1 Wavelet transzformáció Más felbontás: Walsh, Haar, wavelet alapok! Eddig: amplitúdó vagy frekvencia leírás: Pl. egy rövid, Dirac-delta jellegű impulzus Fourier-transzformált: nagyon sok, kb. ugyanolyan amplitúdójú sin és cos hullám: a fázisok pontosan olyanok, hogy az impulzus előtt és után a hullámok kioltják egymást, de a megfelelő időpontban az impulzus megjelenik!
2 Másik példa: konstans frekvenciájú jel időben végtelen sin vagy cos hullám Csíkok a frekvencia-idő síkon f t méretű cellák. Itt a a szokásos idő- és frekvenciatartománybeli ábrázolás speciális felbontás, ahol az adott cella egyik irányban végtelen kiterjedésű Ido t f F r e k v e n c i a (t,f) Fazister Jel
3 Keskeny ablakok Szeles ablakok
4 Wavelet bazis Végtelen lehetséges felbontás a t és f csíkokon kívül! Waveletek: frekvenciájuk viszonylag jól meghatározott ÉS időbeli (térbeli) helyzetük is korlátozott Határozatlansági reláció!
Jelek kifejtése ortogonális bázisfüggvények szerint. Dirac-delta amplitúdó idő leírás. sin és cos függvények Fourier leírás 5
Wavelet transzformáció: 6
7 - rekurzív szűrés - páros-páratlan tagokra decimálás (FFT CT algoritmus!) Diszkrét wavelet transzformáció (DWT) : gyors FFT-vel összemérhető sebesség FFT / a DWT forgatás az amplitúdó idő tér és a frekvencia idő tér között: mátrixművelet!
8 Daubechies wavelet DAUB4 wavelet D 4 = 2 6 4 c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0 c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0..... c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0 c 2 c 3 c 0 c 1 c 1 c 0 c 3 c 2 3 7 5 x (bemenő) adatokból y = D 4 x kimenő transzformált. Hasonló a DFT-hez: 0 1 V 0 V 1 B V 2 C @. A = V N 1 0 B @ 1 1 1... 1 1 ω ω 2... ω (N 1) 1 ω 2 ω 4... ω 2(N 1). 1 ω (N 1) ω 2(N 1)... ω (N 1)2 1 0 C B A @ v 0 v 1 v 2. v N 1 1 C A
9 D 4 két FIR szűrő: - páratlan sorok: c 0,..., c 3 simítást/integrálás - páros sorok: c 3, c 2, c 1, c 0 deriválás (kvadratúra tükör szűrők) Legyen a páros sorok kimenete 0 konstans és lineáris jelekre + Legyen a mátrix inverze annak transzponáltja: c 0 = (1 + 3)/4 2 c 1 = (3 + 3)/4 2 c 2 = (3 3)/4 2 c 3 = (1 3)/4 2 DAUB család többi tagja elfolytatható: c 0 = (1 + q 10 + 5 + 2 10)/16 2 c 1 = (5 + p 10 + 3 5 + 2 c 2 = (10 2 q 10 + 2 5 + 2 10)/16 2 c 3 = (10 2 p 10 2 5 + c 4 = (5 + q 10 3 5 + 2 10)/16 2 c 5 = (1 + 10 p5 + 2
10 Diszkrét Wavelet Transzformáció Diszkrét Wavelet Transzformáció (DWT): wavelet mátrix hierarchikus alkalmazása: 1. lépés: teljes N = 2 n adatsorra: 2. lépés: előző lépés simított adatain s.í.t.
11 2 3 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 y 11 y 12 y 13 6 y 14 7 4 y 15 5 y 16 mátrix 2 3 s 1 d 1 s 2 d 2 s 3 d 3 s 4 d 4 s 5 d 5 s 6 d 6 s 7 6 d 7 7 4 s 8 5 d 8 sorbarakás 2 3 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 6 d 6 7 4 d 7 5 d 8 mátrix 2 3 S 1 D 1 S 2 D 2 S 3 D 3 S 4 D 4 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 6 d 6 7 4 d 7 5 d 8 sorbarakás 2 3 S 1 S 2 S 3 S 4 D 1 D 2 D 3 D 4 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d 6 6 7 4 d 7 5 d 8 s Végül: két S + a D + D, d wavelet együtthatók DWT: ortogonális transzformációk sorozata DWT inverze az eljárás megfordításából áll Ez hasonĺıt az FFT CT-re:
12 DWT mátrixszorzások lepkeművelet simított adatok kiválogatása FFT rendezés /bit-reverzálás Más, mint az FFT CT: FFT: minden lépésben 2 n pont DWT: adatok száma lépésenként feleződik DWT fázistér: hierarchikusan felépítés minden lépésben duplázva a frekvencia és felezve a pontok száma (lehet más is). Alacsony frekvenciák értéke pontos DE mikor? Magas frekvenciák értéke (mekkora?) DE tudjuk, hogy mikor!
13 Wavelet bazis Alak: inverz DWT
14 0.8 0.6 0.4 i=1 i=10 i=50 i=150 0.2 0-0.2-0.4-0.6 0 100 200 300 400 500 i = 150: (128, 255) intervallum, x = (150 128)/(256 128) 512 = 88 i = 50: (32, 63) intervallum, x = (50 32)/(64 32) 512 = 288 N dimenziós DWT.
15 Wavelet közeĺıtések exponenciális lefutású impulzusok: fázistérben csak a 512/32 legnagyobb Veszteséges tömörítés: amplitúdó és a hely is tárolandó! A wavelet az összes ortonormált bázis közül a (Shannon entrópia szerint ) legrövidebb leírása az adatoknak és a bázisfüggvényeknek!
16 Rossz zajtömörítés: javul a jel/zaj viszony! Képek: élek megőrzése fontos: wavelet tömörítés, válogatott komponensek, kevesebb paraméter.
A visszaálĺıtott és az eredeti különbsége : 17
18
19