Az arkhimédészi csőfelületről Az előző dolgozatban melynek címe: Csaarokról és rokon témákról elkezdtük a csaaros témakör körüljárását. Most folytatjuk a címbeli témáal. A felület definíciója [ 1 ] szerint: Arkhimédész - féle csőfelület keletkezik, ha egy kört úgy mozgatunk, hogy középpontja csaaronalat ír le, és a kör síkja minden helyzetben a csaaronal adott pontbeli érintőjére merőleges. Megjegyezzük, hogy a korábban izsgált meridiánkör - csaarfelület esetén az alkotókör síkja minden helyzetben tartalmazza a csaaronal tengelyét; agyis ha az alkotókör a kezdő helyzetében a függőleges csaartengelyen átmenő síkú ld. előző dolgozat!, akkor bármely helyzetében is az marad. Itt azonban az alkotókör síkja periodikusan áltozó helyzetű. Nem téeszthetők össze! A címbeli felület a gyakorlatban sűrűn előfordul; pl.: ~ sodrott szerkezetekben a huzalok, pászmák; ~ asúti kocsik, autók spirálrugói ; ~ a spirálfüzetek drót - gerince, stb. A spirál szó azért lett idézőjelbe tée, mert a spirál egy síkgörbe - család nee, míg itt nyilán térgörbékről an szó. Ez egy helytelenül elterjedt szóhasználat. Helyesebb a spirálrugó helyett a csaarrugó, hengeres csaarrugó, stb. elneezések használata. 1. ábra Az 1. ábra egy személyautó hengeres csaarrugóját / spirálrugóját mutatja. Forrása: http://skodabolt.unas.hu/spd/6u0411105d/skoda_faoritfelicia_spiralrugo_elso Minthogy az arkhimédészi csőfelület a illamos kábelekben geometriai alapalakzat, ezért nem életlen hogy kábelipari zsebkönyekben, kézikönyekben találkoztunk leginkább a címbeli felület analitikus izsgálatáal [ ], [ 3 ]. Nem elhanyagolhatóak a gépészeti onatkozások sem [ 4 ]. Az alábbiakat főként a [ ] és [ 3 ] munkákra alapozzuk. Célunk: az ismeretterjesztés, a szórakoztatás, alamint a szemléletformálás.
Ehhez tekintsük a. ábrát [ 3 ]! Az arkhimédészi csőfelület egyenleteinek felírása. ábra A. ábra szerint a csőfelület egy tetszőleges Q pontjának helyektora az ( Oxyz ) koordináta - rendszerben: ξ r ρ, Q P Q ( 1 ) ahol a korábbiak szerinti (t) t, ( ) z(t) t összefüggésekkel is: r P (t) R cos( t) i R sin( t) j t k, ( 3 ) ρq R ' cos n R ' sin b ; ( 4 )
az alkalmazott jelölések: ~ r P : a csaaronal egy P( t ) pontjának helyektora; ~ ρ Q : a csőkeresztmetszet Q pontjának helyektora; ~ ω : a szögsebesség nagysága; ~ ν : a z tengely menti emelkedési sebesség nagysága; ~ t : az eltelt idő; ~ R : a ezérhenger sugara; ~ R : a cső sugara; ~ ψ : szögáltozó a körcső - keresztmetszet síkjában; ~ i, j, k: a x, y, z tengelyek szerinti egységektorok. Most ( 1 ), ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: ξ Rcos( t) i Rsin( t) j tkr ' cos nr ' sin b. ( 5 ) Az ( 5 ) képlet többféle egységektort tartalmaz, így fel kell írni az n n( i, j, k), ( 6 ) b b( i, j, k) összefüggéseket is. Ennek érdekében felidézzük a szükséges ektor - összefüggéseket a ( t, n, b ) kísérő triéder - egységektorok és a csaaronal r( t ) helyektorának idő szerinti deriáltjai között [ 3 ], [ 5 ]. A P pont a csaaronal mentén ( t ) sebességű és a( t ) gyorsulású mozgást égez: dr d (t) r (t) R cos( t) i R sin( t) jtk dt dt ( 7 ) Rsin( t) i Rcos( t) jk ; d d r a r i j dt dt (t) (t) R cos( t) R sin( t) ; ezek nagysága / abszolút értéke: 3 ( 8 ) r (t) R állandó, ( 9 ) a (t) R állandó. a ( 10 ) Ezután égezzünk el néhány átalakítást! dr dr ds (t) t t, ( 11 ) dt ds dt ahol: ~ s = s( t ) : a pályabefutás függénye; ~ t : az érintő egységektor; ~ : az eredő sebesség nagysága. Most ( 11 ) - ből:
4 (t) r (t) t(t). (t) r (t) Majd ( 7 ), ( 9 ), ( 1 ) - el: ( 1 ) Rsin( t) i R cos( t) j k t(t) R R R sin( t) i cos( t) j k. R R R ( 13 ) Most tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra Az ábra szerint is: dskör d d xy xy R R R R, ( 14 ) dt dt dt dz z, ( 15 ) dt R, ( 16 ) xy z
5 xy cos, R R z sin. R ( 17 ) ( 18 ) Az utóbbi két képletben és a 3. ábrán α a csaaronal menetemelkedési szöge. Most ( 13 ), ( 17 ) és ( 18 ) - cal: t(t) cossin( t) i coscos( t) jsin k. ( 19 ) A ( 19 ) képlet a t érintő egységektor kifejezése az ( Oxyz ) rendszer egységektoraial. Folytata a deriálást, ( 11 ) - ből: d (t) d d d t a t t ; ( 0 ) dt dt dt dt látjuk, szükség lesz t deriáltjára is. Ehhez tekintsük a 4. ábrát [ 5 ]! 4. ábra A 4. ábra bal oldali része azt szemlélteti, hogy a térgörbe két szomszédos, P és P pontja, melyek a pálya mentén ds R g d ( 1 ) ítáolságra annak egymástól, alamint t és t érintő egységektorokkal bírnak, benne annak a két érintő egységektort tartalmazó simulósíkban. A 4. ábra jobb oldali része azt szemlélteti, hogyan iszonyulnak egymáshoz egy e egységektor és annak de nöekménye. Ugyanis az egységektorra fennáll, hogy e 1, ( a ) azaz: e ee e e cos0 111 1, ( b ) így az utóbbi kapcsolat idő szerinti deriálásáal:
6 d d e e e 0, ( c ) dt dt ami azt mondja, hogy az egységektor és deriált ektora merőlegesek egymásra. Ekkor a jobb oldali ábrarész szerint: de e d 1 d d. ( d ) Eszerint: de d. dt dt Fentiek szerint: ha e = t, akkor de = dt, amely ~ normális irányú, ~ d hosszúságú, tehát: dt d n. ( ) Most ( ) - el is: dt dt d d n. ( 3 ) dt d dt dt Ámde ( 1 ) - gyel is: d d ds 1, ( 4 ) dt ds dt R így ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: dt 1. dt R g g n ( 5 ) Az újabb jelölések: ~ n : a görbe normális egységektora; ~ R g : a görbületi sugár; ~ S : a térbeli íhossz. Ezután ( 0 ) és ( 5 ) - tel: d dt d r t t n. ( 6 ) dt dt dt R g Most képezzük az alábbi mennyiséget, ( 11 ) és ( 6 ) felhasználásáal! 3 d d r r t. dt t R n g dt t t R t n g Figyelembe ée, hogy t t 0, t n b, ( e ) ( 7 ) ( 8 )
így ( 7 ) és ( 8 ) - cal: r r R Innen: 3 g b. 7 ( 9 ) r r b. r r ( 30 ) Végül ( 1 ) és ( 30 ) - cal: r r r r r r n b t r r r r r r. ( 31 ) Most már kiszámíthatjuk a ( 6 ) kifejezéseket is. Először ( 7 ) és ( 8 ) - cal: R sin( t) R cos( t) R cos( t) R sin( t) r r i j k i j j i k i i j k j 3 3 R cos ( t) Rcos( t) R sin ( t) R sin( t) 3 R cos ( t) sin ( t) k j R cos( t) i Rsin( t) 3 R sin( t) i Rcos( t) j R k. Toábbá ( 16 ) és ( 3 ) - el: r r 3 R sin( t) R cos( t) R 4 3 4 6 4 R sin ( t) cos ( t) R R R R R R R R, ( 3 ) ( 33 ) majd ( 3 ) és ( 33 ) - mal: 3 r r R sin( t) i R cos( t) j R k r r R R ( 34 ) sin( t) i cos( t) j k ; most ( 16 ), ( 17 ), ( 18 ), ( 30 ), ( 34 ) - gyel: b(t) sin sin( t) i sin cos( t) j cos k. ( 35 ) Ezután ( 19 ), ( 31 ) és ( 35 ) - tel: n b t sin sin( t) i sin cos( t) j cos k cos sin( t) i cos cos( t) j sin k sin sin( t) i cossin( t) i coscos( t) jsink sin cos( t) j cossin( t) i coscos( t) jsin k cosk cossin( t) i coscos( t) jsin k ; folytata:
8 n sin sin( t) coscos( t) i j sin sin( t) i k j i j k +sin cos( t) cossin( t) sin cos( t) k i k j cos sin( t) cos cos( t) ; toább folytata: n i sin cos( t) cos cos( t) j sin sin( t) cos sin( t) k sin sin( t) coscos( t) sin cos( t) cossin( t) ; még toább: n i cos( t) sin cos sin( t) sin cos j k0 i cos( t) jsin( t), tehát: n(t) cos( t) i sin( t) j. ( 36 ) Most ( 5 ), ( 35 ) és ( 36 ) - tal: ξ Rcos( t) i R sin( t) j tk R ' cos n R ' sin b R cos( t) i R sin( t) j t k R ' cos cos( t) i sin( t) j R ' sin sin sin( t) i sin cos( t) j cos k ; folytata: ξ i R cos( t) R ' cos cos( t) R ' sin sinsin( t) j R sin( t) R ' cos sin( t) R ' sin sin cos( t) k t R ' sin cos ; rendeze: ξ i R R ' cos cos( t) R ' sin sin sin( t) j R R ' cos sin( t) R ' sin sin cos( t) k t R ' cos sin. Azonban: ( 37 ) ξ(t, ) x(t, ) i y(t, ) j z(t, ) k, ( 38 ) így ( 37 ) és ( 38 ) összehasonlításából:
9 x(t, ) R R ' cos cos( t) R ' sin sin sin( t), y(t, ) R R ' cos sin( t) R ' sin sin cos( t), z(t, ) t R ' cossin. ( 39 ) A ( 37 ), illete a ( 38 ) ~ ( 39 ) egyenletek írják le az arkhimédészi csőfelületet, részben geometriai, részben mechanikai mennyiségekkel. A tisztán geometriai mennyiségekkel aló leíráshoz együk a korábban is alkalmazott z(t) t, ( ) (t) t mennyiségeket! Ha egy körülfordulás megtételéhez T idő kell, akkor ez idő alatt a P pont éppen h menetmagasságnyit emelkedik a z tengely mentén, azaz ( ) - el is: z(t) T h, ( 40 ) (t) T ; innen T kiküszöböléséel: h ; ( 41 ) most ( ) és ( 41 ) - gyel: h h z(t) t t (t), ( 4 ) agy a t áltozót elhagya és z( t ) = s régi jelöléssel: h s( ). ( 43 ) Majd ( 39 ), ( 4 ), ( 43 ) - mal: x(, ) R R ' cos cos R ' sin sin sin, y(, ) R R ' cos sin R ' sin sin cos, ( 44 ) h z(, ) R ' cossin. A csaaronal egy menetének síkba fejtéséel adódó derékszögű háromszögből ld. 5. ábra, melynek forrása [ 4 ]! : h tg, R ( 45 ) innen:
10 h R tg. Most ( 44 ) és ( 46 ) - tal: x(, ) R R ' cos cos R ' sin sin sin, y(, ) R R ' cos sin R ' sin sin cos, z(, ) R tg R ' cossin. 5. ábra ( 46 ) ( 47 ) A különféle egyenlet - áltozatok felírása után térjünk rá a felület keresztmetszeti görbéjének tanulmányozására! A z(, ) 0 álasztással ( 47 ) - ből: R tg R sin sin. R ' cos R ' cos Ezzel: R ' cos R sin cos 1sin 1. ( 48 ) ( 49 ) Most ( 47), ( 48 ), ( 49 ), - cel:
11 R sin x( ) R R ' 1 cos R tg sin, R ' cos R sin y( ) R R ' 1 sin R tg cos. R ' cos Más alakban: x( ) R ' R sin 1 1 cos tg sin, R R R ' cos y( ) R ' R sin 1 1 sin tg cos. R R R ' cos ( 50 ) ( 51 ) Ez a z = 0 keresztmetszeti görbe paraméteres egyenletrendszere. A φ paraméter azonban nem ehet fel tetszőleges értékeket; a korlát: a négyzetgyök alatt nem állhat negatí szám. Ennek a feltételnek a kifejezése: R sin 1 0, R ' cos azaz: R sin 1, R ' cos R ' cos R sin R ' cos *, R sin, tehát: * *. ( 5 ) Beezete az x( ) y( ) R ' ( ), ( ), ' ( 53 ) R R R jelöléseket, ( 51 ) és ( 53 ) - mal:
1 1 sin ( ) 1 ' 1 cos tg sin, ' cos 1 sin ( ) 1 ' 1 sin tg cos. ' cos ( 54 ) Egy példa adatai: α = 15 ; ρ = 0,5; ezekkel φ* = 0,9011065 ( rad ). A Graph programmal készített rajz a 6. ábrán szemlélhető. 0.8 éta(fi) 0.6 0.4 0. -0.4-0. 0. 0.4 0.6 0.8 1 1. 1.4 1.6 1.8 kszi(fi) -0. -0.4-0.6-0.8 x(t)=(1-0.5*sqrt(1-(1.109605666*t)^))*cos(t)-0.0717967697*t*sin(t), y(t)=(1-0.5*sqrt(1-(1.109605666*t)^))*sin(t)+0.0717967697*t*cos(t) x(t)=(1+0.5*sqrt(1-(1.109605666*t)^))*cos(t)-0.0717967697*t*sin(t), y(t)=(1+0.5*sqrt(1-(1.109605666*t)^))*sin(t)+0.0717967697*t*cos(t) Az összetartozó 6. ábra ( ), ( ) pároknál a gyökjel előtt ugyanaz az előjel szerepel. Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk. Reméljük, céljainkat is elértük. Úgy - e, szép karácsonyi ajándékot adtunk magunknak? Köszönet érte mindenkinek, akit illet.
13 Irodalom: [ 1 ] Hajdu Endre ~ H. Temesári Ágota: Konstruktí geometria Mezőgazdasági Szaktudás Kiadó, Budapest, 1995. [ ] Kábel Zsebköny, II. kötet Magyar Kábel Műek, 197. (. kiadás ) [ 3 ] Szerk. Hoffmann Pál: MKM Kábelipari Kéziköny I / 1. Prodinform Műszaki Tanácsadó Vállalat, Budapest, 1983. [ 4 ] Szerk. Sz. D. Ponomarjo: Szilárdsági számítások a gépészetben,. kötet: Rudak. Rugók. Műszaki Könykiadó, Budapest, 1964. [ 5 ] Budó Ágoston: Mechanika Tankönykiadó, Budapest, több kiadásban Sződliget, 010. december 4. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár