Valószínűségszámítás és matematikai statisztika Baran Ágnes Gyakorlat MATLAB Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 7
Véletlenszám generátorok randi(n,n,m) n m pszeudorandom egész szám az [1, N]-en adott diszkrét egyenletes eloszlásból rand(n,m) n m véletlen szám a [, 1]-en adott egyenletes eloszlásból randn(n,m) n m véletlen szám a standard normális eloszlásból [a, b] intervallumon egyenletes eloszlású véletlen számok generálása: (b-a)*rand(n,m)+a µ várható értékű, σ szórású normális eloszlású véletlen számok: µ+randn(n,m)*σ Véletlen számok a random függvénnyel: random( name,a,b,c,d,n,m) ahol name az eloszlás neve, A,B,C,D az eloszlás paraméterei (számuk függ az eloszlástól, ld. a random függvény help-jét.), n m az output mérete Baran Ágnes Gyakorlat 2 / 7
Nevezetes eloszlások eloszlásfüggvénye A cdf (cummulative distribution function) beépített függvénnyel: y = cdf( name,x,a,b,c,d) ahol name az eloszlás neve, x ahol az eloszlásfüggvény értékét tudni szeretnénk, A,B,C,D az eloszlás paraméterei (számuk függ az eloszlástól, ld. a cdf függvény help-jét.) Példa Rajzoltassa ki a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét a [ 3, 3] intervallumon. Normális eloszlás esetén a két paraméter a várható érték és a szórás (most és 1) >> x=linspace(-3,3); >> y=cdf('normal',x,,1); >> figure; plot(x,y,'linewidth',2); >> ax=gca; >> ax.xaxislocation='origin'; >> ax.yaxislocation='origin'; Baran Ágnes Gyakorlat 3 / 7
x=linspace(-3,3); y=cdf('normal',x,,1); figure; plot(x,y,'linewidth',2); ax=gca; ax.xaxislocation='origin'; ax.yaxislocation='origin';.9.8.7.6.5.4.3.2.1-3 -2-1 1 2 3 Baran Ágnes Gyakorlat 4 / 7
Feladat Rajzoltassa ki a [ 3, 3] intervallumon a várható értékű, 1 szórású, 1 várható értékű, 1 szórású, várható értékű, 2 szórású, 1 várható értékű, 2 szórású normális eloszlás eloszlásfüggvényét. =, =1 =1, =1.5.5-4 -2 2 4 =, =2-4 -2 2 4 =1, =2.5.5-4 -2 2 4-4 -2 2 4 Baran Ágnes Gyakorlat 5 / 7
Példa Rajzoltassa ki a.8 várható értékű exponenciális eloszlás eloszlásfüggvényét a [ 3, 3] intervallumon. Exponenciális eloszlás esetén egy paraméter van, a Matlab-ban ez a várható érték (ez most.8). >> x=linspace(-3,3); >> y=cdf('exponential',x,.8); >> figure; plot(x,y,'linewidth',2); >> ax=gca; >> ax.xaxislocation='origin'; >> ax.yaxislocation='origin'; Baran Ágnes Gyakorlat 6 / 7
x=linspace(-3,3); y=cdf('exponential',x,.8); figure; plot(x,y,'linewidth',2); ax=gca; ax.xaxislocation='origin'; ax.yaxislocation='origin';.9.8.7.6.5.4.3.2.1-1 1 2 3 4 5 Baran Ágnes Gyakorlat 7 / 7
Példa Rajzoltassa ki a.8, az 1 és az 1.2 várható értékű exponenciális eloszlás eloszlásfüggvényét a [ 1, 5] intervallumon. x=linspace(-1,5); y1=cdf('exponential',x,1); y2=cdf('exponential',x,.8); y3=cdf('exponential',x,1.2); figure; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2); legend('\mu=1','\mu=.8','\mu=1.2'); title('exponencilis eloszlas, eloszlasfuggveny') Baran Ágnes Gyakorlat 8 / 7
x=linspace(-1,5); y1=cdf('exponential',x,1); y2=cdf('exponential',x,.8); y3=cdf('exponential',x,1.2); figure; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2); legend('\mu=1','\mu=.8','\mu=1.2'); title('exponencilis eloszlas, eloszlasfuggveny') 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1 exponenciális eloszlás, eloszlásfüggvény =1 =.8 =1.2-1 1 2 3 4 5 Baran Ágnes Gyakorlat 9 / 7
Eloszlásfüggvények Példa Rajzoltassa ki az F (x) = { ha x 1 1 e x x egyébként eloszlásfüggvényt a [ 1, 6] intervallumon. x=linspace(-1,6); y=(1-(1-exp(-x))./x).*(x>); figure; plot(x,y,'linewidth',2); Baran Ágnes Gyakorlat 1 / 7
x=linspace(-1,6); y=(1-(1-exp(-x))./x).*(x>); figure; plot(x,y,'linewidth',2);.9.8.7.6.5.4.3.2.1-1 1 2 3 4 5 6 Baran Ágnes Gyakorlat 11 / 7
Nevezetes eloszlások sűrűségfüggvénye A pdf (probability density function) beépített függvénnyel: y = pdf( name,x,a,b,c,d) ahol name az eloszlás neve, x ahol a sűrűségfüggvény értékét tudni szeretnénk, A,B,C,D az eloszlás paraméterei (számuk függ az eloszlástól, ld. a pdf függvény help-jét.) Példa Rajzoltassa ki a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényét a [ 3, 3] intervallumon. Normális eloszlás esetén a két paraméter a várható érték és a szórás (most és 1) >> x=linspace(-3,3); >> y=pdf('normal',x,,1); >> figure; plot(x,y,'linewidth',2); Baran Ágnes Gyakorlat 12 / 7
x=linspace(-3,3); y=pdf('normal',x,,1); figure; plot(x,y,'linewidth',2);.5.45.4.35.3.25.2.15.1.5-3 -2-1 1 2 3 Baran Ágnes Gyakorlat 13 / 7
Feladat Ábrázolja a várható értékű, 1 szórású, 1 várható értékű, 1 szórású, várható értékű, 2 szórású, 1 várható értékű, 2 szórású normális eloszlás sűrűségfüggvényét..45.4 =, =1 =1, =1 =, =2 =1, =2.35.3.25.2.15.1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Baran Ágnes Gyakorlat 14 / 7
A nevezetes eloszlások eloszlás- és sűrűségfüggvényét kirajzoltathatjuk a disttool alkalmazással is. Adjuk ki a disttool parancsot és a megjelenő ablakban álĺıtsuk be mit szeretnénk ábrázolni. >>disttool Distribution: Normal Function type: CDF 1.8 Probability.5.6.4.2-8 -6-4 -2 2 4 6 8 X: Upper bound 2 Upper bound 2 Upper bound Mu Sigma 1 Lower bound -2 Lower bound.5 Lower bound Baran Ágnes Gyakorlat 15 / 7
Példa Legyen ξ egy 4 várható értékű, 3 szórású normális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi a valószínűsége, hogy ξ a [398,41] intervallumba esik? Papíron számolva ξ-t előbb normalizáltuk, majd a standard normális eloszlás táblázatait használva meghatároztuk a kérdéses valószínűséget. A Matlab-ot használva nincs szükség a standardizálásra. 1. megoldás: eloszlásfüggvénnyel (p = F ξ (41) F ξ (398)) >> p=cdf('normal',41,4,3)-cdf('normal',398,4,3).3781 2. megoldás: sűrűségfüggvénnyel (p = >> f=@(x) pdf('normal',x,4,3); >> p=integral(f,398,41).3781 41 398 f ξ (x)dx) Baran Ágnes Gyakorlat 16 / 7
Példa Legyen ξ N (, 1). Adja meg a értékét úgy, hogy P(ξ [1, a]) =.14 teljesüljön. Tudjuk, hogy P(ξ [1, a]) = F (a) F (1), így F (a) =.14 + F (1). >> t=.14+cdf('normal',1,,1); >> a=norminv(t) a = 2.824 norminv(p): a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényének inverze a p helyen norminv(p,µ,σ): a µ várható értékű, σ szórású normális eloszlás eloszlásfüggvényének inverze a p helyen Baran Ágnes Gyakorlat 17 / 7
Kétdimenziós eloszlások Példa Ábrázoljuk az F (x, y) = { 1 + e x y e x e y, ha x >, y >, egyébként eloszlásfüggvényt a [ 2, 5] [ 2, 5] tartományon. x=linspace(-2,5); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(1+exp(-X-Y)-exp(-X)-exp(-Y)).*(X>).*(Y>); figure; mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') Baran Ágnes Gyakorlat 18 / 7
x=linspace(-2,5); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=(1+exp(-X-Y)-exp(-X)-exp(-Y)).*(X>).*(Y>); figure; mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') 1.8.6.4.2 6 4 2 y -2-2 x 2 4 6 Baran Ágnes Gyakorlat 19 / 7
Kétdimenziós eloszlások Példa Mennyi a valószínűsége, hogy az előző eloszlásfüggvénnyel adott (ξ, η) valószínűségi változó értéke az [1, 3] [2, 4] tartományba esik? Tudjuk, hogy P((ξ, η) [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]) = F (b 1, b 2 ) F (a 1, b 2 ) F (b 1, a 2 )+F (a 1, a 2 ) Ezek alapján a keresett valószínűség: F=@(x,y) 1+exp(-x-y)-exp(-x)-exp(-y); p=f(3,4)-f(1,4)-f(3,2)+f(1,2) Baran Ágnes Gyakorlat 2 / 7
Kétdimenziós eloszlások Példa Ábrázoljuk a kétdimenziós standard normális eloszlás sűrűségfüggvényét a [ 3, 3] [ 3, 3] tartományon! Tudjuk, hogy f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2, (x, y) R 2. x=linspace(-3,3); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=exp(-(X.^2+Y.^2)/2)/2/pi; figure; mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y') Baran Ágnes Gyakorlat 21 / 7
x=linspace(-3,3); y=x; [X,Y]=meshgrid(x,y); Z=exp(-(X.^2+Y.^2)/2)/2/pi; figure; mesh(x,y,z) xlabel('x') ylabel('y').2.15.1.5 4 2 4 2-2 -2 y -4-4 x Baran Ágnes Gyakorlat 22 / 7
Példa Legyen (ξ, η) egy kétdimenziós standard normális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi a valószínűsége, hogy (ξ, η) értéke a [ 1, 1] [1.5, 2] tartományba esik? Tudjuk, hogy P((ξ, η) [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]) = b 1 b 2 f (x, y)dydx, a 1 a 2 ezért f=@(x,y) exp(-(x.^2+y.^2)/2)/2/pi; p=integral2(f,-1,1,1.5,2) Baran Ágnes Gyakorlat 23 / 7
Nagy számok törvénye Példa Szimuláljuk egy szabályos dobókocka 1 egymás utáni feldobását. Vizsgáljuk meg hogyan alakul az 5-ös dobások relatív gyakorisága a kísérlet során! Használjuk a randi függvényt! randi(n,n,m) : előálĺıt n m pszeudorandom egész számot az [1, N]-en adott diszkrét egyenletes eloszlásból. n=1; x=randi(6,1,n); rel=zeros(1,n); for i=1:n rel(i)=sum(x(1:i)==5)/i; end figure;plot(1:n,rel,[,n],[1/6,1/6]) Baran Ágnes Gyakorlat 24 / 7
.5.45.4.35.3.25.2.15.1.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Baran Ágnes Gyakorlat 25 / 7
Példa Egy szabályos dobókockával dobva jelölje A azt az eseményt, hogy a dobott szám 4-nél nagyobb. Szimuláljuk a kísérlet 1 egymás utáni végrehajtását és figyeljük hogy alakul A relatív gyakorisága! N=1; x=randi(6,1,n); rel=zeros(1,n); for n=1:n rel(n)=sum(x(1:n)>4)/n; end figure; plot(1:n,rel,[ N],[1/3,1/3]) xlabel('n') ylabel('k_a/n') Baran Ágnes Gyakorlat 26 / 7
1.9.8.7 k A /n.6.5.4.3.2 2 4 6 8 1 n Baran Ágnes Gyakorlat 27 / 7
Példa Szimuláljuk az alábbi kísérletet: 1-szer egymás után, egymástól függetlenül véletlenszerűen (egyenletes eloszlás szerint) választunk egy pontot az [1, 3] intervallumból. Jelölje ξ i az i-edik esetben választott számot. Ábrázoljuk az S n n := ξ 1 + + ξ n n értékeket n függvényében (n = 1,..., 1). N=1; x=random('uniform',1,3,1,n); s=zeros(1,n); for n=1:n s(n)=sum(x(1:n))/n; end figure; plot(1:n,s,[,n],[2,2]) xlabel('n') ylabel('s_n/n') Baran Ágnes Gyakorlat 28 / 7
2.25 2.2 2.15 2.1 2.5 S n /n 2 1.95 1.9 1.85 1.8 1.75 2 4 6 8 1 n Baran Ágnes Gyakorlat 29 / 7
Hisztogramok Példa Generáljunk egy 1 elemű standard normális eloszlású, és egy 1 elemű 2 várható értékű,.8 szórású normális eloszlású mintát. Készítsünk a mintákhoz gyakoriság hisztogramot! Használjuk a Matlab histogram függvényét! x=randn(1,1); figure; histogram(x) x=2+randn(1,1)*.8; figure; histogram(x) Baran Ágnes Gyakorlat 3 / 7
Standard normális eloszlású minta 14 12 1 8 6 4 2-4 -3-2 -1 1 2 3 4 Baran Ágnes Gyakorlat 31 / 7
2 várható értékű,.8 szórású normális eloszlású minta 15 1 5-1 1 2 3 4 5 6 Baran Ágnes Gyakorlat 32 / 7
Példa Generáljunk egy 1 elemű 2 várható értékű exponenciális eloszlású mintát. Készítsünk a mintákhoz gyakoriság hisztogramot! 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 12 14 16 Baran Ágnes Gyakorlat 33 / 7
Hisztogramok Példa Generáljunk egy N (N = 1, 1, 1, 1) elemű [, 1]-en egyenletes eloszlású mintát, és készitsünk gyakoriság hisztogramot (1 részintervallumot használjunk). x=rand(1,1); subplot(2,2,1) histogram(x,1); title('n=1') x=rand(1,1); subplot(2,2,2) histogram(x,1); title('n=1') x=rand(1,1); subplot(2,2,3) histogram(x,1); title('n=1') x=rand(1,1); subplot(2,2,4) histogram(x,1); title('n=1') Baran Ágnes Gyakorlat 34 / 7
15 N=1 12 N=1 1 1 8 6 5 4 2.2.4.6.8 1.2.4.6.8 1 12 N=1 12 N=1 1 1 8 8 6 6 4 4 2 2.2.4.6.8 1.2.4.6.8 1 Baran Ágnes Gyakorlat 35 / 7
Empirikus eloszlásfüggvény Példa Generáljunk egy 3 elemű standard normális eloszlású mintát, rajzoltassuk ki a minta empirikus eloszlásfüggvényét, illetve a standard normális eloszlás eloszlásfüggvényét. Használjuk a Matlab ecdf (empirical cumulative distribution function) függvényét! x=random('normal',,1,1,3); figure; ecdf(x) xx=linspace(-3,3); yy=cdf('normal',xx,,1); hold on; plot(xx,yy) Baran Ágnes Gyakorlat 36 / 7
x=random('normal',,1,1,3); figure; ecdf(x) xx=linspace(-3,3); yy=cdf('normal',xx,,1); hold on; plot(xx,yy) 1.9.8.7.6 F(x).5.4.3.2.1-3 -2-1 1 2 3 x Baran Ágnes Gyakorlat 37 / 7
Ismételjük meg az előző feladatot egy 1 elemű mintával! 1.9.8.7.6 F(x).5.4.3.2.1-3 -2-1 1 2 3 x Baran Ágnes Gyakorlat 38 / 7
Empirikus eloszlásfüggvény Példa Generáljunk egy 3 elemű [, 1]-en egyenletes eloszlású mintát, rajzoltassuk ki a minta empirikus eloszlásfüggvényét, illetve az elméleti eloszlásfüggvényt. x=rand(1,3); figure; ecdf(x) xx=linspace(-.1,1.1); yy=cdf('uniform',xx,,1); hold on; plot(xx,yy) Baran Ágnes Gyakorlat 39 / 7
1.9.8.7.6 F(x).5.4.3.2.1 -.2.2.4.6.8 1 1.2 x Baran Ágnes Gyakorlat 4 / 7
Ismételjük meg az előző feladatot egy 1 elemű mintával! 1.9.8.7.6 F(x).5.4.3.2.1 -.2.2.4.6.8 1 1.2 x Baran Ágnes Gyakorlat 41 / 7
Empirikus eloszlásfüggvény Példa Generáljunk egy 3 elemű mintát a 2 várható értékű exponenciális eloszlásból, rajzoltassuk ki a minta empirikus eloszlásfüggvényét, illetve az elméleti eloszlásfüggvényt. x=random('exponential',2,1,3); figure; ecdf(x) xx=linspace(,8); yy=cdf('exponential',xx,2); hold on; plot(xx,yy) Baran Ágnes Gyakorlat 42 / 7
1.9.8.7.6 F(x).5.4.3.2.1 1 2 3 4 5 6 7 8 x Baran Ágnes Gyakorlat 43 / 7
Ismételjük meg az előző feladatot egy 1 elemű mintával! 1.9.8.7.6 F(x).5.4.3.2.1 5 1 15 x Baran Ágnes Gyakorlat 44 / 7
Kétoldali u-próba Példa Egy üzemben csöveket gyártanak, melyek hossza normális eloszlású 2 mm szórással. Véletlenszerűen kiválasztva 8 elkészült csövet és megmérve hosszukat az alábbi értékeket kaptuk: 199, 197, 196, 198, 199, 2, 22, 21. 95%-os döntési szintet használva vizsgálja meg azt az álĺıtást, hogy az üzemben gyártott csövek hossza átlagosan 2 mm. A nullhipotézis: az ellenhipotézis: n = 8, σ = 2, α =.5, X = 199. H : µ = 2, H 1 : µ 2. Baran Ágnes Gyakorlat 45 / 7
A próbastatisztika: u = X 2 σ 199 2 n = 8 = 1.4142 2 A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): ( u Φ 1 1 α ) = Φ 1 (.975) = 1.96 2 Mivel így H -at elfogadjuk. u = 1.4142 < 1.96 Baran Ágnes Gyakorlat 46 / 7
Kétoldali u-próba.5.45.4.35.3.25.2.15.1.5-3 -Φ -1 (1-α /2) Φ -1 (1-α /2) 3 A kritikus és az elfogadási tartomány Baran Ágnes Gyakorlat 47 / 7
A Matlab ztest függvényével: h=ztest(minta,µ,σ) Ha h= akkor elfogadjuk, ha h=1 elvetjük H -at 95%-os szinten. X=[199, 197, 196, 198, 199, 2, 22, 21]; h=ztest(x,2,2) h = Így elfogadjuk H -at. Kiszámíthatjuk a p-értéket és a várható értékre vonatkozó konfidencia intervallumot is: [h,p,kint]=ztest(x,2,2) h = p =.1573 Kint = 197.6141 2.3859 Baran Ágnes Gyakorlat 48 / 7
Egyoldali u-próba Példa Egy tejipari vállalkozás 5 g-os kiszerelésben gyárt gyümölcsjoghurtokat, melyek átlagos gyümölcstartalma a dobozon található felirat szerint 1%. Több fogyasztói panasz érkezett, hogy a termék a megjelöltnél kevesebb gyümölcsöt tartalmaz, így a cég önellenőrzést tartott. Megvizsgálták 1 véletlenszerűen kiválasztott termék gyümölcstartalmát, grammban kifejezve az alábbi értékeket kapták: 51, 45, 45, 51, 54, 5, 42, 53, 53, 5. Feltételezve, hogy a joghurtok grammban kifejezett gyümölcstartalma normális eloszlású 3 g szórással döntsön 98%-os szinten, hogy igaza van-e a vásárlóknak. Baran Ágnes Gyakorlat 49 / 7
A nullhipotézis: az ellenhipotézis: H : µ = 5, H 1 : µ < 5. n = 1, σ = 3, α =.2, X = 49.4. A próbastatisztika: u = X 5 σ 49.4 5 n = 1 =.6325 3 A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): u Φ 1 (α) = Φ 1 (.2) = 2.537 Mivel a kapott u érték ebbe nem esik bele, ezért elfogadjuk H -at. Baran Ágnes Gyakorlat 5 / 7
Egyoldali u-próba, baloldali ellenhipotézis.5.45.4.35.3.25.2.15.1.5-3 Φ -1 (α ) 3 A kritikus és az elfogadási tartomány Megj.: Φ 1 (α) = Φ 1 (1 α) Baran Ágnes Gyakorlat 51 / 7
A Matlab ztest függvényével: A baloldali ellenhipotézis és a 98%-os szint beálĺıtása: h=ztest(x,µ,σ, alpha,.2, tail, left ) Esetünkben: X=[51, 45, 45, 51, 54, 5, 42, 53, 53, 5]; h=ztest(x,5,3,'alpha',.2,'tail','left') h = Mivel h= a nullhipotézist elfogadjuk. Baran Ágnes Gyakorlat 52 / 7
Egyoldali u-próba Példa Felmérések szerint az emberek átlagos IQ értéke 1. A sajtkészítők szövetsége azt álĺıtja, hogy a sajtkészítéssel foglalkozó emberek esetén ez az érték magasabb. 1 véletlenszerűen választott sajtkészítő IQ értékére az alábbiakat kaptuk: 14, 97, 14, 98, 13, 112, 99, 95, 12, 16. Feltételezve, hogy az IQ érték normális eloszlású 3 szórással, döntsön 98%-os szinten a szövetség álĺıtásáról. A nullhipotézis: az ellenhipotézis: n = 1, σ = 3, α =.2, X = 12. H : µ = 1, H 1 : µ > 1. Baran Ágnes Gyakorlat 53 / 7
A próbastatisztika: u = X 1 σ 12 1 n = 1 = 2.182 3 A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): u > Φ 1 (1 α) = Φ 1 (.98) = 2.537 Mivel a kapott u érték ebbe beleesik, ezért elvetjük H -at (és boldogok a sajtkészítők). Baran Ágnes Gyakorlat 54 / 7
Egyoldali u-próba (jobboldali ellenhipotézis).5.45.4.35.3.25.2.15.1.5-3 Φ -1 (1-α ) 3 Az elfogadási és a kritikus tartomány Baran Ágnes Gyakorlat 55 / 7
A Matlab ztest függvényével: X=[14, 97, 14, 98, 13, 112, 99, 95, 12, 16]; h=ztest(x,1,3,'alpha',.2,'tail','right') h = 1 Mivel h=1 a nullhipotézist elvetjük. Számíttassuk ki a p-értéket is! [h,p]=ztest(x,1,3,'alpha',.2,'tail','right') h = 1 p =.175 A p-értékből látjuk, hogy 99%-os szinten már elfogadtuk volna a nullhipotézist. Baran Ágnes Gyakorlat 56 / 7
t-eloszlás Példa Rajzoltassuk ki közös ábrán a standard normális eloszlás és az 5 és 1 szabadsági fokú t-eloszlás sűrűségfüggvényét! x=linspace(-5,5); yn=pdf('normal',x,,1); y1=pdf('t',x,5); y2=pdf('t',x,1); figure; plot(x,yn,x,y1,x,y2) legend('standard normalis','t_5','t_{1}') Baran Ágnes Gyakorlat 57 / 7
t-eloszlás.4.35.3 standard normális t 5 t 1.25.2.15.1.5-5 -4-3 -2-1 1 2 3 4 5 Megj.: A t-eloszlás is szimmetrikus -ra. Baran Ágnes Gyakorlat 58 / 7
t-próba Példa Egy fogkrémgyárban ellenőrizni szeretnék, hogy a 1 ml-es fogkrémek tubusát töltő automata jól van-e kalibrálva. Véletlenszerűen kiválasztva 1 tubust, lemérve a bennük lévő fogkrém mennyiségét a következő értékeket kapták. 12, 16, 93, 13, 11, 96, 99, 11, 111, 18 Feltételezve, hogy a tubusokba töltött fogkrém mennyisége normális eloszlású, döntsön a fenti kérdésről 95%-os szinten. A nullhipotézis: Az ellenhipotézis: H : µ = 1 H 1 : µ 1 n = 1, X = 12, s n = 5.3955, α =.5 Baran Ágnes Gyakorlat 59 / 7
A nullhipotézis: Az ellenhipotézis: H : µ = 1 H 1 : µ 1 n = 1, X = 12, sn = 5.3955, α =.5 A próbastatisztika: t = X µ n = 1.1722 sn A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): ( t t n 1 1 α ) = t 9 (.975) = 2.262 2 Mivel az előbb kiszámolt t értékre ez nem teljesül, ezért H -at elfogadjuk. Baran Ágnes Gyakorlat 6 / 7
Az előző feladat megoldása Matlab-bal: Használjuk a Matlab ttest függvényét. h=ttest(x,µ ), ahol X a minta, µ a feltételezett várható érték. Ha h= akkor 95%-os szinten (α =.5) elfogadjuk, ha h=1 akkor elvetjük a nullhipotézist. Ha más α érték mellett szeretnénk dönteni: h=ttest(x,µ, Alpha,α) Esetünkben: X=[12 16 93 13 11 96 99 11 111 18]; h=ttest(x,1) h = Tehát elfogadjuk H -at. Baran Ágnes Gyakorlat 61 / 7
t-próba Példa Több vásárlói panasz érkezett, hogy a 1 ml-esként árult fogkrémek tubusa a feltüntetettnél kevesebb fogkrémet tartalmaz. Az esetet kivizsgálandó megmérték 1 véletlenszerűen kiválasztott tubus tartalmát. Az alábbi értékeket kapták: 96, 94, 94, 15, 12, 98, 93, 94, 96, 99 Döntsön 95%-os szinten a fogyasztók álĺıtásáról. A nullhipotézis: Az ellenhipotézis (baloldali): H : µ = 1 H 1 : µ < 1 n = 1, X = 97.1, s n = 3.9285, α =.5 Baran Ágnes Gyakorlat 62 / 7
A nullhipotézis: Az ellenhipotézis (baloldali): H : µ = 1 H 1 : µ < 1 n = 1, X = 97.1, sn = 3.9285, α =.5 A próbastatisztika: t = X µ n = 2.3344 sn A kritikus tartomány (amikor elvetjük H -at): t t n 1 (α) = t n 1 (1 α) = t 9 (.95) = 1.833 Mivel az előbb kiszámolt t értékre ez teljesül, ezért H -at elvetjük. Baran Ágnes Gyakorlat 63 / 7
Az előző feladat megoldása Matlab-bal: Mivel az ellenhipotézisünk baloldali, így X =[96 94 94 15 12 98 93 94 96 99]; h=ttest(x,1,'tail','left') h = 1 ami azt jelenti, hogy a nullhipotézist elvetjük. Kiszámolhatjuk a p-értéket is: [h,p]=ttest(x,1,'tail','left') h = 1 p =.222 Innen látszik, hogy 99%-os szinten már elfogadtuk volna a nullhipotézist. Baran Ágnes Gyakorlat 64 / 7
Párosított t-próba Példa Egy 1 kisebb üzletet működtető bolthálózat megmérte az egyes boltok napi átlagos forgalmát: X : 2987, 2976, 2995, 2971, 3, 2989, 344, 323, 295, 39. Ezután egy reklámkampányba kezdtek, azt remélve, hogy ezzel megnövelik a forgalmat. A kampány után megismételték a mérést: Y : 311, 318, 35, 33, 336, 326, 315, 2999, 314, 318. Feltételezve, hogy az üzletek forgalma normális eloszlású, döntsön 99%-os szinten a kampány eredményességéről. Baran Ágnes Gyakorlat 65 / 7
Legyen Z = Y X. Ekkor Z : 24, 42, 55, 32, 36, 37, 29, 24, 64, 9. A nullhipotézis: Az ellenhipotézis (jobboldali): H : µ Z = H 1 : µ Z >. n = 1, Z = 24.6, s n = 3.91, α =.1 A próbastatisztika: A kritikus tartomány: t = Z s n n = 2.5171. t t n 1 (1 α) = t 9 (.99) = 2.821 Mivel a kiszámolt t érték ebbe nem esik bele, ezért H -at elfogadjuk Baran Ágnes Gyakorlat 66 / 7
Az előző feladat megoldása Matlab-bal: Használjuk a Matlab ttest függvényét. h=ttest(x,y), ahol X és Y a két minta, kétoldali párosított t-próbát végez, α =.5 mellett. Ha jobboldali ellenhipotézisünk van, és α =.1, akkor X=[2987 2976 2995 2971 3 2989 344 323 295 39]; Y=[311 318 35 33 336 326 315 2999 314 318]; h=ttest(y,x,'tail','right','alpha',.1) h = Egyoldali ellenhipotézis esetén figyeljünk a minták sorrendére! Baran Ágnes Gyakorlat 67 / 7
Független mintás t-próba Példa Egy tantárgy két különböző napon zajló írásbeli vizsgájának nehézségét szeretnék összehasonĺıtani. Az első vizsganapon írt dolgozatok közül véletlenszerűen kiválasztva 1-et azok pontszámai az alábbiak: X : 69, 82, 65, 73, 74, 84, 89, 83, 76, 88. A második napon írt dolgozatok közül 12-t választottunk, pontszámaik: Y : 8, 61, 71, 87, 8, 7, 75, 83, 71, 91, 75, 99. A mintákat független normális eloszlásúaknak feltételezve döntsön 95%-os szinten arról, hogy a két vizsga azonos nehézségű volt-e. Baran Ágnes Gyakorlat 68 / 7
A megoldás Matlab-bal Először végezzünk egy F-próbát annak eldöntésére, hogy a szórások megegyeznek-e: A nullhipotézis: H : σ X = σ Y Az ellenhipotézis: H 1 : σ X σ Y. X =[69 82 65 73 74 84 89 83 76 88]; Y =[8 61 71 87 8 7 75 83 71 91 75 99]; h=vartest2(x,y) h = Azt kaptuk, hogy 95%-os szinten elfogadjuk a szórások egyenlőségét. Baran Ágnes Gyakorlat 69 / 7
Ezután meghívhatjuk a ttest2 függvényt. A nullhipotézis: Az ellenhipotézis: H : µ X = µ Y H 1 : µ X µ Y. h=ttest2(x,y) h = Tehát 95%-os szinten elfogadjuk H -at. Baran Ágnes Gyakorlat 7 / 7