Bevezetés a Speciális Relativitás elméletbe

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM Alkalmazott matematikus szakirány Bs szakdolgozat Bevezetés a Speiális Relativitás elméletbe Szerző: Sallai Dávid Témavezető: Dr. Szeghy Dávid Péter Geometriai Tanszék Budapest, 2017

Tartalomjegyzék 1. Vonatkoztatási rendszerek és a relativitás elve 4 1.1. Newton törvények............................. 4 1.2. Vonatkoztatási rendszerek és a Galilei-féle relativitás elve....... 5 1.2.1. Fénysebesség és a Galilei transzformáió............ 7 2. Kísérletek 8 2.1. Az idő különböző vonatkoztatási rendszerekben............ 9 2.1.1. Az idő mérése különböző ineriarendszerekben......... 11 2.1.2. Müonok.............................. 15 2.1.3. A távolság különböző vonatkoztatási rendszerekben...... 17 3. Lorentz transzfromáió 19 4. Minkowski Tér-Idő 25 5. A tömeg és az energia ekvivalenia 33 5.1. Előkészületek............................... 33 5.2. Kísérlet.................................. 34 6. Összefoglalás 38 1

Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Szeghy Péter Dávidnak, aki szakmai hozzáértésével, hasznos tanásaival nagyban hozzájárult szakdolgozatom elkészültéhez. 2

Bevezetés A XX. század elején a fizikusok rájöttek, hogy Newton 1. törvénye nem supán a mehanikában érvényesek, hanem a fizikán belül bárhol, ahol mozgás történik. A fenti axioma azt mondja ki, hogy bármely vonatkoztatási rendszerben vizsgált test mindaddig nyugalomban marad vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, míg egy külső erő nem hat rá. Vajon, ha két egymáshoz képest egyenletesen mozgó megfigyelő egy kísérletet megvizsgál, akkor ugyanazon fizikai mennyiségeket mérik ki? Erre a kérdésre a Galilei transzformáió ad választ: ha a megfigyelt kísérlet "sebessége" elenyésző a fény sebességéhez képest, akkor a válasz igenlő. Következésképpen, ha a megfigyelőkhöz hozzárendelünk egy-egy Desartes-féle koordinátarendszert, K-t illetve K -t, akkor a fent említett transzformáió azt mondja ki, hogy a két renszer egymásba transzformálható. A későbbiekben látni fogjuk -amit kísérletekkel bizonyítottak-, ha az egyik megfigyelő a másikhoz képest fénysebességgel mozog, akkor fursa dolgok történnek az idővel és a hosszal. A Galilei transzformáió nem ad helyes összefüggést a két koordináta rendszer között, azaz nem ugyananzon fizikai mennyiségeket méri ki a két megfigyelő. Albert Einstein volt aki magyarázatot adott a Galilei transzformáió hiányosságaira és általa nyert értelemet a Lorentz-féle transzformáió. Dolgozatom betekintést kínál a speiális relativításelméletbe valamint annak következményeibe. 3

1. fejezet Vonatkoztatási rendszerek és a relativitás elve 1.1. Newton törvények A mozgások megértéséhez szükségünk van Newton három törvényére: I. Tehetetlenség törvénye: bármely vonatkoztatási rendszerben vizsgált test mindaddig nyugalomban marad vagy egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, míg egy külső erő nem hat rá. II. Dinamika alaptörvénye: Egy test megváltoztatja alapállapotát, ha külső erő hat rá: a testre ható erő egyenesen arányos az általa létrehozott gyorsulással és fordítottan arányos a test tömegével (a tömeg állandó). Azaz: F = m a (1.1) ahol a = d v/dt. Az összefüggés megmutatja, hogy minél nagyobb egy testre ható erő, annál nagyobb a test gyorsulása. II. Hatás-ellenhatás törvénye: Két test kölsönhatása során mindkét testre azonos nagyságú, azonos hatásvonalú és egymással ellentétes irányú erő hat. Ez a törvény lényegében azt állítja, hogy az erők mindig párosával lépnek fel a természetben. 4

1.2. Vonatkoztatási rendszerek és a Galilei-féle relativitás elve Lássuk néhány következményét a Newton-törvényeknek. Tegyük fel, hogy van egy rögzített Desartes-féle koordinátarendszerünk K, amire úgy tekintünk, mintha egy álló megfigyelőhöz tartozna, aki nem végez mozgást és legyen egy K rendszerünk melynek t = 0 időpillanatban az origoja egybeesik K-val, de hozzá képest állandó v sebességgel mozog, ahol v = ds/dt. Egy v sebességű tömegpont mozgása (x, y, z) pontból indulva a t időpillanatban: x(t) = x (t) + v x t (1.2) y(t) = y (t) + v y t (1.3) z(t) = z (t) + v z t (1.4) t = t (1.5) Ahol x, y, z, t nem a deriváltat jelöli, hanem a K rendszerhez tartozó koordinátákat. Egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy K -nek minden tengelye párhuzamos 1.1. ábra. A K v sebességgel halad K-hoz képest a K rendszerrel, sőt x-tengelyük egybeesik és a mozgó rendszer x-tengely irányába 5

halad, ahogyan az 1.1-es ábrán látható. Ekkor az előbbi egyenleteink az alábbira egyszerűsödnek: x(t) = x (t) + v x t (1.6) y(t) = y (t) (1.7) z(t) = z (t) (1.8) I. Feladat: Mi az áttérés a K rendszerből a K rendszerbe? Legyen P (x p, y p, z p ) adott pont. Tegyük fel, hogy a P pont mozog időben és pályája a K koordinátarendszerben: P K (t) = (v t, 0, 0) + P K (t) (1.9) Sebessége a K illetve K rendszerben: dp K(t) dt illetve dp K (t) dt P K (t) = (P K(t) (v t, 0, 0)) (1.10) P K (t) = P K(t) (v, 0, 0) (1.11) Ha még egyszer deriváljuk a fenti egyenletet, akkor azt kapjuk, hogy: P K (t) = P K(t) (1.12) Tehát a két rendszerben a sebességek különbözőek, amit az első deriválással nyertünk, ugyanakkor a gyorsulás a két rendszerben azonos, amit a második derivált szolgáltat. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy álló és mozgó megfigyelő a Newtoni mehanikát azonosnak látja, azaz ugyanazokat a törvényeket méri ki. Ez érthetőbben azt jelenti, hogy semmilyen mehanikai kísérlettel nem tudjuk eldönteni, hogy álló rendszerben vagy éppen mozgó rendszerben vagyunk. Tehát az 1.6-1.8 egyenletekkel kiszámíthatjuk egy K rendszerben lévő esemény idejét és helyét egy K rendszerben is. 6

1.2.1. Fénysebesség és a Galilei transzformáió A klasszikus fizikából tudjuk, hogy a sebességek összeadódnak illetve kivonódnak egymásból attól függően, hogy mihez képest mozognak a testek. Például, ha egy konstans 60km/h-val mozgó vonaton felállunk és menetiránnyal megeggyező irányban sétálunk 5km/h-ás sebességgel, akkor mi a megállóban lévő megfigyelőhöz képest 65km/h-val haladunk, azaz a vonat sebessége és a mi sebességünk összeadódik. Vajon érvényes-e ezen összefüggés a fénysebességre is? A válasz nem, mivel 1867-ben Mihelson kimérte, hogy a fény sebessége állandó 299792458m/s minden ineriarendszerben, tehát ezt a sebességet nem lépheti át semmi. Megállapodás: A fény sebessége álló és mozgó megfigyelő számára azonos. A Galieli relativitás elve szerint egy test sebessége az álló rendszer szerint mérve megegyezik a mozgó rendszerben mért sebességével, amihez hozzáadódik a mozgó rendszer sebessége. Ez ellentmondásban áll azzal a ténnyel, hogy a fény sebességét semmi sem lépheti át, következésképpen, ha igaz lenne, akkor el tudnánk dönteni, hogy éppen a mozgó K vagy az álló K rendszerben vagyunk. Albert Einstein volt az első, aki rájött, hogy a Galilei- féle transzformáiót el kell vetni és az alábbi két feltételt kihasználva kell eljutni egy helyes koordináta transzformáióhoz. Einstein posztulátumai: I. A fizika törvényei minden vonatkoztatási rendszerben azonosak. II. Bármilyen mozgás legfeljebb sebességel haladhat. A következő részben különböző kísérleteket fogunk látni, melyek bizonyítják, hogy a két megfigyelő nem egyformán méri az időt, ehhez kényelmi szempontból feltesszük, hogy univerzálisan tudjuk mérni az időt ún. óraszinkronizáiót sinálunk. Ami azt jelenti, mintha minden térkoordinátához hozzárendelnénk egy órát és mindegyik tökéletes szinkronban állna egymással.(univerzálisan tudja mérni az időt a megfigyelő). Ehhez supán azt a tényt fogjuk felhasználni, hogy a fény sebessége minden vonatkoztatási rendszerben állandó, azaz sebességgel terjed. 7

2. fejezet Kísérletek A kísérletekben felhasználjuk az előző fejezetben leírt relativitás elvét, az óra szinkronizáiót és azt a tényt, hogy a fény minden ineriarendszerben állandó sebességgel mozog. A koordinátarendszerünk vízszintes tengelye egyesítse az x, y, z irányokat, hogy érthetőbben tudjuk ábrázolni a tér-idő grafikont, amely azt mondja meg, hogy a test hol van valamint legyen a függőleges tengely t, amely azt mondja meg, hogy a test melyik időpillantaban van. A klasszikus fizikából ismert, hogy állandó sebességgel mozgó test az út-idő koordinátarendszerben egyenes. Legyen az A esemény az, hogy az origóból (x A, y A, z A, t A ) elindítunk egy fotont, B pedig, hogy egy t B időpillanatban hol van a foton. A részeske pályáját a 2.1-es ábra szemlélteti. Az ábrán 2.1. ábra. Fény idővonala, melynek meredeksége 1, megfelelő átskálázás után. az A = (x A, y A, z A, t A )-ból a B = (x B, y B, z B, t B ) pontba menő egyenes meredeksége 1 amit a fény idővonalának nevezünk. Ennek érdekében az x tengelyen a távolságot 8

úgy kalibráljuk, hogy 1 egység annyi amennyit a fény 1 másodper alatt megtesz illetve a t tengelyen lévő egység pedig másodper. Későbbi fejezetben látni fogjuk, hogy ami fénysebesség alatt közlekedik, annak pályálya az 1 meredekségű egyenes felett fog elhelyezkedni. 2.1. Az idő különböző vonatkoztatási rendszerekben Ahhoz, hogy megértsük a speiális relativitás elméletet meg kell vizsgálnunk egy igen speiális esetet. Vegyünk egy olyan L hosszúságú rudat, melynek közepén egy lámpa van. Tegyük fel, hogy ez a fényforrás minden irányba fehér fényt bosát ki, amikor bekapsoljuk. A rúd két végén legyen két fénydetektor, melyek érzékelik a fényt, ha az odaér (ábra 2.2). 2.2. ábra. Merevrúd, ahol A és B a detektorok illetve O a fényforrás Tegyük ezt a rudat a mozgó koordinátarendszerünkbe-például egy állandó v sebességgel mozgó vonatkosi belsejébe, ahol jelölje K a vonatkosi saját nyugvó koordináta renszerét és legyen K a hozzá képest nyugalomban lévő rendszerünk. Legyen A(x A, y A, z A, t A ) az az esemény, hogy a fény eléri a bal oldali detektort (2.2 ábra), illetve B(x B, y, z B, t B ) pedig az, amikor a jobb oldali detektort éri el a fény. A megfigyelők, hogyan látják az események bekövetkezését? I. A vonatkosiban lévő megfigyelő azt látja, hogy a fény egyidejűleg éri el a két 9

detektort, azaz a két esemény egyidejű, hiszen egyenlő utakat tesznek meg a fotonok egyenlő sebességgel: t A = t B = L 2 (2.1) 2.3. ábra. A K rendszerben egyidejűleg látja a megfigyelő az eseményeket II. A K rendszerben lévő megfigyelő -vagyis az álló- azt látja, hogy az A esemény előbb következik be azaz előbb ütközik neki a fény a bal oldali detektornak és később következik be a B esemény vagyis: t A < t B (2.2) A 2.3-as ábra azt szemlélteti, hogy a K -beli megfigyelő, hogyan látja az A illetve B esemény bekövetkezését. A 2.4-es ábrán pedig az látszik, hogy a K rendszerben lévő megfigyelő, hogyan látja az események bekövetkezését. Ebből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy események egyidejűsége nem relatív, vagyis ami az egyik megfigyelő számára egyidejű, az a másik számára nem feltétlen egyidejű. Ahhoz, hogy az ábra egyértelmű legyen még szükséges megemlíteni az (x A, 0) illetve (x B, 0) pontokból kiinduló egyenesek meredekségét. A 2.3-as ábrán ezek meredeksége végtelen, mivel a K rendszerben lévő megfigyelő (a rúd is) nyugalomban van azaz a sebességük 0 a vonat sebességéhez képest. A másik ábrán az (x A, 0) illetve (x B, 0) pontokból kiinduló egyenesek nem merőlegesek az x tengelyre mint az előbb, mivel a K-beli megfigyelőhöz képest mozog a vonaton lévő rúd. 10

2.4. ábra. A K rendszerben lévő megfigyelő nem egyidejűnek látja az eseményeket 2.1.1. Az idő mérése különböző ineriarendszerekben Ahhoz, hogy definiálni tudjuk az időt két különböző vonatkoztatási rendszerben, ahol az egyik (K ) állandó v sebességgel mozog (x tengely irányába) a másikhoz (K) képest, meg kell vizsgálnunk egy újabb kísérletet. Tegyük fel, hogy van egy L hosszú rúd melynek egyik végén van a fényforrás és fénydetektor illetve a másik végén egy tükör. Legyen az A esemény az, hogy a (x = 0, t = 0) időpillanatban felvillan a fény. A B esemény pedig legyen a következő: a fény beleütközik a tükörbe és visszaverődik a detektorhoz és megáll az óra. Vizsgáljuk meg ezt a kísérletet először a K rendszerben, azaz tegyük fel, hogy ez a rúd merőleges az x tengelyre és x irányába állandó v sebességgel mozog. Itt fontos megemlíteni, hogy a rúd hossza állandó (mivel a rúd merőleges az x tengelyre, mintha a vonatsínek közötti távolság lenne,a ami nyilván nem változik), azaz L hosszú. A K beli megfigyelő ismeri a rúd hosszát (mivel ő nyugalomban van mert egyenletes sebességgel mozog, így meg tudja mérni a rúd hosszát) és tudjuk, hogy a fény sebessége minden vonatkoztatási rendszerben azonos, azaz. A fenti adatokból pontosan meghatározhatjuk, hogy mennyi idő telik el a két esemény között. Legyen ez az idő t. t = 2 L (2.3) 11

2.5. ábra. Az (x = 0, t = 0) tér-idő pillanatban felvillan a fény x haladási irányára merőlegesen Most nézzük meg mi történik, ha mindezt a K rendszerből szemléljük. Vajon ugyanazt a t időt fogjuk mérni a saját óránkon? A mi álló vonatkoztatási rendszerünkbe azt fogjuk látni, hogy az A és B esemény nem ugyanazon a helyen fog bekövetkezni mivel hozzánk képest állandó v sebességgel halad. A rúd a két esemény között megtesz x utat. azaz: 2.6. ábra. A haladási irányra merőlegesen tettük be a rudat illetve v sebességgel halad K-hoz képest x = v t (2.4) 12

Ugyanezen idő alatt a fény megtesz 2 d hosszú utat, ahol d: d = L 2 + ( x/2) 2 (2.5) A 2.7-es ábrán ez a távolság az átlók összege ahol az egyik átló az A esemény a 2.7. ábra. A K beli megfigyelő hosszabbnak látja a fény útját másik pedig a B esemény. Ezen adatokból meg tudjuk határozni t értékét azaz: Itt vegyük észre, hogy t v = x, illetve 2 L t = 2 d = 2 L 2 + ( t v 2 )2 (2.6) (2 L)2 + ( t v) = 2 (2.7) (2 ) 2 ( ) 2 L t v = + (2.8) = t ennek következtében: (2.9) ( ) 2 x t = ( t ) 2 + (2.10) 13

Mindkét oldalt négyzetre emelve azt kapjuk, hogy: Ahhoz, hogy észrevehessük az összefüggést t és t v t-re, így: ( ) 2 x ( t) 2 = ( t ) 2 + (2.11) között váltsuk vissza x-et ( ) 2 v t ( t) 2 = ( t ) 2 + (2.12) ( ) 2 v t ( t ) 2 = ( t) 2 (2.13) ( v ) 2) ( t ) 2 = ( t) 2 (1 (2.14) A 2.14-es összefüggés azt jelenti, hogy a két megfigyelőnek nem ugyanúgy telik az idő, tehát az idő mérése függ az ineriarendszertől, ami egy nagyon fontos különbség a Galilei transzformáióhoz képest. Vizsgáljuk meg 2.13-mas egyenletet közelebbről. Ha az egyenlet jobb oldalán lévő v t = t. mennyiség tart 0-hoz, akkor azt kapjuk, hogy: Viszont, ha v tart 1-hez, akkor t tart 0-hoz, ami a következőt jelenti. Ha a K -beli megfigyelő közel fénysebességgel utazik, akkor számára megáll az idő. A t illetve t mennyiségeket sajátidőnek nevezzük. A következő alfejezetben arra fogunk példát látni, hogyan viszonyulnak egymáshoz a sajátidők, ha a mozgó koordinátarendszerben (K -ben) közel sebességgel utazunk. 14

2.1.2. Müonok 1937-ben Carl David Anderson és Seth Neddermeyer fedezték fel a müonokat a kozmikus sugárzásban. Amikor a kozmikus sugárzás összeütközik a felsőbb atmoszféra gázaival a müonok akkor képződnek, amelyek a föld felszíne felé haladnak. Vajon mi köze van a müonoknak a speiális relativitáselmélethez? A müonok felezési ideje 1.52µs, azaz ennyi idő alatt bomlik el a részeskék fele, illetve sebességük: 0.994. Ezzel elérkeztünk ahhoz, hogy mi az összefüggés a speiális relativitás elmélet és a müonok között, ha ránézünk a részeske felezési idejére, akkor joggal vetődhet fel a kérdés: Ha ilyen rövid életű ez a részeske és olyan sokat utazik, akkor mégis hogyan vagyunk képesek detektálni a földön? A válasz a saját idő, azaz a K vonatkoztatási rendszerben utazik, ami hozzánk képest (K-hoz képest) 0.994 sebességgel utazik. Ha az előbbi alfejezetben lévő 2.14-es összefüggésre vetünk egy pillantást, akkor láthatjuk, hogy a v t kisebb mint t. hányados közel" van 1-hez, azaz Tegyük fel, hogy van egy müon detektorunk, amit egy 1907m magas hegy aljára teszünk és 100db részeskét elindítunk a hegy tetejéről. Hány darab müont fogunk detektálni? Használjuk a 2.4-es összefüggést: t = x v = 1907 0.994 = 6.4µs (2.15) A 2.15-ös összefüggés azt mondja meg, hogy a K rendszerben lévő nyugvó megfigyelőnek mit mér az órája. 6.4µs 1.52µs = 4.2 (2.16) A 2.16 azt mondja meg, hogy hány felezés történt, mivel 100db részeskét indítottunk el a hegysúsról ezért: 100 (0.5) 4.2 = 5.4 (2.17) Azaz mi mint nyugvó megfigyelő közelítőleg 5db részeskét detektálnánk, bár a detektorunk nem ezt mutatja. Lássuk, hogy mit mér a K -beli megfigyelő azaz a részeske. Most felhasználjuk a 2.14 összefüggést: 15

( v ) 2) ( t ) 2 = ( t) 2 (1 (2.18) ( ) 2 = (6.4µ) 2 1907m = (0.704µs) 2 (2.19) 2.9979 10 8 m/s Tehát a részeske saját ideje (azaz amennyi idő alatt leér a detektorhoz) 0.704µs. 0.704µs 1.52µs = 0.463 (2.20) 100 (0.5) 0.463 = 72.5 (2.21) Kijött, hogy 72.5db részeske érkezik a detektorhoz a K rendszer szerint, meglepő 2.8. ábra. A hegy tetejéről 100db részeskét indítunk módon a detektor 70 körüli értéket mutat a valóságban, ami azt igazolja, hogy a két vonatkoztatási rendszerben másképpen telik az idő. 16

2.1.3. A távolság különböző vonatkoztatási rendszerekben Láttuk, hogy két különböző vonatkoztatási rendszerben nem egyformán mérik a megfigyelők ugyanazon események között eltelt időt. Azt fogjuk megvizsgálni, hogy igaz-e ugyanez a feltételezés a távolságokra is, azaz két esemény közötti távolságot mennyinek méri a K illetve K beli megfigyelő. Egy tárgy hosszát általában nyugalomban mérjük, amit a valódi hossznak tekintünk. Mivel a mozgó megfigyelő az ő rednszerében nyugalomban van ezért a következő kísérletben ő méri ki a valódi hosszt. Tegyük fel, hogy egy D (aminek valódi hosszát a benne ülő megfigyelő méri ki, melynek hossza D ) hosszúságú vonatkosi x tengely irányába mozog állandó v sebességgel. Az esemény legyen a következő: felvillantunk egy lámpát a vonatkosi végében a menetiránnyal megegyező irányban ami a szemközti faláról visszapattan a kezdeti helyére.az álló K rendszerbeli megfigyelő a következő távolságot fogja kimérni: t = t 1 + t 2 (2.22) A 2.22-es egyenletben t 1 azaz idő amíg a fény beleütközik a szemközti falba, t 2 pedig az, amíg onnan visszapattan a kiinduási helyzetbe. t 1 idő alatt v sebességgel a vonat x 1 utat tesz meg, azaz: x 1 = t 1 v. Ugyanezen idő alatt a foton x 1 + D távolságot tesz meg, ahol: x 1 + D = t 1 v + D = t 1 (2.23) A foton t 2 idő alatt D x 2 utat tesz meg, ahol: D x 2 = D t 2 v = t 2 (2.24) Felhasználjuk, hogy x 2 = t 2 v A 2.23-2.24 egyenletekből azt kapjuk, hogy: I. t 1 t 1 v = D II. t 2 + t 2 v = D melyekből: t 1 = D v (2.25) 17

t = t 1 + t 2 = t 2 = D + v (2.26) D v + D + v = 2 D (2.27) 2 v 2 Most vizsgáljuk meg, hogy a K rendszerbeli megfigyelő szerint mekkora a D távolság (azaz a vonatkosi valódi hossza). A foton ebben a vonatkoztatási rendszerben mérve 2 D távolságot tesz meg t idő alatt sebességgel, azaz: 2 D = t, amiből: t = 2 D (2.28) A 2.14-es képletből a következőt kapjuk: ( v ) 2 t = t 1 (2.29) Szorozzuk be mindkét oldalt -vel. ( v ) 2 t = t 1 (2.30) Mivel t = 2 D illetve t = 2 D 2 2 (1 (, azaz a 2.27-2.28 egyenletek ártrendezéséből: v )) 2 D 2 D 2 ( v ) 2 = ( 2 1 ( ) ) v 2 1 (2.31) D 1 = D 1 ( ) (2.32) v 2 A kísérletünkből az derült ki, hogy a távolságok is transzformálódnak nem sak az idők, amit saját távolságnak nevezünk. A 2.32-es képletből leolvasható, ha a K -beli megfigyelő közel fénysebességgel (-vel) utazik a K-beli megfigyelőhöz képest, akkor a hosszúsága nagyobb, mint amit az álló megfigyelő mér ki, ugyanez volt megfigyelhető az idő transzformálódásánál. Természetesen, ha a v 0, akkor visszakapjuk, hogy a mért idők illetve távolságok nem transzformálódnak, következésképpen ilyenkor érvényes a Galilei-féle transzformáió. Viszont milyen transzformáió lesz irreleváns az Einstein posztulátumokra, azaz amikor v 1? 18

3. fejezet Lorentz transzfromáió Láttuk, hogy az idő és távolság különbözik a K és K rendszerekben, viszont abban az esetben amikor a mozgó rendszer sebessége elhanyagolható a fénysebességéhez képest, akkor érvényben marad a Galilei transzformáió. Probléma sak akkor lép fel, ha K sebessége összemérhető -vel. Kellene találni egy olyan transzformáiót, ahol fix, mivel a régi transzformáióban a sebességek összeadódnak. Ismét tegyük fel, hogy K és K koordinátarendszer tengelyei párhuzamosak egymással, illetve, hogy x és x tengelyek egybeesnek,valamint sak x tengely irányba történik mozgás, pozitív irányba. A Galilei transzformáió szerint x = x + v t illetve x = x v t. Az imént láttuk, hogy egymáshoz képest mozgó megfigyelők nem egyformának mérik az időt illetve távolságot. Mivel az imént leírt első egyenletnél a jobb oldalon keverednek a két megfigyelő által kimért mennyiségek, ezért az első tippünk az lenne, hogy az egyenlet jobb oldalán azonos megfigyelő által mért mennyiségek álljanak. Ezért legyen: x = x + v t (3.1) x = x v t (3.2) A 3.1 egyenletek még nem jók, de már majdnem azok, viszont tegyük fel, hogy van egy olyan függvényünk ami v-től függ (ún. transzformáiós függvény). Az ötletünk az, hogy a legkevesebb változtatást próbáljuk végrehajtani a 3.1-3.2 képletekben és így keresni egy olyan összefüggést, mely az eddigi megfigyeléseinkkel összhangban van. 19

x = γ(v) (x + v t ) (3.3) illetve x = γ(v) (x v t) (3.4) Célunk meghatározni a γ függvényt, ehhez tegyük fel, hogy ha t = 0, akkor t is 0, azaz végeztünk egy óraszinkronizáiót illetve kihasználjuk azt a tényt, hogy minden vonatkoztatási rendszerben állandó. A 3.5-3.6 egyenletek a következő megfigyelésből adódnak. Tegyük fel, hogy egy vonatkosi (amely az x tegely irányába v sebességgel halad a K rendszerhez képest) egyik végében van egy fényforrás, amit a t = 0 időpillanatban elindítunk ez legyen az A esemény valamint a B esemény legyen az, hogy a fény nekiütközik a vonatkosi szemközti falának. A K -beli (aki a vonatban van) megfigyelőnek a két esemény koordinátái A (0, 0) illetve B(x, t ), mivel a fény sebessége minden megfigyelő számára állandó, ezért neki az x távolságot a 3.5 egyenlet adja. Hasonlóan a K-beli (álló) megfigyelőnek az A esemény koordinátái A(0, 0) illetve a B eseményé B(x, t), az általa mért távolságot a 3.6 képlet adja, vagyis: x = t (3.5) illetve x = t (3.6) Ezeket felhasználva kezdjük el átrendezni a 3.3 képletet: x = γ(v) (x + v t ) (3.7) x = γ(v) (x + v t ) (3.8) x = γ(v) (x + v x ) (3.9) ( x = γ(v) x 1 + v ) ( x = γ(v) [γ(v) (x v t)] 1 + v ) (3.10) (3.11) 20

