Mechatronika alapjai házi feladat 1. feladat: Az állapotautomaták 1.1. Kerti lámpa A feladat egy kerti lámpa működésének modellezése állapotautomataként. A kerti lámpa az érzékelt fényerősség szint szerint kapcsoljon be és ki. Ha a fényerő I 1 intenzitás alá esik, a lámpa kapcsoljon be. Ha pedig I 2 intenzitás fölé növekedne, akkor kapcsoljon ki a világítás. A feladat 2 (+1 szorgalmi) részből áll, amely a rendszer fokozatos fejlesztését szolgálja. 1. Az első modellünkben a kerti lámpának két állapota legyen, ezek közötti átkapcsolást jelkombinációk biztosítsák. 2. Az első feladatban elkészített modellbe építsünk be olyan hibavédelmet, amely kiküszöböli a pillanatszerű fényviszonyváltozást. (Például, egy éjszaka elhaladó autó fényszórói miatt ne kezdjen kapcsolgatni a lámpánk.) Ennek érdekében egy időzítőt tegyünk a rendszerbe, amely egy bizonyos T idő múlva engedélyező jelet ad ki. +1 (szorgalmi) A harmadik modell elkészítése továbbfejleszti az előzőt azzal, hogy meghatározunk egy olyan fényerősség tartományt ahol a kerti lámpa kisebb intenzitással világít és így még képes tölteni is. Például, nyáron este 8 óra körül már jól jön a világítás, de még nem szükséges a maximális fénykibocsátás. A működés leírása fejlesztésenként a következő részekből álljon: Az állapotok logikus elnevezése. Határozza meg hány bit szükséges az állapotok tárolásához, az elnevezésekhez rendeljünk bináris számokat. Definiálja a jeleket. Rajzolja fel az állapotautomata modelljét. Írjuk fel a jelek és állapotok igazságtábláját, az alapján állapítsuk meg van-e memória jellege a rendszernek. Ezek után írjuk fel az állapottábláját. Írjuk fel az állapotok bool-algebrai függvényeit. Végül, logikai kapuk segítségével a megvalósításukat is rajzoljuk le a függvényeink alapján. 1
1.2. 7-szegmenses kijelző A következő feladat során vegyünk egy liftet, amely az első és nyolcadik emelet között közlekedik. A lift állapotautomataként is modellezhető. Írjuk fel az egyes emeletekhez tartozó állapotokat bináris számokkal. Rendeljünk hozzá egy 7 szegmenses kijelzőt, oly módon, hogy az kijelezze hányadik emeleten van a lift éppen. Határozza meg hány bit szükséges az a lift állapotainak tárolásához, az elnevezésekhez rendeljen bináris számokat. Írjuk fel a lift állapota alapján, hogy mely szegmensek világítanak a 7-szegmenses kijelzőn, igazságtábla segítségével. Írjuk fel az igazságtáblázat alapján a bool-algebrai függvényeket. Végül, logikai kapuk segítségével rajzoljuk le a rendszer megvalósítását. 2. feladat: ARMA rendszerek Egy vízszintes asztalon fekvő test rugó és csillapító elem által is rögzítve van. A rendszert F erővel gerjeszthetjük is, aminek hatására rezgésbe jön. 1. ábra. A rezgő rendszer. b: Csillapítási tényező, k: Rugómerevség, F(t): Gerjesztés, x: Elmozdulás A test mozgása során gyorsulni fog, minden pillanatban különböző sebessége lesz, és új pozíciót vesz fel. A tömegre ható gerjesztő, rugó, és csillapító erők összegzéséből egy egyensúlyi egyenletet kapunk, mely leírja a rendszer viselkedését (a gerjesztéstől és az állandóktól függően). A rendszer egyenlete a következő: m a + b }{{} v + k }{{ x } = F (t) (1) F cs F r 2
Adatok: m = 3,5 [kg] b = 50 [Ns/m] k = 160 [N/m] F = 30 ε[k] [N] t = 0.01 [s] Feladatok: A rendszert általános F[k] gerjesztés esetére vizsgálja. 1. Írja át a rendszer egyenletét a tanultak szerinti két módszerrel. Fejezzen ki minden mennyiséget az x elmozdulás segítségével. 2. Írja fel a rendszer ARMA modelljét a szokásos alakban, Kimenetnek a pozíciót tekintse. 3. Határozza meg a diszkrét idejű átviteli függvényt. A számítások egyszerűsítéséhez az együtthatókat helyettesítheti a 0...a i, és b 0...b i általános alakkal is, azonban a végeredményekben mindig helyettesítsen vissza! 4. Alakítsa át az egyenletet úgy, hogy megkapja a megfigyelhetőségi és irányíthatósági kanonikus alakokat. Rajzolja fel mindkét esetben a hatásvázlatot! 3
3. feladat: Hatásvázlatok Végezzen grafikus átalakításokat az alábbi hatásvázlatokon, hogy megkapja az átviteli függvényüket! Az átalakításokat egyesével végezze el, mindig egymás alá rajzolva a következő alakot. Minden lépésben jelölje be (karikázás, keretezés) az éppen átalakított részt. Tömören szövegesen is fogalmazza meg, milyen átalakítást végez. 3.1. 3.2. 4
3.3. 3.4. 5
4. feladat: Konvolúció Adott az alábbi diszkrét idejű rendszerhez tartozó súlyfüggvény: w[0] = 0, 6 (2) w[1] = 0, 2 (3) w[2] = 0, 9 (4) w[3] = 0, 4 (5) w[4] = 0, 5 (6) w[5] = 1, 0 (7) w[k > 5] = 0 (8) 1. Számítsa ki a rendszer átmeneti függvényét. 2. Mi a rendszer válasza az alábbi diszkrét idejű bemenet esetére? u[0] = 2 (9) u[1] = 10 (10) u[2] = 3 (11) u[3] = 8 (12) u[4] = 6 (13) u[5] = 7 (14) A számításokat táblázatos forma segítségével végezze, az eredményeket pedig minden feladatrésznél ábrázolja grafikonon, MS Excel segítségével! 5. feladat: Zajszűrés Zajjal terhelt jelet mérünk. Szeretnénk megállapítani a szűrt jelalakot, valamit kíváncsiak vagyunk a beálló rendszer időállandójára is. A feladathoz használja a Filter.xlsx nevű fájlt, amiben a megfelelő értékek helyére helyettesítse a saját adatait: A = 2, 5 B = 2, 1 1. Szűrje a zajos adatsort mozgóátlag szűrő segítségével. Keressen egy alkalmas beépített funkciót az Excelben! Mi történik, ha a szűrés során túl magasra vesszük az átlagolási tartományt? (magyarázat...) 2. Próbáljon ideális értéket találni. Az ehhez tartozó szűrt jel grafikonját ábrázolja az eredeti jellel közös grafikonon. Ügyeljen rá, hogy a két pontsorozat nyomtatásban is jól elkülöníthető legyen majd! 3. Becsülje meg a szűrt jel időállandóját, a kezdeti meredekség módszer alkalmazásával. 4. Becsülje meg az állandósul állapottól való eltérést T és 5T értékeknél! 6
6. Szorgalmi feladatok 6.1. Véletlenszerű zaj szűrése: 1. Vegye az alábbi függvényt, és állítsa elő diszkrét időben tetszőlegesen C környezetben, vagy Excelben. Tegyen rá szándékosan valamilyen d[k] zavaró jelet, ami minden időpillanatban véletlenszerű 1 amplitúdóval adódik az alapjelhez. A sin(ωk + ϕ) + d[k] A megadott függvényt diszkrét időben, 0,01 másodperces mintavételezéssel ábrázolja Excel segítségével. Értékeket itt tetszőlegesen választhat. 2. Végezze el a zavart jel mozgóátlagszűrését. 3. Határozzon meg olyan mozgóátlag tömbméretet (N), amivel visszanyerjük az eredeti szinusos jel amplitúdóját ± ε. 4. A mérést ismételje meg annyiszor, hogy legyen 10 olyan N érték, amellyel ε hibahatáron belülre kerül a szűrt jel amplitúdója a zavartalan eredeti jelhez képest. Ezeket átlagolva adja meg N-t. Minden mérésnél írjuk fel N értékét és, hogy hány százalékos az eltérés az amplitúdók között. 5. A mérés során hogyan hatott a szűrt függvény alakjára az N érték növelése, illetve csökkentése? Indokoljuk meg miért! 6.2. Felharmónikus jel szűrése A mérnöki gyakorlatban sokszor nem csak véletlenszerű zaj terhelhet egy szinusos jelet, hanem egy másik, eltérő (jellemzően jóval nagyobb) frekvenciájú jel is. Ezt felharmonikusnak nevezzük. Az alább megadott függvényt 0,01 másodperces mintavételezéssel ábrázolja. (Ajánlott: Visual Studio, Excel) F (x) = 20 sin(k) + 5 sin(40k) Feladatok: 1. Függvényből szűrés útján egy A amplitúdójú tisztán szinusos jel visszanyerése ±ε hibával. 2. Adjuk meg a szükséges N értéket hasonlóan az előző feladathoz. Ezután hasonlítsuk össze a szűrt alakot és az eredeti függvényt: Mennyi a szűrt jel periódusideje? Hogyan változott a frekvenciája az eredeti függvényhez képest? 1 Például: d[k] = 1 2Ar ahol d[k] a zavaró jel, A az alapjel amplitúdója, r pedig a véletlenszerű szám melynek értéke: r = sin(rand()). Természetesen, ezen kívül is bármilyen működő megoldás elfogadott. 7
Keletkezett-e fáziskésés? Ha igen, mekkora? Ha a feladatot C-ben írja, a programkódban felhasznált függvényeket csatolja nyomtatott formában! A szűrt függvényeket is nyomtassa ki, és mellékelje. 8