Fourier térbeli analízis, inverz probléma Orvosi képdiagnosztika 5-7. ea. 2017 ősz
5. Előadás témái Fourier transzformációk és kapcsolataik: FS, FT, DTFT, DFT, DFS Mintavételezés, interpoláció
Folytonos Fourier Transzformáció
Folytonos Fourier Transzformáció Lineáris transzformáció a véges energiájú, folytonos függvények tere felett: F FT f f xexp j x dx Legfontosabb tulajdonságai: Konvolúció tétel: Fordított konvolúció: Parseval tétel: 1 1 exp f x FT F 2 F j x d f g FT F G 1 1 1 f g x FT F G 2 1 x 2 2 E f x dx F d 2
Folytonos Fourier Transzformáció Valós jel spektruma: Páros, valós jel spektruma: Páratlan, valós jel spektruma: F Re Re Periodikus jel spektruma diszkrét: F 0, ha k 2 f kz Ekvivalens egy unitér transzformációval: Ez pl. maga után vonja a bijektivitást F F F F F Im Im F F j F j F
Folytonos Fourier Sorfejtés Lineáris transzformáció a periodikus folytonos függvények tere felett: T 2 1 cn f xexp j x 2 n T dx T ; T 2 f x cn exp j x 2 n T n Kapcsolat a folytonos FT-val: Mintavételezi a spektrumot: Periodikus jel diszkrét spektrum c 1 T F 2 n T Egyéb tulajdonságokat örökli a folytonos FT-től n n Z
Diszkrét idejű Fourier Transzformáció (DTFT) Adott egy mintavételezéssel előállt végtelen hosszú, abszolút összegezhető jel: f n Definíció: exp n 1 2 exp X f n j n x n X j n d Alapvető tulajdonságok: n Z, de R X2k kz X Egyéb tulajdonságait örökli a folytonos FT-től
Matematikai mintavételezés Folytonos FT és DTFT kapcsolata Végtelen impulzus fésű: Matematikai mintavételezés: folytonos jel elemenkénti szorzata az impulzus fésűvel. Időtartománybeli szorzás Spektrumok konvolúciója Impulzusfésű az időtartományban frekvenciatartományban
Mintavett jel spektruma Formálisan a mintavett jel spektruma: 2 2 2 2 X s X k X k x k x x k x x : mintavételezések távolsága : folytonos idejű jel spektruma X X : mintavételezett jel spektruma s Nyquist mintavételi törvény: bwx 1 2 f ; f 1 x s s Ha nem tartjuk be alul mintavételezés: K X s X
Helyesen mintavételezés interpretációja
Alul mintavételezés interpretációja spektrum átlapolódása
Spektrum átlapolódása moire / aliasing Spektrum átlapolódása által generált jeltorzulás
Spektrum átlapolódása - aliasing Aliasing formálisan: 2 X s X k X k x Anti-aliasing filter mintavételezés előtti aluláteresztő szűrés: Pl. Bayer szűrős fényképezőgépeknél optikai szűrő Radiológiában az elkent PSF-ek miatt elhagyható
Mintavett jel rekonstrukciója Rekonstrukció (interpoláció): Cél: a mintavételezett jel értékének előállítása két mintavételezési pont között Ha sérült a mintavételezési törvény, akkor lehetetlen LTI rendszerrel: Ideális interpolációs kernel: H R x x h R S R K L 2 L 0 egyébként L fs 2 hr sinc x L
Interpoláció hibái Megfigyelt tartomány széle: Súlyfüggvény kilóg a megfigyelt tartományból H 2 esete: R 0 Lényegesen jelentősebb hibaforrás Mintavett jel rekonstrukciója: f s 2 X R H R X S H R X k k x X X, ha 2 R Példa rá a Nearest Neighbour interpoláció (ZOH) f s
Interpolációk összehasonlítása Átviteli/súlyfüggvényük analízisével: Nearest Neighbour Lineáris Köbös Spline Köbös B-Spline Átviteli függvény Súlyfüggvény
(Hibás) interpoláció vizualizációja
Integráló mintavételezés Érzékelők integrálják a foton fluxust: Érzékelőelemek homogén súlyfüggvénye: Adekvát az alábbi modell: 1. Megszűrjük a folytonos jelet az érzékelők súlyfüggvényével 2. Elvégezzük a matematikai mintavételezést X s k X P p x 2 j x Ha az érzékelőelemek súlyfüggvénye nem homogén, akkor nem modellezhető LTI rendszerrel
Integráló mintavételezés - példa Ideális, integráló mintavételezés esete: p x 1 x x 2 0 x 2 sinc 2 x x 2 P x x 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 10 8 6 4 P 1 0.8 X 10 8 X S 0.6 6 0.4 4 0.2 2 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4
Diszkrét Fourier Transzformáció (DFT) Diszkretizált jelet N pontban ismerjük: N 1 N 1 k exp 2 exp X x n j n k N x n j n k n0 N 1 n0 k n0 1 exp 2 x n N X j kn N Kapcsolat a DTFT-vel: yn n 0,1,..., N 1 xn megfigyelési ekvivalens 0 egyébként DFT mintavételezi a megfigyelési ekvivalens DTFT spektrumát: Y X k k feletti ortogonális transzformáció, mi a mátrixa? C N
DFT pontszáma Megfigyelési ekvivalens DTFT spektrumát tetszőleges felbontással mintavételezhetjük: Ha M minta érdekel, akkor M-N db 0-val paddelünk A fizikai (folytonos) jel spektrumáról ezáltal nem tudunk meg többet! 2-Radix FFT 5 4 3 2 1 0-1 -0.5 0 0.5 1