A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei A nyugó illmos töltések közötti erőhtásokt illmos tér közetíti (Coulomb törénye). A mozgó töltések (illmos ármot iő ezetők) között is fellép erőhtás, mit mágneses tér közetít. Egyenletesen mozgó töltések (egyenárm) htásár állndó, áltozó sebességgel mozgó (gyorsuló gy lssuló) töltések htásár áltozó mágneses tér keletkezik. A mágneses tér mozgás, áltozás esetén illmos teret hoz létre, fiziki erőhtást fejt ki töltésekre, mi töltés-szétálsztó (feszültséget indukáló) htássl jár. A mágneses tér Egyenármokt feltételeze mágneses tér jellemzőinek értelmezése áltlábn egyszerűbb. H ákuumbn (gy leegőben) elhelyezkedő, keresztmetszetükhöz képest hosszú két párhuzmos ezetőben töltések egyenletes sebességgel ármlnk (egyenárm folyik), kkor ezetők között állndó ngyságú erőhtás lép fel. Ennek z erőnek ngyságát z ármokkl kifejezett erőtörény írj le, mely szerint leegőben, F 1 =F =F jelöléssel F k 1 = l (N), hol 1 és két ezető árm, ezetők egymástól mért táolság, l ezetők izsgált szkszánk hossz. 1 F 1 F l Ármjárt ezetőkre htó erők VAs J H 1 = =1 A és l==1 m, kkor F = 10 7 N = = m m, 7 Vs ebből köetkezően k = 10 7 Am, átlkítássl: k = 4π10 = µ 0 π π, itt µ π 7 Vs 0 = 4 10 Am ákuum permebilitás. Ezt z összefüggést z 1 A ngyságú árm definiálásár is lklmzzák. Az erő ngyság µ 0 permebilitást trtlmzó kifejezéssel F = µ 0 1 l (N). π Az erő irány ezetők között zonos ármirány mellett onzó, ellenkező irányú ármok esetén tszító ( hurok tágul). Az ábrán ármot iő ezetőre htó F erő fellépését úgy is értelmezhetjük, hogy z 1 árm egyenletes sebességgel ármló töltései ezető körül tér különleges állpotát hozzák létre
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 és ez z állpot mágneses tér ht z ármot iő ezető egyenletes sebességgel ármló töltéseire. A mágneses tér egyik jellemzője mágneses térerősség. Homogén közegben z 1 árm áltl létrehozott H 1 mágneses térerősség független teret kitöltő nygtól. 1 H1 =, miel z ármot iő ezető l hosszúságú szkszár htó F erő: π F =H 1 µ 0 l. H 1 B 1 1 Ármjárt egyenes ezető mágneses tere Egy 1 ármot iő ezetőtől táolságr H 1 mágneses térerősség ektoros lkj: 1 H d 1 = l 0, π hol 0 ezetőtől tér izsgált pontjánk irányáb muttó egységektor, dl ezetőben folyó árm irányáb muttó egységektor. dl 1 dl 1 0 H 1 0 H 1 A mágneses térerősség ektor képzése A toábbikbn egyszerűsítő jelölésként z ármot, mi sklár mennyiség, olyn ektornk tekintjük, melynek irány z árm irány ezetőben, ngyság pedig z árm értéke: = dl. 1 1 nhomogén és ferromágneses közegben H térerősség számítás bonyolultbb, gerjesztési törény szerint kell eljárni. A H térerősség ektormennyiség, irány tér minden pontjábn megegyezik mágnestű észki (É) irányál, mi egyetlen ezető esetén z árm irányábn hldó jobbmenetű csr forgásirány. A mágneses térerősség S mértékegysége [ H ] = A m. A térerősséget erőonlkkl ábrázolják, ezek tér minden pontjábn térerősség irányáb muttnk. A mágneses térerősség erőonli önmgukbn záródnk, nem keletkeznek és nem égződnek.
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei H 1 B 1 H 1 B 1 1 F 1 F Ármjárt ezetőre htó erő egy másik ezető térben Egy H erősségű mágneses térbe helyezett, ármot iő l hosszúságú ezetőre htó erő: F = µ 0 l H, hol irány pozití töltésármlás irány. Az ábrán lthtó esetre: F = µ l H. 0 1 Szemléletesen: z F erő z erőonlk sűrűsödése felöl ritkulás irányábn ht. Egy 1 A ármot iő ezetőtől 1 m táolságr térerősség ngyság H = 0,159 A m, egy H = 1 A m erősségű mágneses térbe helyezett 1 A ármot iő ezetőre htó erő ngyság N F = 4π 10 7 m. A izsgált teret kitöltő nygtól függő térjellemző B mágneses indukció, mi szintén ektormennyiség, S mértékegysége Tesl 1 tiszteletére [ ] B = T= tesl = Vs m. A mágneses indukciót is indukcióonlkkl szemléltetik, z indukcióonlk is önmgukbn záródnk, nem keletkeznek és nem égződnek. Ezt fejezi ki mágneses Guss törény: A BdA = 0, gyis egy tetszőleges méretű és lkú zárt A felületen belépő indukcióonlk szám megegyezik zárt felületből kilépő indukcióonlk számál. Adott H térerősségnél B = µµ 0 r H = µ H, itt µ r teret kitöltő közeg nygár jellemző dimenzió nélküli szám, reltí permebilitás, µ=µ 0 µ r teljes permebilitás. A µ r reltí permebilitás gykrn nem állndó, térerősségtől és kiindulási mágneses állpottól is függhet. Azt muttj, hogy zonos H térerősség htásár egy dott nygbn B indukció hányszorosár nő ákuumbn fellépő értéknek. A H = 1 A m erősségű mágneses tér indukciój leegőben (µ r=1) B=4π10-7 T. 1 Tesl, Nikol (1856-194) szerb szármzású mérnök, kuttó 3
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 A B indukció irány áltlábn H irányál egyezik, tér izsgált pontjáb helyezett iránytű észki srkánk irányáb mutt, mágnesen (pl. z iránytűn) belül déli pólustól z észki, mágnesen kíül z észkitól déli felé. Az indukcióonlk tehát mágnesből z észki pólusánál lépnek ki és déli felé hldnk. Az iránytű észki pólus földrjzi észki srk (illete közelében elhelyezkedő mágneses pólus) felé mutt. D É É D H B A mágneses tér definíció szerinti irány Bizonyos nygok ferromágneses nygok belsejében z indukció jelentősen megnő ákuumhoz képest. Ennek egyszerű, szemléletes mgyrázt z ilyen nygokbn megléő molekuláris körármok hozzájárulás külső tér indukciójához. A ferromágneses nygok µ r reltí permebilitás: 1 µ r 10 3-10 6. µ r meghtározás bonyolult számítássl gy méréssel történhet. Egy B indukciójú mágneses térbe helyezett, ármot iő l hosszúságú ezetőre htó erő tetszőleges nygú közegben: F = l B. Az ábrán láthtó esetre F = l B1. Egy 1 T indukciójú mágneses térbe helyezett 1 A ármot iő ezetőre htó erő ngyság F = 1 N m. A B indukció dott A felületre ett integrálj felület Φ fluxus: Φ = BdA, homogén térben, z indukció irányár merőleges felületre (z indukció irányál megegyező irányú felületi normális esetén) Φ=BA. A fluxus sklár mennyiség, S mértékegysége Weber tiszteletére [Φ]=Wb =weber=vs. A mágneses tér szemléltetésénél z erőonlkt gykrn fluxusonlknk értelmezik, gyis tér zon részén, hol ngyobb z indukció, ott sűrűbbek onlk. 1 T indukciójú homogén mágneses térben z 1 m merőleges felületen áthldó fluxus ngyság 1 Wb. A mgyr műszki nyelben z indukció szó két foglmt is jelent: - mágneses tér jellemzője (tuljdonképpen fluxus sűrűség), - jelenség, mi illmos ezetőben feszültséget hoz létre (tuljdonképpen töltésszétálsztás). A Weber, Wilhelm Edurd (1804-1891) német fizikus 4
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei A gerjesztési törény (Ampère 3 törénye) A mágneses körök számításánk legfontosbb törénye szerint H térerősség ektor onlmenti integrálj tetszőleges zárt görbe mentén megegyezik görbéel htárolt A felületen áthldó ármok lgebri összegéel, felület Θ gerjesztéséel. Áltlános lkj J ármsűrűségű térbeli ármlás feltételezéséel: Hdl = JdA =Θ. A A gerjesztés sklár mennyiség, S mértékegysége [Θ]=A. A gerjesztést mgnetomotoros erőnek (mmf=mgnetomotie force) is neezik. Amennyiben izsgált görbe homogén térerősségű szkszokon hld keresztül, kkor bl oldlon álló integrál, h töltéshordozók koncentráltn, illmos ezetőkben ármlnk, kkor jobb oldlon álló integrál összegezéssé egyszerűsödhet: H l =. Állndó µ permebilitás esetén gerjesztési törény más lkbn is felírhtó: B 1 Hd l = dl = Bdl =, gy Bdl µ µ = µ, itt µ=µ 0 µ r. i i i j j A gerjesztési törény eredeti lkjábn Ampère z indukció integrálját képezte smentes közegben: B dl = µ 0. l Ezt z ezetési ármr felírt formulát Mxwell 4 kiegészítette z eltolási ármml. Ugynis egy l-zárt görbéhez olyn felület is álszthtó, melyik mgáb fogllj egy C síkkondenzátor egyik elektródját. A gerjesztési törénynek érényesnek kell lenni ebben z esetben is, zonos eredményt kell dni z ábr szerinti A 1 és z A felületre. C C l l A 1 A A gerjesztési törény értelmezése ezetési és eltolási ármnál Az e eltolási árm kondenzátor fegyerzetei közötti tér töltésének megáltozásából számíthtó: () d qt e =, töltés pedig z elektroszttik Guss törénye szerint illmos eltolás felületi integrálj: Q = D da. A illmos eltolást térerősséggel kifejeze D = ε 0 E, A h z elektródok között leegő n. Így z eltolási árm lkj: e d = ε 0 E da. A 3 Ampère, Andrè-Mrie (1775-1836) frnci fizikus, mtemtikus, egyész 4 Mxwell, Jmes Clerk (1831-1879) skót fizikus 5
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 d A gerjesztési törény kiegészített lkj: B dl = µ 0 + ε 0 E da. l A Az Ampère-Mxwell (gerjesztési) törényt 4. Mxwell egyenletként is említik. Kifejezi illmos tér megáltozás és mágneses tér közötti kpcsoltot. A mágneses körök számításánál, terezésénél, gerjesztés szükséglet meghtározásánál ezetési árm áltl keltett mágneses térről n szó. A mágneses térerősséggel ló számolás zért kedezőbb z indukcióhoz képest, mert B(H) összefüggést rendszerint mágnesezési görbéből olssák le. Péld Vizsgáljunk egy ármot iő ezetőt. Tőle táolságr mágneses térerősség: H =. π H (nem ferromágneses közegben) tetszőleges zárt görbe izsgált ezetőtől táolságr rjzolt ( sugrú) koncentrikus körí és körüljárás irány megegyezik H irányál, kkor Hd d l = l = π =. π π Hsonló eredményt kpunk, h különböző köríeken záródó görbét izsgálunk (nem ferromágneses közegben) z lábbi ábr szerint: l l 3 l 4 r r 1 H l 1 l 1 mentén H 1 =, l mentén H π r 1 A gerjesztési törény illusztrálás =, π r l 3 és l 4 mentén H merőleges z integrálási útr, így sklár szorzt Hdl = 0. 3 Hd 1 r1 r1 4 3 l = π = π 4 l 1 Hdl 1 Hd r r 4 1 = l = π = π 4 l A térerősség ismeretében létrehozó gy létrehozásához szükséges gerjesztés mindig kiszámíthtó. H = const. görbe mentén történő integráláskor Hdl = Hdl. H álsztott görbe homogén szkszokr bonthtó, kkor Hdl = H i l i =Θ. i 6
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei A mágneses erőonlkép (fluxuskép) Ármjárt körezető (ármhurok) Hengerszimmetrikus teret hoz létre, erőonlképének metszete hsonló két, ellentétes irányú ármot iő ezető fluxusképéhez. B Ármjárt körezető (hurok, menet) mágneses tere Szolenoid, toroid A szolenoid tekercsen belül koncentrálódik mágneses tér, tekercsen kíül szétszóródik, ezért elhnygolhtó, mennyiben tekercs hossz sokkl ngyobb z átmérőjénél, l» d, l>(5-10)d. Hsonló helyzet toroid tekercsnél D» d, D>(5-10)d esetén. Ezeknél tekercselrendezéseknél z egyes ezetők (menetek) sorb kpcsoltk, bennük zonos árm folyik, ezért gerjesztési törény lklmzáskor Θ=Hl=N, hol N menetszám (integrálásnál zárt görbe áltl körülfogott ezetők szám). l d d l k =D k π A szolenoid és toroid mágneses tere A gerjesztési törény lklmzáskor toroidnál rendszerint D k közepes átmérő áltl meghtározott l k közepes erőonlhosszl számolnk. D k B Jobbmenetű tekercs mágneses tere Adott ármirány mellett egy tekercs árm áltl létrehozott mágneses tér irány z ábr szerint tekercselés irányától függ. 7
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 B Blmenetű tekercs mágneses tere A toábbikbn jobbmenetű tekercseket feltételezünk. Ármjárt ezetőre htó erő irány Az erőre korábbn kpott összefüggés lpján: F = l B. F B B F Ármjárt ezetőre htó erő homogén térben Az eredő mágneses indukció komponensek ektoriális összege tér minden pontjábn. Hsznos és szórt mágneses tér A mágneses tér zon részét neezik szórt térnek, melyik kíül esik fluxusonlk kijelölt gy kíántos pályáján. Két cstolt tekercsnél (ilyen trnszformátor primer-szekunder, gy forgó illmos gép állórész-forgórész tekercselése) z egyik tekercs áltl létrehozott fluxusnk csk bizonyos része kpcsolódik másik tekerccsel, fluxus többi része kiszóródik, csk zokkl menetekkel kpcsolódik, melyek létrehozzák. Ez utóbbit neezik szórt fluxusnk, mit legtöbbször teljes fluxushoz iszonyítnk. Ezt iszonyt, szórás mértékét σ szórási tényezőel jellemzik: φ σ = s 0 σ 1, φ e hol φ e eredő (teljes) fluxus, mi φ s szórási és φ h hsznos fluxus összege φ e =φ s +φ h. Bizonyos esetekben szórásnk fontos szerepe n, pl. szórási induktiitás korlátozz zárlti ármot. A mágneses tér törési törényei Különböző permebilitású nygok htárfelületén történő áthldáskor B indukció és H térerősség ektor irány megáltozik. Az indukció ektorokt izsgál zt tláljuk, hogy htárréteg egy elemi da felületén áthldó teljes Φ fluxus két nygbn, mindkét réteg felöl megközelíte zonos, miel z indukcióonlk mindig zártk: 8
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei Φ = BdA =B 1n da=b 1 cosα 1 da=b cosα da= B n da, da gyis B indukcióektor B n normális összeteője áltoztln értékű mrd. Az indukció ektor törése A gerjesztési törény értelmében H térerősség zárt görbére ett integrálj nullát kell djon, h htárrétegben nincs gerjesztés (nem folyik árm): Hdl = H 1t dl- H t dl= H 1 sinα 1 dl- H sinα dl=0, miből H 1t =H t, gyis H térerősség ektor tngenciális összeteője mrd áltoztln értékű. Htárrétegnél z indukció ektor érintőleges, térerősség ektor normális összeteője áltozik. A térerősség ektor törése A fentiek lpján H 1 sinα 1 = H sinα, gy térerősséget z indukciól felír: B1 B sinα1 = sinα sinα1 sinα tgα1 µ r1 µµ 0 r1 µµ 0 r = =. µµ tg B B 0 r1cosα1 µµ 0 rcosα α µ r 1cosα1 = cosα 9
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 Az erőonlk irány s-leegő htáron H µ r1»µ r (pl. s-leegő htáron s permebilitás µ r =10 3-10 6, leegőé µ r l =1), kkor tgα 1»tgα, α 1»α, gyis α 1 ~ 90, α ~ 0. Ez zt jelenti, hogy szórási erőonlk sból leegőbe közel merőlegesen lépnek ki. Az indukció törény (Frdy 5 törénye) Az elektrotechnik egyik legfontosbb lptörénye; z áltl leírt jelenség felfedezése tette lehetőé illmos energi ngy teljesítményben ló előállítását és elterjedését. H egy ezetőkör hurok ármkör, menet áltl körülfogott, ele kpcsolódó fluxus bármilyen okból megáltozik, ezetőben feszültség keletkezik (indukálódik) illmos tér jön létre. Az indukált feszültség rányos fluxus időegység ltti megáltozásál: d ( t) ui () t = φ. Az indukált feszültség nem fluxus, hnem fluxusáltozás ngyságától és irányától függ. ) Nyuglmi indukcióról, trnszformátoros indukált feszültségről beszélünk, mikor ezető nyuglombn n ( ezető térben áll), ele kpcsolódó fluxus pedig időben áltozik ármáltozás gy mágneses kör megáltozás mitt. b) Mozgási indukció kkor lép fel, mozgási (rendszerint forgási) indukált feszültség kkor keletkezik, mikor nem áltozó mágneses térben ezető mozgást égez és eközben metszi mágneses tér erőonlit, gyis mozgásnk n z erőonlkr merőleges összeteője. Az indukció során mágneses tér megáltozás illmos teret hoz létre. A fluxusáltozás helyett z indukált feszültség foglmát hsznál mágneses jelenséget illmos ármköri jelenséggel egy feszültség forrássl helyettesítjük. A nyuglmi és mozgási indukció gykorltbn sokszor egyidejűleg n jelen. Fontos: h térben áltozó fluxusok nnk, kkor létrejöő illmos tér nem potenciálos, két tetszőleges pont között feszültség nem független z úttól! ugynis függ körülzárt fluxustól, illete nnk áltozásától is. A illmos potenciálnk mint térjellemzőnek ilyenkor nincs értelme. Zárt hurokbn (ármkörben) z indukált feszültség hurokellenállásnk megfelelő ármot létesít. Az ellenállások R ohmos feszültségesése h körben nincs más feszültségforrás egyensúlyt trt z U i indukált feszültségekkel, Kirchhoff huroktörénye lpján: Ri + u = 0, j j j gy áltlános esetben, huroktörényt kiterjeszte, z ohmos feszültségesések, belső (glnikus) és z indukált feszültségek eredőjére igz: Ri + u + u = 0, j j j k ik k ik n bn 5 Frdy, Michel (1791-1867) ngol fizikus 10
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei hol u i z indukált, u b nem indukció útján (pl. glánelemmel) létrehozott belső feszültséget jelenti. Szinuszosn áltkozó árm esetén huroktörény fázorokr is érényes: R + U = 0 j j j Nyuglmi indukció A fluxusáltozás és töltés-szétálsztó illmos térerősség pozití irány z ábr szerinti, ui = Edl, d φ fluxusáltozás E illmos térerősséget létesít ezető hurok mentén. E k ik dφ > 0 - + U i A nyuglmi indukció pozití irányi Az indukált feszültség nem fluxus, hnem fluxusáltozás ngyságától és irányától függ. A tekercsfluxus Amennyiben áltozó fluxust nem egyetlen hurok, hnem N sorb kpcsolt menetből álló tekercs fogj körül és menetek zonos irányúk, kkor z egyes menetekben indukált feszültségek összedódnk. H minden menet zonos ngyságú fluxust fog át, kkor z u in eredő indukált feszültség N-szerese z egy menetben indukált feszültségnek ( menetfeszültségnek): ( ) u () t N d φ t in =. A tekercs egy-egy menetéel kpcsolódó fluxusok összegezéséel kpjuk ψ=nφ tekercsfluxust (gy fluxuskpcsolódást), miel tekercs eredő indukált feszültsége, külön nem utl z N menetszámr: d ( t) ui () t = ψ. A fluxushoz hsonlón tekercsfluxus is sklár mennyiség, S mértékegysége [Ψ]=Wb=Vs. 11
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 dφ > 0 U i - + φ É t D Az indukált feszültség polritás felfelé irányuló, időben nöekő fluxus esetén dφ < 0 U i + - φ É t D Az indukált feszültség polritás felfelé irányuló, időben csökkenő fluxus esetén 1
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei dφ > 0 D É U i - + φ t Az indukált feszültség polritás lelfelé irányuló, időben csökkenő fluxus esetén dφ < 0 D É U i + - φ t Az indukált feszültség polritás lelfelé irányuló, időben nöekő fluxus esetén Lenz 6 törénye Az energi megmrdásánk eléből köetkező törény szerint z indukció eredményeként keletkező ármok és erők olyn htásúk, hogy gátolják z előidéző állpotáltozást. 6 Lenz (Lenc), Heinrich Friedrich Emil (1804-1865) német szármzású fizikus 13
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 φ dφ > 0 i R U i - + i Az indukált feszültség keltette árm mágneses htás d Nyuglmi indukció esetén fluxusáltozás köetkeztében indukálódó ui = φ feszültség zárt ármkörben olyn i ármot kelt, melyik z indukált feszültséget létrehozó fluxusáltozást gátló, késleltető mágneses teret (mágneses tér áltozást) hoz létre, z indukáló htást csökkenti. Ezt gátló htást fejezi ki negtí előjel. A keletkező mágneses tér kiindulási állpot fenntrtásár törekszik. Ez törényszerűség z önindukció lpj. Mozgási indukciónál z indukálódó feszültség zárt ármkörben olyn i ármot kelt, melyik mozgássl ellentétes irányú ( mozgást fékező) erőt gy nyomtékot létesít, miel z indukáló htást csökkenti. A mozgási indukció Feszültség indukálódik egy ezetőben, h időben állndó mágneses térben, rr merőleges iránybn mozgtják, miel ezetőel együtt mozgó töltésekre erő ht. (Ármjárt ezetőnél láttuk fellépő erőt: F = l B.) Tekintsük ezetőben léő töltés mozgását fiktí töltésármlásnk, ármnk. nem igzi árm, de, miel töltéshordozó mozgás, egy F erőhtás számíthtó belőle. Az árm irány ezető mozgásánk irányáb muttó dh egységektor irányál egyezik. h H töltést trtlmzó ezető t idő ltt h táolságot tesz meg, sebessége =, sebesség t h ektor irány mozgás irányáb mutt = t dh. H t idő ltt Q töltés hld át egy dott keresztmetszeten, kkor z fiktí árm ngyság: Q = t dh. Behelyettesíte z erő képletébe: h F = h B = Qdh B = Q B. t Ez z F erő ezető töltéseire ht, töltés-szétálsztó erőként, tehát F -l zonos irányú E erősségű illmos tér keletkezik. Az E illmos térerősség pozití töltésekre htó erő irányáb mutt, ngyság z egységnyi töltésre htó erőel egyezik. 14
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei Homogén mágneses térben B indukcióonlkr és sját mgár merőleges iránybn sebességgel mozgtott ezető töltéseire tehát ezető onlábn F töltés-szétálsztó erő lép fel, ele zonos irányú E F erősségű illmos tér keletkezik: E = = Q B. l +Q dh B +Q F E + u i (t) F i (t) + R - - h A mozgási indukció lehetséges illusztrációj Ennek térerőnek htásár ezető két égén különnemű töltések hlmozódnk fel, mi indukált feszültség létrejöttét jelenti (töltés-szétálsztás). H ezető l hosszúságú része mozog mágneses térben, kkor két ége között mérhető feszültség (homogén tér és állndó sebesség feltételezéséel) Ui = E l = Bl= l B, h feszültség pozití irány (+) töltések felől (-) töltések felé mutt. Ez z U i indukált feszültség belső, forrásfeszültség jellegű, töltés-szétálsztó E térerő htásár jön létre dφ Edl=. Az indukált feszültséget elektromotoros erőnek (emf=elektromotie force) is neezik. Az indukált feszültség zárt ármkörben egy lódi ármot indít, mely z indukált feszültségtől és z ármkörtől függ. Ezen árm és z indukció kölcsönhtásként olyn irányú erő lép fel izsgált ezetőn, melyik Lenz törénye értelmében nnk mozgás ellen ht, z erőonlk mozgás irányábn sűrűsödnek. Ez zt jelenti, hogy h zárt z ármkör, ezető mozgtásához folymtosn erőre, energiár n szükség. Két erőhtást látunk: - ezetőel együtt mozgó töltésekre htó F * erő, minek köetkezménye z E * illmos térerősség töltés-szétálsztó htás és z U i indukált feszültség megjelenése, - ennek z U i feszültségnek htásár folyó árm köetkeztében ezetőre ( ezetőn belül mozgó töltésekre) htó F erő ezető mozgásál ellentétes irányú. E két erő irány nem zonos. Frdy indukció törénye (3. Mxwell egyenlet) d E dl = B da. l A Ez z egyenlet két jelenséget ír le: feszültség indukálódást nyuglmi és mozgási indukciól. 15
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 Nyuglmi indukciónál képlet jobb oldlán z indukció áltozik időben, ezért más lkj is hsználhtó: E dl = t B da. E itt illmos térerősség z integrálási út minden dl l A szkszán, álló koordinát rendszerben. Mozgási indukciónál fluxus állndó indukció mellett áltozik, pl. z A felület áltozás mitt. Miel fluxus z indukció felületi integrálj φ = B da, z indukált feszültség z A A d felületen áthldó fluxus időbeli áltozásál rányos: ui = φ. Mozgási indukciónál E illmos térerősség z integrálási út minden dl szkszán, z illető szkszhoz rögzített tehát mozgó koordinát rendszerben. A negtí előjel Lenz törényére utl, zt fejezi ki, hogy z indukált feszültség kdályozz fluxus áltozását. Frdy indukció törénye kifejezi mágneses tér megáltozás és illmos tér közötti kpcsoltot. Ez z indukált illmos tér lényegesen különbözik töltések áltl létesített illmos tértől. Erőonli zárt görbét képeznek zon felület körül, melyen keresztül fluxus időben áltozik. Az indukált illmos tér nem potenciálos. Véges keresztmetszetű ezető mágneses tere A onlszerű ezetőben folyó árm csk ezetőn kíül hoz létre mágneses teret, de éges keresztmetszet (pl. éges átmérő) esetén ezetőn belül is. Ebben z esetben belső fluxus z ármnk csk egy részéel kpcsolódik, ezért külön kell izsgálni külső fluxustól. Mágneses tér ezetőn kíül Egy leegőben álló hosszú, kör keresztmetszetű, ármjárt egyenes ezetőn kíül külső mágneses tér közelítően ugynúgy számíthtó, mint égtelenül kis keresztmetszetű (egydimenziós) ezető tere. Egyenárm és egyenletes ármeloszlás feltételezéséel J ármsűrűség gy z árm J = r, illete = JdA = Jr π π, itt r ezető sugr, A ezető keresztmetszete. A ezető tengelyétől tetszőleges táolságr H k külső térerősség: Hk ( ) =, mennyiben r. π µ 0 A külső indukció Bk( ) = µ 0Hk( ) =, miel leegőben elhelyezkedő ezetőnél µ r =1, π így µ=µ 0. 16
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei J l da 0 r d A fluxus számítás illusztrációj A ezető l hosszúság mentén tér egy d elemi szélessége áltl meghtározott da=ld elemi felületén dφ k elemi külső fluxus ezető tengelyétől tetszőleges táolságon: µ 0 dφ ( ) B ( ) da d k = k = l, r. π A tekercsfluxus ezetőt egyetlen menetnek tekinte megegyezik fluxussl dψ k =dφ k, így teljes külső tekercsfluxus: 0 0 µ 0l d µ 0l Ψ k = dψ k = = ln 0, r, π π r r r itt 0 z éges táolság ezető tengelyétől, melynél mágneses tér már elhnygolhtón kicsi. A külső térből számíthtó induktiitás értéke: Ψ k µ 0l Lk = = ln 0. π r µ 0l 7 Például 0 =5r esetén L k 16, = 3, 10 l (H), π µ 0l 7 0 =10r esetén L k 3, = 46, 10 l (H). π (Elméletileg 0, de ebben z esetben képlet nem d éges eredményt. Két párhuzmos ezetőből álló huroknál ezetőket összekötő képzeletbeli onl mentén kell integrálni.) 17
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 H H b H k 0 r d Véges keresztmetszetű ezető mágneses térerőssége Mágneses tér ezetőn belül Tételezzük fel, hogy ezető égtelen számú, egyenletesen elosztott párhuzmos elemi szálból áll és z ármeloszlás homogén (z ármsűrűség keresztmetszet mentén állndó): J = π. r Egy tetszőleges r sugáron belül folyó ármrész teljes ármnál keesebb, keresztmetszet részrányánk megfelelően J = π =, r. r Ennek z ármrésznek H b belső mágneses térerőssége sugáron: Hb( ) = = =, r. π πr π r (A ezető kerülete mentén (=r ) külső és belső tér számítás természetesen zonos eredményt d, Hb = Hk =.) π r A belső indukció Bb( ) = µ Hb( ) = µ π r, r, itt µ ezető nygánk teljes permebilitás, nem ferromágneses nygoknál rendszerint µ=µ 0. Az elemi belső fluxus ezető l hosszúság mentén, da=ld felületen: µ dφ b( ) = BbdA= d π r l, r. 18
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei H teljes ezető keresztmetszetet tekintjük egy menetnek, kkor tekercsfluxust z r sugár áltl meghtározott körön belül egy keresztmetszet-rányosn kisebb N <1 menetszámml kell számolni: N = 1 r, r. Így z elemi belső fluxuskpcsolódás r esetére 3 µ µ dψ b( ) = Ndφb( ) = ld = l d. 4 π r r π r A teljes belső fluxuskpcsolódás ezető teljes keresztmetszetén: r µ l 3 µ l Ψ b = d= π r. 4 8π 0 l b L b r Az önindukciós tényező áltozás Ψ b µ l A belső térből számított teljes induktiitás értéke: Lb = =. 8π Nem ferromágneses nygú ezetőkre, h µ=µ 0, kkor µ 0 l 7 L b = = 05, l 10 (H), gy L b = 0,05 (µh/m). 8π Az előzőek szerint egy tetszőleges r sugáron belül léő ezetőrészben teljes ármnk csk = r része folyik, iszont ugynezzel ezetőrésszel teljes Ψ b belső fluxus kpcsolódik (körülfogj), ezért ezetőn belül z induktiitás nem zonos, z r sugáron z l b () belső induktiitás: b l b ( ) b L r Ψ = =. r A középpont körüli ármszálk belső induktiitás lényegesen ngyobb lehet felület menti ármszálk induktiitásánál, miel utóbbikt nem eszi körül ezetőn belül záródó erőo- 19
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 nlk egy része. Váltkozó ármnál z elemi szálk induktí rektnciáj ezért középonl közelében ngyobb, mint külső felszín közelében. Ebből köetkezően z árm ngyobbik része ezető felülethez közeli, kisebb impednciájú trtománybn folyik. Az eredményből z is köetkezik, hogy kiindulásként elképzelt homogén ármeloszlás feltételei áltkozó árm esetén nem állnk fenn. Az ármkiszorítás jelensége Részletes, összetett számítások szerint J ármsűrűség egy kör keresztmetszetű ezető kerületétől középpontj felé exponenciálisn csökken. Azt ezető felszínétől mért táolságot, mely mentén z árműrűség felületi J f -hez képest z e-d részére csökken, behtolási mélységnek neezik és δ-l jelölik. J J f J f /e A behtolási mélység értelmezése A ezetőben keletkező ohmos (Joule) eszteség szempontjából z exponenciális ármsűrűségeloszlássl egyenértékű közelítés, h δ behtolási mélységig (r -δ)<<r z ármezetést homogénnek, behtolási mélységen <(r -δ) sugáron belüli trtományon pedig nullánk tekintik, mennyiben ezető sugr r >(3-5)δ. Ez z ármkiszorítás gy szkin htás nnál hngsúlyozottbb, minél ngyobb z induktí rektnci, mi áltozik z árm ω körfrekenciájál (frekenciájál) és z induktiitássl. Az induktiitás z előzőek szerint függ ezető nygánk µ permebilitásától, gyis minél ngyobb permebilitás, nnál kisebb behtolási mélység. Másrészről iszont, minél ngyobb ezető ρ fjlgos ellenállás, nnál kisebb z induktí rektnci súly z impedncián belül, tehát nnál kisebb áltozásánk htás z ármeloszlásr. A behtolási mélység z lábbik szerint függ z említett jellemzőktől: ρ ρ 1 ρ ρ δ = = = = 5033,. ωµ πµ 0 fµ r πµ fµ fµ 0 r r A δ egyúttl áltkozó mágneses tér behtolási mélysége is, ugynis hol árm nem folyik, ott nem lehet mágneses tér sem, gerjesztési törény szerint. δ r 0
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei J J J f J f J f /e r r δ δ Az ármsűrűség eloszlás közelítése A ezetőn belüli ármeloszlás megáltozás módosítj homogén eloszláshoz képesti ohmos ellenállást (így eszteségi teljesítményt) és z induktiitást. A δ behtolási mélység előző összefüggése lpos ezetőre is lklmzhtó r közelítéssel, h ezető stgsági mérete kisebb behtolási mélységnél. Közelségi htás Az ármkiszorításhoz hsonló jelenség lkul ki kkor is, h két gy több áltkozó ármot iő ezető egymás mágneses terében helyezkedik el. lyen esetben ezető sját ármánk mágneses terén kíül többi ezetőben folyó árm mágneses tere is befolyásolj z ármsűrűség eloszlását. Az árm ezetők zon részében sűrűsödik, melyikben kisebb z induktiitás és így rektnci. A közelségi htás mértéke függ geometriától, frekenciától és ezetők nygától. A közelségi htás illusztrálás szkinhtásból kiindul zonos irányú ármoknál Péld A réz nygjellemzői: ρ Cu =1,78 10-8 Ωm, µ rcu =1, f=50 Hz frekencián behtolási mélység δ Cu =9,49 mm (f=5 khz frekencián δ Cu =0,949 mm). Az lumínium nygjellemzői: ρ Al =,9 10-8 Ωm, µ ral =1, f=50 Hz frekencián behtolási mélység δ Al =1 mm (f=5 khz frekencián δ Al =1, mm). A s nygjellemzői: ρ Fe =13 10-8 Ωm, µ rfe =5000, f=50 Hz frekencián behtolási mélység δ Fe =0,35 mm (f=5 khz frekencián δ Fe =0,035 mm). 1
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 δ (mm) 70 60 50 40 30 Al 0 Cu 10 0 Fe f (Hz) 0 0 40 50 60 80 100 A behtolási mélység áltozás frekenci függényében A behtolási mélységre kpott eredmények lpján f=50 Hz frekencián nem gzdságos kb. 0 mm-nél ngyobb átmérőjű réz, gy kb. 5 mm-nél ngyobb átmérőjű lumínium ezetőt hsználni. Vs nyg esetén behtolási mélység erősen függ permebilitásától, tehát telítéstől is, telített állpotbn behtolási mélység ngyobb, miel µ csökken. Lemezelt smg készítésekor lemezstgság megálsztásánál figyelembe eszik behtolási mélységet is. Tégllp keresztmetszetű ezetőknél behtolási mélység függ z oldlk rányától is de ez nem jelent lényeges különbséget. Tégllp keresztmetszetű ezetőben (gyűjtősínben) z ármsűrűség eloszlás hosszbb oldl mentén z ábr szerint lkul, δ és b» δ geometrii iszonyok mellett. J x b Ármsűrűség eloszlás tégllp keresztmetszetű ezetőben A ezetékeken átármló teljesítmény nöelésére zonos feszültség és ármsűrűség mellett párhuzmos ezetőket, ún. köteges ezetőket lklmznk. A köteges ezető leggykrbbn egy olyn ezetőcsoport, mi fázisonként -4 sodronyból áll, ezek egy 40-80 cm átmérőjű kör kerülete mentén helyezkednek el.
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei Köteges ezeték-elrendezések A köteges ezeték eredő mágneses tere köteget jellemző kör átmérőjéel megegyező átmérőjű henger teréhez hsonlít. A ezetők kötegeléséel z eredő induktiitás jelentősen csökken. Ármkiszorítás ferromágneses környezetben Az ármkiszorítás ferromágneses környezetben, például z szinkron gép forgórészének hornyibn léő ezetőknél is jelentkezik, különösen kkor, h horony mélysége ngyobb szélességénél, gy h ezetők elrendezése kétklickás. Ezt jelenséget felhsználják z szinkron gépek mechniki jelleggörbéjének jításár. ) b) Klickás forgórész tipikus horonylkj ) mélyhornyú b) kétklickás Az f r forgórész frekenci S szliptől (gy fordultszámtól, szögsebességtől) ló függését figyelembe ée klickás forgórészek geometrii kilkításál meglósíthtó, megterezhető forgórészköri ellenállás utomtikus áltozás. Miel forgórész stest permebilitás ngy, szórt fluxus ( forgórész mágneses terének z része, melyik nem kpcsolódik z állórész ezetőiel) hornyon belül záródik. A horony lsó rétegeiben l s s = ψ szórási induktiitás ngyobb, mint horonyszáj felőli rétegek- i ben, mert ngyobb fluxussl kpcsolódnk (több fluxusonl eszi zokt körül). Kétklickás forgórésznél z lsó rúd szórási induktiitás ngyobb mint felső rúdé. Mély horonyb helyezett, ármot iő ezető és kétklickás forgórész szórt mágneses tere 3
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 Az impednci horonyszájtól mért táolság mellett forgórész árm frekenciájától is függ ( π l ) z = r + f r s, itt r egy réteg rezisztí ellenállás. Végeredményben horonybn léő ezetőn belüli ármeloszlás függ forgórész árm frekenciájától. J J h f r =f 1 h f r =0 Az ármsűrűség eloszlás ázlt egy kétklickás forgórész ezetőiben Az ármkiszorítás htás legegyszerűbben kétklickás forgórésznél szemléltethető. A horonyszáj közelében léő (felső) klick rendszerint kisebb keresztmetszetű, ngyobb fjlgos ellenállású nygból (pl. sárgrézből) készül, míg z lsó klick ngyobb keresztmetszetű, kisebb ellenállású nygból (pl. örösrézből). ndításkor (S=1) forgórész árm frekenciáj megegyezik tápfrekenciál (f r =50 Hz), ilyenkor z árm főleg ngyobb ohmos ellenállású (kisebb rektnciájú) klickábn folyik, míg néleges üzemi munkpont környezetében (S 0,03-0,05, f r =1,5-,5 Hz) döntően két klick ohmos ellenállás közötti rány htározz meg z ármeloszlást. lyen módon konstrukciós eszközökkel meglósíthtó, hogy indításkor ngyobb, néleges fordultszámon pedig kisebb legyen htásos forgórészköri ellenállás. f r =f 1 J f r =0 h Ármsűrűség eloszlás ázlt egy mélyhornyú forgórész ezetőjében Mélyhornyú forgórésznél jelenség és htás hsonló, de J ármsűrűség áltozás folymtos horonyszájtól ló h táolság függényében. 4
