladasor megoldások 1. felada: Sorosan kapcsolunk egy elhanyagolhaó ohmikus ellenállású, =,5 H önindukciójú ekercse egy = 5 Ω-os ellenállással, majd rákapcsoljuk az e = V-os, f = 5 Hz frekvenciájú válakozó feszülség hálózara. a Mekkora a kör ellenállása (impedanciája? ( b Mekkora áram folyik a körben? c Mekkora az ohmikus ellenállásra, illeve a ekercsre juó feszülség? 1-A. ábra d Mekkora az áram és a feszülség közöi fáziskülönbség? a A kör impedanciája Z = X + = (ω + = (πf + (1-1 = (π5 Hz,5 H + (5 Ω = 164,9 Ω. (1- b Az áram maximális éréke = e Z = V 164,85 Ω = 1,89 A. (1-3 c Az egyes feszülségek: = = 1,89 A 5 Ω = 94,4 V (1-4 = X = 1,89 A π 5 Hz,5 H = 148, V. (1-5 d A fáziskülönbség ϕ = arccos Z = arccos 5 Ω 164,9 Ω = 7,34. (1-6 9