Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Műveletek mátrixokon: ) számmal szorzás: Def: A = B, ha a kettő egyforma méretű, és a megfelelő helyeken ugyanazok a számok állnak c A = [c a i j m x n ) mátrixok összeadása: Ha A és B azonos méretű mátrixok, akkor A +/ B = [a i j +/ b i j m x n ) mátrixok szorzása Ha u egy n elemből álló sorvektor, és v egy ugyanennyi elemből álló oszlopvektor, akkor u v = u v +u v +...+u n v n Megj: ha n= és n=, akkor a sík és térvektorok skaláris szorzása Def:Ha A mxn-es, és B nxr-es mátrix, tehát A oszlopainak a száma megegyezik B sorainak a számával, akkor a két mátrix ebben a sorrendben összeszorozható n C = A B mxr-es mátrix lesz, és c i k = a i b k +a i b k +...+a in b nk = a ij b jk j= Tétel: Műveleti szabályok a) A + B = B +A b) A + (B + C) = (A + B) + C c) (a+b) A = aa + ba d) a(a + B) = aa + ab e) (ab)a = a(ba) f) A(BC) = (AB)C g) A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC h) a(bc) = (ab)c = B(aC) Furcsaságok ) AB BA ) ( A + B) A + AB + B ) A nem következik, hogy A 4) AB =, A nem következik, hogy B = 5) AB = AC; A nem következik, hogy B = C Def: elemi sortranszformációk mátrixokon: a) A mátrix egyik sorának szorzása egy számmal a többit hagyjuk b) Az i-ik és j-ik sor cseréje c) Az i-ik sorban j-ik sor számszorosának hozzáadása Def: Elemi oszloptranszformációk: ugyanaz mint a sortranszformációknál, csak oszlopokkal Def: Egységmátrix: E négyzetes mátrix a főtlóban -esek, a többi

Tétel: Ha X olyan, hogy XE létezik, akkor XE = X Ha X olyan, hogy EX értelmes, akkor EX = X Spec: minden a-hoz létezik olyan b, hogy ab = Def: Ha A -hoz létezik olyan B, hogy AB = BA = E, akkor B = A (inverz mátrix) Köv: csak négyzetes mátrixnak van inverze és az inverz is ugyanolyan méretű Tétel: Ha van A -nak inverze, akkor az egyértelmű Biz: B A = E = AB B = (B A)B = B (AB ) = B =E = E [ a b = c d ad bc [ d c b a pl.: [ = 4 [ 4 Az invertálható mátrixszal lehet egyszerűsíteni Tétel: Ha A invertálható, akkor a) AB = AC B = C b) BA = CA B = C c) AB = B = d) BA = B = Biz: AB = AC létrehozzuk A - -gyel A - AB = A - AC = E = E B = C Megj: AB = CA B = C Inverz mátrix kiszámítása: Sortranszformációkkal [A[E [E[A - [ Pl.: 5 = 8, ha (ad bc), csak x-es mátrixra [ 5 8 A E [ 5 [ 9 5 5 [ 4 6 9 5 5 Tétel: Ha A,B négyzetes mátrix, akkor AB = E B = A -

BA = E B = A - [A E [ S A S E [ S S A S S [S n S n- S A S n S n- S = E = A - Mátrixinvertálás elméleti kérdései: ) A-ban az első oszlop rendbetétele (sortranszformációkkal létrehozzuk az E első sorát) a) Ha A első oszlopa csupa, akkor A nem invertálható b) Ha van szám az első oszlopban, de a n =, akkor sorcserével elérhető, hogy (;)-en legyen c) A sor szorzásával elérhető lesz, hogy (;)-en álljon d) Az első sor számszoroasait az alatta lévő sorokból kivonva elérhető, hogy (;) alatt csak legyen ) A. oszlop rendezése a) ha (;) alatt csak van, akkor a mátrix nem invertálható b) sorcserével elérhető, hogy (;)-n álljon c) a sort szorozva elérhető, hogy (;)-n legyen d) a. sor számszorosait kivonva a többi sorból elérhető, hogy az oszlopban a többi sorban csak legyen Def: Az A n x m-es mátrix transzponáltja az m x n-es mátrix, amelynek (i;j)-edik eleme a j i Jele: [A T A tükrözése a főátlóra Pl.: [ 5 4 =[ 5 4 Tétel: A transzponálás tulajdonságai: a) (ca) T = ca T b) (A + B) T = A T + B T c) (AB) T = B T A T Biz: c) (B T A T ) i j = (B T i-ik sora)(a T j-ik oszlopa) = (A j-ik sora)(b i-ik oszlopa) = = (AB) j i = ((AB) T ) i j Def: Vektortér (bináris tér) Egy V halmaz (elemei síkvektorok), ha ) Minden v, w vektorhoz tartozik egy v + w-vel jelölt vektor ) u + v = v + u minden V-beli u, v-re ) (u + v) + w = u + (v + w) minden u, v, w 4) létezik V, melyre u + = u minden u 5) minden u-hoz létezik u (-u benne van a V halmazban), melyre u + (-u) = 6) minden c valós vagy komplex számra, és minden V-beli v vektorra létezik V-beli cv (a vetkortér valós, ha c valós szám, komplex, ha c komplex szám 7) c(u + v) = cu + cv minden c, u, v 8) (c + d)u = cu + du minden c, d, u 9) c(du) = (cd)u ) u = u Pl.: minden vektortérben a) a egyértelmű b) -u = (-)u c) u =

Példák: ) V = {[a;b-n értelmezett összes valós értékű függvény} ) V = { x -es valós mátrixok} ) V = {(c n ) valós sorozatok} Pl.: (ca) - = (/c)a - (AB) - = B - A - Def: altér: A W V-beli részhalmazt altérnek nevezzük, ha W is vektortér a V-beli műveletekre Áll: A W V-beli részhalmaz altér a két vektorművelet nem vezet ki W-ből W-beli w ; w esetén c w és w + w is elem W-nek Biz: a műveleti azonosságok továbbra is fennállnak létezik, mert W-beli w miatt w =, ami eleme W-nek létezik -w = (-)w, ami szintén eleme W-nek Pl.: - a sorozatok vektorterében altér a konvergens sorozatok összessége nem altér viszont a divergens sorozatok összessége - a függvények vektorterében altér ([a;b (a;b szakaszon folytonos függvények) összessége - altér a {legfeljebb -ad fokú polinomok összessége} nem altér a [-ad fokú polinomok összessége Def: A v ;v ; ; v n eleme V vektorok lineáris kombinációja c v + c v + + c n v n A lineáris kombináció triviális, ha c = c = = c n = Def: A v ; ; v n vektorok lineárisan függetlenek, ha c v + + c n v n = c = = c n = v ; ; v n lineárisan összefüggő, ha nem lineárisan független, ilyenkor c v + c n v n = miatt minden c i esetén v i a vektor lineáris kombinációja Pl.: v lineárisan összefüggő v = {v ; v } lineárisan összefüggő c v = v c v = v Tétel: Ha v ; ; v n V-beli vektorok, akkor a W = {c v + + c n v n ; c ; ; c n valós számok}, W V részhalmaza, W részhalmaz altere V-nek W = Lin(v ; ; v n ), a v ; ; v n által generált (kifeszített) altere V-nek Biz: Két lineáris kombináció összege, és egy lineáris kombináció konstansszorosa is lineáris kombináció Def: {v ; ; v n } vektorrendszer generátorrendszer V-ben, ha V = Lin{ v ; ; v n }, azaz ha minden V-beli v felírható v = c v + + c n v n alakban Pl.: {; x; x ; x } generátor rendszer a legfeljebb -adfokú polinomok vektortérben, sőt bázis, mert c + c x + c x + c 4 x = Def: {v ; ; v n } bázis V-ben, ha lineárisan független generátorrendszer Tétel: {v ; ; v n } bázis V-ben minden V-beli v egyértelműen felírható v = c v + +c n v n alakban Biz: generátorrendszer van felírás lineáris függetlenség nincs egynél több felírás

[ [ Pl.: [ ; [x x = x x x4 [ ; [ + [ ; x [ + [ bázis x R4 -en [ + x 4 [ Módszer lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázistulajdonság eldöntésére: Legyen V-ben bázis {e ; ; e n }. Felírjuk v ; ; v n -t ; v j = α j e + α j e + + α nj e n [α ij = [αi αi... αn............ αn αn... αnn Sortranszformációk: minél több oszlop legyen egy -sel és n -val, az -esek különböző magasságokban (szabályos oszlopok). Ha több szabályos oszlop nem készíthető [az eddigi -esek sorain kívül minden sor, akkor: a) A szabályos oszlopoknak megfelelő v i -ik lineárisan függetlenek, a többi v j felírható ezen v i -ik lineáris kombinációjaként, melynek együtthatói a v j oszlopában vannak b) {v ; ; v n } lineárisan független minden oszlop szabályos generátorrendszer n db szabályos oszlop van bázis m = n és n db szabályos oszlop van között? Pl.: Hány független van v = [ ; v = [ 5 ; v = 6 ; v 4 = 7 vektorok [ 6 7 ' ' 5 [ 8 ' ' 5 [ 9 ' ' 7 9 [ 79 A kiindulási v ; v ; v 4 lineárisan függetlenek, v pedig felírható velük 79 v = v v 9 v 4

Van n = szabályos oszlop v ; v ; v 4 generátorrendszer, lineárisan függetlenek is {v ; v ; v 4 } bázis R -ban Tétel: Ha van n elemű bázis, akkor: a) bármely lineárisan független vektorrendszer legfeljebb n elemű b) bármely n elemű lineárisan független rendszer bázis c) bármely generátorrendszer legalább n elemű d) bármely n elemű generátorrendszer bázis Köv: V-ben bármely két bázis ugyanolyan elemszámú Def: A vektortér dimenziója bármely bázisának elemszáma, dim (V) Tétel: dim (V) = n van n db független vektor, de n + már nincs van n elemű generátorrendszer, de n elemű már nincs Pl.: A x -as valós mátrixok vektorterének dimenziója 6 [ a a a b b b [ = a [ + a [ + a + + b [ + b [ + b [ Pl.: R n dimenziója n, egy bázis [. i.. i-edik pozíción van az -es, i-edik bázisvektor Def: Az A m x n-es mátrix oszloprangja a lineárisan független oszlopvektorok maximális száma Az A sorrangja a lineárisan független sorvektorok maximális száma Tétel: Az oszloprang nem változik a sor- és oszloptranszformáció során. A sorrang sem Pl.: [' ' 4 5 s o r [' ' 4 5 7 7 4 7 7 4 o s z l o p [ ' 7 ' 7 4 7 7 4 Tétel: s o r [ 4/7 [ sorrang = az első sor független, az azonos sor nem számít oszloprang =

a) Bármely m x n-es mátrixra: sorrang = oszloprang rang (A) b) Elemi sor- és oszloptranszformációkkal bármely m x n -es A mátrix olyan alakra hozható, ahol a bal felső sorok k x k-s E, a többi pozíció, ilyenkor a rang (A) = k Biz: Szabályos oszlopok, az -esek sorában a többi tag -vá tehető oszloptranszformációkkal. Sor- és oszlopcserével a szabályos oszlopok az első k oszlopba, az -esek a főátlóba vihetők [ [ [ [ [ Pl.: x-as mátrix, rang = A = [ rang = A bármely két sora párhuzamos vagy bármely két oszlopa párhuzamos [ c c αc αc αc [, c = c = c > vagy αc αc αc c c c Lineáris egyenletrendszerek: rang = van két független sor, de nincs van két független oszlop, de nincs rang = ilyen nincs, mert nem lehet független sora, mert csak van a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b......... a m x + a m x + + a mn x n = b m Ha A = [a J m x n ; x = [x... ; b = xn [ b..., akkor Ax = b bm Pl.: x + y = x + y = 5x + y = 8 [ 5 [ x y [ 8 = A x b

Pl.: Legyenek A oszlopai a ; a ; ; a n, azaz A = [a ; a ; ; a n. Akkor Ax = b alakja x a + + x n a n = b Pl.: x [ 5 + y [ 4 = [ 8 A) Mikor van megoldás? Tétel: Ax = b lineáris egyenletrendszer megoldható rang (A) = rang ( A; b) Biz: létezik megoldás b eleme dim (a ; a ; ; a n ) dim ( a ; a ; ; a n ) dim = rang (A) dim ( a ; a ; ; a n, b) rang (A, b) Megj.: - rang (A) < rang (A, b) esetén az egyenletek ellentmondásosak - rang (A, b) = k van k db független egyenlet - rang (A) < rang (A, b) miatt egyszerre k sor A-ban már összefüggő. Ezen összefüggés szerint lineárisan kombinálva a k db egyenletet minden változó kiesik C = (ez ellentmondás) B) Mikor egyértelmű a megoldás? Áll.: Ax = b A(x x*) = Ax* = b Ezért Ax = b -nek megoldása van Ax = -nak csak x = a megoldása Tétel: Ax = b egyértelműen megoldható rang (A) = rang (A,b) = n Biz: x a + + x n a n = b egyértelmű a ; ; a n lineárisan függetlenek rang (A) =n Azaz a megoldás egyértelmű van n db független egyenlet C) Hogyan számoljuk ki a megoldásokat? [ A b- sortranszformációkat végzünk, A-ban minél több szabályos oszlop legyen. Ezen oszlopok -eseit sorcserével az első k sorba visszük Ilyenkor A-ban a k-ik sor alatt csupa van α)b oszlopában a k-ik pozíciók alatt van. Akkor Ax = b-nek nincs megoldása β)ha b oszlopában a k-ik pozíció alatt csupa van, akkor van megoldás A nem szabályos A oszlopoknak megfelelő x i -k szabadon választhatók, a szabályos oszlopok változói kifejezhetők az -eseknek megfelelő sorból Pl.: 5 [[ 5 [[ [ 4 [ 4 nincs megoldás x paraméter x = x

[[ 5 4 x = x 5x x 5 x 4 = - x x x 6 = + x 4x x = 4 5x [ A, 4, 6 oszlop szabályos x ; x ; x 5 szabad paraméter Magyarázat: Ax = b BAx = Bb [ A b [BA Bb Megj: Ha A invertálható, akkor Ax = b x = A - b Pl.: x y + 4z = x + y z = x + z = x + y = -4 4 [[ ' ' [ [ [ [ 4 ' ' 4 [[4 9 4 7 5 4 x = 9 4 [ 5 7 4 4 [[ 4 [ 9 9 4 y = 4 9 4 = 5 4 Pl.: x + y z + 4u = x y + z + u = x + 7y 4z + u = a z= 7 [' ' 4 a 7 4 [ 4 5 7 a 5 a = 5 [ 4 5 7 5 7 a [ /5 6/5 4/5 /5 7/5 /5

z; u paraméter x = y = 4 5 5 z 6 5 u 5 5 z 7 5 u D) Hány szabad paraméter lesz a megoldásban? Tétel: Ha A m x n-es, akkor Ax = homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai vektorteret alkotnak R n -en, dim = n rang (A) Köv: Ha Ax = b megoldható, akkor megoldásai az n -rang(a) szabad paraméter lesz [ [x u [ 6 5 5 y 7 Pl.: = z + u z 5 5 x = 5 z 6 5 u y = 5 z 7 5 u dim = = n rang(a) = 4 = Def: p: {;;...; n} {; ; ; n} permutációi p(); ; p(n) az ; ; n számok egy felsorolása A p(i) és p(j) inverzióban áll, ha (i j)(p(i) p(j)) <. A p inverziószáma I(p), az inverzióban álló párok. A p permutációi páros, ha I(p) páros páratlan, ha I(p) páratlan Pl: I(p) = 4 I(p) = 4 I(p) = Áll: Ha p-ben két elemet felcserélünk, a paritás megváltozik Def: Az A n x n-es mátrix determinánsa A = det(a) = (-) I(p) a p() a p() a np(n) p p permutációi ; ; ; n -nek Pl.: det[a = a az egy elemű determináns egy szám det a b c d = ad bc, mert ad = a a p = (;); I(p) = bc = a a p = (;); I(p) =

det [a a a b b b c c c = a b c + a b c + a b c a b c a b c a b c a b c = a a a p = (;;); I(p) = Tétel: A determináns tulajdonságai a) det(a T ) = det(a) b) Sortranszformációknál: b) egy sort c-vel szorozva a determináns c-szeresére változik b) két sort felcserélve a determináns (-)-szeresére változik b) egyik sorhoz egy másik sor konstans szorosát adva a determináns nem változik c) Oszloptranszformációknál: ugyanígy d) Ha a mátrixnak van sora, vagy oszlopa, a det = e) Ha a mátrixnak van két egyforma sora, vagy oszlopa, a det = f) Ha a mátrix egyik oszlopa két vektor összege, akkor det[a ; ; a j ; b + c; a j+ ; ; a n = = det[a ; ; a j ; b; a j+ ; ; a n + det[a ;... ; a j ; c; a j+ ; ; a n g) Ha a főátló alatt, vagy a főátló fölött csupa van, akkor det(a) = a a a nn h) det(e) = i) det(ab) = det(a)det(b) j) det(a - ) = det A Pl.: Biz: b) p permutációban i és j helyet cserél j) det(a)det(a - ) = det(aa - ) = det(e) = 5 = 4 Pl.: 5 6 9 (-)**5**4*(-)I(p) = - p = (5 4 ); I(p) = 6 9 = (-) 5 = - 5 = - 5 6 6 6 5 = = - 5 55 = -***(-55) = 65 Pl.: 7 6 = 6 7 5 7 = -6* = -546 6 7 6 Def: Ha A n x n -es mátrixból elhagyjuk az i-edik sort és a j-ik oszlopot, a keletkező (n )x(n )-es mátrix determinánsát (-) i+j -vel szorozzuk, A i j az i, j-hoz tartozó előjeles determináns A-ban

Tétel: a) Determináns kifejtése i-ik sora szerint det(a) = a i A i + a i A i + + a in A in b) Determináns kifejtése a j-ik oszlop szerint det(a) = a j A j + a j A j + + a n j A n j Pl.: 5 6 9 6 kifejtése a). sor szerint: det = 6 9 6-9 + 5 6 6 b). oszlop szerint: det = 9 + (-6) 5-6 5 9 = *5 + 5 = 65 = 5 + 6 + 9 = 65 Tétel: Ferde kifejtési tétel a) Ha egy sor elemeit egy másik sorhoz tartozó előjeles aldeterminánsokkal szorozzuk; az összeg a r A i + a r A i + + a rn A in = ha r b) oszlopokra hasonlóan a r A j + a r A j + + a nr A nj = ha r j Def: Legyen A n x n-es  = [A j i n x n (nem A i j!!!) Tétel: a) Kifejtés és ferde kifejtés sorszerint: A  = det(a)e b) Kifejtés és ferde kifejtés oszlop szerint: ÂA = det(a)e Tétel: Ha A négyzetes, akkor A invertálható det(a) és A - = (/det(a))*â Biz: Ha det(a), akkor A = det(a)e miatt A((/det(A))*Â) = E Ha det(a) =, akkor A nem lehet invertálható, mert det(a)det(a - ) = Tétel: Cramer-szabály: lineáris egyenletrendszer megoldása determinánsokkal x = det b ;a ;... ;a n det= A x = det a ;b ;... ;a n det A x n = det a ;... ;b det A

Pl.: x + y = x + 4y = 4 x = 4 = 5 y = 4 = 5 Pl.: A = [ a b c d [ Â = d b c a Pl.: A = A - = (/det(a))â = [ 4 5 esetén 6 ad bc [ d b c a (Â) ; = A = - = Tétel: Ha A n x n -es, akkor det(a) <=> rang(a) = n Biz: rang = n <=> az összes oszlop független <=> lehet E-t létrehozni sortranszformációkkal <=> A invertálható <=> det(a) Tétel: Ha A m x n-es mátrix, akkor rang(a) = k <=> van k x k-as nemnulla aldetermináns, de minden (k+)x(k+)-es aldetermináns [aldetermináns: tetszőleges k sor, és tetszőleges k oszlop találkozási pontjaiban adódó k x k-as mátrix determináns Pl.:det(cA) c det(a), helyette det(ca) = c n det(a) det(a+b) det(a) + det(b) det(ab) = det(a)det(b) Lineáris operátorok: Def: V és V valós vagy komplex vektortér. Egy V V leképezés lineáris operátor, ha v,w eleme V esetén A(v + w) = Av + Aw A(cv) = cav Áll: Lineáris operátornál A v = v A(-v) = -Av A(cv + + cv n ) = cav + + cav n

Def: Az A V V lineáris operátor magtere: Ker A = {v eleme V : Av = } képtere: Im A = {Av: v eleme V } Áll: Ker A altere V -nek, Im A altere V -nek Biz: Ker A esetén: Av = = Aw esetén A(cv) = cav = c =, tehát cv eleme Ker A A(v + w) = Av + Aw = + =, tehát v + w eleme Ker A Im A hasonló Pl.: R R lineáris operátor a) körüli α szögű forgatás b) középpontú hasonlóság (nyújtás) c) tükrözés egy -n átmenő egyenesre d) merőleges vetítés egy -n átmenő egyenesre Pl.: d/dx: C (R) C(R) lineáris operátor (cf)' = c f'; (f +g)' = f' + g' Ker A (d/dx) = {f: d/dx f } = konstans fügvények Im A (d/dx) = {f': f eleme C (R)} = C(R) x f folytonos => d/dx f = f(x) Pl.: A m x n -es valós mátrix definiál egy lineáris leképezést A: R n R m A(cx) = cax Ax = Ax A(x + y) = Ax + Ay Ker A = {x: Ax = } Im A = {Ax: x eleme R n } A oszlopai által kifeszített altér dim = n rang(a) dim = rang(a) Tétel: Dimenziótétel: Ha A V V lineáris, dim V véges, akkor dim V = dim Ker A + dim Im A Pl.: A m x n -es mátrix által definiált lineáris leképezés esetén: dim V = n dim Ker A = n rang(a) dim Im A = rang(a) Műveletek lineáris operátorok között: Def: A,B: V V esetén ca: V V, (ca)v = c(av) A+B: V V, (A + B)v = Av + Bv Tétel: Az összes V V lineáris operátor vektortér. Tehát például A+B = B+A; A+(B+C) = (A+B)+C stb. Def: A: V V ; B: V V lineáris leképzés, akkor AB: V V

(AB)v = A(Bv) Pl.: BAv = B(Av) A: V V B: V V AB: V V BA: V V Tétel: A(BC) = (AB)C A(B+C) = AB + AC (A+B)C = AC + BC c(ab) = (ca)b = A(cB) Def: A V V injektív v w esetén Av Aw Áll: Ha A leképezés lineáris, akkor injektív <=> Ker A = {} Biz: Av = Aw <=> A(v w) = <=> v w elem Ker A Def: A: V V lineáris operátor invertálható, ha injektív és szürjektív, azaz Ker A = {} és Im A = V Ilyenkor minden V -beli v -höz van pontosan egy V -beli v, hogy Av = v, és akkor A - : V V lineáris operátor A - : v = v, amire Av = v Áll: Ha A: V V és B: V V lineáris leképezés invertálható, akkor AB: V V is invertálható és (AB) - = B - A - Tétel: Legyen V ;V valós vagy komplex legyen {b ; ; b n } bázis V -ben {f ; ; f n } tetszőleges V -ben Akkor van pontosan egy A: V V lineáris leképezés, amelyre Ab i = f i ; i= ; ; n Biz: minden V -beli v egyértelműen felírható v = α b + + α n b n alakban => Av = α Ab + + α n Ab n = α f + α n f n Az α b + + α n b n α f + α n f n leképezés lineáris Def: Legyen A: V V lineáris operátor E={e ; ; e n } bázis V -ben F={f ; ; f n } bázis V -ben Ae j -t felírjuk az F bázisban: Ae j = a j f + a j f + + a mj f m A = [a ij m x n -ben a j-ik oszlop az Ae j együtthatói az F bázisban A az A lineáris operátor mátrixa az E;F bázispárban; jele: A E;F Formálisan: [f ; ; f m A E;F = [Ae ; ; Ae n Def: E bázis V -ben, v eleme V, v = α e + + α n e n [α Akkor v E =... αn Tétel: Ha A: V V lineáris, E bázis V -ben, F V -ben, akkor v eleme V esetén Av F = A E;F v E

Biz: [f ; ; f m A E;F v E = A[e ; ; e n v E = Av = [f ; ; f n Av F Mi lesz AB mátrixa?: Tétel: A: V V B: V V lineáris operátorok V -ben bázis E, V -ben bázis F, V -ban G Akkor AB E;G = A F;G B E;F Mi lesz A - mátrixa? Biz: ABv G = A(Bv) G = A F;G Bv F = A G B F v E = AB E;G v E AB E;G = A F;G B E;F Tétel: Ha A: V V invertálható, akkor A - F;E = (A E;F ) - Pl.: A: R R, körüli pozitív forgásirányba való α szögű elforgatás F = {i; j} i= [ ; j= A E;E = [ cosα sin α sin α cosα A n (A n ), azaz [ n cosα sin α sin α cosα cosnα sin nα = [ sin nα cosnα Hogyan változik meg egy vektor felírása báziscserénél? a) Egyetlen bázisvektort cserélünk: [b b E =... ; v bn [v E =... vn A b bevihető a bázisba olyan e i helyre, melyre b i Speciel, ha b n, akkor b = b e + + b n e n e = v = v e + v e + + v n e n = v b b + (v - v bn b - b b e - - b b ) e bn + + (v n - v b ) e n bn b e n

[b b v...... bn[v vn [ vn bn v [... v b b v b v b... v E v koordinátái a {b; e ; ; e n } bázisban Sorcsere nélkül! Pl.: {e ; e ; e ; e 4 } b = e e + e + 4e 4 v = e + e + e + e 4 b bevonható-e e helyére? [ = 4 b E v E [ 7 azaz v = -e + 7e + b e 4 b E' v E' b) több bázisvektor (akár egész bázis) cseréje [....... [............ sortranszformációk.............. b E b ke v E v E' Pl.: {e ; e ; e } bázis b = e + e e b = e +e b = e + 4e e v = e + e +e [ [ ' ' 7 [ 7 ' ' 4 4 4 ' 4 ' 5 b E b E b E v E b b b v b b b v {e ; b ; e }-ban {b ; b ; e } -ban [ tehát b; b; b is bázist alkot, mert sikerült őket bevonni a bázisba 6 5 4 v = 4 b + 6 b + 5 4 b

[b E ; b E ; b E ; v E sortr [E, v B [b E ; b E ; b E ; E [E, B E - => v B = B E - v E Tétel: Ha B E - = [b E ;... ; b ne, akkor a) v E = B E v B b) E b = (B E ) - b) biz: a) miatt v B = B E - v B v B = E b v E => B E - = E B Tétel: Báziscsere az operátor mátrixában A: V V lineáris operátor V -ben bázis E és E' V -ben bázis F és F' => A E';F' = ( F' F ) - E' E A E';F' = [Ae' F' ; ; Ae' nf F F' = [f F',, f nf' Spec: A: V V lineáris operátor, V-ben bázis E és E'. Akkor A E',E' = (E' E ) - A E,E E' E rövidebb jelölés: A E Def: P n {legfeljebb n-edfokú valós együtthatójú polinomok} Pl.: P P lineáris operátor mátrixa az {x +x+; x+; -x +} bázisban b b b [ E={; x; x }-ben T E = [ [ ' ' ' ' b b b Tb Tb Tb b b b Tb Tb Tb E-ben {e ; e ; b}-ben [ ' ' 4 [ 4 4 4 b b b Tb Tb Tb b b b Tb Tb Tb {b ; e ; b }-ben {b ; b ; b }

T B = 4 [ 4 4 T B = (B E ) - T E B E = [ [ [ = [ [ = [ [Tb E, Tb E, Tb E Def: A: V V lineáris operátor. Ha van egy olyan v úgy, hogy Av párhuzamos v-vel, tehát Av = λv egy v -ra ekkor λ az A lineáris operátor sajátértéke, és v a λ-hoz tartozó sajátvektor Megj: Ha v =, akkor Av = λv minden λ-ra. Viszont λ = lehet sajátértéke: Av = v = A λ = -hoz tartozó sajátvektorok összessége Ker A\{} Áll: A λ-hoz tartozó sajátvektorok összessége Ker (A λe)\{} Biz: Av λv <=> (A λe)v = Pl.: E: V V egységoperátor sajátértéke, sajátvektor minden v : V V null-operátor sajátértéke sajátvektor minden v T: R r R az origó körüli forgatás α szöggel, < α < π, nincs sajátérték Def: A λ sajátértékhez tartozó sajátaltér: Ker (A λe), az összes λ-hoz tartozó sajátvektorból és a -ból áll Miért hasznosak a sajátvektorok? Tétel: T: V V lineáris operátor B bázisbeli mátrixa diagonális <=> B a T sajátvektoraiból áll, ilyenkor a diagonálisban a sajátértékek vannak Tétel: A különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek Tb i = λ i b i, λ i λ j esetén b ; ; b n lineárisan független Biz: Indukció a) n = b lineárisan független, mert b b) n n I. α b + α b + + α n b n = II. = T(α b + + α n b n ) = α Tb + + α n Tb n az I egyenletet λ n -nel beszorozzuk, majd a két egyenletet kivonjuk egymásból I II: α (λ n λ )b + + α n (λ n λ n )b n - = => α = α = = α n = => α n = Tétel: Legyen T: V V lineáris, V-ben bázis B.

Akkor λ sajátértéke T-nek <=> det(t B λe) = λ-ban n-ed fokú polinom Tétel: λ sajátértéke A-nak <=> (A B λe) = A sajátvektorok Tétel: A λ sajátértékhez tartozó sajátvektorok As = λs <=> (A λe) = <=>(A B λe)s B = p Pl.: T: P P, T p = (x+) p [ B={; x; x ; x } T B = T Tx Tx Tx T = ; Tx = x+; Tx = x +x; Tx = x +x λ λ λ = det(t B λe) = = λ sajátérték:,,, b) sajátvektorok λ =, (T B λe)s B =, azaz [ [ [ s B = s = λ = ; s B = y y z u = [ [ ; s = +x [ y=; [ [ -x+y λ(λ )(λ )(λ ) y+z=; z+u=; u= =; =; z=; u=

λ =; s B = λ 4 = ; s 4B = [ ; [ ; [ s = + x + x [ -x+y=; s 4 = (x+) -x+y=; -y+z=; u=; u= -y+z=; -z+u=; =; Tétel: Ha T: V V lineáris, B egy n elemű bázis V-n, akkor p(λ) = det(t B λe) λ-ban n-ed fokú polinom, amely független B-től Biz: Ha áttérünk C bázisra, akkor T C λe = (C B ) - (T B λe) C B => det(t C λe) = = det((c B )- ) det(t B λe) det(c B ) => det (T B λe) = det(t C λe) det CB p(λ) a T operátor karakterisztikus polinomja Def: Az A és B mátrixok hasonlók, ha létezik olyan C n x n-es invertálható mátrix, hogy B = C - A C Tétel: Hasonló mátrixok sajátértékei megegyeznek, sőt karakterisztikus polinomjaik is Biz: A = A E, ahol E =... {[ [......[ } standard bázis Ha C = [c ; ; c n, akkor C oszlopai bázist alkotnak R n -ben és C = C E. Ezért B = (C E ) - A E C E, ezért B = A C => det(b λe) = det(a λe) Hasonló mátrixok ugyanazon operátor különböző bázisokban vett mátrixai Kapcsolat a determináns és a sajátértékek között Tétel: det(a) = λ λ... λ n, ahol a sajátértéket annyiszor kell venni, ahányszoros gyöke ő a karakterisztikus polinomnak Pl.: E sajátértéke csak a λ=, de det(e) = n, det(e λe) = ( λ) n Köv: Hasonló mátrixok determinánsai megegyezik

[ Pl.: T = sajátértékei:, -, - => det(t) = n Def: Az n x n-es A mátrix nyoma tr(a) = a ii, a főátlóban szereplő elemek összege i= Pl.: tr(t)= 6 Áll.: Ha A m x n-es és B n x m-es, akkor tr(ab) = tr(ba) n n [Biz: tr(ab) = tr(ba) = a ij b i j i= j= Tétel: Ha T:V V lineráris, akkor tr(t B ) nyoma független a B bázis választásától tr(t), operátor nyoma Biz: tr(t C ) = tr (C - T B C B ) = tr(t B C B C B - ) = tr(t B E) = tr(t B ) Köv: Hasonló mátrixok nyoma is megegyezik Tétel: tr(t) = λ + + λ n (sajátértékek összege), ahol minden λ i annyiszor szerepel ahányszoros gyöke a karakterisztikus polinomnak A determináns mint előjeles térfogat: Pl.: a b c d [ a a b [ d és c pozitív, ha [ a b [ d -ből c által kifeszített paralelogramma előjeles területe, akkor -be pozitív forgásirányon jutunk el a a a Pl.: b b b c c c [a az a, a [b b és b [c c által kifeszített paralelepipedon c előjeles térfogata, akkor pozitív, ha a, b, c jobbsodrású rendszer Tétel: a) A = [ a b c d definiál egy A:R R lineáris operátort. Bármely síkidom képének területe az eredeti terület deta -szerese és deta> esetén a körüljárás megmarad [a a a b) A = b b b esetén az A:R c c c R operátornál minden térfogat deta -szeresére változik, és deta> esetén a jobbsodrású rendszert alkotó vektorok által képezett rendszer a leképezés után is jobbsodrású marad c) Többdimenziós determinánsra hasonló Köv: det(ab) = det(a) det(b)

det(a - ) = det A Euklideszi terek: Skaláris szorzás általánosítása u = [u u v = u Tulajdonságai: ) v u = u v ) (u + v) w = u w + v w ) (c u)v = c u v 4) u u, és csak akkor =, ha u = [v v => <u;v> = u v = u v v + u v + u v Áll: a) u = u = b) (α u + + α n u n ) v = α u v + + α n u n v Def: Egy valós V vektortér valós euklideszi tér, ha van benne egy VxV R skaláris szorzás ()-4) tulajdonság) Def: Egy komplex V vektortér komplex euklideszi vektortér, ha van benne egy VxV C (a ) és a 4) teljesül, ') v u = (konjugált) v u Áll: Skaláris szorzásnál: a) u (c v) = c(u v) [u(cv) = c u v valós euklideszi térben b) v = v = c) (α u + + α n u n ) v = α (u v)+ + α n (u n v) u(α v + + α n v n ) = α (u v) + + α n (u n v) Pl.: R n -ben x y = x y + + x n y n C n -ben x y = x y + + x n y n (x x = x + + x n ) Pl.: C[a;b-n b (=> <f;f> = f ) a b <f;g> = f(x) g(x) dx (valós függvények) a b <f;g> = f(x) g(x) dx (komplex függvények) a Vektor hossza Def: v = v v (a vektor euklideszi normája) Pl.: R n -ben x = x... x n b

C[a;b-n f = a a b f Tétel: Cauchy-Bunyakovszky-Schwarz (CBS) egyenlőtlenség euklideszi térben u v u v és egyenlőség <=> ha u és v párhuzamos Biz: ( u c v) (u c v) = u u c v u u c v c v c v u c u v c v u v Legyen c = v v rendezve u v u - v, akkor u u v v u v u v v u v u v v 4 v = u u v v egyenlőség <=> u c v = => u és v párhuzamos Pl.: x... x n n x... x n n, mert + x +...+x n n x... x n Áll.: A norma tulajdonságai: a) u és = <=> u = b) cu = c u c) u + v u + v Pl.: x y... x n y n x... x n y... y n Def: u és v merőleges, ha u v = u v = u v cosα Def: Valós euklideszi térben az u és v vektorok hajlásszöge α π, ha cos α = - u v u v a CBS miatt u v u v π Pl.: C[; π-ben <f;g> = fg α és sin α szöge cos α = x sin x dx x ;sin x x ; x sin x ;sin x = = π x dx π sin x dx cos x π π π π = 6 π

π π x sin x dx = [-x cos x π + cos x dx = -π cos π = π Pl.: Pithagorasz-tétel Ha u és v merőleges, akkor u+v = u + v Biz: Ha u v =, akkor u + v = <(u + v); (u + v)> = < u; u > <u ; v> u Def: {e ; e ; ; e n } bázis ortogonális bázis, ha e i e j = (i j) ortonormált bázis, ha ortogonális bázis és e i = minden i-re Tétel: Ha {e ; e ; ; e n } ortogonális bázis, akkor v = v e e e... v e n e n e n Biz: v = α e + + α n e n / e (skaláris szorzás) v e = α e e + α e e + +α n e n e e => α = v e e Spec: Ortonormált bázisban v = (v e ) e + + (v e n ) e n < u ;v < v ;v > v Áll: Bármely v felírható egy b-re párhuzamos és egy b-re merőleges vektor összegeként v = v b b b b v v b b b b Tétel: Legyen S altér a V euklideszi térben. Akkor bármely V-beli v felbontható egy S-beli és S- re merőleges vektor összegére. Ha S-ben {e ; ; e n } ortogonális bázis, akkor n v e v = k k = e k e v v e k k k e k e Megj.: v e k e k e k eső komponense a v vektor merőleges vetülete az S altérre, azaz a v vektor S altérbe Tétel: Projekció tétel: Ha v nem eleme az S altérnek, akkor S-nek a v-hez legközelebb eső pontja éppen a v-nek az S-re vett merőleges vetülete. Azaz v s minimális akkor, ha s = [(v e i )/ e i e i Pl.: V = C[-; e x merőleges vetülete P -re {; x} bázis P -ben <f;g> = f g -

<; x> = x dx = => {; x} ortogonális báziscsere - vetület = < e x ; > < ex ;> x= x x e x dx=[x e x Hogyan készítünk ortogonális bázist? Tétel: Gram Schmidt ortogonalizáció: c = b c = c = b b c c c b c c c... k b c k = b k k c i i= c i c i e x dx dx e x dx=[ x e x = e x e x dx x dx e e = e Ha {b ; ; b n } bázis a V euklideszi térben Def: Az n x n-es mátrixnak az adjungáltja A* = A T Áll: (A + B)* = A* + B* (c A)* = c A* (A B)* = B* A* Def: A T: V V lineáris operátor adjungáltja az a T*: V V lineáris operátor, amelyre <Tv, w> = <v, T*w> minden V-beli v, w-re Tétel: Ha E ortonormált bázis, akkor T* E = (T E )* Biz: ONB-ban v = <v;e > e + + <v; e n > e n Spec: Te i = <Te i, e > e + <Te i, e > e + + <Te i, e n > e n => T E = (<Te j ; e i >) n i j= Def: Legyen V egy komplex euklideszi tér és T: V V lineáris operátor. T unitér, ha T* = T -, azaz T*T = TT* = E Ha V valós euklideszi tér, akkor T: V V lineáris operátor ortogonális, ha T T = T -, azaz TT T = T T T = E Megj: Tv = <Tv; Tv> = <v; T*Tv> = <v, v> = v Az unitér vagy ortogonális operátor a vektor hosszát nem változtatja meg Tétel: Az unitér (ortogonális) operátorok jellemzése Legyen V komplex (valós) euklideszi tér, T: V V lineáris operátor Akkor ekvivalensek: a) T unitér (ortogonális)

b) bármely ONB-ben T*=T - (T T = T - ) c) bármely ONB-ben T oszlopai ortonormáltak d) bármely ONB-ben T sorai ortonormáltak e) T skaláris szorzattartó: <Tu; Tv> = <u; v> minden V-beli u,v-re f) T normatartó: Tu = u minden V-beli u-ra g) Komplex V esetén van olyan <e ; e ; ; e n > ONB V-ben, hogy Te i = λ i e i λ i = minden i-re Megj: g) valós vektortérben nem igaz pl.: R -en egy forgatásnak nincs sajátértéke, ortogonális transzformáció Pl.: R R ortogonális transzformációi forgatás körül és/vagy tükrözés egy -n átmenő egyenesre [ cosα sin α sin α cosα [ vagy cosα sin α sin α cosα g) helyett valós vektortérben: Tétel: A T: V V lineáris operátor ortogonális <=> ha van olyan ONB, hogy T E a főátló mentén legfeljebb x-es blokkokra bomlik, amelyek önmagukban is ortogonális mátrixok x-es blokkban vagy (-) A blokkokon kívül minden elem Def: Ha V komplex (valós) euklideszi tér, A: V V lineáris operátor A önadjungált (szimmetrikus) A* = A (A T = A) Tétel: önadjungált operátor jellemzői: Legyen V komplex (valós), A: V V lineáris operátor, akkor ekvivalens: a) A önadjungált (szimmetrikus) b) Bármely ONB-ben A*=A (A T = A) c) Van olyan {e ; ; e n } ONB, hogy Ae = λ i e i λ i eleme R; i =,, n Tétel: A: V V önadjungált (szimmetrikus) <Au; u> = <u; Av> minden u;v-re Pl.: R szimmetrikus transzformációi c) alapján létezik s ; s, a két vektor merőleges, s irányában λ -szeres nyújtás, s irányában λ - szeres nyújtás A s = [ λ λ Pl.: R szimmetrikus és ortogonális, ha transzformációi <=>merőleges sajátvektorok; +/- sajátértékek λ = λ = => A= E = - => A = -E λ = ; λ = - => A tükrözés s egyenesére Def: Az A valós, szimmetrikus mátrixhoz tartozó kvadratikus alak n n <Ax, x> = x T Ax = a i j x i x j i= j=

Pl.: [ 5 -hoz tartozó kvadratikus alak [x,y [ 5 [ x y [ = [x, y x y x 5y = x + xy + xy + 5y = x + 6xy + 5y Pl.: x + xy + y + 4yz + 6xz + 8z kvadratikus alakot adó mátrixa 8 [ Tétel: Főtengelytétel: Ha A valós szimmetrikus mátrix, akkor van olyan {e ; ; e n } ONB, amelyben az A-hoz tartozó kvadratikus alak négyzetösszeggé válik, azaz n x T Ax = α i λ i, ahol x = α i e i és Ae i = λ i e i i= i=; ; n Biz: x = α i e i => Ax = α i λ i e i => x T Ax - <Ax, x> = < α i λ i e i, α i e i > = α i λ i Pl.: 5x 4xy + 8y = milyen görbe egyenlete? A = [ 5 8 [, 5 λ 8 λ = (λ 5)(λ 8) -4 = λ λ + 6 = (λ 4)(λ 9) λ = 4 [ 4 s = / 5 [