Valószín ségszámítás gyakorlat Matematikatanári szak Játékszabályok Max -szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap aláírást. 00 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén x pont: szorgalmi feladatokkal Mindkét ZH-n minimálisan teljesíteni kell a 0 %-ot, azaz a 5 pontot. Ha egy ZH sikertelen, nem írod meg, vagy javítani szeretnél, akkor vizsgaid szak els hetén lesz lehet ség a pótzh megírására vagy a javításra. Csak az egyik ZH anyagából javíthatsz, és a jobbik eredményt veszem gyelembe, azaz nem lehet rontani. Két sikertelen vagy meg nem írt ZH esetén gyakuv-t írsz, és maximum kettest kaphatsz. A ZH-kon használhatók: számológép ( mobiltelefon) és egy "hivatalos puska", azaz egy legfeljebb A-es méret lapra kézzel írott jegyzet. 0 -,9,5 57,5-6,9 5 -, 65-7, Osztályozás:,5,5-9,9,5 7,5-79,9 50-57, 5 80-000 A ZH-k alapján kapott jegy beleszámít a vizsgajegybe. Aki mesterképzésre jár, rendes gyakorlati jegyet kap, az jegyét egészre kerekítem lefelé. Infók a gyakorlatvezet r l Név Varga László Tanszék Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék (ELTE TTK) Szoba D -09 E-mail vargal@cs.elte.hu Honlap vargal.elte.hu Ajánlott irodalom mindegyik példatár Denkinger Géza: Valószín ségszámítási gyakorlatok Bognárné Mogyoródi Prékopa Rényi Szász: Valószín ségszámítási feladatgy jtemény Arató Prokaj Zempléni: Valószín ségszámítás elektronikus jegyzet (elérhet ség: http://elte.prompt.hu/sites/default/files/tananyagok/ valszam/zempleni.pdf).) Egy érmével dobunk. Ha az eredmény fej, akkor még egyszer dobunk, ha írás, akkor még kétszer. a.) Mik lesznek a kísérletet leíró eseménytér pontjai? b.) Mennyi a valószín sége, hogy összesen fejet dobunk?.) számozott érmével dobunk, majd még annyi érmével, ahány fejet az els két érmével kaptunk. Mik lesznek az eseménytér elemei?.) Tegyük fel, hogy egy irodában titkárn dolgozik. Jelentse A i azt az eseményt, hogy az i-edik titkárn megbetegszik (i =,, ). Fejezzük ki az A i események segítségével a következ események valószín ségét: a.) az els titkárn megbetegszik; b.) csak az els titkárn betegszik meg; c.) mindhárom titkárn megbetegszik; d.) legalább titkárn megbetegszik; e.) legalább titkárn megbetegszik..) Igaz-e, hogy P (A) < P (B) esetén A B? 5.) Mi a valószín sége, hogy egy véletlenszer en kiválasztott 6 jegy szám jegyei mind különböz ek? 6.) Aritmethiában az autók rendszámai ötjegy számok 00000 és 99999 között. Ezek közül találomra választunk egyet. Mennyi a valószín sége, hogy a.) van 6 a jegyek között; b.) minden számjegy különböz ; c.) minden számjegy egyforma; d.) csak két számjegy egyezik meg; e.) három, illetve kett számjegy megegyezik? 7.) A német labdarúgó válogatott edzésének megkezdése el tt, az edzésen résztvev 0 mez nyjátékost két csoportba osztják. Mi annak a valószín sége, ha találomra történik a szétosztás a két 0-es csoportba, hogy Schweinsteiger és Özil egymás ellen játszik? 8.) Mintavétel: Adott N különböz termék, amik között van M selejtes. Veszünk n elem mintát a.) visszatevés nélkül; b.) visszatevéssel. Mennyi a valószín sége, hogy az n termékb l pontosan k selejtest sikerült kiválasztanunk, amennyiben számít a kihúzás sorrendje? 9.) Egy magyarkártya-csomagból visszatevéssel húzunk lapot. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel húzunk pontosan egy piros szín lapot? c.) Milyen eséllyel húzunk legalább egy piros szín lapot? 0.) Tekintsük egy lottóhúzás (5-ös lottó) eredményét. a.) Írjuk fel az eseményteret! b.) Milyen eséllyel lesz két találatom? c.) Milyen eséllyel lesz legalább két találatom?.) N darab molekula mindegyike egymástól függetlenül, véletlenszer en kerül az A vagy a B térrész valamelyikébe. Mennyi a valószín sége, hogy a.) ugyanannyi molekula lesz A-ban és B-ben; b.) A-ban több lesz, mint B-ben;
c.) mindkett ben páros számú molekula lesz? SZ.) Mutasd meg, hogy amennyiben A,..., A n tetsz leges események, akkor P ( n A i ) n P (A i ) n +. (p) i= i= SZ.) Egy sakktáblára bástyát és királyt véletlenszer en elhelyezünk. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy egyik se üti a másikat! (p).) Mi a valószín sége, hogy egy találomra választott pozitív egész szám a.) osztható 5-tel; b.) 6-hoz viszonyítva relatív prím; c.) négyzete -re végz dik; d.) köbe -re végz dik; e.) 0. hatványa 6-ra végz dik;.) Mennyi annak a valószín sége, hogy egy héten a lottóban kihúzott öt szám közti páronkénti különbségek mindegyike legalább öt?.) 987-ben a. heti lottóhúzáson két pár egymás utáni számot is kihúztak: a (;)-t és az (50;5)-et. Mi a valószín sége, hogy egy lottóhúzás eredménye ehhez hasonlóan alakul, azaz kihúznak két szomszédos számokból álló párt, de nem húznak ki három egymás utáni számot? 5.) Egy tagú osztályban a diákok angolt, németet vagy franciát tanulhatnak. Tudjuk, hogy angolul 0-an tanulnak, németül -en, franciául pedig 9-en. Angolul és németül egyszerre 5-en, németül és franciául egyszerre -an, angolul és franciául -en, és senki nem tanulja mind a három nyelvet. Mekkora a valószín sége annak, hogy egy véletlenszer en választott tanuló legalább az egyik idegen nyelvet tanulja? 6.) Egy hattagú társaság az étteremben három pacalpörköltet, két mátrai borzas csirkemellet, és egy böllér tálat rendel. A pincér a megrendelt ételeket véletlenszer en osztja szét. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindenki azt kapja, amit rendelt; b.) senki sem azt kapja, amit rendelt? 7.) Mennyi a valószín sége, hogy 0 ember közül van olyan hónap, amelyikben egyikük se született? 8.) N darab molekula mindegyike egymástól függetlenül, véletlenszer en kerül N darab térrész valamelyikébe. Mennyi a valószín sége, hogy mindegyik térrészben lesz legalább egy molekula? 9.) Két kockával dobunk. Tekintsük a következ három eseményt: A: dobtunk -est; B: az összeg 7; C: dobtunk 6-ost Mely eseménypárok függetlenek? Igaz-e, hogy a három esemény teljesen független? 0.) Milyen n>-re lesz független a.) az a két esemény, hogy A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: legfeljebb egy írás van. b.) az a két esemény, hogy A: n érmedobásból van fej és írás is, valamint B: az els dobás fej..) Osztozkodási probléma, 9. Hogyan osztozzon az 600 forintos téten két játékos, ha :-es állásnál félbeszakadt a k gy zelemig tartó mérk zésük? Tegyük fel, hogy az egyes játékok egymástól függetlenek, az els játékos p valószín séggel nyerhet az egyes játékoknál. Oldjuk meg a feladatot a következ esetekben: a.) k = ; p = / b.) k = ; p = / SZ.) Határozd meg annak a valószín ségét, hogy n, ahol n találomra választott pozitív egész szám, az számjeggyel kezd dik! (p) SZ.) Határozd meg annak a valószín ségét, hogy két tetsz legesen választott pozitív egész szám relatív prím! (p).) Mennyi a valószín sége, hogy két kockadobásnál mind a két dobás 6-os, azzal a feltétellel, hogy legalább az egyik dobás 6-os?.) Három különböz kockával dobunk. Mekkora a valószín sége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege?.) Négyen l nek egymás után egy céltáblára. A résztvev k találati valószín ségei egymástól függetlenül, sorrendben,, és. Ketten érnek el találatot. Mi a valószín sége, hogy a második hibázta el a lövést? 5.) Egy érmével annyiszor dobunk, mint amennyi egy szabályos kockadobás eredménye. Mi a valószín sége, hogy nem kapunk fejet? 6.) 00 érme közül az egyik hamis (ennek mindkét oldalán fej van). Egy érmét kiválasztva és azzal 0-szer dobva, 0 fejet kaptunk. Ezen feltétellel mi a valószín sége, hogy a hamis érmével dobtunk? 7.) Egy diák a vizsgán p valószín séggel tudja a helyes választ. Amennyiben nem tudja, akkor tippel, és / a jó válasz esélye. Feltesszük, hogy a diák tudása biztos (azaz ha tudja a választ, akkor az jó is). Határozd meg p értékét, ha /5 annak a valószín sége, hogy amennyiben helyesen válaszolt, tudta is a helyes választ! 8.) Vándorlásai közben Odüsszeusz egy hármas útelágazáshoz ér. Az egyik út Athénbe, a másik Spártába, a harmadik Mükénébe vezet. Az athéniek keresked népség, szeretik ámítani a látogatókat, csak minden. alkalommal mondanak igazat. A mükénéiek egy fokkal jobbak: k csak minden második alkalommal hazudnak. A szigorú spártai neveltetésnek köszönhet en a spártaiak becsületesek, k mindig igazat mondanak. Odüsszeusznak fogalma sincs, melyik út merre vezet, így feldob egy kockát, egyenl esélyt adva mindegyik útnak. Megérkezve a városba, megkérdez egy embert, mennyi, mire közlik vele, hogy. Mi a valószín sége, hogy Odüsszeusz Athénba jutott? 9.) Egy játékos annyiszor l het egy léggömbre, ahány hatost dobott egymás után egy dobókockával. Például ha els re hatost, másodikra kettest dob, akkor egyszer l het. Mennyi a valószín sége, hogy szétlövi a léggömböt, ha minden lövésnél /000 valószín séggel talál?
SZ5.) Jelölje p n annak a valószín ségét, hogy egy családban pontosan n gyerek van, n = 0,,... és legyen p n := αρ n, n -re, és p 0 = αρ( + ρ + ρ +...), ahol ρ (0, ) és α > 0 úgy vannak megválasztva, hogy αρ < ρ. Tegyük fel, hogy amennyiben egy családban n gyerek van, akkor azok nemenkénti eloszlása egyenletes (a n lehet ség között). Mutassuk meg, hogy minden k -re annak a valószín sége, hogy egy családban pontosan k ú van,! (p) ( ρ) k+ SZ6.) Egy dobozban cédulák vannak, melyekre a,,,,,, 6, 8, 8, 9 számokat írtuk fel (minden cédulán szám található). Marcsi visszatevés nélkül kihúz két cédulát. Annyit árult el, hogy a céduláin lév számok párosak. Határozd meg annak a valószín ségét, hogy kihúzta a -est! (p) 0.) Egy érmével -szer dobunk. Ha fej jött ki, akkor még -szer, különben még egyszer dobunk. Legyen X a fejek száma. Határozzuk meg X eloszlását!.) Adjuk meg annak a valószín ségi változónak az eloszlását, ami egy hatgyermekes családban a úk számát adja meg. Tegyük fel, hogy mindig - a úk, ill. a lányok születési valószín sége, és az egyes születések függetlenek egymástól..) Jelölje p k annak a valószín ségét, hogy egy lottóhúzásnál (90/5) a legnagyobb kihúzott szám k. Számítsd ki a p k értékeket, és mutassuk meg, hogy ez valóban valószín ségi eloszlás!.) Háromszor olyan valószín, hogy egy évben két ember öli magát a Dunába, mint az, hogy öt. Mi a valószín sége, hogy egy évben legfeljebb egy ember lesz így öngyilkos?.) Egy sportlöv p valószín séggel talál el egy léggömböt. a.) Az els ; b.) az ötödik találatig l. Mi lövései számának eloszlása? 5.) Egy n, egymástól függetlenül m köd alkatrészekb l álló rendszert gyelünk meg egymás utáni id periódusokban. Az egyes alkatrészek egymástól függetlenül p valószín séggel m ködnek. Fennakadás van a rendszerben, ha legalább k alkatrész nem m ködik. Mennyi a valószín sége, hogy el ször az m-edik periódusban lesz fennakadás? 6.) Milyen eloszlásúak: a.) azon hetek száma, ameddig hetente egy szelvényt kitöltve, egymást követ en 0 találatunk van a lottón; b.) két kockadobás minimuma? 7.) Határozd meg a binomiális eloszlás maximális tagját! 8.) Egy 00 oldalas könyvben 0 sajtóliba található véletlenszer en elszórva. a.) Mennyi a valószín sége, hogy a 00. oldalon több, mint egy ajtóhiba van? b.) Hány sajtóhuba a legvalószín bb a 00. oldalon? c.) Mennyi a valószín sége, hogy a. és a. oldalon együtt több, mint két hajtóhiba van? SZ7.) Határozd meg a Poisson-eloszlás maximális és minimális tagját! (p) αρ k SZ8.) Egy szövegben a sajtóhibák száma t paraméter Poisson-eloszlású. Egy javító a hibákat egymástól függetlenül p valószín séggel kijavítja, illetve p valószín séggel nem veszi észre ket. Határozzuk meg a megmaradó hibák számának eloszlását! (p) SZ9.) Addig dobunk két kockával, amíg kétszer el nem fordul az, hogy a két kockán lév számjegyek összege. Számold ki annak a valószín sége, hogy pontosan tízszer dobunk -nél kisebb összeget, miel tt a keresett esemény bekövetkezik? (p) 9.) Számítsuk ki a kockadobás várható értékét és szórását, ha a.) a kocka szabályos; b.) a kocka szabálytalan: két -es, három -es, egy 6-os van rajta. 0.) Egy sorsjátékon darab 000 000 Ft-os, 0 db 00 000 Ft-os, és 00 db 000 Ft-os nyeremény van. A játékhoz 0 000 db sorsjegyet adtak ki. Mennyi a sorsjegy ára, ha egy sorsjegyre a nyeremény várható értéke megegyezik a sorsjegy árával?.) Jelölje X az ötöslottón kihúzott lottószámoknál a párosak számát. Adjuk meg X várható értékét és szórását!.) Két kockával dobunk. Egy ilyen dobást sikeresnek nevezünk, ha van 6-os a kapott számok között. Várhatóan hány sikeres dobásunk lesz n próbálkozásból?.) 5-ször dobunk egy kockával. Legyen X a 6-osok száma. D(X) =?.) Legyen X binomiális eloszlású valószín ségi változó, amir l ismertek: EX = 8, DX =. Határozd meg a P (X < 6) valószín séget! 5.) Dobjunk egy érmével annyiszor, amennyit egy szabályos kockával dobtunk. Jelölje X a fejek számát. Adjuk meg X eloszlását és várható értékét! 6.) Egy tízemeletes ház földszintjén 5 ember száll be a liftbe. Mindenki a többiekt l függetlenül /0 eséllyel száll ki az egyes emeleteken. Mennyi a megállások számának várható értéke? 7.) Átlagosan hányat kell dobnunk a.) egy érmével, amíg fej és írás is lesz a dobások között? b.) egy kockával, amíg minden szám kijön? c.) egy kockával, amíg minden páros szám kijön? SZ0.) Egy hamis érmét addig dobálunk, amíg fejet nem kapunk. Annak a valószín sége, hogy páros sokszor kell dobnunk, harmad akkora, mint annak, hogy páratlan sokszor. Mekkora a fejdobás valószín sége? (p) SZ.) Legyen X diszkrét valószín ségi változó, amelynek lehetséges értékei: (k=,,...) a.) x k = q k k ; b.) x k = q k k! ; c.) x k = ( )k q k k. Az ezeknek megfelel valószín ségek: p k = 8q k. Határozd meg q értékét, majd mindhárom esetben X várható értékét! (p)
8.) Egy urnában 9 cédula van, -t l 9-ig megszámozva. Addig húzunk visszatevéssel, amíg -nél nagyobb számot nem kapunk. Határozzuk meg a kihúzott számok összegének várható értékét! 9.) Egy dobozban cédula van, rajtuk az,, számok. Addig húzunk visszatevéssel a dobozból, míg -est nem kapunk. Határozzuk meg a kihúzott számok szorzatának várható értékét! 50.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FF sorozat megjelenik. Átlagosan mennyit (hány dobásnyit) kell erre várnunk? 5.) Egy érmével addig dobunk, amíg az FFI vagy az FIF sorozat megjelenik. Mennyi a valószín sége, hogy FFI jön el bb? Mennyit dobunk átlagosan? 5.) Fej vagy írást játszunk egy szabályos érmével: ha fejet dobunk, megnyerjük a tétet; ha írást, elveszítjük. Amikor leülünk játszani, petákunk van és az a célunk, hogy 5 petákot gy jtsünk. Feltesszük az összes pénzünket, illetve annyit, amennyi hiányzik a célunk eléréséhez. a.) Mekkora valószín séggel érjük el a célunkat? b.) Válaszoljunk a kérdésekre "óvatos stratégia" esetén is, azaz, ha minden játszmában csak petákot teszünk fel! 5.) Egy szabályos kockát addig dobálunk, amíg a 6 és 5 számot nem kapjuk két egymás utáni dobás eredményeként. Adjuk meg a szükséges dobások számának várható értékét! SZ.) Egy kockával addig dobunk, amíg valamelyik korábban dobott szám ismételten el fordul. Határozd meg a szükséges dobásszám várható értékét! (p) SZ.) Egy érmével addig dobunk, amíg k hosszúságú fejsorozat vagy s hosszúságú írássorozat nem adódik. Mennyit dobunk átlagosan? (p) SZ.) Egy városban az úthálózat gráfja egy ikozaéder élhálózatának gráfjával egyezik meg. Jolán háza az ikozaéder egyik csúcsában van, munkahelye pedig az ezzel szemközti csúcsban. Sötétedés után munkahelyér l hazafelé menet minden egyes csúcsba érve elbizonytalanodik, hogy merre is haladjon tovább. Tegyük fel, hogy minden csúcsban p annak a valószín sége, hogy találkozik valakivel, aki mutat neki egy olyan irányt, amerre elindulva a legkevesebb élen haladva a szállására juthat. Ellenkez esetben véletlenszer en halad tovább úgy, hogy egyik irány sincs kitüntetve, vagyis el fordulhat akár az is, hogy visszafordul. Mekkora p érték esetén lesz 50% annak a valószín sége, hogy el bb ér haza, minthogy a munkahelyére visszatalálna? (p) 5.) Az Y és X valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. X\Y X peremeloszlása 5 0......... 0... 0...... Y peremeloszlása...... 0... a.) Töltsd ki a táblázatot, ha EX = 7 és EY = 5! b.) X és Y függetlenek egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! c.) P (X < 7 Y < ) =? d.) E(Y X = 0) =? 55.) Az X és Y valószín ségi változók együttes eloszlását a következ táblázat mutatja. Y \X 0 Y peremeloszlása 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 X peremeloszlása Határozd meg X és Y eloszlását, várható értékét, szórásnégyzetét! Függetlenek-e egymástól? Amennyiben nem, határozd meg a korrelációjukat! 56.) Egy dobozban 0 piros, 0 fehér, 0 zöld, 0 kék cédula van, mindegyik - t l 0-ig számozva. Visszatevéssel húzunk kétszer. Legyen X a pirosak száma a kihúzottak között; Y a kékek száma; Z a 0-esek száma. Határozd meg a.) X és Y ; b.) X és Z együttes eloszlását és korrelációját! 57.) Egy szabályos kockával dobunk. Jelölje X a dobott számot, Y pedig azt, hogy a dobott szám hárommal osztva milyen maradékot ad. R(X, Y ) =? 58.) Egy szabályos érmét kétszer feldobunk. Legyen X értéke, ha az els dobás fej, és 0, ha az els dobás írás. Legyen Y értéke, ha a második dobás fej, és 0, ha a második dobás írás. Mutassuk meg, hogy X + Y és X Y korrelálatlanok, de nem függetlenek! 59.) Legyen X és Y független, azonos eloszlású. Tegyük fel azt is, hogy véges szórásúak. R(X, ax + by ) =? 60.) Egy dobozban 5 piros és 5 kék golyó van. 00-szor húzunk visszatevéssel. Jelölje X az els 50, Y az els 75, Z pedig az utolsó 0 húzásból a pirosak számát. R(X + Z, Y ) =? 6.) 00-szor húzunk visszatevéssel egy olyan dobozból, amelyben piros és fehér golyó van. X jelentse a kihúzott piros golyók számát az els 50, Y pedig az els 0 kísérletben. R(X, Y ) =? 6.) Egy kockát 0-szer feldobunk. X a dobott 6-osok száma, Y a dobott páratlan számok száma. Határozzuk meg X és Y korrelációs együtthatóját! SZ5.) Legyen (X, Y ) diszkrét valószín ségi vektorváltozó, mely értéket vesz fel azonos valószín séggel: ( ; 0, 5), (0; ), (;, 5). R(X, Y ) =? Meglep -e az ered-
mény és miért? (p) SZ6.) Egy érmével (n + )-szer dobunk. Legyen X a fejek száma, Y pedig azon jelek száma, amelyikb l több van a sorozatban. Határozzuk meg X és Y együttes eloszlását, majd állapítsuk meg, hogy X és Y függetlenek-e! (p) 6.) Két kockával addig dobunk, amíg mindkét kockán 6-ost nem kapunk. Adjuk meg a szükséges dobások számának generátorfüggvényét! 6.) Legyenek X és Y függetlenek, p, illetve q paraméter Pascal-eloszlású valószín ségi változók. Határozzuk meg a Z = min(x, Y ) generátorfüggvényét! 65.) Az alábbi függvények egy-egy valószín ségi változó generátorfüggvényei: a.) G(u) = e u ; b.) G(u) = u +u+. Határozd meg a valószín ségi változó eloszlását, várható értékét és szórását a generátorfüggvény segítségével! 66.) Becsüljük annak a valószín ségét, hogy 00 érmedobásból a fejek száma legalább 60! 67.) Megadható-e olyan 0 várható érték és szórású valószín ségi változó, amelyre P ( X ) 0, 5? 68.) U és V valószín ségi változókról a következ ket tudjuk: R(U, V ) = 0, 75; EU = ; EV = 6; D(U) = D(V ) =. Becsüld alulról a P (7 < U + V < ) valószín séget! SZ7.) Jelölje u(n) annak a valószín ségét, hogy az A és A egymás után el ször az (n )-edik és n-edik kísérletekben következik be (P (A) = p). Írjuk fel a generátorfüggvényt, a várható értéket és a szórásnégyzetet is! (p) SZ8.) Egy kockával addig dobunk, amíg meg nem dobjuk a 6. hatost. Jelölje X a szükséges dobások számát. Határozzuk meg X generátorfüggvényét! (p) 69.) Bertrand-paradoxon, 889. Tekintsünk egy kört és válasszuk ki találomra az egyik húrját. Mennyi annak a valószín sége, hogy a húr hosszabb, mint a körbe írt szabályos háromszög oldala? 70.) Egy R sugarú körre "véletlenszer en" rádobunk egy r sugarú körlapot, r < R (az r sugarú kör középpontját egyenletes eloszlás szerint választjuk ki az R sugarú körlapon). Mennyi a valószín sége, hogy az R sugarú kör teljes egészében tartalmazza az r sugarú kört? 7.) A (0, ) intervallumot felosztjuk két véletlenül rádobott pont segítségével részre. Mennyi a valószín sége, hogy a.) mindhárom szakasz hossza > /-nél; b.) a szakaszból háromszög alkotható? 7.) Írd fel és ábrázold az eloszlásfüggvényt, ha X a.) indikátorváltozó p = / paraméterrel; b.) egy olyan kockadobás eredménye, ahol a kockán egy -es, két -es és három 5-ös van. 0 ha x 0 7.) Mely c-re lesz eloszlásfüggvény F (x) = cx ha 0 < x? ha < x P ( < X < ) =? Mely c-re létezik s r ségfüggvény? { Határozd meg! cx 7.) ha 0 < x < Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = 0 különben a.) Határozd meg a c értékét és X eloszlásfüggvényét! b.) P (X < 0.5) =? P (X < 0.5) =? P (X <.5) =? c.) D (X) =? x ha 0 < x < 75.) Legyen X s r ségfüggvénye a következ : f(x) = 6 ha < x < c 0 különben a.) c =? F (x) =? b.) E(X) =? D(X) =? 76.) Legyen X N(, ) és X N(, ). a.) P ( X < ) =? b.) Számítsuk ki b értékét, hogy P (X b) = 0, 7 teljesüljön! c.) P ( X X > 0 ) =? 77.) Egy egységnyi hosszúságú szakaszon találomra kiválasztunk két pontot, így a szakaszt rövidebb szakaszokra bontjuk. Jelölje X a kapott szakaszok közül a legrövidebbet. Írd fel X eloszlás-, és s r ségfüggvényét, valamint számítsd ki X várható értékét! SZ9.) Adjuk meg a lottón kihúzott öt szám közül a legnagyobb eloszlásfüggvényének az értékét a 5 helyen! (p) SZ0.) Három egyforma rúd mindegyikéb l találomra letörnek egy-egy darabot. Mi a valószín sége, hogy a három szakaszból háromszöget lehet szerkeszteni? (p) SZ.) A c valós állandó mely értékére lehet az f(x) = c e x (x R) s r ségfüggvény? EX =? (p) 78.) Legyen X E(0, ). Milyen eloszlású Y =log ( X )? 79.) Legyen X olyan valószín ségi változó, melynek F (x) eloszlásfüggvénye szigorúan monoton és folytonos. Milyen eloszlású Y = F (X) (azaz az X valószín ségi változót beleírom az eloszlásfüggvényébe)? 80.) Legyen X E(, ) és Y = X. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! Igaz-e, hogy E( X ) = EX? 8.) Egy dobókockát 70-szor feldobunk. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a dobott 6-osok száma legalább 0, de 0-nél kisebb! 5
A standard normális eloszlásfüggvény táblázata x 0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.5000 0.500 0.5080 0.50 0.560 0.599 0.59 0.579 0.59 0.559 0. 0.598 0.58 0.578 0.557 0.5557 0.5596 0.566 0.5675 0.57 0.575 0. 0.579 0.58 0.587 0.590 0.598 0.5987 0.606 0.606 0.60 0.6 0. 0.679 0.67 0.655 0.69 0.6 0.668 0.606 0.6 0.680 0.657 0. 0.655 0.659 0.668 0.666 0.6700 0.676 0.677 0.6808 0.68 0.6879 0.5 0.695 0.6950 0.6985 0.709 0.705 0.7088 0.7 0.757 0.790 0.7 0.6 0.757 0.79 0.7 0.757 0.789 0.7 0.75 0.786 0.757 0.759 0.7 0.7580 0.76 0.76 0.767 0.770 0.77 0.776 0.779 0.78 0.785 0.8 0.788 0.790 0.799 0.7967 0.7995 0.80 0.805 0.8078 0.806 0.8 0.9 0.859 0.886 0.8 0.88 0.86 0.889 0.85 0.80 0.865 0.889 0.8 0.88 0.86 0.885 0.8508 0.85 0.855 0.8577 0.8599 0.86. 0.86 0.8665 0.8686 0.8708 0.879 0.879 0.8770 0.8790 0.880 0.880. 0.889 0.8869 0.8888 0.8907 0.895 0.89 0.896 0.8980 0.8997 0.905. 0.90 0.909 0.9066 0.908 0.9099 0.95 0.9 0.97 0.96 0.977. 0.99 0.907 0.9 0.96 0.95 0.965 0.979 0.99 0.906 0.99.5 0.9 0.95 0.957 0.970 0.98 0.99 0.906 0.98 0.99 0.9.6 0.95 0.96 0.97 0.98 0.995 0.9505 0.955 0.955 0.955 0.955.7 0.955 0.956 0.957 0.958 0.959 0.9599 0.9608 0.966 0.965 0.96.8 0.96 0.969 0.9656 0.966 0.967 0.9678 0.9686 0.969 0.9699 0.9706.9 0.97 0.979 0.976 0.97 0.978 0.97 0.9750 0.9756 0.976 0.9767 0.977 0.9778 0.978 0.9788 0.979 0.9798 0.980 0.9808 0.98 0.987. 0.98 0.986 0.980 0.98 0.988 0.98 0.986 0.9850 0.985 0.9857. 0.986 0.986 0.9868 0.987 0.9875 0.9878 0.988 0.988 0.9887 0.9890. 0.989 0.9896 0.9898 0.990 0.990 0.9906 0.9909 0.99 0.99 0.996. 0.998 0.990 0.99 0.995 0.997 0.999 0.99 0.99 0.99 0.996.5 0.998 0.990 0.99 0.99 0.995 0.996 0.998 0.999 0.995 0.995.6 0.995 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.996 0.996 0.996 0.996.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.997 0.997 0.997 0.997.8 0.997 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.998.9 0.998 0.998 0.998 0.998 0.998 0.998 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990. 0.9990 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999. 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.9995 0.9995 0.9995. 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997. 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999.9.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000.0000 Φ(x) = x π e t dt Φ( x) = Φ(x) 8.) Egy dobozban cédula van, rajtuk a -,0,, számok. 9-szer húzunk visszatevéssel a dobozból. A centrális határeloszlástétel alkalmazásával határozzuk meg annak a valószín ségét, hogy a kihúzott számok összege legalább 08, de 6-nél kisebb! 8.) X i -k (i =,,...) független val. változók Hova konvergál és hogyan? a.) X i Ind(p) X 5 +...+X5 n n X +...+X n n b.) X i : az i-edik kockadobás eredménye e c.) X i Exp() (i =,,...) X +...+e Xn n 8.) Legalább hány embert kell megkérdezni egy közvéleménykutatásnál, ha egy adott párt támogatottságát (az eltérést a várható támogatottságtól) legalább 95%- os valószín séggel 0, 0nél kisebb eltéréssel szeretnénk megbecsülni? a.) Számoljunk a Csebisev-egyenl tlenséggel! b.) Számoljunk a centrális határeloszlástétellel! SZ.) Egy szabályos kockát dobálunk. Hova tart és milyen értelemben a dobott számok mértani közepe? (p) SZ.) Legyen X N(, ) és Y = X 7. Határozd meg Y s r ségfüggvényét és várható értékét! (p) 85.) Legyen X,..., X n i.i.d. minta ismeretlen eloszlásból. a.) Torzítatlan becslés-e a várható értékre nézve az átlag? b.) Torzítatlan becslés-e a szórásnégyzetre nézve a tapasztalati szórásnégyzet? Amennyiben nem az, hogyan tudnánk torzítatlanná tenni? c.) Mikor konzisztens becslése a várható értéknek az átlag? d.) Adjunk torzítatlan és konzisztens becslést az eloszlásfüggvényre! 86.) X,..., X n Exp(λ) i.i.d. minta esetén adjunk torzítatlan becslést e λ -ra és λ -ra! 87.) X,..., X n Poi(λ) i.i.d. minta esetén adjunk torzítatlan becslést e λ -ra és λ -re! 88.) Legyen X,..., X n i.i.d. minta valamely véges szórású eloszlásból, és tekintsük a T(X)= a X +... + a n X n alakú lineáris becsléseket, ahol a,..., a n R. Feltéve, hogy T(X) a várható érték torzítatlan becslése, mely a,..., a n számokra lesz minimális a D (T (X))? 89.) Határozzuk meg az ismeretlen paraméter(ek) maximum likelihood és momentum becslését, ha a minta a.) Exp(λ) eloszlású; b.) Poi(λ) eloszlású; c.) E(a, b) eloszlású, ahol a < b, mindkett paraméter. Torzítatlan a becslés? Ha nem az, próbáljuk meg torzítatlanná tenni! Konzisztens a becslés? 6