Gerendák ehajása: hibás-e a sziárdságtanon tanut összefüggés? Tudományos Diákköri Konferenia Készítette: Mikós Zita Trombitás Dóra Konzuensek: Dr. Puzsik Anikó Dr. Koár Lászó Péter Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Sziárdságtani és Tartószerkezeti Tanszék 11. november
1. Bevezetés... 1.1. Téma bemutatása... 1.. Aégerendák... 3 1.3. Fa gerendák... 1.. Kompozit gerendák.... Egydimenziós rúdmodeek... 5.1. Kiinduás az eőadáson tanutakbó Bernoui- Navier hipotézis... 5.1.1. Rúdmode... 5.1.. Számpéda kasszikus rúdeméet... 1.. Timoshenko gerenda ehajás eméete... 16..1. Timoshenko-mode... 16... Számpéda... 19.3. Szendviseméet... 3.3.. Vastag héjaású szendvis... 7.3.3. Számpéda-szendviseméet... 9 3. Háromdimenziós rúdmode... 31 3.1. Végeseem módszer ANSYS... 31. Összehasonítás... 3.1. Számítási módszerek összehasonítása... 3.1.1. Kasszikus rúdeméet és Timoshenko-fée gerenda eméet... 3.1.. Egy és háromdimenziós rúdmodeek összehasonítása... 36.1..1. Aégerenda esetén... 36.1... Kompozit anyagú gerenda esetén... 37.. Számítási módszerek a geometria és anyagi jeemzők függvényében.....1. Keresztmetszet arányainak hatása.....1.1. Kasszikus rúdeméet és szendviseméet összehasonítása.....1.. Timoshenko-mode és szendviseméet összehasonítása...... Az anyagi jeemzők hatása......1. Kasszikus rúdeméet és szendviseméet összehasonítása...... Timoshenko-mode és szendviseméet összehasonítása... 5 5. Összefogaás - következtetés... 7 6. Köszönetnyivánítás... 9 7. Irodaomjegyzék... 5 8. Csatományok... 51 1
1. Bevezetés 1.1. Téma bemutatása Rúdszerkezetek aakvátozását, jeen dogozatban hajított-nyírt gerendák ehajását, többfée módon is meghatározhatjuk. Ha figyeembe vesszük, hogy a rúd kiterjedése egyik irányban sokka nagyobb, mint a másik kettőben egyszerűsíthetjük a feadatot úgy, hogy a vizsgát jeemzők sak egy vátozótó (hossz menti koordináta: x) függjenek. Iyen rúdmodet tanutunk a Sziárdságtan II. tantárgyban. Az adott aapfetevéseket betartva a feírt aapegyeneteket anaitikusan megodva tudjuk számítani a ehajás függvényt. A tervezői gyakoratban már szées körben eterjedt, végeseemes programok segítségéve a feadat numerikusan is megodható. A kis eemekre osztott rúd somópontjaiban kapott megodás jó közeíti az azonos aapfetevéseken aapuó anaitikus megodást. Az eemszám növeéséve a hiba sökken. De vajon jó közeíti-e a vaóságot akár a numerikus akár az anaitikus megodás? A váasz az, hogy nem minden esetben. Mikor hasznáható a sziárdságtanban tanut összefüggés és mikor vezet hibás eredményre? Miyen módszerekke pontosíthatjuk a számításainkat? Mik az akamazhatósági határai az egyes módszereknek? Dogozatunk ezekre a kérdésekre keresi a váaszt. A váaszhoz az ANSYS végeseem program segítségéve héjeemekbő ekészítettük a vizsgáandó gerenda 3D-s modejét. Ezt fogadjuk e a egjobban közeítő pontos megodásnak. Hiszen nem tartamazza a 3D-bő 1D-be vaó vátás közeítéseit. Az ANSYS programma számot ehajásokat három küönböző 1D-s rúdmode eredményeive vetettük össze. Ezek a nyomaték hatását figyeembe vevő Bernoui-Navier hipotézisen aapuó kasszikus eméet, a Timoshenko-fée nyírás hatását is figyeembe vevő rúdeméetet, és a vastag héjaású szendvis eméet. Eőször egy konkrét gerendáná határoztuk meg a küönböző modeekbő származó ehajásértékeket. A megodás függvény eredményeit összevetve, így megtudhatjuk meyik módszer a gerenda mey szakaszáig ad a tervezésné hasznáható, eegendő pontosságú eredményt.
Ezt követően küönböző geometria, anyagjeemzők és rúdhosszak esetén vizsgátuk meg a ehajás függvények közti etéréseket és adtuk meg az egyes rúdmodeek hibáját. Tartószerkezeti szempontbó kiemekedően fontos, hogy a vaósághoz közei értéket kapjunk számításainkka, hiszen a gerendák, födémek ehajása nemsak közérzetünket befoyásoják. A gerendáva együtt a födém emozduása a faak megrepedését, hézagok képződését okozhatja. Esztétikaiag és a teherbírási szempontbó is károsodhat az épüet, amennyiben nem keő pontosságga számítjuk a gerenda ehajását, és a vaóságban túépjük a hasznáhatósági határáapotban megengedett értéket. 1.. Aégerendák A 19. század második feében éték egyik fénykorukat az aégerendás födémek, az úgy nevezett Horsik és poroszsüveg födémek. Ma eginkább a magasházak és nagytámaszközű sarnokok szerkezeteként akamazzák. A szerkezeti aéfajták karbontartama,6%-ná többnyire kisebb. A mehanikai terheésné figyeembe vett aé egfontosabb fizikai jeemzői: izotrop anyag, tuajdonságai függetenek a térbei irányoktó, sűrűség: ρ 785 kg/m 3, hőtáguási együttható: α T,1 K 1 (ferrit-perites szerkezetű aéra), rugamassági moduus: E 6 N/mm, Poisson-tényező: ν,3, Nyírási rugamassági moduus az aéná, mint izotrop anyagná a Poisson-tényezőbő E és a rugamassági moduusbó számítható: G. (1 ν ) Az átaunk vizsgát gerenda I keresztmetszetű. Dogozatunkban ineárisan rugamas anyagmodet téteezünk fe, vagyis az aé képékenyedését nem vesszük figyeembe. 3
1.3. Fa gerendák Napjainkban fafödémekke eginkább a készházak szerkezeteként taákozhatunk. Anizotrop visekedése a egfontosabb számunkra, vagyis tuajdonságai függenek a térbei irányoktó. Az aábbi fafajtát hasznátuk számításaink során. C fa (rostirány) fa (merőeges) E (N/mm ) 95 3 G (N/mm ) 6 6 1-1. tábázat 1.. Kompozit gerendák A kompozit gerendák többfée anyagbó készünek. Fontos jeemzőjük, hogy anizotropok. A fa kompozitokat a faanyag szétdaraboásáva, majd az így nyert eemek újbói egyesítéséve áítják eő. Ebben az esetben az egyszerű anaitikus eméetek nem akamazhatók közvetenü, mive a nem tengeyirányú száak jeenéte miatt a gerendák egyszerű húzás vagy hajítás esetén is esavarodhatnak, és a nyírási deformáió hatása sokka jeentősebb, mint közönséges rudak esetében. A műanyag száerősítésű kompozit gerendákat újabban egyre nagyobb mértékben hasznáják az építőiparban. Ebben az esetben a rúdban futó száak irányát is meg ehet tervezni. Az egyszerűsítés érdekében tengeyirányban futó száas kompozit gerendákka számounk. Ebben az esetben a szerkezet nyírási merevsége viszonyag aasony. Aé esetén a rugamassági moduus és a nyírási rugamassági moduus E/G aránya körübeü,5 üvegszáas epoxi esetén 1-15, egyirányú száakat tartamazó grafit epoxi esetében viszont az E/G akár is ehet. Így a nyírási deformáió figyeembevétee aapvető fontosságú.
. Egydimenziós rúdmodeek.1. Kiinduás az eőadáson tanutakbó Bernoui- Navier hipotézis.1.1. Rúdmode Domokos Gábor: Sziárdságtan jegyzetei aapján: A sziárdságtanon tanut rúdmodeben a Hooke-törvényt és a Bernoui - Navier hipotézist vesszük aapu a rúd tengeyre merőeges igénybevétere vaó reakióinak megáapításához. Fetéteezzük, hogy a rúd keresztmetszetei a deformáió után is síkok maradnak és merőegesek a tengeyre. Ezek aapján a rudat keresztmetszetekre bontjuk, ezeket, mint merev apokat kezejük, meyek síkok maradnak deformáió után. A merev apok közt nagyon rövid és sok ineáris rugó képes a megnyúásra és reagá a nyírásra (1. ábra). 1. ábra: Keresztmetszet eforduás, eemi száak megnyúása Az eméet szerint e síkok közti eemi kis rugók (száak) egyensúyt tartanak az igénybevétee. A rugóerők az eemi száakban a megnyúás miatt ébredő feszütségek. Minden keresztmetszetben ismerjük a feszütséget és a fajagos megnyúást, meyek a rúd két végteen közei keresztmetszete közti részt jeemzik. Eőször a rúd egy eeme (rövid) 5
szakaszának visekedését fogjuk vizsgáni (. ábra), ennek ismeretében határozhatják meg a tejes rúd emozduásait.. ábra: Hajításbó származó keresztmetszet eforduás 3. ábra: Két végén befogott tartó ehajása megoszó terheés esetén Az emozduás függvényt z-ve jeöjük. A matematikában ismert, hogy: z (x) tg ( α ( x)) (3. ábra). Fetéteezzük, hogy az emozduások kisinyek, vagyis w L, így α 5, z ( x) α( x) egyenőség fenná (. ábra). Az aábbi összefüggés aapján, és a kisiny emozduások miatt a tengeyeforduás függvény derivátja a görbüet függvény. dα 1 α ( s) geometriai jeentése görbüet: κ ; ds R (1) 6
. ábra: Kis szög esetén fennáó egyenőségek 5. ábra: Simuókör sugara, görbüet Ha a tartó apos x s (5. ábra), tehát dα ds dα dx görbüette(1): Vagyis a rúdtengey aakját eíró z(x) függvény második derivátja azonos a z (x ) κ Továbbá a sík keresztmetszetek eve miatt: 6. ábra: Keresztmetszet eforduás, eemi száak megnyúása 7
u( z) tg α dα ; mive α 5 rendezés után z u( z) zdα Fizikai összefüggés: σ Mz u ( z) εdx dx dx ; mive σ E EI Fz Az Mz I Mz Ezekbő: zd α dx EI d M ( x α ) dα mive κ z (x) dx EI dx így z ( x) M ( x) EI du Fizikai összefüggés (6. ábra): ε u α' z dx Hooke törvény aapján: σ εe α ze M zσ da z ( α ) EdA E( α ) z da M EIκ mive κ M EI dα κ dx 7. ábra: Hajításbó származó tengeyehajás, keresztmetszet eforduás 8
Következtetések: M ( x) p( x) ; a rugamas differeniáegyenet: z IV pz a peremfetéteek EI ismeretében megodható. Az y ismeretében az x tengey eforduása, a nyomaték és a nyíróerő is számítható. z ehajás függvény z tengey eforduás M z görbüet vagy EI () V z EI p z IV z EI Ezen differeniáegyenetek () a rendszer térbei vátoztatását írják e. Ehhez kapsoódó peremfetéteek pedig azt szabják meg, hogy mihez képest vátozik a rendszer. A tengey ehajást eíró függvényhez a peremfetéteekke és a differeniá egyenetek megodásáva juthatunk e. 9
.1.. Számpéda kasszikus rúdeméet A továbbiakban a két végén befogott gerenda ehajását számojuk, mive - adott támaszköz esetén - ebben az esetben a egjeentősebb az etérés a mode és a vaóság között, itt a egnagyobb a kasszikus eméet hibája, a egnagyobb a nyíróerő hatása a nyomatékéhoz viszonyítva. Két végén befogott gerenda ehajását számítottuk ki az eddigi összefüggések aapján, az aábbi módon (8. ábra): 8. ábra: Két végén befogott tartó ehajása megoszó terheés esetén p (N/mm) 1,1 E (N/mm ) 6 ν,3 G (N/mm ) 793,7 L (mm) 5 H (mm) 5 b f (mm) 3 h f (mm) h w (mm) I y (mm ) 8,5E8-1. tábázat 1
9. ábra: I gerenda keresztmetszete Mive tudjuk, hogy nins ehajás sem tengey eforduás a befogásná, ezért a y és y függvény értékének a befogásokná nuát vehetünk (3). A tartó statikaiag háromszorosan határozatan a nyomaték és nyíróerő értékét a differeniáegyenetek megodásáva kaphatjuk meg (5). 1. ábra: Két végén befogott gerenda megoszó terheésse 11
1 Gerenda két befogásáná feírható peremfetéte: 1 és z(x) függvénybe vaó beheyettesítésekor az aábbi eredményt kapjuk: A egnagyobb ehajás a gerendahossz feében keetkezik. EI p EI p EI p z 38 1 16 16 8 8 Az igénybevétei ábrákat (11. ábra), a befogási nyomatékokat és a nyíróerőket z(x) derivátjai () aapján könnyen megkapjuk: () () z z ) ( ) ( z z 1 6 1 6 6 6 6 6 ) ( 6 ) ( () () 6 () 6 () () () 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 1 1 3 3 1 3 3 3 1 3 1 3 1 1 p p p p p p p p p p p z p z z z x x x px EIz x x px EIz x px EIz px EIz p EIz IV ( ) 3 ) ( x x x EI p x z () (3)
p p V () EIz () p p p V ( ) EIz ( ) p p p M () EIz () p M ( ) EIz ( ) p p 1 p 1 p 1 p 1 (5) 11. ábra: Két végén befogott tartó igénybevétei ábrái megoszó terheés esetén p 3 Az z( x) ( x x x ) függvény fehasznáásáva a ehajást a tartó hossza EI mentén az Exe program segítségéve számítottuk és ábrázotuk (-. tábázat; 1. diagram). 13
x z(x), 5,337 5,111 75,31 1,388 15,557 15,6595 175,77,8613 5,916 5,936 75,916 3,8613 35,77 35,6595 375,557,388 5,31 5,111 75,337 5, -. tábázat 1
1. diagram 15
.. Timoshenko gerenda ehajás eméete..1. Timoshenko-mode Timoshenko eméete figyeembe veszi a nyírási aakvátozást. Míg a kasszikus gerendaeméet fetéteezi, hogy a keresztmetszetek síkja a deformáió után is merőeges marad a (görbüt) rúdtengeyre, pontosabban annak pontbei érintőjére (1. ábra). A Timoshenko - mode figyeembe veszi a nyírási deformáió hatását is, ezért a rúdtengey pontjainak a tengeyre merőeges etoódását és a keresztmetszetek eforduását egymástó függetennek tekinti (13. ábra). Kasszikus rúdeméet Timoshenko - mode 1. ábra: Hajításbó származó ehajás, keresztmetszet eforduás 13. ábra: Hajításbó és nyírásbó származó ehajás, keresztmetszet eforduás dw α dx α a keresztmetszet eforduás a függőegeshez képest, ebben az esetben egyezik a tengey eforduássa a vízszinteshez képest. dw α γ y dx α a keresztmetszet eforduása függőegeshez képest γ szögtorzuás, a sziárdsági tengey y érintő vektora és a keresztmetszeti normáis áta bezárt szög. 16
A függvény ehajásának mértéke függ az anyagi jeemzőtő és a geometriátó. A nyíró erőve szemben és a nyomatékka szemben a rúd merevségeinek arányában á een. Két végén befogott rúd merevségei az aábbiak: A normáerőre étrejövő megnyúás fordítottan arányos EA tényezőve. A nyomaték hatása fordítottan arányos EI tényezőve. A nyíróerő hatása fordítottan arányos S tényezőve. Izotrop anyag keresztmetszete a nyíróerő hatására arányos a GA arányosan mozdu e. E Izotrop anyagná G aho υ az anyag nyúáskor keetkező haránt kontrakió értékét (1 ν ) adja. Tehát S a rugamassági moduussa is egyenesen arányos. Izotrop és tégaap keresztmetszetű anyagná a nyírási merevség: GA S, így a 1, nyírásbó származó eforduás: V S V z v γ dx. S γ, és az ebbő származó ehajás: dx I tartóná 1 : S zz 1 d h w 6h f G b d 1 6 b f f d Aho d H h f 1 Mehanis of Composite Strutures (Cambridge University Press, 3) aapján. 17
1. ábra: Nyírásbó származó deformáió, szögtorzuás V A nyírásbó származó eforduás (1. ábra): γ, és az ebbő származó ehajás (): S V z v γ dx dx S Az igénybevétei ábrák vátozatanok: A nyíróerő függvény ineáris (15. ábra): Vaxb és tudjuk, hogy a befogásokná: p V () vaamint p V ( ) a függvény meredeksége is eovasható: b p 151. ábra: Két végén befogott tartó igénybevétei p V ( ) a a p p V px p ábrái megoszó terheés esetén eeget tegyen. A ehajás függvény az aábbi tagga bővü beheyettesítve a nyíróerő függvényt: V 1 p z v ( x) γ dx dx ( px x ), aho, hogy a peremfetéteeknek S S 18
A ehajás a nyomaték és nyíróerő hatásábó tevődik össze. w w b w s A ehajás függvény () tehát bővü egy tagga: 3 1 x p px ( x x x ) ( ) p z ( x) (6) EI S... Számpéda A korábbi adatok fehasznáásáva: 16. ábra: Két végén befogott tartó ehajása megoszó terheés esetén p(n/mm) 1,1 L (mm) 5 E (N/mm ) 6 H (mm) 5 ν,3 b f (mm) 3 G (N/mm ) 793,7 h f (mm) h w (mm) I y (mm ) S zz 8,5E8 7,1E8-3. tábázat 19
I tartóná a nyírási merevség képete:. ábra: I gerenda keresztmetszete 8 3 6 8 1 6 3 8 1 793,7 zz S 713937,8 Az ( ) ) ( 1 ) ( 3 px p x S x x x EI p x z (6) függvény fehasznáásáva a ehajást a tartó hossza mentén az Exe program segítségéve számítottuk és ábrázotuk. 6 1 6 1 1 d b d h b h d G S f f f w zz
x z(x), 5,1177 5,8 75,685 1,6656 15,8571 15,137 175,11761,1856 5,13535 5,13765 75,13535 3,1856 35,11761 35,137 375,8571,6656 5,685 5,8 75,1177 5, -. tábázat 1
. diagram A ehajás függvényben x és x heyen a befogás eenére tengeyeforduást kapunk a nyírás γ szögtorzuás figyeembe vétee miatt. Pontosabb eméetet ke figyeembe vennünk e hiba kiküszöböésére.
.3. Szendviseméet.3.1. Szendviseméet bemutatása A szendvis eméet, a gerendákat két részre osztja visekedésük szerint(17. ábra): Az héjaó rétegekre, aho a nyírási deformáió ehanyagohatóan kisi, és a hajítási merevségük a jeentős, ez az I gerendákná az övekre vonatkozik. A kitötő rétegre aho jeentős a nyírási deformáió, és a hajítási merevségüket is figyeembe vesszük, ami az I gerendákná a gerin. Zsuravszkij képete aapján ez a közeítés efogadható az I gerendákná hiszen az I gerendákná övek széessége átaában sokszorosa a gerin széességének. 17. ábra: I gerenda keresztmetszetének feosztása a szendvis eméet aapján A szendviseméet aapvetően a szendvis emezek ehajásának eírására szogá. A szendvis emezekné etérő a merevsége a két résznek, de a ehajások ugyanakkorák, mive össze vannak kapsova. Ehhez hasonóan Az I gerendák övében és gerinében jeentős az etérés a nyírási feszütségben, ennek eenére a nyírásbó adódó ehajásuknak ugyanakkorának ke ennie. w w w. A teherviseés szempontjábó is összeadódik a hatásuk: p p p M M V V V M Koár Lajos (szerk.), Hegedűs István, Lászó P. Koár: A mérnöki stabiitáseméet küöneges probémái (Akadémia Kiadó, 6) 3
A keresztmetszet eforduása azonban a két részen küönböző. A rétegek máshogy vannak igénybe véve merevségük miatt. Az eméet a szendvis emezhez van kidogozva, de az I keresztmetszetű gerendát is hasonóan méretezhetjük (18. ábra). A eggyakoribb három rétegű szendvisgerenda jeemző keresztmetszeti kiaakítását az 19. ábra mutatja. E t G t f E t b t a 183. ábra: Szendvisgerenda és I gerenda, az I keresztmetszetű gerendát a szendvisgerendához hasonóan méretezhetjük A kedvező nyomatéki teherviseés érdekében a szendvisgerendák küső nagy sziárdságú héjaó rétegei közé ezek vastagságát sokszorosan meghaadó vastagságú, kisiny térfogatsúyú és sziárdságú kitötő réteget heyeznek e. Mindig fetehetjük, hogy: t a, t f <<, E t >> G,, aho E t és G a héjaó rétegek rugamassági moduusát, i. a kitötő réteg nyíró rugamassági moduusát jeöi. Ha a gerenda sziárdsági tengeye a héjaó rétegek közepén fekszik, a rugamassági moduusok közti nagyságrendi etérés miatt a kitötő rétegben keetkező normáfeszütségeoszás miatt a τ nyírási feszütség a kitötő rétegben majdnem konstans érték (19. ábra).
19. ábra: A hajított nyírt szendvisgerenda irányadó feszütség eoszása A keresztmetszeti feszütségeoszást a pontosság érezhető romása nékü közeíthetjük úgy, hogy a héjaó rétegekben sak konstans σ ± normáfeszütséget, a dbt V kitötő rétegben sak konstans τ nyírófeszütséget téteezünk fe, aho M és V a db keresztmetszeti nyomaték és nyíróerő, d pedig a két héjaó réteg középsíkjának távosága: d t. A fenti feszütségekhez a héjaó rétegekben: σ M ε ± ±, E E dbt f a kitötő rétegben pedig: f M γ τ G V G bd fajagos aakvátozás tartozik. A héjaó rétegekben feépő fajagos nyúások a keresztmetszet eforduását, a kitötő rétegben jeentkező szögtorzuás pedig a deformáódó sziárdsági tengey érintőjének a keresztmetszeti normáishoz képesti eferdüését okozza. A hagyományos gerendákná a keresztmetszetek α (x) eforduását a gerenda dα κ dx görbüet vátozásáva követjük, a görbüetvátozást pedig a széső száak megnyúásai aapján határozzuk meg. A ε asó ε föső κ mennyiséget a szendvisek nyomaték okozta aakvátozásainak dx követésére is hasznáhatjuk, de a geometriai értemezés módosu, hiszen görbüetvátozást 5
nemsak a nyomaték, hanem a (rúd tengeye mentén vátozó nagyságú) nyíróerő is okozhat. Szendvisekné ezért κ supán a keresztmetszeti normáis eforduásának a vátozását jeemzi. A keresztmetszeti nyomaték és κ kapsoatát a hagyományos gerendákná a κ M EI M B összefüggésse adjuk meg. A képet nevezőjében évő szorzatot a gerenda hajítási merevségének nevezzük. A héjaó rétegek középfeüetén hosszvátozást okozó nyomaték és a hosszvátozásokhoz tartozó eforduások kapsoatának jeemzésére a B ún. gobáis hajítási merevséget sak a tejes keresztmetszet ineriájában szerepő Steiner-tag -nak megfeeő merevségrészt tartamazza. A fenti közeítéseknek aapján a szendvisgerenda hajítási merevségeként bevezethetünk egy d B bt E f (7) mennyiséget, ameye a szűkített értemezésű κ a dα κ dx M B összefüggésse számítható. A index azt jeöi itt, hogy ehanyagotuk a héjaó rétegek ún. okáis hajítási merevségét, az öv merevítési hatását a gerinre. Ennek nagysága a két héjaó réteg saját hajítási merevségének összege: B E t 3 f f 1 b E t 1 b 3 f a (8) nem. A vékony héjaású gerendák esetében ezt ehanyagojuk, ám a vastag héjaásúakná 6
.3.. Vastag héjaású szendvis A B merevséget nem adhatjuk közvetenü hozzá a B merevséghez, mert a szerepe etér azétó. Az etérés abban á, hogy a okáis merevség, B (8) a nyírási ehajássa szemben is dogozik, míg a B (7) merevség nem. A vastag héjaású szendvisgerendák eméete abban küönbözik a vékonyétó, hogy ennek az etérésnek a viszonyag korrekt figyeembevéteére ad módot. A pariáis ehajások bevezethetők, a okáis merevség szerepe miatt az aapösszefüggések: dw w w B w S, B dw α, γ S, γ w α dx dx aho γ a gerin szögtorzuása. A teher és a ehajások kapsoatában nemsak azt ke figyeembe ke vennünk, hogy a B okáis merevség is dogozik, hanem azt is, hogy a héjaó rétegekben (az övekben) a nyírási többet-ehajás is sak többet-teher árán jöhet étre. Az övek teherviseése: p d d w dx EI dx M B d dx w!, a gerin, avagy kitötő réteg teherviseése: dv p α EI dx p S( w α ) EI χ S( w α) Emiatt a kapsoati egyenet a következőképp módosu: p p p d B ( B B) B dx w d dx w S d w d w d p α B S S dx dx dx 7
