Juhász Tibor. Matematikát, fizikát és informatikát oktatók XXXVIII. országos konferenciája augusztus

Hasonló dokumentumok
Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Függvény fogalma, jelölések 15

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Osztályozóvizsga és javítóvizsga témakörei Matematika 9. évfolyam

XVIII. Nemzetközi Magyar Matematika Verseny

Matematika pótvizsga témakörök 9. V

1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?

A MATEMATIKAI SZOFTVEREK ALKALMAZÁSI KÉSZSÉGÉT, VALAMINT A TÉRSZEMLÉLETET FEJLESZTŐ TANANYAGOK KIDOLGOZÁSA A DEBRECENI EGYETEM MŰSZAKI KARÁN

TANMENET 2015/16. Készítette: KOVÁCS ILONA, Felhasználja: Juhász Orsolya

Tanmenet a Matematika 10. tankönyvhöz

Polinomok maradékos osztása

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

Matematika alapjai; Feladatok

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

NUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21

LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei

Matematika osztályozó vizsga témakörei 9. évfolyam II. félév:

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

Az osztályozóvizsgák követelményrendszere 9. évfolyam

Gyakorló feladatok I.

Osztályozóvizsga követelményei

ALGEBRAI KIFEJEZÉSEK, EGYENLETEK

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

Függvények december 6. Határozza meg a következő határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. Megoldás: lim. 2. Feladat: lim.

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

Polinomok, Lagrange interpoláció

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

GPK M1 (BME) Interpoláció / 16

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

ÍRÁSBELI BELSŐ VIZSGA MATEMATIKA 8. évfolyam reál tagozat Az írásbeli vizsga gyakorlati és elméleti feladatai a következő témakörökből származnak.

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

A SZEPTEMBERÉBEN KÉSZÍTETT ORSZÁGOS MATEMATIKA FELMÉRÉS TAPASZTALATAIRÓL. Csákány Anikó BME Matematika Intézet

MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS SZÁMÁRA SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA ANALÍZIS PÉLDATÁR

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Határozatlan integrál

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika. 9.osztály: Ajánlott tankönyv és feladatgyűjtemény: Matematika I-II. kötet (Apáczai Kiadó; AP és AP )

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Matematikai alapok 1 Tantárgyi útmutató

nappali tagozat, tanítói szak TAN05MSZ Szigorlati követelmények és tételek Vizsgatematika A szigorlat követelményei:

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Függvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.

Az osztályozó vizsgák tematikája matematikából évfolyam

TANMENET. Matematika

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 10. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

Osztályozóvizsga követelményei

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA május 8. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

Osztályozó- és javítóvizsga. Matematika tantárgyból

Oeconomicus Napocensis Verseny Március 24 és május IV. szekció Tantárgy: MATEMATIKA I

Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós

2017/2018. Matematika 9.K

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok I. útmutató

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Határozatlan integrál, primitív függvény

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Tóth János - Simon L. Péter - Csikja Rudolf. Differenciálegyenletek feladatgyűjtemény

Kvantum-számítógépek, univerzalitás és véges csoportok

Követelmény a 6. évfolyamon félévkor matematikából

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Matematika 11. osztály

SZAKKÖZÉPISKOLA ÉRETTSÉGI VIZSGRA FELKÉSZÍTŐ KK/12. ÉVFOLYAM

Differenciál - és integrálszámítás. (Kreditszám: 7) Tantárgyfelelős: Dr. Losonczi László egyetemi tanár. Meghirdető tanszék: Analízis Tanszék

1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1

Bevezetés az algebrába az egész számok

Függvényhatárérték és folytonosság

A matematikai feladatok és megoldások konvenciói

Integrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

Követelmény a 7. évfolyamon félévkor matematikából

Diszkrét matematika 1.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Analízis I. Vizsgatételsor

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont

Lineáris egyenletrendszerek Műveletek vektorokkal Geometriai transzformációk megadása mátrixokkal Determinánsok és alkalmazásaik

Matematika példatár 4.

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Átírás:

Juhász Tibor Matematikát, fizikát és informatikát oktatók XXXVIII. országos konferenciája 2014. augusztus 25-27. Pécs Összefoglaló

Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Juhász Tibor Matematikát, fizikát és informatikát oktatók XXXVIII. országos konferenciája 2014. augusztus 25-27. Pécs Összefoglaló Eger, 2014

Készült a TÁMOP 4.2.4.A/2-11-1-2012-0001 Nemzeti Kiválóság Program című kiemelt projekt keretében. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósul meg.

Tartalomjegyzék 1. Díszítések és minták a tudományban és művészetben 5 2. Irracionális számok és bizonyítási módszerek a közoktatásban 5 3. Variációk egy téglalapra 6 4. Frémek Hilbert térben 6 5. Résztörtekre bontás egy gyorsabb módszere 7 6. A sorok tanításáról a gazdaságtudományi alapképzésben 7 7. A Hölder-egyenlőtlenség néhány következménye 7 8. Matematikai tehetséggondozás Maple T.A.-val 8 9. Számítógéppel támogatott módszerek 8 10.Hány részcsoportja van egy véges Abel-csoportnak? 9 3

A konferenciáról Az immáron 38. alkalommal megrendezett Matematikát, fizikát és informatikát oktatók konferenciája ezévben Pécsett, a Pécsi Tudományegyetem Pollack Mihály Műszaki és Informatikai Karán került megrendezésre, 2014. augusztus 25. és 27. között. A konferencia célja annak elősegítésére, hogy a felsőoktatási intézmények oktatói és kutatói a matematika, a fizika és az informatika korszerű és hatékony oktatásáról és kutatásáról tudományos előadások, poszterbemutatók és személyes találkozás révén tapasztalatot cserélhessenek. A hétfői napon a dékáni köszöntőt követően négy plenáris előadást tekinthettünk meg, kedden délelőtt pedig párhuzamosan, 3 szekcióban (Fizika, Informatika, Matematika) zajlottak az előadások. Szerdán délelőtt három szekcióban hallhattunk matematika előadásokat, majd három plenáris előadással zárult a rendezvény. A konferencia weblapja: http://mafiok2014.pmmik.pte.hu/hu/ 4

1. Díszítések és minták a tudományban és művészetben Szerző: Molnár Emil Az előadás Escher munkái, vagy ha úgy tetszik, a síkbeli szimmetriacsoportok által motiválva a térkitöltésről (kövezés) szólt, azon belül a térkitöltések algebrai osztályozásának egy lehetőségéről. A módszer alapja a kövezés szimplex kövezésekre bontása, és a különböző szimplexek egymással való viszonyának közös diagramon való ábrázolása, majd annak egy mátrix-függvénnyel való finomítása. Ezzel a módszerrel a kövezések topologikusan leírhatók. Az elmélet minden kövezéshez egy úgynevezett D-szimbólumot rendel (az elnevezés B.N. Delone, M.S. Delaney és W.M. Dress neveinek közös kezdőbetűjét őrzi). Kérdés az is, hogy megfordítható-e ez a hozzárendelés, azaz minden D-szimbólumhoz valamilyen d-dimenziós tér alkalmas kövezése-e. A témához gazdag anyagot találhatunk a http://www.math.bme.hu/~boroczki/d symbol/ címen. 2. Irracionális számok és bizonyítási módszerek a közoktatásban Szerző: Vigné Lencsés Ágnes A középiskolában az irracionális számok oktatása általában nem kielégítő, többnyire csak a 2 irracionális voltának bizonyítása hangzik el. Az előadáson olyan középiskolásoknak célzott feladatok történtek kitűzésre, amely segítségével különböző anyagrészeknél megerősíthető az irracionális számok fogalma. Ezek közül néhány: 1. Igazoljuk, hogy ha a N és a nem négyzetszám, akkor a irracionális! 2. Bizonyítsuk be, hogy 3 2 3 irracionális! 3. Adott két végtelen nagy térfogatú hordó, mindegyikben víz van. Egy 2 2 és egy 2 literes edénnyel át lehet-e merni egyikből a másikba pontosan egy litert? 4. Mutassuk meg, hogy log 2 3, lg 3 + lg 5 irracionálisak! 5. Bizonyítsuk be, hogy sin π 18 irracionális! 5

6. Igazoljuk, hogy ha sin x irracionális, akkor sin 3x is az! 7. Lehetnek-e ugyanazon számtani sorozat elemei a 2, 3 és 5? 8. Mutassuk meg, hogy ha egy számtani sorozatnak van két irracionális eleme, akkor csak legfeljebb egy racionális eleme lehet! 9. Mutassuk meg, hogy egy körbe írt négyzet csúcsainak a kör egy pontjától való távolságai között mindig van irracionális! 3. Variációk egy téglalapra Szerző: Szabolcsi Sámuel Az előadás a klasszikus értelemben vett origami (formák létrehozása négyzet alakú papírból kiindulva, tépés és ragasztás nélkül) lehetőségeit vizsgálja. Sokkal inkább részletgazdag formákat készíthetünk az úgynevezett hajtásháló (Create Pattern) alkalmazásával, ami tulajdonképpen az elkészült modell kiterítve. Ezzel kapcsolatban a következő kérdések merülhetnek fel: adott hajtásháló alapján mindig összeállítható-e értelmes alakzat, illetve a hajtások sorrendiségének ismerete hiányában hányféle megoldás létezik? A folyamat meg is fordítható: készítsünk adott modellhez CP-t! Itt gráfelméleti kérdések, és a körpakolási probléma jön szóba. 4. Frémek Hilbert térben Szerző: Kovács István Béla Az alapprobléma az, hogy egy függvényt egy hozzárendelt számsorozat minél kevesebb pontjának felhasználásával minél pontosabban szeretnénk reprezentálni. A frémek trigonometrikus rendszert helyettesítő függvénycsaládok, függvényekből álló sorozatok. Az előadásból kiderül, hogyan lehet már meglévő frémekből újabbakat előállítani, továbbá Casazza egy tételének, miszerint minden frém előáll három ortonormált bázis lineáris kombinációjaként, láthattunk egy rövid, alternatív bizonyítását, melynek megértéséhez a funkcionálanalízis bevezető előadásai anyagának ismerete is elegendő. 6

5. Résztörtekre bontás egy gyorsabb módszere A tilos értékek alkalmazása Szerző: Körtesi Péter A résztörtekre (vagy parciális törtekre) bontás fontos segédeszköz a matematikában, például a racionális törtfüggvények integrálásánál. Egy adott példán végignéztük, hogyan szoktuk a parciális törtekre bontást általában elvégezni, ami meglehetősen sok számolással jár. A résztörtek számlálóit alkotó polinomok együtthatói egy lineáris egyenletrendszer megoldásaként adódnak. Erre láthattunk egy alternatív lehetőséget: a 6 (x + 3)(x + 1) = A x + 3 + B x + 1 felbontás esetén, szorozzuk meg mindkét oldalt (x + 3)-mal: 6 (x + 1) = A + (x + 3) B x + 1, majd helyettesítsük x helyére 3-at ( tilos érték az értelmezési tartományon kívüli érték): 3 = A. Hasonlóan kaphatjuk meg B értékét is. 6. A sorok tanításáról a gazdaságtudományi alapképzésben Szerző: Klingné Takács Anna Az előadáson az Excel és a Geogebra és a Maple alkalmazási lehetőségei kerültek bemutatásra a valós sorok összegének kiszámítására. Lényegében az első két szoftver a részletösszegek sorozatának diagramon történő ábrázolására, majd arról az összeg megsejtésére tudják használni. A Maple az összeg kiszámítására is képes. A hallgatók ezen módszernek köszönhetően jobban teljesítenek, több sikerélményben van részük. 7. A Hölder-egyenlőtlenség néhány következménye Szerző: Horváth Gábor Van olyan jelenség, amikor egy egyenlőtlenség finomítását megkaphatjuk ma- 7

gából az egyenlőtlenségből alkalmas helyettesítésekkel. Például, a ab a2 + b 2 2 speciális esete a Young-egyenlőtlenségnek, melynek az ( a + b ab 2 egyenlőtlenség egy finomítása. Az utóbbi megkapható az előzőből a = a 4 ab, b = = b 4 ab helyettesítéssel. A szerző azt igazolta, hogy a Hölder-egyenlőtlenség Aldaz-féle finomítása is megkapható hasonló módon a Hölder-egyenlőtlenségből. ) 2 8. Matematikai tehetséggondozás Maple T.A.-val Szerző: Maróti György Tűzzünk ki egy feladatot, majd kérjük be elektronikusan a megoldást. Ha ezt automatikusan ki szeretnénk értékelni, többnyire bajban vagyunk, hiszen nem biztos, hogy a hallgató pont ugyanolyan alakban adta meg az egyébként helyes megoldását, amilyenben a rendszer elvárja. A Maple T.A. motor lényege, hogy a Maple segítségével a kapott megoldást össze tudja vetni a tárolt jó megoldással, és csak akkor fogadja el, ha a kettő az ekvivalens. Ez a lehetőség új kapukat nyit az elektronikus vizsgáztatásban. 9. Számítógéppel támogatott módszerek Szerző: Baják Szabolcs Az x és y pozitív számok Gini-közepe alatt a ( x p + y p ) 1 p q G p,q (x, y) =, x q + y q ahol p q, valamint (p q)pq(x y) 0 esetén a Stolarsky-közepük S p,q (x, y) = ( q(x p y p ) 1 p q ). p(x q y q ) Az előadásban arra láthattunk példát, hogy hogyan alkalmazható a Maple a fenti 8

két középre vonatkozó invariancia egyenletekre. Ez egy különösen nagy számítási kapacitást igénylő probléma. 10. Hány részcsoportja van egy véges Abel-csoportnak? Szerző: Tóth László Azt a kérdést, hogy hány részhalmaza van egy véges halmaznak, már általános iskolában is meg tudjuk válaszolni. Azonban a címben feltett kérdés sokkal komplikáltabb, mivel a csoport rendje nem határozza meg a részcsoportok számát. Legyen Z m az egész számok maradékosztályainak csoportját modulo m, jelöljék továbbá s(m, n) és c(m, n) rendre a Z m Z n csoport összes, illetve ciklikus részcsoportjainak számát. A előadásban asszimptotikus közelítéséket láthattunk a s(m, m) m,n x és c(m, m) összegekre. m,n x 9