1 Lövés csúzlival Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi feladatot 1. ábra. A feladat Egy csúzli k merevségű gumival készült. Adjuk meg az ebből kilőtt m tömegű lövedék sebességét, ha a csúzlit L - re húztuk ki! A megoldás Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra forrása [ 2 ]: Itt azt látjuk, hogy az m tömegű kavicsot a gumik megfeszítésekor x úton mozgattuk. Ennek során W munkát végeztünk, mely a kilövéskor feltételezésünk szerint teljes egészében a kavics E mozgási energiájának növelésére fordítódik, azaz: ( 1 )
2 A megfeszítés során végzett munka számítása az alábbi. Mindkét gumiban F húzóerő működik, ezek nagysága a Hooke - törvénynek megfelelően: ( 2 ) melyek által a munkavégzés során az egyes gumiágakban felhalmozott alakváltozási potenciális energia nagysága: ( 3 ) A két gumiágban felhalmozott potenciális energia: ( 4 ) A kavics mozgási energiájának változása a kifeszítés és a kilövés között: ( 5 ) Most ( 1 ), ( 4 ) és ( 5 ) - tel: ( 6 ) Megjegyzések: M1. Látjuk, hogy a ( 6 ) szerinti eredmény nem egyezik az 1. ábrán közölttel. Ennek két okát véltük ez idáig felfedezni: ~ félreértés, ~ elvi hiba. Félreértés: Ez rögtön adódhat a rugómerevség értelmezéséből. Ugyanis ha egy gumi húzómerevsége k, akkor két gumié, vagyis a csúzlié K, ahol: ( 7 ) Ezt a tényt a 3. ábra vázlata alapján is beláthatjuk: innen:
3 3. ábra Ekkor ( 6 ) és ( 7 ) - tel kapjuk, hogy ( 8 ) Látjuk, hogy ( 8 ) sem egyezik meg az 1. ábra szerinti képlettel. A ( 8 ) képlet - alakkal már találkoztunk 4. ábra. 4. ábra forrása: [ 3 ] Itt a ( 8 ) szerinti képlet - alak állt elő, K k - val. Eszerint tényleg valós azon észre - vételünk, hogy a k és K adatok keverése könnyen megtörténhet. Viszont még mindig nem kaptuk meg az 1. ábra szerinti képlet - alakot. Ez hogy lehet? Elvi hiba: Így is történhetett. A kifeszített gumiban felhalmozott potenciális energia: ámde
4 azonban így A kavics mozgási energiájának megváltozása: Feltéve, hogy a gumiban felhalmozott rugalmas energia mind a kavics / lövedék mozgási energiáját növeli, írhatjuk, hogy azaz (??? ) Utóbbi képlet megegyezik az 1. ábrán láthatóval. JÓ EZ? Szerintünk nem. Az elvi hiba a Δl = 2L felvételnél le(hete)tt elkövetve. Hacsak nem tévedtünk, mi is. M2. A húzómerevség értelmezése a Hooke - törvényt követő anyagú elemekre: azaz: ( 9 ) ahol az A keresztmetszeti terület és az l 0 hossz is az eredeti / terhelésmentes állapotra vonatkoznak. M3. Nem egészen magától értetődő a 2. ábra szerinti helyzetfelvétel. Ugyanis a csúzli - gumik rendszerint nem párhuzamosak egymással, még teljes kifeszítésük után sem. Most ezt járjuk körbe. Ehhez tekintsük az 5. ábrát is! Itt AB = 2a a csúzli ágainak távolsága, b, l 0, α 0 és β 0 az előfeszítés nélküli állapot adatai. Amint R nagyságú erővel meghúzzuk a gumit és a követ, utóbbi x nagyságú elmozdulást végez, létrejönnek az l 0 l, α 0 α, β 0 β átmenetek. A gumit továbbra is lineárisan rugalmasnak tekintjük, azaz fennáll, hogy ( 10 ) A lassú kihúzás során alkalmazható egyensúlyi egyenlet: ( 11 )
5 Minthogy 5. ábra ( 12 ) ezért ( 11 ) és ( 12 ) szerint: ( 13 ) Majd ( 10 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) Az 5. ábra szerint: tehát: ( 15 ) Most ( 14 ) és ( 15 ) szerint: ( 16 ) Ezután kiszámítjuk a kifeszítés során végzett munkát; ( 16 ) - tal is: ( 17 ) ámde a 2. ábráról: ( 18 )
6 így ( 18 ) - cal is: ( 19 ) Majd ( 17 ) és ( 19 ) - cel: tehát: ( 20 ) ( 21 ) ( 22 ) A I 1 és I 2 integrálokat [ 4 ] - ből véve: ( 23 ) ( 24 ) Most ( 20 ), ( 23 ) és ( 24 ) - gyel: ( 25 ) Rendezve: tehát: ( 26 ) Azonos átalakítással: ( 27 ) Most ( 15 ) és ( 27 ) - tel:
7 ( 28 ) A kilövési sebesség nagysága: vagyis az L - re kifeszített csúzliból kilőtt kavics kezdősebessége: ( 29 ) A 2. ábra szerint: ( 30 ) elegendően kicsiny β szögre. Így ( 29 ) és ( 30 ) szerint: ( 31 ) egyezően ( 6 ) - tal, illetve a 4. ábra megfelelő képletével. Most felírjuk a pontos összefüggéseket is a 2. ábra adataival, Pitagorász tételével: ( 32 ) majd ( 29 ) és ( 32 ) - vel: M4. A ( 28 ) képlettel a L - re történő kifeszítés során végzett munka: ( 33 ) már olyan alakú, mint amilyen a 4. ábra képletéé. Más szavakkal: a hosszadalmas számítás is azt az eredményt hozta, mint az egyszerű. Persze, csak ha vigyázunk a húzómerevsé - gekkel kapcsolatban, továbbá ügyelünk Δl( L ) és L különbözőségére. A lényeg: mindegy, hogy részleteiben hogyan történik a csúzli kifeszítése, mert csak a gumik megnyúlása, illetve az általa felhalmozott rugalmas potenciális energia a fontos, a lövés szempontjából. Azért nem mehetünk el szó nélkül amellett, hogy a látottak szerint nem lett különbség téve egy gumi k és a két vagy több gumi K húzómerevsége között. Ez akár hibának is vehető.
8 M5. Pontos összefüggést emlegetni némiképpen elővigyázatlanság, hiszen tudjuk, hogy ~ a befektetett munkának csak egy része fordítódik a kavics kilövésére, egy másik része a csúzli részeinek mozgatására, stb. fordítódik; ~ fontos előfeltevés, hogy a gumi anyaga lineárisan rugalmas legyen; ellenkező esetben korlátozni kellene képleteink működési tartományát, illetve újakat kellene levezetni. M6. A 4. ábra számpéldát is ad. Ennek részletei: ( 29 ) adatok: Δl = 10 cm = 0,1 m ; m = 20 g = 0,02 kg ; K = 1 kn / m = 1000 N / m. ( A ) Most ( 29 ) és ( A ) - val: tehát: ( E ) Az ( E ) eredmény kis eltérése a 4. ábrán láthatótól elfogadható; ennek valószínűleg számolási, illetve kerekítési okai vannak. M7. Talán meglepő, de ma is használják a csúzlikat, nem csak játszani. Ennek megfele - lően sokat fejlesztettek rajtuk az idők folyamán 6. ábra. Még kartámaszt is kaptak. 6. ábra forrása: [ 5 ]
9 M8. A 6. ábra példáján vigyük végig a gondolatmenetet, a k és K közti különbséget magyarázva! Ehhez tekintsük a 7. ábrát is! 7. ábra A csúzligumikban felhalmozott rugalmas energia egyenlő a kifeszítés során végzett munkával, amelyre írhatjuk, hogy tehát: ( 34 ) Látjuk, hogy n darab egyforma anyagú, alakú és méretű gumi alkalmazásakor: ( 35 ) A v kilövési sebesség nagyságának közelítő számítása ismét ( 29 ) szerinti. M9. Régen a csúzli gumija az ún. tejgumi volt. Ez a szó megtalálható [ 5 ] linkjében is. M10. A csúzli készítése során lényeges a szinte tökéletes szimmetria megvalósítása. Ennek fontossága könnyen belátható. Látható olyan kép is az interneten, ahol nem követ vagy golyót, hanem nyilat lőnek ki a kissé átalakított szerkezetből. Az aszimmetria itt valószínűleg még nagyobb működési zavarok okozója lehet.
10 Források: [ 1 ] I. I Vorobjov ~ P. I. Zubkov: Zadacsi po fizike Nauka, Moszkva, 1981., 54., 55. és 343. o. [ 2 ] http://easyfizika.ru/wp-content/uploads/2016/09/shema-k-resheniyu-zadachi-87.png [ 3 ] http://alexandr4784.narod.ru/izerp/izerp_298_2129.pdf vagy: http://booksshare.net/books/physics/volkenshteynvs/1985/files/sbornikzadachpoobsheyfizike1985.pdf [ 4 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963. [ 5 ] https://m.blog.hu/ki/kinaicuccok/image/egyeb/csuzli-harom-gumis-tejgumiacelgolyo-horgasz-eteto-katapult/csuzli-harom-gumis-kartamasz-tejgumi-acelgolyohorgasz-eteto-onvedelem-katapult-catapult-slingshot-gyerekkor-szorakozas-szabadido- 07.JPG Sződliget, 2019. 01. 20. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár