1 Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához Az interneten való nézelődés során találkoztunk az [ 1 ] művel, melyben egy érdekes és fontos feladat pontos(abb) megoldásához adnak elvi iránymutatást. A feladat az alábbi 1. ábra. Adott egy csuklós rúdlánc: ~ az l 1,, l 5 hosszúságú rúdjaival; ~ az A és B felfüggesztési pontok l vízszintes és h függőleges távolságával; ~ a csuklókon ható függőleges P 1,, P 4 terhelő erőkkel. Keresett a rúdlánc nyugalmi egyensúlyi helyzetéhez tartozó: ~ α 1,, α 5 hajlásszögek értéke; ~ a rúderők S 1,, S 5 nagysága. 1. ábra forrása: [ 1 ] A megoldás a csomóponti egyensúlyi egyenletek és geometriai összefüggések alapján történik.
2 A csomóponti egyensúlyi egyenletek felírása Az 1. ábra alapján írhatjuk, hogy 1. cs. p.: innen: ( 1 ) 2. cs. p.: innen ( 2 ) 3. cs. p.: innen ( 3 ) 4. cs. p.: innen ( 4 ) Bevezetjük az rövidítő jelölést, és ezzel átírjuk az ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) egyenleteket: ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 )
3 Most ( 6 ) - ból: ( 10 ) majd ( 6 ) és ( 7 ) összeadásával: ( 11 ) ezután ( 6 ), ( 7 ) és ( 8 ) összeadásával: ( 12 ) továbbá ( 6 ), ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) összeadásával: ( 13 ) A geometriai egyenletek felírása ( 14 ) ( 15 ) Most két trigonometriai azonossággal és ( 5 ) - tel: ( 16 ) ( 17 ) ezután ( 14 ) és ( 16 ) - tal: ( 18 ) majd ( 15 ) és ( 17 ) - tel: ( 19 ) Most ( 10 ), ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 18 ) - cal:
4 majd ( 10 ), ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ) és ( 19 ) - cel: ( 20 ) ( 21 ) A nemlineáris egyenletrendszer megoldása A ( 20 ) és ( 21 ) egyenletek alapján a keresett a 1 és H mennyiségek meghatározhatók, majd velük a többi keresett adat is. Ez a ( 20 ) + ( 21 ) nemlineáris egyenletrendszer megoldását igényli. Ez leginkább numerikusan történik. Itt a Graph ingyenes szoftvert alkalmazzuk erre a célra; úgy, hogy ábrázoljuk a ( 20 ) és ( 21 ) implicit függvények görbéit, majd megkeressük ezek számunkra alkalmas metszéspontját, melynek koordinátái a keresett mennyiségek. Az egyenletek használata az alábbi számszerű adatokkal történik: l 1 = l 2 = l 3 = l 4 = l 5 = l / 4 = 2,5 m; h = l / 10 = 1 m; P 1 = P 2 = 100 N ; P 3 = P 4 = 150 N. Ezekkel az adatokkal a ( 20 ) és ( 21 ) egyenletek így alakulnak: ( 22 ) ( 23 ) Itt konkrétan a ( 22 ) + ( 23 ) egyenletrendszert kell megoldani. A nekik megfelelő görbéket a 2. ábrán szemlélhetjük. Látható, hogy csak az egyik metszéspont lehet jó nekünk, mert H > 0, így marad a 3. ábra szerint rész - grafikon. Minthogy a Graph általunk használt verziója nemigen tud segíteni az inverz függvények képeinek vizsgálatában ( pl. a metszéspont koordinátáinak megadása kérésre, stb. ), ezért a metszéspont környezetét erősen kinagyítottuk, majd a kurzort kézzel rátettük és ezzel a metszéspont koordinátáit megjelenítettük 4. ábra. A megoldás lásd nagyítás után, a 4. ábra jobb alsó sarkában! : x = a 1 = tgα 1 = 1,1735, y = H = 214,51 N.
5 Ezek a számszerű eredmények jól egyeznek az [ 1 ] - ben közöltekkel. ( A feladat számadatait is [ 1 ] - ből vettük, az eredmények összehasonlítása végett. ) 2. ábra 3. ábra
6 4. ábra Minthogy a 1 és H ismert, a rúderők nagysága az ( 24 ) képlettel, valamint az ( 5 ), ( 10 ), ( 11 ), ( 12 ), ( 13 ) összefüggésekkel, a rudak hajlása pedig az ( 5 ) - ből kapható ( 25 ) képlettel számítható. Ennek részleteit már az Olvasóra bízzuk. Megjegyezzük, hogy ~ a szakirodalomban ezt a megoldási módot még nem láttuk; pl. a [ 2 ] munkában a H víz - szintes húzóerő nagyságát felveszik, hasonló feladat megoldása során; ~ a megoldás során elhanyagoltuk a rudazat önsúlyát; ~ rudazat helyett szó lehet fonálról, kötélről, drótról, láncról is; ~ a megoldás során a rudazatot merev, azaz nyúlásra képtelen testnek tekintettük; ~ a rudazat végén lévő A és B támaszokat fixnek, vagyis mozdulatlannak tekintettük; ~ az 1. ábrát nem magyaráztuk meg, azt ismertnek vettük;
7 ~ e feladatban a 6 db ismeretlen meghatározásához a 4 db csomóponti egyensúlyi egyenlet és a 2 db geometriai egyenlet felírásával összesen 6 db egyenletre tettünk szert; ~ e feladat egyenletei sajátos szerkezetűek, melyek mint láttuk megkönnyítik a megol - dást; ~ [ 1 ] - ben is grafikusan végezték el a megoldást, de másképpen, ami itt kevésbé érdekes; ~ [ 1 ] - ben a számpélda megoldásának eredményei: a 1 = tgα 1 = 1,173, H = 214,5 kg. Amint az könnyen látható, ebben a dolgozatban a személyi számítógép adta lehetőségekre hívtuk fel a figyelmet, egy elvileg már megoldott, gyalogosan azonban kevésbé hatéko - nyan kezelhető feladat - típus esetében. Persze, egy fejlettebb szoftver - verzió még köny - nyebbé, gyorsabbá, pontosabbá teheti a feladat - megoldó munkáját. Viszont az is tény, hogy nem kell feltétlenül csillagászati összegeket kifizetni egy ilyen szoftverért, ha van ingyenesen alkalmazható segítség is. Kis tanulással ez is eredményre vezethet. Valójában az a helyzet, hogy a ( 22 ) + ( 23 ) egyenletrendszer annyira bonyolult, hogy értelmetlen négyzetre emelésekkel egy sokadfokú algebrai egyenletrendszerre visszave - zetni, amit ismét csak grafikusan oldanánk meg; így a bonyolult és könnyen eltéveszthető algebrázást kihagyva eleve csak a grafikus megoldás maradna az egyedüli gyalogos megoldási módszerként. A P i terhek számának növekedésével a helyzet még tovább bo - nyolódik; a felírandó egyenletek talán már nem is férnének el egy sorban, ami, persze, csak a kisebbik az áttekinthetőséget rontó probléma. Nagyszámú koncentrált erő esetén érdemes más erőtani modell után nézni, mellyel a számítási munka ismét könnyebb lehet. Irodalom: [ 1 ] Walther Kaufmann: Einführung in die Technische Mechanik, 1. Band: Statik starrer Körper Springer - Verlag, Berlin / Göttingen / Heidelberg, 1949. [ 2 ] Németh Ferenc: Mechanika I., Statika Panem ~ McGraw-Hill, Budapest, 1996. Sződliget, 2015. 08. 23. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár