MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logritmusos feldtok A szürkített hátterű feldtrészek nem trtoznk z érintett témkörhöz, zonbn szolgálhtnk fontos információvl z érintett feldtrészek megoldásához! ) Oldj meg z lábbi egyenleteket! ) log cos 4 5sin ) A logritmus definíciój szerint 8, hol vlós szám és (6 pont), hol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont) ( pont) 64 Ellenőrzés. helyettesítéssel, új változóvl. y ; y ( pont) 6 cos sin sin 5sin 4 0 sin y y nem megoldás, mert y 5y 0 sin k vgy 5 k (fokbn is megdhtó) ( pont) 6 6 k Ellenőrzés, vgy le kell írni, hogy gyökök igzzá teszik z eredeti egyenletet, mivel ekvivlens átlkításokt végeztünk. Összesen: 7 pont ) Mekkor értéke, h lg lg 5 lg lg lg 5? ( pont) Mivel 0-es lpú logritmusfüggvény szig. monoton nő, 75 Összesen: pont ) Oldj meg következő egyenleteket: ) 9 0 (6 pont) (6 pont) sin sin
) Legyen Az másodfokú egyenletet kell megoldni. Ennek z egyenletnek gyökei: és 0 esetén egyenlet nem d megoldást, mert minden vlós kitevőjű htvány pozitív szám. Az kielégíti z eredeti egyenletet. Legyen sin Az másodfokú egyenletet kell megoldni. Ennek z egyenletnek gyökei: és. 0 sin nem d megoldást, mert sin sin A sin egyenlet gyökei: k, hol k tetszőleges egész szám. Ezek z értékek kielégítik z egyenletet. y lg lg Összesen: pont 4) Adott következő egyenletrendszer: () () y ) Ábrázolj derékszögű koordinát-rendszerben zokt pontokt, melyeknek koordinátái kielégítik () egyenletet! ( pont) Milyen, illetve y vlós számokr értelmezhető mindkét egyenlet? ( pont) c) Oldj meg z egyenletrendszert vlós számpárok hlmzán! ( pont) P( ; y ) d) Jelölje meg z egyenletrendszer megoldáshlmzát z ) kérdéshez hsznált derékszögű koordinát-rendszerben! ( pont) ) ( pont)
Az () egyenlet mitt y és c) d) A y lg lg lg lg A logritmusfüggvény szigorú monotonitás mitt 4 0 0 ( pont) 5 és 4 y 5 és y 4 A másodfokú egyenletrendszer megoldási: 5 5 ; 4 illetve ; 4 miből második számpár nem trtozik z eredeti egyenlet értelmezési trtományáb, z első számpár kielégíti z eredeti egyenletrendszert. 5 5 ; 4 pont bejelölése. ( pont) Összesen: 7 pont 5) Oldj meg pozitív vlós számok hlmzán log6 egyenletet! Jelölje megdott számegyenesen z egyenlet megoldását! ( pont) 4 ( pont) 6) Melyik ngyobb: A sin 7 log 4 vgy B jelet válszmezőbe! Válszát indokolj!) A, A B B Összesen: pont? (Írj megfelelő relációs ( pont) Összesen: pont
7) Adj meg 8) lg lg A pozitív vlós számok hlmz. egyenlet megoldáshlmzát! ( pont) ( pont) ) Mely pozitív egész számokr igz következő egyenlőtlenség? (4 pont) Oldj meg vlós számok hlmzán z lábbi egyenlőtlenséget! 5 5 9 (8 pont) ) Az (5 lpú eponenciális) függvény szigorún monoton növekedése mitt 5 ; ; ; 4 Az egyenlőtlenség megoldás: 0 A ( lpú eponenciális) függvény szigorú monotonitás mitt 4 6 9 0 9 0 9 Az számok hlmzán z 9. nem megoldás z egyenletnek. Az egyenlet megoldás vlós 9) Oldj meg vlós számok hlmzán következő egyenleteket! ) ( pont) Összesen: pont lg 5 lg 5 lg 0 (6 pont) 5 55 ) Értelmezési trtomány: 5 A logritmus zonosságánk helyes lklmzás. (A lg függvény kölcsönösen egyértelmű.) 5 0 5 (6 pont) 0 5 0 5 és 5 Mindkét megoldás megfelel.
0 5 5 ( pont) A négyzetgyök értéke nemnegtív szám, ezért nincs vlós megoldás. 0) Htározz meg z lábbi egyenletek vlós megoldásit! ) log log 6 0 sin 6 4 Összesen: pont (7 pont) (0 pont) ) Az egyenlet bl oldlán szereplő szorzt értéke pontosn kkor 0, h vlmelyik tényezője 0. H z első tényező 0, kkor Innen log 8 H második tényező 0, kkor Innen 6 64 log 6 honnn pozitív trtományb csk z Mind két gyök kielégíti z eredeti egyenletet. sin 6 vgy n vgy 6 6 5 n 6 6 n ) Adj meg vgy ; n A kifejezés értéke 4. ) Mennyi z sin 6 n 6 6 8 ( pont) ( pont) 7 n ( pont) 6 6 ; n ; n 4 4, n (4 pont) Összesen: 7 pont log 8kifejezés pontos értékét! ( pont) 5 A kifejezés értéke: 5. kifejezés értéke, h? ( pont) ( pont) ( pont)
) Az, b és c tetszőleges pozitív vlós számokt jelölnek. Tudjuk, hogy lg lg lg b lg c Válssz ki, hogy melyik kifejezés dj meg helyesen értékét! A: c b B: b c C: D: b c c b E: b c F: G: b c b c A helyes kifejezés: F. 4) A b, c és d pozitív számokt jelölnek. Tudjuk, hogy lg b lg c lg d ( pont) ( pont) Fejezze ki z egyenlőségből b-t úgy, hogy bbn c és d logritmus ne szerepeljen! ( pont) b c d vgy c b d 5) Melyik szám ngyobb? A lg 0 vgy B cos8. ( pont) ( pont) cos 8 A ngyobb szám betűjele: B ( pont)
6) István z log 0 függvény grfikonját krt felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett ( hibás vázlt láthtó mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igz z lábbi állítások közül! ) István rjzábn hib z, hogy vázolt függvény szigorún monoton csökkenő. István rjzábn hib z, hogy vázolt függvény - höz -t rendel. c) István rjzábn hib z, hogy vázolt függvény zérushelye. ( pont). 7) Adj meg zokt z vlós számokt, melyekre teljesül: Válszát indokolj! ( pont) log 4. ( pont) A logritmus definíciój lpján: lehetséges értékek: 4, 4 6 8) Oldj meg z lábbi egyenleteket vlós számok hlmzán! ) ) Összesen: pont 5 5 0 (5 pont), hol 5 5 5 5 0 0 5 0 5 0 és (7 pont) (Az 5 lpú eponenciális függvény szigorú monotonitás mitt: 0 Ellenőrzés Az egyenlet bl oldlát közös nevezőre hozv: Az egyenlet mindkét oldlát -vel szorozv A zárójelek felbontás és összevonás után: Nullár rendezve: 6 0 A másodfokú egyenlet gyökei: ; ( pont) Ellenőrzés Összesen: pont 6
9) ) Oldj meg vlós számok hlmzán z 0 egyenlőtlenséget! (7 pont) Adj meg z négy tizedesjegyre kerekített értékét, h 4 0. (4 pont) c) Oldj meg lphlmzon. cos cos 0 egyenletet ; (6 pont) ) H, kkor ( 0, ezért), vgyis A -nál kisebb számok hlmzán tehát ; intervllum minden eleme 0. ( pont) megoldás z egyenlőtlenségnek. H, kkor ( 0, ezért) 0, vgyis. ( pont) A -nál ngyobb számok hlmzábn nincs ilyen elem, tehát -nál ngyobb számok között nincs megoldás z egyenlőtlenségnek. A megoldáshlmz: ;. 5 0 4 log 4, 69 c) (A megdott egyenlet cos -ben másodfokú,) így megoldóképlet felhsználásávl vgy cos. ( pont) Ez utóbbi nem lehetséges (mert koszinuszfüggvény értékkészlete ; intervllum). cos 0,5 A megdott hlmzbn megoldások:, illetve. ( pont) Összesen: 7 pont 0) Melyik z z természetes szám, melyre log 8? ( pont) 4 ( pont)
) Oldj meg z lábbi egyenleteket vlós számok hlmzán! ) 5 4 (5 pont) lg lg4 (7 pont) ) 5 5 4 ( pont) Tehát Visszhelyettesítéssel z eredeti egyenletbe megbizonyosodtunk ról, hogy z 5 ( pont) 5 megoldás helyes Értelmezési trtomány: Logritmus-zonosság lklmzásávl: A logritmus definíció lpján: 4 lg4 ( pont) ( pont) 6 Ellenőrzés, visszhelyettesítés ) Az ábrán z f : ; ; f ) Adj meg z f függvény értékkészletét! Htározz meg z szám értékét! 0,5;4 Az f értékkészlete 0,5 Összesen: pont függvény grfikonj láthtó. ( pont).. ( pont) ) Adj meg z értékét, h 5 log 5 Összesen: pont! ( pont) ( pont)
4) Újsághír: Szeizmológusok számítási lpján 004. december 6-án Szumátr szigetének közelében kipttnt földrengés Richter-skál szerint 9,-es erősségű volt; rengést követő cunmi (szökőár) hlálos áldoztink szám megközelítette 00 ezret. A földrengés Richter-skál szerinti erőssége és rengés középpontjábn felszbduló energi között fennálló összefüggés: M 4, 4 lg E. Ebben képletben E földrengés középpontjábn felszbduló energi mérőszám (joule-bn mérve), M pedig földrengés erősségét megdó nem negtív szám Richter-skálán. ) A Ngskir 945-ben ledobott tombomb felrobbnáskor, 44 0 4 felszbduló energi joule volt. A Richter-skál szerint mekkor erősségű z földrengés, melynek középpontjábn ekkor energi szbdul fel? ( pont) A 004. december 6-i szumátri földrengésben mekkor volt felszbdult energi? ( pont) c) A 007-es chilei ngy földrengés erőssége Richter-skál szerint - vel ngyobb volt, mint nnk kndi földrengésnek z erőssége, mely ugynebben z évben következett be. Hányszor kkor energi szbdult fel chilei földrengésben, mint kndibn? (5 pont) d) Az óceánbn fekvő egyik szigeten földrengést követően kilkuló szökőár egy körszelet lkú részt trolt le. A körszeletet htároló körív középpontj rengés középpontj, sugr pedig 8 km. A rengés középpontj sziget prtjától 7 km távolságbn volt (lásd felülnézeti ábrán). Mekkor szárzföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? (6 pont) 4 ) 4,4 lg,44 0 M M 5 ( pont) 9, 4,4 lg E Tehát felszbdult energi körülbelül lg E 0,58 0 E, 8 0 J
c) A chilei rengés erőssége -vel ngyobb volt, mint kndi: 4,4 lg Ec 4,4 lg Ek Rendezve: lg E lg E c k Ec (A logritmus zonosságát lklmzv) lg E Ebből E E c k 000 000-szer kkor volt felszbdult energi. d) Az ábr jelöléseit hsználjuk. Az AKF derékszögű háromszögből: 7 cos 8 9,. 8,4 T AKB 8 sin 8,4 00,6 km 8,4 Tkörcikk 8 08,6 km 60 T körszelet 08,6 00,6 8 km Az elpusztult rész területe körülbelül 5) ) Mely vlós számokr értelmezhető k 8 km. Összesen: 7 pont log kifejezés? Oldj meg vlós számok hlmzán z lábbi egyenletet! log 0 ( pont) ) Összesen: pont ( pont)
6) Egy idén megjelent iprági előrejelzés szerint egy bizonyos lktrész iránti kereslet z elkövetkező években emelkedni fog, minden évben z előző évi kereslet 6%-ávl. (A kereslet z dott termékből várhtón eldhtó mennyiséget jelenti.) ) Várhtón hány százlékkl lesz mgsbb kereslet 5 év múlv, mint idén? ( pont) Az előre jelzés szerint ugynezen lktrész ár z elkövetkező években csökkenni fog, minden évben z előző évi ár 6%-ávl. Várhtón hány év múlv lesz z lktrész ár z idei ár 65%-? (5 pont) Egy cég z előrejelzésben szereplő lktrész eldásából szerzi meg bevételeit. A cég vezetői z elkövetkező évek bevételeinek tervezésénél bból indulnk ki, hogy fentiek szerint kereslet évente 6%-kl növekszik, z ár pedig évente 6%-kl csökken. c) Várhtón hány százlékkl lesz lcsonybb z éves bevétel 8 év múlv, mint idén? (5 pont) A kérdéses lktrész egy forgáskúp lkú tömör test. A test lpkörének sugr cm, lkotój 6 cm hosszú. d) Számíts ki test térfogtát! (4 pont) ) A kereslet minden évben várhtón z előző évi kereslet változik, így 5 év múlv z idei -szorosár nő. Ez kb. 4%-kl mgsbb, mint z idei kereslet. Az ár minden évben várhtón z előző év ár 0,9 -szorosár változik, 5,06,4 így megoldndó 0,94 0,65 Ebből lg 0,65 n lg 0,94 n 6,96 egyenlet, (hol n,6 -szorosár z eltelt évek számát jelenti.). ( pont) Azz várhtón 7 év múlv lesz z ár jelenlegi ár 65%-. c) A bevételt kereslet és z ár szorztából kpjuk, így 8 év múlv jelenlegi bevétel 8,06 0,94 0,97-szerese várhtó. ( pont) Azz 8 év múlv bevétel z ideinél kb.,8 %-kl lesz lcsonybb. d) Ábr z dtok feltüntetésével. A kúp mgsságát m -mel jelölve Pitgorsz-tétel lpján: A kúp térfogt m 6 7 5,cm 5,. V 49cm. Összesen: 7 pont