Áramlátan feladatgyűjtemény Az energetikai mérnöki BSc é gépézmérnöki BSc képzéek Áramlátan című tárgyához. gyakorlat Vizkozitá, hidroztatika Özeállította: Lukác Ezter Dr. Itók Baláz Dr. Benedek Tamá BME GPK Áramlátan Tanzék, 019
ØD SIKLÓCSAPÁGY Egy iklócapágy kenéét é hűtéét kenőolaj átáramoltatáával oldottuk meg. A kenőolajat egy volumetriku zivattyú juttatja a iklócapágy középő rézébe, ahonnan egy kekeny, állandó vatagágú () réen kereztül áramlik kifelé. r f z L Kérdé: Határozza meg az olaj zükége tömegáramát úgy, hogy az olaj hőmérékletváltozáa ne legyen több mint 0 C! Adatok: = 0,15 mm; D = 10 mm; L = 00 mm; n = 100 1/min; νolaj = 10-5 m /; cp,olaj = 000 J/kg/K; ρolaj = 900 kg/m 3 ; Δtola j = 0 C; MEGOLDÁS Feltételezhetjük, hogy az elvezetendő hőt az a teljeítmény állítja elő, ami a vizkózu folyadék belő úrlódáa következtében dizipálódik. Ennek meghatározáa orán a következő megfontoláokkal élünk: az olaj Newtoni közegként vielkedik az olaj hozirányú ebeége a forgához képet elhanyagolható - v z 0 az olaj a tapadá törvénye miatt az álló ház falán nulla ebeégű, a tengelyen pedig a kerületi ebeéggel mozog a ebeégelozlá a ház é a tengely között lineárian változik - v φ = kontan r a forgatához zükége teljeítmény a folyadékúrlódáon kereztül hővé alakul át, amely telje egézében az olaj melegítéére fordítódik - P forg = P hő A forgatához zükége teljeítmény meghatározáa: P forg = Mω M = F ker D ω = πf F ker = τ A palát τ = μ dv φ dr A palát = DπL μ = ν olaj ρ olaj, ahol Pforg a forgatához zükége teljeítmény [W], M a forgatónyomaték [Nm], ω a zögebeég [rad/], Fker a kerületi erő [N], τ a folyadékban keletkező cúztatófezültég [Pa], Apalát a capágy palátfelülete, µ az olaj dinamikai vizkozitáa [kg/(m)], D a tengely átmérője [m].
A capágy zögebeége: ω = πf = π 100 1 60 = 15,7 1 Newton vizkozitái törvénye alapján a folyadékban keletkező cúztatófezültég: τ = μ dv φ dr μ v D ker v ház = ν olaj ρ ω 0 0,1 olaj = 10 5 900 15,7 = 905Pa 1,5 10 4 A kerületi erő: F ker = τ A palát = τ (DπL) = 905 0,1 π 0, = 68N A forgatónyomaték: M = F ker r = 68 0,1 = 4,1Nm A forgatához zükége teljeítmény: P forg = Mω = 4,1 15,7 = 514W A forgatához zükége teljeítmény a folyadékúrlódáon kereztül hővé alakul át. Ezt a hőteljeítményt kell a kenőolajjal elvezetni ahhoz, hogy a capágy ne melegedjen. P forg = P hűté = (Q ) = q m,olaj c p,olaj Δt olaj q m,olaj = P forg c p,olaj Δt olaj = 514 000 0 = 0,019 kg = 1, 9 g Az olaj zükége tömegárama tehát 1,9 g/.
CD-LEJÁTSZÓ Egy CD lejátzóban a lemez állandó zögebeéggel pörög, rémérettel elválaztott álló ház felett. ØD n Kérdé: Határozza meg a forgatához zükége teljeítményt! Adatok: μlev = 1.5 10-5 kg/m/; ρ = 1, kg/m 3 ; = 0,1 mm; D = 10 mm; n = 10000 1/min MEGOLDÁS A megoldánál ügyelnünk kell arra, hogy a CD kerületi ebeége a ugár függvényében változik. Ennek következtében a ugár függvénye lez a folyadékban fellépő cúztatófezültég, a kerületi erő é a forgatónyomaték i. P forg = M(r)ω M = F ker (r) r F ker (r) = τ da τ = μ lev dv φ dz ω = πn A CD-lemez zögebeége: ω = πn = π 10000 60 = 1047 1 da = rπdr Newton vizkozitái törvénye alapján a folyadékban keletkező cúztatófezültég: dv φ τ = μ lev dz μ v ker v ház rω 0 lev = μ lev Az elemi kerületi erő egy dr zéleégű, r ugarú körgyűrű-felületen: rω df ker (r) = τ da = μ lev rπ dr = μ r πω lev dr A forgatónyomaték a 0 é R ugár közötti öze körgyűrű felületen: R πω M = r df ker (r) = μ lev r 3 dr 0 0 R = μ lev πω = 1,5 10 5 π 1047 0,06 4 10 4 = 3, 10 3 Nm [ r4 R 4 ] = μ lev πω R 4 0
Amiből a forgatához zükége teljeítmény: P forg = M ω = μ lev πω R 4 = 1,5 10 5 π 1047 0,06 4 10 4 = 3, 3W A CD-lemez forgatáához zükége teljeítmény tehát 3,3 W.
A LÉPCSŐHÁZ ESETE Egy hat emelete, 0m magaágú lakóház lépcőházának bejárata nyitva maradt, a többi nyílázáró be van zárva. Tél lévén a külő hőméréklet -5 C, a lépcőházban 0 C van a fűté miatt. Kérdé: Adja meg a legfelő emeleten kialakuló nyomákülönbég mértékét! Rajzolja fel a nyomáelozlát a lépcőházban é a kültérben a magaág függvényeként! H Adatok: p0 = 1 bar; R = 87 J/(kgK); g = 10 N/kg; H = 0m; Tb = 0 C; Tk = -5 C MEGOLDÁS Kezdeti megfontoláok: a 3-4-e pont között nem írhatjuk fel a hidroztatika alapegyenletének egyzerűített formáját, mert a két pontban eltérő a űrűég mivel a földzinti ajtó nyitva van, az 1-e é -e pontokban a nyomát közel azononak feltételezhetjük z 4 0 C 3-5 C H 1 A hidroztatika alapegyenlete az 1-4 pontok közé: p 1 + ρ B U 1 = p 4 + ρ B U 4 U = gz A koordináta-rendzer ügye megválaztáával z 1 = 0 U 1 = 0; U 4 = gh p 1 = p 4 + ρ B gh A hidroztatika alapegyenlete a -3 pontok közé: p + ρ K U = p 3 + ρ K U 3 mivel z = 0 U = 0; U 3 = gh p = p 3 + ρ K gh Mivel p 1 = p p 3 + ρ K U 3 = p 4 + ρ B U 4
A levegő űrűégének kizámítáa a lépcőházban, é a kültérben: ρ B = p 0 10 5 kg = = 1,19 RT B 87 93 m 3 ρ K = p 0 10 5 kg = = 1,3 RT K 87 68 m 3 A legfelő emeleten kialakuló nyomákülönbég tehát: p 4 p 3 = (ρ K ρ B )gh = (1,3 1,19) 10 0 = Pa Nyomáelozlá a magaág függvényében: talajzinten a nyomáok megegyeznek; p 1 = p a nyomá felfele haladva lineárian cökken a cökkené meredekége ρg, tehát a hidegebb (űrűbb) levegőben gyorabban, míg a melegebb levegőben kevébé gyoran változik a nyomá z H p 4 p 3 p 3 p 4 p 1 = p p
H A BUSZ ÉS A LUFI Egy 3 m magaág, 10 m hozú buz v ebeéggel halad az ábrán látható irányba, majd hirtelen fékezni kezd. Kérdé: Mekkora a legnagyobb nyomákülönbég a fékező buzban? Merre indul el a fékezé pillanatában buzon található héliumo lufi? Adatok: p0 = 1 bar; R = 87 J/(kgK); g = 10 N/kg; T = 93K; H = 3 m; L = 10 m; a = m/ v L a MEGOLDÁS Kezdeti megfontoláok: a feladat a buzal együtt gyoruló koordináta-rendzerből tekinthető hidroztatikai problémának tehetetlenégi erőtér (g t ) a koordináta-rendzert a buz bal aló arkához rögzítjük, az x-tengely a gyorulá-vektor irányába mutat az 1-e pontot az origóba helyezzük, a -e pont helye a parametrikuan felírt zámítáokból derül ki A hidroztatika alapegyenlete az 1- pontok közé: p 1 + ρu 1 = p + ρu U = gz + ax p 1 + ρgz 1 + ρax 1 = p + ρgz + ρax p 1 p = ρ[g (z z 1 ) + a (x x 1 )] Tehát a nyomákülönbég akkor lez maximáli, ha a -e pont az 1-ehez képet a lehető legmagaabbra é + x irányban a lehető legmezebb helyezkedik el, azaz: z z 1 = H; x x 1 = L A levegő űrűége az ideáli gáz állapot egyenletéből: ρ = p 0 RT = 105 kg = 1,19 87 93 m 3 A buzban kialakuló legnagyobb nyomákülönbég értéke: p 1 p = ρ[g (z z 1 ) + a (x x 1 )] = ρ(gh + al) = 1,19 (10 3 + 10) = 60Pa
Merre indul a héliumo lufi? A hélium űrűége kiebb, mint a levegőé, ezért a lufi a rá ható felhajtóerő következtében az eredő térerő vektorral ellentéte irányban indulna el, amerre a nyomá é azzal a űrűég leginkább cökken. Mivel a buz teteje akadályozza az emelkedében, ezért a fékezé időzakában jobbra, a buz hátulja fele indul. z g t 1 g e g x
SZEPARÁTOR Egy vízzinte íkban forgó zeparátorban egy olaj-víz keverékét tartalmazó kémcövet forgatunk. A forgatá jelentő mértékben megnöveli a ható térerőég nagyágát é ezzel felgyorítja a különböző űrűégű anyagok zétváláát. l 1 l l 3 Kérdé: ω 1 3 Határozzuk meg, hogy abban az eetben, mikor már zétvált a keverék, mekkora a d=40mm átmérőjű kémcő aljára ható erő! Adatok: d = 40 mm; l1 = 0, m, l = 0,1 m, l3 = 0,1 m, ω=30 1/, ρolaj=800 kg/m 3, ρvíz=1000 kg/m 3 MEGOLDÁS Kezdeti megfontoláok: a feladat a kémcővel együtt forgó koordináta-rendzerből tekinthető hidroztatikai problémának centrifugáli erőtér (g c ) feltételezhető, hogy a folyadék felzínén a nyomá légköri ne felejtük, hogy a hidroztatika alapegyenletének egyzerűített formája cak azono űrűégű pontok között írható fel külön az olajban é külön a vízben Felírva a hidroztatika alapegyenletét az 1- pontok közé az olajban: p 1 + ρ olaj U 1 = p + ρ olaj U - a folyadék felzínén a nyomá légköri: p 1 = p 0 - U 1 = gz 1 r 1 ω ; U = gz r ω - r 1 = l 1 ; r = l 1 + l - mivel a zeparátor vízzinte íkban forog: z 1 = z p p 0 = ρ olaj ( l 1 ω + (l 1 + l ) ω ) = 800 ( 0, 30 = 18000Pa + 0,3 30 )
Felírva a hidroztatika alapegyenletét a -3 pontok közé a vízben: p + ρ víz U = p 3 + ρ víz U 3 - U = gz r ω ; U 3 = gz 3 r 3 ω - r = l 1 + l ; r 3 = l 1 + l + l 3 - mivel a zeparátor vízzinte íkban forog: z = z 3 p 3 p = ρ víz ( (l 1 + l ) ω + (l 1 + l + l 3 ) ω ) = 1000 ( 0,3 30 + 0,4 30 ) = 31500Pa Mivel a kémcő aljának máik oldalán zintén légköri a nyomá, a kémcő alján a nyomákülönbég: p 3 p 0 = (p p 0 ) + (p 3 p ) = 18000 + 31500 = 49500Pa A kémcő aljára ható erő ebből: F = p A = (p 3 p 0 ) d π 4 = 49500 0,04 π = 6N 4