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei Az ármkiszorítás htás szórási fluxusr (közelítés) A horonybn léő ezető egymássl párhuzmosn kpcsolt rétegeiben tehát eltérő ngyságú és fázishelyzetű ármok folynk. Az eredő htásos ellenállás nő, szórási induktiitás kis mértékben csökken. A szórási induktiitás csökkenésének ok z, hogy z lsóbb rétegeknél léő kisebb árm mitt mágneses tér is kisebb ( gerjesztési törény szerint), de úgy is értelmezhető, hogy forgórész tekercs geometriilg közelebb kerül z állórészhez, ezért cstolás szorosbbá álik. w w 1 R r (S n ) R r (S=1) M M bg M i1i M t M i1 Az szinkron motor tipikus sttikus w-m jelleggörbéje Az szinkron gép htásos forgórészköri ellenállásánk frekencifüggéséel elérhető, hogy indításkor ngyobb legyen nyomték, néleges üzemben pedig kisebb legyen fordultszám csökkenés mereebb jelleggörbe mitt (z ábrán M i1 ). A htásos ellenállás 50 Hz forgórészköri frekencián,5-3-szoros z egyenármml mérhető értéknél. Az ármkiszorítás htás szórási induktiitásr (és rektnciár) kisebb mértékű, csk 10-0%. Az ábrán feltüntetett, kisebb ellenálláshoz trtozó M i indítónyomték nem lenne elegendő z M t terhelőnyomték melletti indításhoz. A ngyobb ellenállásnál pedig állndósult üzemben M t terhelőnyomték mellett ngyobb lenne fordultszámesés. A két jelleggörbe elontkozttott illusztráció, motor felfutás során görbék között folymtos z átmenet, forgórész frekenci folymtos áltozás mitt. 5
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 w w 1 1 b c 0 0 1 M M n Ármkiszorításos motorok tipikus nyomték jelleggörbéi ) terhelés nélkül induló motorok legmegfelelőbb nyomtékgörbéje, b) néleges nyomtékkl induló motor, felfutás ltt közel -szeres nyomtékú görbéje, c) nélegesnél ngyobb kezdeti indító nyomtékot dó görbe. Az örényárm htás mágneses tér eloszlásár A mágneses tér áltozásánk köetkeztében indukált feszültség jön létre és örényárm folyik illmosn is ezető smgbn. Az örényárm Lenz törénye értelmében gátolj z indukáló htást, olyn teret létesít, mi mágneses fluxus áltozás ellen ht, így zt felület irányáb szorítj. dψ ör Az örényárm htás mágneses tér eloszlásár A mágneses tér behtolási mélysége ugynúgy számíthtó, mint illmos ármsűrűség behtolási mélysége. A mágneses tér ezetését, terelését szolgáló ferromágneses nygokbn z örényárm nem kíántos fluxus kiszorulás és keletkező eszteségek mitt. Az örényárm eszteség csökkentése érdekében stestet, smgot ngy fjlgos ellenállású (pl. szilícium trtlmú) ötözetből készítik, toábbá egymástól illmosn elszigetelt ékony lemezekből építik össze. A lemezszigetelés lmilyen lklms nygból (pl. lkk) felitt ékony réteg, gy mechniki és mágneses tuljdonságok beállítását szolgáló hőkezelés során létrehozott szigetelő felület. 6
A mágneses tér lpfoglmi, lptörényei dφ Fe i ör / 1 dφ Fe Két részre bontott smg illusztrációj Amennyiben mágneses ezető smgot két részre bontjuk, z egyes részek csk φ Fe fluxus felét, φ Fe/-t ezetik. H z eredő φ Fe fluxus áltozik, pl. felére csökken, úgy z egyes rész-fuxusok áltozásánk ngyság φ Fe /4 lesz. Az ábrán láthtón kisebb fluxus zonos rányú áltozás kisebb meredekséggel történik. φ φ Fe φ Fe / φ Fe w 1 t φ Fe / φ Fe /4 t Az eredő és rész-fuxusok áltozás két részre bontott smg esetén Miel smgbn indukálódó feszültség fluxus áltozás deriáltjál rányos, kisebb meredekség kisebb indukált feszültséget, rjz szerinti példábn fele feszültséget jelent, mi még kkor is fele ngyságú örényármot okoz, h z örényárm pály ellenállását áltoztlnnk tekintjük. A fele ngyságú örényárm negyede ngyságú örényárm eszteséget okoz smg felében, így összességében teljes örényárm eszteség felére csökken. A smgokt 50 Hz frekencián működő berendezésekben kb. 0,3 mm stgságú lemezekből állítják össze. Összeállított: Kádár stán 019. február 7
VVEMA13 Váltkozó ármú rendszerek 019 Ellenőrző kérdések 1. Értelmezze z ármokkl kifejezett erőtörényt.. Melyek mágneses tér jellemzői? 3. Mi mágneses térerősség, indukció fluxus? 4. Mit fejez ki mágneses permebilitás? 5. Értelmezze gerjesztési törényt. 6. Mi szórt fluxus? 7. Közelítően illusztrálj ármjárt ezető és ezető gyűrű mágneses terét. 8. Közelítően illusztrálj szolenoid és toroid mágneses terét. 9. Milyen elhnygolássl élnek szolenoid és toroid mágneses körének számításánál? 10. Értelmezze z indukció törényt. 11. Mi tekercsfluxus (fluxuskpcsolódás)? 1. Mi mozgási indukció jelensége? 13. Mi nyuglmi indukció jelensége? 14. Értelmezze Lenz törényét nyuglmi és mozgási indukciónál. 15. Milyen jellemzőben tér el z indukció útján létrehozott illmos tér nyugó töltések illmos terétől? 16. llusztrálj éges keresztmetszetű, ármot iő ezető mágneses terét. 17. Hogyn lkul z ármsűrűség eloszlás éges keresztmetszetű ezetőben? 18. Hogyn lkul z induktiitás éges keresztmetszetű ezető belsejében? 19. Hogyn mgyrázhtó z ármkiszorítás jelensége? 0. Mi behtolási mélység, milyen prméterektől függ? 1. Hogyn közelítik z ármeloszlást z ármkiszorítás figyelembeételéel?. Mi közelségi htás? 3. llusztrálj z ármkiszorítást ferromágneses környezetben. 4. Mi z örényárm és milyen htássl n mágneses tér eloszlásár? 5. Milyen megoldássl csökkenthető z örényárm? 8