Csoporthatások. 1 Alapfogalmak 1 ALAPFOGALMAK. G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül

Hasonló dokumentumok
MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

Ha G egy csoport, akkor g G : gg = Gg = G (mert gg G evidens és y G : y = g(g 1 y) gg, tehát G gg, ahonnan G = gg, hasonlóan a másik).

MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)

Csoportok II március 7-8.

1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!

Algebra gyakorlat, 4. feladatsor, megoldásvázlatok

Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

Itt és a továbbiakban a számhalmazokra az alábbi jelöléseket használjuk:

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Algebra jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak. Horváth Gábor

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

A fontosabb definíciók

Lie-csoportok. 1. Folytonos csoportok 1 FOLYTONOS CSOPORTOK. Kontinuum számosságú csoportok esetén elemek jellemzése valós paraméterek

Csoportelmélet jegyzet

2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia

Homogén struktúrák reduktjai

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Fejezetek az algebrából jegyzet másodéves Matematika BSc hallgatóknak

DiMat II Végtelen halmazok

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Egy kis csoportos elmélet

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar. Paradoxonok. Diplomamunka. Kövesdi Péter. Matematika tanári szakirány.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

n =

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

1. Mellékosztály, Lagrange tétele

4.2. Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon. Legyen továbbá B X, amelyre

Opkut deníciók és tételek

Matematika (mesterképzés)

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé. (Albert Einstein) Halmazok 1

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

A matematika nyelvér l bevezetés

Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )

Mindent olyan egyszerűvé kell tenni, amennyire csak lehet, de nem egyszerűbbé.

Elliptikus 3-sokaságok

1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?

Kronecker-modulusok kombinatorikája és alkalmazások

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

Csoportelmélet jegyzet november 7.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

SE EKK EIFTI Matematikai analízis

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Waldhauser Tamás december 1.

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Mátrixfüggvények. Wettl Ferenc április 28. Wettl Ferenc Mátrixfüggvények április / 22

Kvantum marginális probléma és összefonódási politópok

A Kocka és ami mögötte van

SZÁMÍTÁSTUDOMÁNY ALAPJAI

Véges testek és alkalmazásaik

2 ) x G : xhx 1 = H, 3 ) x G : x 1 Hx = H. Tehát H akkor és csak akkor normálrészcsoport, ha H minden konjugáltja egyenlő H-val, lásd 4.F. szakasz.

Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

17. előadás: Vektorok a térben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

Gy ur uk aprilis 11.

Az általános (univerzális) algebra kialakulása,

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.

Diszkrét matematika 2.

Formális nyelvek - 9.

MBN412G: ALKALMAZOTT ALGEBRA GYAKORLAT ÁPRILIS 26.

Diszkrét matematika I.

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28

A Matematika I. előadás részletes tematikája

1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes

Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Malinoczki Gergely. Galois-elmélet és alkalmazásai

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

1. tétel Halmazok és halmazok számossága. Halmazműveletek és logikai műveletek kapcsolata.

? szimmetrikus antiszimmetrikus reflexív tranzitív egyik sem?

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

A Formális nyelvek vizsga teljesítése. a) Normál A vizsgán 60 pont szerezhet, amely két 30 pontos részb l áll össze az alábbi módon:

Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető, hogy

Diszkrét matematika 2.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Lineáris algebra mérnököknek

13.1.Állítás. Legyen " 2 C primitív n-edik egységgyök és K C olyan számtest, amelyre " =2 K, ekkor K(") az x n 1 2 K[x] polinomnak a felbontási teste

3. Feloldható csoportok

Diszkrét matematika 1. középszint

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

matematika alapszak Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária

Készítette: Fegyverneki Sándor

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Matematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

µ: U U U folytonos leképezés, µ ( α, β ) az α és β paraméter-vektorú csoportelemek szorzatának paraméter-vektora

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Transzformációcsoportok jegyzetvázlat

Modern algebrai módszerek fizikai alkalmazásai. Makai Mihály Budapesti Műszaki Egyetem Nukleáris Technikai Intézet KFKI Atomenergiakutató Intézet

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Átírás:

1 ALAPFOGALMAK Csoporthatások 1 Alapfogalmak G csoport hatása az X halmazon egy olyan µ: G X X leképezés, amelyre teljesül és µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) µ(1 G, x) = x minden g, h G és x X esetén. Multiplikatív jelölés: gx = µ(g, x) ha g G és x X.

1 ALAPFOGALMAK Multiplikatív jelölésmódban a csoporthatás deníciójában szerepl feltételek és g(hx) = (gh)x 1 G x = x Észrevétel. Az egyes g G elemekre értelmezett µ g : X X x gx leképezések bijektívek, és teljesül µ g µ h =µ gh, azaz µ : G Sym(X) g µ g egy m velettartó leképezés (hatás-homomorzmus).

1 ALAPFOGALMAK Példák: 1. ν X triviális hatás, ahol gx=x minden g G és x X-re. 2. G csoport λ G : G G G (g, h) gh és ρ G : G G G (g, h) hg -1 bal-, ill. jobbreguláris hatása önmagán. 3. Lineáris csoportok hatása vektorok összességén. 4. Geometriai alakzat szimmetriacsoportjának hatása pontjainak, ill. kitüntetett részalakzatainak (csúcspontok, élek, stb.) halmazain. 5. G csoport H <G részcsoporthoz tartozó µ G/H : G (G/H) G/H (g, xh) (gx)h coset-hatása a (baloldali) mellékosztályok G/H halmazán.

1 ALAPFOGALMAK µ 1 :G X 1 X 1 és µ 2 :G X 2 X 2 csoporthatások ekvivalensek, jelben µ 1 = µ 2, ha létezik olyan λ:x 1 X 2 bijektív leképezés, hogy µ 2 =λ µ 1, vagyis λ(gx) = gλ(x) minden g G és x X esetén. Észrevétel. Ekvivalens hatások alaphalmazainak számossága megegyezik. Feladat: adott csoport összes hatásának osztályozása ekvivalencia erejéig. Példák: 1. ν X és ν Y triviális hatások ekvivalensek, ha X = Y. 2. λ G bal- és ρ G jobbreguláris hatások mindig ekvivalensek. 3. µ G/H és µ G/K coset-hatások akkor ekvivalensek, ha H és K konjugált részcsoportjai G-nek.

2 AZ ORBIT-STABILIZÁTORTÉTEL 2 Az orbit-stabilizátortétel =W X stabil részhalmaz, ha gw =W minden g G-re, ahol gw = {gx x W } Hatás lesz kítése egy W X stabil részhalmazra: µ W : G W W (g, x) µ(g, x) Pálya: minimális stabil részhalmaz. Pályák partíciónálják X-et: két pálya vagy megegyezik egymással, vagy diszjunkt, és uniójuk kiadja X-et egyazon pályához tartozni egy ekvivalencia-reláció, és minden stabil részhalmaz el áll pályák uniójaként.

2 AZ ORBIT-STABILIZÁTORTÉTEL Kvóciens-tér: pályák összessége G\X = {Gx x X} x 1, x 2 X egyazon pályához tartozik x 2 =gx 1 valamely g G-re Egy hatás tranzitív, ha csak egy pálya van (maga az X alaphalmaz), azaz a kvóciens-tér egyelem. Hatás lesz kítése egy pályára mindig tranzitív. Minden cosethatás tranzitív (ideértve a reguláris hatásokat is)! Ha gx = x, akkor { x X xpontja g G-nek g G stabilizálja x X-et

2 AZ ORBIT-STABILIZÁTORTÉTEL g G csoportelem xpont-halmaza x X pont stabilizátora Fix(g) = {x X gx=x} Stab G (x) = {g G gx=x} = G x Példa. A µ G/H cosethatás esetén Fix(g) = {xh g x H} míg az xh mellékosztály stabilizátora Stab G (xh) = xhx 1 Észrevétel. Stabilizátor mindig részcsoportja G-nek, G x < G, mert g, h Stab G (x) esetén ( gh 1) x=g ( h 1 x ) =gx=x.

2 AZ ORBIT-STABILIZÁTORTÉTEL Fix ( hgh 1) = hfix(g) és Stab(gx) = g Stab(x) g 1 Egyazon pályához tartozó pontok stabilizátorai egymás konjugáltjai. Orbit-stabilizátortétel: bijektív megfeleltetés létezik egy x X pont Gx={gx g G} pályája (orbitja) és stabilizátorának (baloldali) mellékosztályai között. Gx G/G x Következmények: 1. pálya hossza (számossága) = stabilizátor részcsoport indexe Gx = [G : G x ] 2. minden tranzitív hatás ekvivalens egy cosethatással! µ = µ G/Gx bármely x-re

3 HATÁSOK ÖSSZEGE ÉS SZORZATA 3 Hatások összege és szorzata A páronként diszjunkt X i halmazok (i I) feletti µ i :G X i X i csoporthatások µ= i I µ i összege a µ (g, x) = µ i (g, x) ha x X i módon értelmezett hatás az i I X i halmazon. Összeghatás ekvivalenciaosztálya csak a tagok osztályaitól függ, továbbá és µ 1 (µ 2 µ 3 ) = (µ 1 µ 2 ) µ 3 µ 2 µ 1 = µ 1 µ 2

3 HATÁSOK ÖSSZEGE ÉS SZORZATA Tranzitív dekompozíció: minden hatás felbontható tranzitív hatások összegére (sorrend erejéig egyértelm en)! µ = W G\X Minden µ W tranzitív összetev ekvivalens egy µ G/H cosethatással, ahol H a W valamely pontjának stabilizátora. Pályák stabilizátorok tranzitív összetev k (multiplicitással). µ W Egy-egyértelm kapcsolat hatások ekvivalencia-osztályai és részcsoportok konjugált osztályain értelmezett számosságérték függvények között!

3 HATÁSOK ÖSSZEGE ÉS SZORZATA µ 1 :G X 1 X 1 és µ 2 :G X 2 X 2 csoporthatások µ 1 µ 2 szorzata a azaz (µ 1 µ 2 ) (g, (x 1, x 2 )) = (µ 1 (g, x 1 ), µ 2 (g, x 2 )) g(x 1, x 2 ) = (gx 1, gx 2 ) módon értelmezett hatás az X 1 X 2 halmazon. Példa. Triviális hatások szorzata szintén triviális, ν X ν Y = ν X Y ; továbbá, ha X egy n számosságú véges halmazt jelöl, akkor ν X µ = µ µ }{{} n

3 HATÁSOK ÖSSZEGE ÉS SZORZATA Szorzathatás ekvivalenciaosztálya csak a tényez k osztályától függ, továbbá µ 1 (µ 2 µ 3 ) = (µ 1 µ 2 ) µ 3 µ 2 µ 1 = µ 1 µ 2 és µ 1 (µ 2 µ 3 ) = (µ 1 µ 2 ) (µ 1 µ 3 ) Burnsidegy r : hatások ekvivalencia-osztályainak összessége a hatások összegének és szorzatának m veletével (valójában félgy r ). Elég ismerni a tranzitív hatások szorzatainak tranzitív dekompozícióit µ i µ j = k N k ijµ k fúziós szabályok N k ij nemnegatív egész multiplicitások a struktúraállandók.

4 PERMUTÁCIÓS HATÁSOK 4 Permutációs hatások Permutációs hatás: véges halmazon értelmezett csoporthatás (hatás foka = alaphalmaz számossága). Minden φ: G S n homomorzmus egy permutációs hatásból származik. tranzitív hatások részcsoportok konjugált osztályai véges csoportnak csak véges sok inekvivalens tranzitív hatása van! Reguláris hatás: olyan tranzitív hatás, melyben csak az egységelemnek vannak xpontjai (triviális részcsoporthoz tartozó cosethatás). Cayley tétele: minden véges csoport izomorf egy permutációcsoporttal.

4 PERMUTÁCIÓS HATÁSOK Cauchy-Frobeniuslemma: pályák száma = xpontok átlagos száma G\X = 1 G g G Fix(g) Egy ekvivalencia-reláció a hatással kompatibilis, ha x =y esetén minden g G-re gx =gy. Tranzitív hatás esetén egy-egyértelm kapcsolat hatással kompatibilis ekvivalenciák és stabilizátort tartalmazó részcsoportok között. Egy permutációs hatás k-tranzitív, ha tranzitív az X {k} ={(x 1,..., x k ) x i X, x i x j } halmazon a g(x 1,..., x k )=(gx 1,..., gx k ) komponensenkénti hatás.