ALACSONY HŐMÉRSÉKLETŰ PLAZMAFIZIKA Dr. Donkó Zoltán MTA Wigner Fizikai Kutatóközpont Szilártestfizikai és Optikai Intézet Komplex Folyaékok Osztály MTA Csillebérc / KFKI onko.zoltan@wigner.mta.hu zoltan.onko@gmail.com ()
Tartalom Töltött részecskék mozgása vákuumban / gázban, elektromos / mágneses tér jelenlétében Ütközési hatáskeresztmetszetek Ütközések kinematikája Szórási folyamat leírása aott kölcsönhatási potenciál mellett, laboratóriumi és tömegközépponti renszerek Szórás Coulomb- és polarizációs potenciál esetén, hatáskeresztmetszet kiszámítása Ütközési folyamatok gyengén ionizált gázokban Elektron-atom ütközések (az elektronok kulcsfontosságúak!) Ion-atom & atom-atom ütközések Rekombinációs folyamatok Néhány fontos elemi ütközési folyamat analízise Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika
Töltéshorozók mozgása vákuumban m v(t) t = q[e + v B] (gravitációt elhanyagolva) Mágneses tér nélkül: Velocity Verlet séma (... vs. Euler ) r(t) t m v(t) t = v(t) = qe(r,t) iszkretizálás r(t + t) = r(t)+v(t) t + a(t) t a(t)+a(t + t) v(t + t) = v(t)+ t a(t) = q m E r(t),t Egyszerű esetekben analitikus megolás, általános esetben numerikus megolás r(t) r(t + t) v(t) v(t + t) iő Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 3
Töltéshorozók mozgása vákuumban m v(t) t = q[e + v(t) B] Elektromos tér nélkül, állanó, homogén mágneses térben: m v(t) t = qv(t) B B = 0 0 B v = v x v y v z Lorentz erő és centripetális erő egyensúlya: Körpálya v B = v y B v x B 0 m v x(t) t m v y(t) t = qv y B = qv x B qbv = mv R L v = v x + v y v x t + qb m vx =0 Ciklotronfrekvencia Larmor sugár v x = v 0 sin( c t) v x t = c v x c = qb m R L = mv qb Elektromos tér ÉS mágneses tér jelenlétében: általában bonyolult viselkeés... Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 4
Töltéshorozók mozgása m v(t) t = q[e + v B] B = 0 r(t) t = v(t) m v(t) t = qe(r,t) VÁKUUMBAN r(t) r(t + t) v(t) v(t + t) iő GÁZBAN r(t) r(t + t) v(t) v(t + t) Ütközés iő Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 5
Hatáskeresztmetszet Essen egy részecskenyaláb egy gázzal töltött térfogatra! A gáz sűrűsége: A nyaláb fluxusa: n 0 = nv A nyaláb sűrűségének csökkenése a háttérgázzal való (valamilyen) kölcsönhatás miatt: v Részecskenyaláb x n = nn 0 x = n 0 x = n 0 x Ez az összefüggés efiniálja a σ hatáskeresztmetszetet (különböző folyamatok) (energiafüggés) (számítások, kísérleti meghatározás) (x) = (0)e n 0 x = (0) e x/ = n 0 Átlagos szaba úthossz Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 6
Differenciális hatáskeresztmetszet A szórás szög szerinti eloszlása χ Szórási szög Differenciális hatáskeresztmetszet (efiníciója): = N 0 A t = N s = Fluxus: felületegységre iőegység alatt érkező részecskék száma N s t N 0 A t = N s t t Mértékegysége: cm /sr (Ennyi részecskét észlel a etektor) η N s t Azimut szög térszögbe egységnyi iő alatt szórt részecskék száma Az azimutális szimmetria miatt: (, ) =sin = ( ) Energiafüggés: (, ) Teljes hatáskeresztmetszet: ( )= (, ) = 0 0 (, ) sin = 0 (, ) sin Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 7
Momentum transzfer hatáskeresztmetszet Differenciális hatáskeresztmetszet: = N s = N s t N 0 A t = N s t t Teljes hatáskeresztmetszet: = ( ) = 0 ( ) sin m v χ Szórási szög η v x Momentum transzfer hatáskeresztmetszet: m = ( cos ) ( ) = 0 ( cos ) ( ) sin Tegyük fel, hogy az ütköző részecske az x irányba mozog, hogy a céltárgy nyugalomban van és sokkal nagyobb tömegű a bejövő részecskénél! p x = mv x p 0 x = mv 0 x v 0 x = v x cos Az x irányú impulzusátaás : p x = p x p 0 x = p x ( cos ) Relatív impulzusátaás A szórás szög szerinti eloszlásától függően a momentum transzfer h.k. kisebb / nagyobb is lehet, mint a teljes h.k. Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 8
Ütközési folyamatok Kemény gömb hatáskeresztmetszet = (a + a ) A (minket éreklő ) valóság sokkal bonyolultabb, pl. elektron - Ar hatáskeresztmetszetek: a + a a a bejövő részecske és a Ütközés feltétele: a céltárgy gömb átfe Fontos péla: a = a Hayashi M 003 Bibliography of Electron an Photon cross sections with Atoms an Molecules Publishe in the 0th Century: Argon NIFS-DATA-7, National Institute for Fusion Science (Jpn), ISSN 095-6364 Jelenak Z M, Velikić Z B, Božin J V, Petrović Z Lj an Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 9
Ütközések kinematikája Szórási folyamat leírása aott kölcsönhatási potenciál mellett Laboratóriumi és tömegközépponti renszerek A szórási szög kiszámítása Pélák: Coulomb és polarizációs szórás Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 0
Ütközések kinematikája Felaat: rugalmas szórási folyamat leírása aott kölcsönhatási potenciál mellett Két részecske találkozása : általános szórási probléma 3 imenzióban Laboratóriumi renszer tömegközépponti renszer -imenziós probléma Megmaraási tételek Egyrészecske szórási probléma Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika
Ütközések kinematikája Felaat: rugalmas szórási folyamat leírása aott kölcsönhatási potenciál mellett Laboratóriumi renszer (LAB) Tömegközépponti (TK) renszer ( Center of mass, COM) v F m V m V m F v m TK pozíciója: r tk = m r + m r m + m TK-i koorináták: R = r r tk R = r r tk Relatív pozíció: r = r r TK sebessége: Relatív sebesség: w = m v + m v m + m g = v v TK-i sebességek: V = v w V = v w Egymással párhuzamosak és ellentétes irányúak A tömegközéppont egyenes vonalú egyenletes mozgást végez: r tk = m r + m r m + m = F + F m + m =0 (F = F ) Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika
Ütközések kinematikája F = m r m F = m m r Tömegközépponti renszer F = m r m F = m F = m m r V m (a két egyenletet egymásból kivonva) (m + m )F = m m ( r r ) V F = m m m + m ( r r )=µ r m µ = m m m + m Reukált tömeg F = µ r Mozgásegyenlet a reukált tömegre és a relatív pozícióra r F = µ r r mivel Képezzük a következő mennyiséget: r F r r =0 (r g) =ṙ g + r ġ = r ġ = r r (ṙ g) t (r g) =0 r g = K = const. t Az ütközés a tömegközépponti renszerben egy síkban játszóik le, a laboratóriumi renszerben 3-imenziós problémát imenzióban kezelhetjük!! Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 3
Ütközések kinematikája -imenziós probléma V y V, V ütközés előtti sebességek V, V ütközés utáni sebességek tk V m b m V R TK R Legkisebb távolság:r 0 tk x A trajektóriák szimmetrikusak a legkisebb távolsághoz tartozó pozíciókat összekötő egyenesre : r és az x tengely szöge a szög a legkisebb távolságnál tk = szórási szög V TK R, R b tömegközéppont pozíciók (TK rensz.) ütközési paraméter r = r r = R R Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 4
Ütközések kinematikája Számítsuk ki a mozgási energiát és az impulzusnyomatékot a tömegközépponti renszerben! R = r r tk = X Y R = r r tk = X Y r tk = m r + m r m + m V m E tk = m Ẋ + Ẏ + m Ẋ + Ẏ = µ(ṙ + r ) m V R TK R J tk = m R V + m R V pl. 0 R V = R Ṙ = 0 X Y Ẋ Y J tk = m (X Ẏ Ẋ Y )+m (X Ẏ Ẋ Y )=µr Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 5
Ütközések kinematikája E tk = µ(ṙ + r ) J tk = µr Egy-részecske szórási probléma Szórási középpont tk r g0 µ Reukált tömeg b Távol a szórócentrumtól: U(r) = 0, E 0 = µg 0/ potenciális energia kinetikus energia Teljes energia: Impulzusmomentum: r t = µ E 0 µg 0 + U( )= µ ṙ + r + U(r) J tk = µg 0 b = µr E 0 = µṙ + µr g 0b b r U(r) = g 0b r r 4 + U(r) = µṙ + µg 0 r t = ± µ E 0 felhasználásával kiküszöböljük a szöget és csak a távolság koorináta mara : b r + U(r) = b µṙ + E 0 b r U() =0 U(r) -imenziós mozgás r mentén / } r + U(r) effektív potenciál Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 6
Ütközések kinematikája A legkisebb távolság kiszámítása Legkisebb távolságnál r t r=r 0 =0 tk R 0 Szórási középpont r g0 µ Reukált tömeg b Taszító potenciálra minig van megolás, vonzóra nem feltétlenül. r t = ± µ E 0 E 0 b r U(r) E 0 b r =0 U(r) b r U(r) =0 / R 0 A szórási szög kiszámítása Legkisebb távolságnál: Szórási szög: tk = J tk = µg 0 b = µr r = ± r g 0 b µ E 0 b r = g 0b r U(r) / = ± r b µg 0 E 0 b r U(r) / = ± r b = R 0 b r r r U(r) E 0 / Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 7
Ütközések kinematikája A szórási szög kiszámítása Legkisebb távolságnál: Szórási szög: tk = r t r=r 0 =0 tk g0 µ R 0 r Reukált tömeg b r = ±r b b r U(r) E 0 / Szórási középpont = R 0 r r = (b/r )r R 0 U(r) b E 0 r A potenciál és a kezeti paraméterek ismeretében a szórási szög meghatározható: tk = = b r/r R 0 U(r) E 0 b r r = R 0 : U(r) E 0 b r =0 E 0 = µg 0/ Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 8
Az ütközési paraméter és a szórási szög kapcsolata Továbbra is tömegközépponti renszerben olgozunk tk + tk tk b b tk η Azimut szög A = b b Szórási szög = sin tk tk A b és b ütközési paraméterek mellett bejövő, A* felületen áthalaó részecskék a tk és tk + tk közé eső szögtartományba szórónak, számuk t iő alatt: N s = A t = b b t b b = sin tk tk A ifferenciális hatáskeresztmetszet efiníciója alapján: N s = t = b b( tk ) sin tk tk Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 9
Coulomb szórás Kiinulás: tk = = b r/r U(r) = R 0 U(r) b E 0 r Z Z e 4 0r Új változókat efiniálva: U(r) = Z Z e 4 " 0 r = A r, B = b r, C = A E 0 b A legkisebb távolság: A szórási szög: B 0 C B 0 =0 B 0 = C + C 4 +, R 0 = b B 0 tk = = b b r U(r) E 0 = BC B r/r B0 R 0 BC B = 0 B BC B Coulomb szórás szöge a részecskék és az ütközés paramétereinek függvényében: tan tk = Z Z e 4 " 0 µg0 b Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 0
Coulomb szórás ifferenciális hatáskeresztmetszete tk + tk tk b b tk η Azimut szög A = b b Szórási szög = b b( tk ) sin tk tk tan tk = Z Z e 4 0µg0 b b( tk )= Z Z e 4 0µg 0 tan tk (E 0, tk) = Z Z e 4 0µg 0 sin 4 tk Az ebből a ifferenciális hatáskeresztmetszetből számolt teljes hatáskeresztmetszet ivergál, ennek oka, hogy nagy ütközési paraméter esetén történő kismértékű szórás is a hozzájárulást a hatáskeresztmetszethez, a Coulomb-potenciál hosszú hatótávolsága miatt. Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika
Polarizációs szórás Töltött részecske ütközése semleges atommal: A bejövő töltött részecske az atommagra és a körülötte lévő elektronfelhőre ellentétes erővel hat, ennek következtében az elektronfelhő középpontja és az atommag egymástól távolságra mozul el. q Q = Ze = Ze 4 3 a3 Elektronfelhő r a Atommag Q = Ze Q + = Ze Az atommag helyén az elektronfelhő által inukált Ein elektromos térerősséget a Gauss-törvény alkalmazásával számíthatjuk ki, amit az elektronfelhő középpontjától mérve sugarú gömbre írunk fel: " 0 E in 4 = 4 3 3! E in = 3" 0 = Ze 4 " 0 a 3 Az atommag helyén a q töltésű bejövő részecske által keltett elektromos térerősség: E ext = q 4 0 r Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika
Polarizációs szórás Töltött részecske ütközése semleges atommal: A bejövő töltött részecske az atommagra és a körülötte lévő elektronfelhőre ellentétes erővel hat, ennek következtében az elektronfelhő középpontja és az atommag egymástól távolságra mozul el. q Q = Ze = Ze 4 3 a3 Elektronfelhő r a Atommag Q = Ze Q + = Ze Egyensúly esetén: E in + E ext =0! = qa3 r Q + A két részecske között ható erő: F = qq+ 4 " 0 apple qq + = (r ) r " 0 r 3 = q a 3 " 0 r 5 Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 3
Polarizációs szórás Töltött részecske ütközése semleges atommal: A bejövő töltött részecske az atommagra és a körülötte lévő elektronfelhőre ellentétes erővel hat, ennek következtében az elektronfelhő középpontja és az atommag egymástól távolságra mozul el. q Q = Ze = Ze 4 3 a3 Elektronfelhő MIKOR MEGY VÉGBE VALAMILYEN ELEMI REAKCIÓ?? r a Atommag Q = Ze Q + = Ze A két részecske közötti potenciál: U(r) = Z r F (r 0 )r 0 = q a 3 " 0 Z r r 0 (r 0 ) 5 = q a 3 8 " 0 r 4 Az atomra jellemző = a 3 molekuláris polarizálhatóság bevezetésével: U(r) = q 8 0r 4 Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 4
Polarizációs szórás A potenciál ismeretében (a korábbiak alapján) kiszámítható a legkisebb távolság: U(r) = q 8 0r 4 U(R 0 ) E 0 b R 0 =+ q 8 " 0 R 4 0 E 0 b R 0 =0 Az egyszerű eltérülés feltétele az, hogy az egyenletnek legyen megolása, ellenkező esetben spirális trajektóriák állnak elő. Ez utóbbinak a feltétle, hogy a fenti egyenlet iszkriminánsa negatív legyen, azaz a b ütközési paraméterre fennálljon: b apple s q " 0 µ g 0 E 0 = µg 0/ Feltételezzük, hogy a spirális trajektória valamilyen kölcsönhatáshoz vezet, ennek a folyamatnak a hatáskeresztmetszete (Langevin-hatáskeresztmetszet) : L = b L = s q " 0 µ g 0 Ion-molekula reakciók esetén gyakran alkalmazott közelítés. Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 5
Ütközési folyamatok gyengén ionizált gázokban Mi ütközik és mi történik ütközéskor?? Alacsony ionizációs fok a legtöbb ütközés töltött részecske - semleges részecske típusú Gázatomok - álló, vagy termikus eloszlású háttér Nemesgázok esetét tárgyaljuk, az egyszerűség miatt Gázkisülések elemi folyamatainak leírására általában kvantummechanikai számolások szükségesek Alternatívaként használhatunk kísérletileg mért hatáskeresztmetszet aatokat Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 6
Elemi folyamatok : elektron-atom ütközések Folyamat Típus Jellemzők e + Ar e + Ar e + Ar e + Ar e + Ar e + Ar + e + Ar e + Ar e + Ar e + Ar e + Ar e + Ar + Rugalmas szórás Gerjesztés Ionizáció Többlépéses gerjesztés Legerjesztés Többlépéses ionizáció A partnerek az energiát újraosztják Az atom egyik elektronja egy magasabb gerjesztett állapotba kerül Az ütközés hatására egy elektron kilép az atom elektronhéjából Gerjesztett állapotú atom az ütközés hatására egy másik gerjesztett állapotba kerül Az ütközés hatására a gerjesztett atom alapállapotba kerül Gerjesztett állapotban lévő atom az ütközés hatására ionizálóik A táblázatokban itt nem jelöljük az energetikai viszonyokat ( ± E )! Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 7
Atomi elemi folyamatok Energia Gerjesztett ion-állapotok Ion-alapállapot Gerjesztett állapotok Sugárzás Ionizáció Rezonáns nívó(k) Metastabil nívó(k) Rezonancia sugárzás Elektronütközéses gerjesztés Elektronütközéses legerjesztés Alapállapot Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 8
Elemi folyamatok : ion-atom & atom-atom ütközések Folyamat Típus Jellemzők Ar + + Ar Ar + + Ar Ar + + Ar Ar + + Ar Ar + + Ar Ar + +e Rugalmas szórás Gerjesztés Ionizáció A partnerek az energiát újraosztják Az atom egyik elektronja egy magasabb gerjesztett állapotba kerül Az ütközés hatására egy elektron kilép az atom elektronhéjából Ar + + Ar + Ar Ar + + Ar Ion konverzió * Atomi ionból molekuláris ion keletkezik He + + Ar He + Ar + Töltéskicserélés Alacsonyabb ionizációs potenciálú atom ionizálóik He M +Ar He + Ar + +e Penning ionizáció Kellően magas energiájú metastabil atom ionizál He M + Ne He + Ne Energiaátaás Közel rezonáns nívók között hatékony * Miért kell a harmaik test? Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 9
Elemi folyamatok : rekombináció Folyamat Típus Jellemzők e + Ar + Ar + h Sugárzásos rekombináció e +e + Ar + Ar + e Háromtest* rekombináció Elektron által segített e + Ar + + Ar Ar + Ar Háromtest rekombináció Semleges atom által segített e + Ar + Ar + Ar Disszociatív rekombináció Fontos veszteségi mechanizmus nagyobb nyomásokon * Miért kell a harmaik test? Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 30
Néhány fontos ütközési folyamat elemzése Pélák: e + Ar e + Ar Elektron rugalmas szórása Ar + + Ar Ar + + Ar Ion rugalmas szórása e + Ar e + Ar Elektronütközéses gerjesztés Ar + + Ar Ar + + Ar Ionütközéses gerjesztés Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 3
Rugalmas ütközések Ütközés előtt löveék m v céltárgy m v m m v Ütközés után w, g v w, g w = m v + m v m + m w = m v + m v m + m g = v v v = w + v = w Impulzusmegmaraás: Energiamegmaraás: m v = w + g = v v g m + m m g m + m m v + m v = m v + m v v = w m v + m v = m v + m v m g m + m m g m + m w = w A tömegközéppont mozgása változatlan g = g A relatív sebesség nagysága nem változik Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 3
Rugalmas ütközések Ütközés előtt löveék m v céltárgy m v m m v Ütközés után w, g v w, g A szórás a relatív sebességvektor irányát változtatja: g g az energiafüggő ifferenciális hatáskeresztmetszetnek megfelelően v = w + v = w m m + m g m m + m g w = w Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 33
Rugalmas ütközések Ütközés előtt löveék m v céltárgy m v m m v Ütközés után w, g v w, g Elektron - atom rugalmas szórás e + Ar e + Ar m m w = m v + m v m + m g g v = w + g = v v m m + m g Hieg gáz közelítés v =0 w = m v + m v m + m = 0 g = v v = g Kismértékű energiacsere Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 34
Rugalmas ütközések Ütközés előtt löveék m v céltárgy m v m m v Ütközés után w, g v w, g Szimmetrikus ion - atom rugalmas szórás m = m Ar + + Ar Ar + + Ar Szimmetrikus renszer w = m v + m v = v + v g = v v m + m g g v = w + m m + m g = w + g Jelentős energiacsere Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 35
Rugalmatlan ütközések Ütközés előtt löveék m v céltárgy m v E m m v Ütközés után w, g v w, g w = m v + m v m + m w = m v + m v m + m v = w + v = w Impulzusmegmaraás: Energiamegmaraás: m v = w + g = v v g m + m m g m + m m v + m v = m v + m v v = w g = v v m g m + m m g m + m w = w A tömegközéppont mozgása változatlan m v + m v = m v + m v + E g g Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 36
Rugalmatlan ütközések Ütközés előtt löveék m v céltárgy m v E m m v Ütközés után w, g v w, g Energiamegmaraás: m v + m v = m v + m v + E m v + m v = m + m w + m m (m + m ) g = m + m w + µ g E tk = µg Tömegközépponti energia E tk = µg Állanó, az impulzusmegmaraás miatt = E tk E A tömegközépponti sebesség nagysága ÉS iránya is megváltozik! v = w + v = w Tömegközépponti energia - maximálisan ez forítható rugalmatlan folyamatokra m g m + m m g m + m g g w = w Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 37
Rugalmatlan ütközések Ütközés előtt löveék m v céltárgy m v E m m v Ütközés után w, g v w, g Elektronütközéses gerjesztés e + Ar e + Ar m m Hieg gáz közelítés v =0 w = m v + m v m + m = 0 g = v v = g E tk = µv = m v E tk = m v = E tk E Az ütköző elektron teljes mozgási energiája felhasználható rugalmatlan folyamatra Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 38
Rugalmatlan ütközések Ütközés előtt löveék m v céltárgy m v E m m v Ütközés után w, g v w, g Ionütközéses gerjesztés Ar + + Ar Ar + + Ar m = m Szimmetrikus renszer w = v + v E tk = µg g = v v g g E tk = µg v = w + g Az ütköző ion teljes mozgási energiájának csak egy része használható fel rugalmatlan folyamatra (ugyanis a tömegközéppontnak változatlanul tovább kell halania) = E tk E Hieg gáz közelítés m v + m v = m + m w + v =0 w = v g = v m m (m + m ) g = m w g + m 4 = m E tk v 4 + m v gerjesztési küszöb: E exc, Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 39
Számonkérés pontjai Töltött részecskék mozgása vákuumban / gázban, elektromos / mágneses tér jelenlétében Ütközési (teljes, ill. ifferenciális) hatáskeresztmetszetek efiníciója Ütközések kinematikája: Laboratóriumi és tömegközépponti koorináta-renszerek, bináris szórási folyamat leírásának elvei és lépései (képletek nélkül!) Hatáskeresztmetszet kiszámítása polarizációs potenciál esetére Elemi folyamatok típusai és szerepük gyengén ionizált gázokban Rugalmas és rugalmatlan elektron-atom és ion-atom folyamatok analízise Donkó Zoltán: Alacsony hőmérsékletű plazmafizika 40