További egyenetetet kapunk a gerinre jutó nyíróerő kifejezésébő: V V dm dx α V EI S( w α ) d α dw EI S Sα dx dx A okáis merevség többet-teherviseése miatt a tejes M keresztmetszeti nyomatékot két részre ke bontanunk (. ábra): d d ( w B B S M B B M dx w dx w ) M.. ábra: Nyomatékbó származó normá feszütség eoszása az övekben Erre a febontásra azért van szükség, mert a kitötő rétegben, vagyis I gerendáná a gerinben sak az M rész vátozásához köthető V dm dx nyíróerő-rész okoz nyírófeszütséget, ezért szögtorzuást is sak ez a nyíróerő-rész ket, vagyis sak a kitötő rétegekben keetkezik jeentős szögtorzuás. Mintha sak a gerinben enne nyíróerő és szögtorzuás ezáta: γ V S B S d 3 B 3 dx w. Látható, hogy a okáis merevségnek ez a többetmunkája aaposan megvátoztatja a teherviseésbe, ezért vastag héjaású szendvisekné már nemigen számíthatunk rá, hogy a nyomatéki ehajás iyen-oyan korrekiókka egy hagyományos értemezésű ehajásként 8
vehető fe. A ehajást (w) vaamint a szögtorzuást γ a d α dw EI S Sα dx dx, p d w d w dα B S S differeniáegyenetek fehasznáásáva kaphatjuk. Ezeknek dx dx dx megodására egy MATLAB program nyeven írt programot készítettünk. (1-es satomány).3.3. Számpéda-szendviseméet A számpédánkban a korábbi aé gerenda ehajását számítottuk ki a szendvis eméet aapján. p (N/mm) 1,1 E (N/mm ) 6 ν,3 G (N/mm ) 793,7 L (mm) 5 H (mm) 5 b f (mm) 3 h f (mm) h w (mm) I y (mm ) S zz 8,5E8 7,1E8 -. tábázat Az eddigi keresztmetszeti adatokat és anyagi jeemzőket fehasznáva a MATLAB-ban írt programma kapott eredmények: 9
3. diagram A szendvis eméet tekintette van az I gerenda öve és gerine közti etérő nyírási feszütségre, és a kettő rész együtt dogozására. Az x és x heyen a okáis befogás hatás érvényesü, ninsen tengeyeforduás és szögtorzuás, ameett, hogy a nyírási deformáiót is figyeembe vettük. 3
3. Háromdimenziós rúdmode 3.1. Végeseem módszer ANSYS Az akamazott ANSYS végeseem program segítségéve héjeemekbő ekészítettük a vizsgáandó gerenda 3D-s modejét. Ezt fogadjuk e a egjobban közeítő pontos megodásnak. Hiszen nem tartamazza a 3D-bő 1D-be vaó vátás közeítéseit. A végeseemes számítás során az ANSYS-13 programot hasznátuk, a modeezés során a ineáris anaízist futtattuk. A háromdimenziós I tartónkat (1-5. ábra) nyo somópontos héjeemekbő építettük fe (1. ábra) és ineárisan rugamas izotrop anyagmodet akamaztunk. A mode két végéné a somópontok emozduását és eforduását nuára vettük fe, az összes somópontná befogást hoztunk étre ezze szimuáva a befogást. Az I gerendán eoszó terhet szimuáva y tengeye párhuzamosan a szimmetria tengeyén terhetük a tartó tetejét. A megoszó terhet heyettesítettük az y tengeye párhuzamosan, a gerin mentén a somópontokban ható, egyenetesen eoszó, konentrát terhekke. A megoszó terhet 1,1 N/mm nagyságúra, anyagáandóknak a rugamassági moduust 6 N/mm-re, a Poisson-tényezőt.3-ra vettük fe. 1. ábra: Nyo somópontos héjeem 31
A tartó geometriáját úgynevezett kuspontok megadásáva és ezekre iesztett terüetekke adtuk meg. Ezután feosztottuk a tartót héjdarabokra, és egyesítettük a somópontokat, hogy az övek és a gerin együtt dogozzanak.. ábra: Odanézet 3. ábra: Igerenda keresztmetszete, és feosztása. ábra: I gerenda axonometrikus nézete 5. ábra: Gerenda ehajás axonometrikus ábrázoása ANSYS programban A ehajást kirajzotattuk a programma és a gerin középvonaának a ehajását kiistáztattuk. 3
. diagram 33
. Összehasonítás.1. Számítási módszerek összehasonítása.1.1. Kasszikus rúdeméet és Timoshenko-fée gerenda eméet Összevetettük a kasszikus rúdeméet és a Timoshenko-mode gerenda ehajás értékét, az aábbi adatokka (-1. tábázat; 6. ábra). p(n/mm) 1 E (N/mm ) 6 v,3 G (N/mm ) 7931 L (mm) 5 H (mm) 5 b f (mm) 3 h f (mm) h w (mm) I (mm ) 8,5E8 S 7,1E8 6. ábra: I gerenda keresztmetszete -1. tábázat 3
wb w w s b b 8 EI 3 1,7E-11 3 a EIS b a 1,E-3 1,1E- 3 a EI b a,6e-15 1,1E-11 w x w b s w b p EI 9 EI 1,,1 3 ( x x x ) 3 ( x x x) 3 ± 8EI p EI 3 ( x x x ) 9 6( EI) 3 EI 1 x p ( S 1 ( x ) S 3 EIS,1 px ) x 1 b b a a,8599e3 x b b a a 1,13E -. tábázat Ebben az esetben gerenda két végétő mérve a gerenda közepe feé 1 mm-ig kisebb az etérés a két számítási mód eredménye között, mint a Timoshenko-mode aapján számot ehajás 1% -a. Több tartóná nem vizsgátuk a kasszikus rúdeméet és a Timoshenko-mode közti etérést, hiszen a szendvis eméet és a végeseem módszer közeebb á a vaósághoz. A Timoshenko mode hibája, hogy a befogásokná a ehajás függvényben x és x heyen a befogás eenére tengeyeforduást kapunk a nyírás hatásának (γ szögtorzuás) figyeembe vétee miatt (7. ábra). 35
7. ábra: Befogási keresztmetszet eforduása a Timoshenko-mode aapján Ezen eméetek aapján tehát nem a vaóságos eredményt kapjuk, ha ezeket akamazzuk hibát véthetünk. Hogy a kasszikus rúdeméet és a Timoshenko-mode akamazási határait megtaájuk, a vaósághoz közeebbi eredményekke vetjük össze az eddigi egyszerűbb és gyorsabb, ám pontatan számítási módszereket..1.. Egy és háromdimenziós rúdmodeek összehasonítása.1..1. Aégerenda esetén H L Az eőző fejezetekben kiszámot ehajások ( 1,667, 1): b f H 5. diagram- aégerenda 36
z(/) (mm) M,936 ANSYS,1338 SZENDVICS,1371 MV,13765-3. tábázat A vaóságot egjobban a háromdimenziós rúdmode közeíti. Hiszen nem tartamazza a 3D-bő 1D-be vaó vátás közeítéseit. A végeseemes eredményhez áthatóan a szendvis eredmény van egközeebb. A befogásoktó mérve a gerendahossznak kevesebb mint 1% -a után az etérés már kisebb mint 1%. Nem számottevő az etérés a két számítási mód között. A Timoshenko-mode a befogásoktó mérve a gerendahossz 3,5% -tó 1%-os hibáva közeíti az ANSYS eredményét. A szendvis eredmény kisit pontosabb a Timoshenkomodené, mégis érdemesebb ehet a Timoshenko-modet hasznáni, hiszen gyorsabban egyszerűbben kapunk eredményt. A egtávoabb a kasszikus rúdeméet esik a vaóságtó, több mint 3% az etérés a gerenda minden pontjában a befogások között (5. diagram, -3. tábázat)..1... Kompozit anyagú gerenda esetén Számpédánkban az aé meett a kompozit anyagot is hasznátuk, mert a kompozit nyírási merevsége kisebb, mint az aénak. A kompozit anyagnak nagyobb a nyírási deformáiója, vaamint a okáis merevségek hatása is, miszerint a gerin ehajását akadáyozzák az övek. Az egyszerűsítés érdekében tengeyirányban futó száas kompozit gerendákka számounk. Így szerkezet nyírási merevsége viszonyag aasony, vagyis a nyírási deformáió figyeembevétee aapvető fontosságú. Az aábbi kompozit anyagú gerenda ehajását számítottuk ki (-. tábázat; 8. ábra): 37
8. ábra: Két végén befogott tartó ehajása megoszó terheés esetén kompozit p(n/mm) 1,1 E (N/mm ) 11963,11 v,3 G (N/mm ) 999 L (mm) 5 H (mm) 1,7 b f (mm) 5, h f (mm) 1,16 h w (mm) 1,16 I (mm ) 1,87E3 S,71E -. tábázat 38
9. ábra: I gerenda keresztmetszete 6. diagram-kompozit gerenda z(/) (mm) M,77 ANSYS,559 SZENDVICS,5558 MV,598137-5. tábázat 39
A vaóságot egjobban a háromdimenziós rúdmode közeíti. Hiszen nem tartamazza a 3D-bő 1D-be vaó vátás közeítéseit. (6. diagram; -5. tábázat) A végeseemes eredményhez áthatóan a szendvis eredmény van egközeebb. A befogásoktó mérve a gerendahossznak 5% után viszont az etérés kisebb, mint 1%, az etérés tehát az ANSYS és a szendvis eméet között nem jeentős kompozit gerenda esetében, egyedü a befogás közeében tér e nagy százaékban. A Timoshenko-mode a gerenda minden pontján 1%-ná nagyobb etérést ad a végeseem módszerhez képest, hibáznánk, ha ezze számonánk. A egtávoabb a kasszikus rúdeméet esik a vaóságtó, több mint 85% az etérés az ANSYS ehajás eredményétő a gerenda közepén. (6. diagram).. Számítási módszerek a geometria és anyagi jeemzők függvényében A küönböző számítási módszerek akamazhatósági határa vátozik az anyagi jeemzők és geometria függvényében. Megvizsgátuk a kasszikus rúdeméet és a Timoshenko-mode hibáját a szendviseméethez képest: H E L és függvényében (-es satomány). Vátozó arányú, b f G H két végén befogott és megoszó teherre terhet tartóbó indutunk ki, mive így a egnagyobb a nyírásbó származó ehajás értéke a kasszikus rúdeméet aapján számot ehajáshoz viszonyítva...1. Keresztmetszet arányainak hatása..1.1. Kasszikus rúdeméet és szendviseméet összehasonítása Kompozit gerenda áandó G E arányához küönböző keresztmetszeti tényezőket váasztottunk és a kasszikus rúdeméetet és szendviseméetet a gerenda H L függvényében egymáshoz arányítottuk. Ezáta megkaptuk az egyes keresztmetszeti arányokná azt a
gerenda hosszt meyné a kasszikus rúdeméet hasznáható kevesebb mint 1%-os tévedésse. A w w sz w sz b képette megkaptuk a küönböző keresztmetszetekhez tartozó hibát a gerenda hossz függvényében. Aho w b és w a gerenda maximáis ehajását vettük sz figyeembe, a gerenda középső szakaszán, hiszen tervezésné ez a mértékadó. Hiba (W SZ -W B )/W SZ 1,1 Kasszikus rúdeméet hibája a szendviseméethez viszonyítva a keresztmetszet arányainak függvényében 1,,9,8,7,6,5,,3 H/B 1 H/B H/B,666666667 H/B,5 H/B, H/B,333333333,,1, 8 1 6 3 38 5 56 6 68 7 8 86 9 98 1 11 116 1 18 13 1 16 15 158 16 17 176 18 188 19 L/H 7. diagram E/G 3,667 3,667 3,667 3,667 3,667 3,667 H/b 1,667,5,,33 1%-ná kisebb hiba (L/H) 56 78 98 116 13 15-6. tábázat 1
L H A gerenda magasság növekedéséve, vaamint a széesség sökkenéséve, egyre kisebb arányú gerendákná hasznáhatjuk hiba nékü a kasszikus rúdeméetet a ehajás kiszámításához. Egyre rövidebb gerendákná hasznáhatjuk tévedés nékü a kasszikus rúdeméetet. (7. diagram; -6. tábázat) Látható, hogy gerenda hossz növekedéséve egyre sökken az etérés a kasszikus rúdeméet és a szendviseméet közt. w w wsz im sz b L..1.. Timoshenko-mode és szendviseméet összehasonítása Kompozit gerenda G E arányához küönböző keresztmetszeti tényezőket váasztottunk és a Timoshenko-modet és szendviseméetet a gerenda L H függvényében egymáshoz arányítottuk. Ezáta megkaptuk az egyes keresztmetszeti arányokná azt a gerenda hosszt meyné a Timoshenko-modet hasznáható kevesebb mint 1%-os tévedésse. A w w sz w sz T képette megkaptuk a küönböző keresztmetszetekhez tartozó hibát a gerenda hossz függvényében. Aho a w T wb ws és sz w a gerenda maximáis ehajását vettük figyeembe, a gerenda középső szakaszán, hiszen tervezésné ez a mértékadó.
A Timoshenko eméet hibája a szendviseméethez viszonyítva a keresztmetszet arányainak függvényében Hiba (W SZ -W BS )/W SZ, -,1 -, -,3 -, -,5 -,6 -,7 -,8 -,9-1, -1,1-1, -1,3-1, -1,5-1,6-1,7-1,8 6 8 1 1 1 16 18 6 8 3 3 3 36 38 6 8 5 5 5 56 58 6 6 6 66 68 7 7 7 76 L/H H/B 1 H/B H/B,666666667 H/B,5 H/B, H/B,333333333 8. diagram E/G 3,667 3,667 3,667 3,667 3,667 3,667 H/b 1,667,5,,33 1%-ná kisebb hiba (L/H) 6 8 1 1 1 16-7. tábázat L H A gerenda magasság növekedéséve, vaamint a széesség sökkenéséve, egyre kisebb arányú gerendákná hasznáhatjuk hiba nékü a Timoshenko-modet a ehajás kiszámításához. (8. diagram; -7. tábázat) Mive a Timoshenko-mode áta adott ehajás nagyobb a szendviseméet eredményéné, a hiba negatív eredményt ad. Az eőző ábrához hasonóan a gerenda hossz w w im sz T növekedéséve sökken a hiba, nuához közeít. L w sz 3
... Az anyagi jeemzők hatása...1. Kasszikus rúdeméet és szendviseméet összehasonítása Áandó H b arányú keresztmetszet meé küönböző anyagi jeemzőjű gerendákat váasztottunk és a kasszikus rúdeméet és szendviseméet eredményét a gerenda függvényében egymáshoz arányítottuk. Ezáta megkaptuk az egyes anyagi jeemzőjű gerendákná azt a gerenda hosszt meyné a kasszikus rúdeméet hasznáható kevesebb mint 1%-os tévedésse. L H w w sz w sz b képette megkaptuk a küönböző anyagi minőséghez tartozó hibát a gerenda hossz függvényében. Aho a w b és gerenda középső szakaszán, hiszen tervezésné ez a mértékadó. w a gerenda maximáis ehajását vettük figyeembe, a sz Hiba 1,1 (W SZ -W B )/W SZ Kasszikus rúdeméet hibája a szendviseméethez viszonyítva az anyagjeemzők függvényében 1,,9,8,7,6,5,,3 kompozit1 (3,67) kompozit (7,33) aé (,6) fa (15,83) fa9 (,53) üveg (,6),,1, 8 1 6 3 38 5 56 6 68 7 8 86 9 98 1 11 116 1 18 13 1 16 15 158 16 17 176 18 188 19 L/H 9. diagram
E/G fa (merőeges) üveg aé fa (rostirányú) kompozit kompozit1,533,6,6 15,833 3,667 7,33 H/b,5,5,5,5,5,5 1%-ná kisebb hiba (L/H) 18 38 38 9 116 16-8. tábázat E L Miné kisebb az hányados anná kisebb G H arányú gerendáná akamazható a kasszikus rúdeméet. (9. diagram; -8. tábázat) A kasszikus rúdeméet hibája a szendviseméethez viszonyítva a hossz wsz wb növekedéséve közeít a nuához. im L wsz... Timoshenko-mode és szendviseméet összehasonítása Áandó H b arányú keresztmetszet és megoszó terheés meé küönböző anyagi jeemzőjű gerendákat váasztottunk és a Timoshenko-modet a szendviseméet eredményéhez a gerenda H L függvényében egymáshoz arányítottuk. Ezáta megkaptuk az egyes anyagi jeemzőjű gerendákná azt a gerenda hosszt meyné a Timoshenko-mode hasznáható kevesebb mint 1%-os tévedésse. A w w sz w sz T képette megkaptuk a küönböző anyagi minőséghez tartozó hibát a gerenda hossz függvényében. Aho a w T wb ws és sz w a gerenda maximáis ehajását vettük figyeembe, a gerenda középső szakaszán, hiszen tervezésné ez a mértékadó. 5
A Timoshenko eméet hibája a szendviseméethez viszonyítva az anyagjeemzők függvényében, -,1 -, -,3 -, -,5 -,6 -,7 -,8 -,9-1, -1,1-1, -1,3-1, -1,5-1,6-1,7-1,8 Hiba -1,9 (W SZ -W BS )/W SZ -, -,1 6 8 1 1 1 16 18 6 8 3 3 3 36 38 6 8 5 5 5 56 58 6 6 6 66 68 7 7 7 76 L/H kompozit (7,33) aé (,6) fa (15,833) fa9 (,533) üveg (,6) kompozit1 (3,67) 1. diagram E/G fa (merőeges) üveg aé fa (rostirányú) komozit kompozit1,533,6,6 15,833 3,667 7,33 H/b,5,5,5,5,5,5 1%-ná kisebb hiba (L/H) bármikor jó 1 1 18-9. tábázat E L Miné kisebb az hányados anná kisebb G H arányú gerendáná akamazható a E Timoshenko-mode. Ha az arány, 5, a Timoshenko-mode bármekkora hosszúságná G és keresztmetszet magasságná keően pontos eredményt ad (1. diagram; -9. tábázat). Mive a Timoshenko-mode eredménye nagyobb a szendviseméet eredményéné, az etérés negatív eredményt ad. Az eőző ábrához hasonóan a gerenda hossz növekedéséve wsz wt sökken a hiba, nuához közeít im. L wsz 6
5. Összefogaás - következtetés Eredményeink, a küönböző rúdmodeek és számítási módszerek összehasonítása segítségéve most már váaszt adhatunk a dogozat ímében fetett kérdésre: Hibás-e a kasszikus rúdmodebő számított ehajás? Természetesen nem hibás sak közeítéseket tartamaz, ezért nem ad minden esetben eegendően pontos ehajásértékeket. Azt az L L átaánosan efogadott ököszabáyt, miszerint a gerendaehajást 1 eseteg 8 H H arány esetén a Bernoui-Navier hipotézis fetéteezéséve jó közeíthetjük dogozatunk aapján nagyon veszéyesnek ítéjük. Szésőséges esetben a kasszikus rúdeméette számot aétartó ehajásának hibája is femehet akár 6%-ig. A kasszikus rúdeméet ehanyagoja a nyírási deformáiót és a szendvishatást. Az ehanyagoásbó származó hiba nő: Az G E arány növekedéséve (vagyis a nyírási merevség sökkenéséve). Az E aé anyagokhoz képest (,6) a fáná ez az arány körübeü 5 akkora, G egyes kompozit anyagokná körübeü 1-15 akkora is ehet. H arány sökkenéséve. b A nyírásbó származó ehajás értékének növekedéséve, a megtámasztási viszonyoktó függően. Kéttámaszú tartóhoz képest a befogott tartóná nagyobb a hiba. H L Tehát míg egy keresztmetszetű kéttámaszú aégerenda esetén 1 b H H arányná a nyírási deformáió hatása vaóban ehanyagoható addig p.:, 5 arányú két b L végén befogott aégerendáná ez az érték 38-ra módosu. Fagerenda esetén az arány H L L szintén vátozik 18-ra amennyiben a rostokra merőegesen terheünk, és 9 -re H H H amennyiben párhuzamosan. Grafit epoxi száas kompozit gerenda a, 5 keresztmetszet b 7
L H arány meett a hasznáhatósági határérték 116, keresztmetszet arányok meett H b L H 56 a hasznáhatósági határértéke a kasszikus rúdeméetnek. Amennyiben nem hasznáható a kasszikus rúdeméet, a nyírási deformáió hatását is figyeembe vevő Timoshenko-modee pontosabb eredményt kapunk. Amíg a kasszikus rúdeméet a vaódi ehajásná kisebb értéket ad, addig a Timoshenko-modeé mindig a biztonság javára tér e a vaóságostó ( a vaóságostó nagyobb értéket eredményez ásd.1.. H fejezet ábrái). A két végén befogott, 5 b arányú tartó esetén a Timoshenko-mode hasznáhatósági határértéke (hiba 1% ) anyagoktó függően: közeítőeg aé- és L L üveggerenda esetén a, fagerenda, rostirányra merőegesen terheve bármekkora, H H L rostiránnya párhuzamosan terheve 1, vaamint grafit epoxi száas kompozit H L gerendáná 18 a Timoshenko-mode hasznáhatósági határértéke. Kompozit gerendáná H H b L arány meett a Timoshenko-modenek már 6 a hasznáhatósági határértéke. Ha H H L a kompozit gerenda aránya, 667, akkor 1. b H A Timoshenko-modené is pontosabb a szendviseméetet eredménye, de nem szükségszerű ezt hasznáni, mive a Timoshenko-modee számot ehajás nagyobb mint a szendviseméet ehajása, a biztonság javára tévedünk, ha a Timoshenko-modet hasznájuk. Azokná az anyagokná, aho kisi a nyírási eenáás, a okáis merevségnek nagy a hatása ezért ezekné az anyagokná, így a kompozit anyagokná a szendviseméetbő ehet kiinduni, a vaósághoz igen közei eredményt ad, gazdaságosabb tartót ehet tervezni, amennyiben a pontos ehajás értéket vesszük figyeembe. Az ANSYS eredmény még pontosabb a szendviseméetné, de az akamazása hosszadamasabb a többi számításná. Érdemes ezért az egydimenziós rúdmodeeket hasznáni heyette a hasznáhatósági határértéken beü, amennyiben sok gerenda ehajását ke kiszámonunk. Az 5-1. tábázat mutatja, hogy a szésőséges esetekben az egydimenziós rúdmodeek hasznáata nagymértékű, akár 9% feetti hibát is eredményezhet, ha az átaánosan efogadott 8
ököszabáyokbó induunk ki. Ezekben az esetekben érdemes a (7-1. diagramok) hibát mutató görbéket figyeembe venni. Aé tartó-eméet hibája L/H 5 1 15 kasszikus 85,5% 6,57%,89% Timoshenko 6,93%,6% 1,11% Fa (párhuzamos) tartó L/H 5 1 15 kasszikus 96,97% 89,8% 8,1% Timoshenko 1,% 9,1% 5,1% Kompozit L/H 5 1 15 kasszikus 98,78% 96,9% 9,% Timoshenko 3,59% 17,77% 1,88% 5-1. tábázat: Kasszikus rúdmode és Timoshenko mode hibája L/H küönböző értékeiné, "szésőséges esetben": két végén befogott tartóná, H/b.5 esetén 6. Köszönetnyivánítás Szeretnénk megköszönni Dr. Puzsik Anikónak és Dr. Koár Lászónak a foyamatos segítségét, és támogatását a dogozat ekészítéséhez. 9
7. Irodaomjegyzék 1. Dr. Kainszky Sándor, Dr. Sziágyi György, Kurutzné Dr. Kovás Márta: Mehanika Sziárdságtan (Tankönyvkiadó, Budapest, 199). Lászó P. Koár, George S. Springer: Mehanis of Composite Strutures (Cambridge University Press, 3) 3. Domokos Gábor: Sziárdságtan jegyzet (kézirat). Beker Sándor: Sziárdságtan II. (Műegyetem Kiadó, Budapest, ) 5. Koár Lajos (szerk.), Hegedűs István, Lászó P. Koár: A mérnöki stabiitáseméet küöneges probémái (Akadémia Kiadó, 6) 5
8. Csatományok syms t 1-es satomány: %ketvegenbefogott S dsove('.ei*dv-s*dvs*dk','-s*dv-ei*dks*k','v() ','k() ','Dv() ','v() ','k() ','Dv() ') %S.v EI1.76e5; EI8.e1; EIEI-EI; S6.8e-1; 5; v vszendvissubs(v,t,/) %vb1/38*1.1*^/ei %vb1/38*1.1*^/ei %vb1/38*1.1*^/ei %vs1.1*^/8/s %vstvbvs %vt1/(1/(vbvs)1/vb) vezeros(11,1); xezeros(11,1); for i1:5 xe(i1,1)*i/5; ve(i1,1)subs(v,t,*i/5); end ve pot(xe,ve) 51
syms t -es satomány: ketvegenbefogott S dsove('.ei*dv-s*dvs*dk','-s*dv-ei*dks*k','v() ','k() ','Dv() ','v() ','k() ','Dv() ') %S.v EI7.6e; EI165; EIEI-EI; S1.31e; vezeros(1,1); xezeros(1,1); for i1:5 (1,1)i v end vszendvissubs(v,t,/); vszendvis xe(i)i; ve(i)subs(v,t,i/); xe ve pot(xe,ve) 5