x = γ(v) [γ(v) (x v ( t)] 1 + v ) x = γ(v) [γ(v) (x v ( x)] 1 + v ) x = γ 2 (v) x ( 1 v ) ( 1 + v ) (3.12) (3.13) (3.14) x-el egyszerűsítve kapjuk γ(v)-t (erre a speiális esetre) γ(v) = 1 1 ( v )2 (3.15) Ha a 3.15-ös összefüggésben v 0, akkor γ 1, azaz visszakapjuk, hogy: x = x + v t, ami pontosan a Galilei transzformáió. Ha teljesülne az, hogy 1 v, akkor a gyök alatti érték kisebb vagy egyenlő lenne 0-val, ami nem megengedett matematikailag, azaz semmi sem lépheti át a fénysebességet ebben a transzformáióban (jelenlegi tudásunk szerint semmi sem lépi át ezt a sebességet). Most sináljuk meg a fenti levezetést x -re is: x = γ(v) (x v t) (3.16) x = γ(v) [γ(v) (x + v t ) v t] (3.17) x = γ 2 (v) x + γ 2 (v) v t γ(v) v t (3.18) x (1 γ 2 (v)) = γ 2 (v) v t γ(v) v t (3.19) ezt rendezzük t-re t = 1 γ(v) v [γ2 (v) v t x (1 γ 2 (v))] (3.20) ( ) 1 γ t = γ(v) t 2 (v) γ(v) [ ( ) 1 γ t = γ(v) t 2 (v) γ 2 (v) x v x v ] (3.21) (3.22) 21

1 felhasználjuk, hogy = 1 ( ) v 2 γ 2 (v) t = γ(v) [ t + (1 (1 t = γ(v) (t + v ) x ( v ) ] 2)) x 2 v (3.23) (3.24) A 3.24-es és 3.7-es egyenletek összefüggést adnak a sajátidők és sajáttávolságok között, amikből már leírható a Lorentz transzformáió. A következő összefüggések az állandó v sebességgel mozgó K koordinátarendszert transzformálják az álló megfigyelő K rendszerébe. Továbbra is x tengely irányába v sebességgel mozogva. x = y = y z = z t = 1 1 ( ) (x + v t ) v 2 1 1 ( ) (t + v v 2 2 x ) Most pedig következzenek a K rendszert a K vonatkoztatási rendszerbe transzformáló egyenletek. x = y = y z = z t = 1 1 ( ) (x v t) v 2 1 1 ( ) (t v v 2 x) 2 A Galilei-transzformáió megengedte, hogy átlépjük a fénysebességet ellentmondva a tapasztalattal, vizsgáljuk meg, hogy mit mond a Lorentz transzformáió arról, hogy 22

ki hogyan látja a sebességet. Tegyük fel, hogy a K rendszer v sebességgel mozog a K rendszerhez képest és a mozgó koordinátarendszerben van egy állandó sebességgel mozgó részeske, valamint kezdetben t = t = 0. Legyen a K-beli megfigyelő szerint ez az állandó sebesség u, illetve u a K -beli megfigyelő szerint. Bontsuk szét (x, y, z)- beli komponensekre először a K rendszerbeli megfigyelő szerint, majd hasonlóan K - re is. Legyen x := x 1 x 2 illetve t := t 1 t 2 a pillanatnyi elmozdulás és idő. Ezeket felhasználva: x kihasználjuk, hogy lim t 0 t x u x = lim t 0 t = 1 ( x 1 ( + v t ) v ) 2 = lim t 0 = lim t 0 1 ( t 1 ( + v x v ) 2 ) = 2 x + v t t + v 2 x = t ( x + v ) t = lim t 0 t (1 ) + v x 2 t = u x u x = u x + v 1 + v 2 u x (3.25) Most sináljuk meg ugyanezt a levezetést u y -ra is. y u y = lim t 0 t = = lim t 0 = lim t 0 y 1 ( t 1 ( + v x v ) 2 ) = 2 1 y t t ) 1 ( v ) 2 (1 + v 2 x 23

Ismét felhasználva, hogy u y = lim t to0 y, azt kapjuk : t u y = u y 1 (1 + 1 ( v u v ) 2 x) 2 (3.26) Végül, hasonlóan a fenti levezetésekhez : u z = u z 1 (1 + 1 ( v u v ) 2 x) 2 (3.27) A fenti összefüggésekből az derül ki, hogy a sebesség is relatív, azaz a két megfigyelő különbözően méri ki. Érdemes itt is észrevenni, amennyiben v 0, akkor: u x = u x + v u y = u y u z = u z Azt látjuk, ha v 0, akkor visszakapjuk a Galilei-féle transzformáiót, amelyben a sebességek összeadódnak, ha fénysebességhez képest elenyésző sebességgel utazunk. Azaz találtunk egy olyan transzformáiót amely teljesíti azt a feltételt, hogy a fénysebesség minden vonatkoztatási rendszerben állandó. Ennek a transzformáiónak a megtalálásához mindössze a Galilei transzformáiót és az előző fejezetben kísérletek útján megszerzett sajáttávolságot és sajátidőt használtuk fel és ezek segítségével találtuk meg a γ transzformáiós függvényünket. A következő fejezetben a fenti transzformáiónál megnézzük, hogy milyen mennyiségek maradnak meg valamint, hogy valóban megmarad-e a fénysebesség. 24

4. fejezet Minkowski Tér-Idő A második fejezetben (gondolatbeli) kísérletek útján bebizonyítottuk, hogy két különböző vonatkoztatási rendszerben az időt máshogy mérjük. Ebben a részben az lenne a élunk, hogy találjunk valamilyen metrikát (később világos lesz), amelyben le tudjuk írni a sajátidők között összefüggést nem sak egyenesvonalú egyenletes mozgás esetén, hanem tetszőleges pálya mentén. Ehhez emlékeztetőül írjunk fel pár ekvivalens összefüggést a sajátidőre: ( t ) 2 = ( t) 2 x2 (4.1) ( 2 ( v ) ) 2 ( t ) 2 = ( t) 2 1 (4.2) Az 4.1-es összefüggés hasznosabbnak fog bizonyulni, ahhoz hogy megtaláljuk a megfelelő metrikát, tehát a későbbiek során inkább erre fogunk hagyatkozni. A vizsgálatunkhoz szükségünk van még a téridő esemény fogalmára. Téridő eseménynek nevezzük azokat a 4 dimenziós vektorokat, melyek a következő alakúak: (x A, y A, z A, t A ), vagyis az A esemény helye és ideje. Legyen (x A, y A, z A, t A ) illetve (x B, y B, z B, t B ) két téridő esemény a koordinátarendszerben és tegyük fel, hogy x A x B, y A y B, z A z B, t A t B. A képen látható koordinátarendszerben az időt másodperben illetve a távolságot fénymásodperben mérjük, azaz 1 egység a vízszintes tengelyen közelítőleg 300.000 km amiket szintén ki fogunk használni. Először határozzuk meg az ábrán látható w vektor hosszát az Euklideszi metrika szerint, ami a következő: 25

4.1. ábra. A és B téridő események 1. Definíió. Legyen x, y R n ekkor: d(x, y) = ( ahol d(x, y) a két vektor távolságát jelöli. Ezt felhasználva a w hossza: n (x i y i ) 2 ) 1 2 i=1 w = d( OA, OB) = (xa x B ) 2 + (y A y B ) 2 + (z A z B ) 2 + (t A t B ) 2 ( x) 2 = (x A x B ) 2 + (y A y B ) 2 + (z A z B ) 2 ( t) 2 = (t A t B ) 2 w 2 = ( x) 2 + ( t) 2 Az lett volna a él, hogy a vektor hossza egyenlő legyen a sajátidőre vonatkozó első képlettel, azaz w 2 = ( t) 2 x2. Ahhoz, hogy ez sikerüljön félre kell dobnunk az 2 Euklideszi metrikát és be kell vezetni egy újat. 26

Vegyük a következő mátrixot: M = 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 ezzel a mátrixal szorozzuk meg w vektort a következőképpen: [ w T M w = x A x B y A y B z A z B t A t B ] 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 x A x B y A y B z A z B t A t B Ez a képlet sugallja a következő definíiót: g M ( v, w) := v T M w, hiszen ekkor g M ( w, w) := w T M w = t 2 x2 2 (4.3) ez a g M bilineáris az alakja miatt és szimmetrikus is, hiszen: g M ( v, w) = ( v T M w) = = ( v T M w) T = = w T M T v = = w T M v = = g M ( w, v) A 4.3-as összefüggés pontosan megegyezik a 4.1-es sajátidők közötti összefüggéssel. Tehát ebben az új metrikában megkaptuk, hogy a vektor hossza éppen a 4.1-es 27

összefüggést eredményezi. Ha x t < 1, akkor g M ( w, w) > 0, ha x t = 1, akkor g M ( w, w) = 0, valamint, ha x t > 1, akkor g M( w, w) < 0. A fenti vektorokat időszerű, fényszerű valamint térszerű vektoroknak nevezzük. Ez alapján fel rajzolható a következő ábra, amit fénykúpnak szoktak nevezni. A 4.2. ábra. Fénykúp g M ( w, w) = 0 azt jelenti, hogy a sajátideje a fénynek 0, azaz, ha fénysebességgel utazunk, akkor nem telik az idő. Ilyen például a (299792(km), 0, 0, 1) vektor. A g M ( w, w) > 0 azt jelenti, hogy a w időszerű, azaz fénysebesség alatt közlekedik, míg a harmadik eset azt jelentené, hogy fénysebesség felett haladunk, ami ugye nem megengedett. Mit mondhatunk egy olyan részeske sajátidejére, amely nem egyenletes sebességgel közlekedik? Tudjuk, hogy nem egyenletesen mozgó test a távolság-idő koordinátarendszerben egy görbét határoz meg. Ezt a görbét jelöljük γ(t)-vel,ahol t [0, 1], azaz egy paraméteres görbe. A γ(t)-re azt mondjuk, hogy időszerű görbe, ha t 0 időpillanatban γ (t 0 ) időszerű vektor (görbe deriváltja t 0 -ban). A görbe ívhossza úgy kapható meg, hogy felbontjuk töröttvonalakká, azaz sok kisi egyenes szakaszra (infinitezimális szakaszokra) felosztjuk és ezek hosszának összegének limesze tart a görbe ívhosszához. A kis szakaszok egyenletes mozgást reprezentálnak, amiknek a hossza az utazások sajátideje, az előbbiek miatt. Ebből az következik, hogy a görbe ívhossza éppen a sajátidőt adja, amit a következő integrállal 28

lehet kiszámítani: 1 gm (γ (t), γ (t)) dt = sajátideje az utazásnak (4.4) 0 Tekintsünk egy kisit vissza az újonnan kapott metrikánkra. Az M mátrix főátlójában azért szerepelnek azok a 1 2 illetve 1 tagok, hogyha megszorozzuk M-et jobbról és balról a w vektorral, akkor pontosan a sajátidők közötti 4.1-es összefüggést kapjuk. Ez azért kényelmes megoldás, mert nem kell normálnunk a Lorentztranszformáiónál a koordináta áttérés vektorát. Ha 1 2 helyett sak 1-et írtunk volna, akkor a következő kifejezés lenne: g M ( w, w) = ( t) 2 x 2 (ami akkor lenne igaz, ha a távolságot fényseundumban mérnénk). Belátható, hogy fursa mód nem teljesül a háromszög-egyenlőtleség. Ahhoz, hogy ezt belássuk először be kell látnunk, hogy Lorentz transzformáió invariáns (távolságtartó) erre az új metrikára. Ehhez újra fel kell idézni, a Lorentz-féle transzformáiót, amit immáron mátrixos alakban fogunk feltüntetni. x y z t γ 0 0 γ v x 0 1 0 0 y = 0 0 1 0 z γ v 0 0 γ t 2 x y = z t γ 0 0 γ v 0 1 0 0 0 0 1 0 γ v 2 0 0 γ A fenti két mátrixokkal megadott egyenletrendszer pontosan a Lorentz transzformáiós képeleteket írja le. Ezeket felhasználva lássuk be, hogy a fenti metrika távolságtartó. Nézzük meg a vessző nélküli rendszerre, azaz a fenti mátrixal reprezentált második egyenletrendszer baloldalán lévő oszlopvektor hossza egyenlő kell hogy legyen az első egyenlet- x y z t 29

x rendszer jobb oldalán lévő mátrix szorzásból származó vektor hosszával. y k := z és l := t γ 0 0 γ v x 0 1 0 0 y. Először vegyük a k vektor hosszát az új 0 0 1 0 z γ v 0 0 γ 2 metrikánkban. Azaz: t g M ( k, k) = k T M k = t 2 ( x2 + y 2 + z 2 2 ) Kéne, hogy l hossza megegyezzen t 2 ( x2 +y 2 +z 2 2 ) kifejezéssel (megj.: h := y2 +z 2 2 ), vagyis: g M ( l, l) = l T M l = = h + γ2 x 2 + 2 γ 2 x v t γ 2 v 2 t 2 2 = h + γ2 x 2 γ 2 v 2 t 2 = h + γ 2 + γ 2 t 2 + γ 2 v2 4 x2 = ) v2 t 2 + t 2 + v2 2 2 4 x2 = ) )] (1 v2 + t 2 (1 v2 = ( 2 x2 = h + γ 2 [ x2 2 = t 2 x2 + y 2 + z 2 2 2 2 + γ 2 t 2 2 γ 2 t v 2 x + γ2 v2 4 x2 = Az eredményhez azt használtuk ki, hogy γ 2 = 1 1 v2 2, amivel a végén leosztva megkaptuk, hogy erre a különös metrikára a Lorentz- féle transzformáió megtartja a hosszt, azaz invariáns a transzformáióra. Sőt nem sak a hosszt tartja meg, hanem a belső szorzatot is az alábbi algebrai 30

trükk miatt. Eddig azt kaptuk, hogy g M ( w, w) = g M ( w, w ), ahol g M ( w, w ) a mozgó megfigyelő K koordinátarendszeré-ben a metrika szerinti belső szorzat, azaz M = M. Nézzük meg, hogy tetszőleges vektorokra mit kapunk. Legyen w 1, w 2 R 4. Ekkor g M ( w 1 + w 2, w 1 + w 2 ) = g M ( w 1 + w 2, w 1 + w 2) a fentiek miatt. Bontsuk ki mindkét oldalt: g M ( w 1 + w 2, w 1 + w 2 ) = g M ( w 1, w 1 ) + g M ( w 2, w 2 ) + 2 g M ( w 1, w 2 ) g M ( w 1 + w 2, w 1 + w 2) = g M ( w 1, w 1) + g M ( w 2, w 2) + 2 g M ( w 1, w 2) Azt látjuk, hogy g M ( w 1, w 2 ) = g M ( w 1, w 2) vagyis a vegyes tagokra is invariáns a transzformáió. Végül nézzük meg, hogy miért nem teljesül a háromszög egyenlőtlenség. Ehhez tekintsük a következő példát. A K rendszerbeli megfigyelőnk üljön az origóban ami az A = (0, 0, 0, 0) tér-idő eseményt jelenti és helyzetét nem változtatva mérje az időt a t B időpontig, formálisan B = (0, 0, 0, t B ). Ez idő alatt a mozgó megfigyelő haladjon egyenletes sebességgel A-ból C-be, majd C-ből B-be. A 4.3-as ábrán látható, hogy azt kéne megvizsgálni, hogy az AB hosszabb mint AC + CA, ahhoz, hogy a háromszögegyenlőtlenség ne teljesüljön. Ennek belátásához 4.3. ábra. AB AC + CA vegyük a 4.3-as képletet, azaz: g M ( w, w) = t 2 x2. Az előző fejezetek alapján már 2 tudjuk, hogy a mozgó rendszerben lévő megfigyelőnek a sajátideje kevesebb, mint az álló megfigyelőnek, továbbá mivel ez az új metrika a vektor hosszával jellemzi a 31

sajátidőt (g M ) ezért pont azt kapjuk, hogy: AB AC + CA. Összefoglalva azt kaptuk, hogy vektor hosszával tudjuk reprezentálni a sajátidőket, amihez sak annyit kellett felhasználnunk, hogy: ( t ) 2 = ( t) 2 x2, ebből 2 a feltevésből levezettük az új metrikánkat, aminek a neve Minkowski-metrika. Láttuk, hogy nem teljesül a háromszög egyenlőtlenség illetve, hogy nem egyenesvonalú egyneletes mozgást végző test sajátideje a görbe infinitezimális szakaszokra bontott vektorok hosszának összege, aminek eredményét egy integrál szolgáltatja. A háromszög egyenlőtlenséghez hasonlóan belátható, hogy két pont között nem az egyenes a legrövidebb távolság, mint ahogyan azt megszoktuk az Euklideszi metrikában, mivel itt a hossz az sajátidőt fejez ki és láttuk, hogy mozgó testnek lassabban telik az idő. A következő fejezetben látni fogjuk a méltán híres E = m 2 képlet levezetését, amihez supán két feltétel szükséges (a mi speiális esetünkben, azaz, hogy sak x tengely mentén mozgunk). 32

5. fejezet A tömeg és az energia ekvivalenia Albert Einstein által 1905-ben publikált képlet azt mondja ki, hogy egy test nyugalmi energiája megegyezik a tömegének és a fénysebesség négyzetének szorzatával, azaz: E = m 2. Megmutatjuk, hogyan lehet levezetni a fenti képletet kihasználva a Lorentz-féle transzformáiót valamint a mozgási energiát illetve az impulzus megmaradás törvényét. Valamint engedjük meg, hogy egy test tömegét a megfigyelők különbözően mérik ki, hasonlóan, ahogyan az időt és hosszúságot is máshogyan méri a két megfigyelő. 5.1. Előkészületek Először vezessünk be a mozgási energiát illetve az impulzust, amiket nem vezetünk le sak felhasználunk. I. Mozgási energia: E = 1 m 2 v2 II. Impulzus: I = m v Valamint szükségünk lesz a Lorentz transzformáiónál levezetett sebességre vonatkozó transzformáióra, vagyis ki hogyan látta a sebességet (K illetve K rendszerbeli megfigyelők). Mivel megint azt a speiális esetet nézzük, amikor a K rendszer v állandó sebességgel halad x tengely irányába ezért az y illetve z tengely irányába nem történik sebességváltozás. 33

Vagyis: (Lorentz transzformáiónál már levezettük) u x = u x + v 1 + v 2 u x (5.1) 5.2. Kísérlet Vegyünk egy bombát -a K rendszerben amely állandó u sebességgel halad x tengely irányába K rendszerhez képest-, melynek tömege M 0 és amely valamilyen erő hatására két részre bomlik. Tegyük fel, hogy a két rész tömege megegyezik, ami legyen m u és a két rész a robbanás után ellentétes irányba halad ugyanakkora sebességgel, ami megegyezik a rendszer sebességével ( v 1 = v 2 = u). A K rendszerbeli megfigye- 5.1. ábra. A K rendszerben a robbanás előtt és után lő máshogyan látja a sebességeket, amire alkalmazzuk az 5.1-es összefüggést. Mivel 5.2. ábra. A K rendszerben a robbanás előtt után a K rendszer sebessége a K rendszerhez képest éppen megegyezik a benne utazó m 0 tömegű részeske sebességével, valamint v 3 = u ezért: v 3 = v 3 + u 1 + u 2 v 3 = 2 u 1 + u2 2 (5.2) Az ábrákon látszik, hogy a robbanás előtti tömeg különböző a két rendszerben, viszont ezt a fejezet elején feltettük, hogy a tömeg is transzformálódik az idő és hosszúsághoz hasonlóan. Tegyük fel a következőket: I. A teljes tömeg megmarad, azaz: m v + m 0 = M u II. Az impulzus is konzerválódik, tehát: m v v 3 + m 0 0 = M u u 34

Ebből a két egyenletből álló egyenletrendszerből azt kapjuk, hogy: Itt felhasználtuk, hogy v 3 = 2 u 1+ u2 2 Melyekből azt kapjuk, hogy: m v + m 0 = M u = m v v3 u = m v ( ) 2 m 0 = m v 1 1 + u2 ( 2 ) 2 1 u 2 = m v 1 + u2 2 2 2 1 + u2 2 (5.3) (5.4) = m v 1 u2 2 1 + u2 2 (5.5) Ezzel az a probléma, hogy a jobb odlalon van u és v is, az egyik a K -beli megfigyelőhoz tartozik a másik pedig a K- beli megfigyelőhöz vagy a K rendszeren belül az egyik a robbanás előtti v 2 = u sebessége a bombának, a másik a robbanás utáni tömege az egyik részeskének, azaz vagy rendszerek keverednek vagy az előtte-utána mennyiségek, ezért szeretnénk, sak a K rendszer robbanás utáni mennyiségeivel kifejezni a jobb oldalt. Mivel a baloldalt álló m 0 a K rendszerbeli megfigyelőhöz tartozik, ezért meg kellene szabadulnunk u-tól. Ehhez használjuk fel a Lorentz transzformáiónál levezetett γ 1 függvényünket. Eml.: γ = 1 ( v 3 ) 2 1 γ = 1 v2 4 u2 3 2 = 1 2 2 (1 + u2 ) = (5.6) 2 2 = 1 + 2 u2 2 = + u4 4 u2 4 2 = (5.7) (1 + u2 ) 2 2 u2 (1 ) 2 2 (5.8) (1 + u2 ) 2 2 Az 5.8-as egyenlet pontosan az 5.5-ös egyenletben az m v szorzójának a négyzete. Tehát kiküszöböltük ezzel az egyszerű fogással azt, hogy az 5.5-ös egyenlet ne függjön 35

u-tól, azaz: m v = m 0 = γ m 0 (5.9) 1 v2 3 2 Az 5.9-es összefüggés azt jelenti, hogy a nyugalmi tömeg kisebb, ha a sebesség összemérhető a fénysebességgel azaz v 3 1. Ez pontosan az amit a fejezet elején feltettünk, hogy hasonlóan az időhöz és a távolsághoz, a tömeg is transzformálódik. A fenti m 0 -át a szakirodalomban relativisztikus vagy nyugalmi tömegnek nevezik. Mi történik a γ m 0 szorzattal, ha v 3 0?(azaz a sebesség elenyésző -hez képest). Ha ez a hányados 0-hoz tart, akkor az 5.9-es összefüggésből látszik, hogy m v = m 0, hasonlóan a sajátidő és sajáttávolsághoz. A megfelelő eredmény érdekében vegyük a γ m 0 szorzat Taylor-sorát. Fejtsük sorba 1 a 0 körül -et úgy, hogy t := 1 ( ( ) v 3 2. Az általános Taylor-sor összegfüggvénye: v 3 ) 2 T (t) = f (n) (0) n=0 t n. n! Ezt felhasználva szükségünk lesz az f(t) = 1 1 t függvény néhány deriváltjára, hogy megsejtsük az f (n) (t) általános elemet. f (1) (t) = 1 2 (1 t) 3 2 f (2) (t) = 1 3 2 2 f (3) (t) = 1 3 5 2 2 2 5 (1 t) 2 7 (1 t) 2 A fenti deriváltak alapján a következőt kapjuk az általános elemre: f (n) (t) = n k=1 (2 k 1) (1 t) 2 n+1 2 n 2 A fenti elemet kell a 0-ban venni, azaz: f (n) (0) = n k=1 (2 k 1) 2 n A Taylor sor felírásához meg kell nézni, hogy hol konvergens. Annak kell teljesülnie, hogy t < 1, viszont ez teljesül, mivel t = v 3 < 1. Melyből már fel tudjuk írni f(t) 36

Taylor-sorát, de emlékezzünk, hogy t = ( v 3 ) 2, vagyis: 1 1 ( v 3 ) 2 m 0 = n=0 Az 5.10-es sornak írjuk fel az első pár elemét. n k=1 (2 k 1) 2 n n! ( ) v 2n 3 m 0 (5.10) 2n γ m 0 = m 0 + 1 2 m 0 v2 3 + 3 2 8 m 0 v4 3 +... (5.11) 4 Az első tag a nyugalmi tömeg a második pedig a mozgási energia, amelyet a fejezet elején leírtunk, viszont itt osztva van 2 -tel. Ha felszorozzuk az 5.11-es sort 2 -tel, akkor a következőt kapjuk: γ m 0 2 = m 0 2 + 1 2 m 0 v3 2 + 3 8 m 0 v4 3 +... (5.12) 2 Azt látjuk, hogy megjelent a sor első tagjaként az m 0 2, amit nyugalmi energiának hívunk a sor második tagja pedig pontosan a mozgási energia, viszont a harmadik tagtól a sor összege közel 0 mivel a v 3 hányadosok 0-hoz tartanak, ha v 3 kisi. Mivel az 5.12-es sorfejtésben energiák összegge szerepel, ezért maga az összeg is energia, azaz: E = m 0 2 (5.13) Amit úgy kapunk, ha v 3 = 0, mivel ilyenkor az első tag kivételével eltűnik a sor többi tagja, valamint γ = 1 ebben az esetben. Az 5.13-as összefüggés azt mondja meg, hogy egy testnek akkor is van energiája, amikor nem végez mozgást, amit nyugalmi energiának nevezünk. A fejezet elején leírt előkészületek alapján valamint egy megfelelő kísérletből le tudtuk vezetni Albert Einstein híres képletét (egy speiális esetre láttuk), amit abban az időben rajta kívül nem sokan értettek, mivel akkoriban nehezebben érthető eszközök áltak rendelkezésére, hogy fel tudja írni az 5.13-as képletet. Valamint ne feledjük, hogy mi az összes fejezetben azt a speiális esetet vettük, hogy a K -beli mozgó megfigyelő az x tengely irányába haladt állandó nagyságú sebességgel K megfigyelőhöz képest. 37

6. fejezet Összefoglalás A klasszikus fizikából kiindulva vagyis, hogy a sebességek összeadódnak illetve kivonódnak egymásból attól függően, hogy mihez képest mozognak a testek (Galilei-féle transzformáió) eljutottunk oda,-azt a tényt kihasználva, hogy a fénysebességet semmi sem lépheti át-, hogy a közel fénysebességgel utazó (egy K rendszerben ami állandó v sebességgel mozog K-hoz képest) különbözően méri azi időt illetve hosszúságot egy hozzá képest álló megfigyelőhöz képest, amelyeket a Lorentz transzformáió foglal össze. A továbbiakban bevezetésre került egy új metrika, amelyben könnyebben kezelhetővé vált a sajátidőre vonatkozó képlet (melyet a vektor hosszával reprezentáltunk) valamint összefüggést adott nem sak egyenesvonalú mozgásokra is (görbe ívhossza, amit egy integrállal kapunk). A szakdolgozat végén pedig a Lorentz transzformáiót illetve néhány energiamegmaradási törvényt felhasználva megkaptuk a nyugalmi energiát (egy speiális megfigyelés esetén), vagyis az E = m 2 képletet. 38

Irodalomjegyzék [1] Philip Harris, Speial Relativity, University of Sussex, https://web.stanford.edu/ ~oas/si/srgr/notes/srharris.pdf [2] Lambert E. Murray, Department of Physial Siene Harding University, Seary, 2012, http://www.harding.edu/lmurray/modern_files/speial_relativity.pdf [3] S.S. Komissarov, Speial relativity, University of Leeds, 2012, https://www1. maths.leeds.a.uk/~serguei/teahing/gr.pdf [4] Jaques Bros, Servie de Physique Théorique, C.E. Salay, 91191 Gif-sur-Yvette, Frane, http://bourbaphy.fr/bros.pdf [5] Newton törvények,https://hu.wikipedia.org/wiki/newton_t%c3%b6rv%c3% A9nyei [6] Müonok, https://hu.wikipedia.org/wiki/m%c3%bcon [7] Fénysebesség, https://hu.wikipedia.org/wiki/f%c3%a9nysebess%c3%a9g 39