Kisteljesítmény gázturbina modellezése és nemlineáris irányítása Ailer Piroska Témavezet : Dr. Sánta Imre egyetemi docens Budapesti M szaki és Gazdasá

Kisteljesítmény gázturbina modellezése és nemlineáris irányítása Ailer Piroska Témavezet : Dr. Sánta Imre egyetemi docens Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Repül gépek és Hajók Tanszék Dr. Hangos Katalin egyetemi tanár Veszprémi Egyetem Számítástudomány Alkalmazása Tanszék MTA SZTAKI Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar Repül gépek és Hajók Tanszék Budapest 2002

Tartalmi kivonat A disszertáció egy kisteljesítmény gázturbinás hajtóm dinamikus modellezésével, a modellben szerepl ismeretlen paraméterek becslésével, a nemlineáris modell analízisével és irányításával foglalkozik. A szerz értekezésében megmutatja, hogy a vizsgált gázturbina irányítási célokra alkalmas dinamikus modellje egy nemlineáris dierenciál-algebrai egyenlet-rendszer, melynek dierenciálegyenletei az égéstérre, mint mérlegelési térfogatra felírt tömeg- és bels energiamegmaradási egyenletek, valamint a forgórész mechanikai energia-megmaradási egyenlete. Az elkészített három állapotváltozós nemlineáris dinamikus modell állapotegyenletei inputan formára hozhatóak és speciális algebrai alakúak. A dinamikus modell ismeretlen statikus paraméterei a kompresszor és a turbina karakterisztikáit közelít polinomok ismeretlen együtthatói, amelyeket a szerz statikus mérések felhasználásával a legkisebb négyzetek módszerével becsüli meg.a modell dinamikus paramétereinek értékei mért egységugrás válaszfüggvények és az ismeretlen paramétereket nemlineáris alakban tartalmazó szimulációs modell segítségével becsülhet ek.a nyitott rendszer szimulációinak segítségével a szerz elvégzi a kész dinamikus modell verikálását. A dinamikus analízis vizsgálatok els lépéseként a szerz megállapítja, hogy a gázturbina linearizált dinamikus modellje a centráló munkapont körül lokálisan irányítható, meggyelhet és aszimptotikusan stabil.a nemlineáris dinamikus analízis eredményeként a szerz megmutatja, hogy a nemlineáris modell nemlineáris értelemben meggyelhet és a kontroll Ljapunov-függvény alapú nemlineáris szabályzó tervezhet sége miatt stabilizálható. A szabályozások pontos mérnöki feladatkit zéséb l kiindulva a szerz a lehetséges lineáris és nemlineáris szabályozási struktúrák közül kiválasztja a lineáris LQ szervo szabályozót, mint az irodalomból ismert alapesetet és javasol egy nemlineáris kontroll Ljapunovfüggvény alapú, blokkstruktúrájú szabályozót.a szerz - a megfogalmazott szabályozási céloknak megfelel en - mindkét szabályzót megtervezi, behangolja és a kétféle szabályzóval visszacsatolt nemlineáris modelleket számítógépes szimulációs kísérletek segítségével összehasonlítja.az összevetés eredményeként a szerz megmutatja, hogy a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozóval visszacsatolt zárt rendszer ugyanolyan, vagy kedvez bb min ségi és mennyiségi tulajdonságokat mutat, mint a lineáris LQ szervo-val visszacsatolt zárt kör jellemz i.

Abstract This dissertation concerns with dynamic modelling of a low-power gas turbine, the identi- cation of the unknown parameters of the model and the dynamic analysis and control of the nonlinear model. It is shown, that the dynamic model of the investigated gas turbine suitable for control purposes is nonlinear dierential-algebraic set of equations where the dierential equations are conservation equations describing the balances of mass and internal energy of the combustion chamber and the mechanical energy of the rotating part. The state equation of the nonlinear dynamic model with three state variables can be transformed into inputane form and has a special algebraic form. The unknown static parameters of the dynamic model are the unknown coecients of the polynomials approximating the characteristics of the compressor and the turbine, which are identied by the least squares method using static measurements. The dynamic parameters of the model can be identied by using measured step response functions and a simulation model containing the unknown parameters in a nonlinear form. The verication of the dynamic model is performed by open-loop simulations. As a rst step in dynamic analysis it is pointed out that the locally linearized dynamic model of the gas turbine is locally controllable, observable and asymptotically stable around the centered operating point. As a result of the nonlinear dynamic analysis it is shown, that the nonlinear model is observable in nonlinear sense and stabilizable because of the designability of the nonlinear controller based on the control Lyapunov-function. Proceeding from the exact engineering statement of the control problem, the linear LQ-servo controller as reference case known from the literature is chosen, and nonlinear control Lyapunov-function based block-structured controller is recommended among the possible linear and nonlinear control structures. Both controllers are designed and tuned according to the control aims and the closed-loop nonlinear systems are compared using computer simulations. As a result of the comparison it is pointed out that the system fed back by the nonlinear control Lyapunov-function based controller exhibits similar or better qualitative and quantitative behavior, than the system fed back by the LQ-servo controller.

Köszönetnyilvánítás Kutatásaimat, melynek eredményeit a dolgozat tartalmazza, a PhD. fokozat elérése érdekében 1998-tól a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Repül gépek és Hajók Tanszékén, valamint 2000-t l az Magyar Tudományos Akadémia Számítástechnikai és Automatizálási Kutató Intézet Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratóriumában végeztem. Mindenekel tt köszönetemet fejezem ki és szinte hálával tartozom témavezet imnek, Dr. Sánta Imrének és Dr. Hangos Katalinnak, akik tanulmányaim és kutatásaim során rengeteg segítséget, hasznos tanácsokat adtak és türelmesen irányították munkámat. Köszönetet mondok a Repül gépek és Hajók Tanszék vezet jének, Dr. Rohács Józsefnek és a Tanszék minden munkatársának, akik biztosítták a szükséges feltételeket és eszközöket a kutatásaimhoz. Külön köszönöm a gázturbina próbapad felállításában, m - szerezésében és üzemeltetésben résztvev knek a segítséget. Köszönettel tartozom az MTA SZTAKI Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium vezet jének, Dr. Bokor Józsefnek és a laboratórium minden munkatársának az értékes konzultációkért, a felmerül matematikai kérdések megválaszolásáért és a meleg, segít kész légkörért. Külön köszönöm Dr. Szederkényi Gábornak, több cikkem társszerz jének azt a rengeteg segítséget, kutatási, programozási tanácsot, a kapott irodalmakat és a számtalan konzultációt, melyekkel nagyban segítette munkámat. Köszönöm a Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Fels oktatási Tagozatának és a Zrínyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem Bolyai János Katonai M szaki F iskolai Kar Repül m szaki Intézet Repül Sárkány-hajtóm Tanszékének a kutatási lehet séget és a kutatásaimra fordított id biztosítását. Végül, de nem utolsó sorban, hálás vagyok szüleimnek, családomnak és barátaimnak, hogy az elmúlt négy évben segítettek, támogattak és nyugodt légkört biztosítottak nekem.

Tartalomjegyzék Tartalmi kivonat Abstract Köszönetnyilvánítás Tartalomjegyzék i 1. Bevezetés 1 1.1. Probléma-felvetés és célkit zés......................... 1 1.2. Irodalmi összefoglaló............................... 2 1.2.1. A gyakorlatban alkalmazott hajtóm -szabá lyozá sok fejl dése.... 2 1.2.2. A gázturbinás hajtóm vek modellezése és szabályozása a modern irá nyítá selmélet eszközeivel....................... 3 1.2.3. A nemlineáris irányításelmélet dolgozatomhoz kapcsolódó eredményei 5 1.3. Az értekezés szerkezete.............................. 7 1.4. Publiká ciók.................................... 8 1.5. Jelölésjegyzék................................... 9 2. A kísérleti környezet: a gázturbina-próbapad 12 2.1. A vizsgá lt gá zturbina m szaki leírá sa...................... 12 2.2. A mér rendszer ismertetése........................... 14 2.3. Statikus és dinamikus mérések......................... 16 2.3.1. Statikus mérések............................. 16 2.3.2. Dinamikus mérések............................ 17 2.4. A kísérleti adatok min ségi értékelése...................... 19 2.4.1. Statikus mérési adatok értékelése.................... 19 2.4.2. Dinamikus mérési adatok értékelése................... 20 2.5. Összefoglalá s................................... 20 3. A gázturbina dinamikus matematikai modellje 21 3.1. A modellezési cél megfogalmazása........................ 21 3.2. Modellezési feltételezések............................. 22 3.3. Megmaradá si egyenletek - dierenciá l-egyenletek............... 24 3.3.1. Megmaradá si egyenletek......................... 24 3.3.2. A gázturbina megmaradási egyenletekb l származó differenciál-egyenletei.................................... 25 3.4. Statikus, kiegészít egyenletek - algebrai egyenletek.............. 27 3.4.1. Torlóponti nyomá sok és h mérsékletek................. 27 3.4.2. A kompresszor és a turbina karakterisztiká i.............. 28 i

3.4.3. A kompresszor és a turbina karakterisztikáinak közelítése....... 29 3.5. A dinamikus modell nemlineáris egyenletei input-an alakban........ 30 3.6. Összefoglalás................................... 31 4. A modell ismeretlen paramétereinek becslése 33 4.1. A modell ismeretlen statikus paraméterei és becslésük............ 34 4.1.1. A modell ismeretlen statikus paraméterei............... 34 4.1.2. A statikus paraméterek becslési módszere............... 35 4.1.3. A statikus paraméterek becslésének eredménye............ 36 4.2. Érzékenység-vizsgálat............................... 38 4.3. Statikus pontosság................................ 40 4.4. M ködési tartomány kijelölése.......................... 41 4.5. A modell ismeretlen dinamikus paraméterei és azok becslése......... 43 4.5.1. A gázturbina dinamikus viselkedése, dinamikus mérések....... 43 4.5.2. A modell ismeretlen dinamikus paraméterei.............. 43 4.5.3. Paramétereiben nemlineáris modellek dinamikus paramétereinek becslése..................................... 44 4.5.4. A dinamikus paraméterek becslési módszere.............. 46 4.5.5. A dinamikus paraméterek becslése és a becslés értékelése....... 47 4.6. A gázturbina dinamikus modelljének verikációja szimulációkkal...... 51 4.7. Összefoglalás................................... 53 6 6 6 6 6 6 6 5. A dinamikus modell analízise 56 5.1. A modell dimenziómentes alakra hozása és centrálása............. 56 5.2. Irányíthatóság................................... 58 5.2.1. Az irányíthatóság vizsgálata lineáris modell esetén.......... 59 5.2.2. Az irányíthatóság vizsgálata nemlineáris modell esetén........ 59 5.2.3. Az irányíthatóság és a stabilizálhatóság közvetett vizsgálata bonyolult algebrai alakú nemlineáris modell esetén.............. 0 5.3. Meggyelhet ség................................. 1 5.3.1. A meggyelhet ség vizsgálata lineáris modell esetén......... 1 5.3.2. A meggyelhet ség vizsgálata nemlineáris modell esetén....... 2 5.4. Aszimptotikus stabilitás............................. 3 5.4.1. Az aszimptotikus stabilitás vizsgálata lineáris modell esetén..... 4 5.4.2. Az aszimptotikus stabilitás vizsgálata nemlineáris modell esetén... 64 5.5. Összefoglalás................................... 4 6. Lineáris LQ szervo szabályozás 66 6.1. A szabályozás célja, feladatai.......................... 6 6 6.2. Lehetséges szabályozási struktúrák....................... 6 7 6.3. Lineáris LQ szervo szabályozás elmélete.................... 6 8 6.4. Lineáris LQ szervo szabályozás tervezése a gázturbina modelljére...... 70 6.5. Összefoglalás................................... 72 7. Nemlineáris,kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozás 73 7.1. A kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozó................ 73 7.2. A kontroll Ljapunov-függvény kiválasztása a gázturbina modelljére..... 75 7.3. Stabilitást garantáló blokk............................ 76 7.4. Aszimptotikus stabilitást garantáló blokk................... 77 7.5. További munkapontok aszimptotikus stabilitása................ 79 ii

7.6. A gázturbina védelmét ellátó blokk....................... 80 7.7. Robusztusságot biztosító blokk......................... 81 7.8. Összefoglalás................................... 82 8. A lineáris LQ szervo és a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozások összehasonlítása 84 8.1. A szimulác iós kísérletek körülményei...................... 84 8.2. Szimulác iós eredmények............................. 86 8.2.1. Lineáris LQ szervo szabályozó a nemlineáris modellen........ 86 8.2.2. Nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozó a nemlineáris modellel............................... 91 8.3. A lineáris és a nemlineáris szabályozások összehasonlításának eredményei.. 93 8.4. Összefoglalás................................... 95 9. Összefoglalás 96 9.1. Új eredmények.................................. 96 9.2. További kutatási lehet ségek, irányok...................... 98 Irodalomjegyzék i Függelék A. Függelék Ábrák, diagramok B. Függelék Programlisták iii

1. fejezet Bevezetés A problémákat nem új információk segítségével oldjuk meg, hanem azáltal, hogy rendszerbe foglaljuk azt, amit már régóta tudunk. /Ludwig Wittgenstein, 1953/ 1.1. Probléma-felvetés és célkit zés A gázturbinák a h er gépek csoportjába tartoznak, ezért alapvet feladatuk a tüzel anyag h energiájának mechanikai munkává történ, minél jobb hatásfokú átalakítása. A bels égés motorokkal összehasonlítva azonban a gázturbinás hajtóm veket jellemz teljesítmény/hajtóm tömeg-viszony jelent sen nagyobb. Alkalmazási területük ezért els sorban a repülés, de emellett az iparban is sok területen használatosak. A nagy felhasználók közé tartozik például a villamos energiaipar, a gázszállítás, a légitársaságok és a Honvédség. A mai modern gázturbinás hajtóm vek szerkezetileg és m ködésileg bonyolult rendszerek. Ezeken belül a repül gép-hajtóm vek általában kétáramúak, kéttengelyesek, gyakran kever térrel és a vadászrepül gépek hajtóm vei utánéget térrel is rendelkeznek. A gázturbinás hajtóm vek szabályozási rendszerei számos célt valósítanak meg. Fontos feladat például egy repül gép hajtóm esetén az üzemmódok kialakítása és fenntartása; bizonyos szabályozó egységek pedig kifejezetten az átmeneti folyamatokat szabályozzák. A maximális hatásfokú m ködés érdekében speciális szabályozó, vagy vezérl rendszerek kerültek kialakításra (ezen a területen mutatkozik a legdinamikusabb fejl dés). Meghibásodás esetén pedig tartalék-rendszerek lépnek m ködésbe, amelyek korlátozásokat léptetnek életbe és létrehozzák a hajtóm biztonsági üzemmódját. Az alkalmazási területek fontossága, valamint az üzemeltetés igényessége és biztonsági követelményei miatt napjainkban egyre növekednek a gázturbinás hajtóm veken kialakított szabályozási rendszerek céljai, feladatköre és a szabályozások pontossága (maximális hatásfokú jelleggörbék követése) iránti igények. Szerencsére ezzel egyidej leg a szabályozások tervezése során alkalmazható módszerek is sokasodnak, a lineáris módszerek mellett egyre inkább teret nyernek a nemlineáris technikák, melyek szerepe jelent s az elektromos, mechanikai és folyamatrendszerek (például termodinamikai rendszerek) esetében egyaránt. Dinamikai modellezési szempontból a gázturbinás hajtóm egy termodinamikai-mechanikai vegyes rendszerként írható le. A modellt alkotó dinamikus és algebrai egyenletek általában nemlineárisak, melyek kezelése komplex feladat. Ezért a leggyakrabban a nemlineáris modell helyett egy, valamely munkapont körül linearizált modellt alkalmaznak a dinamikai analízis és a szabályozótervezés alapjául. Másrészr l azonban az utóbbi id ben olyan matematikai és irányításelméleti módszerek és eszközök kerültek a kutatás el terébe és kifejlesztésre, melyekkel lehet vé vált a nemlineáris rendszerek, modellek kezelése és vizs- 1

gálata nemlineáris technikákkal is. A nemlineáris modellre alkalmazott dinamikus analízis eredményei pedig jól alkalmazhatók a nemlineáris szabályozók tervezésére. Mindezen megállapítások alapján a dolgozatomban leírt kutatások célja az, hogy egy egyszer szerkezet és munkafolyamatú gázturbina példáján megvizsgáljam egy el írt szabályozási célokat megvalósító nemlineáris szabályozó kialakításának lehet ségeit, majd megtervezzek és behangoljak egy lehetséges nemlineáris szabályozót. Ezen kutatási cél megvalósítása érdekében el ször is dinamikus modellt kell készíteni,a modellben található ismeretlen paramétereket paraméter-becslési eljárások alkalmazásával meg kell becsülni,el kell végezni az elkészített modell dinamikus analízisét és végül a szabályozási célok meghatározása után kerülhet sor a nemlineáris szabályozás tervezésére. Ezek a lépések külön-külön is érdekes és értékes eredménnyel szolgálnak. 1.2. Irodalmi összefoglaló A dolgozatomban bemutatott eredmények két,eddig csak lazán kapcsolódó kutatási terület, a hajtóm vek dinamikus modellezése és szabályozása,valamint a modern rendszer- és irányításelmélet nemlineáris irányításokkal foglalkozó területének szintézisével születtek. Az irodalmi összefoglaló els részében a hajtóm -szabályozások fejl dését,annak jelent sebb lépéseit,állomásait mutatom be a szabályozás céljain és a szabályozó elemek típusain keresztül. Ez a rész tulajdonképpen a gázturbina szabályozásoknak a szakirodalomban fellelhet,már létez,gyakorlati megvalósításait foglalja össze. A hajtóm -szabályozás elméleti területének irodalmát,azaz a gázturbinák modellezésével és szabályozásával foglalkozó publikációkat a fejezet második részében ismertetem. A nemlineáris irányításelmélet dolgozatomhoz kapcsolódó eredményeit a fejezet harmadik része tartalmazza. 1.2.1. A gyakorlatban alkalmazott hajtóm -szabályozások fejl dése A gyakorlatban alkalmazott hajtóm -szabályozások fejl dését három nagy,id ben egymást követ korszakra szokás felosztani a gázturbinák szabályozásában alkalmazott elemek típusának különböz sége és fejl dése alapján. A jelent s szabályozási rendszer-állomások a következ ek: hidromechanikus szabályozó rendszerek, hibrid (hidromechanikus-elektronikus) szabályozó rendszerek és elektronikus (FADEC - Full Automatic Digital Engine Control,teljesen automatikus m ködés,digitális hajtóm szabályozás) szabályozó rendszerek. A hidromechanikus szabályozó rendszereket a gázturbinák megjelenését l és a kezdeti szabályozók kialakításától az 1970-es évekig terveztek,bizonyos repül gép típusokon a mai napig m ködnek. A hidromechanikus rendszerek maximálisan 200,a megfelel hajtóm -szabályozás létrehozásához szükséges jelet,küls és bels változó mennyiséget tudnak mérni és kezelni. Ezek a jelek lehetnek pneumatikus,hidraulikus,mechanikus, valamint diszkrét elektromos típusúak. A rendszer feladata általában a különböz üzemmódokon (alapgáz,utazó üzemmód, stb.) a fordulatszám szabályozása a tüzel anyag tömegáramának beállításával,bizonyos átmeneti üzemmódok (indítás és gyújtás,gyorsítás/lassítás) szabályozása,illetve korlátozása,valamint a kompresszor pompázs-jelenség (instabil üzemmód) megakadályozása. Az ilyen szabályozó rendszerek pozitív tulajdonsága,hogy a gázturbina teljesen üzemképes 2

marad az áramellátás elvesztése esetén. Ugyanakkor a hidromechanikus szabályozó egységgel nem lehet követni a hajtóm összes üzemi tartományában a maximális hatásfokú jelleggörbéket és a rendszer nem ismeri a hajtóm és a repül gép összes lényeges paraméterét. További hiányossága és negatívuma, hogy a szabályozó nem rendelkezik redundáns elemekkel és id r l-id re rendszeres szabályozó beállítást igényel. A hibrid szabályozó rendszer analóg/digitális jelek alkalmazásával feljavított hidromechanikus rendszernek tekinthet. Az elektronikus egység alkalmazása javítja a szabályozás pontosságát és növeli a szabályozáshoz felhasználható jelek számát, közelít leg 400-500-ra. Fontos, hogy az elektronikus rendszer kiesése csak a szabályozás pontosságának csökkenését és így a hajtóm hatásfokának romlását okozza, a teljes szabályozó rendszer azonban mégsem lesz m ködésképtelen. Korlátozottan redundáns kialaításúés általában rendszeres szabályozó beállítást igényel. Technológiai szempontból fontos átmenetet jelent a teljesen elektronikus, FADEC szabályozó rendszerek irányába. A teljesen elektronikus, FADEC szabályozó rendszer az 1980-as évek közepén jelent meg. Tulajdonképpen egy korszer digitális számítógép által felügyelt és vezérelt hidromechanikus szabályozásnak tekinthet. Éppen ezért a szabályozásban alkalmazott jelek száma a szabályozó rendszer által nem korlátozott, más tervezési szempontok határozzák meg (a gyakorlatban kb. 800 jelet használnak fel). Ezekkel a jelekkel növekszik a hajtóm vek egymás közötti, valamint a hajtóm és a repül gép közötti kommunikáció és integráció. A FADEC lényeges pozitív tulajdonságai az alábbiak: követni tudja a hajtóm teljes m ködési tartományában a maximális hatásfokújelleggörbéket, ennek érdekében a rendszer feladata a turbina h tés- és résszabályozása, a tüzel anyag és a ken olaj h mérsékletének, valamint a hajtóm gondolatér h mérsékletének szabályozása, a szívótorok jégtelenítése, a leveg szivárgások érzékelése, a mér elemek f tésének szabályozása, stb. a FADEC hibaérzékel, -t r, -behatároló, -felismer és -kijelz funkciókkal rendelkezik, ezzel megkönnyítve a hajtóm üzemeltetését és karbantartását, önellen rz és önszabályozó, az áramellátás elvesztésekor a központi számítógép leáll, ezért a rendszer többszörösen túlbiztosított és meghibásodás esetén a FADEC korlátozásokat léptet életbe és létrehozza a hajtóm biztonsági üzemmódját. A fentiekben ismertetett szabályozási rendszerek feladatköreir l, m ködésük leírásáról igen kevés irodalom található. Különösen a modernebb, FADEC szabályozóról nehéz pontos információkat szerezni. Ugyanis ezen szabályozó rendszert és különböz változatait általában a hajtóm gyártó cégek tervezik és így szigorújogvédelem alatt állnak. A fenti leírás elkészítéséhez repül gép-hajtóm vek (Boeing 737, 767) típus- és üzemeltetési leírásait tanulmányoztam át, szakemberekkel, üzemeltet kkel folytattam konzultációkat. A szabályozási rendszerekkel kapcsolatos lényeges megállapítások és jellemzések a [2], [23], [33], [56], [65] és [103] publikációkban találhatóak. 1.2.2. A gázturbinás hajtóm vek modellezése és szabályozása a modern irányításelmélet eszközeivel A gázturbinás hajtóm vek modellezése. A gázturbinás hajtóm vek modellezése területén igen sok publikáció található. A bemutatott modellek a modellezési célok és ebb l 3

következ en a modellezés mélysége és pontossága tekintetében jelent sen eltérnek. Bizonyos esetekben nem az egész gázturbinát, csupán annak egy egységét, részét, vagy egy kiválasztott munkafolyamatát modellezik. Az alkalmazott módszerek terén is nagyok az eltérések. A gázturbinás hajtóm vek modellezésével foglalkozó irodalmak a modellezés célja és módszerei szempontjából a következ csoportokba sorolhatók: A modellezési célok tekintetében az ismertetett modellek egy nagy csoportja diagnosztikai céllal készült. Ezek általában statikus, munkaponti és igen nagy pontosságú modellek [79], [80], [82]. Más diagnosztikai modellek dinamikus egyenleteket is tartalmaznak, így az átmeneti folyamatok jellemz i (például leállítás után a kifutási id ) is felhasználhatók, mint diagnosztikai jellemz k [22], [81], [83], [84]. A modellezési célok terén a másik nagy csoport az irányítástechnikai, szabályozási célú modellek, melyek általában kisebb pontosságúak. A modellek minden esetben tartalmaznak dinamikus egyenleteket [6], [10], [29], [67], [100], [101], melyek között a forgórészre felírható mechanikai energia-tárolást kifejez dierenciál-egyenlet(ek) mindig szerepel(nek). Az egyszer bb dinamikus modellek csak ezzel az egy típusú dinamikus egyenlettel rendelkeznek [6], míg a legbonyolultabb dinamikus modellek több mérlegelési térfogatra megfogalmazható tömeg- és bels energia-tároló dierenciálegyenleteket is tartalmaznak [101]. Mivel (egy kivételével) a cikkekben szerepl, tervezésre kerül szabályozó lineáris típusú, ezért a dinamikus modellek egyenleteit - a gázturbina m ködési tartományán belüli valamely munkapont körül - linearizálták. Dinamikus modelleket tartalmaznak azok az irodalmak is [31], [47], [88], melyekben a gázturbina, mint tisztán mechanikai rendszer szerepel. Ezen modellek segítségével a forgórész dinamikája, vibrációja vizsgálható és alkalmas az adott feladatnak megfelel, optimális csapágyazási rendszer kiválasztására. Nagyon fontos különálló feladat a gázturbina részegységeinek modellezése [32]. A kompresszor modell-egyenleteivel vizsgálható például a pompázs (instabil üzemmód) jelensége [46]. Közelít függvénykapcsolat megadásával el állítható a kompresszor [5], [26], [67] és a turbina [85] statikus karakterisztikája. Esetenként el fordul a gázturbina teljes mér rendszerének, vagy annak egy elemének [51] a modellezése is. A dinamikus modellek szimulációs célra is használatosak. Az elkészített dinamikus modellek egyenletei általában bonyolult algebrai alakúak, ezért a dinamikus szimulációk elkészítése gyakran nem könny feladat [19], [73]. A szimulációs kísérletek elvégzése az elkészített modell verikációjában is fontos. Sokszor dinamikus modelleket használunk a gázturbinás hajtóm vek ismeretlen paramétereinek becslésére, de az egyéb célokra kifejlesztett dinamikus modellek is gyakran tartalmaznak ismeretlen paramétereket. Ezek csak a mérések és az el z pontban említett szimulációs kísérletek összevetésével és valamilyen paraméter-becslési eljárás alkalmazásával becsülhet k meg. A paraméter-becslési eljárások egyik csoportja a linearizált modellt használja fel és frekvencia-tartománybeli módszerek alkalmazásával határozza meg az ismeretlen paramétereket [8], [13], [30], [64], [89]. A paraméterbecslési eljárások másik csoportja az eredeti nemlineáris egyenleteket alkalmazza és például a gradiens módszerrel jut eredményre [48]. A lehet ségek összegy jtése, értékelése és összehasonlítása a [7] cikkben található. Az utóbbi néhány évben több olyan publikáció jelent meg - alapvet en P. J. Flemingt l és munkatársaitól - melyekben a gázturbina modellezése és paraméter-becslése 4

kapcsán felmerül optimalizálási feladatot genetikus algoritmusok segítségével oldják meg [17], [52], [61], [68], [75]. A gázturbinák szabályozása a modern irányításelmélet módszereivel. A gázturbinák szabályozásának tervezésér l szóló, általam ismert publikációk - egy kivételével - minden esetben lineáris szabályozásokkal foglalkoznak. Ez az egy kivétel [67] egy egyszer sített egy bemenet -egy kimenet esetben nemlineáris módszerrel határozza meg a bemenet, a tüzel anyag tömegáramának egyenletét. A gázturbinára alkalmazott lehetséges lineáris szabályozások áttekintésével és fejl désével egy NASA kutatási jelentés [96] foglalkozik. Az irodalmakban tárgyalt szabályozások csoportosítása a következ : A legegyszer bb esetben a linearizált modellre egy megfelel en hangolt PI-tagot alkalmaznak szabályozóként [53]. A lineáris szabályozók közül a leggyakoribbak a lineáris kvadratikus szabályozók és azok továbbfejlesztései, változatai. LQ szabályozó tervezés található a [100], [101] cikkekben. Ahhoz, hogy a szabályozóval visszacsatolt rendszer referencia-jel (például a gázkar pozíciója) követésére alkalmas legyen, LQ szervo szabályozó tervezése szükséges [12], [66], [67]. Egy másik cikkben az LQG/LTR technikát alkalmazzák, amely magában foglalja a Kalman-sz r tervezését és így a nem mérhet állapotok becslését is [10]. A modellben, vagy a mérések során el forduló bizonytalanságok gyelembevételére robusztus, H szabályzók tervezése szükséges [6], [12], [35], [36], [37], [38], [104]. Ez utóbbi cikkben egy érdekes módszer is alkalmazásra kerül, az un. "gain scheduling" technika. A gázturbina m ködési tartományán belül, egymástól távol, a m ködési tartományt jól jellemz módon kiválasztott 7 munkapont körül linearizált modellre 7 lineáris szabályzót terveznek a szerz k. A tervezett visszacsatolás olyan, hogy er sítése a linearizáló munkapontok között a 7 lineáris szabályzó által el írt, lineáris interpolációval meghatározható módon változik. Így - bizonyos mértékig - gyelembevételre kerül a gázturbina nemlineáris dinamikája. 1.2.3. A nemlineáris irányításelmélet dolgozatomhoz kapcsolódó eredményei A modern rendszer- és irányításelmélet nemlineáris irányításokkal foglalkozó területének - bár bizonyos részterületei csak mostanában kerültek a kutatás el terébe - igen nagy irodalma van. Ezek közül csak azokat az alapvet en fontos publikációkat foglalom össze, melyek a dolgozatomban tárgyalásra kerül irányításelméleti fogalmak és módszerek, technikák megértése és alkalmazása szempontjából lényegesek. A nemlineáris irányítási feladatok, hasonlóan a lineárisakhoz, magukban foglalják a nemlineáris dinamikus modell dinamikus analízisét és az el írt szabályozási célt megvalósító, megfelel tulajdonságú szabályozó tervezését. Dinamikus analízis nemlineáris modell esetén. A dinamikus analízis bizonyos rendszerre, vagy annak valamely munkapontjára jellemz tulajdonságok vizsgálatát jelenti. Ezek a tulajdonságok kiterjeszthet ek a lineáris esetr l a nemlineáris esetre, de ezek a vizsgálatok nemlineáris modellekre gyakran igen bonyolult számításokat igényelnek. 5

Egy input-an formában adott nemlineáris állapottér-modell esetén az irányíthatóság és a meggyelhet ség elemzése elméleti szempontból jól megalapozott és eredményei széles körben ismertek. Az els ezzel kapcsolatos matematikai fogalmak és kutatási eredmények H. Sussmann cikkeiben jelentek meg [90], [91], [92], [93]. Legrészletesebben és összefoglalóan A. Isidori könyve tartalmazza a szükséges deníciókat, levezetéseket és matematikai bizonyításokat [49]. Nemlineáris rendszerek esetén a stabilitás vizsgálata; a rendszer egy adott munkapontja stabilitásának, vagy éppen instabilitásának bizonyítása Ljapunov-tételeivel lehetséges [9], [54]. Ljapunov direkt módszerének részletesebb elemzése a [71] könyvben található. A dolgozatomban bemutatásra kerül nemlineáris szabályozástervezési módszer is Ljapunov-technikán alapul. Az eljárás részletei, valamint a kontroll Ljapunov-függvény fogalmának bevezetése és alkalmazása a [34] publikációban olvasható. A zéró dinamika stabilitásának vizsgálata a nemlineáris rendszer "bels " stabilitását, vagy éppen annak hiányát állapítja meg. A zéró dinamika fogalmát C. I. Byrnes és A. Isidori vezette be [15], [16]. Szerepét tekintve a lineáris rendszerek átviteli függvényének zérusaihoz hasonló. Fontos alkalmazási területe (ahogyan a dolgozatomban is szerepel) a nemlineáris rendszert aszimptotikusan stabilizáló visszacsatolás tervezhet ségének bizonyítása [16], [98]. Nemlineáris rendszerek szabályozása. A nemlineáris rendszerek és különösen a nemlineáris folyamat- (például termodinamikai) rendszerek szabályozásának tervezése nagy gyakorlati jelent ség és kihívást jelent feladat. Eszközei, módszerei elméletileg jól megalapozottak. Ugyanakkor jelent sen több szimbolikus számítást igényelnek, mint a lineáris technikák és bizonyos esetekben a számítások nem vezetnek eredményre. Talán éppen ezzel magyarázható, hogy ezek az eljárások kevéssé ismertek és alkalmazottak. A leggyakrabban a nemlineáris modelleknek a rendszer m ködési tartományán belüli valamely munkapontja körül linearizált változatára terveznek lineáris szabályzókat. A legrégebbi, de még igen gyakori lehet ség, hogy a linearizált modellre egy megfelel en hangolt P, PI, vagy PID-tagot alkalmaznak szabályozóként [20], [21], [94]. A lineáris szabályozók közül a leggyakoribbak a lineáris kvadratikus LQ szabályozók és azok változatai. Ezen szabályozótervezési módszerek elméletének és lépéseinek leírása összefoglalóan több szakkönyvben is megjelent [18], [106]. A dolgozatomban az LQ szervo szabályozó szerepel, mint referencia-eset, melynek részletes bemutatása a [14], [24], [60] publikációkban található. A lineáris robusztus szabályozások a modellezés, a linearizálás és a mérés során el forduló bizonytalanságoknak, vagy a modell-paraméterek eltéréseinek kezelésére, a szabályozás tervezése során való gyelembe vételére szolgálnak [106]. A nemlineáris szabályozási technikák (feedback (visszacsatolás)-linearizálás, input-output (bemenet-kimenet) linearizálás) részletesen a [49], [63], [98] irodalmakban találhatóak meg. A gázturbina nemlineáris, dinamikus modelljére dolgozatomban a nemlineáris módszerek közül - a modellben szerepl koordináta-függvények bonyolult algebrai alakja miatt - a kontroll Ljapunov-függvény alapú (direkt passziválásos) szabályozást dolgozom ki, melynek részletes leírása a [34] könyvben található. A módszer alkalmazása során szükséges lépések és ötletek a [16], [76], [98] publikációkban olvashatók. 6

1.3. Az értekezés szerkezete A dolgozat 9 fejezetet és 2 részb l álló Függeléket tartalmaz. Ezen els, bevezet jelleg fejezet kivételével mindegyik fejezet egy bevezet résszel kezd dik, melyben megfogalmazom az adott fejezet célját és kit zöm a megoldandó feladatot. A fejezetek végén található összefoglalás részben pedig az adott fejezet eredményeit tekintem át. Az egyes leíró fejezetek tartalma és az ezekben ismertetett eredmények röviden összefoglalva az alábbiak. A 2. fejezetben egy tengelyteljesítményt szolgáltató gázturbinás hajtóm vet, annak próbapadi kialakítását mutatom be. A fejezet második részében az alkalmazott mér rendszert ismertetem, melynek segítségével statikus munkaponti mérések és dinamikus folyamatok mérése végezhet el. A fejezet utolsó része a mér rendszer és az elvégzett mérések, adatok min ségi értékelését tartalmazza. A 3. fejezet tartalmazza a gázturbina szabályozási célú, dinamikus modelljének felállítását. A modell termodinamikai, illetve mechanikai alapelvekb l, megfelel kiegészít egyenletek hozzávételével készíthet el. A 4. fejezetben a gázturbina dinamikus matematikai modelljének ismeretlen paramétereit határozom meg. A fejezet tartalmaz egy érzékenység-vizsgálatot is és kijelölöm a dinamikus modell értelmezési, m ködési tartományát. Az ismeretlen paraméterek meghatározása után a nyitott rendszer szimulációs kísérleteinek felhasználásával elvégzem a dinamikus modell verikációját. Az 5. fejezet a vizsgált gázturbina állapottér alakban felírt dinamikus modelljének dinamikus analízisét tartalmazza. A vizsgálat célja három alapvet dinamikus tulajdonság, az irányíthatóság, a meggyelhet ség és az aszimptotikus stabilitás meglétének, vagy hiányának megállapítása. A modell dimenziómentesítése és centrálása után a dinamikus analízist mind a linearizált, mind pedig az eredeti nemlineáris modell esetére elvégzem. A 6. fejezet els részében a gázturbina szabályozásának céljait ismertetem, amelyek a további szabályozótervezési feladatok pontos feladatkit zésének alapjául szolgálnak. A fejezet második részében a linearizált dinamikus modellnek és a dinamikus analízis eredményeinek felhasználásával egy lineáris LQ szervo szabályozás tervezését, annak lépéseit mutatom be. Egyúttal ez referencia-esetként is szolgál, és alkalmas arra, hogy szimulációk segítségével összehasonlítsam a lineáris és a nemlineáris szabályozások min ségi és mennyiségi tulajdonságait. A 7. fejezetben a megfogalmazott szabályozási célokat teljesít, nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú, blokkstruktúrájú szabályozást, tervezésének lépéseit és a szabályozó hangolását mutatom be. Ezen szabályozás tervezéséhez az eredeti, nemlineáris dinamikus modell-egyenletek kerülnek alkalmazásra. A tervezés folyamán a felhasznált elméletnek és a szabályozási céloknak megfelel szabályozási blokkokat, egységeket kell tervezni, melyek együttese fogja az el írt min ségi és mennyiségi kritériumokat teljesíteni. A 8. fejezetben a korábbiakban megtervezett és behangolt lineáris LQ szervo és a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozások összehasonlítása szerepel a vizsgált gázturbina matematikai modelljének felhasználásával. Az összevetést számítógépes szimulációs kísérletek segítségével végzem el. A 9. fejezetben dolgozatom f bb eredményeit, a javasolt téziseket foglalom össze, valamint a fejezet második részében a további kutatások lehetséges irányait határozom meg. 7

Az A. Függelék tartalmazza azokat az ábrákat, diagramokat és táblázatokat, amelyek helysz ke miatt és mert a fejezetek tartalmának megértéséhez nem feltétlenül szükségesek, ebbe a részbe kerülnek. A B. Függelékben szerepelnek azok a programlisták, melyek a legfontosabb levezetéseket és a programok futtatásának eredményéül kapott összefüggéseket, függvényeket és számítási eredményeket tartalmazzák. 1.4. Publikációk Dolgozatom f bb eredményeit és a javasolt téziseket (ld. 9.1. fejezet) bemutattam több hazai és nemzetközi konferencián és közzétettem szakfolyóiratban és kutatási jelentésben. Az els csoportban azokat a publikációimat sorolom fel, amelyek közvetlenül a tézisekben megfogalmazott eredményeimet tartalmazzák (zárójelben az ismertetett tézis, vagy tézisek sorszáma szerepel): [P1] P. Ailer, I. Sánta, G. Szederkényi and K. M. Hangos. Nonlinear Model-Building of a Low-Power Gas Turbine. Periodica Polytechnica Ser. Transportation Engineering 2001. 29/1-2. pp. 117-135. (1. tézis) [P2] P. Ailer. Nonlinear Mathematical Modeling and Control Design Developed for Gas Turbine. Proceedings of the 7 th Mini Conference on Vehicle System Dynamics, Identication and Anomalies Budapest, szerkeszt : Dr. Zobory István, kiadó: Budapesti M szaki Egyetem, 2000. pp. 465-472. (1. tézis) [P3] P. Ailer, G. Szederkényi and K. M. Hangos. Modeling and Nonlinear Analysis of a Low-Power Gas Turbine. Research report of the Systems and Control Laboratory SCL-1-2001 Budapest, MTA SZTAKI, 2001. 25 p. (1., 2. és 3. tézis) [P4] P. Ailer, G. Szederkényi and K. M. Hangos. Parameter-estimation and Model Validation of a Low-Power Gas Turbine. Proceedings of the "Modelling, Identication and Control'2002" Conference Innsbruck, Ausztria, editor: M. H. Hamza, published by the ACTA Press, 2002. pp. 604-609. (2. tézis) [P5] P. Ailer, G. Szederkényi and K. M. Hangos. Model-Based Nonlinear Control of a Low-Power Gas Turbine. Proceedings of the "15 th IFAC World Congress on Automatic Control" Barcelona, Spanyolország, editors: E. F. Camacho, L. Basanez, J. A. de la Puente, published by the Elsevier Science, 2002. paper no.: 755. 6 p. (4. tézis) 8

Publikációim másik csoportja közvetlenül nem kapcsolódik a tézisekhez: [O1] P. Ailer. Az RD-33-as Hajtóm Centrifugális Fordulatszám-Szabályozójának Matematikai Modellezése. ZMNE Repüléstudományi Közlemények 1998. X. 24. pp. 175-191. [O2] P. Ailer and I. Sánta. Mathematical Modelling and Dynamic Analysis of Rotational Speed Control System of Low Bypass Ratio Turbofan. Proceedings of the 6 th Mini Conference on Vehicle System Dynamics, Identication and Anomalies Budapest, szerkeszt : Dr. Zobory István, kiadó: Budapesti M szaki Egyetem, 1998. pp. 337-348. [O3] P. Ailer. Kis Teljesítmény Gázturbina Szabályozásának Matematikai Modellezése. ZMNE Repüléstudományi Közlemények 1999. XI. 26. pp. 239-250. [O4] P. Ailer. Mathematical Modelling of Control System of Low-Power Engine. Proceedings of "The Challenge of Next Millenium on Hungarian Aeronautical Sciences" Conference Budapest-Nyíregyháza, szerkeszt : Dr. Rohács József, Dr. Szabó Gyula, Ailer Piroska és Veress Árpád, kiadó: er-group, 1999. pp. 142-152. [O5] P. Ailer. Gázturbina-Egységek Karakterisztikája, a Gázturbina Matematikai Modellje. ZMNE Repüléstudományi Közlemények 2000. XII. 29. pp. 139-147. [O6] P. Ailer. Comparison of Linear and Non-linear Mathematical Models Developed for Gas Turbine Control. Proceedings of the 3 rd International Conference on Nonlinear Problems in Aviation and Aerospace Daytona Beach, Florida, USA, editor: Seenith Sivasundaram, published by the European Conference Publications, Cambridge, UK, 2000. pp. 11-19. [O7] P. Ailer. Mathematical Modelling of a Low-Power Gasturbine Engine and Its Control System. Proceedings of the 22 nd International Congress of Aeronautical Sciences Harrogate, Nagy-Britannia, editor: J. P. Marec, published by the Optimage Ltd., 2000. paper no.: 752. 7 p. [O8] P. Ailer. Mathematical Modelling of Gas Turbine Engine and Its Control System. Periodica Polytechnica Ser. Transportation Engineering (megjelenés alatt) 1.5. Jelölésjegyzék A jelölésjegyzék csak a dolgozatban végig, általánosan alkalmazott jelöléseket és jelölési konvenciókat tartalmazza. A felsorolt mennyiségek mértékegységei minden esetben SI-ben értend ek. 9

A gázturbina modellezésének jelölései: b fogyasztás M nyomaték c fajh P teljesítmény c abszolút sebesség Q h bevezetés, vagy h elvezetés d átmér R specikus gázállandó h fajlagos entalpia T h mérséklet m tömeg U bels energia ṁ tömegáram V térfogat n fordulatszám β leveg -, illetve gázjellemz p nyomás η hatásfok q dimenziótlan tömegáram θ tehetetlenségi nyomaték t id κ adiabatikus kitev u kerületi sebesség λ dimenziótlan sebesség A keresztmetszet σ össznyomás-visszanyerési tényez E energia ω szögsebesség H f t érték Π nyomásviszony H tengerszint feletti magasság Indexek: 0 környezeti kr kritikus 1 kompresszor belép leadott leadott 2 kompresszor kilép lev leveg 3 turbina belép max maximális 4 turbina kilép mech mechanikai a alsó mérô mér perem átsz átszámított mért mért be belép min minimális É égéstér p állandó nyomáson vett égés égés SZ szívócsatorna elm elméleti számitott számított forg forgólapát T turbina forgórész forgórész terh terhel G gázelvezet csatorna tüz tüzel anyag gáz gáz u kerületi K kompresszor v állandó fajtérfogaton vett ki kilép val valóságos köz közepes torlóponti 10

A lineáris és nemlineáris állapottérbeli leírás, dinamikus analízis és szabályozástervezés jelölései: d e f(x), g(x), h(x) f x zavarás-vektor hiba a nemlineáris modell koordináta-függvényei az f : R n R n,x f(x) függvény Jacobi-mátrixa [f, ] span{f,g i },g i, i=1,...,q h 1,h 2,...,h m az a legkisebb disztribúció, amely tartalmazza a -t és invariáns a {h 1,h 2,...,h m } vektormez kre nézve k hangolható paraméter k i k p az I-tag hangolható paramétere a P-tag hangolható paramétere r referencia-jel u bemeneti vektor v referencia-bemenet v a (x) aszimptotikusan stabilizáló visszacsatolás v p (x, d) stabilizáló visszacsatolás x állapotváltozók vektora ẋ = dx dt az x állapotvektor id szerinti deriváltja y kimeneti vektor A, B, C, D a lineáris modell mátrixai H(s) átviteli függvény K optimális állapotvisszacsatolás P súlyozó tag, mátrix Q súlyozó mátrix R súlyozó mátrix V (x) Ljapunov-függvény C n az n-dimenziós állapottér irányíthatósági mátrixa O n az n-dimenziós állapottér meggyelhet ségi mátrixa λ(a) az A mátrix sajátértéke irányíthatósági disztribúció "set-point", beállítandó munkapont sp Rövidítések: LP V 1TP Linear Parameter-Varying (lineáris paraméter-változós) egy tárolós, arányos tag 11

2. fejezet A kísérleti környezet: a gázturbina-próbapad Ebben a fejezetben a dolgozat kés bbi részeiben modellezett, vizsgált és a szabályozótervezés objektumaként szolgáló rendszert, egy tengelyteljesítményt szolgáltató gázturbinás hajtóm vet mutatok be. A vizsgált gázturbina a Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem Repül gépek és Hajók Tanszékén (az Ae. laboratóriumban) próbapadon m ködik. A próbapad bemutatása után, a fejezet második részében az alkalmazott mér rendszert ismertetem, melynek segítségével statikus munkaponti mérések mellett dinamikus folyamatok mérése is lehetséges. A fejezet utolsó része a mért, kísérleti adatok min ségi értékelését tartalmazza. 2.1. A vizsgált gázturbina m szaki leírása A vizsgált gázturbina egy Deutz T216 típusú hajtóm [1]. A német Deutz cég ezen típusmegjelölésen belül több verziót is tervezett, különböz alkalmazási céllal. A hajtóm üzemeltethet például szállítható, mozgatható egységként generátorok, vagy t zoltó szivattyúk meghajtására. A Tanszéken m ködtetett gázturbina egy speciális konstrukció, amely kifejezetten m - szaki egyetemek, f iskolák és kutatólaboratóriumok számára készült. Ennek megfelel en a hajtóm kis teljesítmény/tömeg-arányú, kis helyigény, többféle tüzel anyaggal (els sorban gázolajjal) m ködtethet, rezgésmentes m ködés és egyszer en üzemeltethet, karbantartható. Tervezésének alapelve éppen ez utóbbi volt, hiszen így még a gyakorlatlan, az üzemeltetésben, karbantartásban járatlan személyek és a hallgatók is m ködtethetik és így a gázturbinák alapvet folyamatairól tapasztalatot szerezhetnek. Ugyanakkor kutatási célokra is jól alkalmazható, hiszen több ponton és egyszer en m szerezhet és mivel a gázturbina tengelyteljesítményt szolgáltat, ezért mint légcsavaros gázturbinás hajtóm is vizsgálható. A fenti kívánalmaknak megfelel en a gázturbina egytengelyes kialakítású, egyfokozatú centrifugális kompresszorral és egyfokozatú centripetális turbinával. A gázturbina sematikus ábráját és a jellegzetes keresztmetszetek számozását a 2.1. ábrán mutatom be, a próbapadról készített fényképek pedig az A. Függelék A.1. részében találhatók. A tengelyteljesítményt szolgáltató gázturbinás hajtóm vek alapm ködése: A leveg a szívócsatornán keresztül jut a kompresszorba, ahol egy valóságos adiabatikus kompresszió folyamattal megtörténik a leveg s rítése; h mérséklete, nyomása és s r sége növekszik. Az égéstérben a beporlasztott tüzel anyag és a leveg keverékének égése zaj- 12

Szívócsatorna Kompresszor Égéstér Turbina Gázelvezetõ csatorna 0 1 2 3 4 0 Vízörvényfék 2.1. ábra. A vizsgált gázturbina f részei és a jellegzetes keresztmetszetek számozása lik. Ennek hatására az elégett gázkeverék h mérséklete jelent sen megn, nyomása néhány százalékkal lecsökken (a keveredési, súrlódási, örvénylési veszteség miatt). A turbinában valóságos adiabatikus expanzió játszódik le, melynek során a gázkeverék h mérséklete, nyomása és s r sége csökken. A turbina teljesítménye, mely a gázkeverék expanziójából származik, egyensúlyi állapotban megegyezik a kompresszor forgatásához szükséges teljesítménynek és a hasznos teljesítménynek az összegével. A gázelvezet csatorna az elégett gázkeveréket vezeti ki a hajtóm b l a küls környezetbe. A vizsgált hajtóm alapvet m szaki, gyári adatai: (p 0 = 101325 Pa környezeti nyomás, T 0 = 288, 15 K környezeti h mérséklet, és n = 833, 33 1/s maximális fordulatszám mellett) [O5] teljesítménye: P =80kW, a hajtóm vön átáramló leveg tömegárama: ṁ lev =0, 9 kg/s, a kompresszor nyomásviszonya: Π K =2, 8, a turbina utáni torlóponti h mérséklet: T 4 = 938, 15 K, óránkénti tüzel anyag fogyasztása: b = 71, 5 kg/h. A hajtóm egységei [1]: Szívócsatorna: A szívócsatorna eredetileg nem tartozott a gázturbinához, a Tanszék készítette a hajtóm höz. Függ leges elrendezés, fels részén, a belép keresztmetszetnél egy mér peremet helyeztünk el, mellyel a gázturbinán átáramló leveg tömegárama meghatározható. A szívócsatorna közelít leg 3 méter hosszúságú, így a hajtóm a gázturbinát m ködtet személyek, illetve más gépek által meg nem zavart térb l, a laboratórium fels részéb l szívja a leveg t. Kompresszor: A kompresszor egyfokozatú centrifugális kialakítású, radiális lapátozású járókerékkel. Égéstér: A gázturbina ellenáramú tüzel térrel rendelkezik, amely biztosítja az égéstér f elemeinek (gyújtógyertya, tüzel anyagfúvóka) egyszer elérését, karbantartását. Turbina: A turbina egyfokozatú centripetális kialakítású, radiális lapátozású járókerékkel. A kompresszor és a turbina (együttesen a forgórész) egy egységet képez, labirint tömítés és golyóscsapágyazású. 13

Gázelvezet csatorna: A gázelvezet csatornát szintén a Tanszék készítette a hajtóm höz. Feladata az elégett, forró gázok elvezetése (emiatt megfelel szigeteléssel ellátott) a gázturbinából és a laboratóriumból a küls környezetbe. Mivel a laboratórium az egyetem területén található, ezért a környez épületek zajterhelésének csökkentése céljából a gázelvezet csatorna végén, a laboratórium falán kívül egy hangtompító dob van felszerelve. Ez nagy fojtást eredményez, lecsökkentve a gázelvezet csatorna össznyomás-visszanyerési tényez jét (ld. a (3.9) összefüggés). A hajtóm m ködtetéséhez azonban nélkülözhetetlen. A kés bbi fejezetekben tárgyalásra kerül modellezés, paraméter-becslés és irányítás szempontjából még a hajtóm, illetve a gázturbinás próbapad következ részei és rendszerei fontosak [1]: Áttételház: Az áttételház kétfokozatú, golyóscsapágyazású. Az áttételházhoz csatlakozik a gázturbina szabályzó egysége a tüzel anyagszivattyúval és az olajszivattyú. Az áttételház kimen fordulatszáma 50 1/s (ha a gázturbina fordulatszáma 833, 33 1/s), azaz az áttétel 3/50-es. Tüzel anyag-rendszer és a gázturbina szabályzó egysége: A tüzel anyag a tüzel anyagszivattyú által a tartályból a sz r n és a tüzel anyag-ken olaj h cserél n keresztül az égéstér fúvókájához kerül, ahol megtörténik a tüzel anyag beporlasztása. A gázturbina szabályzó egysége a tüzel anyagszivattyúval egy egységet képez. Feladata a tüzel anyag mennyiség szabályozása, beállítva ezzel a szabályzó egységen elhelyezett gázkar által kívánt fordulatszámot. A szabályzó egység továbbá képes megakadályozni a túl nagy fordulatszámot és a túl magas turbina utáni torlóponti h mérsékletet, mégpedig oly módon, hogy ezekben az esetekben a szabályzó leállítja a gázturbinát [O3]. (A gázturbina szabályzó rendszerének ábrája az A. Függelék A.8. részében található, elemzését a 4.5.2. fejezetben mutatom be.) Az alkalmazott tüzel anyag minden esetben gázolaj volt. Vízörvényfék: A vízörvényfék nem képezi a gázturbina részét, de a gázturbina különböz terhelésekkel való m ködtetése, mérése, valamint a gázturbina teljesítményének felhasználása, illetve elemésztése céljából mindenképpen szükséges. A ZÖLL- NER típusú vízfék és a gázturbina áttételházának kimen tengelye kardántengellyel van összekötve. A gázturbina m ködtetése során biztosítani kell a vízfék megfelel mennyiség vízzel való ellátását, amelyet a betápláló és leürít szivattyúk, valamint a cs vezetékekben elhelyezett csapok teszik lehet vé. Az indítási folyamat alatt azonban nem lehet a vízfékben víz, mert az megakadályozná a gázturbina indítását, fordulatszámának növekedését [27]. 2.2. A mér rendszer ismertetése [27] A gázturbina-próbapadon alkalmazott mér rendszer lehet vé teszi a gázturbinás körfolyamat jellegzetes pontjaiban a torlóponti nyomások és h mérsékletek, valamint a fordulatszám, a terhel nyomaték és a tüzel anyag fogyasztás mérését [1], [27]. (A próbapadon kialakított mér rendszerrel kizárólag a torlóponti változókat, azaz a lefékezett áramlás mennyiségeit lehet mérni. Ezek a torlóponti értékek a statikus, vagyis az álló közeg jellemz i - statikus h mérsékletek és nyomások - és a dinamikus, azaz az áramló közeg mozgási energiájából számítható mennyiségei - dinamikus h mérsékletek és nyomások - összegeként deniálható.) Ezek az analóg bemen jelek egy gázturbina-próbapadi számítógépes 14

vezérl és adatgy jt rendszeren keresztül kerülnek a számítógépen kijelzésre és tárolásra. A különböz mennyiségek mérése a következ képpen történik: A torlóponti h mérsékletek mérése NiCr-Ni termoelemekkel történik. Mérni lehet a gázturbina-körfolyamat jellegzetes pontjaiban a torlóponti h mérsékleteket, azaz a környezeti h mérsékletet (T 0 ), a kompresszor el tti (T1 )ésutáni(t 2 ), valamint a turbina el tti (T3 )ésutáni(t 4 ) torlóponti h mérsékleteket. Mivel a turbina el tti keresztmetszetben a h mérséklet-eloszlás nem egyenletes, azaz a termoelem radiális irányú mozgatásával jelent sen eltér h mérsékleteket kapunk eredményül, ezért a T3 mért értékét nem vettem gyelembe az adatok feldolgozása során, hanem számítással határoztam meg. A h mérséklet mérések tartománya: 0-1200 C. A torlóponti nyomások mérésére a nyomással arányos jelet szolgáltató nyomásjeladók szolgálnak. A mérési pontosság növelése céljából nem az abszolút nyomásokat, hanem két pont közötti nyomáskülönbségeket mérünk a következ képpen (a felsorolásban az egyes nyomásérzékel k típusát zárójelben adom meg): környezeti nyomás (az egyetlen abszolút nyomás): p 0 (Honeywell 142PC15), kompresszor el tti nyomásesés: p 0 p 1 (Honeywell 24PCE), kompresszorban bekövetkez nyomásnövekedés: p 2 p 1 (Honeywell 142PC30D), égéstér nyomásesése: p 2 p 3 (Honeywell 142PC05D), gázelvezet csatornában létrejöv nyomásesés: p 4 p 0 (Honeywell 24PCE), valamint a gázturbinán átáramló leveg tömegáramának meghatározása céljából mért, a mér peremen bekövetkez nyomásesés: p mérô (Honeywell 24PCE). A nyomásérzékel k mérési tartománya : 0 105 kpa, 0 3500 Pa, 0 35 kpa és 0 200 kpa, a létrejöv nyomás, illetve nyomáskülönbségek függvényében. A fordulatszám mérésére a vízfékre szerelt ABS jeladó és a hozzá tartozó 60 osztású tárcsa szolgál. A tárcsa forgásakor a jeladó minden osztásnál egy-egy impulzust ad. Ezen impulzusok számából és a közben eltelt id b l a fordulatszám meghatározható. A fordulatszám mérés tartománya: 0 1666, 66 1/s. A gázturbina terhelését az el z pontban ismertetett ZÖLLNER típusú vízörvényfékkel állíthatjuk be. A fellép terhel nyomaték mérésére az 500 Nm terhelhet ség nyomatékmér cella szolgál (típusa KALIBER 7934, tipikus pontossága ±0, 25%), ami a gázturbina és a vízfék közötti kardántengelybe van beépítve. A fékezés mértékét a vízféken lév karral lehet beállítani. A tüzel anyag fogyasztás mérésére a KALIBER ÜFM-2000 típusú gravimetrikus tüzel anyag fogyasztásmér t alkalmazzuk. A fogyasztásmér a súlymérés elvén alapul. A mérés megkezdésekor a számítógép a fogyasztásmér tölt szelepét elzárja és leolvassa a mér edényben lév tüzel anyagszintet. Ezt a szintet (tömeget) a berendezésbe épített er mér cella érzékeli. A mérés befejezésekor a számítógép ismét leolvassa a szintet, majd az el z adatok segítségével óránkénti és fajlagos fogyasztást számol. (A fogyasztásmér tölt és leereszt szelepének vezérlése digitális kimen jelekkel történik.) A fogyasztás-mérés tartománya: 0 200 l/h, pontossága: ±0.5%. A fentiekben felsorolt analóg bemen jelek mellett a számítógéphez digitális bemen jelek is érkeznek. Ezek a gázkar mozgatás alsó és fels helyzetét, a gázkar alapgáz pozícióját, a vízfék betápláló és leürít szivattyúinak bekapcsolt állapotát jelzik és ezek a jelek megjelenítésre kerülnek a számítógép képerny jén. 15

A teljes vezérl és jelfeldolgozó elektronika, a mért jelek er sítését, sz rését és analóg/digitális átalakítását végz elemek összesége egy mér pultban került elhelyezésre. A mér pulton található a gázturbina-próbapad vezérl egysége egy IBM AT kompatibilis számítógépképerny vel, billenty zettel, egérrel és nyomtatóval. A felsoroltakon kívül a gázturbinát vezérl nyomógombokat is a mér pulton helyeztük el. A gázturbina-próbapad beépített mérési szolgáltatásai [O5] közé tartozik a mérések elvégzése mellett az adatok folyamatos kijelzése, a mért adatok tárolása és a statikus és dinamikus mérési lehet ség biztosítása. A számítógépa gázturbina m ködése közben folyamatos felügyeletet is biztosít (hibagyelés, vészjelzés). A gázturbina-próbapad mérésadatgy jt és vezérl egységének leírása a [28] publikációban, blokkvázlata az A. Függelék A.2. részében található, melyen az alkalmazott mér kártyák típusai és összeköttetései is láthatóak. 2.3. Statikus és dinamikus mérések Az el z pontban leírtak szerint a gázturbina-próbapad mérési szolgáltatásai között szerepel a statikus és dinamikus mérési lehet ségek biztosítása. Ebben a pontban ismertetem az elvégzett mérések célját, tervezését - melynek során gyelembe vettük a próbapad mér rendszerének lehet ségeit és kötöttségeit - és a végrehajtás módját. 2.3.1. Statikus mérések A statikus munkaponti mérések során különböz fordulatszámokon, különböz terhelésekkel állítottunk be munkapontokat. Az állandósult állapot kialakítása: Ahhoz, hogy egy munkapont valóban statikus legyen, a munkapontot jellemz mennyiségeknek (az analóg bemen jeleknek) állandósultnak kell lenni. Ezt vizuális módon vizsgáltuk úgy, hogy a számítógépképerny jén gyelemmel kísértük a fordulatszám és a torlóponti h mérsékletek alakulását (ez utóbbiak állnak be a leglassabban) és amikor ezen mennyiségek már nem változtak, akkor a munkapontot állandósultnak tekinthettük. A statikus mérések végrehajtásának lépései: 1. El ször is a gázkar és a terhel nyomatékot állító kar pozíciójának megfelel beállításával kiválasztottuk a mérni kívánt munkapontot. 2. A munkapontot jellemz mennyiségek vizuális gyelésével megvártuk, hogy a munkapont állandósult legyen. Ezek után a statikus mérés elindítható. 3. A mérés id tartamát a tüzel anyag fogyasztás mérésének id szükséglete határozza meg. Ugyanis ahhoz, hogy a mért munkapontban meghatározható legyen a fogyasztás értéke, id nek kell eltelnie, a fogyasztásmér ben valamekkora, pontosan mérhet tüzel anyag mennyiségnek el kell fogynia. A kezdeti próbamérésekkor ezt az id t 10 s-ban állapítottuk meg. A statikus mérés id tartama tehát 10 másodperc volt. 4. A mérés ideje alatt a számítógépmintavételezte a folyamatot. (A mintavételezési frekvencia megegyezett a dinamikus mérések mintavételezési frekvenciájával - ld. 2.3.2. fejezet -, azaz 18, 2 Hz volt.) Ezeket a mintavételezett értékeket a számítógépa mérés befejezése után csatornánként átlagolta és az analóg bemen jelek mindegyikét kijelezte a képerny re, majd egy adatrekordként letárolta. Ezek után lehet ség volt egy következ munkapont beállítására, egy újabb statikus munkapont mérésére. 16

A statikus mérések elvégzésének célja a kompresszor és a turbina dimenziótlan tömegáram- és izentrópikus hatásfok karakterisztikáinak mérési pontonként való el állítása. A dinamikus modell elkészítéséhez szükségesek ezek a karakterisztikák, melyek függvényekkel való közelítése a 3.4.2. fejezetben, a közelít polinomok együtthatóinak meghatározása a 4.1. fejezetben található. A karakterisztikák függvényekkel való minél pontosabb közelítése érdekében több munkapont mérését végeztük el, mégpedig oly módon, hogy a statikus mérések a teljes mérhet karakterisztika tartományról információt szolgáltassanak. Ennek érdekében a statikus mérések szervezése a következ volt: a teljes fordulatszám tartomány 666, 66 1/s-tól 833, 33 1/s-ig, azaz az alapgáztól a maximális fordulatszámig mérhet. Ezt a fordulatszám tartományt 10 egyenl részre osztottuk fel, ami összesen 11 mérési fordulatszám értéket jelent. Minden egyes fordulatszámon a lehet legkisebb terhel nyomatéktól a maximális terhel nyomatékig végeztünk méréseket. Ez utóbbit a turbina utáni torlóponti h mérséklet maximumának (T4 max = 938, 15 K) elérése határozza meg. Ezt a terhel nyomaték tartományt úgy osztottuk fel, hogy fordulatszámonként 7 munkapontot tudjunk mérni. Így összesen 77 statikus munkapontot mértünk, melyek a megfelel adatfeldolgozás és számítás után már kell pontossággal rajzolják ki a karakterisztikákat. A mérések eredmény-sora és a számított mennyiségeket meghatározó összefüggések az A. Függelék A.3. részében találhatóak. Az A. Függelék A.5. részének A.1., A.2., A.9. és A.10. ábráin láthatók a karakterisztikák mért pontjai, az A.3., A.4. és A.11. ábrákon ugyanezek a mérési pontok vannak kiegészítve a kijelölt m ködési tartományokkal, amely tartományokon, határokon belül a közelítést el kell majd végezni. Fontos megjegyezni, hogy az A.3., A.4. és A.11. ábrák szerint a kompresszor és a turbina m ködési tartományai elég sz kek, bizonyos paraméterek nem sokat változnak a gázturbina m ködése során. Ennek az az oka, hogy a terhel nyomaték a minimális értékér l csak egy viszonylag alacsony értékig változtatható, mégpedig - a fentiek szerint - csak addig, amíg a turbina utáni torlóponti h mérséklet el nem éri a maximálisan megengedhet értékét. Ezért a teljes kompresszor és a teljes turbina karakterisztikákból (amit küls, független hajtással, illetve terheléssel lehetne meghatározni) csak azoknak egy kis darabját, részletét lehetett kimérni. Ennek az - a dinamikus modellezésben alkalmazott - fontos következménye van, hogy el reláthatólag a karakterisztikák a megállapított m ködési tartományokon való közelítése egyszer, kis fokszámú polinomokkal is elegend en pontosan elvégezhet lesz. (A fentiek miatt a kompresszor pompázshatára (instabil üzemmód határa) sem volt mérhet, helyzete a kompresszor karakterisztikában nem volt meghatározható.) A másik fontos észrevétel, hogy az A. Függelék A.10. ábrája alapján a turbina izentrópikus hatásfokára - gyelembe véve a vizsgált gázturbina kis méretét - igen magas értékeket kaptunk. Ennek az a magyarázata, hogy a turbina izentrópikus hatásfokának meghatározására szolgáló összefüggésben a T3 turbina el tti torlóponti h mérséklet értékét nem méréssel (a turbina el tti keresztmetszetben a h mérséklet-eloszlás nem egyenletes), hanem számítással, a T4 turbina utáni h mérséklet mért értékéb l és a forgórész mechanikai egyensúlyi egyenletéb l határoztam meg. A számítás során a turbina lesugárzott h jét nem vettem gyelembe, mivel ez méréssel nem határozható meg. E két hatás együtteseként adódtak a turbina izentrópikus hatásfokára az A. Függelék A.10. ábráján látható magas értékek. 2.3.2. Dinamikus mérések A dinamikus mérések elvégzésének célja a 4.5. fejezetben ismertetésre kerül dinamikus paraméter-becsléshez szükséges tranziens folyamatok el állítása. 17

A dinamikus mérések tervezése során számos olyan kötöttséget kellett gyelembe venni, amelyek a próbapadi körülmények, adottságok következményei. 1. Az els ilyen kötöttség a dinamikus folyamatok mérésének mintavételezési ideje, frekvenciája, melyek a számítógép által meghatározott, x értékek: 55 ms, illetve 18, 2 Hz. 2. A másik fontos körülmény, hogy az alkalmazott számítógép kis memóriája miatt a maximális mennyiség tárolható adatrekordok száma 100. Így maximálisan 5, 5 s id tartamú dinamikus mérések vizsgálhatóak. Ez a viszonylag kis mérési id tartam a gyakorlatban nem okozott nagyobb problémát. Ahogyan a 4.6. fejezetben elvégzett szimulációs kísérletek és a 4.3. ábra alapján látható, a vizsgált gázturbina igen gyors dinamikus válaszokkal rendelkezik. Így meg lehetett tervezni a dinamikus folyamatok mérését úgy, hogy az 5, 5 másodpercbe a teljes tranziens folyamat beleférjen és az új munkapont beálljon. El kellett dönteni azt is, hogy mi legyen a dinamikus folyamatok bemenete és kimenete, vagy kimenetei, azaz melyik jel megváltoztatásával jöjjön létre a tranziens folyamat és kimenetként melyik jelet, vagy jeleket akarjuk mérni. A bemenet megválasztásában dönt szempont, hogy a bemenetnek is mérhet változónak kell lenni, hiszen másképpen nem lehet a szimulációs kísérleteket a gyakorlati mérésekkel ugyanolyan bemeneti körülmények között elvégezni. Éppen emiatt sem a gázkar pozíciójának, sem pedig a tüzel anyag tömegáramának megváltoztatása nem alkalmas, mint bemeneti változó. Ugyanis a gázkar pozíciójáról nincs visszajelzés a számítógép felé, nem skálázott, nem mért mennyiség; a tüzel anyag tömegárama, a fogyasztás értéke pedig - az alkalmazott fogyasztásmér tulajdonságai miatt - csak statikus munkapontokban mérhet. Az egyetlen megfelel tulajdonságokkal rendelkez bemenet a terhel nyomaték megváltoztatása, melyet a dinamikus folyamatok során lehet mérni, mintavételezni. Emellett a terhel nyomaték megváltozása er sen befolyásolja a gázturbina többi mért mennyiségét, változóit; azaz a terhel nyomaték megváltozása kell en gerjeszt hatású. Természetesen az így megválasztott bemenetre egységugrás vizsgálójel nem kapcsolható, mivel a terhel nyomatékot beállító kar mozgatásához id re van szükség. Ez azonban nem okoz problémát, mivel a terhel nyomaték id beli változása mintavételezett, ismert és így a szimulációs kísérletekhez, mint bemen adatsor, felhasználható. A dinamikus folyamatok kimeneteinek a 3.5. fejezetben deniált kimeneti vektor elemeit választom, azazat4 turbina utáni torlóponti h mérsékletet, a p 3 turbina el tti torlóponti nyomást és az n fordulatszámot. Az elvégzett 4 dinamikus mérés során különböz fordulatszámú beállított munkapontból a terhel nyomatékot kell mértékben növeltem, illetve csökkentettem úgy, hogy a teljes tranziens folyamat a maximálisan lehetséges 5,5 s-os mérési id tartamba beleférjen. Az els tranziens folyamat kiinduló munkapontja alacsony fordulatszámú volt és ott a terhel nyomatékot csökkentettem. A következ két dinamikus mérés kezdeti munkapontja megegyezett, közepes fordulatszám értékr l a terhel nyomatékot el ször csökkentettem, majd az eredeti értéket újra beállítva, növeltem. Ez utóbbi dinamikus mérés adatsora és a kimenetek id beli változása az A. Függelék A.9. részében és az A.10. rész A.40., A.41. és A.42. ábráin láthatóak. Az utolsó dinamikus mérés folyamán egy nagy fordulatszámú munkapont terhel nyomatékának növelésével hoztam létre dinamikus folyamatot. Ezekkel a mérésekkel kell mennyiség és min ség adatot, információt lehetett szerezni a gázturbina dinamikus viselkedésér l a teljes m ködési tartományon. 18

2.4. A kísérleti adatok min ségi értékelése Az el z pontban leírtak szerint a statikus és a dinamikus mérések elvégzésének célja - mindkét esetben - az ismeretlen paraméterek becsléséhez szükséges adatok, információk megszerzése, összegy jtése. A paraméter-becslések kell pontosságú elvégezhet sége dönt en a mérések, mérési adatok min ségét l és pontosságától függ. Ezért a becslések megkezdése el tt célszer áttekinteni a mért adatokat, azok mennyiségét, min ségét és statisztikus jellemz it. 2.4.1. Statikus mérési adatok értékelése A statikus mérési adatok értékeléséhez a következ szempontokat kell megvizsgálni [41]: A mérési pontok száma: A mérési pontok számának jelent sen nagyobbnak kell lennie, mint azon statikus paraméterek számának, melyeket becsülni akarunk. A 3.4.2. és a 4.1. fejezetben leírtak szerint a modell ismeretlen statikus paramétereinek száma 4, illetve 6, attól függ en, hogya kompresszor és a turbina karakterisztikák közelítéséhez melyik típusú közelítés kerül alkalmazásra a kés bbiekben. A mérési pontok száma 77, ígya fenti követelményegyértelm en teljesül. A mérési pontok elhelyezkedése: Ahhoz, hogya vizsgált gázturbina teljes m ködési tartományáról információnk legyen, a statikus mérési pontoknak "be kell járnia" ezt a modell-érvényességi tartományt. A 2.3.1. pontban leírtak alapján ez a feltétel a fordulatszám- és a terhel nyomaték tartományokra teljesül, mivel a statikus méréseket úgyszerveztük, hogya teljes mérési fordulatszám tartományon és minden fordulatszám esetén a mérhet teljes terhel nyomaték tartományról információt szerezhessünk. A 4.4. fejezet szerint azonban a gázturbina m ködési tartományát kiterjesztettük a laboratóriumi körülmények között mérhet környezeti nyomás és h mérséklet határokon kívülre, szélesebb tartományokra is. Éppen ezért a kompresszor és a turbina karakterisztikák el állítása során, minden esetben az un. dimenziótlan karakterisztikákat választottam, melyek vízszintes és függ leges tengelyein és mint paraméter, dimenziótlan mennyiségek, un. hasonlósági számok szerepelnek. Ezek a dimenziótlan karakterisztikák ugyanis éppen azért el nyösek, mert egy adott környezeti nyomású és h mérséklet mért adatsor dimenziótlan jellemz i más környezeti nyomásra és h mérsékletre átszámíthatóak, így jól jellemzik az eltér környezeti körülmények között fennálló viszonyokat. A mérési sorrend a vizsgált gázturbina esetében nem befolyásoló tényez, a paraméter-becslés pontosságára nincs befolyással. A statikus mérések elvégzése után a mért pontokat egy el sz résnek vetettem alá. A mért adatokból el ször is kiszámítottam a dimenziótlan mennyiségeket, majd azokat a kompresszor és a turbina karakterisztikájában és bizonyos esetekben egymás függvényeiként ábrázoltam. Ezzel ki lehetett sz rni és kivenni a mért adatok sorából az er sen kiugró munkaponti érték-sorokat. Ezek a kiugró értékek el állhattak például azért, mert az adott munkapont még nem volt állandósult (belemértünk a tranziens folyamatba), vagy valamilyen er s mérési zavarás lépett fel. Az el sz rés után a hiányzó munkapontokat ismételten lemértük. A statikus mérések folyamán elvégeztünk egyspeciális mérést is, amikor egymunkapontot többször, 12-szer lemértünk. Ezt egyazon alkalommal tettük meg, mert így a környezeti 19

körülmények (nyomás és h mérséklet) teljesen azonosak voltak. Ebb l következ en ezt a 12 mérést egy munkapont többszöri, ismételt mérésének tekinthetjük, amely alkalmas a statikus mérések és a kialakított mér rendszer statisztikus jellemz inek megállapítására. A teljes feldolgozás eredményei az A. Függelék A.4. részében találhatóak. A mért értékek tekintetében az 1. táblázatból látható, hogy a relatív, az átlagértékhez viszonyított szórás (mely értékeket a táblázat utolsó sora tartalmazza százalékban) maximuma 1, 055 %. Ugyanez a relatív szórás-maximum a számított mennyiségek esetében - a 2. táblázat szerint - valamivel nagyobb, 1, 159 %. Ezek a relatív szórás értékek kell en kicsik ahhoz, hogy a statikus mérések eredményeit jónak, a statikus paraméter-becsléshez felhasználhatónak tekinthessük. 2.4.2. Dinamikus mérési adatok értékelése A 2.3.2. pontban leírtak szerint a dinamikus mérések tervezése - a gázturbina-própad kötöttségei miatt - nehézségekbe ütközött. Mind a mintavételezési frekvencia, a mérhet minták száma és így a mérés id tartama, mind pedig a választható bemenet típusa és a bemeneten létrehozható vizsgáló jel adott volt. Úgy kellett a terhel nyomaték megváltozásának nagyságát tervezni, hogy az 5,5 másodperces mérési id tartamba a teljes tranziens folyamat beleférjen. Ez közelít leg 20-30 Nm-es változást engedett meg a terhel nyomaték bemeneten, ami azért kell mértékben hatást gyakorolt a dinamikus rendszer változóira. Elvégeztünk egy olyan dinamikus mérést is, amikor egy állandósult állapot beállítása után a bemeneteket továbbra is állandó értéken tartottuk, azaz valódi tranziens folyamatot nem hoztunk létre. Ezzel a "dinamikus" méréssel - az id függvényében ábrázolva a kimeneteket - megállapítható volt, hogy a mérési zajok kis érték ek; gyors, vagy lassú trendek, driftek nem alakultak ki, kiugró mérési értékeket, vagy ugrásokat az adatok vizuális áttekintésével nem tapasztaltunk. Így állíthatjuk, hogy az A. Függelék A.10. részének A.40., A.41. és A.42. ábráin látható tranziens folyamatok a bemenet megváltozásának hatására jöttek létre, a jel/zaj viszony megfelel en nagy volt. Fontos még megjegyezni, hogy a gázturbina-próbapad mér rendszerének beállítása során minden mér elem hitelesítésre került, mely szabványos eljárásokat id r l-id re megismételtük. 2.5. Összefoglalás Ebben a fejezetben a dolgozat kés bbi részeiben modellezett és vizsgált gázturbinás hajtóm vet, annak próbapadi kialakítását mutattam be. Az ismertetést a gázturbinák alapm ködésének leírásával, majd a hajtóm részeinek és a kés bbi fejezetek miatt lényeges rendszereinek részletes bemutatásával kezdtem. A próbadon egy speciálisan a gázturbinák folyamatainak vizsgálatára alkalmas mér rendszer m ködik, mely statikus és dinamikus mérések végrehajtását is lehet vé teszi. Részletesen ismertettem az egyes mér elemeket és a számítógép által biztosított mérési szolgáltatásokat. A következ pontban a statikus, majd a dinamikus mérések célját t ztem ki és a mérések tervezésének lehet ségeit, korlátait és nehézségeit mutattam be. Kitértem a mérések végrehajtási lépéseinek ismertetésére is. A fejezet utolsó része a mérési adatok min ségi értékelését tartalmazza, külön-külön elemezve a munkaponti mérések adatsorait és a tranziens folyamatok mérését. 20

3. fejezet A gázturbina dinamikus matematikai modellje 3.1. A modellezési cél megfogalmazása Ez a fejezet tartalmazza a gázturbina szabályozási célú modelljének felállítását. A modell termodinamikai, illetve mechanikai alapelvekb l, megfelel kiegészít egyenletek hozzávételével készíthet el. A modell egy adott objektum valamilyen célból létrehozott egyszer sített képe. A matematikai modell-építés folyamán a valós világ egy meghatározott problémáját egy vele ekvivalens matematikai feladattá alakítjuk át, amelyet megoldunk, majd a megoldás eredményét (eredményeit) megpróbáljuk értelmezni [41]. Így a modell-építés alapvet célja, hogy bepillantást nyerjünk a modellezés objektumával kapcsolatban megfogalmazott valóságos problémába; illetve hogy az elkészített modellt optimalizálási, szabályozási, diagnosztikai vagy egyéb célokra felhasználjuk. Mindebb l következik, hogy a modellezési feladat kit zésekor két alapvet feladat-összetev t kell megadni: el ször is le kell rögzíteni és pontosan le kell írni a rendszert, amit modellezni kívánunk (annak határait, bemeneteit és kimeneteit, valamint azon folyamatokat, amelyek a rendszer határain belül zajlanak); másrészt meg kell fogalmazni a modellezés célját. Természetesen minden modell csak egy bizonyos m ködési, alkalmazási tartományon érvényes, mégpedig csak egy olyan tartományon, ahol a modell viselkedése a valósággal összevethet, letesztelhet. A gázturbinás hajtóm vek esetén a matematikai modell a gázturbinában lejátszódó folyamatokat írja le. A modellt alkotó egyenletek (dierenciál-egyenletek, algebrai egyenletek) összekapcsolják a bemen és kimen információkat és a rendszer bels paramétereit [81], [82]. A gázturbinás hajtóm matematikai modellje a modellezés célját tekintve többféle lehet. A modellezés célja lehet egy adott feladatnak, célnak megfelel optimális üzemmód és konstrukció kiválasztása (tervezéskor); diagnosztikai célú modellezés (üzemeltetésben való alkalmazás esetén) [80]; irányítástechnikai vizsgálatok, szabályozások tervezése stb. A modellezési célnak megfelel en a modellek egymástól jelent sen eltér ek; mélységükben, pontosságukban különböz ek. A modellek lehetnek például [83]: lineárisak, vagy nemlineárisak; 21

determinisztikusak, vagy sztochasztikusak; egy üzemmódúak, vagy széles üzemmód tartományban használhatóak; állandósult üzemmódot (statikus modellek) vagy tranziens üzemmódot (dinamikus modellek) leíróak. Dolgozatomban a gázturbina matematikai modellje alatt a leveg -gáz áramlási rendszerének modelljét értem, amely termodinamikai modell. Nem képezi a modellezés tárgyát a hajtóm többi szerkezeti része és a szilárdsági modell [83]. Az általam elkészített modell célja egy irányítástechnikai vizsgálat és a vizsgálat eredményeib l kiindulva egy adott szabályozási célnak megfelel szabályozó tervezése. Az irányítástechnikai feladatból, célból következ en a modellnek a következ tulajdonságokkal kell rendelkeznie: Mindenképpen alkalmasnak kell lennie tranziens üzemmódok leírására, tehát dinamikus modellt kell készíteni. A modellnek megfelel pontossággal széles üzemmód tartományban használhatónak kell lennie. Lehet ség szerint egyszer, könnyen kezelhet modellt kell felírni. A fent megfogalmazott követelményeknek egy olyan gázturbina modell felel meg, amely nemlineáris, kis dimenziójú, kevés számú nemlineáris dierenciál-egyenletb l és nemlineáris, vagy lineáris (egyszer sített) algebrai egyenletekb l áll. A dinamikus egyenletek megmaradási törvényekb l (tömeg, bels energia, mechanikai energia) vezethet k le. Az algebrai egyenletek a gázturbina egységek folyamatait írják le, vagy ezen egységek mért, mérési pontonként adott karakterisztikáit közelítik, általában polinom formában. A kidolgozott modell determinisztikus. 3.2. Modellezési feltételezések A 3.1. fejezetben megfogalmazott modellezési célnak tehát egy - lehet ség szerint - kevés számú dinamikus egyenletb l álló, egyszer sített modell felel meg. Ennek elkészítése érdekében a következ modellezési feltételezéseket fogalmaztam meg: Általános, a gázturbina minden részére egységesen vonatkozó feltételezések: (a) A gázturbina minden egységén belül konstans leveg - illetve, gáz-jellemz ket tételezek fel. Ilyen jellemz például a leveg (a szívócsatornában és a kompresszorban), az elégett gázkeverék (a turbinában és a gázelvezet csatornában) és az égés folyamán létrejöv köztes gázkeverék (az égéstérben) állandó nyomáson vett fajh je, állandó térfogaton vett fajh je, specikus gázállandója és adiabatikus kitev je. (b) A teljes gázturbinára vonatkozóan elhanyagolom a h vezetéssel, h átadással és h sugárzással kapcsolatban bekövetkez h veszteséget és a gázturbina-szerkezet fémrészeinek h energia-tárolását. (c) A dinamikus folyamatok modellezésénél az állandósult üzemmódok kompresszor és turbina karakterisztikái kerülnek alkalmazásra, vagyis feltételezem a kompresszorban és a turbinában lejátszódó folyamatok kvázistacioner jellegét. 22

További feltételezések: (d) A szívócsatornában állandó össznyomás-visszanyerési tényez t (σ SZ ) tételezek fel: σ SZ = p 1 p 0 = konstans (3.1) (e) A kompresszornak: nincs tömeg-tároló tulajdonsága, azaz a belép és a kilép leveg tömegáramai megegyeznek: ṁ Kbe = ṁ Kki = ṁ K (3.2) továbbá nincs bels energia-tároló tulajdonsága: U 2 = konstans (3.3) (f) Az égéstérben: állandó az össznyomás-visszanyerési tényez : σé = p 3 p 2 = konstans (3.4) állandó az égés hatásfoka: ηégés = Q be val Q be elm = Q be val H a ṁ tüz = konstans (3.5) elhanyagolom a tüzel anyag entalpiáját (a leveg, valamint az elégett gázkeverék entalpiájához képest): h tüz =0 (3.6) Az égésteret egy tökéletesen kevert térnek (mérlegelési térfogatnak) tételezem fel. Ez azt jelenti, hogy a mérlegelési térfogat jellemz paramétereinek értékei megegyeznek a mérlegelési térfogat kilép paramétereinek értékeivel. (g) A turbinának: nincs tömeg-tároló tulajdonsága, azaz a belép és a kilép gáz tömegáramai megegyeznek: ṁ Tbe = ṁ Tki = ṁ T (3.7) továbbá nincs bels energia-tároló tulajdonsága: U 4 = konstans (3.8) (h) A gázelvezet csatornában állandó össznyomás-visszanyerési tényez t (σ G ) tételezek fel: σ G = p 0 p = konstans (3.9) 4 23

. Q P. m be h * be p * T * m V U *. m ki h * ki 3.1. ábra. Mérlegelési térfogat 3.3. Megmaradási egyenletek - dierenciál-egyenletek A gázturbinát leíró matematikai modell dinamikus egyenletei megmaradási törvényekb l - a tömeg, a bels energia és a mechanikai energia megmaradásának törvényeib l - vezethet k le. Tömeg- és ezzel együtt bels energia-tároló hatása, tulajdonsága az energia átalakulásban résztvev elemek (általában kompresszorok, turbinák, fúvócs ) közötti térfogatoknak lehet [83]. Célszer ezen térfogatok közül a nagyobb és ezzel jelent sebb tároló hatású térfogatokat vizsgálni, a modellben dierenciál-egyenletekkel szerepeltetni. A többi mérlegelési térfogatot kvázistacionernek (végtelenül kicsinek és a bennük lejátszódó folyamatokat végtelenül gyorsnak) tételezem fel, így azoknak tároló hatása nincs [O5]. Mechanikai (mozgási) energia-tárolás az energiaátalakulás során elmozduló egységekben lehetséges. Ilyen tároló hatása a forgórésznek, vagy forgórészeknek van. Természetesen a modellben annyi mechanikai energia-tároló tulajdonságot leíró dierenciál-egyenletet kell felírni, ahány forgórészb l áll a vizsgált gázturbina. 3.3.1. Megmaradási egyenletek A dinamikus mérlegegyenleteket kifejez dierenciál-egyenletek levezetéséhez tekintsünk egy V térfogatú, m tömeg mérlegelési térfogatot a következ jelölésekkel: a mérlegelési térfogat átlagos, bels h mérséklete T,nyomásap, bels energiája U ; a belép illetve a kilép tömegáram ṁ be és ṁ ki, a belép illetve a kilép entalpia h be és h ki (ld. a 3.1. ábra). Legyen Q a mérlegelési térfogattal id egység alatt közölt, vagy onnan elvont h és P az általa felvett, vagy leadott teljesítmény! 1. A tömegre vonatkozó általános mérlegegyenlet (az egyenletben nem szerepel forrástag): dm dt = ṁ be ṁ ki (3.10) 2. A bels energiára vonatkozó általános mérlegegyenlet (a forrástagok a Q és a P): du dt = ṁ be h be ṁ kih ki + Q + P (3.11) A bels energia deníciójából, a h mérséklettel való összefüggéséb l adódik: du dt = d(mc vt ) dt d = c v dt (T m)=c v T dm dt + c vm dt dt (3.12) 24

A (3.11) és (3.12) kifejezések eredményeképpen a mérlegelési térfogat átlagos, bels h mérsékletére a következ dinamikus egyenlet adódik: dt dt = ṁbeh be ṁ kih ki + Q + P c v T (ṁ be ṁ ki ) c v m (3.13) Felhasználva az ideális gáz állapotegyenletét: p V = mrt (3.14) a tároló átlagos, bels nyomására az alábbi dinamikus egyenlet írható fel: ( dp dt = p m (ṁ be ṁ ki )+ p ṁ be h be ṁ kih ki + Q ) + P c v T (ṁ be ṁ ki ) T c v m (3.15) 3. Egy forgórész (kompresszor-turbina tengely) mozgási energia-tároló hatását a következ dierenciál-egyenlet írja le: de forgórész dt = PT η mech PK Pleadott (3.16) ahol E forgórész = 1 2 Θω2 = 1 2 Θ(2Πn)2 (3.17) és így: de forgórész dt =4Π 2 Θn dn dt = P T η mech PK Pleadott (3.18) ahol E forgórész a forgórészben tárolt mozgási energia, PT a turbina által leadott teljesítmény, PK a kompresszor által felvett teljesítmény, Pleadott a leadott hasznos teljesítmény, amely a vizsgált gázturbina esetében a vízféken keresztül h vé és így vesztességgé alakul át, Θ a forgórész tehetetlenségi nyomatéka és ω a forgórész szögsebessége. 3.3.2. A gázturbina megmaradási egyenletekb l származó differenciálegyenletei A 3.2. fejezetben szerepl modellezési feltételezések szerint csak az égéstérnek van tömegés bels energia-tároló tulajdonsága (ez a legnagyobb és így dinamikailag legjelent sebb köztes térfogat), így az égéstérre egy tömeg- és egy bels energia-megmaradási dinamikus egyenlet fogalmazható meg [P2]. Az égéstér, mint mérlegelési térfogat (ld. a 3.2. ábra) a 3.2. fejezet (f.4) pontja alapján tökéletesen kevert tér is, így az égéstér átlagos, bels nyomása megegyezik az égéstér kilép torlóponti nyomásával: p É = p 3 (3.19) az égéstér átlagos, bels h mérséklete pedig megegyezik az égéstér kilép torlóponti h mérsékletével: T É = T 3 (3.20) Ez utóbbiból következik, hogy az égéstér bels energiája az égéstér kilép torlóponti h mérsékletéb l és a (3.30) algebrai egyenletet felhasználva, az égéstér kilép torlóponti nyomásából számítható: U É = m É c vt3 p 3 = c V É v (3.21) Rköz 25

. m tüz. Q be val. m K h * 2 p * É T * É m É V É U * É. m T h * 3 3.2. ábra. Az égéstér, mint mérlegelési térfogat Másrészt a vizsgált gázturbina egytengelyes (egyforgórészes), így egy mechanikai energiatároló dinamikus egyenlet írható fel. Mivel, a fentiek alapján, a vizsgált gázturbinára három független egyensúlyi egyenlet készíthet, ezért a dinamikus rendszer három állapotváltozóval leírható. Dinamikus egyenletek extenzív változókkal 1. Az égéstér, mint tömeg-tároló: a belép tömegáramok a kompresszorból érkez leveg tömegárama és a belép tüzel anyag-tömegáram; az egyetlen kilép tömegáram a turbinába belép gáz tömegárama. dmé dt = ṁ K +ṁ tüz ṁ T (3.22) 2. Az égéstér, mint bels energia-tároló: 3.2. fejezetben leírtak szerint a tüzel anyag entalpiája elhanyagolható, csak a leveg, illetve a gáz torlóponti entalpiáját kell az egyenletben gyelembe venni; számításba kell venni az égéstérben az id egység alatt a gázzal közölt h mennyiséget; ugyanakkor az égéstérben nincs munkavégzés, így az egyenletben nincs ilyen értelm tag. du É dt = ṁ K h 2 ṁ T h 3 + Q be val = ṁ K c plev T 2 ṁ T c pgáz T 3 + H a ηégés ṁ tüz (3.23) 3. Mechanikai dinamikus egyenlet a forgórészre: a turbina teljesítménye a turbina tömegáramának szorzata a turbina belép és kilép torlóponti entalpiáinak különbségével (gyelembe véve a mechanikai veszteséget is); a kompresszor által felvett teljesítmény a kompresszor tömegáramának szorzata a kompresszor kilép és belép torlóponti entalpiáinak különbségével; a kompresszor-turbina tengelyr l a 3/50-es áttételen keresztül levett teljesítmény szerepel az egyenlet utolsó tagjaként. 26

de forgórész = ṁ T (h 3 h dt 4)η mech ṁ K (h 2 h 1) P leadott = = ṁ T c pgáz (T3 T4 ) η mech ṁ K c plev (T2 T1 ) 2Π 3 50 nm terh (3.24) Dinamikus egyenletek intenzív változókkal Többféle módon át lehet alakítani a fenti extenzív változós egyenleteket intenzív változós formára. A (3.22) egyenletet változatlanul hagyva (az mé ugyan nem intenzív változó, de a tömeg-egyenletet nem célszer intenzív változós formára átalakítani), a (3.23) és a (3.24) egyenletek esetében intenzív változónak választom a p 3 turbina el tti torlóponti nyomást és az n fordulatszámot, felhasználva a (3.17) és a (3.21) algebrai, az extenzív és az intenzív változók közötti kapcsolatokat leíró egyenleteket. Így a végs dinamikus egyenletek a következ ek: 1. 2. 3. dmé dt = ṁ K +ṁ tüz ṁ T (3.25) dp 3 dt = p 3 p 3 (ṁ K +ṁ tüz ṁ T )+ mé T3 c (ṁ K c plev T2 ṁ T c pgáz T3 + vközmé + H a ηégés ṁ tüz c vköz T3 (ṁ K +ṁ tüz ṁ T )) (3.26) ( dn dt = 1 4Π 2 ṁ T c pgáz (T3 T4 ) η mech ṁ K c plev (T2 T1 ) 2Π 3 ) Θn 50 nm terh (3.27) 3.4. Statikus, kiegészít egyenletek - algebrai egyenletek A 3.1. fejezetben leírtak szerint a gázturbina nemlineáris modellje dierenciál-egyenletek és algebrai egyenletek rendszere. Az algebrai egyenletek az egyes gázturbina egységek folyamatait leíró törvényeit, statikus összefüggéseit és karakterisztikáit írják le pontosabb vagy egyszer sített formában. Ilyen algebrai egyenleteket már a korábbiakban is felhasználtam: (3.17) és a (3.21) az extenzív és az intenzív változók közötti kapcsolatokat leíró egyenleteket és a (3.14) ideális gáz állapotegyenletét (ez utóbbit ebben a fejezetben megismétlem az égéstérállapotváltozóival megfogalmazva). A 3.2. fejezet modellezési feltételeit felhasználva a modell zárásához a hiányzó torlóponti nyomások és h mérsékletek összefüggései, valamint a kompresszor és a turbina dimenziótlan tömegáramait és izentrópikus hatásfokait megadó közelít karakterisztikák szükségesek. 3.4.1. Torlóponti nyomások és h mérsékletek 1. A kompresszor és a turbina utáni torlóponti nyomás számítása a 3.2. fejezet (d), (f.1) és (h) pontjai alapján történik: p 2 = p 3 σé (3.28) p 4 = p 1 σ SZ σ G (3.29) 27

2. A turbina el tti torlóponti h mérsékletre vonatkozó algebrai egyenlet az ideális gáz állapotegyenlete, amelyet az égéstér állapotváltozóira fogalmaztam meg: T 3 = p 3 V É mér köz (3.30) 3. Szükségesek a kompresszor és a turbina utáni torlóponti h mérsékleteket megadó összefüggések is. Ezekben a gázturbina-egységekben valóságos adiabatikus kompresszió illetve expanzió megy végbe, mely folyamatok az η K és η T izentrópikus hatásfokokkal jellemezhet k. A kompresszor utáni torlóponti h mérséklet: T2 = T1 1+ 1 ( p 2 η K p 1 ) κ lev 1 κ lev 1 (3.31) A turbina utáni torlóponti h mérséklet hasonlóan: T 4 = T 3 1 η T 1 1 ( ) κ gáz 1 p 3 κ gáz p 4 3.4.2. A kompresszor és a turbina karakterisztikái (3.32) A nemlineáris egyenletrendszer zárásához a kompresszor és a turbina tömegáramait és izentrópikus hatásfokait meghatározó összefüggésekre van még szükség. A tömegáramokat megadó képletek: p ṁ K = β lev A 1 p 1 1 q 1 = konst(1) q T 1 (3.33) 1 T 1 p ṁ T = β gáz A 3 p 3 3 q 3 = konst(2) q T 3 (3.34) 3 T 3 A (3.33) és a (3.34) egyenletekben β egy a leveg, illetve a gáz jellemz ib l (a κ és az R értékéb l) számítható konstans mennyiség, A a belép keresztmetszet (szintén állandó paraméter), q a kompresszor, illetve a turbina dimenziótlan tömegárama, p, T a belép torlóponti nyomás és h mérséklet. Az 1-es index a kompresszor, a 3-as index a turbina belép paramétereire utal. A dimenziótlan tömegáramok a következ függvénykapcsolatok alapján határozhatók meg: q 1 = f 1 (nátsz, Π K) (3.35) q 3 = f 2 (λ u, Π T ) (3.36) ahol a kompresszor átszámított fordulatszáma: nátsz = n T 1 288,15 K (3.37) a kompresszor nyomásviszonya: Π K = p 2 p 1 (3.38) 28

a turbina dimenziótlan kerületi sebessége, ami a turbina belép keresztmetszeténél a forgólapát kerületi sebességének és a kritikus sebességnek a hányadosa (a dforg a turbina belép keresztmetszeténél a forgólapát átmér je): λ u = u ckr = dforgπn 2κgáz κ gáz +1 R gázt 3 n = konst(3) (3.39) T 3 és a turbina nyomásviszonya: Π T = p 3 p (3.40) 4 A kompresszor és a turbina izentrópikus hatásfokai a fenti (3.35) - (3.40) egyenletek által deniált mennyiségekb l számíthatók: η K = g 1 (nátsz,q 1 ) (3.41) η T = g 2 (λ u, Π T ) (3.42) A (3.33), (3.34) és a (3.41), (3.42) összefüggések a kompresszor és a turbina dimenziótlan tömegáram- és izentrópikus hatásfok-karakterisztikáit írják le.az ezekben az egyenletekben szerepl f 1, f 2, g 1 és g 2 függvények általában alkalmasan megválasztott másod fokszámú polinomoktól ötöd fokszámú polinomokig lehetnek, ahol a fokszámot úgy kell megválasztani, hogy azok megfelel pontossággal adják vissza a jelleggörbéket [83]. Azonban a 2.3.1. fejezetben leírtak alapján a karakterisztikák közelít függvényekkel való megadása a vizsgált gázturbina esetében egyszer bb polinomokkal is elegend en pontosan elvégezhet. 3.4.3. A kompresszor és a turbina karakterisztikáinak közelítése A kompresszor és a turbina karakterisztikáinak közelítéséhez kétféle approximációt készítettem el [P1]: Az els approximáció során a karakterisztikákat meghatározó polinomokat bilineáris formában kerestem, azaz a (3.35), (3.36), (3.41), és (3.42) egyenletek bal oldalán szerepl függ paraméterek mindegyike lineárisan függ az egyenletek jobb oldalán lév független paraméterekt l: q 1 = a 1 nátsz Π K + a 2 nátsz + a 3 Π K + a 4 (3.43) η K = b 1 nátsz q 1 + b 2 nátsz + b 3 q 1 + b 4 (3.44) q 3 = c 1 λ u Π T + c 2 λ u + c 3 Π T + c 4 (3.45) η T = d 1 λ u Π T + d 2 λ u + d 3 Π T + d 4 (3.46) A második approximáció során a karakterisztikákat meghatározó polinomokat lineárisparabolikus formában kerestem, azaz a (3.35), (3.36), (3.41) és (3.42) egyenletek bal oldalán szerepl függ paraméterek mindegyike lineárisan függ az egyenletek jobb oldalán lév fordulatszámot közvetlenül tartalmazó paramétert l és parabolikusan függ a fordulatszámot közvetlenül nem tartalmazó paramétert l (kompresszor illetve turbina nyomásviszonya, valamint a (3.41) egyenletben a kompresszor dimenziótlan tömegárama). 29

q 1 = a 1 nátsz Π 2 K + a 2 Π 2 K + a 3 nátsz Π K + a 4 Π K + a 5 nátsz + a 6 (3.47) η K = b 1 nátsz q 2 1 + b 2 q 2 1 + b 3 nátsz q 1 + b 4 q 1 + b 5 nátsz + b 6 (3.48) q 3 = c 1 λ u Π 2 T + c 2 Π 2 T + c 3 λ u Π T + c 4 Π T + c 5 λ u + c 6 (3.49) η T = d 1 λ u Π 2 T + d 2 Π 2 T + d 3 λ u Π T + d 4 Π T + d 5 λ u + d 6 (3.50) A közelít egyenletek konstansainak meghatározása, valamint a kétféle közelítés alkalmazása közötti döntés a 4.1. fejezetben található. 3.5. A dinamikus modell nemlineáris egyenletei input-an alakban Az irányítástechnikai vizsgálatok el készítéséhez célszer a modell változóit megfelel vektorokba rendezni. Az els ilyen vektor az állapotváltozók vektora, amelybe azokat a paramétereket kell összegy jteni, amelyek a (3.25) - (3.27) dinamikus egyenletek bal oldalán szerepelnek: x = [ mé p 3 n ] T (3.51) Az egyetlen bemenet, más néven szabályzó vagy kontroll-input a tüzel anyag tömegárama: u =[ṁ tüz ] (3.52) A kimenet, más néven output-vektorba a mérhet paraméterek kerülnek. Az állapotvektor elemei közül a p 3 ésazn mérhet, de az m É nem. Helyette jól használható a T4 h mérséklet, így a kimenet-vektor: y =[T 4 p 3 n ] T (3.53) Szükséges még egy speciális, un. zavarás-vektor, amelybe azok a változók kerülnek, amelyek küls hatást gyakorolnak a gázturbinára, annak dinamikus viselkedésére. Tulajdonképpen az ebben a vektorban szerepl változók írják le azt a környezetet, amelyben a gázturbina aktuálisan m ködik. Fontos megjegyezni, hogy a zavarásvektor minden eleme mérhet és id ben változó mennyiség. d =[p 1 T 1 M terh ] T (3.54) A dinamikus modell fentebb deniált jelváltozói a 3.3. ábrán láthatóak. Egy általános nemlineáris állapottér állapotegyenletei és kimeneti egyenletei input-an alakra hozhatók, ha az egyenletek felírhatók a következ formában: 30

d u S X h(x) y 3.3. ábra. A dinamikus modell jelváltozói dx m dt = f(x)+ g i (x)u i (3.55) i=1 y = h(x) (3.56) ahol egy 3 dimenziós állapottér esetében az f(x), ag i (x)-ek és a h(x) mindegyike három koordináta-függvényb l áll. A nemlineáris rendszerek nagyon jelent s osztálya az input-an alakra hozható nemlineáris dinamikus modellek, mivel alapvet en csak ezen osztályra léteznek alkalmazható irányításelméleti tételek és szabályozótervezési módszerek. Így fontos megállapítás, hogy a gázturbina dinamikus modellje olyan, hogy az algebrai egyenletek mindegyike explicit módon behelyettesíthet a dierenciál-egyenletekbe (az algebrai rész eltüntethet ), függetlenül attól, hogy a 3.4.3. fejezetben leírt közelítések közül a kés bbiekben melyik kerül alkalmazásra. Az így kialakuló, behelyettesített nemlineáris dinamikus egyenletek a (3.55)és a (3.56)egyenleteknek megfelel en input-an alakra hozhatók. A szerepl konkrét függvények bonyolult algebrai alakja miatt az algebrai rész behelyettesítése és a koordináta-függvények elkészítése Maple V-ben készült. A programlistát és az egyenleteket a B. Függelék B.1. része tartalmazza. 3.6. Összefoglalás Ebben a fejezetben egyszer sít feltétezésekkel (ld. a 3.2. fejezet modellezési feltételezései) elkészítettem a gázturbina dinamikus modelljét, amely két részb l áll: A tömeg-és a bels energia-megmaradási egyenletek (amelyek az égéstérre, mint mérlegelési térfogatra írhatók fel), valamint a mechanikai energia-megmaradási egyenlete (amely egy tengelyre, illetve egy forgórészre fogalmazható meg), amelyek nemlineáris dierenciál-egyenletek formájában jelennek meg. Így a modell felírásához három nemlineáris dierenciál-egyenletre van szükség. A modell algebrai része tartalmaz minden olyan további törvényszer séget, statikus összefüggést, amelyre szükség van a modell zárásához. Az algebrai egyenletek els csoportja az extenzív és az intenzív változók közötti kapcsolatokat leíró egyenleteket, valamint az ideális gáz állapotegyenletét tartalmazza. Az algebrai egyenletek második csoportjába tartozó egyenletek a modellb l még hiányzó torlóponti nyomásokat és h mérsékleteket írják le a modellezési feltételezések és alapvet h tani összefüggések segítségével. 31

A kompresszor és a turbina dimenziótlan tömegáram-, és izentrópikus hatásfokkarakterisztikái alkotják az algebrai egyenletek harmadik csoportját. Ezek a karakterisztikák kell pontosággal csak megfelel számúmérésb l, a mérési pontok közelítésével adhatók meg. Kétféle approximációt dolgoztam ki: az els egy egyszer bb, bilineáris alakú, a másik egy lineáris-parabolikus alakú egyenletekb l álló közelítés. A közelít egyenletek együtthatóinak meghatározását és a kétféle közelítés közötti döntést a 4.1. fejezetben végzem el. A gázturbina dinamikus modellje tehát egy dierenciál-algebrai egyenlet-rendszer, ahol az algebrai egyenletek mindegyike behelyettesíthet a dierenciál-egyenletekbe függetlenül attól, hogy az ismertetett közelítések közül a kés bbiekben melyik kerül alkalmazásra. Így a gázturbina egy három állapotváltozós nemlineáris dinamikus modellel leírható. Azt is megmutattam, hogy a nemlineáris modell állapotegyenletei a (3.55) és a (3.56) egyenletek szerinti alakúinput-an formára hozhatók. 32

4. fejezet A modell ismeretlen paramétereinek becslése A 3. fejezetben ismertetett gázturbina dinamikus matematikai modellje kétféle alapvet változó-csoporttal rendelkezik. A dinamikus modell jelváltozóit a 3.5. fejezetben foglaltam össze. Ezek a változók az állapotváltozók;a bemenet;a kimenetek;valamint a zavarás-vektor elemei, amelyek az irányításelméleti állapottér-modell jelei. A dinamikus modell változóinak másik csoportja azon paraméterekb l áll, amelyek állandók, vagy állandónak tekinthet k. Ezek a paraméterek további két csoportra oszthatók: Az els csoportba azok az állandók tartoznak, amelyek számértékei a modellezési folyamatnak ezen a pontján valamilyen elmélet által, vagy a 3.2. fejezet modellezési feltételezéseinek segítségével meghatározottak. 1. A h tanból, illetve a gázturbinás hajtóm vek elméletéb l ismert állandók a leveg, az elégett gáz és az égési folyamat során létrejöv köztes gázkeverék jellemz i: R lev = 287 J/kg K R gáz = 288 J/kg K κ lev =1, 4 κ gáz =1, 33 c plev = 1004, 5 J/kg K c pgáz = 1160, 72 J/kg K c vlev = 717, 5 J/kg K c vgáz = 872, 72 J/kg K β lev =0, 0404184 K s/m β gáz =0, 039635 K s/m valamint: R köz = R lev + R gáz 2 = 287, 5J/kg K c vköz = c vlev + c vgáz 2 = 795, 11J/kg K 2. Állandó érték a tüzel anyag (a gázolaj) alsó f t értéke [87]: H a =42, 8 MJ/kg 33

3. Állandónak tekintem a mechanikai hatásfokot, amely magában foglalja a gázturbina mechanikai hatásfoka mellett a fordulatszám-áttétel mechanikai hatásfokát is: η mech =0, 9801 4. A hajtóm geometriai adatai (A1 a kompresszor belép keresztmetszete, A3 a turbina belép keresztmetszete és dforg a turbina belép keresztmetszeténél a forgólapát átmér je) is állandóak (az adatokat a vizsgált gázturbina m szaki rajzáról vettem): A1 =0, 0058687 m 2, A3 =0, 0117056 m 2 dforg =0, 1635 m 5. A 3.2. fejezet modellezési feltételezéseib l következik még négy paraméter (a három össznyomás-visszanyerési tényez nek és az égés hatásfokának) állandósága. Ezek a paraméterek a valóságban egy sz k tartományon változtatják értéküket, de els közelítésben, a modell egyszer sége érdekében ezeket mégis állandónak tekintem. Számértéküket úgy határoztam meg, hogy a munkapontok mérése során kapott értékeik számtani átlagát vettem. Így: σ SZ =0, 98879 σé =0, 93739 ηégés =0, 96651 σ G =0, 96687 A másik csoportba azok az állandók tartoznak, amelyek a modellezés jelenlegi fázisában még ismeretlenek. Ahhoz, hogy a dinamikus modell irányítástechnikai vizsgálatokra alkalmas legyen, ezeket az ismeretlen paramétereket, ezek számszer értékét meg kell határozni, megfelel pontossággal meg kell becsülni. 4.1. A modell ismeretlen statikus paraméterei és becslésük 4.1.1. A modell ismeretlen statikus paraméterei A modell ismeretlen paramétereinek els csoportja az un. ismeretlen statikus paraméterek. Azért statikusak, mert a munkaponti, statikus mérések segítségével értékük meghatározható, így a becsléshez elegend felhasználni az ismert mérési pontok adatait. (A statikus mérések leírása a 2.3.1. fejezetben, a munkaponti mért adatok pedig az A. Függelék A.3. részében találhatóak.) Ebbe a csoportba a kompresszor és a turbina dimenziótlan tömegáram- és izentrópikus hatásfok-karakterisztikáiban szerepl ismeretlen konstansok (ld. a (3.43) - (3.50) egyenletek a i - d i értékei) tartoznak. Mivel a 3.4.3. fejezetben kétféle karakterisztika-közelítést dolgoztam ki, így szükséges a becslési eljárással mindkét approximáció konstansait (konstanssorait) meghatározni, majd külön-külön értékelni az egyes közelítések pontosságát és a becslés egyéb tulajdonságait. Figyelembe véve még az egyes közelítések pontossága mellett azok bonyolultsági fokát is - amely nagyban befolyásolja a kés bbi irányítástechnikai vizsgálatok elvégezhet ségét, illetve nehézségi fokát - eldönthet, hogy a két változat közül melyik kerül alkalmazásra. 34

4.1.2. A statikus paraméterek becslési módszere A (3.43) - (3.50) egyenletekben szerepl konstansokat a legkisebb négyzetek módszerével határozom meg [43], [59]. A legkisebb négyzetes hibájú paraméter-becsl eljárásokat a négyzetes hibakritériumból kiindulva származtathatjuk, vagyis úgy, hogy a becslési hiba négyzetét minimalizáljuk. A becslési hiba minimalizálásán alapuló módszerek közül a legegyszer bb, és egyben a gyakorlatban legelterjedtebb módszer a legkisebb négyzetek elvén alapuló paraméter-becslés. Fontos megjegyezni, hogy összesen 8 (a 4 karakterisztika 2 típusú, bilineáris és lineárisparabolikus) becslését kell elvégezni. Így 8-szor kell alkalmazni a legkisebb négyzetek módszerét. A módszert és tulajdonságait a kompresszor dimenziótlan tömegáram karakterisztikájának bilineáris típusú becslési eljárásának példáján mutatom be (amikor az a 1 -a 4 konstansok meghatározása a cél), kitérve a többi esetnél el forduló lényeges eltérésekre. Természetesen mind a 8 becslési eljárás eredményeit közlöm (ld. a 4.1.-4.4. táblázatok). A másik fontos észrevétel a paraméter-becslési eljárás megkezdése el tt, hogy a (3.43) - (3.50) egyenletek szerint ezekben a becslési modellekben (mind a 8 esetben) az ismeretlen konstansok lineárisan szerepelnek, azaz paraméterekben lineáris modellel, modellekkel van dolgunk. A paraméterekben lineáris modellek paramétereinek legkisebb négyzetes becslése esetén szükséges: Egy paraméterekben lineáris modell: y (M) = x T p = n x i p i (4.1) amelyben p R n az ismeretlen modell paraméterek vektora, x R n a független változók vektora és az y (M) a függ változó. A példabeli bilineáris modellnél n = 4, hiszen 4 konstanst kell meghatározni (a lineáris-parabolikus esetekben n =6), a p paraméter-vektor: a független változók x vektora: i=1 p = [ a 1 a 2 a 3 a 4 ] T (4.2) x = [ nátsz Π K n átsz Π K 1 ] T (4.3) és a mérésekb l számított függ változó: y (M) = q 1 (4.4) Az m mérésb l álló mért értékek halmaza, amelyet az alábbi alakú mérési vektormátrix formába lehet rendezni: y 1 x 11 x 12 x 1n y = y 2.., X = x 21 x 22 x 2n (4.5) y m x m1 x m2 x mn Itt az y i mért értékek mérési hibával terheltek. Esetünkben a statikus mérési adatok száma: m =77. 35

Egy L veszteségfügvény L = r T Wr = m i=1 j=1 m r i W ij r j (4.6) r i = y i y (M) i (4.7) ahol r a reziduál vagy eltérés-vektor és W egy alkalmas pozitív denit szimmetrikus súlymátrix. A legkisebb négyzetek módszere alkalmazásának célja, hogy meghatározzuk a p paraméterek egy ˆp becslését úgy, hogy az L veszteségfüggvény minimális legyen. Ismeretes, hogy a p paraméterek legkisebb négyzetes (LS) becslése a fenti jelölésekkel az alábbi alakú [43]: ˆp =(X T WX) 1 X T Wy (4.8) Bizonyítható, hogy amennyiben a mérési hibák normális eloszlásúak nulla várható értékkel és ε kovariancia mátrixszal, valamint ha W = 1 ε súlymátrixot választunk, akkor a ˆp becslés az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik [43]: a becslés normális eloszlású; a becslés várható értéke E{ˆp} = p, tehát a becslés torzítatlan; a becslés kovariancia-mártixa COV {ˆp} =(X T WX) 1 (4.9) a becslés egy legnagyobb valószín ség maximum-likelihood becslés, és így egy hatásos optimális becslés. 4.1.3. A statikus paraméterek becslésének eredménye A becslési modellek, egyenletek konstansainak keresése beágyazott (embedded) MATLABfüggvénnyel (lscov) [3] történt. Ez a függvény a fent említett eljárással, el re megadott y vektor, X mátrix és W súlymátrix mellett kiszámítja a p paraméterek ˆp optimális becslését; valamint a (4.9) összefüggést felhasználva a becslés kovariancia-mátrixa f átlóbeli elemeinek négyzetgyökét, azaz a ˆp vektor elemeinek szórását. Az eljáráshoz a W -t egységmátrixnak vettem fel (mind a 8 esetben), azaz a mérési hibákat normális eloszlású, nulla várható érték és egységmátrix kovariancia-mátrixúnak tételeztem fel. Mindegyik esetre elvégezve a becsléseket, a kapott állandók és azok szórásai a 4.1.- 4.4. táblázatokban láthatóak. Az ezekkel a konstansokkal és a visszahelyettesített becslési polinomokkal elkészített, a m ködési tartományokon (ld. az A. Függelék A.5. részének A.3., A.4. és A.11. ábrái) közelített karakterisztikák az A. Függelék A.5. részének A.5., A.6.; A.7., A.8.; A.12., A.13.; A.14., A.15. ábráin láthatóak. A kétféle becslés - azaz a bilineáris és a lineáris-parabolikus közelítés - matematikai összehasonlításához alkalmas a (4.7) egyenlettel deniált L veszteségfüggvény minimális, a becslés eredményeként kapott értéke. Ezek az L min értékek a 4.1.-4.4. táblázatok utolsó soraiban szerepelnek. A becslés más szempontú értékelése céljából célszer megvizsgálni, hogy a (4.7) egyenlettel deniált reziduál-vektor elemei (valamely karakterisztika becslése esetén) véletlenszer eloszlásúak-e [41]. Ehhez a reziduál-vektor r i elemeinek értékeit kell ábrázolni a 36

mérési pontok (i =1 m) függvényében. Amennyiben az elosztás véletlenszer, akkor a becslés jónak min síthet. A 4.1. ábrán a kompresszor dimenziótlan tömegáram karakterisztikája bilineáris közelítésének reziduál-értékei láthatók. (A kapott diagram a többi karakterisztika esetében is hasonló.) Látható, hogy az eltérés-vektor elemei véletlenszer eloszlásúak, így a becslés minden esetben megfelel. i a i a i szórása b i b i szórása 1 0,00035319 3,6596 10 5-0,00059576 3,1004 10 4 2 0,0011097 8,6759 10 5 0,00028848 1,7392 10 4 3-0,4611 3,6852 10 2 0,5265 3,0463 10 1 4 0,16635 5,8396 10 2 0,42051 1,0825 10 1 L min 6,7615 10 4 2,9210 10 3 4.1. táblázat. A kompresszor karakterisztikák bilineáris közelítéseinek konstansai és azok szórása i c i c i szórása d i d i szórása 1-0,03248 2,4335 10 2 0,144 1,8320 10 1 2 0,0018218 5,1971 10 2 0,0021314 3,9126 10 1 3 0,047843 1,6581 10 2-0,19685 1,2483 10 1 4 0,16026 3,4601 10 2 1,07 2,6049 10 1 L min 2,3533 10 4 1,3338 10 2 4.2. táblázat. A turbina karakterisztikák bilineáris közelítéseinek konstansai és azok szórása i a i a i szórása b i b i szórása 1 0,00026257 1,8378 10 4 0,0028255 7,1357 10 3 2-0,22273 1,7545 10 1-3,9674 6,8351 10 1 3-0,00076179 8,0214 10 4-0,0014457 6,6665 10 3 4 0,49936 6,9124 10 1 3,052 5,5417 10 1 5 0,0022535 1,0073 10 3 0,0000014215 1,9035 10 3 6-0,84134 7,0605 10 1 0,15366 1,2441 10 1 L min 6,5702 10 4 2,9014 10 3 4.3. táblázat. A kompresszor karakterisztikák lineáris-parabolikus közelítéseinek konstansai és azok szórása Összevetve a 4.1. és a 4.3. táblázatok, valamint a 4.2. és a 4.4. táblázatok utolsó sorait látható, hogy a kétféle típusú becslési modellek a (4.7) egyenlettel deniált minimalizált veszteség-függvény, és a becslés eredményeként kapott paraméterek szórásai alapján lényegesen nem különböznek egymástól. Mivel a modell-alkotás során célszer törekedni az egyszer ségre (ld. a 4.1.1. fejezetben leírtak), a továbbiakban az els típusú becslési modelleket, a bilineáris polinomokat fogom használni a kompresszor és a turbina karakterisztikáinak leírására. 37

i c i c i szórása d i d i szórása 1 0,50085 1,4186 10 1-0,59478 1,2059 10 1 2-0,3687 9,7091 10 2 0,32512 8,2533 10 1 3-2,0632 6,0101 10 1 2,9127 5,1090 10 1 4 1,5469 4,0844 10 1-1,7322 3,4720 10 1 5 2,0335 6,3454 10 1-3,1926 5,3940 10 1 6-1,345 4,2787 10 1 2,8633 3,6371 10 1 L min 1,8136 10 4 1,3105 10 2 4.4. táblázat. A turbina karakterisztikák lineáris-parabolikus közelítéseinek konstansai és azok szórása 8 x 10 3 Kompresszor tömegáram karakterisztika 6 4 2 Reziduál 0 2 4 6 8 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Mérési pontok 4.1. ábra. Reziduál-értékek eloszlása 4.2. Érzékenység-vizsgálat A 4.1.2. fejezetben meghatározott konstansokkal a gázturbina minden statikus paramétere ismertté vált. Miel tt azonban rátérnék a dinamikus paraméterekre és azok becslési eljárására, célszer megvizsgálni azokat a statikus paramétereket, amelyek állandóságát a 3.2. fejezet (d), (f.1), (f.2) és (h) pontjaiban feltételeztem. A valóságban ugyanis az össznyomás-visszanyerési tényez k és az égés hatásfoka nem állandóak, ezek mind az id ben, mind pedig munkapontról-munkapontra megváltoztatják értékeiket. Ez a változás önmagában nem jelent s, maximális eltérésük az átlagértékeikt l kevesebb, mint ±2 százalék volt a statikus munkaponti mérések során. Az érzékenység-vizsgálat során arra a kérdésre keresem a választ, hogy ezen paraméterek ilyen kis mérték változása hogyan hat a rendszer változóira, alapvet en az állapotváltozóira. A 4.5. táblázatban összefoglaltam ezen id ben változó (és nem mérhet, csak számítással meghatározható) jellemz k minimális, átlag és maximális értékeit. Az érzékenységek megállapításához ezen jellemz ket egyesével, külön-külön változtattam meg az átlagértékükr l a maximálisra, illetve a minimálisra. A számításokhoz kiválasztottam egy munkapontot, melynél a tüzel anyag tömegárama: u =0, 009243576 kg/s (4.10) 38

x 1 x 2 x 3 σ SZ min =0, 98441 0,004928 198 614 687 σ SZ átl =0, 98879 0,005113 203 064 700 σ SZ max =0, 99247 0,005253 206 450 710 σé min =0, 93067 0,004840 196 567 682 σé átl =0, 93739 0,005113 203 064 700 σé max =0, 9429 0,005319 207 964 713 ηé min =0, 9512 0,004822 194 435 676 ηé átl =0, 96651 0,005113 203 064 700 ηé max =0, 9843 0,005396 211 852 724 σ G min =0, 95235 0,004323 183 930 641 σ G átl =0, 96687 0,005112717 203 064 700 σ G max =0, 9822 0,005650 216 059 738 maximális eltérés %-ban 15,45 9,42 8,43 4.5. táblázat. Az id ben változó, nem mérhet rendszer-paraméterek átlagos és széls értékei és ezek hatása az állapotváltozókra a zavarás-vektor pedig: d = [ 101189, 15 Pa 288, 15 K 50 Nm] T (4.11) Ezeket a mennyiségeket behelyettesítve a statikus modellbe (amikor az állapotegyenletek bal oldala azonosan nulla) az állapotvektor: x =[0, 005113 kg 203064 Pa 700 1/s] T (4.12) A 4.5. táblázat alapján látható, hogy az össznyomás-visszanyerési tényez knek és az égés hatásfokának kis mérték megváltozása is jelent s hatást gyakorol a rendszer állapotváltozóinak állandósult állapotaira: az x 1 megváltozásának maximuma 15, 45 %, az x 2 megváltozásának maximuma 9, 42 %ésazx 3 megváltozásának maximuma 8, 43 %. Mivel ezek igen nagy eltérések, ezért célszer nek látszik, hogy ezen paramétereket ne tekintsem konstansnak, hanem egy, vagy több kiegészít algebrai egyenlet segítségével értékeiket, megváltozásaikat vegyem gyelembe és így építsem be a dinamikus modellbe. A gázturbinás hajtóm vek elméletében vannak erre a célra megfelel statikus egyenletek [83]. Például a földi telepítés gázturbinák szívócsatornájának össznyomás-visszanyerési tényez jére jól alkalmazható összefüggés [25]: σ SZ =1 (1 σ SZ 0 )( q 1 ) 2 (4.13) q 10 ahol a 0 index a névleges üzemmódhoz tartozó értéket jelöli. További hasonló jelleg algebrai egyenlet írható fel a többi id ben változó, nem mérhet paraméterre is. Azonban ezen egyenletek mindegyike olyan, hogy nem helyettesíthet be explicit módon a dierenciál-egyenletekbe. Uganis például a (4.13) összefüggés esetében a σ SZ számításához szükséges a kompresszor dimenziótlan tömegárama, ami a közelít függvénykapcsolatokkal leírt karakterisztikák segítségével a kompresszor nyomásviszonyából számítható. A kompresszor nyomásviszonyához viszont szükség van a σ SZ értékére. Ez természetesen egy iterációval számítható lenne, de a dinamikus modell azon fontos tulajdonsága, hogy az algebrai egyenletek mindegyike explicit módon behelyettesíthet a dierenciál-egyenletekbe, már nem állna fenn. 39

Ezért a pontosabb, több algebrai egyenlettel b vített dinamikus modell jelent sen bonyolultabb struktúrájú lenne, amely megnehezítené a nemlineáris analízist és a nemlineáris szabályozó tervezést. Így az egyszer bb dinamikus modellt választottam a további vizsgálatokhoz, amely tehát konstansnak feltételezett id ben változó, nem mérhet paramétereket tartalmaz [P4]. (A szabályozási célok megfogalmazásánál (ld. a 6.1. fejezet) gyelembe fogom venni, hogy az elkészített modell a fentiek értelmében nem robusztus ezen paraméterek megváltozására, így olyan szabályzót kell tervezni, amellyel a zárt, visszacsatolt kör robusztus lesz.) 4.3. Statikus pontosság A statikus paraméterek becslése és az érzékenység vizsgálat után meghatározható az elkészített modell statikus pontossága. Ebben a fejezetben három, véletlenszer en kiválasztott mérési munkaponti értéksor mellett feltüntetem az ugyanolyan kezdeti feltételekkel (a tüzel anyag tömegáramával és a zavarás-vektor elemeivel) a statikus modellb l meghatározott, számított értéksort is. A kett eltérése a statikus modell pontosságát jellemzi. 1. A küls feltételek (bemenet és zavarások): m tüz =0, 0091 kg/s p 1 T1 = 98979 Pa = 299, 95 K M terh =48, 9 Nm Állandósult állapotbeli állapotváltozó értékek: mért értékek számított értékek eltérés T4 mért = 772, 95 K T 4 számitott = 744, 4 K -3,7 % p 3 mért = 178819 Pa p 3 számitott = 191626 Pa 7,2 % n mért = 665 1/s n számitott = 693, 61/s 4,3 % 2. A küls feltételek (bemenet és zavarások): m tüz =0, 00109 kg/s p 1 T1 = 98672 Pa = 305, 25 K M terh =77, 7 Nm Állandósult állapotbeli állapotváltozó értékek: mért értékek számított értékek eltérés T4 mért = 799, 05 K T 4 számitott = 801, 8 K 0,34 % p 3 mért = 205332 Pa p 3 számitott = 209622 Pa 2,1 % n mért = 751, 51/s n számitott = 742, 21/s -1,2 % 3. A küls feltételek (bemenet és zavarások): 40

m tüz =0, 0123 kg/s p 1 T1 = 99980 Pa = 300, 45 K M terh =88, 3 Nm Állandósult állapotbeli állapotváltozó értékek: mért értékek számított értékek eltérés T4 mért = 775, 15 K T 4 számitott = 756, 9 K -2,4 % p 3 mért = 235610 Pa p 3 számitott = 248145 Pa 5,32 % n mért = 816, 51/s n számitott = 822, 61/s 0,75 % Amodell statikus pontosságának értékeléséhez gyelembe kell venni a következ ket: Adinamikus rendszerek modelljei általában "grey-box" (szürke doboz) típusúak; azaz a modellben az irodalomból származó ismert állandók mellett mérésekb l származó, vagy azokból közvetlenül számított adatok és becsült paraméter-értékek is szerepelnek. Így a modell pontosságát, "jóságát" együttesen befolyásolja a mérés és a paraméter-becslés pontossága, megbízhatósága [41]. Néhány viszonyítási érték: ipari mérési adatok pontossága [41]: ±10 30% laboratóriumi mérések alapján becsült paraméterek pontossága [41]: ±5 20% Természetesen a modellezési feltételezések mennyisége és azok er ssége is fontos tényez. A4.2. fejezetben azt állapítottam meg, hogy bizonyos feltételezések jelent sen befolyásolják a rendszer állapotváltozóit, és ezzel rontják a modell pontosságát. Azonban az irányítástechnikai vizsgálatok miatt a dinamikus modell kell egyszer - sége, kezelhet sége is fontos szempont. Amodell pontossága és annak egyszer sége egymás ellen ható követelmények, melyek között megfelel kompromisszumot kell keresni. A3. fejezetben elkészített irányítástechnikai célú modellnek a fentiekben számított statikus pontossága mellett dinamikus pontossága is számítható, becsülhet (ld. a 4.5.5. fejezet). Akétféle pontosság különböz érték lehet és azok jelent sége is eltér. Az irányítástechnikai célnak megfelel en a rendszer dinamikáját kell pontosabban leírni, így a modell dinamikus pontossága a dönt. Mindezek alapján és mivel a mért és számított paraméterek közötti eltérés a fenti, laboratóriumi körülményeknek megfelel határok között van, az elkészített modell statikus pontossága irányítástechnikai célokra megfelel. 4.4. M ködési tartomány kijelölése Astatikus paraméterek meghatározása után deniálni kell a modell m ködési, értelmezési tartományát. Ez mind a kés bbi szimulációk, mind pedig a irányítástechnikai vizsgálatok szempontjából fontos. Akövetkez határokat, feltételeket fogalmaztam meg: 41

A zavarás-vektor elemei közül a p 1 -ra és a T 1 -ra a határok: 243, 15 T1 308, 15 K 60000 p 1 110000 Pa Ez jól megfeleltethet a H = 0 4000 m között el forduló nyomás és h mérséklet viszonyoknak, azaz a gázturbina földi (bármilyen tengerszint feletti magasságú) és esetleges légi üzemeltetési körülményeinek. Ennél nagyobb magasságra már nem célszer vizsgálni a gázturbinát, hiszen az esetleges légi üzemeltetés esetén, az ilyen kisteljesítmény gázturbinás (légcsavaros gázturbinás) repül gép szolgálati csúcsmagassága nem haladja meg a 4000 métert. (A hasonló teljesítmény hajtóm vel rendelkez Cessna 150-es szolgálati csúcsmagassága 3850 méter [97]). Természetesen a próbapadi mérési körülmények is a fenti határokon belül voltak. A következ határfeltétel a turbina utáni torlóponti h mérsékletre vonatkozik, ennek maximális értéke: T4 max = 938, 15 K [1]. (Alapvet en adott fordulatszámon és adott küls körülmények mellett a terhel nyomaték maximálisan megengedhet értéke ebb l a feltételb l számítható.) A terhel nyomaték minimuma: M terh min =0Nm. A fordulatszámra vonatkozó zikai határok: 650 n 833, 33 1/s, aholazalsó határ az alapjárati, a fels határ a maximálisan megengedhet fordulatszám [1]. Így összesen 4 minimum és 4 maximum értéket kötöttem meg. Ez elegend ahhoz, hogy az összes, a (3.51) - (3.54) vektorokban szerepl elemek határai, minimumai és maximumai kiszámíthatóak legyenek. A számítás eredményeként a következ korlátok adódnak: 0, 002100317923 mé 0, 01092691283 kg 101333, 9168 p 3 357894, 2736 Pa 650 n 833, 33 1/s 0, 003669480223 ṁ tüz 0, 02701065149 kg/s 60000 p 1 110000 Pa 243, 15 T1 308, 15 K 0 M terh 363 Nm 469, 3394 T4 939, 2372 K A gázturbina üzemelésének m ködési tartományát a következ képpen értelmezem: tekintek 4 olyan változót, amelyek mindegyike mérhet és amelyek együttese egyértelm en jellemzi a gázturbina állapotát. Ezek a változók: p 1, T 1, M terh és n, azaz a zavarás-vektor elemei és egy állapotváltozó. A vizsgálatok szerint ezek közül bármelyiket (egyet) megváltoztatva, növelve, vagy csökkentve és a másik hármat állandó értéken tartva a többi állapotváltozó: mé, p 3, a kontroll-bemenet: ṁ tüz és a T4 h mérséklet szigorúan monoton módon változnak. (ld. az A. Függelék A.6. részének A.16. - A.39. ábrái). Így állítható, hogy a m ködési tartományon belül sehol sem lesz olyan munkapont, amely nagyobb, vagy kisebb értéket venne fel valamely változójában, mint a m ködési tartomány széls munkapontjainak minimumai, illetve maximumai. Tekintve, hogy 4 változó írja le egyértelm en a gázturbina állapotát, így pontosan 16 széls munkapont lesz, melyek minimumai, illetve maximumai tehát a teljes gázturbina m ködési tartományának széls értékeit adják. A 16 munkapont adatainak számítása MAPLE V-ben, az ábrázolás MATLAB-ban készült [3], a m ködési tartomány széls munkapontjainak adatsorait az A. Függelék A.7. része tartalmazza. 42

4.5. A modell ismeretlen dinamikus paraméterei és azok becslése A 4.1. fejezetben meghatároztam a modell minden statikus paraméterét. Az így elkészített statikus modellel a gázturbina minden munkapontja a 4.4. fejezetben meghatározott m ködési tartományon belül már egyértelm en meghatározható, leírható. Az irányítástechnikai vizsgálatokhoz a teljes dinamikus modellre, annak minden paraméterére szükség van, amelyek között vannak még ismeretlenek. 4.5.1. A gázturbina dinamikus viselkedése, dinamikus mérések A gázturbina dinamikus viselkedésének vizsgálatához mindenekel tt tranziens folyamatokat kellett mérni. A 2.3.2. fejezetben leírtak szerint a gázturbina-próbapad kötöttségei miatt a dinamikus folyamatok mérése, tervezése nehézségekbe ütközött. A mintavételezési frekvencia (18, 2 Hz), a mérhet minták száma (100) és így a mérés id tartama (5, 5 s) kötött értékek. Az egyetlen alkalmas, a próbapadon m köd számítógép által mérhet bemenet a terhel nyomaték megváltoztatása, amely bemenetre adhatóvizsgálójel alakja sem választhatómeg tetsz legesen. Mindezen nehézségek ellenére - a vizsgált gázturbina igen gyors dinamikus viselkedésének köszönhet en - meg lehetett tervezni a dinamikus folyamatok mérését úgy, hogy közelít leg 20-30 Nm-es változást létrehozva a terhel nyomaték bemeneten, a mérési 5, 5 másodpercbe a teljes tranziens folyamat beleférjen és az új munkapont beálljon. A próbapadi körülmények és adottságok gyelembevételével négy dinamikus mérést végeztem. Egy elvégzett dinamikus mérés adatsora és a kimenetek id beli változása az A. Függelék A.9. részében és az A.10. rész A.40., A.41. és A.42. ábráin láthatóak. A dinamikus mérési adatok min ségi értékelését a 2.4.2. fejezet tartalmazza. 4.5.2. A modell ismeretlen dinamikus paraméterei A dinamikus mérések elvégzése után a dinamikus paraméter-becslés els lépéseként meg kell határozni a modell - ezen a ponton még - ismeretlen paramétereit. Két ilyen paraméter van a dinamikus modell egyenleteiben: a VÉ, az égéstér térfogata és a Θ, a forgórész tehetetlenségi nyomatéka. Azért nevezzük ezeket a rendszer ismeretlen dinamikus paramétereinek, mivel ezek a munkaponti, statikus mérések során nem mérhet ek és így nem is becsülhet ek; meghatározásukhoz dinamikus mérésekre és dinamikus paraméter-becslési eljárás alkalmazására van szükség. Fontos azonban megjegyezni, hogy a dinamikus méréseket egy olyan gázturbinán végeztük el, amely szabályozott m ködés (ld. a 2.1. fejezet). A szabályozóegység típusa, m ködése és dinamikája a statikus mérések során nem volt lényeges, hiszen állandósult állapotban az "nem aktív", nincs befolyással a statikus paraméterekre. A tranziens folyamatokat azonban már lényegesen befolyásolja és ezért a dinamikus paraméter-becslés során már gyelembe kell venni a rendszer szabályozóját is. A vizsgált gázturbina egy hidromechanikus szabályozóval rendelkezik, melynek ábrája az A. Függelék A.8. részében található. Ezen egység m ködése, dinamikája egy egyszer P -taggal leírható, mivel a szabályzó rendszer szervo-mechanizmust (és így I-tagot) nem tartalmaz [O3]. A gyakorlati tapasztalatok is meger sítik ezt a megállapítást. Ugyanis ha egy munkapont beállítása után megnöveltem a terhel nyomatékot, akkor a fordulatszám lecsökkent (ld. az A. Függelék A.10. rész A.42. ábrája) és kés bb sem állt be az eredeti, 43

a gázkar által el írt érték. Így kizárt, hogy a szabályozóban I-tag m ködne, hiszen az integrátor az állandósult hibát nullára csökkentené. Természetesen a P -tag er sítésének értéke szintén a rendszer dinamikus paramétere, amelyet szintén a dinamikus paraméter-becslés során kell meghatározni. Így összesen három dinamikus paraméter van, amelyet becsülni kell. A becslési módszer kiválasztása és a becslés megkezdése el tt meg kell vizsgálni a tekintett három dinamikus paraméter modellbeli helyzetét. Tekintsük a vizsgált gázturbinának az ismeretlen P taggal visszacsatolt nemlineáris dinamikus modelljét! Ez a modell állapotváltozóiban nemlineáris, de a paraméter-becslés szempontjából fontosabb kérdés, hogy a zárt, visszacsatolt rendszer a dinamikus paraméterekben lineáris-e, vagy sem. 1. A rendszer a P paraméter tekintetében lineáris, hiszen a zárt körben ez egy lineáris visszacsatolás. 2. A Θ tekintetében a rendszer nemlineáris, mivel a Θ az f 3 koordináta-függvényben a nevez ben szerepel. 3. A VÉ állandót vizsgálva, megállapíthatjuk, hogy a rendszer ezen paraméter tekintetében is nemlineáris, hiszen a VÉ és annak négyzetgyöke is szerepel bizonyos f koordináta-függvények esetében a számlálóban, más f és a g 2 függvények esetében a nevez ben. Így egy paraméterekben nemlineáris modellel van dolgunk. 4.5.3. Paramétereiben nemlineáris modellek dinamikus paramétereinek becslése A nemlineáris és paramétereiben nemlineáris rendszerek paramétereinek becslése az általános paraméter-becslési optimalizálási feladat megoldását igényli [43], [59]. A nemlineáris dinamikus rendszerek paramétereinek becslése, mint optimalizálási feladat, szabványos algoritmikus feladatkit zés formájában fogalmazható meg a következ képpen: Adott: 1. Egy D N mért érték sorozat, avagy minta, amely az N id pillanatig mért bemenetkimenet párokat tartalmazza, azaz D N = {(y(k),u(k)) k =1,...,N}. Esetünkben 3 ilyen minta sorozat van, amelyek mindegyikében az u(k) tartalmazza a terhel nyomaték változásának adatsorát. Az els mért érték sorozatban az y(k) az y 1 = T4 kimenet-vektor elem adatsorát, a második minta-sorozatban az y(k) az y 2 = p 3 kimenet-vektor elem adatsorát, a harmadik mért érték sorozatban pedig az y(k) az y 3 = n kimenet-vektor elem adatsorát tartalmazza. Összeségében a dinamikus mérések során a teljes kimenet-vektor (ld. a (3.53) kifejezés) adatsorai rögzítésre kerültek és a dinamikus paraméter-becslési eljárás folyamán a mért értékek mindegyikét felhasználtam. A k a mérési adatok sorszámát mutatja. A vizsgált gázturbina esetében 55 ms-onként lehet a dinamikus folyamatokat mintavételezni és maximálisan 100 minta rögzíthet, így az N értéke 100. 2. Továbbá legyen adott a becslési modell ŷ(k θ) =g(k, D k 1 ; θ) (4.14) 44

alakban, ahol g(.) adott nemlineáris skalár érték függvény, amely a nemlineáris bemenet-kimenet modellb l származtatható és θ az ismeretlen meghatározandó paraméter-vektor. Esetünkben természetesen három ilyen becslési modell van, amelyek egyenként a kimenet-vektor egyes elemeit határozzák meg, a k. lépésben k 1 korábbi mért értékek és a θ ismeretlen paraméter-vektor felhasználásával a következ képpen: ŷ 1 (k θ) =g 1 (k, D k 1 ; θ) (4.15) ŷ 2 (k θ) =g 2 (k, D k 1 ; θ) (4.16) ŷ 3 (k θ) =g 3 (k, D k 1 ; θ) (4.17) Esetünkben a θ paraméter-vektor: θ = [ VÉ Θ P ] T (4.18) 3. A becslési modellb l és a mért kimenetekb l számolható a becslési hiba sorozat ε(k, θ) =y(k) ŷ(k θ) (4.19) Becslési hiba sorozatból is három van, hiszen mindegyik becslési modellb l és a mért kimenet-vektor elemek adatsoraiból képezhet egy-egy hiba sorozat. A kés bbi alkalmazás miatt célszer ezen a ponton a becslési hiba sorozatot dimenziómentes alakra hozni, mégpedig oly módon, hogy legyen a becslési hiba sorozat ε(k, θ) = y(k) ŷ(k θ) y(k) (4.20) alakú, azaz minden korábbi hiba-értéknek és a mért értéknek a hányadosa. Így: ε 1 (k, θ) = y 1(k) ŷ 1 (k θ) y 1 (k) ε 2 (k, θ) = y 2(k) ŷ 2 (k θ) y 2 (k) ε 3 (k, θ) = y 3(k) ŷ 3 (k θ) y 3 (k) (4.21) (4.22) (4.23) 4. Egy veszteségfüggvény a legkisebb négyzetes elv becslésnél alkalmazott euklideszi normával: V N (θ, D N )= 1 N 1 N 2 (ε(k, θ))2 (4.24) k=1 Esetünkben a veszteségfüggvény a fenti (4.24) egyenlettel deniált veszteségfüggvények súlyozott összege: V N (θ, D N )= 1 2 N N ( 3 13 (ε 1(k, θ)) 2 + 1 13 (ε 2(k, θ)) 2 + 9 13 (ε 3(k, θ)) 2 ) (4.25) k=1 Az egyes becslési hiba sorozatok el z pontban elvégzett dimenziómentes alakra hozását azért kellett elvégezni, hogy a veszteségfüggvény deniálásakor a hiba sorozatok összeadhatóak legyenek, azok azonos nagyságrendben legyenek gyelembe véve. 45

A egyes hiba sorozatok súlyozása (9/13, 3/13, 1/13) általam meghatározott és azok arányosak az kimeneti vektor elemeinek fontosságával, súlyával. Legjelent sebbnek a fordulatszámot tartom (a kés bbiekben ez lesz a szabályozott jellemz ), a legkevésbé fontos a turbina el tti torlóponti nyomás. Kiszámítandó az ismeretlen θ paraméterek egy becslése, amely mellett a V N veszteségfüggvény minimális. Mindenekel tt meg kell határozni azt a paraméterbecslési módszert, amely a mért értékekb l el állít egy ˆθ módsz (D N ) becslést úgy, hogy a becsült paraméter értékek mellett a (4.25) kifejezéssel deniált veszteségfüggvény minimális legyen. Az optimalizálási feladat célfüggvénye ugyan látszólag kvadratikus, de a nemlineáris g i (k, D k 1 ; θ) i =1, 2, 3 függvények jelenléte miatt analitikusan általában nem megoldható. A kvadratikus forma azonban általánosságban is garantálja a minimum létezését, csak esetleg - mint a gyakorlati esetekben nagyon sokszor - több lokális minimum is van. Analitikus megoldás hiányában az optimalizálási feladatot numerikus közelít eljárásokkal oldhatjuk meg, az alábbi, elvileg különböz két módon [43]. 1. Nemlineáris egyenletrendszer megoldására vezet út Ez esetben az optimum szükséges feltételét jelent N 1 N k=1 1 2 [y(k) g(k, Dk 1 ; θ)] g θ j =0, j =1,...,N (4.26) nemlineáris egyenletrendszert kell megoldani. A közelít megoldás többféle numerikus módszerrel is elvégezhet. Minden esetben problémát jelent azonban, hogy a megoldás általában nem egyértelm, és a konvergencia gyorsasága (és az, hogy melyik megoldáshoz konvergál) er sen függ a kezdeti becslést l, azaz attól, hogy mennyi információnk van a paraméterek lehetséges és valószín értekeir l. 2. Direkt megoldás a V N (θ, D N ) veszteségfüggvény θ szerinti minimalizálásával Ez a feladat numerikus függvényminimalizáló eljárásokkal, például a Nelder-Mead simplex módszerrel oldható meg. Itt is problémát jelent, hogy úgynevezett globális optimalizálási eljárásokra van szükség a több lehetséges lokális minimum miatt. A globális optimalizáló eljárások azonban általános esetben algoritmikusan nagybonyolultságúak. A fenti optimalizálási feladatot megoldó két lehet ség közül a másodikat, azaz a (4.25) egyenlettel deniált V N (θ, D N ) veszteségfüggvényt θ szerinti minimalizáló direkt megoldást választottam, melynek módszere a Nelder-Mead simplex algoritmus. 4.5.4. A dinamikus paraméterek becslési módszere A dinamikus paraméterek becsléséhez a Nelder-Mead simplex módszert [62] alkalmazom. Ez az eljárás egy heurisztikus széls érték-keresés, azaz nem garantált, hogy alkalmazásával megtalálható a keresett minimum, vagy maximum. Gyakori alkalmazásának, népszer ségének az a magyarázata, hogy a módszer nem igényli a numerikusan, vagy analitikusan meghatározott gradiens-vektort; egyszer iterációs lépések alkalmazásával általában eredményre lehet jutni. Ugyanakkor még kis dimenziójú problémák esetére is csak részben vannak elméleti eredmények, bizonyítások az eljárás konvergenciáját illet en [55]. Az iteráció lépései egy minimum-keresés során a következ ek: 46

1. Legyen (x 0, x 1,..., x n ) n +1 darab pont az R n -ben, amelyek együttesen egy simplexet deniálnak! Például az R 2 térben a simplex egy háromszög, az R 3 térben a simplex egy gúla. Legyen továbbá f(x u )=max(f(x 0 ),..., f(x n )) és f(x l )=min(f(x 0 ),..., f(x n ))! Keressük az f függvény minimumát az R n -ben! 2. Deniáljuk a simplex centrumát úgy, hogy a centrum számításából kihagyjuk az x u maximumhelyet! c = x i (4.27) n Továbbá legyen: i, i u ahol a 0 (az a az un. visszaver dési tényez )! 3. Ha f(r) <f(x u ), akkor legyen r = c + a(x u c) (4.28) x = c + b(x u c) (4.29) ahol b1 (a b az un. kiterjesztési tényez )! Ha f(x) <f(r), akkor az x u -t töröljük a simplex-b l és helyére az x lép; majd ezzel az iteráció újrakezd dik. Egyébként az x u helyére az r értéke lép és az iteráció ebben az esetben is újrakezd dik. 4. Ha f(r) f(x u ), akkor két további eset lehetséges: (a) ha f(x l ) f(r) max(f(x i, i u )), akkor az x u helyére a (4.28) összefüggéssel deniált r lép és az iteráció ezzel az új értékkel újrakezd dik. (b) ha max(f(x i, i u )) <f(r), akkor legyen x az x u, vagy r, mégpedig aszerint, hogy f(x )=min(f(x u ),f(r)). Legyen ebben az esetben x = c + d(c x ) (4.30) ahol 0 <d<1 (a d az un. kontrakciós tényez )! Ha f(x) <f(x ), akkor az x u helyére az x lép és az iteráció újrakezd dik. Ha azonban f(x) f(x ),akkor, mint legutolsó lehet ség, minden x i helyére az x i = x i+x l 2 lép. Az iterációs keresés lépései során tehát mindig generálunk egy új pontot az R n -ben, amely vagy a simplex belsejében, vagy annak közelében van. Ebben az új pontban megvizsgáljuk a függvény értékét és összehasonlítjuk a simplex-et alkotó pontok függvényértékeivel. Általában (kivéve a legutolsó lehet séget) a simplex "leggyengébb" (minimum-keresés esetén a maximális függvényérték ) pontját elhagyjuk és helyébe az új, egy kisebb függvényérték pontot léptetünk be, amely így egy új simplex-et eredményez. Az iteráció lépéseit addig kell ismételni, amíg az eredményül kapott simplex átmér je kisebb nem lesz, mint egy el re deniált tolerancia-érték. 4.5.5. A dinamikus paraméterek becslése és a becslés értékelése Dinamikus paraméterek becslése többféle beágyazott MATLAB-függvény segítségével is elvégezhet [3]. A lehetséges függvények közül az fminunc függvényt választottam, amely a következ tulajdonságokkal rendelkezik: a becslést a 4.5.4. fejezetben ismertetett Nelder-Mead simplex módszerrel végzi; egyszerre több paramétert is lehet becsülni (esetünkben három paraméter becslésére van szükség); 47

az fminunc függvény egy minimum-keres eljárás, így természetszer leg deniálni kell a minimalizálandó függvényt; meg kell adni egy kezdeti értéket, illetve ebben az esetben egy kezdeti érték-hármast; többféle, az optimalizálást jellemz paramétert is meg lehet adni, illetve az alap beállítási értékeket meg lehet változtatni (különböz tolerancia-értékek, az iterációk maximális futtatási száma, stb.) a függvény arra is lehet séget ad, hogy a megtalált minimum-pontban értékelni tudja az eljárás konvergencia tulajdonságának meglétét és megadja a minimalizált függvény gradiens-vektorát és Hesse-mátrixát. Ha az eljárás konvergens volt és a minimumpontban a gradiens-vektor zérus-vektor körüli, valamint a Hesse-mátrix pozitív de- nit, akkor a minimalizálást sikeresnek lehet tekinteni és a megtalált pont valóban minimumnak tekinthet. Fontos megjegyezni, hogy a Nelder-Mead simplex módszer - hasonlóan a többi nemlineáris paraméter-becslési eljárásokhoz - nem globális, hanem lokális minimum-keresési eljárás; nem garantálja, hogy a megtalált minimum-pont a teljes paramétertéren globálisan is minimális. Így dönt en fontos a paraméterek kezdeti értékeinek és határainak minél jobb, pontosabb megadása. A kezdeti értékek meghatározásához a becslési eljárás megkezdése el tt célszer a paramétereket "kézzel" is hangolni, próbálgatni, megfelel érték-hármast keresni. A határok meghatározása el zetes ismeretek, összefüggések segítségével lehetséges. A három dinamikus paraméter kezdeti értékei és a keresési határok: 1. Az égéstér térfogatára a következ határok írhatók fel: 5 10 3 VÉ 7 10 3 m 3 azaz az égéstér körülbelül 5 7 literes. A dinamikus mérések és a szimulációk el zetes összevetéséb l a VÉ kezdeti értéke: VÉ kezd =6 10 3 m 3 2. A forgórész tehetetlenségi nyomatékának meghatározására szolgál egy összefüggés [77]: Θ =(2 4) 10 3 m2 s 2 (4.31) ṁ lev kg A vizsgált gázturbina maximális tömegárama: ṁ lev =0, 9 kg/s. Így a tehetetlenségi nyomaték körülbelüli értéke: 1, 62 10 3 Θ 3, 24 10 3 kgm 2. Mivel azonban a (4.31) összefüggés a vizsgált gázturbinánál jelent sen nagyobb tömegáramú hajtóm - vekre igaz (ṁ lev =20 150 kg/s), így az esetünkben nem feltétlenül alkalmazható. A dinamikus mérések és szimulációk összevetéséb l ennél egy nagyságrenddel kisebb számértékeket kaptam; a tehetetlenségi nyomaték határértékei: 1 10 4 Θ 5 10 4 kgm 2 és kezdeti értéknek a kett közötti átlagértéket választottam: Θ kezd =3 10 4 kgm 2 3. A szabályozó P -tagjának er sítésér l el zetesen nem volt semmilyen információm. Csak a mérések és a szimulációk összevetése alapján lehetett el zetesen megbecsülni az er sítés értékét. Ennek alapján az er sítés határai: 10 4 P 6 10 4 1/kg és kezdeti értéke a kett közötti átlagérték: P kezd =3 10 4 1/kg 48

A gyakorlatban a dinamikus paraméter-becslési eljárás egy dinamikus mérésre a következ képpen végezhet el [41]: 1. Els lépésként biztosítani kell a mérési és a szimulációs körülmények, bemenetek teljes azonosságát. Ennek érdekében a mért bemenetet, vagy bemeneteket el kell állítani az el re elkészített szimulációs környezetben. Esetünkben ez azt jelenti, hogy a mért zavarás-vektor adatsorait, köztük a terhel nyomaték bemenetet létrehoztam a MATLAB/SIMULINK felhasználásával [4] elkészített szimulációban (a SIMULINK rendszerábrát az A. Függelék A.11. részében mutatom be). 2. A fentiekben meghatározott és így adott az ismeretlen dinamikus paraméter-vektor kezdeti értéke: θ (0) = θ kezd = [ ] T VÉ kezd Θ kezd P kezd (4.32) 3. A kezdeti θ (0), vagy a korábbi becslés eredményéül kapott θ (k) paraméter-vektor felhasználásával, a szimulációs kísérlet elvégzésével meg kell oldani a dinamikus modellegyenleteket, melynek eredményeként a kimeneti-vektorok szimulációs adatsora adódik: {y i (t; θ (k) ), t = t 0,t 1,...,t N, i =1, 2, 3} (4.33) 4. A kimeneti-vektor mérési és szimulációs adatsorainak összevetésével a V N veszteségfüggvény kiszámítható. 5. Amennyiben ez a V N minimális, akkor a paraméter-becslési eljárás befejez dik és a keresett paraméter-vektor a θ (k). Egyéb esetben a Nelder-Mead simplex algoritmus (fminunc függvény) alkalmazásával a paraméterek egy újabb, θ (k+1) becslése el áll, mellyel az itt ismertetett eljárás megoldási lépései (a 3. lépést l) újrakezd dnek. A dinamikus paraméter-becslési eljárás ismertetett lépéseinek blokkdiagramját a 4.2. ábrán mutatom be. A 4.6. táblázatban összefoglaltam a dinamikus paraméter-becslés végeredményeit. Az els sor tartalmazza a keresett dinamikus paraméterek kezdeti értékeit és az ezekkel az értékekkel elvégzett szimuláció, valamint az els dinamikus mérés összevetéséb l a (4.25) egyenlettel deniált veszteségfüggvény minimális értékét százalékban. Soronként láthatóak a további mérések és szimulációk összevetéséb l kapott becslési eredmények és hibák. (A 3. mérés és a szimuláció összevetéseként kapott kimenet-vektor elemek id beli változását az A. Függelék A.12. részének A.43., A.44. és A.45. ábráin mutatom be. Az ábrákon jól láthatóak a kezdeti, statikus eltérések is.) Azaz a 4.6. táblázat négy sorszámozott sora a négy különböz dinamikus mérés és az ezen mérésekhez elkészített szimulációk 4.2. táblázat szerinti iterációs lépéssorozatainak a végeredményeit tartalmazza. Az utolsó sorban a négy paraméter-becslés végeredményeként kapott értékek számtani átlagai szerepelnek. Ezt a három számértéket tartom a dinamikus paraméter-becslés végeredményének; a kés bbi vizsgálatok és szimulációk során a dinamikus modellbe ezeket fogom behelyettesíteni, alkalmazni [P4]. Minden paraméter-becslés után vizsgáltam az eljárás konvergenciáját, valamint a gradiens-vektort és a Hesse-mátrixot a megtalált minimum-pontban. Minden esetben az eljárás konvergens volt, a gradiens-vektor zérus-vektor körüli és a Hesse-mátrix pozitív denit volt; tehát az eredményül kapott számhármas valóban minimum-pont. Vizsgáltam még 49

Ismeretlen dinamikus paraméterekkel rendelkez dinamikus modell (k) = (0) A dinamikus modellegyenletek megoldása t=[0,1,,t] az ismeretlen paraméter-vektor kezdeti értéke: (0) = kezd kimenetivektor adatsora y i (t, (k) ) A V N veszteségfüggvény kiszámítása V N minimális? nem igen a paraméterbecslés végeredménye: (k) Az optimalizáló eljárás kiválasztja a (k+1) új vektort (k) = (k+1) 4.2. ábra. A dinamikus paraméter-becslési eljárás blokkdiagramja VÉ [m 3 ] Θ [kgm 2 ] kezdeti érték 6 10 3 3 10 4 1. szimuláció 5, 9111 10 3 3, 6427 10 4 2. szimuláció 5, 7909 10 3 3, 135 10 4 3. szimuláció 5, 9 10 3 2, 93 10 4 4. szimuláció 5, 8 10 3 3, 2715 10 4 átlagérték 5, 8505 10 3 3, 2448 10 4 P [1/kg] L min [%] kezdeti érték 3 10 4 1,48 1. szimuláció 1, 5483 10 4 1,38 2. szimuláció 2, 2238 10 4 1,67 3. szimuláció 2, 408 10 4 2,28 4. szimuláció 2, 668 10 4 1,44 átlagérték 2, 211725 10 4 4.6. táblázat. A dinamikus paraméter-becslés eredményei 50

a Hesse-mátrixokban szerepl elemek nagyságrendjét is. Például a harmadik paraméterbecslés eredményeként kapott Hesse-mátrix: 3, 5575 10 13 8, 4531 10 10 1, 2099 10 13 8, 4531 10 10 2, 0185 10 8 2, 8750 10 10 (4.34) 1, 2099 10 13 2, 8750 10 10 4, 1152 10 12 Látható, hogy a Hesse-mátrixban és különösen a f átlóban szerepl elemek igen nagy érték ek. Ez azt jelenti, hogy a (4.25) egyenlettel deniált veszteségfüggvény, mint a θ paraméter-vektor elemeinek függvénye, egy nagyon meredek függvény. Ebb l az következik, hogy a paraméter-becslési eljárással megtalált minimum-pontban, ha a θ-beli elemeket a veszteségfüggvény minimumát adó értékükt l kicsit megváltoztatjuk, akkor a veszteségfüggvény nagyon n. Mindezek alapján a dinamikus paraméter-becslést sikeresnek tekinthetjük, az eredményül kapott veszteségfüggvény minimumok a 4.3. fejezetben leírtak alapján elfogadhatóan kicsik. A paraméter-becslés eredményeként kapott értékek szórásai - a szerepl nemlineáris és paramétereiben is nemlineáris modell bonyolult alakja és a dinamikus mérés 2.3.2. fejezetben ismertetett kötöttségei miatt - közvetlenül nem állapíthatóak meg. Fontos megjegyezni, hogy a kés bbiekben, a dinamikus modell verikációja, a dinamikus analízis és a szabályozó tervezések során nemlineáris rendszer alatt az itt meghatározásra került P -tag nélküli, nyitott rendszert értem. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy a gázturbinát, mint dinamikus rendszert úgy vizsgálom, mintha zikailag leválasztanám róla a jelenlegi szabályzóját. Az alkalmazásra kerül szimulációs modellekben így seholsem szerepel a P -tag, a nemlineáris rendszer tehát nem tartalmazza a beépített P szabályozót. 4.6. A gázturbina dinamikus modelljének verikációja szimulációkkal Egy dinamikus modell verikációja a modell ellen rzését jelenti mérnöki, a valós rendszert ismer tudásunkat és intuícióinkat felhasználva. Mivel a vizsgált gázturbina modelljének minden paramétere (statikus és dinamikus egyaránt) ismertté vált, vizsgálható és verikálható a gázturbina dinamikus modellje, amelyet a modell bonyolultsága miatt legcélszer bben szimulációkkal lehet megtenni. A szimulációs eredmények a nyitott, szabályozatlan rendszer válaszfüggvényeit mutatják be. (A szimulációk MATLAB/SIMULINK programban készültek [4] - a SIMULINK rendszerábrát az A. Függelék A.13. részében mutatom be.) A szimulációkhoz ugyanazt a munkapontot, kiinduló pontot választottam, mint az érzékenység-vizsgálathoz ((4.10) - (4.12) vektorok). 1. Az 1. szimuláció során megnöveltem a tüzel anyag tömegáramát az eredeti értékr l 0, 01 kg/s-ra. A tüzel anyag tömegáramának növekedése maga után vonja az n fordulatszám és a p 3 turbina el tti torlóponti nyomás növekedését, de a T 4 turbina utáni torlópont h mérséklet csökkenni fog. (ld. a 4.3., 4.4. és a 4.5. ábrák) Ez utóbbi hatás a karakterisztikák következménye és a dinamikus mérések tapasztalataival is egybeesik. A fordulatszám válaszfüggvénye közel lineáris, 1TP-s (egy tárolós, arányos) jelleg, amely egybeesik az el zetes várakozásokkal és a gázturbinás hajtóm vek elméletéb l ismertekkel. 2. A 2. szimuláció fordulatszám-ábrája azt az esetet mutatja be, amikor az állapotváltozók közül a fordulatszámot lecsökkentettem 400 1/s-ra. Látható, hogy a nyitott 51

790 780 770 760 Fordulatszám [1/sec] 750 740 730 720 710 700 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Idõ [sec] 4.3. ábra. A gázturbina fordulatszám-változása, ha a tüzel anyag-tömegárama n 2.4 x 105 2.35 Turbina elõtti torlóponti nyomás [Pa] 2.3 2.25 2.2 2.15 2.1 2.05 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Idõ [sec] 4.4. ábra. A gázturbina turbina el tti torlóponti nyomás-változása, ha a tüzel anyagtömegárama n 52

740 730 720 Turbina utáni torlóponti hõmérséklet [K] 710 700 690 680 670 660 650 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Idõ [sec] 4.5. ábra. A gázturbina turbina utáni torlóponti h mérséklet-változása, ha a tüzel anyagtömegárama n rendszer ekkora x 3 -beli megváltozásra már nem stabil (nem globálisan aszimptotikusan stabil), azaz nem képes visszaállítani az eredeti munkapontot. (ld. a 4.6. ábra) 3. Az utolsó bemutatott szimuláció során a terhel nyomatékot növeltem meg az eredeti értékr l 70 Nm-re. A terhel nyomaték ilyen nagy mérték megnövelése a gázturbina leállását okozza (a rendszer szabályozatlan!) (ld. a 4.7. ábra). Általában elmondható, hogy a zavarás-vektor elemeinek megváltozására a rendszer nagyon érzékeny, a beállított munkapont jelent s megváltozását, széls esetben a gázturbina leállását okozza. A bemutatott szimulációk a változások irányát és nagyságrendjét tekintve azt mutatják, hogy a gázturbina dinamikus modellje megfelel az el zetes mérnöki várakozásainknak és ezzel a dinamikus modell verikált. 4.7. Összefoglalás Ebben a fejezetben a vizsgált gázturbina dinamikus modelljének ismeretlen paramétereit becsültem meg. Az ismeretlen paraméterek két csoportba sorolhatók, melyek mind viselkedésükben, mind pedig az alkalmazott becslési eljárásban különböznek egymástól. 1. A statikus paraméterek alapvet en a kompresszor és a turbina karakterisztikáit közelít polinomok ismeretlen együtthatói. Ezek a becslési modellek paramétereiben lineárisak. Ezen paramétereket a statikus, munkaponti mérések adataiból a legkisebb négyzetek módszerével becsültem meg. A kétféle becslés veszteségfüggvényei minimum-értékeinek gyelembe vételével megállapítottam, hogy a kés bbi vizsgálatokhoz az egyszer bb bilineáris közelítést fogom alkalmazni. 53

450 400 350 300 Fordulatszám [1/sec] 250 200 150 100 50 0 50 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 Idõ [sec] 4.6. ábra. A gázturbina fordulatszám-változása nagy fordulatszám-zavarásra (instabilitás) 700 600 500 Fordulatszám [1/sec] 400 300 200 100 0 100 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Idõ [sec] 4.7. ábra. A gázturbina fordulatszám-változása, ha a terhel nyomaték n 54

2. A dinamikus paraméterek csak dinamikus folyamatok mérésével becsülhet ek. A de- niált veszteségfüggvény, amely a tranziens mérések kimeneti-vektor adatsorainak és az ugyanolyan körülményekkel, kezdeti feltételekkel elkészített szimulációk kimenetivektor adatsorainak dimenziómentesített különbségének súlyozott négyzetes összegeként írható fel, a dinamikus paraméterekben nemlineáris. A becslés a Nelder-Mead simplex algoritmus alkalmazásával történt. Mind a statikus, mind a dinamikus paraméter-becslés során értékeltem a becsléseket és a veszteségfüggvények minimumait, amelyeket elfogadhatóan kicsik, azaz az elkészített dinamikus modell megfelel pontosságú. Továbbá: Elvégeztem egy érzékenység-vizsgálatot, melynek során az id ben változó, nem mérhet paraméterek hatását vizsgáltam a rendszer állapotváltozóira. Ez a hatás jelent s, azaz ezen paraméterek kis mérték megváltozása is nagyon megváltoztatja az állapotváltozók értéket. Mégsem célszer ezen paraméterek változását algebrai egyenletekkel gyelembe venni, mert a dinamikus modell elveszítené azon fontos tulajdonságát, hogy az algebrai egyenletek mindegyike explicit módon behelyettesíthet a dierenciál-egyenletekbe. Így a kés bbi vizsgálatokban ezeket az id ben változó, nem mérhet paramétereket állandónak fogom tekinteni. Deniáltam a gázturbina üzemelésének m ködési tartományát. Ezen a m ködési tartományon 4 változó (x 3, d 1, d 2, d 3 ) megváltoztatásának függvényében vizsgáltam a többi paraméter (x 1, x 2, u, y 1 ) változását. Azt tapasztaltam, hogy a tartományon belül a függ paraméterek szigorúan monoton módon változnak és így garantált, hogy azok a széls értékeiket a tartomány 16 határpontjai valamelyikében veszik fel. A nyitott rendszer szimulációinak segítségével elvégeztem a kész dinamikus modell verikálását és megállapítottam, hogy a szimulációs eredmények egybeesnek az el zetes mérnöki várakozásokkal. Emellett az eredmények el revetítik a nemlineáris analízis és a nemlineáris szabályozó tervezés célját, feladatát és jelent ségét is. 55

5. fejezet A dinamikus modell analízise Egy állapottér alakban felírt dinamikus modell analízisénél három alapvet dinamikus tulajdonság vizsgálatával alapozzuk meg bármiféle irányító, vagy diagnosztikai algoritmus tervezését. Ezek a tulajdonságok: az irányíthatóság, a meggyelhet ség és a stabilitás. A vizsgálat célja az, hogy megállapítsuk ezen jellemz k meglétét, vagy éppen hiányát. A nyitott rendszer analízisének eredményei nagyban befolyásolják a tervezend szabályozás lehet ségeit és követelményeit, mind lineáris, mind nemlineáris szabályozás esetén az alábbiak szerint. Ha egy rendszer nem irányítható, vagy nem az egész állapottéren, hanem csak annak egy alterén irányítható, akkor az azt jelenti, hogy az irányítható altéren kívüli állapotok nem elérhet ek; tetsz legesen, a szabályozási célnak megfelel en nem befolyásolhatóak. Így általában nem létezik olyan szabályozás, amellyel bármilyen alapjel követhet. Egy valamilyen y kimenetre nézve nem meggyelhet rendszer esetén az állapotváltozók nem becsülhet ek, nem állíthatóak el a bemenet és a kimenet ismeretében. Így nem lehetséges állapotvisszacsatolással szabályozni a nyitott rendszert. Célszer ilyenkor egy másik, olyan kimenetet választani (ha lehetséges), amelyre nézve a rendszer meggyelhet lesz. Egy instabil rendszer esetén a szabályozás alapvet feladata - az egyéb más megfogalmazott szabályozási célok megvalósítása mellett -, hogy a zárt kört stabilizálja. E fejezet els alfejezete a mérnöki modellb l a dinamikus analízis és az azt követ szabályozótervezés alapjául szolgáló dimenziómentes, centrált állapottér modell el állítását mutatja be. Atovábbi részekben deniálok egy-egy alapvet dinamikus tulajdonságot (irányíthatóság, meggyelhet ség, stabilitás), majd lineáris és nemlineáris értelemben is vizsgálom, hogy a gázturbina dinamikus (linearizált, illetve nemlineáris) modellje rendelkezik-e az adott rendszer-jellemz vel. 5.1. A modell dimenziómentes alakra hozása és centrálása Adinamikus modell analízisének, azon belül alapvet en a stabilitás-vizsgálat elvégezhet sége, valamint a szabályozások tervezése érdekében célszer el ször is a modell jelváltozóit (ld. a 4. fejezet bevezet je) dimenziómentes alakra hozni és centrálni. 56

A dimenziómentes alakra hozás a különböz nagyságrend és dimenziójú jelváltozókat azonos nagyságrend és dimenziómentes formára hozza. Ez azért célszer, mert jelenleg például az állapotváltozók közül a p 3 106 -onos az n 10 2 -onos, míg az mé 10 3 -onos nagyságrend. Ez a lineáris és a nemlineáris szabályozás tervezésekor (ld. a 6.3. és a 7. fejezet) az állapotváltozók súlyozását nehezítené meg, hiszen mindenkor gyelembe kellene venni a nagyságrendi eltéréseket. A centrálás célja, hogy x =0(és d =0) esetén az f(x) =f(x, d) =0feltétel teljesüljön. Ez a stabilitás-vizsgálatnál alapvet fontosságú, de az analízis elvégzésekor és a szabályozások tervezésekor is hasznos. A centrálást tehát valamely munkaponti értéksorra kell elvégezni, akkor teljesül a fenti feltétel. A dimenziómentes alakra hozás és a centráló munkapont megválasztása többféleképpen is megtörténhet. Az általam használt deníció: x dimcent = x x 0 x max x min (5.1) ahol x 0 egy alkalmasan megválasztott munkapont, x max és x min pedig a m ködési tartomány kijelölésekor (ld. a 4.4. fejezet) az állapotváltozókra meghatározott maximum és minimum értékeket jelöli. Természetesen a dimenziómentesítést és a centrálást nemcsak az állapotváltozókra, hanem az összes jelváltozóra el kell készíteni: A centráló munkapont megválasztása: u dimcent = u u 0 u max u min (5.2) d d 0 d dimcent = (5.3) d max d min y dimcent = y y 0 y max y min (5.4) a lineáris analízis és szabályozó tervezéséhez egy, a m ködési tartományon belüli, "tipikus" munkapontot választottam az (u 0, d 0 ) pár rögzítésével és a (3.55) modellegyenletek ẋ =0feltétel melletti megoldásával (azaz a statikus modell felhasználásával): x 0 =[0, 0056534 kg 220057 Pa 750 1/s] T (5.5) u 0 =0, 00956323 kg/s (5.6) d 0 = [ 101189, 15 Pa 288, 15 K 50 Nm] T (5.7) y 0 = [ 674 K 220057 Pa 750 1/s] T (5.8) Erre a munkapontra való centrálással, az (5.1)-(5.4) kifejezésekkel deniált dimenziómentesítéssel, valamint ugyanezen munkapont körül linearizálva a dinamikus modellt a ẋ = Ax + Bu (5.9) y = Cx (5.10) alakú lineáris modell áll el, ahol: 51, 49457981 170, 9480709 61, 36692164 A = 163, 5265624 404, 5816340 57, 85738831 (5.11) 44, 5069529 155, 4809354 33, 11326992 57

B = 2, 644414014 232, 5941990 0 (5.12) és C = 2, 290456584 1, 411918108 0, 01592415275 0 1 0 0 0 1 (5.13) A nemlineáris analízishez is az (5.5)-(5.8) vektorokkal deniált munkapontra centráltam a modellt és az (5.1)-(5.4) kifejezésekkel deniált dimenziómentes alakra hozást is elvégeztem. A vizsgált gázturbina végs nemlineáris dinamikus modelljének egyenletei (ld. a (3.55)- (3.56) rendszerleírás) a B. Függelék B.2. részében találhatóak. Ez a modell a következ jellemz kkel rendelkezik: 1. Az f(x) koordináta-függvények nem csak az állapotváltozóktól, hanem a zavarásvektortól is függenek, azaz f(x, d). 2. A g(x) koordináta-függvények viszont nem függenek az állapotváltozóktól, konstans számértékeket vesznek fel, azaz g(x) =B. Ez azt jelenti, hogy az u bemenet lineárisan hat a rendszerre, az állapotváltozók deriváltjaira, ami a nemlineáris szabályozás tervezésekor lesz fontos tulajdonság. 3. A h(x) koordináta-függvények közül a h 2 (x) és a h 3 (x) egységnyi érték, hiszen az x 2 és az x 3 állapotváltozók közvetlenül mérhet ek. A h 1 (x) pedig h 1 (x, d 1 ) alakú, azaz a d 1 zavarás-vektor elemt l is függ. A nemlineáris szabályozás tervezéséhez egy, a m ködési tartományon kívüli munkapontra kell majd a nemlineáris modellt centrálni. Ennek okait és részleteit kés bb, a 7. fejezetben ismertetem. A továbbiakban a jelváltozókat a fent leírt esetekben a megfelel centrálással és dimenziómentesítésssel alkalmazom, de a dimcent indexet elhagyom. A szimulációk eredményeinek ismertetése során viszont minden esetben a megfelel dimenziós mennyiségeket ábrázolom. 5.2. Irányíthatóság Adott egy állapottérben megfogalmazott, lineáris: ẋ = Ax + Bu y = Cx (5.14) vagy nemlineáris: ẋ = f(x)+ m i=1 g i(x)u i y = h(x) (5.15) dinamikus rendszermodell. Kérdés: Létezik-e egy alkalmasan megválasztott u bemenet, amely bármely x(t 1 ) állapotból átviszi a rendszert valamely tetsz leges másik x(t 2 ) x(t 1 ) állapotba véges t = t 2 t 1 id alatt? Amennyiben bármely állapotból bármely másik állapotba át lehet vinni a rendszert megfelel bemenettel véges id alatt, akkor a rendszer (állapot) irányítható [40], [106]. 58

5.2.1. Az irányíthatóság vizsgálata lineáris modell esetén Legyen adott egy (5.14) egyenletekkel leírt lineáris állapottér-reprezentáció! Ez a rendszer akkor és csak akkor irányítható a fenti értelemben, ha a Kalman-féle irányíthatósági mátrixa: C n = [ B AB... A n 1 B ] (5.16) teljes rangú, azaz rangja megegyezik az állapottér dimenziójával [40]. A vizsgált gázturbina linearizált modelljét és a modell A, B és C mátrixait az 5.1. fejezet (5.9)-(5.13) kifejezései tartalmazzák. El állítva a linearizált rendszer (5.16) szerinti irányíthatósági mátrixát: C 3 = 2, 6444 39898 20279000 232, 5942 93671 33459000 0 36046 13982000 (5.17) a fenti tétel felhasználásával megállapítható, hogy a gázturbina linearizált állapottér-reprezentációja irányítható. Az irányíthatóság természetesen lokális, az adott (5.5)-(5.8) vektorokkal deniált munkapont körül, a linearizált modell érvényességi tartományán belül áll fenn. 5.2.2. Az irányíthatóság vizsgálata nemlineáris modell esetén Input-an formában ((3.55)-(3.56) egyenletekkel) felírható nemlineáris rendszerek irányíthatósági vizsgálatára létezik megfelel analitikus módszer. Isidori könyvében leír egy algoritmust [49], amely az f(x) és g(x) koordináta-függvények segítségével, un. irányíthatósági disztribúciók generálásával véges számú matematikai lépés elvégzése után egyértelm feltételt ad a nemlineáris rendszer irányíthatósági tulajdonságának meglétére [91], [92], [93]. Az algoritmus a következ lépésekb l áll: 1. Kezd lépés: 0 = span{g 1,...,g m } (5.18) ahol a g i i = 1,...,m a (3.55) egyenletnek megfelel en a bemeneti koordinátafüggvények. 2. Az irányíthatósági disztribúció generálása: m k = k 1 + [g i, k 1 ] (5.19) ahol a g 0 jelöli az f koordináta-függvényeket, a [g i, k 1 ] a k 1 disztribúciót el állító, kifeszít (φ 1,...,φ l ) függvényekb l számítható: [g i, k 1 ]=span{[g i,φ 1 ],...,[g i,φ l ]} (5.20) i=0 és a []szögletes zárójel minden esetben a Lie-szorzatot jelöli. Egy f és g függvény Lie-szorzata alatt a következ t értjük: [f,g](x) = g(x) x f(x) f(x) g(x) (5.21) x 59

3. Az algoritmus záró lépése: Ha k úgy, hogy k = k +1, akkor c = k = g 0,...,g m 0. Az algoritmus kezd lépésében egy, az eredeti nemlineáris állapottér-modell g i (x) bemeneti koordináta-függvényei által létrehozott disztibúciót generálunk. A második lépésben a [f(x),g i (x)] Lie-szorzatokat kell kiszámítani az f(x) and g i (x) függvények segítségével. A fentiek szerint minden további lépésben b vítjük a disztribúciót, a záró, kilépési feltétel eléréséig. Az algoritmus véges számú lépés után (amely maximálisan az állapottér dimenziója) véget ér. Amennyiben a záró lépésben kapott disztribúció rangja az állapottér valamely x 0 pontjában megegyezik az állapottér dimenziójával, akkor az adott x 0 pont nemlineáris értelemben lokálisan irányítható. Ha ez a rangfeltétel az állapottér (vagy a m ködési tartomány) minden pontjában teljesül, akkor az egész állapottér (vagy m ködési tartomány) globálisan is irányítható. A vizsgált gázturbina nemlineáris modellje input-an formában felírható (a keletkez koordináta-függvények a B. Függelék B.2. részében találhatóak), így alkalmazható rá a fent ismertetett algoritmus. A 0 kezd disztribúció a g i i =1,...,m függvényekb l áll, amely az 5.1. fejezet szerint egy konstans B vektort jelent. A második lépésben generálnikellaz[f,g](x) Lie-szorzatot, a keletkez szorzat-függvénnyel b vül az irányíthatósági disztribúció. A fenti Lie-szorzat deníciójából látható, hogy a g(x) x = B x =0, hiszen a B nem függ az x-t l. Ugyanakkor a különbségként el álló Lie-szorzat második része, a f(x) x, azf(x) =f(x, d) függvények bonyolult algebrai alakja (ld. a B. Függelék B.2. része) miatt már nem vizsgálható. A további lépések pedig még bonyolultabb kifejezéseket eredményeznek. Így a fent említett algoritmus lépései szimbolikusan nem számíthatóak, a megfogalmazott irányíthatósági feltétel a gyakorlatban nem ellen rízhet. Ezért a gázturbina dinamikus modelljér l a fenti algoritmussal nem bizonyítható, hogy nemlineáris értelemben irányítható-e, vagy sem. 5.2.3. Az irányíthatóság és a stabilizálhatóság közvetett vizsgálata bonyolult algebrai alakú nemlineáris modell esetén A nemlineáris szabályozó tervezés (ld. a 7. fejezet) során un. kontroll Ljapunov-függvény alapú tervezést végzek el. (A Ljapunov-függvény és a kontroll Ljapunov-függvény deníciója a 7. fejezet bevezet jében található.) A tervezés alapvet célja, hogy a gázturbina m ködési tartományának minden munkapontját a szabályzó globálisan aszimptotikusan stabillá tegye. (A stabilitás és a globálisan aszimptotikusan stabil tulajdonságú rendszerek deníciója az 5.4. fejezetben található.) Így a szabályzó az eredeti nyitott rendszert stabilizálja. Ez csak úgy lehetséges, ha az eredeti rendszer nemlineáris értelemben stabilizálható volt. Mivel a kontroll Ljapunov-függvény alapú nemlineáris szabályzó tervezhet és megfelel en m ködik a vizsgált gázturbinára, ezért az stabilizálható. Ez az irányíthatóság szempontjából azt jelenti, hogy tervezhet egy globálisan aszimptotikusan stabilizáló visszacsatolás. Így létezik egy olyan u bemenet (és a 7. fejezetben éppen ezt a kontroll-bemenetet megadó kifejezést számítom ki), amellyel a visszacsatolt zárt rendszer bármely kezdeti értékr l a m ködési tartományon belüli bármely munkapontjának tetsz legesen kis környezete elérhet [50]. Ez a tulajdonság azonban nem egyenérték a nemlineáris irányíthatósággal. Fontos hangsúlyozni, hogy a fenti állítások kizárólag a 4.4. fejezetben deniált m ködési tartományon belül érvényesek. Könny ugyanis belátni, hogy a m ködési tartományon 60

kívül a vizsgált gázturbinának létezik nem irányítható "munkapontja". Ez a "munkapont" az álló, nulla fordulatszámú (és értelemszer en nulla tömegáramú) statikus állapot, az indítás kezdete, kiindulási pontja. Ugyanis egy álló gázturbinát csak a tüzel anyag tömegáramának növelésével, valamilyen értékre történ beállításával nem lehet elindítani. (Az indításhoz - a bels égés dugattyús motorokhoz hasonlóan - a gázturbinát el ször valamilyen küls meghajtással (esetünkben egy villanymotorral) forgásba kell hozni és csak az alapgáz fordulatszám elérése után lehet a tüzel anyag tömegáramának megváltoztatásával a hajtóm kívánt munkapontját kialakítani.) Ez pedig irányításelméleti szempontból azt jelenti, hogy nem létezik olyan alkalmasan megválasztott u bemenet, amely a nulla fordulatszámú "munkapontból" bármely tetsz leges másik állapotba átvinné a rendszert, azaz az indítás kiindulási "munkapontja" nem irányítható. Jelenleg folyik egy olyan kutatás, melynek célja, hogy a vizsgált gázturbina nemlineáris dinamikus modelljét - amennyiben lehetséges - átalakítsam LPV (Linear Parameter- Varying - lineáris paraméter változós) modellé. Ez azért is lényeges, mert az LPV-modellek irányíthatósági vizsgálatára egyszer bb tesztek, algoritmusok léteznek [57], [105] és ezzel a gázturbina nemlineáris modellje m ködési tartományon belüli irányíthatóságának fennállása, vagy hiánya bizonyíthatóvá válik. 5.3. Meggyelhet ség Tekintsük az 5.2. fejezetben ismertetett lineáris ((5.14) kifejezés), vagy nemlineáris ((5.15) kifejezés) dinamikus rendszermodellt! Egy rendszert meggyelhet nek nevezünk, ha a bemenetek és a kimenetek (u és y vektorok) véges idej mérési rekordja ismeretében el állíthatóak az állapotváltozók (x vektor), ha ismerjük a rendszer mátrixait, illetve koordináta-függvényeit [40], [106]. 5.3.1. A meggyelhet ség vizsgálata lineáris modell esetén Legyen adott egy (5.14) egyenletekkel leírt lineáris állapottér-reprezentáció! Ez a rendszer akkor és csak akkor meggyelhet a fenti értelemben, ha a Kalman-féle meggyelhet ségi mátrixa: C O n = CA... (5.22) CA n 1 teljes rangú, azaz rangja megegyezik az állapottér dimenziójával [40]. A vizsgált gázturbina linearizált modelljét és a modell A, B és C mátrixait az 5.1. fejezetben ismertettem (ld. az (5.9)-(5.13) kifejezések). El állítva a linearizált rendszer (5.22) szerinti meggyelhet ségi mátrixát: O 3 = 2, 2905 1, 4119 0, 0159 0 1 0 0 0 1 349, 541 182, 16 58, 341 163, 527 404, 58 57, 8574 44, 507 155, 481 33, 113 45190 4880 12840 77160 144730 15290 29190 60440 7360 (5.23) 61

az el z tétel alapján megállapítható, hogy a gázturbina lineáris állapottér-reprezentációja meggyelhet. A meggyelhet ség, mint dinamikus tulajdonság azonban most is lokális, az (5.5)-(5.8) kifejezésekkel leírt centráló munkapont körül, a linearizált modell érvényességi tartományán belül áll fenn. 5.3.2. A meggyelhet ség vizsgálata nemlineáris modell esetén Input-an alakban felírt nemlineáris rendszerek nemlineáris meggyelhet ségének vizsgálatára Isidori könyvében létezik egy algoritmus [49], amely hasonló az 5.2.2. fejezetben ismertetett irányíthatósági disztribúciót generáló algoritmushoz; az f(x) =f(x, d) és a h(x) =h(x, d 1 ) koordináta-függvények segítségével un. meggyelhet ségi co-disztribúciókat generál és megad egy feltételt, melynek teljesítése esetén a nemlineáris modell meggyelhet. A nehézséget itt is az f(x) =f(x, d) koordináta-függvények bonyolult algebrai alakja (ld. a B. Függelék B.2. része) okozza, emiatt az algoritmus a gázturbinára ebben az esetben sem alkalmazható a gyakorlatban. A meggyelhet ség vizsgálatára azonban szerencsére most is kínálkozik kerül út az alábbi megfontolásokkal [P3]: A h(x) koordináta-függvények közül a h 2 (x) és a h 3 (x) egységnyi érték, mivel az x 2 és az x 3 állapotváltozók közvetlenül mérhet ek. Természetesen ebb l az következik, hogy az x 2 és az x 3 állapotváltozók meggyelhet ek. Az x 1 állapotváltozó, amely az mé, az égéstérben lév gáztömeg, természetesen nem mérhet. Azonban a h 1 (x) =h 1 (x, d 1 )=h 1 (x 1,x 2,x 3,d 1 ) koordináta-függvény (ld. a B. Függelék B.2. része) az x 1 állapotváltozóra nézve invertálható. Ez azt jelenti, hogy az y 1 kimeneti változó (ami, mint kimeneti változó, mérhet ), az x 2, x 3 állapotváltozók (amelyek közvetlenül mérhet ek) és a d 1 zavarás-vektor elem (minden d-beli változó mérhet ) ismeretében az x 1 állapotváltozó egyértelm en számítható. Az 5.1. ábra a h 1 koordináta-függvényt ábrázolja, azaz az y 1 változó dimenziómentes alakra hozott és centrált értékét mutatja az x 1 és az x 2 dimenziómentes alakú és centrált állapotváltozók függvényében (az x 3 és a d 1 konstans). Látható, hogy az y 1 és x 2 ismeretében, rögzített x 3 és d 1 változók mellett, az x 1 pontosan meghatározható, azaz a h 1 az x 1 -re nézve invertálható. Ah 1 koordináta-függvény hasonló alakú akkor is, ha az x 3 és a d 1 másértéketveszfel. Mivel az x 2 és az x 3 állapotváltozók közvetlenül mérhet ek, az x 1 állapotváltozó értéke pedig mindig egyértelm en számítható a h 1 koordináta-függvényb l az y 1, x 2, x 3 és a d 1 mérhet változók ismeretében, így a vizsgált gázturbina nemlineáris dinamikus modellje nemlineáris értelemben is meggyelhet. Látható, hogy a nemlineáris értelemben vett meggyelhet ségi dinamikus tulajdonság fennállásának alapvet feltétele, hogy a gázturbina-próbapadon a lényeges mennyiségeket: a torlóponti h mérsékleteket és nyomásokat, a fordulatszámot, a terhel nyomatékot és a tüzel anyag fogyasztást mérni lehet. Így deniálni lehetett az y kimeneti vektort úgy, hogy az jól jellemezze a gázturbina állapotát és így annak dinamikus modellje mind lineáris, mind pedig nemlineáris értelemben is meggyelhet legyen. 62

5.1. ábra. Az h 1 koordináta-függvény rögzített x 3 és d 1 változó mellett 5.4. Aszimptotikus stabilitás Az aszimptotikus stabilitás vizsgálatához tekintsük a következ nemlineáris rendszert [9], [54]: ẋ = f(x, t) (5.24) amely lehet egyrészr l egy nemlineáris nyitott rendszer u(t) =const feltételezéssel; vagy lehet ez egy zárt, visszacsatolt rendszer. Az (5.24) egyenlet x(0) = x 0 kezdeti értékt l függ megoldása legyen x(t; x 0 )! Továbbá legyen x az (5.24) egyensúlyi pontja, azaz f(x )=0! Ez az x egyensúlyi pont: 1. stabil, ha minden ɛ0 létezik egy δ(ɛ) úgy, hogy x 0 x <δ(ɛ) x(t; x 0 ) x <ɛ, t 0 (5.25) 2. lokálisan aszimptotikusan stabil, ha a fenti értelemben stabil és létezik egy r(x ) 0 úgy, hogy x 0 x <r(x ) lim x(t; x 0 )=x (5.26) t 3. globálisan aszimptotikusan stabil, ha a fenti értelemben stabil és minden x 0 R n lim t x(t; x 0 )=x (5.27) 4. instabil, ha nem stabil. Fontos megjegyezni, hogy nemlineáris rendszerek esetében a stabilitás nem rendszertulajdonság, hanem a munkapont, az egyensúlyi pont jellemz je. 63

Egy lineáris, id invariáns rendszert aszimptotikusan stabilnak [40] nevezünk, ha: ẋ(t) =Ax(t), x(t 0 )=x 0 0, t t 0 (5.28) x(t) megoldása kielégíti a következ feltételt: Lineáris rendszerek esetében a stabilitás rendszer-tulajdonság. lim x(t) =0 (5.29) t 5.4.1. Az aszimptotikus stabilitás vizsgálata lineáris modell esetén Az (5.14) kifejezéssel adott lineáris rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabil, ha A mátrixa stabilitási mátrix, azaz ha az A mátrix összes λ i (A) sajátértékének valós része szigorúan negatív [40]: Re(λ i (A)) < 0 i (5.30) A vizsgáltgázturbina linearizáltmodellje A mátrixának (ld. az (5.11) mátrix) sajátértékei: [ ] 184, 6657729 299, 8855635 4, 638148593 (5.31) Mindhárom sajátérték valós része negatív, így a gázturbina lineáris állapottér-reprezentációja lokálisan aszimptotikusan stabil, az (5.5)-(5.8) vektorokkal leírt centráló munkapontnak abban a környezetében, ahol az 5.1. fejezetben levezetett linearizált modell érvényes. 5.4.2. Az aszimptotikus stabilitás vizsgálata nemlineáris modell esetén A stabilitás nemlineáris vizsgálata általában valamely munkapont lokális stabilitásának, stabilitási tartományának (a munkapont azon "elegend en kicsi" környezete, amelyen belüli kezdeti értékek esetén a munkapont stabilitása fennáll), illetve globálisan aszimptotikusan stabil mivoltának, vagy esetleges instabilitásának megállapítását jelenti. A vizsgált gázturbinának azonban végtelenül sok munkapontja van a m ködési tartományon belül. Így igen bonyolult feladat az összes munkapont stabilitásának bizonyítása. Ezen túlmen en egy adott m ködési tartománybeli összes szóbajöhet munkapont lokális aszimptotikus stabilitásából csak bizonyos további feltételek fennállása esetén következik egy adott m ködési tartományon a rendszer globális aszimptotikus stabilitása [39], [42]. Ezért a stabilitás nemlineáris vizsgálata további kutatásokat igényel. Ebben a nemlineáris modellnek LPV-modellé való átalakítása jelenthet majd megoldást, mivel LPVmodellek munkapontjai stabilitásának bizonyítására léteznek megfelel tételek és eljárások [57], [105]. 5.5. Összefoglalás A vizsgált gázturbina dinamikus modell analízisének és szabályozó tervezésének érdekében elvégeztem a modell dimenziómentes alakra hozását és centrálását. Mivel a lineáris analízist a kés bbi lineáris szabályozó tervezés céljából végeztem el, ezért a nemlineáris modellt a centráló munkapont körül linearizáltam és megadtam az így létrejöv A, B és C mátrixokat. A dimenziómentesített és centrált nemlineáris modell koordináta-függvényei az alábbi fontos tulajdonságokkal rendelkeznek : az f(x) =f(x, d), ag(x) =B = const. és h 1 (x) =h 1 (x, d 1 ), h 2 (x) =x 2, valamint h 3 (x) =x 3. 64

A dinamikus analízis vizsgálata eredményeképpen megállapítottam, hogy a gázturbina (5.9)-(5.10) egyenletekkel leírt linearizált dinamikus modellje az (5.11)-(5.13) mátrixokkal az (5.5)-(5.8) vektorokkal leírt centráló munkapont körül lokálisan irányítható; meggyelhet ; aszimptotikusan stabil. A nemlineáris analízis segítségével megmutattam, hogy a gázturbina nemlineáris dinamikus modellje (ld. a B. Függelék B.2. része): a kontroll Ljapunov-függvény alapú nemlineáris szabályzó tervezhet sége miatt bizonyíthatóan stabilizálható és a tervezett kontroll-bemenettel a visszacsatolt zárt rendszer bármely kezdeti értékr l a m ködési tartományon belüli bármely munkapontjának tetsz legesen kis környezete elérhet ; nemlineáris értelemben meggyelhet ; az x 2 és az x 3 állapotváltozók közvetlenül mérhet ek, az x 1 állapotváltozó értéke pedig mindig egyértelm en számítható a h 1 koordináta-függvényb l az y 1, x 2, x 3 és a d 1 mérhet változók ismeretében. 65

6. fejezet Lineáris LQ szervo szabályozás Ebben a fejezetben a gázturbina elkészített dinamikus modelljének és az elvégzett dinamikus analízis eredményeinek felhasználásával egy lineáris LQ szervo szabályozás tervezését, annak lépéseit mutatom be. Bármilyen szabályozás megtervezéséhez el ször is meg kell határozni a szabályozás célját, céljait. Ezért a fejezet els részében a gázturbina szabályozásának céljait ismertetem, amelyek a további szabályozótervezési feladatok pontos feladatkit zésének alapjául szolgálnak. A lineáris szabályozók közül az LQ szervo szabályozás felel meg a megfogalmazott szabályozási követelményeknek. Egyszer sége miatt ennek ismertetésével kezdem a szabályozások tervezését a fejezet második részében. Egyúttal ez referencia-esetként is szolgál, alkalmas arra, hogy szimulációk segítségével összehasonlítsam a lineáris és a nemlineáris szabályozások min ségi és mennyiségi tulajdonságait. A következ fejezet tárgya lesz majd a gázturbina egy nemlineáris szabályozójának tervezése. 6.1. A szabályozás célja, feladatai A vizsgált gázturbinára a következ alapvet szabályozási célokat fogalmaztam meg: A gázturbina fordulatszáma kövesse a gázkar pozíciója által meghatározott értéket (referencia-jel követés). A szabályozatlan, nyitott rendszer esetében ez a követelmény természetesen nem valósul meg, de a vizsgált próbapadi gázturbina P -típusú szabályozója (ld. a 4.5.2. fejezet) sem valósítja meg ezt a szabályozási célt. A fordulatszám legyen érzéketlen a terhel nyomaték, a környezeti nyomás és h mérséklet (a zavarás-vektor elemeinek) megváltozására. Ahogyan a 4. fejezet 4.7. ábráján látható, a szabályozatlan rendszer nagyon érzékeny ezen paraméterek megváltozására. A szabályozásnak olyannak kell lennie, hogy ezek hatását elnyomja a fordulatszám kimeneten ("disturbance-rejection"). Mind a fordulatszámnak, mind pedig a h mérsékleteknek (alapvet en a turbina utáni torlóponti h mérsékletnek) létezik egy megengedett maximális értéke: n max = 833, 33 1/s és T4 max = 938, 15 K [1]. A szabályozónak meg kell valósítani a gázturbina védelmét a túl nagyfordulatszámtól és a túl magas h mérséklett l, legalábbis statikus munkapontokban. Így a tranziens folyamatok során - azaz egy rövid ideig - elképzelhet a maximális értékek túllépése, de ez a munkapontokban - azaz hosszú ideig, tartósan - a szabályzó által meg nem engedett. 66

A 4.2. fejezetben a σ SZ, σé, σ G és ηé id ben változó, nem mérhet paraméterek hatását vizsgáltam az állapotváltozókra. Az érzékenység-vizsgálat eredményeként azt kaptam, hogy ezen paraméterek hatása jelent s, de a dinamikus modell egyszer sége érdekében értéküket továbbra is konstansnak tételeztem fel. A szabályozás tervezésekor el kell érni, hogy a zárt rendszer robusztus legyen a fenti id ben változó, nem mérhet paraméterekre nézve, azaz a fordulatszám kimenet legyen érzéketlen ezen paraméterek megváltozására. Az 5.4. fejezetben a nyitott rendszer stabilitását vizsgáltam lineáris és nemlineáris értelemben. Lineáris értelemben a rendszer egy munkapont kis környezetében lokálisan stabil, nemlineáris értelemben azonban a m ködési tartományon belül a munkapontok globális stabilitását nem lehet garantálni. A szabályozónak olyannak kell lennie, hogy linearizált esetben a zárt rendszer továbbra is stabil legyen; nemlineáris esetben a munkapontok mindegyikének globálisan aszimptotikusan stabilnak kell lennie, azaz a zárt rendszer munkapontjainak nemlineáris stabilitási tartománya legyen "végtelen nagy", vagy legalábbis foglalja magába a teljes m ködési tartományt. A zárt körnek teljesítenie kell bizonyos mennyiségi tulajdonságokat is. Mivel a rendszer nemlineáris, ezért nem lehet pontosan el írni olyan, a visszacsatolt kört jellemz számértékeket, mint például az id állandó, a beállási id stb., mivel ezek nemlineáris esetben függenek a kezdeti értékekt l és a beállítani kívánt munkaponttól is. A szabályozók hangolása érdekében mégis célszer valamilyen viszonyítási értéket megadni. Legyen ez egy 100 1/s-os (például 700 1/s-ról 800 1/s-ra történ ) fordulatszám-növekedés esetén 2-3 s-os beállási id, azaz közelít leg ennyi id alatt érje el a fordulatszám az új értéket! Továbbá lehet ség szerint a fordulatszám átvitel legyen lengésmentes és 1TP-s (egy tárolós, arányos) jelleg. 6.2. Lehetséges szabályozási struktúrák A vizsgált gázturbina nemlineáris modellje, a modell analitikus tulajdonságai és a megfogalmazott szabályozási célok alapján a következ szabályozási struktúrák lehetségesek: Lineáris szabályozások: A nemlineáris modell valamely jellegzetes munkapontja körül linearizált modelljéhez többféle lineáris szabályozótervezési technika alkalmazható, mint például: pólus-áthelyezéses szabályozás, LQ alapú tervezés, robusztus szabályozások [12] stb. A lehetséges változatok közül az (5.9)-(5.10) egyenletekkel leírt linearizált dinamikus modellhez az LQ szervo szabályozást választottam és terveztem meg [60]. Az LQ szervo szabályozás el nyei [14]: lineáris kvadratikus (LQ) értelemben véve optimális [24]; a lineáris, id invariáns rendszereket globálisan stabilizálja, illetve stabilitási tulajdonságukat meg rzi; a beépített integrátornak köszönhet en referencia-jel követésére alkalmas (szervo tulajdonság), továbbá bizonyos zavar-elnyomási és robusztussági tulajdonságokkal is rendelkezik [35], [36], [37], [38]; a megtervezett visszacsatolás u = Kx alakú statikus taggal teljes és az integrátor miatt dinamikus állapotvisszacsatolás is; a zárt szabályozási kör pozitív irányban (felfelé) végtelen er sítési tartalékkal rendelkezik, ami azt jelenti, hogy u = αkx esetén, ha az α, akkor a zárt kör stabil marad [12]. 67

Nemlineáris szabályozások: A nemlineáris szabályozások tervezésekor az eredeti nemlineáris modell kerül alkalmazásra. Általában elmondható, hogy az ilyen tervezések számításigénye jelent sen megn a lineáris esethez képest; de különösen az er sen nemlineáris rendszerek esetén a nemlineáris szabályozási technikák pontosabbak és bizonyos, a zárt, visszacsatolt rendszerre jellemz mennyiségi és min ségi tulajdonságok garantálhatóak, mint például: globális, vagy legalábbis széles m ködési tartományon fennálló stabilitás, el írt id -tartománybeli viselkedés (id állandó, beállási id, teljesítmény) stb. A lehetséges technikák közül az állapotegyenletekben szerepl függvények bonyolult algebrai alakja miatt (ld. a B. Függelék B.2. része) a kontroll Ljapunov-függvény alapú nemlineáris szabályozástervezési módszert választottam (a Ljapunov-függvény és a kontroll Ljapunov-függvény deníciója a 7. fejezet bevezet jében szerepel), amely: a munkapontok mindegyikét globálisan aszimptotikusan stabilizálja [98]; lehet vé teszi referencia-jel követését; bizonyos kiegészít blokkok alkalmazásával garantálni tudja a gázturbina védelmét, a zavar-elnyomást és a robusztusságot is, a 6.1. fejezetben leírtak szerint. Így a kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozás képes a 6.1. fejezetben megfogalmazott valamennyi szabályozási cél megvalósítására; tervezhet sége pedig a nyitott rendszer stabilizálhatóságát is bizonyítja (ld. az 5.2.2. fejezet). 6.3. Lineáris LQ szervo szabályozás elmélete [24] Tekintsük a következ állapotegyenlettel és kimeneti egyenlettel leírt lineáris, id invariáns rendszert: ẋ = Ax + Bu (6.1) y = Cx (6.2) ahol x R n a rendszer állapotvektora, u R r a bemeneti vektor, y R p a kimeneti vektor és az A R n n, B R n r és C R p n a rendszer mátrixai (feltételezem, hogy a bemenet nem szerepel a kimeneti egyenletben, közvetlenül tehát nem hat a kimenetre). Legyen az u tervezend visszacsatolás olyan, hogy minimalizálja a következ "költség"- függvényt: ( J(x, u) = x T Qx + u T Ru ) dt (6.3) 0 ahol a Q és az R pozitív denit, megfelel méret, súlyozó mátrixok, a tervezés paraméterei. Az optimális visszacsatolás egy lineáris teljes állapotvisszacsatolás lesz, u = Kx alakban kapható meg, ahol K a következ mátrix-egyenlet, a Ricatti-egyenlet (Control Algebraic Ricatti Equation - CARE) megoldása: KA + A T K KBR 1 B T K + Q =0 (6.4) Az ezzel a visszacsatolással elkészített zárt kör globálisan stabil és lineáris kvadratikus értelemben optimális lesz. A vizsgált gázturbina esetében azonban egy olyan szabályozás tervezése a cél, amely egy r referencia-jelet (ami a gázkar pozíciója) képes követni. Megvizsgálva az egyszer LQ 68

szabályozóval visszacsatolt zárt kört, azt tapasztaljuk, hogy mindig van egy e hiba, eltérés a valós fordulatszám és a gázkar által parancsolt érték között. Az LQ szervo szabályozással ez a hiba zérusra csökkenthet, mégpedig egy integrátor beépítésével [36], [38]. Ez úgy valósítható meg, hogy az állapotváltozók számát meg kell növelni, kiegészít állapotváltozót kell hozzáadni az eredeti rendszerhez. El ször is az eredeti rendszer állapotváltozóit két csoportba oszthatjuk: 1. Az els csoportba az az állapotváltozó (x p ) kerül, amely közvetlenül hat a kimenetre, vagyis amellyel kapcsolatban fellép követési hibát zérusra kívánjuk csökkenteni. (Természetesen több bemenet rendszer esetében több referencia-jel és ezzel kapcsolatban több integrátor beépítése is lehetséges. Így az x p nem csak skalár, hanem vektor is lehet.) x p = C p x (6.5) 2. A másik csoportba kerül az eredeti rendszer összes többi állapotváltozója (x r ). x r = C r x (6.6) A fenti jelölésekkel a zérusra csökkentend hiba: e = r x p (6.7) Az állapotváltozók két csoportba osztása és a hiba deniálása után az eredeti rendszer állapotegyenleteinek számát meg kell növelni és egy új állapotváltozót (z) kell bevezetni. Ez az új állapotváltozó a hiba integrálja lesz: ż = e = r x p = C p x (6.8) A (6.8) egyenlet alapján látható, hogy a kiegészít állapotegyenlet egyetlen állandósult állapota, munkapontja ott van, ahol: r = x p (6.9) azaz a hiba zérus. Így az integrátor-egyenlettel kiegészített, b vített rendszer: x r [ ] x x p A 0 r [ ] = x p B + u (6.10) C ż p 0 0 z A kiegészített rendszerhez az LQ értelemben optimális visszacsatolás tervezése b vített méret Q és R mátrixokkal történik. A tervezés eredményeként a kontroll-bemenet a következ formában kapható: u = K r x r + K e e + K z z = K r C r x + K e (r C p x)+k z z (6.11) ahol a K x, a K e és a K z az LQ visszacsatolás tervezésének eredményeként kapott K mátrix megfelel részei. Az így megtervezett LQ szervo szabályozás blokkvázlatát a 6.1. ábra mutatja. A visszacsatolt rendszer állapotegyenletei a következ képpen írhatók fel: ẋ = Ax + Bu = Ax + B( K r x r + K e e + K z z)= =(A BK r C r )x + BK z z + BK e e (6.12) 69

z K z C p x p r e u K e - - B x C r x r A K r 6.1. ábra. Az LQ szervo szabályozás blokkvázlata ż = e (6.13) azaz vagy másképpen: [ ẋ ż ] = [ A BKr C r BK z 0 0 ][ x z ] [ BKe + I ] e (6.14) ẋ = Ax + Bu = Ax + B( K r C r x + K e (r C p x)+k z z)= =(A BK r C r BK e C p )x + BK z z + BK e r (6.15) ż = C p x + r (6.16) azaz [ ẋ ż ] = [ A BKr C r BK e C p BK z C p 0 ][ x z ] [ BKe + I ] r (6.17) Az LQ szervo tervezésének feltétele,hogy minden állapotváltozónak mérhet nek kell lennie. A vizsgált gázturbina esetében ez a feltétel úgy teljesül,hogy két állapotváltozó közvetlenül mérhet,a harmadik pedig egyértelm en számítható az y 1, x 2, x 3 és d 1 mérhet változók ismeretében (ld. az 5.3.2. fejezet). 6.4. Lineáris LQ szervo szabályozás tervezése a gázturbina modelljére Az LQ szervo szabályozó tervezéséhez az 5.1. fejezetben bemutatott centrált,dimenziómentes alakra hozott és az (5.5)-(5.8) "tipikus" munkapont körül linearizált (5.9)-(5.13) modellre van szükség. Ez a lineáris modell irányítható,meggyelhet és stabil (ld. az 5.2.1.,5.3.1.,5.4.1. fejezetek),így tervezhet rá LQ,ill. LQ szervo szabályozó. A tervezés els lépéseként szét kell választani az állapotváltozókat: 70

1. Az x p -be kerül az az állapotváltozó, amellyel kapcsolatban fellép követési hibát zérusra kívánjuk csökkenteni. Mivel a rendszer egy bemenet, így az x p skalár érték lesz, és ez az állapotváltozó az x 3 = n a fordulatszám. x p = C p x = x 3 = [ 0 0 1 ] x (6.18) 2. A többi állapotváltozó, azaz az x 1 = mé és az x 2 = p 3 kerülnek az x r vektorba: [ ] [ ] x1 1 0 0 x r = C r x = = x (6.19) 0 1 0 x 2 A nullára csökkentend hiba a gázkar pozíciója által meghatározott érték és a valós fordulatszám közötti különbség. Az újállapotegyenlet a (6.8) egyenlet alapján írható fel. A kiegészített (4 dimenziós) rendszer: mé p 3 ṅ ż = 51, 49457981 170, 9480709 61, 36692164 0 163, 5265624 404, 5816340 57, 85738831 0 44, 5069529 155, 4809354 33, 11326992 0 0 0 1 0 + 2, 644414014 232, 5941990 0 0 mé p 3 n z + u (6.20) Az LQ szervo szabályzó tervezéshez szükségesek a Q és az R mátrixok felvett, behangolt értékei, mellyekkel biztosítható a zárt kör megfelel min ségi, dinamikus viselkedése. A hangolás a 6.1. fejezet utolsó pontjában megfogalmazott szabályozási cél megvalósítása érdekében, a gázturbina részletes dinamikus modelljének felhasználásával, szimulációkkal történt a következ ek szerint: Els lépésként válasszuk egységnyi érték nek az R értékét! Ez minden esetben megtehet, hiszen az LQ szervo szabályzó hangolásakor a súlyozó értékek egymáshoz való viszonya a dönt, így az R értéke legyen az egységnyi alapérték! A Q mátrixban csak a f átlóbeli elemeket választottam zérustól különböz re, azaz az állapotváltozók keresztszorzatait nem súlyoztam. Ha a Q f átlójában szerepl négy elem mindegyikét 1-nek állítom be, akkor az egy nagyon gyors dinamikát eredményez, a fordulatszám beállási ideje az új értékre néhány tized másodperc. Ennek eredményeként az y 1 h mérséklet hirtelen és magas értékre fut fel, ami a vizsgált gázturbina esetében egy h ütést jelent a szerkezetre. Ennek elkerülése érdekében a fordulatszám átvitelt kell lassítani, elérve a 6.1. fejezetben leírt 2-3 másodperces beállási id t. A dinamika lassítása a Q mátrix x 3 -at és z-t súlyozó elemeinek csökkentésével érhet el. A Q és R mátrixok hangolásának végeredménye: Q = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0, 0001 0 0 0 0 0, 5 (6.21) 71

R = [ 1 ] (6.22) Az LQ szervo szabályozó tervezése ezután beágyazott MATLAB-függvénnyel (lqr) [3] történt, melynek eredményeként az optimális visszacsatolás a következ képpen adható meg: u = [ 0, 1088 0, 3919] x r +0, 262 e 0, 7071 z (6.23) Az LQ szervo-val visszacsatolt zárt kör szimulációs eredményeit és az eredmények értékelését a 8. fejezetben ismertetem. 6.5. Összefoglalás Ebben a fejezetben megfogalmaztam a tervezend szabályozások céljait, feladatait. Ennek megfelel en a lehetséges lineáris és nemlineáris szabályozási struktúrák közül kiválasztottam azt az 1-1 szabályozó fajtát, amelyek leginkább teljesíteni tudják az el írt követelményeket. Ez a kiválasztott szabályozási struktúra lineáris esetben az LQ szervo szabályozó, nemlineáris esetben pedig a kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozó. Ezek után megterveztem és az el írt szabályozási céloknak megfelel en behangoltam az LQ szervo szabályozót. A kidolgozott szabályzóval visszacsatolt zárt kör egy kivétellel minden szabályozási feladatot teljesít; a gázturbina védelmét a túl nagy fordulatszámtól és a túl magas h mérséklett l azonban nem oldja meg. Ez a szabályozó egyben referencia-esetként is szolgál a lineáris és a nemlineáris zárt, visszacsatolt szabályozási körök min ségi és mennyiségi tulajdonságainak összevetéséhez, melyet a 8. fejezetben ismertetek. 72

7. fejezet Nemlineáris, kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozás Ebben a fejezetben a 6.1. pontban megfogalmazott szabályozási célokat teljesít nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapúszabályozást és tervezésének lépéseit mutatom be. Ezen szabályozás tervezéséhez az eredeti, nemlineáris dinamikus modell-egyenletek kerülnek alkalmazásra, nem kell az egyenleteket, koordináta-függvényeket valamely kiválasztott munkapont körül linearizálni. A tervezés folyamán a felhasznált elméletnek és a szabályozási céloknak megfelel szabályozási blokkokat, egységeket kell elkészíteni, amelyek együttesen, párhuzamosan m ködtetve fogják az el írt min ségi és mennyiségi kritériumokat teljesíteni. A nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapúszabályozás tervezéséhez el ször is ki kell választani a Ljapunov-függvényt. Ennek alapján az els blokk stabilizálni, a második aszimptotikusan stabilizálni fogja az el re kiválasztott munkapontot. A harmadik blokk elkészítésének célja, hogy a m ködési tartományon belüli minden munkapont beállítható és aszimptotikusan stabil legyen. A negyedik blokk a gázturbina védelmét látja el, az ötödik pedig robusztusságot biztosít az id ben változó, nem mérhet paraméterekre nézve. Ezen fejezet alfejezetei sorban mutatják be a blokkok tervezésének elméleti hátterét és a tervezés folyamatát. 7.1. A kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozó Egy rendszer V (x) Ljapunov-függvénye a következ tulajdonságokkal rendelkezik minden x 0-ban és az állapottér minden létez trajektóriája mentén [40], [71]: 1. skalár érték : V (x) :R n R + 2. pozitív denit: V (x) 0 x R n \{0} V (0) = 0 3. disszipatív: d dx V (x) = V dt x dt < 0 73

Nemlineáris szabályzó blokkok v p (x,d) d v a (x) x v r gázkar r gázkar PI d u S X h(x) y - x 3 7.1. ábra. A nemlineáris szabályozás blokkvázlata A Ljapunov-függvényeket nemlineáris rendszerek aszimptotikus stabilitásának vizsgálatára használjuk az alábbi tétel alapján: Egy rendszer aszimptotikusan stabil, ha létezik a Ljapunov-függvénye a fenti tulajdonságokkal [40]. Egy általános zárt, visszacsatolt nemlineáris rendszer: ẋ = f(x, u) (7.1) kontroll Ljapunov-függvénye [34] egy olyan speciális Ljapunov-függvény, amellyel minden x 0-ban létezik egy u megfelel kontroll-bemenet úgy, hogy: V f(x, u) < 0 (7.2) x Ez a Ljapunov-függvény tehát a zárt, visszacsatolt, szabályozott rendszer Ljapunov-függvénye. A kontroll Ljapunov-függvény alapú nemlineáris szabályozás tervezésének célja egy olyan visszacsatolás létrehozása, amely garantálni tudja egy kijelölt munkapont globálisan aszimptotikus stabilitását. Ez a visszacsatolás két párhuzamosan csatolt blokkból áll. Az els stabilizálja, a stabilitás határhelyzetébe hozza a munkapontot, mégpedig oly módon, hogy a félig visszacsatolt rendszer kontroll Ljapunov-függvénye legyen id ben állandó, azaz a kontroll Ljapunov-függvény id szerinti deriváltja zérus (v p (x, d) visszacsatolás) [95]. A második blokk ezt a stabil rendszert tudja aszimptotikusan stabilizálni (v a (x) visszacsatolás) [16], [98]. A kontroll Ljapunov-függvény alapú nemlineáris szabályozás blokkvázlatát a 7.1. ábra mutatja. 74

7.2. A kontroll Ljapunov-függvény kiválasztása a gázturbina modelljére A tervezés els lépéseként deniálni kell egy Ljapunov-függvényt, amely majd az elkészített zárt kör kontroll Ljapunov-függvénye lesz. Ez többféleképpen is deniálható, legcélszer bb az alábbi kvadratikus Ljapunov-függvény használata: V (x) =x T Px (7.3) Így a Ljapunov-függvényre jellemz tulajdonságok közül az els kett, azaz az, hogy skalár érték és pozitív denit, azonnal teljesül, ha a P mátrix pozitív denit. Ezt a P mátrixot kell tehát megadni és az egyetlen kritérium, aminek rá nézve teljesülnie kell, az az, hogy legyen pozitív denit. Természetesen végtelen sok ilyen P mátrix választható. A tapasztalatok azt mutatják, hogy ennek megválasztása dönt en befolyásolja a zárt kör dinamikus viselkedését, tranziens folyamatainak tulajdonságait. Ez azt is jelenti, hogy ezzel a P mátrixszal hangolható a szabályzó és a zárt kör. A hangolás és a különböz próbálgatások helyett a P mátrixot meg lehet határozni a következ meggondolás alapján: tekintsük az eredeti nemlineáris rendszer linearizált modelljét (ld. a (6.1)-(6.2) egyenletek)! Ehhez a modellhez tervezhet egy LQ szabályozó, amellyel a visszacsatolt rendszer stabil és mivel linearizált a modell, így globálisan aszimptotikusan stabil lesz. Ebben az esetben tehát ennek a lineáris zárt körnek létezik a Ljapunov-függvénye, amely a [40] szerint kvadratikus formában írható fel és ezzel meghatározható a P mátrix. Legyen ez a P mátrix a nemlineáris zárt kör kontroll Ljapunovfüggvényének is a P mátrixa! Így ezzel egy lineáris és emiatt lokális tulajdonságot globálissá lehet tenni. Tekintsük tehát az (5.9)-(5.13) linearizált modellt! A tervezend visszacsatolás legyen olyan, hogy minimalizálja a (6.3) egyenlet szerinti "költség"-függvényt, mégpedig a következ Q és R mátrixokkal (ezek a mátrixok az LQ szervo szabályzó tervezésekor használt Q és R mátrixok ((6.21)-(6.22) kifejezések) megfelel elemeib l állnak): Q = 1 0 0 0 1 0 0 0 0, 0001 (7.4) R = [ 1 ] (7.5) Az optimális visszacsatolást ismét a beágyazott MATLAB-eljárással (lqr) [3] számítottam: A visszacsatolt zárt kör állapotegyenlete: u = K x= [ 0, 1124 0, 3844 0, 2341] x (7.6) ẋ =(A BK)x (7.7) alakban írható fel, ahol az A BK állapotmátrix biztosan stabilitási mátrix lesz. Ezek után felhasználjuk azt a tételt [40], hogy egy rendszer A állapotmátrixa akkor és csak akkor stabilitási mátrix (azaz Re{λ i (A)} < 0 i), ha valamely adott pozitív denit szimmetrikus Q mátrixhoz létezik egy pozitív denit szimmetrikus P mátrix úgy, hogy A T P + PA= Q (7.8) E z a P mátrix lesz a zárt kör kvadratikus Ljapunov-függvényének súlyozó mátrixa. 75

Mivel a zárt kör állapotmátrixa (A BK) stabilitási mátrix, így a tétel alkalmazható. Legyen Q = C T C, teljesítve ezzel a tétel feltételét!az A BK és a Q ismeretében a (7.8) egyenletb l egyértelm en számítható a P : P = 0, 0178 0, 0069 0, 0090 0, 0069 0, 0073 0, 0058 0, 0090 0, 0058 0, 0321 (7.9) Legyen tehát a tervezend nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozás el re deniált Ljapunov-függvénye a következ : 0, 0178 0, 0069 0, 0090 V (x) =x T Px= x T 0, 0069 0, 0073 0, 0058 x (7.10) 0, 0090 0, 0058 0, 0321 7.3. Stabilitást garantáló blokk A stabilitást garantáló blokk célja egy olyan kontroll-bemenet kidolgozása, amellyel a félig zárt kör a stabilitás határhelyzetébe kerül, azaz a 7.2. pontbeli el re deniált kontroll Ljapunov-függvény id szerinti deriváltja az állapottér minden pontjában zérus lesz. Legyen a stabilizálandó kiválasztott munkapont x 0, erre az egyensúlyi pontra centráljuk a nemlineáris állapotegyenletek mindegyikét. Így az f(0)=0feltétel garantáltan teljesülni fog, mely feltételre a Ljapunov-függvény alkalmazása miatt van szükség. A kontroll-bemenet legyen a következ struktúrájú: u = v p (x)+v (7.11) ahol v p (x) a bels, stabilizáló visszacsatolás és v az új, küls referencia-bemenet. A félig visszacsatolt rendszer nemlineáris állapotegyenlete ezzel a kontroll-bemenettel és v =0-val: ẋ = f(x)+g(x)v p (x) (7.12) Ezek után a v p a következ képpen számítható ki: d V (x) =0 dt (7.13) d V (x) = V dt x ẋ = V x (f(x)+g(x)v p(x)) = 0 (7.14) V x v p (x) = f(x) V x g(x) (7.15) Ez a v p bels visszacsatolás egy statikus nemlineáris teljes állapotvisszacsatolás, amely tehát stabilizálja az x 0 munkapontot a teljes m ködési tartományon [95]. A v p azonban nem csak az x vektor elemeit l, hanem a d zavarás-vektor elemeit l is függ, hiszen az f függvény a d-t l is függ: f(x, d) és így v p (x, d). Ez azonban nem okoz problémát, mivel a d vektor elemei mérhet ek és így a v p visszacsatolás számításához felhasználhatóak. (A v p (x, d) számításának programlistáját és egyenletét a B. Függelék B.3. része tartalmazza.) A v p bels visszacsatolásnak azonban vannak szinguláris pontjai, hiszen bizonyos x-ek esetében a nevez zérus értéket vesz fel és így a v p nem értelmezhet. Ezek a szinguláris pontok egy síkon helyezkednek el az állapottérben, ugyanis: V x g(x) =2xT PB (7.16) 76

Válasszuk meg a centráló x 0 munkapontot úgy, hogy mind az x 0, mind pedig a szinguláris sík a m ködési tartományon kívül helyezkedjen el [76]! Ezzel garantálható, hogy a gázturbina normál m ködése közben, a m ködési tartományon belül a v p minden esetben számítható lesz. Legyen ez a munkapont: x 0 =[0, 002038 kg 421397 Pa 833, 33 1/s] T (7.17) u 0 =0, 10019 kg/s (7.18) d 0 = [ 100000 Pa 243, 15 K 1500 Nm] T (7.19) Ezzel a centráló munkapont választással a: V x g(x) =2xT PB = 3, 13 x 1 +3, 34 x 2 +2, 727 x 3 (7.20) szinguláris sík valóban kívül esik a m ködési tartományon. Azonban a tranziens folyamatok során mégis el fordulhat, hogy a dinamikus folyamat állapottérbeli trajektóriája átmetszi a szinguláris síkot. Azért, hogy a szabályozó tervezés minden esetben elvégezhet legyen, a v p bels visszacsatolást meghatározó összefüggést a következ képpen egészíthetjük ki: Ha V x g(x) 0,akkor v V x p = f(x) V x g(x) (7.21) Ha V x g(x) =0,akkor v p =0 (7.22) 7.4. Aszimptotikus stabilitást garantáló blokk Az aszimptotikus stabilitást garantáló blokk célja ezek után egy olyan kontroll-bemenet kidolgozása, amely a stabilitás határhelyzetében lév félig zárt kör x 0 munkapontját aszimptotikusan stabilizálja, azaz a (7.10) egyenlettel el re deniált kontroll Ljapunov-függvény id szerinti deriváltja az állapottér minden pontjában negatív lesz. Legyen a kontroll-bemenet a következ, a (7.11) kifejezéshez képest kiegészített struktúrájú: u = v p (x, d)+v a (x)+v (7.23) ahol v p (x, d) a 7.3. fejezetben deniált stabilizáló visszacsatolás, v a (x) az aszimptotikus stabilitást garantáló visszacsatolás és v az új, küls referencia-bemenet. A v a (x) visszacsatolás megtervezéséhez a következ tételre van szükség (Kalman-Yakubovich-Popov tétel) [16], [98]: Tekintsünk egy - az x 0 egyensúlyi pontban - a stabilitás határhelyzetében lév rendszert: ẋ = f(x) (7.24) Ekkor ha az y = V g(x) (7.25) x "mesterséges" kimenettel el álló rendszer zéró állapot-meggyelhet, azaz a zéró dinamikája stabil, akkor az u = ky = k V g(x) k0 (7.26) x 77

visszacsatolás aszimptotikusan stabilizálja az x 0 egyensúlyi pontot. Egy rendszert pedig akkor nevezünk zéró állapot-meggyelhet nek,a zéró dinamikája akkor stabil,ha u(t) =0és y(t) =0 t 0 esetén lim t x(t) =0[98]. A fenti tétel alkalmazásához tehát két rendszer tulajdonságot kell el zetesen vizsgálni: 1. A nemlineáris rendszer az x 0 munkapontra ((7.17)-(7.19) vektorok) centrálva a 7.3. fejezetben deniált v p visszacsatolással a V (x) kontroll Ljapunov-függvényre nézve a stabilitás határhelyzetében van,így a tétel els feltételezése teljesül. 2. Vizsgálni kell még a félig zárt kör zéró dinamikáját is! A zéró dinamika a rendszer "bels " viselkedését írja le,amikor a bemenet és a kimenet azonosan nulla. Ez megtehet a fent deniált rendszer-tulajdonság meglétének egyszer vizsgálatával,de a nemlineáris rendszer f(x) =f(x, d) koordináta-függvényeinek bonyolult algebrai alakja (ld. a B. Függelék B.2. része) miatt ez nem végezhet el. A másik lehet ség [49],hogy a zéró dinamika stabilitását,mint lokális tulajdonságot vizsgálom az x 0 munkapont környezetében. Tekintsük az x 0 munkapontra centrált félig zárt kör nemlineáris modelljét ẋ = f(x)+g(x) (v p (x)+v) (7.27) a (7.9) és az (5.12) egyenletekkel számított P és B mátrixokkal el álló mesterséges kimenettel: y = V x g(x) =2xT PB = 3, 13 x 1 +3, 34 x 2 +2, 727 x 3 (7.28) Ezt a modellt linearizálni kell az x 0 körül,melynek eredményeként egy lineáris SISO (egy bemenet - egy kimenet ) rendszert kaptunk. Lineáris rendszerek esetén a zéró dinamika is lineáris és a zéró dinamika sajátértékei megegyeznek a rendszer H(s) átviteli függvényének (az átvitel a bemenetr l a kimenetre,azaz a v-r l az y-ra történik) zérusaival [49]. Azaz ha a H(s) átviteli függvény zérusai negatív valós rész ek, akkor a zéró dinamika stabilitása,mint lokális tulajdonság az x 0 egy környezetében, teljesül. A zéró dinamika stabilitásának vizsgálata MAPLE V-ben készült,a programlistát a B. Függelék B.4. része tartalmazza. A programlista alapján látható,hogy a H(s) átviteli függvény zérusainak valós része negatív,tehát a zéró dinamika lokális stabilitása teljesül. Így a gázturbina modelljére a [98] fenti tétele alkalmazható és tervezhet egy aszimptotikusan stabilizáló visszacsatolás (a v a (x) számításának programlistáját a B. Függelék B.3. része tartalmazza): v a (x) = k y= k V x g(x) = k ( 3, 13 x 1 +3, 34 x 2 +2, 727 x 3 ) k0 (7.29) amely egy statikus teljes állapotvisszacsatolás. A k pozitív szám egy hangolható paraméter,amely els sorban a zárt rendszer id állandójára,beállási idejére van hatással [95]. A szimulációs tapasztalatok azt mutatják, hogy a k paraméter növelése a rendszer,alapvet en a fordulatszám aszimptotikus beállását gyorsítja,azaz a beállási id csökken. A k csökkentése ellentétes hatást vált ki. A 6.1. fejezetben megfogalmazott mennyiségi célnak megfelel en,a gázturbina részletes dinamikus modelljének felhasználásával,szimulációkkal,intervallum-felezéses eljárás alkalmazásával behangoltam a k értékét és ennek eredményeként: k =0, 002. Így az els két blokk együttesen az x 0 munkapont aszimptotikus stabilitását garantálja. 78

7.5. További munkapontok aszimptotikus stabilitása A vizsgált gázturbina m ködése során a m ködési tartományon belül minden munkapontnak beállíthatónak és aszimptotikusan stabilnak kell lennie. Emellett a 6.1. fejezetben megfogalmazottaknak megfelel en a gázturbina fordulatszámának minden esetben követnie kell a gázkar pozíciója által meghatározott értéket, másrészt érzéketlennek kell lennie a zavarás-vektor elemeinek megváltozására. Ezeket a követelményeket a nemlineáris szabályzó egy újabb blokk beépítésével tudja teljesíteni, a következ meggondolások és számítások alapján [P5]: 1. Legyenr gázkar a gázkar pozíciója által meghatározott referencia-érték. A d zavarásvektor elemeivel együtt ez a 4 ismert paraméter pontosan egy munkapontot deniál a m ködési tartományon belül, amely a beállítandó "set-point" munkapont. 2. Ebben az egyensúlyi pontban természetesen az x 3 fordulatszám értéke megegyezik az r gázkar értékével. Így ezen munkapontot leíró 7 paraméter (3 állapotváltozó, 1 kontroll-bemenet és 3 zavarás változó) közül 4 ismert (az x 3 állapotváltozó és a 3 zavarás változó). A többi 3 paraméter pedig a statikus modellb l (amikor az állapotegyenletek bal oldala azonosan nulla) számítható ki. A "set-point" munkapontot leíró vektorokat jelölje: x sp, u sp és d sp! 3. A (7.23) egyenletben szerepl v új, küls referencia-bemenetet úgy kell meghatározni, hogy u sp = v p (x sp,d sp )+v a (x sp )+v (7.30) egyenl ségnek teljesülnie kell, azaz a v megfelel meghatározásával, kiszámításával a "set-point"-ban pontosan a szükséges u sp kontroll-bemenetnek kell hatást gyakorolnia a rendszerre. 4. Legyen ez a v érték egy konstans, vagyis: v = u sp v p (x sp,d sp ) v a (x sp ) (7.31) Ennek a deníciónak és a v konstans voltának a következ el nyös tulajdonságai vannak: A v a (7.31) egyenlet alapján kiszámítható, hiszen az x sp, d sp és az u sp ismertek és egy egyszer behelyettesítéssel a v p (x, d) és a v a (x) összefüggésekbe, a v értéke el áll. Másrészt ha ez a v egy konstans, akkor az azt jelenti, hogy a v p (x, d) +v a (x) az x 0 munkapontot aszimptotikusan stabilizáló kontroll-bemenetet egy konstanssal változtatom meg és így lineárisan "tolom el". Ez az aszimptotikusan stabilizáló tulajdonságot nem befolyásolja, ugyanis a g(x) =B miatt, konstans hozzáadása a bemenethez konstans hozzáadását jelenti az f(x) =f(x, d) koordináta-függvényekhez, ami a stabilitási tulajdonságot nem változtatja meg. Mindezek alapján a blokk a következ számításokat tartalmazza: 1. Azr gázkar és a d vektor elemeinek felhasználásával a statikus modellb l kiszámítja a hiányzó 3 paramétert és ezzel meghatározza az x sp, u sp és d sp vektorokat. 2. Az x sp, u sp és d sp vektoroknak a v p (x, d) és a v a (x) összefüggésekbe való behelyettesítésével kiszámítja a v értékét. 79

A fenti meggondolásokból az következik, hogy: a három blokk együttesen garantálja, hogy minden beállítandó munkapont aszimptotikusan stabil lesz; a gázturbina fordulatszáma követni fogja a gázkar pozíciója által meghatározott értéket; és mivel a számítások során gyelembe lettek véve a zavarás változók értékei, így a d vektor elemei megváltozásának hatása nem jelentkezik a fordulatszám kimeneten. A 6.1. fejezetben megfogalmazott szabályozási célokból a három blokk együttese hármat megvalósít. Amire még szükség van, az a gázturbina védelme a túl nagy fordulatszámtól és túl magas h mérséklett l statikus munkapontokban, valamint a zárt rendszer robusztussága az id ben változó, nem mérhet paraméterek változására. 7.6. A gázturbina védelmét ellátó blokk A gázturbina védelmét ellátó blokk célja, hogy statikus munkapontokban, a beállítandó "set-point" munkapontban megvédje a rendszert a túl nagy fordulatszámtól (n max = 833, 33 1/s) és a túl magas h mérséklett l. Ez utóbbi követelmény alapvet en a turbina utáni torlóponti h mérsékletre vonatkozik, mivel ez a h mérséklet megbízhatóan mérhet és az üzemeltetési utasítás [1] szerint ennek maximális értéke van (T4 max = 938, 15 K). Így a tranziens folyamatok során - azaz egy rövid ideig - elképzelhet a maximális értékek túllépése, de ez a munkapontokban - azaz hosszú ideig, tartósan - nem; így nem alakulhat ki olyan munkapont, ami veszélyt jelentene a gázturbina számára. A 7.5. fejezetben megtervezett, a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantáló blokk els lépésként a "set-point" munkapontot leíró változókat, azaz az x sp, u sp és d sp vektorok elemeit számolja ki. Felhasználva a (3.56) kimeneti egyenletet, számítható az y sp kimeneti vektor is, melynek els eleme éppen a turbina utáni torlóponti h mérsékletet tartalmazza. Így mind a fordulatszám, mind pedig a h mérséklet értéke ismert a beállítandó egyensúlyi pontban. Alapvet en a következ 2 eset lehetséges [P5]: 1. Ha a gázkar pozíciója magasabb fordulatszámot ír el, mint ami maximálisan lehetséges (vagyis a gázkart "túlhúzzák"), akkor azt gyelmen kívül hagyom és a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantáló blokk (ld. a 7.5. fejezet) az x 3sp paraméter helyébe nem az r gázkar referencia-értéket helyettesíti be, hanem az n max = 833, 33 1/s-ot. 2. Ha a beállítandó munkapontban a turbina utáni torlóponti h mérséklet (y 1sp )magasabb, mint annak maximális értéke, akkor az egyetlen lehet ség, hogy a fordulatszámot növelem. A kompresszor és a turbina karakterisztikák ugyanis olyanok, hogy azonos feltételek mellett a fordulatszám növekedése a T4 h mérséklet csökkenését vonja maga után. Így túlh mérséklet esetén is gyelmen kívül hagyom a gázkar pozíciójának jelét és 10 1/s-os értékkel növelem a fordulatszámot, majd újra ellen rzöm a T4 h mérsékletet. Ha még mindig túl magas a T 4 értéke, újra 10 1/s-mal növelem a fordulatszámot. Végeredményben két eset lehetséges: (a) A fenti ciklus futtatása során találok egy megfelel fordulatszámot, amikor a T4 alacsonyabb, mint annak maximuma, de a fordulatszám értéke még kisebb, mint 833, 33 1/s. 80

(b) Elképzelhet azonban olyan eset is, hogy a fordulatszám növelése során elérem annak maximumát, de a turbina utáni torlóponti h mérséklet még mindig túl magas.ez tulajdonképpen azt jelenti, hogy a fennálló d zavarás-vektor mellett nem létezik megfelel, a gázturbina védelmét is ellátó munkapont, amely tehát nem okoz sem túl nagy fordulatszámot, sem túl magas h mérsékletet.az egyetlen lehet ség ebben az esetben, hogy leállítom a gázturbinát, azaz az u sp értéket úgy állítom be, hogy az ṁ tüz =0feltétel teljesüljön. A fentiekb l is következik, hogy a nemlineáris szabályzónak ez a része, bár külön szabályozási célt valósít meg, zikailag nem különül el a 7.5. fejezetben ismertetett, a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantáló blokktól.annak kiegészítéseként m - ködik oly módon, hogy az x sp és az u sp vektorok számításkor a fent említett b vítéseket, gyelmen kívül hagyásokat, illetve az ismertetett, beépített ciklust alkalmazom. 7.7. Robusztusságot biztosító blokk Az id ben nem állandó és nem mérhet paraméterek változása a zárt rendszer m ködésére jelent s hatást gyakorol: a tranziens folyamatok jellege nem változik, de nem az el re de- niált "set-point" áll be, hanem egy attól eltér munkapont.ez az eddigiek alapján (ld.a 4.2. fejezet) várható is, hiszen ezen paraméterek változásának hatása a statikus modellben is jelentkezik.mivel a fenti blokkok mindegyike a nominális modell egyenleteit használja fel, így az eddig kialakított zárt kör nem robusztus a σ SZ, σé, σ G és ηé paraméterek változására; egy maradó hiba alakul ki a fordulatszám átvitelben.a robusztusság biztosításához egy PI-tagra, blokkra is szükség van, amely megszünteti ezt a maradó hibát, így a fordulatszám pontosan a megfelel értékre - az r gázkar referencia-értékre, vagy a gázturbina védelmét ellátó blokk által módosított értékre - fog beállni.a PI-tag egyenlete: t w(t) =k p (x 3sp x 3 (t)) + k i (x 3sp x 3 (τ))dτ (7.32) t 0 ahol x 3sp a beállítandó munkapontban a fordulatszám értéke, x 3 (t) a fordulatszám id függvénye, a k p és a k i PI-tag paraméterei. A k p és a k i paramétereknek, mint a PI-tag konstansainak behangolására léteznek megfelel módszerek [58].Általában elmondható, hogy a k p és a k i tagok együttesen a zárt rendszer beállási idejére, id állandójára és esetleges túllendüléseire vannak befolyással.a k p növelése a zárt kör id állandójának, beállási idejének csökkenését vonja maga után, míg a k i növelése a maradó hiba zérusra csökkenésének idejét csökkenti és ezzel együtt megnöveli a túllendülések el fordulását és nagyságát. A vizsgált gázturbinára a PI-tag paramétereinek behangolása a 6.1. fejezet szabályozási mennyiségi céljának, valamint annak a kívánalomnak megfelel en történt, hogy a fordulatszám átvitelben ne legyen túllendülése a rendszernek.a hangoláshoz a rendszer dinamikus modelljét használtam fel, szimulációs kísérleteket végeztem és az intervallumfelezéses módszert alkalmaztam.ennek eredménye a k p =5és a k i =3értékpár. A PI-tag beépítése a küls körbe nem befolyásolja a munkapontok stabilitási tulajdonságát.ugyanis egy stabil rendszert negatívan visszacsatolva egy másik stabil rendszerrel a létrejöv zárt kör is stabil lesz [98].Mivel mind az eredeti nemlineáris dinamikus modell és a korábbiakban megtervezett 4 szabályzó blokk együtteseként adódó rendszer, mind pedig a negatívan visszacsatoló PI-tag stabil (L 2 -es er sítése véges), így a teljes ered rendszer továbbra is stabil marad. 81

Ennek vizsgálata, ellen rzése érdekében a teljes ered nemlineáris rendszer koordinátafüggvényeit linearizáltam a korábban is alkalmazott (5.5)-(5.8) vektorokkal deniált linearizálómunkapont körül, majd tekintettem a linearizált rendszer A mátrixának sajátértékeit (az integrálótag miatt eggyel megnövekedett az állapottér dimenziója, így az A mátrixnak 4 sajátértéke van): [ ] 199, 17 + 402, 38 i 199, 17 402, 38 i 91, 79 0, 59 (7.33) Mivel mindegyik sajátérték valós része negatív, így a teljes ered nemlineáris rendszer linearizált állapottér-reprezentációja lokálisan aszimptotikusan stabil, az (5.5)-(5.8) vektorokkal leírt centrálómunkapontnak abban a környezetében, ahol az 5.1. fejezetben levezetett linearizált modell érvényes. Ezzel a PI-taggal kiegészített, a fentiekben ismertetett öt blokk visszacsatolásával adódó zárt kör (ld. a 7.1. ábra) teljesíti a 6.1. fejezetben megfogalmazott szabályozási célok mindegyikét. A kialakított nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozás tehát teljes mértékben, minden szempontból megfelel a szabályozási feladatoknak. A kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályzóval visszacsatolt zárt kör szimulációs eredményeit és az eredmények értékelését a 8. fejezetben ismertetem. 7.8. Összefoglalás A 6.1. fejezetben megfogalmazott szabályozási céloknak megfelel en a vizsgált gázturbina nemlineáris dinamikus modelljére megterveztem és behangoltam egy kontroll Ljapunovfüggvény alapú nemlineáris szabályozót. A szabályozó az alábbi blokkokból áll, amelyek kapcsolatát a 7.1. ábra mutatja: 1. stabilitást garantálóblokk; 2. aszimptotikus stabilitást garantálóblokk; 3. további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantálóblokk; 4. gázturbina védelmét ellátóblokk; 5. robusztusságot biztosítóblokk. Az ezzel a szabályzóval visszacsatolt zárt kör a következ lényeges tulajdonságokkal rendelkezik: a m ködési tartományon belüli munkapontok mindegyike beállíthatóés a munkapontok mindegyike globálisan aszimptotikusan stabil (a stabilitást garantálóblokk, az aszimptotikus stabilitást garantálóblokk és a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantálóblokk együttes alkalmazása); a gázkar által el írt jelet, mint referencia-jelet a fordulatszám követni tudja (a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantálóblokk alkalmazása); kiegészít blokkok alkalmazásával: garantálhatóa statikus munkapontokban a gázturbina védelme a túl nagy fordulatszámtól és a túl magas h mérséklett l (a gázturbina védelmét ellátó blokk alkalmazása); 82

a zavarás-vektor elemeinek változására a fordulatszám átvitel érzéketlen, azaz a szabályzó ezen vektorok elemeinek hatását elnyomja a fordulatszám kimeneten (a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantáló blokk alkalmazása); az id ben változó, nem mérhet paraméterekre nézve a zárt rendszer robusztus, azaz a fordulatszám kimenet érzéketlen ezen paraméterek megváltozására (robusztusságot biztosító blokk alkalmazása); a nemlineáris szabályzó paramétereinek (k, k p, k i ) hangolásával megvalósítható a mennyiségi szabályozási követelmény, a zárt kör az el írt id állandóval, beállási id vel rendelkezik. A megtervezett és behangolt öt blokk együttesével visszacsatolt rendszer minden tekintetben, minden szempontból megfelel a szabályozási feladatoknak, célkit zéseknek. 83

8. fejezet A lineáris LQ szervo és a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozások összehasonlítása Ebben a fejezetben a korábbiakban megtervezett és behangolt szabályozások összehasonlítása szerepel a vizsgált gázturbina matematikai modelljének felhasználásával. Az összevetést szimulációs kísérletek segítségével végeztem. Az alábbi két zárt,visszacsatolt rendszer tulajdonságait hasonlítottam össze. 1. Az els szimulációs esetben a nemlineáris (nem linearizált dinamikus egyenletekkel leírt) modellen a lineáris LQ szervo szabályzó m ködik. 2. A második szimulációs eset,amikor a nemlineáris dinamikus modell a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályzóval van visszacsatolva. A bemutatott szimulációk MATLAB/SIMULINK [4] felhasználásával kerültek megvalósításra. A lineáris LQ szervo-val visszacsatolt zárt rendszer szimulációs kísérleteinek elvégzéséhez szükséges SIMULINK rendszerábra az A. Függelék A.14. részében,míg a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályzóval visszacsatolt zárt kör rendszerábrája az A. Függelék A.15. részében található. 8.1. A szimulációs kísérletek körülményei A szimulációs kísérletek elvégzése el tt meg kell határozni azokat a szimulációs eseteket, amelyek lényegesek és így a lehet legjobban jellemzik a zárt rendszereket és ezen keresztül a megtervezett és behangolt szabályzókat. Fontos,hogy a kiválasztott szimulációs esetek minél több információt szolgáltassanak a zárt rendszerekr l és így - ezen információk segítségével - a szabályzók összevetése és értékelése elvégezhet legyen. A vizsgált gázturbina esetében három ilyen lényeges szimulációs esetet,alapkísérletet határoztam meg,amelyek hasonlóak a nyitott rendszer vizsgálatánál bemutatott szimulációkhoz. A vizsgálatokhoz minden esetben ugyanazt a munkapontot,kiinduló pontot választottam,mint az érzékenység-vizsgálathoz és a dinamikus modell verikációjához ((4.10) - (4.12) vektorok). A1. Az A1. szimuláció során egységugrással megváltoztattam a gázkar pozícióját az eredeti 700 1/s-ot el író értékr l 800 1/s-ra,miközben az id ben változó,nem mérhet paraméterek közül a σ SZ értékét annak minimumára és a σ G értékét annak maximumára változtattam. 84

A2. Az A2. szimuláció során az állapotváltozók közül az x 3 = n kezdeti értékét 400 1/s-ra állítottam be. A3. Az A3. szimuláció során a terhel nyomatékot egy egységugrással növeltem meg az eredeti 50 Nm-es értékr l 70 Nm-re. Ezeket az esetek azért lényegesek, relevánsak a vizsgált gázturbina esetében, mert ezek vizsgálatával a szabályozási célok megvalósulása ellen rízhet. Az A1. szimulációval a referencia-jel követése, a beállási id re vonatkozó mennyiségi követelmény teljesülése és a fordulatszám átvitel érzéketlensége, azaz a zárt rendszernek az id ben változó, nem mérhet paraméterekre tekintett robusztussága vizsgálható. Az A2. szimuláció a megfelel stabilitási tulajdonság fennállásának és a stabilitási tartomány nagyságának ellen rzésére szolgál. Az A3. szimulációs esettel a zárt rendszer fordulatszám átvitelének érzéketlensége vizsgálható a zavarás-vektor elemeinek megváltozására. A szimulációk eredményeit rövid leírások és ábrák segítségével mutatom be. Természetesen a szabályozók tervezése és hangolása folyamán a fenti három alapkísérletnél lényegesen több szimulációs kísérletet végeztem el. A következ szimulációs esetek tapasztalatairól ábrákat nem, csak egy-egy rövid leírást adok: 1. Egységugrásszer en megváltoztattam a gázkar pozícióját a 700 1/s-ot el író értékr l a maximális értékre, 833, 33 1/s-ra, miközben az id ben változó, nem mérhet paraméterek az átlagértékeiket, a dinamikus modellben alkalmazott értékeiket veszik fel (egyszer gyorsítás). 2. Egységugrásszer en megváltoztattam a gázkar pozícióját 700 1/s-ról a minimális értékre, 650 1/s-ra, miközben az id ben változó, nem mérhet paraméterek az átlagértékeiket veszik fel (egyszer lassítás). 3. A gázkar pozícióját egységugrással átállítottam 700 1/s-ról 800 1/s-ra, miközben az id ben változó, nem mérhet paraméterek közül a σé értékét annak minimumára és az ηé értékét annak maximumára változtattam. 4. A stabilitási tulajdonságfennállása és a stabilitási tartomány további vizsgálatához az állapotváltozók közül az x 1 = mé kezdeti értékét 0, 1 kg-ra állítottam be. 5. Hasonlóképpen, stabilitási vizsgálatként az x 2 = p 3 vettem fel. kezdeti értékét 500000 Pa-ra 6. A fordulatszám átvitel érzéketlenségének vizsgálatához, amit a zavarás-vektor elemeinek megváltozása kapcsán, mint szabályozási cél került el írásra, a d 1 = p 1 értékét egységugrással 110000 Pa-ra változtattam meg. 7. Hasonlóan egységugrásszer en megváltoztattam a d 2 = T1 -ot 300, 15 K-re és vizsgáltam a fordulatszám válaszfüggvényt. A fentiekben felsorolt szimulációs kísérleteket elvégeztem külön-külön a lineáris LQ szervo-val visszacsatolt rendszerre és a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályzóval visszacsatolt zárt körre is. Az ábrák és a szimulációs tapasztalatokat leíró rövid értékelések mellett a 10 szimuláció min ségi és mennyiségi eredményeit - mindkét szabályozás esetén - táblázatban is összefoglaltam. A táblázatok a következ vizsgált jellemz ket tartalmazzák: J1. stabilitás fennállása (igen/nem); 85

J2. beállási id ([s]), amely a fordulatszám válaszfüggvénye esetén, a bemeneten (például a gázkar pozíciójának megváltoztatása által) létrehozott egységugrás 99 %-os eléréséhez, teljesítéséhez szükséges id tartam (például, ha a gázkar pozícióját 700 1/s-ról 800 1/s-ra állítom át, akkor az egységugrás 100 1/s-os érték és a beállási id t a fordulatszám kimenetnek a 799 1/s-os érték elérésének id tartamával deniálom); J3. bemenet energia- (tüzel anyag mennyiség-) igénye ([kg]); J4. a fordulatszám válaszfüggvényének lengésmentessége (igen/nem); J5. amennyiben a fordulatszám átvitel lengéseket tartalmaz, akkor a válaszfüggvényben el fordulóminimális, illetve maximális fordulatszám értéke ([1/s]); J6. a fordulatszám kimenet érzéketlensége a zavarás-vektor elemeinek megváltozására (igen/nem); J7. robusztusság az id ben változó, nem mérhet paraméterek megváltozására nézve (igen/nem). Bizonyos szimulációs esetekben a táblázatban szerepl jellemz k nem adhatóak meg. Ha például a szimulációeredménye egy instabil fordulatszám válaszfüggvény, akkor a táblázatban szerepl összes többi jellemz nem számítható. Más esetekben, amikor az id ben változó, nem mérhet paramétereket állandó értéken tartom, akkor a rendszer robusztussága nem vizsgálható. Ilyenkor a táblázat megfelel helyére az N/A (nincs adat, nem vizsgálható) jelölés kerül. Az ábrák, rövid leírások és a táblázatban szerepl jellemz k segítségével a kétféle típusú szabályzótulajdonságai összehasonlíthatók, mely összevetés eredményei a 8.3. pontban találhatóak. A 4.5. fejezetben a dinamikus paraméterek között szerepelt az a P -tag is, amely a jelenlegi próbapadi gázturbinán, mint szabályzó m ködik. A dinamikus paraméter-becslés folyamán meghatároztam ennek a P -tagnak az értékét. De a kés bbiekben a nemlineáris rendszer seholsem tartalmazta a beépített P szabályozót, így a szimulációs modellekben sem szerepel (ld. az A. Függelék A.14. és A.15. rendszerábrái). 8.2. Szimulációs eredmények Az LQ szervo szabályzómegtervezéséhez és hangolásához linearizálni kellett az eredeti nemlineáris modellt. Erre a linearizált rendszerre készült el az LQ szervo szabályzó. A 8.1. ábra a zárt, visszacsatolt, linearizált gázturbina modellt tartalmazórendszer egységugrás válaszfüggvényét mutatja. A bemenet a gázkar által el írt pozíció, mint referencia-jel; a kimenet pedig a fordulatszám. A behangolt LQ szervo szabályozóval (a hangolható paraméterek a Q és az R mátrixok - ld. a 6.4. fejezet) visszacsatolt zárt rendszer id állandója, beállási ideje megfelel, a 6.1. pontban megfogalmazott mennyiségi szabályozási feladatot teljesíti. (A 8.1. ábra függ leges tengelyén a fordulatszám értékek dimenziómentesek és centráltak.) 8.2.1. Lineáris LQ szervo szabályozó a nemlineáris modellen A nemlineáris rendszeren m köd lineáris LQ szervo szabályozószimulációkkal történ vizsgálataihoz 8.1. pontban deniált szimulációs kísérleteket végeztem el. A vizsgált esetek közül az els hármat, az alapkísérleteket ábrákkal is bemutatom. A kísérletek eredményei, tapasztalatai a következ ek: 86

1 LQ szervo step válasz függvénye From: U(1) 0.9 0.8 0.7 Fordulatszám To: Y(1) 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Idõ (sec) 8.1. ábra. Az LQ szervo szabályozóval visszacsatolt linearizált rendszer egységugrás válaszfüggvénye A1. Az A1. szimuláció során egységugrással megváltoztattam a gázkar pozícióját az eredeti 700 1/s-ot el író értékr l 800 1/s-ra, miközben az id ben változó, nem mérhet paraméterek közül a σ SZ értékét annak minimumára és a σ G értékét annak maximumára változtattam. A 8.2./1. ábra a fordulatszám válaszfüggvényt mutatja. Látható, hogy az id állandó, a beállási id a 6.1. pontban megfogalmazottaknak megfelel (hiszen 3 s-nál kisebb) és a fordulatszám kimenet érzéketlen az id ben változó, nem mérhet paraméterek megváltozására. A fordulatszám válaszfüggvény lengésmentes. A 8.3./1. ábra a p 3, a 8.4./1. ábra pedig a T 4 kimenetek változását mutatja. A 8.5./1. ábra a tranziens folyamathoz szükséges tüzel anyag tömegáramának (a beavatkozó változó) változását ábrázolja. A2. Az A2. szimuláció fordulatszám ábrája (8.6./1. ábra) azt az esetet mutatja, amikor az állapotváltozók közül az x 3 = n kezdeti értékét 400 1/s-ra állítottam be. Látható, hogy a lineáris LQ szervo-val visszacsatolt nemlineáris rendszer nem globálisan aszimptotikusan stabil, azaz ekkora fordulatszámbeli kezdeti érték eltérésre már nem képes visszaállítani az eredeti munkapontot. A3. Az A3. szimuláció során a terhel nyomatékot egy egységugrással növeltem meg az eredeti 50 Nm-es értékr l 70 Nm-re. A terhel nyomaték, mint zavarás-vektorbeli elem megnövekedésének hatására a fordulatszám el ször hirtelen lecsökken, majd az LQ szervo szabályozó visszaállítja az eredeti fordulatszám értékét (ld. a 8.7./1. ábra). Így tehát a zárt rendszer fordulatszám kimenete érzéketlen a zavarás-vektor elemeinek megváltozására. Ezt a tényt er síti meg a 8.8./1. ábra, amely a különböz id pontokban történ egységugrásszer terhel nyomaték növekedésekre adott fordulatszám választ mutatja, a terhel nyomaték id beli megváltozásának feltüntetésével. A további 7 kiegészít szimulációs kísérlet tapasztalatai az alábbiak. 87

800 800 790 790 780 780 770 770 Fordulatszám [1/sec] 760 750 740 Fordulatszám [1/sec] 760 750 740 730 730 720 720 710 710 700 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 700 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 8.2. ábra. A lineáris LQ szervo-val és a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt nemlineáris rendszer fordulatszám válaszai a gázkar pozíciójának változására 2.45 x 105 2.45 x 105 2.4 2.4 2.35 2.35 Turbina elõtti torlóponti nyomás [Pa] 2.3 2.25 2.2 2.15 Turbina elõtti torlóponti nyomás [Pa] 2.3 2.25 2.2 2.15 2.1 2.1 2.05 2.05 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 8.3. ábra. A lineáris LQ szervo-val és a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt turbina el tti torlóponti nyomás válaszai a gázkar pozíciójának változására 88

710 710 700 700 Turbina utáni torlóponti hõmérséklet [K] 690 680 670 660 Turbina utáni torlóponti hõmérséklet [K] 690 680 670 660 650 650 640 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 640 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 8.4. ábra. A lineáris LQ szervo-val és a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt nemlineáris rendszer turbina utáni torlóponti h mérséklet válaszai a gázkar pozíciójának változására 9.9 x 10 3 10.1 x 10 3 9.8 10 Tüzelõanyag tömegárama [kg/sec] 9.7 9.6 9.5 9.4 Tüzelõanyag tömegárama [kg/sec] 9.9 9.8 9.7 9.6 9.5 9.4 9.3 9.3 9.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 9.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 8.5. ábra. A lineáris LQ szervo-val és a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt nemlineáris rendszer bemenetének változásai a gázkar pozíciójának változására 89

700 700 600 650 500 Fordulatszám [1/sec] 400 300 200 Fordulatszám [1/sec] 600 550 500 100 0 450 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Idõ [sec] 400 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 8.6. ábra. A lineáris LQ szervo-val és a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt nemlineáris rendszer fordulatszám válaszai nagy fordulatszám zavarásra Fordulatszám [1/sec] 700 698 696 694 692 690 688 686 684 682 700.2 700 699.8 699.6 699.4 699.2 699 698.8 698.6 698.4 680 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 698.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 8.7. ábra. A lineáris LQ szervo-val és a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt nemlineáris rendszer fordulatszám válaszai a terhel nyomatékmegnövekedésére 90

Fordulatszám [1/sec] 705 700 695 690 685 680 675 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Fordulatszám [1/sec] 700 699.5 699 698.5 698 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 90 90 Terhelõ nyomaték [Nm] 80 70 60 Terhelõ nyomaték [Nm] 80 70 60 50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 50 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Idõ [sec] 8.8. ábra. A lineáris LQ szervo-val és a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt nemlineáris rendszer fordulatszám válaszai a terhel nyomaték több, különböz id pontokban történ egységugrásszer megnövekedésére A szimulációs kísérletek közül az els három (az 1., a 2. és a 3.) egységugrásszer munkapont-váltásokat mutat be, az 1. egy egyszer (amikor az id ben változó, nem mérhet paraméterek az átlagértékeiket veszik fel) gyorsítás, a 2. egy egyszer lassítás, a 3. pedig egy olyan gyorsítási folyamat, amikor két id ben változó, nem mérhet paraméter közül az egyik a minimumát, a másik a maximumát veszi fel. Megállapítottam, hogy mindhárom munkapont-váltás beállási ideje megfelel az el írtnak és a fordulatszám átvitel érzéketlen az id ben változó, nem mérhet paraméterek megváltozására. A fordulatszám válaszfüggvények minden esetben lengésmentesek voltak. Az aszimptotikus stabilitási tulajdonság és a stabilitási tartomány vizsgálata történt a 4. és az 5. szimuláció során. Megállapítottam, hogy a 8.1. pontban leírt x 1 és x 2 állapotváltozóbeli kezdeti érték eltérések olyan nagyok, hogy a zárt rendszer már nem képes visszaállítani az eredeti munkapontot. Tehát az LQ szervo-val visszacsatolt nemlineáris rendszer nem globálisan aszimptotikusan stabil. A 6. és a 7. szimulációs kísérlet során egységugrással megváltoztattam a zavarásvektor elemei közül egyet-egyet és vizsgáltam a fordulatszám válaszfüggvényeit. A kísérletek eredményeként azt tapasztaltam, hogy a fordulatszám el ször megváltozik (a 6. esetben lecsökken, a 7. esetben megn ), majd mindkét esetben az LQ szervo szabályozó képes visszaállítani az eredeti fordulatszám értéket. Az elvégzett 10 szimulációs kísérletet értékel, a 8.1. pontban felsorolt jellemz k a 8.1. táblázatban találhatóak. 8.2.2. Nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozó a nemlineáris modellel A nemlineáris szabályzóval visszacsatolt nemlineáris modell vizsgált alapkísérletei megfelelnek a 8.1. pontban leírtaknak. Azaz itt is: A1. Az A1. szimuláció során a gázkar pozícióját egységugrással növeltem meg 700 1/sról 800 1/s-ra, miközben két id ben változó, nem mérhet paraméter értékét változtattam meg az egyiket a minimumára, a másikat a maximumára. Vizsgáltam 91

A1. A2. A3. 1. 2. J1.: stabilitás igen nem igen igen igen J2.: beállási id [s] 2, 686 N/A 1, 647 2, 831 2, 151 J3.: bemeneti energia [kg] 0, 049 N/A 0, 051 0, 052 0, 045 J4.: lengésmentesség igen N/A nem igen igen J5.: min. fordulatszám [1/s] N/A N/A 681, 7 N/A N/A J5.: max. fordulatszám [1/s] N/A N/A N/A N/A N/A J6.: zavar-elnyomás N/A N/A igen N/A N/A J7.: robusztusság igen N/A N/A N/A N/A 3. 4. 5. 6. 7. J1.: stabilitás igen nem nem igen igen J2.: beállási id [s] 2, 665 N/A N/A 1, 635 0, 351 J3.: bemeneti energia [kg] 0, 049 N/A N/A 0, 049 0, 046 J4.: lengésmentesség igen N/A N/A nem nem J5.: min. fordulatszám [1/s] N/A N/A N/A 682, 2 N/A J5.: max. fordulatszám [1/s] N/A N/A N/A N/A 702, 3 J6.: zavar-elnyomás N/A N/A N/A igen igen J7.: robusztusság igen N/A N/A N/A N/A 8.1. táblázat. Az LQ szervo szabályozóval visszacsatolt zárt rendszer 10szimulációs kísérletének fontosabb jellemz i mindhárom kimenet-vektorbeli elem válaszfüggvényét és a bemenet változását (ld. a 8.2./2., 8.3./2., 8.4./2. és a 8.5./2. ábrák). Látható, hogy a a zárt rendszer id állandója, beállási ideje megfelel a 6.1. pontban leírt mennyiségi szabályozási célnak és a fordulatszám kimenet érzéketlen az id ben változó, nem mérhet paraméterek megváltozására. A fordulatszám válaszfüggvény lengésmentes. A2. Az A2. szimuláció (ld. a 8.6./2. ábra), amikor az állapotváltozók közül az x 3 = n kezdeti értékét 400 1/s-ra vettem fel, bizonyítja, hogy a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt nemlineáris rendszer globálisan aszimptotikusan stabil, azaz még ilyen nagy x 3 -beli kezdeti érték eltérésre is képes visszaállítani az eredeti munkapontot. Fontos megjegyezni, hogy ebben a szimulációs esetben mind a szabályozatlan (ld. a 4.6. ábra), mind az LQ szervo-val visszacsatolt rendszer (ld. a 8.6./1. ábra) "lefullad", azaz a rendszer nem tudja visszaállítani az eredeti munkapontot. A3. Az A3. szimuláció során egy zavarás-vektor elemet, a terhel nyomatékot növeltem meg egységugrásszer en. A 8.7./2. ábra alapján látható, hogy ennek hatására a fordulatszám itt is el ször lecsökken, majd a nemlineáris szabályzó képes igen rövid id alatt visszaállítani a kiindulási munkapontot. Hasonlóan, a 8.8./2. ábra segítségével, amely az 1. és a 3. másodpercben történ egységugrásszer terhel nyomaték növekedésekre adott fordulatszám választ mutatja a terhel nyomaték id beli megváltozásának feltüntetésével, megállapítható, hogy a fordulatszám átvitel érzéketlen a zavarás-vektor elemeinek megváltozására. A további 7 kiegészít szimulációs kísérlet tapasztalatait az alábbiakban foglalom össze. Az egységugrásokkal létrejöv munkapont-váltásokat bemutató els három (az 1., a 2. és a 3.) szimuláció tapasztalatai a következ ek: a zárt, visszacsatolt szabályozási 92

A1. A2. A3. 1. 2. J1.: stabilitás igen igen igen igen igen J2.: beállási id [s] 2, 788 2, 916 0, 182 2, 980 2, 972 J3.: bemeneti energia [kg] 0, 049 0, 046 0, 051 0, 052 0, 045 J4.: lengésmentesség igen igen nem igen igen J5.: min. fordulatszám [1/s] N/A N/A 698, 2 N/A N/A J5.: max. fordulatszám [1/s] N/A N/A N/A N/A N/A J6.: zavar-elnyomás N/A N/A igen N/A N/A J7.: robusztusság igen N/A N/A N/A N/A 3. 4. 5. 6. 7. J1.: stabilitás igen igen igen igen igen J2.: beállási id [s] 2, 846 0, 066 0, 044 0, 022 0, 002 J3.: bemeneti energia [kg] 0, 050 0, 046 0, 046 0, 049 0, 047 J4.: lengésmentesség igen nem nem nem nem J5.: min. fordulatszám [1/s] N/A 689, 3 696, 5 696, 5 N/A J5.: max. fordulatszám [1/s] N/A 733, 4 760, 9 N/A 700, 4 J6.: zavar-elnyomás N/A N/A N/A igen igen J7.: robusztusság igen N/A N/A N/A N/A 8.2. táblázat. A nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályzóval visszacsatolt zárt rendszer 10 szimulációs kísérletének fontosabb jellemz i kör beállási ideje megfelel a 6.1. fejezetben megfogalmazott mennyiségi követelménynek, a fordulatszám átvitel érzéketlen az id ben változó, nem mérhet paraméterek megváltozására és mindhárom esetben a fordulatszám válaszfüggvény lengésmentes volt. Az aszimptotikus stabilitási vizsgálatok (a 4. és az 5. szimulációs kísérlet) eredményeként azt tapasztaltam, hogy a nemlineáris szabályzóval visszacsatolt rendszer globálisan aszimptotikusan stabil, mindkét esetben a szabályzó képes (lengéseken keresztül és nagyon rövid id n belül) visszaállítani az eredeti munkapontot. A 6. és a 7. szimulációs kísérlet során a zavarás-vektor elemei közül egységugrásokkal változtattam meg el ször a d 1 -et, majd a d 2 -t. A zárt kör fordulatszám átvitele mindegyik esetben érzéketlen a zavarás-vektor elemeinek megváltozására. A fordulatszám el ször itt is megváltozik (a 6. esetben lecsökken, a 7. esetben megn ), majd a szabályozás eredményeképpen igen rövid id alatt visszaáll az eredeti fordulatszám érték. pontban felsorolt jel- A fentiekben elemzett 10 szimulációs kísérlet fontosabb, a 8.1. lemz it a 8.2. táblázatban foglaltam össze. 8.3. A lineáris és a nemlineáris szabályozások összehasonlításának eredményei Ebben a pontban a 8.2.1. és a 8.2.2. pontokban szimulációs kísérletekkel (az alapkísérletekkel (A1.-A3.) és az ezek tapasztalatait meger sít további 7 kiegészít szimulációs kísérlettel) bemutatott két szabályozási eset összehasonlításának eredményeit mutatom be, 93

amikor a nemlineáris modellen a lineáris LQ szervo szabályozó, illetve amikor a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályzó m ködik.az összevetés szempontjai és eredményei a következ ek: 1. Szabályozási célok megvalósítása: A lineáris LQ szervo szabályzóval visszacsatolt zárt rendszer egy kivétellel minden szabályozási feladatot teljesít; a gázturbina védelmét a túl nagy fordulatszámtól és a túl magas h mérséklett l azonban nem oldja meg. A nemlineáris szabályzóval visszacsatolt rendszer minden tekintetben, minden szempontból megfelel a szabályozási feladatoknak, célkit zéseknek. 2. Stabilitás, garantálható stabilitási tartomány: A lineáris LQ szervo szabályzóval visszacsatolt zárt rendszer nem globálisan aszimptotikusan stabil, nagy x-beli kezdeti érték eltérés esetén már nem tudja visszaállítani az eredeti munkapontot.nem garantálható a zárt rendszer stabilitási tartományának nagysága sem, ami munkapontról-munkapontra eltér lehet. A nemlineáris szabályzóval visszacsatolt rendszer globálisan aszimptotikusan stabil, stabilitási tartománya a teljes állapottérre kiterjed.mivel azonban a felállított dinamikus modellt csak a m ködési tartományon tekinthetjük megfelel en pontosnak, így a visszacsatolt rendszer garantált stabilitási tartománya a modell m ködési tartományára sz kül. 3. Bemenet változása, a szabályozás energia-igénye: A 8.5./1. és a 8.5./2. ábrák alapján látható, hogy a gázkar pozíciója egységugrásszer megváltozásának hatására bekövetkez munkapont-váltás min ségi szempontból hasonló bemenet-változást eredményez.mennyiségi szempontból sincs jelent s különbség a két dinamikus folyamat között, a 8.1. és a 8.2. táblázatok [J3.] sorainak, jellemz inek összevetésével látható, hogy a két szabályozás közötti, bemenet-változásbeli eltérés maximuma 2, 2%. 4. Zavarás-vektorbeli elemek megváltozásának hatása a fordulatszám kimeneten: Mindkét szabályozó képes a nemlineáris rendszer fordulatszám kimenetén elnyomni a zavarás-vektor elemei megváltozásának hatását.ez a lineáris szabályozó esetében a szervo tulajdonságnak köszönhet, a nemlineáris szabályozás esetén pedig a mért zavarás-vektor elemek hatása gyelembe vételre kerül a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantáló blokkban (ld.a 7.5.fejezet). 5. Robusztusság az id ben változó, nem mérhet paraméterekre nézve: Mindkét szabályozás robusztus az id ben változó, nem mérhet paraméterekre nézve.ez a lineáris LQ szervo szabályozó esetében - az el z pontban leírtakhoz hasonlóan - a beépített integrátornak köszönhet.a nemlineáris szabályozás esetén szükséges volt egy külön blokk beépítése, amely garantálni tudja a zárt kör robusztusságát (ld.a 7.7. fejezet). 6. Egyéb mennyiségi különbség: Még egy fontos eltérés mutatkozik a kétféle szabályozás bemutatott szimulációi között, amely a 8.7./1. és a 8.7./2. ábrák valamint a 8.1. és a 8.2. táblázatok [J5.] jellemz inek összevetéséb l következik.a zavarásvektor elemeinek egységugrásszer megnövekedésére minden esetben, a dinamikus 94

folyamat kezdetén a fordulatszám megváltoztatja kiinduló értékét, de nem azonos mértékben. A nemlineáris szabályzóval visszacsatolt rendszer esetében jóval kisebb a kezdeti fordulatszám kitérés és a nemlineáris szabályzó jelent sen gyorsabban állítja vissza a gázkar által el írt fordulatszám értéket. Ez a nemlineáris szabályzó újabb kedvez tulajdonsága. 8.4. Összefoglalás Ebben a fejezetben a 6. és a 7. fejezetekben megtervezett szabályozókat hasonlítottam össze számítógépes szimulációs kísérletek segítségével. Két esetet különböztettem meg: a lineáris LQ szervo szabályozó a nemlineáris modellen és a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozó a nemlineáris modellen. Ezek eseteket hasonlítottam össze részletesen szimulációs kísérletek segítségével. Három alapkísérletet készítettem el: 1. Az els egy egységugrással létrejöv munkapont-váltást mutat be, miközben az id ben változó, nem mérhet paramétereket is megváltoztattam. 2. A második a zárt, visszacsatolt szabályozási körök aszimptotikus stabilitási tulajdonságainak vizsgálatára szolgál. 3. A harmadik pedig a zavarás-vektor elemeinek egységugrásszer megváltozásának hatását vizsgálja a fordulatszám kimeneten. A bemutatott három alapvet szimulációs eset alapján - meger sítve ezek eredményeit a további 7kiegészít szimulációs kísérlettel - elvégeztem a nemlineáris modellen m köd kétféle (lineáris, illetve nemlineáris) szabályozó összevetését. Mindkét szabályzóval a visszacsatolt zárt rendszer teljesíti a legfontosabb szabályozási célokat, bár a lineáris LQ szervo-val visszacsatolt nemlineáris rendszer nem oldja meg a gázturbina védelmét. A nemlineáris szabályzóval visszacsatolt rendszer globálisan (vagy legalábbis garantálhatóan a m ködési tartományon belül globálisan) aszimptotikusan stabil; míg az LQ szervo-val visszacsatolt kör nem globálisan aszimptotikusan stabil és a stabilitási tartomány nagysága sem garantálható (munkapontról-munkapontra változik). A szabályozás bemeneti energia-igényének, a zavarás-vektor elemeinek megváltozása elnyomásának a fordulatszám kimeneten, valamint az id ben változó, nem mérhet paraméterekre nézve a zárt kör robusztusságának tekintetében nincsenek lényeges különbségek a kétféle szabályozás között. Bizonyos további mennyiségi tulajdonság (a fordulatszám kimeneti folyamat elején tapasztalható hirtelen fordulatszám változás és a beállási id a zavarás-vektor elemeinek megváltoztatása esetén) szempontjából a nemlineáris szabályozó kedvez bb dinamikát eredményez, mint a lineáris szabályozó. Összeségében tehát a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozóval visszacsatolt zárt rendszer ugyanolyan, vagy kedvez bb min ségi és mennyiségi tulajdonságokat mutat, mint a lineáris LQ szervo-val visszacsatolt zárt kör jellemz i. 95

9. fejezet Összefoglalás Ebben a fejezetben dolgozatom f bb eredményeit, a javasolt téziseket foglaltam össze, valamint a fejezet második részében a további kutatások lehetséges irányait határoztam meg. A tézisekhez kapcsolódó publikációkat az 1.4. pontbeli sorszámozással zárójelben adtam meg. 9.1. Új eredmények 1. Tézis A vizsgált gázturbina nemlineáris dinamikus modellje (3. fejezet) ([P1], [P2], [P3]) A vizsgált gázturbinát vegyes termodinamikai-mechanikai rendszerként kezelve szisztematikus és ellen rzött modellezési eljárással felállítottam és verikáltam a gázturbina irányítási célokra alkalmas dinamikus modelljét. Megmutattam, hogy ez a modell az alábbi speciális tulajdonságokkal rendelkezik: 1.1. A gázturbina dinamikus modellje egy nemlineáris dierenciál-algebrai egyenletrendszer, amelynek dierenciálegyenletei az égéstérre, mint mérlegelési térfogatra felírt tömeg- és bels energia-megmaradási egyenletek, valamint a forgórész mechanikai energia-megmaradási egyenlete. 1.2. Megmutattam, hogy az elkészített 3 állapotváltozós nemlineáris dinamikus modell állapotegyenletei input-an formára hozhatóak. 1.3. A dimenziómentesített és centrált nemlineáris modell koordináta- függvényei a következ tulajdonságokkal rendelkeznek: 1.3.1. az f(x) koordináta-függvények a zavarás-vektor elemeit l is függenek: f(x) = f(x, d), 1.3.2. a g(x) koordináta-függvények nem függenek az állapotváltozóktól: g(x) = B = const., 1.3.3. a kimeneti egyenletek koordináta-függvényei a következ alakúak: h 1 (x) = h 1 (x, d 1 ), h 2 (x) =x 2, valamint h 3 (x) =x 3. 2. Tézis A nemlineáris dinamikus modellben szerepl ismeretlen paraméterek becslése (4. fejezet) ([P3], [P4]) A vizsgált gázturbina dinamikus modelljét mért adatok segítségével validáltam. A modellben szerepl ismeretlen statikus paraméterek becslésével megállapítottam, hogy 96

a kompresszor és a turbina karakterisztikák közelítésére az egyszer bb bilineáris típusú becslési modellek elegend en pontosak, valamint a becsült dinamikus paraméterekkel a dinamikus modell megfelel (1% körüli)pontosságú. 2.1. A modell statikus paraméterei a kompresszor és a turbina karakterisztikáit approximáló polinomok ismeretlen együtthatói, amelyeket statikus mérések felhasználásával a legkisebb négyzetek módszerével becsültem meg. 2.2. A dinamikus paraméterek értékét mért egységugrás válaszfüggvények és az ismeretlen paramétereket nemlineáris alakban tartalmazó szimulációs modell segítségével becsültem. A becsléshez tartozó nemlineáris optimalizálási feladatot a Nelder-Mead simplex algoritmussal oldottam meg. 3. Tézis A nemlineáris dinamikus modell nemlineáris dinamikus analízise (5. fejezet) ([P3]) A nemlineáris dinamikus analízis segítségével megmutattam, hogy a gázturbina nemlineáris dinamikus modellje: 3.1. a kontroll Ljapunov-függvény alapú nemlineáris szabályzó tervezhet sége miatt stabilizálható és a tervezett kontroll-bemenettel a visszacsatolt zárt rendszer bármely kezdeti értékr l a m ködési tartományon belüli bármely munkapontjának tetsz legesen kis környezete elérhet ; 3.2. nemlineáris értelemben meggyelhet. 4. Tézis Lineáris és nemlineáris szabályozóstruktúra-választás és szabályozótervezés (6., 7., 8. fejezet) ([P5]) A szabályozások pontos mérnöki feladatkit zéséb l kiindulva a lehetséges lineáris és nemlineáris szabályozási struktúrák közül kiválasztottam a lineáris LQ szervo szabályozót, mint összehasonlítási alapesetet és megterveztem egy nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú blokkstruktúrájú szabályozót. Számítógépes szimulációs kísérletek alapján történ összevetés eredményeként megmutattam, hogy a nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozóval visszacsatolt zárt rendszer ugyanolyan, vagy kedvez bb min ségi és mennyiségi tulajdonságokat mutat, mint a lineáris LQ szervo-val visszacsatolt zárt kör jellemz i. 4.1. Megterveztem és az el írt szabályozási céloknak megfelel en behangoltam az LQ szervo szabályozót. 4.2. A vizsgált gázturbina nemlineáris dinamikus modelljére megterveztem és behangoltam egy nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú blokkstruktúrájú szabályozót. Az ezzel a szabályozóval visszacsatolt zárt kör tulajdonságai - az adott tulajdonságot garantáló szabályozási blokk(ok)felsorolásával - a következ ek: 4.2.1. a m ködési tartományon belüli munkapontok mindegyike beállítható és a munkapontok mindegyike globálisan aszimptotikusan stabil (a stabilitást garantáló blokk, az aszimptotikus stabilitást garantáló blokk és a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantáló blokk együttes alkalmazása); 4.2.2. a gázkar által el írt jelet, mint referencia-jelet a fordulatszám követni tudja (a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantáló blokk alkalmazása); 97

4.2.3. a statikus munkapontokban garantálható a gázturbina védelme a túl nagy fordulatszámtól és a túl magas h mérséklett l (a gázturbina védelmét ellátó blokk alkalmazása); 4.2.4. a zavarás-vektor elemeinek változására a fordulatszám átvitel érzéketlen (a további munkapontok aszimptotikus stabilitását garantáló blokk alkalmazása); 4.2.5. az id ben változó, nem mérhet paraméterekre nézve a zárt rendszer robusztus (robusztusságot biztosító blokk alkalmazása); 4.2.6. a nemlineáris szabályzó paramétereinek hangolásával a zárt kör az el írt beállási id vel rendelkezik. 9.2. További kutatási lehet ségek, irányok A fentiekben bemutatott eredmények és a megfogalmazott tézisek természetesen nem tekinthet ek a kutatási munka végeredményeinek. Például a nemlineáris modell dinamikus analízisénél (ld. 5.2.2. és 5.4.2. fejezetek) több ponton is rámutattam, hogy a nemlineáris koordináta-függvények bonyolult algebrai struktúrája miatt a nemlineáris irányíthatóság és a stabilitás vizsgálata nem végezhet el. Így a jöv ben a kutatást a következ f bb irányokba lehet folytatni: Szorosan a dolgozathoz és annak eredményeihez kapcsoló további kutatási lehet ségek: A nemlineáris dinamikus modell LPV (Linear Parameter-Varying - lineáris paraméter-változós) modellé való átalakításával a nemlineáris dinamikus analízis, alapvet en az irányíthatóság és a stabilitás vizsgálata elvégezhet lesz. Az LPVmodell alapján további, más típusú szabályozók is tervezhet k. A nemlineáris kontroll Ljapunov-függvény alapú szabályozó kapcsán célszer a félig zárt rendszer zéródinamikájának stabilitása, mint globális tulajdonság meglétének ellen rzése. A dolgozat eredményein, tézisein túlmutató lehetséges kutatási irányok: Meg kell vizsgálni az elkészített dinamikus modell egyszer sítésének lehet ségét. Ha ugyanis egy egyszer bb struktúrájú modell is elegend en pontos, akkor mind a dinamikus analízis, mind pedig a nemlineáris szabályzó tervezés egyszer bben megoldható. További szabályozók is tervezhet k a gázturbina jelenlegi, vagy esetlegesen egyszer sített nemlineáris dinamikus modelljére: lineáris, robusztus és más típusú nemlineáris szabályzók, amelyek teljesítik a 6.1. fejezetben leírt szabályozási célokat. A tervezés mellett ezek mérnöki szempontú értékelése és összehasonlítása is fontos feladat. A 6.1. fejezetben megfogalmazott szabályozási célok is b víthet k. Például el írható a gázturbina védelme a túl nagy fordulatszámtól és a túl magas h mérséklett l nem csak statikus munkapontokban, hanem a teljes tranziens folyamat alatt. Ez a feladatkit zés természetesen egy más típusú szabályozás tervezését vonja maga után. 98

A dolgozatban elkészített szabályozások hangolása és a szabályozók tulajdonságainak összehasonlítása számítógépes szimulációs kísérletekkel történt. A jelenlegi gázturbina próbapad ugyanis nem teszi lehet vé, hogy a gyakorlatban is kipróbáljuk a szabályozókat. A próbapadi kísérletekhez konstrukciós átalakításra, számítógéppel vezérelt beavatkozó elemre és természetesen további számítógépes programokra, szoftverekre van szükség. A jöv re vonatkozó fontos feladat ezek kialakítása, beszerzése, hiszen a szabályozók megítélése legjobban a gyakorlati mérések, kísérletek segítségével lehetséges. A gázturbina-próbapad fejlesztése más szempontból is fontos célkit zés. A dinamikus folyamatok mérésének pontosítása és további vizsgálata érdekében szükséges a tüzel anyag tömegáramának folytonos mérése (például turbinás térfogatáram-mér vel), amellyel a pillanatnyi fogyasztás értéke megállapítható és kijelezhet. A turbina el tti keresztmetszetben több termoelem elhelyezésével pontosítható a turbina el tti torlóponti h mérséklet (T3 ) és ezzel együtt a turbina izentrópikus hatásfokának (η T ) értéke, mellyel a statikus modell pontosságának növekedését lehet elérni. Hasonlóképpen célszer a gázkar pozíciójának skálázása és visszajelzése a számítógép felé, mint analóg bemen jel. Ezekkel a fejlesztésekkel ugyanis a dinamikus folyamatok mérése során többféle bemeneti jel közül lehet majd választani és így többféle szempontból vizsgálható a gázturbina dinamikus viselkedése. A dolgozat eredményein lényegesen túlmutató nagyon érdekes feladat lenne egy más típusú, más konstrukciójú, bonyolultabb szerkezet (például kétáramú, kéttengelyes, és/vagy utánéget teres) gázturbina esetében a modellezés, a statikus és a dinamikus paraméterbecslés, a dinamikus analízis és a lineáris és a nemlineáris szabályozó tervezés megoldása a vizsgált gázturbina kapcsán már elvégzett feladatok mintájára. Egy más konstrukció vizsgálata során természetesen megváltoznak a modellt alkotó egyenletek, számuk általában növekszik. Két forgórész esetén például két mechanikai energia-megmaradási dinamikus egyenletre van szükség a modellben. Mivel a két forgórész miatt két (egy kisnyomású és egy nagynyomású) kompresszor és két turbina van, ezért az algebrai egyenletek, a karakterisztikákat közelít polinomok száma is a kétszeresére növekszik. Általában több a beavatkozó változó is, például utánéget teres konstrukció esetén bemenet az utánéget térbe betáplált tüzel anyag mennyisége, vagy ha a gázturbina valamely egysége nem állandó keresztmetszet, akkor a változtatható keresztmetszetek (például a kompresszor elfordítható állólapátkoszorúja, vagy a változtatható geometriájú fúvócs stb.) is az u vektor elemei. B vül a szabályozás feladatköre. Nemcsak a fordulatszámot, de utánéget teres kialakítás esetén az utánéget tér torlóponti h mérsékletét is állandó értéken kell tartani annak m ködtetésekor. További általános, igen gyakori és fontos szabályozási cél a kompresszor pompázs (leválás, instabil üzemmód) elleni védelme, amelyet például a kompresszor elfordítható állólapátkoszorújának megfelel beállításával oldanak meg. A vizsgált gázturbina esetében a pompázs elleni védelem megoldása nehéz, mert a kompresszor pompázs-határát a jelenlegi konstrukcióban (a kompresszornak a jelenlegi turbinával együttm ködve) nem lehetett kimérni és így annak helyzete a kompresszor karakterisztikában nem ismert. Ugyanis a mérések során adott fordulatszámon a terhel nyomatékot növelve hamarabb elértük a turbina utáni torlóponti h mérséklet maximumát, mint ahogy a kompresszor elérte volna az instabil üzemmód határát. Mivel a pompázshatár nem ismert, így olyan szabályzó tervezése, mellyel a gázturbina m ködése során a kompresszor instabil üzemállapota elkerülhet, nem lehetséges. Ha azonban a kompresszort 99

zikailag leválasztanánk a turbináról, akkor mérhet vé válna a leválási határ és ebben az esetben el írható szabályozási cél lenne a pompázs elleni védelem. Más konstrukciójú gázturbina esetében a leválási határ vagy mérhet, vagy a kompresszor karakterisztika részeként ismert, így tervezhet olyan szabályzó, mellyel megoldható a kompresszor pompázs elleni védelme. 100

Irodalomjegyzék [1] Industrial Gas Turbine T216. Klöckner-Humboldt-Deutz AG, Köln. [2] The Jet Engine. Rolls-Royce plc., Derby, England, 1986. [3] MATLAB (V4.2c1) User's Guide. The Math Works Inc., 1994. [4] SIMULINK (V1.3c) User's Guide. The Math Works Inc., 1994. [5] A. M. Akhmedzianov. Analysis and synthesis of mathematical models of arbitrary schemes aircraft engines at transient mode. AIAA ISABE, 97-7063:438441, 1997. [6] A. E. Arin and N. Munro. Robust contol analysis of a gas-turbine aeroengine. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 5(2):178188, 1997. [7] V. Arkov, D. C. Evans, P. J. Fleming, D. C. Hill, J. P. Norton, I. Pratt, D. Rees, and K. Rodríguez-Vázquez. System identication strategies applied to aircraft gas turbine engines. Proceedings of the 14th World Congress of IFAC, pages 145152, 1999. [8] V. Arkov, G. Kulikov, T. Breikin, and P. Fleming. Dynamic model identication of gas turbines. Prep. UKACC International Conference on Control'98, Special Session on Gas Turbine Testing and Modelling, 1998. [9] V. I. Arnold. A mechanika matematikai módszerei. M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1985. [10] M. Athans, P. Kapasouris, E. Kappos, and H. A. Spang. Linear-quadratic Gaussian with Loop-Transfer Recover methodology for the F-100 engine. IEEE Journal of Guidance and Control, 9(1):4552, 1986. [11] J. M. Bass, M. S. Hajji, and P. J. Fleming. Hybrid specication and implementation of an aircraft engine controller. Proceedings of the 14th World Congress of IFAC, pages 471476, 1999. [12] J. Bokor. Modern irányításelmélet I. Lecture Notes, 1998. [13] A. Borrell, C. Evans, and D. Rees. Identication of aircraft gas turbine dynamics using frequency-domain techniques. Prep. UKACC International Conference on Control'98, Special Session on Gas Turbine Testing and Modelling, 1998. [14] W. L. Brogan. Modern Control Theory. Prentice Hall, London, 1991. [15] C. I. Byrnes and A. Isidori. Local stabilization of minimum-phase nonlinear systems. System's Control Letters, 23:15691573, 1988. i

[16] C. I. Byrnes, A. Isidori, and J. C. Willems. Passivity, feedback equivalence and the global stabilization of minimum-phase nonlinear systems. IEEE Trans. Aut. Contr., AC-36:12281240, 1991. [17] A. J. Chippereld, C. M. Fonseca, H. C. Betteridge, and P. J. Fleming. Design of a wide envelope controller for a STOVL gas turbine engine. Proceedings of the 14th World Congress of IFAC, pages 479484, 1999. [18] C. K. Chui and G. Chen. Linear Systems and Optimal Control. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, 1989. [19] G. Crosa, F. Pittaluga, A. Trucco, F. Beltrami, A. Torelli, and F. Traverso. Heavyduty gas turbine plant aerothermodynamic simulation using Simulink. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 120:550556, 1998. [20] F. Csáki and R. Bars. Automatika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1983. [21] Z. Csordás, L. Jánoky, and M. Orbán. Irányítástechnika. M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1961. [22] Gy. Czédli and I. Sánta. Az NK8-2U típusú hajtóm termikus folyamatainak matematikai modellezése. Járm vek, Mez gazdasági Gépek, pages 422426, 1985/11. [23] G. V. Dobrjanszkij and T. S. Martjanova. Dinamika Aviacionüh Gazoturbinüh Dvigatyelej. Masinosztroenyie, Moszkva, 1989. [24] J. C. Doyle and G. Stein. Multivariable feedback design: Concepts for a classical/modern synthesis. IEEE Transaction on Automatic Control, AC-26:420, 1981. [25] L. N. Druzsinin and L. I. Svec. Metod Approximaciji Karakterisztik Kompresszorov Funkcijami Dvuh Peremenüh. Trudü CIAM, Moszkva, 1980. [26] I. N. Egorov, G. V. Kretinin, and I. A. Leshchenko. Optimal design and control of gas-turbine engine components: a multicriteria approach. Aircraft Engineering and Aerospace Technology, 69:518526, 1997. [27] ENERGOTEST. Kezelési utasítás a gázturbina-fékpad szoftveréhez. 1999. [28] ENERGOTEST. Gázturbinás próbapad villamos vezérlés és mér körök kapcsolása. 2002. [29] C. Evans. Testing and modelling aircraft gas turbines: an introduction and overview. Prep. UKACC International Conference on Control'98, Special Session on Gas Turbine Testing and Modelling, 1998. [30] C. Evans, A. Borrell, and D. Rees. Testing and modeling gas turbines using multisine signals and frequency-domain techniques. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 121:451457, 1999. [31] G. W. Fan, H. D. Nelson, P. E. Crouch, and M. P. Mignolet. LQR-based least-squares output feedback control of rotor vibrations using the complex mode and balanced realization methods. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 92-GT-9:111, 1992. ii

[32] A. J. Fawke and H. I. H. Saravanamuttoo. Digital computer methods for prediction of gas turbine dynamic response. presented: SAE Mid-Year Meeting, Montreal, Quebec, Canada; Paper 710550, pages 18051813, 1971. [33] Z. Fülöp. Gázturbinák. M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1975. [34] R. A. Freeman and P. V. Kokotovic. Robust Nonlinear Control Design, State-Space and Lyapunov Techniques. Birkhauser, Boston-Basel-Berlin, 1996. [35] P. Gáspár, L. Palkovics, and J. Bokor. Iterative design of vehicle combinations for stability enhancement. Vehicle System Dynamics Supplement, 28:451461, 1998. [36] P. Gáspár and I. Szászi. Robust servo control design using H 2 /H method. Periodica Polytechnica Ser. Transportation Engineering, 27/1-2, 1999. [37] P. Gáspár and I. Szászi. Robust H /µ control design for an inverted pendulum. Proceedings of IFAC Control Systems Design, 2000. [38] P. Gáspár and I. Szászi. Robust servo control design using identied models. Proceedings of 3 rd IFAC Symposium on Robust Control Design, 2000. [39] K. M. Hangos, A. A. Alonso, J. D. Perkins, and B. E. Ydstie. A thermodynamical approch to the structural stability of process plants. AIChE Journal, 45:802816, 1999. [40] K. M. Hangos, J. Bokor, and G. Szederkényi. Analysis and control of nonlinear process systems. SCL-1/2000, Computer and Automation Research Institute of HAS, 2000. [41] K. M. Hangos and I. T. Cameron. Process Modelling and Model Analysis. Academic Press, New York, London, 2001. [42] K. M. Hangos and J. D. Perkins. On structural stability of chemical process plants. AIChE Journal, 43:15111518, 1997. [43] K. M. Hangos and G. Szederkényi. Dinamikus Rendszerek Paramétereinek Becslése (Lecture Notes). Veszprémi Egyetemi Kiadó, Veszprém, 1999. [44] K. M. Hangos, G. Szederkényi, and J. Bokor. Grey-box characterization of nonlinear process systems. SCL-1/1999, Computer and Automation Research Institute of HAS, 1999. [45] L. D. Hansen, G. D. Kucera, J. S. Clemons, and J. Lee. Aircraft gas turbine engine fuel pumping systems in the 21th century. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 119:591597, 1997. [46] L. P. Harris and H. A. Spang III. Compressor modeling and active control of stall/surge. Proceedings of American Control Conference, Boston, USA, pages 2392 2397, 1991. [47] J. P. Hathout and A. El-Shafei. PI control of HSFD's for active control of rotorbearing systems. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 119:658667, 1997. iii

[48] H. Hjalmarsson. Ecient tuning of linear multivariable controllers using iterative feedback tuning. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing, 13:553572, 1999. [49] A. Isidori. Nonlinear Control Systems (3rd ed.). Springer, New York-Berlin-etc, 1995. [50] V. Jurdjevic and J. P. Quinn. Controllability and stability. Journal of Dierential Equations, 28:381389, 1978. [51] X. K. Kakatsios, R. N. Krikkis, and D. K. Arapis. Modelling and simulation of a temperature compensation device in a fuel control unit. Applied Thermal Engineering, 20:371385, 2000. [52] W. Khatib, V. Silva, A. Chippereld, and P. J. Fleming. Multidisciplinary optimization with evolutionary computing for control design. Proceedings of the 14th World Congress of IFAC, pages 175180, 1999. [53] C. D. Kong and S. C. Chung. Real time linear simulation and control for small aircraft turbojet engine. KSME International Journal, 13, 1999. [54] G. A. Korn and T. M. Korn. Matematikai Kézikönyv M szakiaknak. M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1975. [55] J. C. Lagarias, J. A. Reeds, M. H. Wright, and P. A. Wright. Convergence properties of the Nelder-Mead simplex method in low dimensions. SIAM Journal on Optimization, 9(1):112147, 1998. [56] V. L. Larrowe, M. M. Spencer, et al. Gas Turbine Fuel Controls Analysis and Design. Society of Automotive Engineers Inc., New York, 1965. [57] Lawton H. Lee. Identication and Robust Control of Linear Parameter-Varying Systems. PhD thesis, University of California, Berkeley, USA, 1997. [58] A. Leva, C. Maezzoni, and R. Scattolini. Self-tuning PI-PID regulators for stable systems with varying delay. Automatica, 30(7):11711183, 1994. [59] L. Ljung. System identication - theory for the user. University of Linköping, Sweden, Linköping, 1984. [60] J. M. Maciejowski. Multivariable Feedback Design. Addison-Wesley Publishers Ltd., Wokingham U.K., 1989. [61] M. M. Marcos, J. M. Bass, J. Portillo, and P. J. Fleming. An integrated framework for development of real-time distributed control software based on Can-Bus. Proceedings of the 14th World Congress of IFAC, pages 447452, 1999. [62] J. A. Nelder and R. Mead. A simplex method for function minimization. Computer Journal, 7:308313, 1965. [63] H. Nijmejer and A. J. van der Schaft. Nonlinear Dynamical Control Systems. Springer, New York-Berlin-etc, 1990. [64] J. Norton and P. Ladlow. Identication of large-transient eects in aircraft gas turbine dynamics. Prep. UKACC International Conference on Control'98, Special Session on Gas Turbine Testing and Modelling, 1998. iv

[65] B. Papp. Gázturbinás Hajtóm vek Automatikus Szabályozása. Magyar Néphadsereg Kilián György Repül M szaki F iskola, Szolnok, 1987. [66] R. A. Perez. Model reference control of a gas turbine engine. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers - Part G: Journal of Aerospace Engineering, 210:291296, 1996. [67] O. F. Qi, N. R. L. Maccallum, and P. J. Gawthrop. Improving dynamic response of a single-spool gas turbine engine using a nonlinear controller. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 92-GT-392:18, 1992. [68] K. Rodríguez-Vázquez and P. J. Fleming. Multiobjective genetic programming for gas turbine engine model identication. Prep. UKACC International Conference on Control'98, Special Session on Gas Turbine Testing and Modelling, 1998. [69] P. C. Rues. The future of aircraft propulsion. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers - Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 214, 2000. [70] P. Rózsa. Lineáris Algebra és Alkalmazásai. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991. [71] J. La Salle and S. Lefschetz. Stability by Liapunov's Direct Method with Applications. Academic Press, New York, 1961. [72] J. D. Schierman and D. K. Schmidt. Analysis of airframe and engine control interactions and integrated ight/propulsion control. AIAA Proceedings of 26th Joint Propulsion Conference, Orlando, Florida, USA, 15(6):13881396, 1992. [73] M. T. Schobeiri, M. Attia, and C. Lippke. Getran: A generic, modularly structured computer code for simulation of dynamic behaviour of aero- and power generation gas turbine engines. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 116:483494, 1994. [74] C. C. Shortlidge. Control system for a 373 kw, intercooled, two-spool gas turbine engine powering a hybrid electric world sports car class vehicle. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 120:8488, 1998. [75] V. Silva, W. Khatib, and P. Fleming. Performance optimization of gas turbine engines using the StudGA. Proceedings of the 14th World Congress of IFAC, pages 367372, 1999. [76] H. J. Siraramirez and I. J. Angulonune. Passivity-based control of nonlinear chemical processes. International Journal Of Control, 68:971996, 1997. [77] S. M. Sljahtyenko. Tyeorija Vozdusno-Reaktyivnüh Dvigatyelej. Masinosztroenyie, Moszkva, 1975. [78] R. D. Smith, W. F. Weldon, and A. E. Traver. Aerodynamic loading and magnetic bearing controller robustness using a gain-scheduled Kalman lter. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 118:836842, 1996. [79] I. Sánta. Diagnosztikai Elemzések I. (Hajtóm ). Budapesti M szaki Egyetem Járm gépészeti Intézet, Budapest, 1982. v

[80] I. Sánta. Repül gép hajtóm vek matematikai modellezése és a modell alkalmazása a diagnosztikában. Járm vek, Mez gazdasági Gépek,pages 426431,1985/11. [81] I. Sánta. Analysis of non-linear thermal models for jet engines. Periodica Polytechnica Ser. Transp. Eng.,18(1):115,1990. [82] I. Sánta. Non-linear mathematical,thermal models of gas turbine engines and their application in operation. ICAS Proceedings,pages 22642270,1990. [83] I. Sánta. Gázturbinás Hajtóm vek Termodinamikai Modellezése és a Modellek Alkalmazásai. Kandidátusi értekezés,budapesti M szaki Egyetem,Budapest,1993. [84] I. Sánta. Transient analysis of gas turbine power plants in dierent cases of deteriorations. Periodica Polytechnica Ser. Transp. Eng.,22(2):101110,1994. [85] I. Sánta. Changes in gas turbines maps as results of divergence in geometrical parameters. Periodica Polytechnica Ser. Transp. Eng.,24(1):2946,1996. [86] I. Sánta. Segédlet a Gázturbinás Repül gép Hajtóm Évfolyamterv Készítéséhez. Budapesti M szaki Egyetem Repül gépek és Hajók Tanszék,Budapest,2000. [87] J. I. Snyee,V. M. Kapinos,and I. V. Kotljar. Gazovüe Turbinü. Izdatyelszkoe Obedinyenyie Visa Skola,Kiev,1976. [88] S. Srinivasan,E. H. Maslen,and L. E. Barrett. Optimization of bearing locations for rotor systems with magnetic bearings. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power,119:464468,1997. [89] N. Sugiyama. System identication of jet engines. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power,122:1926,2000. [90] H. Sussmann. Orbits of families of vector elds and integrability of distributions. Trans. Am. Math. Soc.,180:171188,1973. [91] H. Sussmann. Sucient condition for local controllability. Not. Am. Math. Soc., 22:A415A425,1975. [92] H. Sussmann. Lie brackets and local controllability. SIAM Journal on Control and Optimization,23:686713,1983. [93] H. Sussmann and V. Jurdjevic. Controllability of nonlinear systems. Journal of Dierential Equations,12:95116,1972. [94] R. Száday. A Szabályozáselmélet Elemei. M szaki Könyvkiadó,Budapest,1963. [95] G. Szederkényi. Grey-Box Approach for the Diagnosis, Analysis and Control of Nonlinear Process Systems. PhD thesis,veszprémi Egyetem,Veszprém,2002. [96] J. R. Szuch,J. F. Soeder,K. Seldner,and D. S. Cwynar. F100 multivariable control synthesis program - evaluation of a multivariable control using a real-time engine simulation. Technical report,nasa Technical Paper 1056,1977. [97] J. W. R. Taylor. Jane's All The World's Aircraft 1974-75. Jane's Yearbook,London, New York,1975. vi

[98] A. J. van der Schaft. L2-Gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control. Springer, New York-Berlin-etc, 1996. [99] J. H. Walker. Testing advanced controls on a demonstrator engine. AIAA Proceedings of 34th Joint Propulsion Conference and Exhibit, Cleveland, Ohio, USA, 98-4031, 1998. [100] J. W. Watts, T. E. Dwan, and C. G. Brockus. Optimal state space control of a gas turbine engine. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 91-GT-219:110, 1991. [101] J. W. Watts, T. E. Dwan, and R. W. Garman. A model and state-space controllers for an intercooled, regenerated (ICR) gas turbine engine. Transactions of ASME, Journal of Eng. for Gas Turbines and Power, 92-GT-43:112, 1992. [102] F. Wettl, Gy. Mayer, and Cs. Sudár. LATEX Kezd knek és Haladóknak. Panem Kft., Budapest, 1998. [103] P. Witt. Gázturbinák. M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1965. [104] G. Wolodkin, G. J. Balas, and W. L. Garrard. Application of parameter-dependent robust control synthesis to turbofan engines. Journal of Guidance, Control and Dynamics, 22(6):833838, 1999. [105] Fen Wu. Control of Linear Parameter Varying Systems. PhD thesis, University of California, Berkeley, USA, 1995. [106] K. Zhou, J. C. Doyle, and K. Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, New Jersey, 1995. vii

A. Függelék Ábrák, diagramok A.1. Fényképek a gázturbina-próbapadról A.2. A gázturbina-próbapad mérésadatgy jt és vezérl egységének blokkvázlata A.3. Minta-jegyz könyv a statikus munkapontok mérésér l; a mért 77 munkapont adatsora és a számított mennyiségek számítási összefüggései A.4. A statikus mérések statisztikus feldolgozása A.5. A kompresszor és a turbina karakterisztikái és azok közelítése A.6. A gázturbina m ködési tartományának különböz metszetei A.7. A gázturbina m ködési tartományának 16 széls munkapontjának adatsora A.8. A gázturbina hidromechanikus szabályozójának ábrája A.9. Minta-jegyz könyv a dinamikus mérésekr l A.10. A dinamikus mérések eredményeként kapott dinamikus folyamatok A.11. A dinamikus paraméter-becsléshez MATLAB/SIMULINK-ben elkészített ábra A.12. Dinamikus mérések és a dinamikus paraméter-becslések összevetése A.13. A dinamikus szimulációkhoz MATLAB/SIMULINK-ben elkészített ábra a nyitott rendszerr l A.14. Az LQ szervo szabályzóval visszacsatolt rendszer MATLAB/SIMULINK-ben elkészített rendszerábrája a szimulációkhoz A.15. A nemlineáris szabályzóval visszacsatolt rendszer MATLAB/SIMULINK-ben elkészített rendszerábrája a szimulációkhoz

A.1. Fényképek a gázturbina-próbapadról

A.2. A gázturbina-próbapad mérésadatgy jt és vezérl egységének blokkvázlata

A.3. Minta-jegyz könyv a statikus munkapontok mérésér l; a mért 77 munkapont adatsora és a számított mennyiségek számítási összefüggései

% 1. lépés: a mérési adatok. % Egy mérési adatsor az ST mátrix egy sorában találhatók a következ sorrendben: % a környezeti nyomás (Pa), % a kompresszor el tti nyomásesés (Pa), % a kompresszorban létrejöv nyomásnövekedés (Pa), % az égéstérben bekövetkez nyomásesés (Pa), % a gázelvezet ben mért nyomáskülönbség (Pa), % a mér perem nyomásesése (Pa), % a környezeti h mérséklet ( C), % a kompresszor el tti h mérséklet ( C), % a kompresszor utáni h mérséklet ( C), % a turbina utáni h mérséklet ( C), % a fordulatszám (1/min), % a terhel nyomaték (Nm), % a tüzel anyag tömegárama (kg/sec). clear all; format short e; ST=[99800 821 91800 11960 2724 1315 23.8 26.8 121.8 499.8 39900 48.9 0.0091; 101670 809 94200 11760 3426 1299 22.7 27.6 125.1 550.9 39990 74.9 0.0099; 99800 780 93600 11600 1997 1250 24.0 27.3 125.0 603.7 39780 81.2 0.0109; 99790 780 94100 11510 2191 1252 24.0 28.0 129.2 614.9 39920 92.4 0.0108; 101680 787 96100 11740 3555 1267 22.6 27.1 127.0 620.7 40020 100.4 0.0113; 99800 770 94400 11430 1809 1234 24.0 28.5 130.0 641.1 39940 102.3 0.0114; 101660 766 97700 11730 3704 1234 22.7 27.4 129.2 679.6 40100 120.0 0.0124; 99790 859 98200 12650 2856 1373 24.0 28.9 132.8 553.3 41010 75.6 0.0100; 101660 862 100100 12310 3639 1383 22.6 27.6 132.0 566.8 40980 83.1 0.0104; 101660 853 100500 12080 3785 1372 22.6 28.0 132.3 587.0 41010 90.9 0.0107; 99790 837 99400 12140 2480 1339 24.4 29.9 136.7 606.7 41020 92.4 0.0109; 99790 832 99600 12250 2288 1331 24.3 29.1 134.4 614.3 40970 99.0 0.0114; 101660 844 102200 12270 3988 1361 22.6 28.6 134.0 624.8 41130 106.0 0.0116; 101660 821 103100 12100 3963 1322 22.6 27.8 133.1 668.0 41060 123.6 0.0126; 101660 937 105100 13050 3750 1505 22.8 28.7 137.2 523.3 42090 70.9 0.0100; 101650 917 105000 13130 3745 1475 22.9 29.1 137.4 551.8 41970 83.5 0.0104; 99800 908 104000 12190 2897 1445 24.5 30.2 139.0 567.8 41990 84.0 0.0107; 101660 903 106200 12860 3943 1451 22.6 29.0 138.0 592.7 41970 100.5 0.0113; 99790 885 105400 12320 2473 1412 24.6 30.9 140.8 617.7 41990 104.3 0.0121; 101660 890 107600 12570 4075 1429 22.6 29.2 139.6 637.2 41980 117.0 0.0121; 101660 877 109200 12440 4001 1409 22.6 29.3 140.1 671.4 42040 131.9 0.0131; 101660 993 110100 13970 3648 1596 22.7 29.4 142.6 514.8 42980 73.2 0.0104; 101710 1028 110900 13640 3939 1676 20.5 23.2 130.3 556.8 43090 86.0 0.0117; 99790 968 111000 13300 3054 1535 24.8 31.3 145.8 586.9 43090 95.4 0.0115; 99790 963 110700 12990 3074 1527 24.8 30.9 144.7 584.6 42990 96.0 0.0112; 101700 995 116400 13600 3816 1622 20.6 23.9 135.8 595.2 42920 99.7 0.0123; 101680 975 116800 13350 3662 1591 20.5 24.5 137.6 626.9 42910 111.0 0.0130; 99790 937 112200 12970 2404 1485 25.1 31.2 146.6 639.0 42990 119.5 0.0126; 101700 1099 119400 14830 4299 1783 20.3 24.9 140.9 499.4 44000 64.7 0.0105; 101710 1076 120600 14260 4432 1750 20.5 25.3 141.3 544.5 43980 83.1 0.0115; 99790 1035 116400 13680 3277 1633 24.9 31.6 149.6 570.3 44010 95.3 0.0115; 99790 1017 117000 13880 3108 1607 25.1 31.8 150.6 595.7 43990 107.1 0.0121; 101710 1042 122700 13990 4172 1695 20.5 26.1 144.8 614.1 43930 109.3 0.0128; 99800 992 118300 13590 2550 1574 25.1 31.8 151.7 637.6 43990 125.3 0.0130; 101690 1019 122900 13840 3788 1661 20.5 26.2 144.9 636.0 43900 133.7 0.0137;

99790 1118 121500 14840 3800 1763 25.3 32.1 155.4 525.9 45090 77.7 0.0109; 101190 1153 127400 15140 3667 1865 20.5 23.0 143.7 522.9 44940 85.6 0.0117; 101190 1146 128100 15510 3499 1858 20.4 23.1 144.6 537.0 44980 98.0 0.0121; 99800 1089 122600 14330 3402 1721 25.6 32.3 155.7 571.2 44990 99.2 0.0119; 101180 1122 128600 14950 2920 1817 20.6 23.8 146.3 577.2 44910 119.1 0.0129; 99890 1066 126800 14130 2146 1663 23.7 29.0 153.8 647.2 44930 141.5 0.0139; 101190 1098 131700 14390 1928 1776 20.7 24.1 148.2 634.8 45000 147.6 0.0143; 99880 1198 128000 15420 3887 1873 23.6 29.6 156.8 502.4 45990 76.4 0.0111; 101170 1234 132500 16220 4054 1988 21.0 25.4 152.8 500.5 46050 82.2 0.0114; 101180 1215 133300 15430 3726 1960 21.1 25.6 153.3 528.6 46020 96.4 0.0121; 101190 1197 134700 15560 3493 1925 21.4 26.8 155.2 571.7 46090 115.1 0.0130; 101180 1182 135200 15390 3313 1905 21.1 25.7 154.8 587.0 45980 125.1 0.0136; 101200 1160 136500 15360 2953 1869 21.6 26.8 156.9 628.5 46040 141.0 0.0145; 101200 1152 137500 15030 2796 1858 21.6 26.9 157.8 648.1 46090 150.4 0.0153; 101320 1291 138400 16690 4171 2044 22.9 26.7 156.0 498.4 46970 83.4 0.0121; 99860 1270 136100 15890 3821 1985 23.5 30.4 163.4 532.0 47040 91.6 0.0120; 101310 1283 140100 16290 3773 2037 23.0 26.7 158.1 528.4 47010 99.1 0.0127; 101210 1279 139600 16380 3964 2045 22.4 28.3 163.3 553.2 47040 104.8 0.0124; 101310 1255 140600 16280 3390 1996 22.9 26.5 159.0 565.8 46900 118.6 0.0135; 99860 1227 138700 15820 3233 1921 23.6 30.8 164.4 600.7 46970 127.6 0.0137; 101220 1231 142600 16000 3394 1975 22.3 28.1 162.7 622.0 46900 144.1 0.0143; 101070 1401 148400 17350 3900 2241 20.4 24.1 161.3 512.4 48000 86.2 0.0126; 99850 1346 143500 16680 4178 2102 23.6 31.1 169.4 537.9 48050 94.8 0.0123; 101450 1392 151200 17360 4150 2235 20.9 23.9 160.9 552.2 47940 103.0 0.0135; 101450 1384 152100 17100 3914 2221 21.1 24.3 162.6 572.7 48000 113.1 0.0141; 99850 1318 145100 16410 3780 2059 23.6 31.1 170.1 581.3 47980 119.6 0.0136; 101450 1369 153800 17280 2980 2193 21.2 24.8 164.1 607.3 48060 132.5 0.0150; 99850 1269 148500 15950 2826 1991 23.7 31.1 171.8 653.8 47960 158.1 0.0159; 101460 1480 153600 17970 4763 2359 21.5 27.3 169.8 502.0 48990 88.3 0.0123; 99840 1427 151000 17570 4383 2228 23.8 31.5 174.9 540.7 49080 98.8 0.0127; 101460 1469 154600 17650 3582 2343 21.5 27.5 170.2 528.4 48990 106.3 0.0130; 101460 1450 155700 17660 3441 2311 21.7 27.4 170.7 558.5 48940 121.7 0.0138; 99840 1395 153000 17330 3973 2176 23.8 31.5 176.2 593.0 49040 129.5 0.0147; 99850 1360 155200 16730 3221 2132 23.7 31.3 177.4 639.2 48970 155.7 0.0158; 101460 1399 159500 16970 2213 2238 21.9 27.8 173.1 636.9 48930 164.2 0.0160; 101470 1558 159900 18650 4009 2483 21.9 28.4 176.7 494.4 50020 87.5 0.0127; 101720 1586 160500 18850 5089 2536 20.7 27.4 169.6 505.1 50060 89.1 0.0131; 101470 1547 160700 18590 3849 2458 22.1 29.0 177.3 520.2 50000 100.0 0.0132; 101470 1530 161300 18440 3745 2430 22.4 29.1 178.1 545.2 49930 111.0 0.0139; 101470 1521 163700 18520 3597 2420 22.7 28.7 178.5 570.2 50000 121.1 0.0147; 101730 1554 166000 18290 5089 2491 20.8 27.7 175.6 568.8 50070 129.8 0.0147; 101470 1477 166400 17860 2233 2354 23.0 28.6 179.1 626.5 49930 156.5 0.0162]; % 2. lépés: a gázturbina paramétereinek számítása. ERegy=zeros(1,31); ER=zeros (1,31); % Alapjellemz k Rlev=287; kappalev=1.4; cplev=kappalev/(kappalev-1)*rlev; betalev=0.0404184; % A leveg speciális gázállandója % A leveg adiabatikus kitev je 0 Celsius fokon % A leveg állandó nyomáson vett fajh je % A leveg spec. paramétere a kompresszor % átszámított tömegáramához

Rgaz=288; kappagaz=1.33; cpgaz=kappagaz/(kappagaz-1)*rgaz; betagaz=0.039635; % A gázkeverék speciális gázállandója % állandó gázjellemz kkel való számításokhoz % megfelel ez az érték! % A gázkeverék adiabatikus kitev je % A gázkeverék állandó nyomáson vett fajh je % A gáz spec. paramétere a turbina átszámított % tömegáramához A1=0.0058687; A3=0.0117056; df=0.1635; % A kompresszor belép keresztmetszete % A turbina belép keresztmetszete % A turbina forgólapát belép keresztmetszetének % átmér je Ha=42800000; alfa=0.6; d=0.15; etamech=0.99; etaattetel=0.99; mech=etamech*etaattetel; % A gázolaj alsó f t értéke % A mér perem sz kítési tényez je % A mér perem átmér je % A mechanikai hatásfok % Az áttétel mechanikai hatásfoka % A számított teljes mechanikai hatásfok [ME,NE]=size(ST); for i=1:me, p0=st(i,1); p01=st(i,2); p1=p0-p01; p12=st(i,3); p2=p1+p12; p23=st(i,4); p3=p2-p23; p40=st(i,5); p4=p0+p40; pmero=st(i,6); T0=ST(i,7)+273.15; T1=ST(i,8)+273.15; T2=ST(i,9)+273.15; T4=ST(i,10)+273.15; n=st(i,11)/60; M=ST(i,12); b=st(i,13); % Elkezd dik a számítás mlev=sqrt(2*pmero*p0/(rlev*t0))*alfa*d*d*pi/4; Ph=2*pi*3/50*M*n; % A szívócs szigmadiff=p1/p0; % A kompresszor pik=p2/p1; T2id=T1*exp(((kappalev-1)/kappalev)*log(pik)); etak=(t2id-t1)/(t2-t1); Pk=cplev*mlev*(T2-T1); % Az ég tér szigmaego=p3/p2; qt=b/mlev; T3=((mlev*cplev*(T2-T1)+Ph)/(cpgaz*mlev*(1+qt)*mech))+T4; etaeges=((1+qt)*cpgaz*t3-cplev*t2)/(ha*qt);

% A turbina pit=p3/p4; T4id=T3*exp(((kappagaz-1)/kappagaz)*log(1/pit)); etat=(t3-t4)/(t3-t4id); Pt=cpgaz*(1+qt)*mlev*(T3-T4)*mech; % A gázelvezet szigmagaz=p0/p4; % Átszámított paraméterek számítása qlambda1=mlev*sqrt(t1)/(betalev*a1*p1); nat=n/sqrt(t1/288.15); qlambda3=mlev*(1+qt)*sqrt(t3)/(betagaz*a3*p3); lambdau=(df*pi*n)/sqrt(2*kappagaz/(kappagaz+1)*rgaz*t3); % Az eredményvektor format short e; ERegy=[p0 T0 mlev szigmadiff p1 T1 qlambda1 nat p2 pik T2id T2 etak Pk szigmaego... etaeges qt p3 T3 qlambda3 lambdau p4 pit T4id T4 etat Pt szigmagaz M n b Ph]; if i==1 ER=ERegy; else ER=[ER;ERegy]; end % ER a munkaponti paramétereket tartalmazó mátrix (a munkapontok soronként értend ek) end

A.4. A statikus mérések statisztikus feldolgozása

A.5. A kompresszor és a turbina karakterisztikái és azok közelítése

0.65 Kompresszor karakterisztika Kompresszor dimenziótlan tömegáram q(lambda1) [ ] 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Kompresszor nyomásviszony p2/p1 [ ] A.1. ábra. A kompresszor dimenziótlan tömegáram-karakterisztikája (mért pontok) - a különböz szimbólumok különböz átszámított fordulatszámot jelölnek Kompresszor karakterisztika 0.7 Kompresszor izentrópikus hatásfok etak [ ] 0.69 0.68 0.67 0.66 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 Kompresszor dimenziótlan tömegáram q(lambda1) [ ] A.2. ábra. A kompresszor izentrópikus hatásfok-karakterisztikája (mért pontok) - a különböz szimbólumok különböz átszámított fordulatszámot jelölnek

3 2.8 Kompresszor nyomásviszony p2/p1 [ ] 2.6 2.4 2.2 2 1.8 640 660 680 700 720 740 760 780 800 820 840 Kompresszor átszámított fordulatszám nat [1/s] A.3. ábra. A kompresszor dimenziótlan tömegáram-karakterisztika approximációjának tartománya 0.7 Kompresszor dimenziótlan tömegáram q(lambda1) [ ] 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 640 660 680 700 720 740 760 780 800 820 840 Kompresszor átszámított fordulatszám nat [1/s] A.4. ábra. A kompresszor izentrópikus hatásfok-karakterisztika approximációjának tartománya

0.7 Kompresszor dimenziótlan tömegáram q(lambda1) [ ] 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Kompresszor nyomásviszonya p2/p1 [ ] A.5. ábra. A kompresszor dimenziótlan tömegáram-karakterisztikája (1. approximáció) 0.7 Kompresszor dimenziótlan tömegáram q(lambda1) [ ] 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 Kompresszor nyomásviszonya p2/p1 [ ] A.6. ábra. A kompresszor dimenziótlan tömegáram-karakterisztikája (2. approximáció)

0.685 0.68 Kompresszor izentrópikus hatásfok etak [ ] 0.675 0.67 0.665 0.66 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 Kompresszor dimenziótlan tömegáram q(lambda1) [ ] A.7. ábra. A kompresszor izentrópikus hatásfok-karakterisztikája (1. approximáció) 0.69 0.685 Kompresszor izentrópikus hatásfok etak [ ] 0.68 0.675 0.67 0.665 0.66 0.655 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 Kompresszor dimenziótlan tömegáram q(lambda1) [ ] A.8. ábra. A kompresszor izentrópikus hatásfok-karakterisztikája (2. approximáció)

0.224 Turbina karakterisztika 0.222 Turbina dimenziótlan tömegáram q(lambda3) [ ] 0.22 0.218 0.216 0.214 0.212 0.21 0.208 0.206 0.204 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Turbina nyomásviszony p3/p4 [ ] A.9. ábra. A turbina dimenziótlan tömegáram-karakterisztikája (mért pontok) - a különböz szimbólumok különböz átszámított fordulatszámot jelölnek 0.9 Turbina karakterisztika 0.89 Turbina izentrópikus hatásfok etat [ ] 0.88 0.87 0.86 0.85 0.84 0.83 0.82 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Turbina nyomásviszony p3/p4 [ ] A.10. ábra. A turbina izentrópikus hatásfok-karakterisztikája (mért pontok) - a különböz szimbólumok különböz átszámított fordulatszámot jelölnek

3 2.8 2.6 Turbina nyomásviszony p3/p4 [ ] 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 Turbina dimenziótlan sebesség lambda(u) [ ] A.11. ábra. A turbina karakterisztikák approximációjának tartománya 0.226 0.224 Turbina dimenziótlan tömegáram q(lambda3) [ ] 0.222 0.22 0.218 0.216 0.214 0.212 0.21 0.208 0.206 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Turbina nyomásviszony p3/p4 [ ] A.12. ábra. A turbina dimenziótlan tömegáram-karakterisztikája (1. approximáció)

0.23 0.225 Turbina dimenziótlan tömegáram q(lambda3) [ ] 0.22 0.215 0.21 0.205 0.2 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Turbina nyomásviszony p3/p4 [ ] A.13. ábra. A turbina dimenziótlan tömegáram-karakterisztikája (2. approximáció) 0.91 0.9 Turbina izentrópikus hatásfok etat [ ] 0.89 0.88 0.87 0.86 0.85 0.84 0.83 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Turbina nyomásviszony p3/p4 [ ] A.14. ábra. A turbina izentrópikus hatásfok-karakterisztikája (1. approximáció)

0.9 0.89 Turbina izentrópikus hatásfok etat [ ] 0.88 0.87 0.86 0.85 0.84 0.83 0.82 1.6 1.7 1.8 1.9 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Turbina nyomásviszony p3/p4 [ ] A.15. ábra. A turbina izentrópikus hatásfok-karakterisztikája (2. approximáció)

A.6. A gázturbina m ködési tartományának különböz metszetei

6 x 10 3 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Égõtérben lévõ gáztömeg (me) [kg] + a maximális T4* görbéje 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Terhelõ nyomaték [Nm] A.16. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 1 = mé metszete, ha p 1 = 60000 Pa és T1 = 243, 15 K 2 x 105 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Turbina elõtti torlóponti nyomás (p3*) [Pa] + a maximális T4* görbéje 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Terhelõ nyomaték [Nm] A.17. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 2 = p 3 metszete, ha p 1 = 60000 Pa és T1 = 243, 15 K

16 x 10 3 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Tüzelõanyag tömegárama (mtüz) [kg/sec] + a maximális T4* görbéje 14 12 10 8 6 4 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Terhelõ nyomaték [Nm] A.18. ábra. A gázturbina m ködési tartományának u = ṁ tüz metszete, ha p 1 = 60000 Pa és T1 = 243, 15 K 1300 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Turbina utáni torlóponti hõmérséklet (T4*) [K]; maximuma:938.15 K 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Terhelõ nyomaték [Nm] A.19. ábra. A gázturbina m ködési tartományának y 1 = T4 metszete, ha p 1 = 60000 Pa és T1 = 243, 15 K

5 x 10 3 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Égõtérben lévõ gáztömeg (me) [kg] + a maximális T4* görbéje 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 0 20 40 60 80 100 120 Terhelõ nyomaték [Nm] A.20. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 1 = mé metszete, ha p 1 = 60000 Pa és T1 = 308, 15 K 1.6 x 105 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Turbina elõtti torlóponti nyomás (p3*) [Pa] + a maximális T4* görbéje 1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1 0 20 40 60 80 100 120 Terhelõ nyomaték [Nm] A.21. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 2 = p 3 metszete, ha p 1 = 60000 Pa és T1 = 308, 15 K

11 x 10 3 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Tüzelõanyag tömegárama (mtüz) [kg/sec] + a maximális T4* görbéje 10 9 8 7 6 5 4 3 0 20 40 60 80 100 120 Terhelõ nyomaték [Nm] A.22. ábra. A gázturbina m ködési tartományának u = ṁ tüz metszete, ha p 1 = 60000 Pa és T1 = 308, 15 K 1400 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Turbina utáni torlóponti hõmérséklet (T4*) [K]; maximuma:938.15 K 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 0 20 40 60 80 100 120 Terhelõ nyomaték [Nm] A.23. ábra. A gázturbina m ködési tartományának y 1 = T4 metszete, ha p 1 = 60000 Pa és T1 = 308, 15 K

11 x 10 3 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Égõtérben lévõ gáztömeg (me) [kg] + a maximális T4* görbéje 10 9 8 7 6 5 4 3 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Terhelõ nyomaték [Nm] A.24. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 1 = mé metszete, ha p 1 = 110000 Pa és T1 = 243, 15 K 3.8 x 105 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Turbina elõtti torlóponti nyomás (p3*) [Pa] + a maximális T4* görbéje 3.6 3.4 3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Terhelõ nyomaték [Nm] A.25. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 2 = p 3 metszete, ha p 1 = 110000 Pa és T1 = 243, 15 K

0.03 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Tüzelõanyag tömegárama (mtüz) [kg/sec] + a maximális T4* görbéje 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Terhelõ nyomaték [Nm] A.26. ábra. A gázturbina m ködési tartományának u = ṁ tüz metszete, ha p 1 = 110000 Pa és T1 = 243, 15 K 1300 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Turbina utáni torlóponti hõmérséklet (T4*) [K]; maximuma:938.15 K 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 0 50 100 150 200 250 300 350 400 Terhelõ nyomaték [Nm] A.27. ábra. A gázturbina m ködési tartományának y 1 = T4 metszete, ha p 1 = 110000 Pa és T1 = 243, 15 K

7.5 x 10 3 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Égõtérben lévõ gáztömeg (me) [kg] + a maximális T4* görbéje 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Terhelõ nyomaték [Nm] A.28. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 1 = mé metszete, ha p 1 = 110000 Pa és T1 = 308, 15 K 3 x 105 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Turbina elõtti torlóponti nyomás (p3*) [Pa] + a maximális T4* görbéje 2.8 2.6 2.4 2.2 2 1.8 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Terhelõ nyomaték [Nm] A.29. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 2 = p 3 metszete, ha p 1 = 110000 Pa és T1 = 308, 15 K

0.02 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Tüzelõanyag tömegárama (mtüz) [kg/sec] + a maximális T4* görbéje 0.018 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Terhelõ nyomaték [Nm] A.30. ábra. A gázturbina m ködési tartományának u = ṁ tüz metszete, ha p 1 = 110000 Pa és T1 = 308, 15 K 1300 Fordulatszámok: 650: *, 700, 750, 800, 833.33: o [1/sec] Turbina utáni torlóponti hõmérséklet (T4*) [K]; maximuma:938.15 K 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Terhelõ nyomaték [Nm] A.31. ábra. A gázturbina m ködési tartományának y 1 = T4 metszete, ha p 1 = 110000 Pa és T1 = 308, 15 K

6 x 10 3 5.5 Égõtérben lévõ gáztömeg (me) [kg] 5 4.5 4 3.5 3 2.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 Kompresszor elõtti torlóponti nyomás (p1*) [Pa] x 10 4 A.32. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 1 = mé metszete, ha n = 750 1/s, T 1 = 288, 15 K és M terh =80Nm 2.6 x 105 2.4 Turbina elõtti torlóponti nyomás (p3*) [Pa] 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 Kompresszor elõtti torlóponti nyomás (p1*) [Pa] x 10 4 A.33. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 2 = p 3 T1 = 288, 15 K és M terh =80Nm metszete, ha n = 750 1/s,

0.012 0.0115 Tüzelõanyag tömegárama (mtüz) [kg/sec] 0.011 0.0105 0.01 0.0095 0.009 0.0085 0.008 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 Kompresszor elõtti torlóponti nyomás (p1*) [Pa] x 10 4 A.34. ábra. A gázturbina m ködési tartományának u = ṁ tüz metszete, ha n = 750 1/s, T 1 = 288, 15 K és M terh =80Nm 860 840 Turbina utáni torlóponti hõmérséklet (T4*) [K] 820 800 780 760 740 720 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 Kompresszor elõtti torlóponti nyomás (p1*) [Pa] x 10 4 A.35. ábra. A gázturbina m ködési tartományának y 1 = T4 T1 = 288, 15 K és M terh =80Nm metszete, ha n = 750 1/s,

8 x 10 3 7.5 Égõtérben lévõ gáztömeg (me) [kg] 7 6.5 6 5.5 5 240 250 260 270 280 290 300 310 Kompresszor elõtti torlóponti hõmérséklet (T1*) [K] A.36. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 1 = mé metszete, ha n = 750 1/s, p 1 = 110000 Pa és M terh =80Nm 2.8 x 105 2.75 2.7 Turbina elõtti torlóponti nyomás (p3*) [Pa] 2.65 2.6 2.55 2.5 2.45 2.4 2.35 2.3 240 250 260 270 280 290 300 310 Kompresszor elõtti torlóponti hõmérséklet (T1*) [K] A.37. ábra. A gázturbina m ködési tartományának x 2 = p 3 p 1 = 110000 Pa és M terh =80Nm metszete, ha n = 750 1/s,

0.0119 Tüzelõanyag tömegárama (mtüz) [kg/sec] 0.0118 0.0117 0.0116 0.0115 240 250 260 270 280 290 300 310 Kompresszor elõtti torlóponti hõmérséklet (T1*) [K] A.38. ábra. A gázturbina m ködési tartományának u = ṁ tüz metszete, ha n = 750 1/s, p 1 = 110000 Pa és M terh =80Nm 800 Turbina utáni torlóponti hõmérséklet (T4*) [K] 750 700 650 600 550 240 250 260 270 280 290 300 310 Kompresszor elõtti torlóponti hõmérséklet (T1*) [K] A.39. ábra. A gázturbina m ködési tartományának y 1 = T4 p 1 = 110000 Pa és M terh =80Nm metszete, ha n = 750 1/s,

A.7. A gázturbina m ködési tartományának 16 széls munkapontjának adatsora

% 1. pont % p1* = 110000 Pa me = 0.005238980574 kg % T1* = 308.15 K p3* = 185778.8474 Pa % Mterh = 0 Nm n = 650 1/sec % mtuz = 0.007038095212 kg/sec (T4* = 647.7701 K) % 2. pont % p1* = 110000 Pa me = 0.003853125493 kg % T1* = 308.15 K p3* = 200035.6485 Pa % Mterh = 96 Nm n = 650 1/sec % mtuz = 0.01213625156 kg/sec (T4* = 938.4905 K) % 3. pont % p1* = 110000 Pa me = 0.007401047939 kg % T1* = 308.15 K p3* = 259630.2706 Pa % Mterh = 0 Nm n = 833.33 1/sec % mtuz = 0.008629837052 kg/sec (T4* = 594.4650 K) % 4. pont % p1* = 110000 Pa me = 0.005116444797 kg % T1* = 308.15 K p3* = 283335.1376 Pa % Mterh = 182 Nm n = 833.33 1/sec % mtuz = 0.01806984729 kg/sec (T4* = 938.1158 K) % 5. pont % p1* = 110000 Pa me = 0.007834035850 kg % T1* = 243.15 K p3* = 215296.8227 Pa % Mterh = 0 Nm n = 650 1/sec % mtuz = 0.006727380406 kg/sec (T4* = 485.7251 K) % 6. pont % p1* = 110000 Pa me = 0.004557371043 kg % T1* = 243.15 K p3* = 244664.7779 Pa % Mterh = 236.5 Nm n = 650 1/sec % mtuz = 0.01733267797 kg/sec (T4* = 938.9507 K) % 7. pont % p1* = 110000 Pa me = 0.01092691283 kg % T1* = 243.15 K p3* = 316310.0174 Pa % Mterh = 0 Nm n = 833.33 1/sec % mtuz = 0.009218386400 kg/sec (T4* = 469.3394 K) % 8. pont % p1* = 110000 Pa me = 0.006295215262 kg % T1* = 243.15 K p3* = 357894.2736 Pa

% Mterh = 363 Nm n = 833.33 1/sec % mtuz = 0.02701065149 kg/sec (T4* = 938.2930 K) % 9. pont % p1* = 60000 Pa me = 0.002857625769 kg % T1* = 308.15 K p3* = 101333.9168 Pa % Mterh = 0 Nm n = 650 1/sec % mtuz = 0.003838961025 kg/sec (T4* = 647.7701 K) % 10. pont % p1* = 60000 Pa me = 0.002100317923 kg % T1* = 308.15 K p3* = 109127.2858 Pa % Mterh = 52.5 Nm n = 650 1/sec % mtuz = 0.006626611340 kg/sec (T4* = 939.2372 K) % 11. pont % p1* = 60000 Pa me = 0.004036935240 kg % T1* = 308.15 K p3* = 141616.5113 Pa % Mterh = 0 Nm n = 833.33 1/sec % mtuz = 0.004707183846 kg/sec (T4* = 594.4650 K) % 12. pont % p1* = 60000 Pa me = 0.002788853780 kg % T1* = 308.15 K p3* = 154572.0502 Pa % Mterh = 99.5 Nm n = 833.33 1/sec % mtuz = 0.009867930887 kg/sec (T4* = 938.9242 K) % 13. pont % p1* = 60000 Pa me = 0.004273110465 kg % T1* = 243.15 K p3* = 117434.6306 Pa % Mterh = 0 Nm n = 650 1/sec % mtuz = 0.003669480223 kg/sec (T4* = 485.7251 K) % 14. pont % p1* = 60000 Pa me = 0.002485838753 kg % T1* = 243.15 K p3* = 133453.5152 Pa % Mterh = 129 Nm n = 650 1/sec % mtuz = 0.009454187982 kg/sec (T4* = 938.9507 K) % 15. pont % p1* = 60000 Pa me = 0.005960134273 kg % T1* = 243.15 K p3* = 172532.7367 Pa % Mterh = 0 Nm n = 833.33 1/sec % mtuz = 0.005028210754 kg/sec (T4* = 469.3394 K) % 16. pont

% p1* = 60000 Pa me = 0.003433753781 kg % T1* = 243.15 K p3* = 195215.0583 Pa % Mterh = 198 Nm n = 833.33 1/sec % mtuz = 0.01473308261 kg/sec(t4* = 938.2930 K) % A paraméterek végértékei: minimum, maximum % p1*: min.: 60000 Pa max.: 110000Pa % T1*: min.: 243.15 K max.: 308.15 K % Mterh: min.: 0 Nm max.: 363 Nm % mtuz: min.: 0.003669480223 kg/secmax.: 0.02701065149 kg/sec % me: min.: 0.002100317923 kg max.: 0.01092691283 kg % p3*: min.: 101333.9168 Pa max.: 357894.2736 Pa % n: min.: 650 1/secmax.: 833.33 1/sec % T4*: min.: 469.3394 K max.: 939.2372 K

A.8. A gázturbina hidromechanikus szabályozójának ábrája