Minőségjavító kísérlettervezés TAGUCHI ÉS SHAININ 1 Taguchi módszere a minőség kísérletes javítására 1. példa Ina Tile: sok a selejt a kemence különböző pontjain a hőmérséklet nem azonos A kemence áttervezése és átépítése helyett a csempe-massza receptúráját változtatták meg úgy, hogy az ne legyen annyira érzékeny az égetés hőmérsékletére. csempe
x 4 = x 1 x x 5 = x 1 x 3 x 6 = x x 3 x 7 =x 1 x x 3 7 4 terv (régi szint a szürke): faktor -1 +1 A agalmatolit típusa jelenlegi olcsóbb B az adalék szemcsézettsége durva finom C mészkő mennyisége 5% 1% D selejt-visszaforgatás 0% 4% E betöltött mennyiség 1300 kg 100 kg F agalmatolit mennyisége 43% 53% G földpát mennyisége 0% 5% (az agalmatolit drága) 3 A B C D E F G selejt % 1 1 1 1 1 1 1 1 16.0 +1 1 1 +1 +1 1 +1 17.0 3 1 +1 1 +1 1 +1 +1 4 +1 +1 1 1 +1 +1 1 6.0 5 1 1 +1 1 +1 +1 +1 6.0 6 +1 1 +1 +1 1 +1 1 68.0 7 1 +1 +1 +1 +1 1 1 4.0 8 +1 +1 +1 1 1 1 +1 6.0 4
hatás b sorrend választandó átlag/tengelymetszet 4.15 4.15 A agalmatolit típusa 10.50 5.15 V 1 (jelenlegi) B adalék -5.50 -.65 VI +1 (finom) szemcsézettsége C mészkő mennyisége.750 11.375 I 1 (5%) D selejt-visszaforgatás 1.50 10.65 II 1 (0%) E betöltött mennyiség -1.750-6.375 IV +1 (100 kg) F agalmatolit -.50-1.15 VII +1 (53%) mennyisége G földpát mennyisége -17.750-8.875 III +1 (5%) Nem az okot, hanem a következményt enyhítették 5 b Választott szint (x i ) b*x i átlag/tengelymetszet 4.15 A agalmatolit típusa 5.15 1 5.15 B adalék szemcsézettsége.65 1.65 C mészkő mennyisége 11.375 1 11.375 D selejt-visszaforgatás 10.65 1 10.65 E betöltött mennyiség 6.375 1 6.375 F agalmatolit mennyisége 1.15 1 1.15 G földpát mennyisége 8.875 1 8.875 becsült 19.75 Meglepő! Nem normális (hanem binomiális) eloszlás szerinti ingadozás, σ nem konstans! ( p) k p 1 Var = n n y = arcsin p 6
1 3 4 5 6 7 8 1 AGALM_TY GRANUL_A 3 LIME_ADD 4 WASTE_RE 5 CHARGE 6 AGALM_CO 7 FELDSPAR 8 DEF_NO 9 TRAF_DEF -1-1 -1-1 -1-1 -1 16 6. 1-1 -1 1 1-1 1 17 7.1-1 1-1 1-1 1 1 1.5 1 1-1 -1 1 1-1 6 15.8-1 -1 1-1 1 1 1 6 15.8 1-1 1 1-1 1-1 68 61.7-1 1 1 1 1-1 -1 4 44.9 1 1 1-1 -1-1 1 6 34.1 TRAF_DEF=ArcSin(Sqrt(v8/100))*00/Pi 7 y = arcsin p (grad: 100 a derékszög) hatás b választott szint (x i ) b*x i átlag/tengelymetszet 30.975 30.975 A agalmatolit típusa 7.300 3.650-1 -3.650 B adalék szemcsézettsége -3.350-1.675 1-1.675 C mészkő mennyisége 16.50 8.15-1 -8.15 D selejt-visszaforgatás 16.100 8.050-1 -8.050 E betöltött mennyiség -10.300-5.150 1-5.150 F agalmatolit mennyisége -4.150 -.075-1.075 G földpát mennyisége -1.300-6.150 1-6.150 becsült 0.50 Visszatranszformálva:. 10-3 % a becsült selejtarány. 8
Taguchi tranzisztor-példája: a tranzisztor teljesítmény-tényezője függvényében az áramkör kimenő feszültsége: A kimenő feszültség előírt értéke 115V Nem az okot szüntettük meg, hanem a következményét csökkentettük 9 A Taguchi-féle minőség-fogalom és a négyzetes veszteségfüggvény hagyományos veszteség Taguchi veszteség T tûrési tartomány minõségi jellemzõ T minõségi jellemzõ L( y) = k ( y -T ) 10
y a kérdéses minőségi jellemző, T az előírt értéke (target), a veszteségfüggvény Taylor-polinommal közelíthető: L( y) = L( T ) + L' ( T )( y T ) + L''( T ) L( T ) = L' ( T ) = 0 ( y T )! + a másodfokúnál magasabb tagokat elhagyjuk L( y) = k( y T ) A k együttható meghatározásához egyetlen összetartozó L-y értékpár elegendő 11. példa A televízió-készülékek tápegységének előírt kimenő feszültsége 115 V. Amennyiben az eltérés 10 V, a vevő a szervízhez fordul, a javítás költsége ekkor 100 $. Határozzuk meg a veszteség-függvény k tényezőjének értékét! 100$ = k 10 és k= $/V. 3. példa Milyen eltérést szabad a gyártónak az üzemben megengednie, ha a helyi javítási (pótlási) költség 10 $? = V tolerance design 1
A minőségi jellemző a termék-sokaságra valószínűségi változó. A veszteség-függvény értéke is valószínűségi változó. Várható értéke: [( y - T ) ] = k { E[ ( y - µ ) ] + ( µ -T ) } = k[ σ + ( -T ) ] E [ L( y)] = k E µ közepes négyzetes hiba (mean square error) A veszteség-függvény várható értéke tehát annál nagyobb, minél nagyobb az ingadozás és minél nagyobb az átlagnak az előírt értéktől való eltérése. Számolni lehet vele! 13 Egyenletes és normális eloszlás szerint ingadozó minőségi jellemző megfelelő jó kiváló jó megfelelő 14
68% *14%=8% *%=4% elf jó kiváló jó elf A veszteség-függvény várható értékének becslése n adatból álló mintára (átlagos veszteség): k n 1 L( y) = i T n i n ( y T ) = k s + ( y ) 15 Faktorok a minőségjavító kísérlettervezésnél Két fő csoport kézbentartható faktorok (pl. a csempe összetétele ill. a sablon mérete) zaj-faktorok: az adott technológiai megvalósításnál nem állíthatók be (pl. a kemence különböző részeinek hőmérséklete) 16
17 A zaj-típusok: külső zaj: terméknél különböző használati körülmények, környezeti feltételek, gyártásnál is a környezeti feltételek változása; belső zaj: terméknél időbeli vagy a használat során bekövetkező változások, gyártásnál a berendezés kopása, elállítódása; egyedenkénti különbség: az egy időben, azonos körülmények között gyártott termék-példányok minőségi jellemzőjének ingadozása. 18
A cél különböző környezeti feltételek között jól működő, a használat során kevéssé romló, egyedenként kevéssé ingadozó minőségű termék ill. gyártás kialakítása 19 Mely faktorok hatnak a szórásra az átlagra mindkettőre egyikre sem. A felderítés módszere a jól tervezett kísérletsorozat. 0
b a - + - + c d - + - + 1 A zaj az ismétlések szórásában tükröződik 4. példa Egy gépkocsi-ipari beszállítónál furatba préselnek egy tengelyt, a cél a kiszakítási nyomaték előírt minimális értékének elérése. jel faktor neve 1. szintje. szintje A ragasztó típusa Permabond A11 Loctite 63 B ragasztó tömege 0.064 g 0.04 g C tengely-tisztítás ahogy szállítják tisztítva D ház-tisztítás ahogy szállítják tisztítva E bepréselési nyomás 40 NM 45 NM F állási idő 4 h 1 h G ragasztó alkalmazási módja rácsöppentve körülkenve
Minden beállítást 10-szer valósítanak meg (milyen ismétlés a jó?). A mérési eredmények: kiszakítási nyomaték, Nm A B C D E F G y átlag szórás 1 1 1 1 1 1 1 1 50 44 54 5 58 54 5 46 46 50 50.6 4.33 1 1 1 50 4 44 48 40 46 5 50 4 4 45.6 4.0 3 1 1 1 40 40 5 44 50 34 48 60 54 48 47.0 7.67 4 1 1 1 40 8 5 50 38 46 38 36 34 30 39. 8.01 5 1 1 1 4 40 46 40 44 40 40 40 36 4 4.71 6 1 1 1 40 36 30 3 30 38 30 40 30 38 34.4 4.40 7 1 1 1 36 34 36 34 38 34 38 36 30 38 35.4.50 8 1 1 1 30 34 4 34 30 30 3 3 30 30 30.6.84 átlag=mean(v8:v17) szórás=stdev(v8:v17) 3 A faktorok hatása az átlagra (logaritmált adatok) 3.85 Average Eta by Factor Levels Mean=3.68099 Sigma=.17436 MS Error= --- df=0 3.80 3.75 User-defined S/N Ratio 3.70 3.65 3.60 3.55 3.50 1 1 1 1 1 1 1 A B C D E F G 4
A zajt terv szerint generáljuk (szorzat-terv) 5. példa (Box és Jones, Journal of Applied Statistics, 19 3-5, 199) A süteményporok felhasználásánál problémát okoz, hogy a háziasszonyok nem tartják be pontosan az előírt sütő-hőmérsékletet és sütési időt. A feladat olyan süteménypor-összetétel kidolgozása, amely ilyen szempontból robusztus. Kézbentartható faktorok: a tojáspor mennyisége, a liszt mennyisége és a zsiradék mennyisége; zaj-faktorok: a sütés hőmérséklete és időtartama. A függő változó: a sütemény élvezeti értéke 1-7 skálán. 5 A terv és az eredmények: idő + + hőm. + + átlag szórás liszt zsír tojás 1 1.3 1.6 1. 3.1 1.800 0.883 +. 5.5 3. 6.5 4.350 1.991 3 + 1.3 1. 1.5 1.7 1.45 0. 4 + + 3.7 3.5 3.8 4. 3.800 0.94 5 + 1.6 3.5.3 4.4.950 1.45 6 + + 4.1 6.1 4.9 6.3 5.350 38 7 + + 1.9.4.6..75 0.99 8 + + + 5. 5.8 5.5 6.0 5.65 0.350 Az eredményeket átlagra és szórásra dolgozzuk föl (nem igazi szórás, de ). 6
7 átlag -1. 1. liszt 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0-1. 1. zsiradék 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0-1. 1. tojás 1.5.0.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 8 szórás -1. 1. liszt 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1. 1.4-1. 1. zsiradék 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1. 1.4-1. 1. tojás 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1. 1.4
1 3 4 5 6 7 8 1 liszt zsír 3 tojás 4 y11 5 y1 6 y1 7 y 8 átlag 9 szórás -1-1 -1 1.3 1.6 1. 3.1 1.8 0.883 1-1 -1. 5.5 3. 6.5 4.35 1.991-1 1-1 1.3 1. 1.5 1.7 1.45 0. 1 1-1 3.7 3.5 3.8 4. 3.8 0.94-1 -1 1 1.6 3.5.3 4.4.95 1.45 1-1 1 4.1 6.1 4.9 6.3 5.35 38-1 1 1 1.9.4.6..75 0.99 1 1 1 5. 5.8 5.5 6 5.65 0.350 9 Factor Mean/Interc. (1)liszt ()zsír (3)tojás 1 by 1 by 3 by 3 Effect Estimates; Var.:átlag; R-sqr=.99108; Adj:.93753 (Torta_m_sdj) **(3-0) design; MS Residual=.158031 DV: átlag Effect Std.Err. t(1) p Coeff. 3.446875 0.14065 4.51111 0.05958 3.446875.668750 0.8150 9.48889 0.066844 1.334375-0.33150 0.8150-1.17778 0.448146-0.16565 650 0.8150 4.8889 0.14589 0.60315 0.193750 0.8150 0.68889 0.61597 0.096875 0.0650 0.8150 0.73333 0.597180 0.10315 DV: átlag 0.13150 0.8150 0.46667 0.7035 3.0 0.06565 Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5.0 1.5 0.5 1by3 1by ()zsír (3)tojás (1)liszt by3.05 0.0-0.5 0.0 0.5 1.5.0.5 3.0 - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values).99.95.85.75.65.45.5 30
3.0 DV: szórás Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5.0 1.5 0.5 1by by3 (1)liszt 1by3 ()zsír (3)tojás.05 0.0 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.1 - Interactions - Main effects and other effects Effect Estimates; Var.:szórás; R-sqr=.9315; Adj:.4608 (Torta_m_sdj) Effects (Absolute Values) **(3-0) design; MS Residual=.0919 DV: szórás Effect Std.Err. t(1) p Coeff. Factor Mean/Interc. 0.790167 0.161717 4.88611 0.18517 0.790167 (1)liszt 0.56080 0.33434 0.79175 0.573661 0.18040 ()zsír -0.997967 0.33434-3.08553 0.19954-0.498984 (3)tojás -0.11473 0.33434-0.35470 0.783003-0.05736 1 by -0.194056 0.33434-0.59999 0.655965-0.09708 1 by 3-0.334066 0.33434-387 0.489706-0.167033 by 3 0.180963 0.33434 0.55951 0.67553 0.09048 31.99.95.85.75.65.45.5 Vegyük észre, hogy a szorzat-terv fölfogható egyetlen 5 tervként is! liszt zsír tojás ido hom y 1-1 -1-1 -1-1 1.3 1-1 -1-1 -1. 3-1 1-1 -1-1 1.3 4 1 1-1 -1-1 3.7 5-1 -1 1-1 -1 1.6 6 1-1 1-1 -1 4.1 7-1 1 1-1 -1 1.9 8 1 1 1-1 -1 5. 9-1 -1-1 1-1 1.6 10 1-1 -1 1-1 5.5 11-1 1-1 1-1 1. 1 1 1-1 1-1 3.5 13-1 -1 1 1-1 3.5 14 1-1 1 1-1 6.1 15-1 1 1 1-1.4 16 1 1 1 1-1 5.8 liszt zsír tojás ido hom y 17-1 -1-1 -1 1 1. 18 1-1 -1-1 1 3. 19-1 1-1 -1 1 1.5 0 1 1-1 -1 1 3.8 1-1 -1 1-1 1.3 1-1 1-1 1 4.9 3-1 1 1-1 1.6 4 1 1 1-1 1 5.5 5-1 -1-1 1 1 3.1 6 1-1 -1 1 1 6.5 7-1 1-1 1 1 1.7 8 1 1-1 1 1 4. 9-1 -1 1 1 1 4.4 30 1-1 1 1 1 6.3 31-1 1 1 1 1. 3 1 1 1 1 1 6.0 3
Factor Mean/Interc. (1)liszt ()zsír (3)tojás (4)idõ (5)hõmérséklet 1 by 1 by 3 1 by 4 1 by 5 by 3 by 4 by 5 3 by 4 3 by 5 4 by 5 Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.96011; Adj:.97 (Torta_full5j) **(5-0) design; MS Residual=.345313 DV: y Effect p Coeff. 3.446875 0.000000 3.446875.668750 0.000000 1.334375-0.33150 0.070917-0.16565 650 0.000003 0.60315 1.10650 0.000008 0.55315 0.53150 0.006841 0.6565 0.193750 0.74486 0.096875 0.0650 0.45879 0.10315 0.30650 0.0963 0.15315 0.00650 0.971333 0.00315 0.13150 0.454508 0.06565-0.918750 0.000063-0.459375-0.18750 0.1960-0.109375-0.03150 0.85747-0.01565-0.08150 0.641531-0.04065 0.068750 0.693343 0.034375 zsír-idő kölcsönhatás a zsír befolyása az ingadozás mértékére Y ˆ = b + b x + b x K+ b x + c z + c z + d 0 1 1 Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot) 3 3 3.0.5.0 1.5 (3)tojás (4)idõ (1)liszt by4 (5)hõmérséklet.75 ()zsír.65 1by4 by5 0.5 1by3.45 1by by3 3by5 4by5.5 3by4 0.0 1by5.05-0.5 0.0 0.5 1.5.0.5 3.0 4 4 5 5 - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values) x z 4 4.99.95.85 33 Pareto Chart of the Standardized Effects (response is y, α = 0.05) Term A C D BD E B AD BE AC AB BC CE DE CD AE.1 Factor Name A liszt B zsír C tojás D idő E hőmérséklet 0 4 6 8 10 Standardized Effect 1 14 16 Kísérlettervezés 34
b -0.166 b4 0.553 b4-0.459 Az idő változásának következménye Var ( Yˆ ) = c σ + ( c + d x ) σ = 5 z5 4 4 z4 (x) zsír (x4) ido bx b4x4 b4xx4 Y része - - 0.166-0.553-0.459-0.846.04 - + 0.166 0.553 0.459 1.178 + - -0.166-0.553 0.459-0.60 0.188 + + -0.166 0.553-0.459-0.07 Lehetne 5 helyett 5-1 tervet is használni! 35 Y ˆ = b + b x + b x K+ b x + c z + c z + d 0 1 1 3 3 4 4 5 5 x z 4 4 Hatás p koeff. Konstans 3.446875 0.000000 3.446875 (1)liszt.668750 0.000000 1.334375 ()zsír -0.33150 0.070917-0.16565 (3)tojás 650 0.000003 0.60315 (4)idõ 1.10650 0.000008 0.55315 (5)hõmérséklet 0.53150 0.006841 0.6565 1 by 0.193750 0.74486 0.096875 1 by 3 0.0650 0.45879 0.10315 1 by 4 0.30650 0.0963 0.15315 1 by 5 0.00650 0.971333 0.00315 by 3 0.13150 0.454508 0.06565 by 4-0.918750 0.000063-0.459375 by 5-0.18750 0.1960-0.109375 3 by 4-0.03150 0.85747-0.01565 3 by 5-0.08150 0.641531-0.04065 4 by 5 0.068750 0.693343 0.034375 Var = ˆ ( ˆ Y Y ) = σ Var j z j ( Yˆ ) = ( c + d x ) σ + c σ = z j 4 4 z4 5 z5 (.5531 0.4594 x ) σ + 0. σ 0 z 656 4 z5 A minimum x =1-nél van (több zsír), hajszálnyival 1 fölött, de nem biztos, hogy érvényes az extrapoláció. 36
6. példa Y. Wu, A. Wu: Taguchi methods for robust design (ASME Press, 000), p. 169 Aranyozás Cél: a bevonat vastagsága legyen legalább 50 µm, minél kisebb ingadozással 37 Faktorok és szintjeik 1 3 A Gold concentration 0.7-0.75 1.1-1.15 B Current density.0 1.5 C Temperature 95 105 115 D Barrel speed 10 15 0 E Anode size 1/4 1/ 1/1 F Load size 1/4 1/3 1/ G ph 4. 4.3 4.4 H Nickel concentration 600 650 700 N Location off-center center mindkét helyzetből két minta 38
A terv és az eredmények A B C D E F G H N 1 N 1 1 1 1 1 1 1 1 1 83 88 90 91 1 1 73 73 83 81 3 1 1 3 3 3 3 3 3 57 58 65 69 4 1 1 1 3 3 55 59 61 67 5 1 3 3 1 1 73 75 76 79 6 1 3 3 1 1 58 60 68 7 7 1 3 1 1 3 3 44 49 55 58 8 1 3 3 1 3 1 50 54 57 64 9 1 3 3 1 3 1 64 65 66 68 10 1 1 3 3 1 74 79 86 94 11 1 1 1 3 3 75 78 90 94 1 1 3 1 1 3 70 76 5 88 13 1 3 1 3 71 80 87 95 14 3 1 1 3 48 56 59 65 15 3 1 3 1 66 67 79 86 16 3 1 3 3 1 45 53 58 64 17 3 1 3 1 3 60 67 66 73 18 3 3 1 3 1 57 65 79 83 39 A B C D E F G H y 1 y y 3 y 4 s s 1 s s inner y 1 y y s y N 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 83 88 90 91 3.56 3.536 0.707.550 85.5 90.5 88.00 3.536 1 1 73 73 83 81 5.6 0.000 1.414 00 73.0 8.0 77.50 6.364 3 1 1 3 3 3 3 3 3 57 58 65 69 5.74 0.707.88.06 57.5 67.0 6.5 6.718 4 1 1 1 3 3 55 59 61 67 5.00.88 4.43 3.606 57.0 64.0 60.50 4.950 5 1 3 3 1 1 73 75 76 79.50 1.414.11 1.803 74.0 77.5 75.75.475 6 1 3 3 1 1 58 60 68 7 6.61 1.414.88.36 59.0 70.0 64.50 7.778 7 1 3 1 1 3 3 44 49 55 58 6.4 3.536.11.915 46.5 56.5 51.50 7.071 8 1 3 3 1 3 1 50 54 57 64 5.91.88 4.950 4.031 5.0 60.5 56.5 6.010 9 1 3 3 1 3 1 64 65 66 68 1.71 0.707 1.414 1.118 64.5 67.0 65.75 1.768 10 1 1 3 3 1 74 79 86 94 8.69 3.536 5.657 4.717 76.5 90.0 83.5 9.546 11 1 1 1 3 3 75 78 90 94 9.18.11.88.500 76.5 9.0 84.5 10.960 1 1 3 1 1 3 70 76 5 88 15.00 4.43 5.456 18.48 73.0 70.0 71.50.11 13 1 3 1 3 71 80 87 95 10.1 6.364 5.657 6.01 75.5 9 83.5 10.960 14 3 1 1 3 48 56 59 65 7.07 5.657 4.43 5.000 5.0 6.0 57.00 7.071 15 3 1 3 1 66 67 79 86 9.68 0.707 4.950 3.536 66.5 8.5 74.50 11.314 16 3 1 3 3 1 45 53 58 64 8.04 5.657 4.43 5.000 49.0 6 55.00 8.485 17 3 1 3 1 3 60 67 66 73 5.3 4.950 4.950 4.950 63.5 69.5 66.50 4.43 18 3 3 1 3 1 57 65 79 83 1.11 5.657.88 4.47 6 8 70 14.14 40
Kiértékelés az átlagos vastagságra 78 Average Eta by Factor Levels Mean=69.347 Sigma=11.1659 MS Error=.579 df= (Dashed line indicates ±*Standard Error) 76 74 7 70 avav 68 66 64 6 60 58 A B C D E F G H 41 Kiértékelés a vastagság helyek közötti szórására. Average Eta by Factor Levels Mean=1.79476 Sigma=.60059 MS Error=.16114 df= (Dashed line indicates ±*Standard Error).1.0 1.9 1.8 ln(s_av) 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1. 1.1 A B C D E F G H 4
Kiértékelés a helyeken belüli ingadozásra 1.7 Average Eta by Factor Levels Mean=318 Sigma=.666917 MS Error=.158 df= (Dashed line indicates ±*Standard Error) 1.6 1.5 1.4 1.3 ln(s_inner) 1. 1.1 0.9 0.8 0.7 0.6 A B C D E F G H 43 az átlagos vastagságra: A, B, D, E, F, H B, D, E a vastagság helyek közötti szórására: G a helyeken belüli ingadozásra: A, F, H 44
az átlagos vastagságra: a vastagság helyek közötti szórására: a helyeken belüli ingadozásra: Kísérlettervezés 45 A minőségjavító kísérlettervezés célfüggvényei Névleges a legjobb [ ] [ σ µ ] E [ L( y)] = k E ( y - T ) = k + ( - T ) = min Ha a variancia nem függ a várható értéktől, azt kell először minimalizálni, majd a várható értéket szerint optimálisan beállítani. 46
Ha σ~µ, a variancia helyett a σ/µ arányt kell minimalizálni. Reciproka a µ/σ ún. jel/zaj viszony (signal/noise: SN), illetve annak logaritmusa (ún. decibel skála) s y SN = 10lg = 10lg y s 47 Minél kisebb, annál jobb (Smaller the better) eset [ ] [ σ µ ] E [ L( y)] = k E ( y - T ) = k + ( - T ) = min itt T=0 [ ] { [ µ ] µ } [ σ µ ] E [ L( y)] = k E y = k E ( y - ) + = k + k L y y k n 1 ( ) = n n s y i = + Taguchi: i SN S = 10lg n 1 yi i = max 48
7. példa G. Taguchi: Introduction to quality engineering Asian Productivity Organization, 1986, p. 17 Szivattyú kopásának optimalizálása Taguchi_p17.sta Kézbentartható faktorok: A-E szinten Zaj-faktor: a tengely 8 pontja y: kopás [µm] Standard Design: **(3-0) design (Spreadsheet1) Run A B C D E R1 R R3 R4 R5 R6 R7 R8 mean sd lnsd 1-1 -1-1 -1-1 1 1 10 13 3 3 16 0 11.15 5.866065 1.769184-1 -1 1 1 1 6 10 3 5 3 4 0 18 8.65 6.80048 1.9174 3-1 1-1 1 1 9 10 5 4 1 3 4.5 3.33809 5399 4-1 1 1-1 -1 8 8 5 4 3 4 9 9 6.5.49847 0.91345 5 1-1 -1-1 1 16 14 8 8 3 0 33 13 10.104.33567 6 1-1 1 1-1 18 6 4 3 3 7 10 9.15 8.66165.1548 7 1 1-1 1-1 14 7 5 3 4 19 1 11.875 8.043409.084853 8 1 1 1-1 1 16 13 5 4 11 4 14 30 1.15 8.6471.156716 49 Effect Estimates; Var.:lnsd; R-sqr=1. (Taguchi_p17.sta) 5 factors at two levels DV: lnsd: =log(sd) Factor Effect Coeff. Mean/Interc. 1.815646 1.815646 (1)C ()B -0.06010-0.030105-0.451095-0.5548 (3)A 0.78676 0.364338 0.049846 0.0493 0.170161 0.085081 1 by 3 0.011758 0.005879 1 by 5 0.33696 0.166348 Factor ()B 1 by 1 by 3 Confounding of Effects Alias Alias 1 4*5 3*4 *4 1*5 *3 1*4 3*5 *5 Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot) 3.0.5.0 1.5 Probability Plot; Var.:lnsd; R-sqr=1. 5 factors at two levels DV: lnsd: =log(sd) 1by5 ()B (3)A 0.5 (1)C.45.5 1by3 0.0.05-0.1 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values) 50.99.95.85.75.65
Effect Estimates; Var.:mean; R-sqr=1. (Taguchi_p17.sta) 5 factors at two levels DV: mean Factor Effect Coeff. Mean/Interc. 9.57813 9.57813 (1)C ()B -9375-0.54688-1.7815-0.8906 (3)A 3.9065 1.95313 1 by 3 -.09375-4688 -0.0315-0.0156-0.71875-0.35938 1 by 5.71875 1.35938 3.0.5.0 1.5 Probability Plot; Var.:mean; R-sqr=1. 5 factors at two levels DV: mean (3)A.99.95 Factor ()B 1 by 1 by 3 Confounding of Effects Alias Alias 1 4*5 3*4 *4 1*5 *3 1*4 3*5 *5 Expected Normal Value 0.5 0.0-0.5 - -1.5 -.0 -.5 ()B 1by3 (1)C 1by5.75.55.35.15.05.01-3.0-3 - -1 0 1 3 4 5 - Interactions - Main effects and other effects Effects 51.4 lnsd = -0.78+1.1508*x..0 1.8 lnsd 1.6 1.4 1. 0.8 1.4 1.6 1.8.0..4.6.8 lnmean α λ=1-α transzformáció -1 1/ y 1.5-0.5 1/ y 1 0 ln y 0.5 0.5 y 0 1 (nincs trafó) 5
Effect Estimates; Var.:atlagln; R-sqr=1. (Taguchi_p17_ln) 5 factors at two levels DV: atlagln: =mean(lnr1:lnr8) Factor Effect Coeff. Mean/Interc. ()B 1 by 1 by 3 1.959936 1.959936 0.35795 0.178976-0.174156-0.087078-0.0445-0.016-0.30697-0.160349-0.096991-0.048496 0.385961 0.19980-0.131454-0.06577 3.0 Probability Plot; Var.:atlagln; R-sqr=1. 5 factors at two levels DV: atlagln: =mean(lnr1:lnr8) Factor ()B 1 by 1 by 3 Confounding of Effects Alias Alias 1 4*5 3*4 *4 1*5 *3 1*4 3*5 *5 Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5.0 1.5 ()B.45 0.5 1by3.5 0.0.05 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 1by.99.95.85.75.65 - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values) 53 Effect Estimates; Var.:lnsdln; R-sqr=1. (Taguchi_p17_ln) 5 factors at two levels DV: lnsdln: =log(sdln) Factor Effect Coeff. Mean/Interc. ()B 1 by 1 by 3-0.90830-0.90830 0.53666 0.16833-0.15791-0.107896-0.169953-0.084977 0.174053 0.08707 0.143061 0.071530 0.01781 0.008906 0.108075 0.054038 3.0 Probability Plot; Var.:lnsdln; R-sqr=1. 5 factors at two levels DV: lnsdln: =log(sdln) Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5.0 1.5.45 0.5 1by3.5 1by 0.0.05-0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.0 0.5 0.30 ()B - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values).99.95.85.75.65 54
Minél nagyobb, annál jobb (Larger the better) eset Taguchi: T=, vagyis 1/T=0 az elérendő: [ ] [ σ µ ] E [ L( y)] = k E ( y - T ) = k + ( - T ) = min σ és µ külön tanulmányozható Taguchi: SN L 1 1 = 10lg n i y i A mutató igen érzékeny a kiugró értékekre! 55 A veszteségfüggvény alkalmazása diszkrét változókra A mintában talált selejtes darabok aránya binomiális eloszlást követ. 1 1 p darabot kell ahhoz gyártani, hogy 1 jó legyen A veszteség: L( p) p = k 1 p (logit vagy omega transzformáció) SN p = 10lg 1 p ahol k az egy darab előállításának költsége y = arcsin p is használható 56
8. példa Fröccsöntés optimalizálása y ( p ) tr = arcsin Effect Estimates; Var.:traf_rep_ureges; R-sqr=.97648; Factor Adj:.91767 10 Factor Screening Design; MS Residual=6.586 DV: traf_rep_ureges: =ArcSin(sqrt(rep_ureges %/100))*57.97*100/90 Effect Std.Err. t(4) p Mean/Interc. 38.5680 1.488461 5.91134 0.000013 Curvatr. 1.5600 6.656601 1.88685 0.1330 (1)Befröccsölés sebesség 6.349.9769.138 0.099891 (3)Utánnyomás ideje 11.6581 3.645971 3.19753 0.03978 (4)Átkapcsolási pont -15.1806 3.645971-4.16366 0.014103 (5)Torlónyomás -1.6076 3.645971-5.9643 0.00406 (6)Adagolási sebesség -13.001 3.645971-3.6047 0.0348 (8)BarreltT -18.480 3.645971-5.00498 0.007464 (9)ColdSideT 19.80 3.645971 5.8857 0.006134 (10)HotSideT.3711 3.645971 6.13585 0.003576 1 by 45.6010 6.315006 7.106 0.001951 57 eset L L SN (Taguchi) javasolt névleges a legjobb ( T) k y k n ( yi T) i = k i = + s n 1 n ( y T) 10 lg s y vagy 10 lg y s 10 lg s y (ha α=0) 10 lg s ln y (ha α=1) minél kisebb, annál jobb ky k n i y k s n 1 = + y n i 1 10 lg y n i i ( ) 10 lg s + y minél nagyobb, annál jobb k y k n 1 i y i 1 1 10 lg n yi i selejtarány p k 1 p p$ k 1 p$ p$ 10lg 1 p$ 58
A környezeti faktorok (a sütési körülmények) vannak a whole plotban, a technológiai faktorok (a receptúra) a subplotban T1t1 Tt E1S1F1 ES1F1 E1S1F E1SF1 E1SF1 ESF ESF1 E1S1F ES1F1 E1S1F1 ES1F ESF1 E1SF ESF ES1F E1SF 59 A technológiai faktorok vannak a whole plotban, a környezetiek a subplotban E1S1F1 ESF T1t1 T1t T1t Tt1 Tt1 T1t1 Tt Tt 60
Strip-plot elrendezés Kézenfekvő egyszerűsítés, hogy amikor egy süteményporból egyszer elkészítjük a tésztát, azt ne 4 külön beállított kemencében süssük ki, hanem vágjuk 4 részre, és osszuk szét a 4 kemence között. Így 8 tészta-gyúrásra és 4 kemence-beállításra van csak szükség, tehát kísérletezési szempontból nagyon gazdaságos a terv. 61 Áttekintés Teljes randomizálás 3 tészta-gyúrás, 3 kemence-beállítás, egymáshoz sorsolva Split-plot, kemence-beállítás (Environment) a whole plot, tészta-gyúrás (Design) a subplot 3 tészta-gyúrás, 4 kemence-beállítás Split-plot, tészta-gyúrás (Design) a whole plot, kemence-beállítás (Environment) a subplot 8 tészta-gyúrás, 3 kemence-beállítás Strip-plot, 8 tészta-gyúrás, 4 kemence-beállítás 6
. példa J. Engel: Modelling variation in industrial experiments, Applied Statistics 41 579-593 (199) Engel1.sta, Engel.sta A: cycle time B: mould temperature C: cavity thickness D: holding pressure E: injection speed F: holding time G: gate size M: percentage regrind N: moisture content O: ambient temperature 63 A B C D E F G Y1 Y Y3 Y4 M -1-1 1 1 N -1 1-1 1 O -1 1 1-1 1-1 -1-1 -1-1 -1-1..1.3.3-1 -1-1 1 1 1 1 0.3.5.7 0.3 3-1 1 1-1 -1 1 1 0.5 3.1 0.4.8 4-1 1 1 1 1-1 -1.0 1.9 1.8.0 5 1-1 1-1 1-1 1 3.0 3.1 3.0 3.0 6 1-1 1 1-1 1-1.1 4. 3.1 7 1 1-1 -1 1 1-1 4.0 1.9 4.6. 8 1 1-1 1-1 -1 1.0 1.9 1.9 1.8 7-4 * 3-1 percentage shrinkage Factor ()B (6)F (7)G Confounding of Effects (engel1) Alias Alias Alias 1 3 *3 4*5 6*7 1*3 4*6 5*7 1* 4*7 5*6 1*5 *6 3*7 1*4 *7 3*6 1*7 *4 3*5 1*6 *5 3*4 64
Effect Estimates; Var.:MEAN; R-sqr=1. (engel1) Factor Effect Coeff. Mean/Interc..500.5000 0.8500 0.4500 ()B -0.1500-0.07500 0.150 0.0650-0.565-0.815 0.875 0.14375 3.0 (6)F -0.0375-0.01875 (7)G -0.465-0.315 Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5.0 1.5 0.5 ()B Probability Plot; Var.:MEAN; R-sqr=1. 7 factors at two levels DV: MEAN: MEAN Variable 8-11 (7)G (6)F 0.0.05-0.1 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Effects (Absolute Values) 65.99.95.85.75.65.45.5 3.0 7 factors at two levels DV: MEAN: MEAN Variable 8-11.5.0 1.5.99.95 Expected Normal Value.75 0.5 0.0 (6)F.55 ()B -0.5 (7)G.35 Pareto Chart of Effects; Variable: MEAN - 7 factors at two levels.15 DV: MEAN: MEAN Variable 8-11 -1.5.05 -.0.01 -.5-3.0 -.565-0.8-0.6-0.4-0. 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 Effects(7)G -.465.85.875 ()B -.15.15 (6)F -.0375 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Effect Estimate (Absolute Value) 66
Effect Estimates; Var.:SD; R-sqr=1. 7 factors at two levels DV: SD: SD Variable 8-11 Factor Effect Coeff. Mean/Interc. 0.749 0.7487-0.0358-0.01789 ()B 0.073 0.01366 0.030 0.0160-0.0115-0.00575 3.0-0.0479-0.0393 (6)F 1.88 0.64409 Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5.0 1.5 0.5 ()B Probability Plot; Var.:SD; R-sqr=1. 7 factors at two levels DV: SD: SD Variable 8-11 (7)G 0.0.05-0. 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1. 1.4 1.6 Effects (Absolute Values) (6)F.99.95.85.75.65.45.5 67 Pareto Chart of Effects; Variable: SD 7 factors at two levels DV: SD: SD Variable 8-11 (6)F 1.88176 -.04787 -.035774.030451 ()B.07317 -.01149 (7)G.0058565 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1. 1.4 1.6 Effect Estimate (Absolute Value) 68
Effect Estimates; DV: lnsd: =log(sd) Factor Effect Coeff. Mean/Interc. -1.11744-1.11744-0.1703-0.10851 ()B 0.13635 0.06818-0.09361-0.04681 0.10886 0.05443-0.15160 3.0-0.07580 (6)F.86173 1.43086 (7)G -0.18741-0.09370.5 Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).0 1.5 (7)G Probability Plot; Var.:lnsd; R-sqr=1. 7 factors at two levels DV: lnsd: =log(sd).45 0.5 ()B.5 0.0.05-0.5 0.0 0.5 1.5.0.5 3.0 3.5 - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values) (6)F.99.95.85.75.65 69 Factor ()B (6)F (7)G (8)M (9)N (10)O Confounding of Effects (engel) Alias Alias Alias 1 3 *3 4*5 6*7 1*3 4*6 5*7 1* 4*7 5*6 1*5 *6 3*7 1*4 *7 3*6 1*7 *4 3*5 1*6 *5 3*4 9*10 8*10 8*9 Effect Estimates; Var.:Y; (engel) 10 factors at two levels DV: Y Factor Effect Coeff. Mean/Interc. ()B (6)F (7)G (8)M (9)N (10)O 1 by 8 1 by 9 1 by 10 by 8 by 9 by 10 3 by 8 3 by 9 3 by 10 4 by 8 4 by 9 4 by 10 5 by 8 5 by 9 5 by 10 6 by 8 6 by 9 6 by 10 7 by 8 7 by 9 7 by 10.500.5000 0.8500 0.4500-0.1500-0.07500 0.150 0.0650-0.565-0.815 0.875 0.14375-0.0375-0.01875-0.465-0.315-0.1000-0.05000 0.750 0.13750 0.3000 0.15000-0.1000-0.05000-0.350-0.1650-0.500-0.1500 0.150 0.0650-0.50-0.1150-0.750-0.13750-0.500-0.1500 0.9000 0.45000-0.3000-0.15000-0.1875-0.09375 0.15 0.1065 0.375 0.11875 0.15 0.1065-0.8375-0.41875 0.875 0.14375-0.0875-0.04375 0.875 0.14375 0.3375 0.16875 0.0375 0.01875 0.315 0.1565 0.315 0.1565 70
3.0 Probability Plot; Var.:Y; R-sqr=1. 10 factors at two levels DV: Y Expected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5.0.95 5by9 1.5 (7)G 6by10 1by9.85 7by10 7by9 3by10 (10)O.75 5by10 6by9.65 7by8 (6)F 1by8 (8)M 5by8 4by9 1by10 3by8 4by10.45 0.5.5 0.0.05-0.1 0.0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 - Interactions - Main effects and other effects Effects (Absolute Values) 3by9.99 71 3.0 Probability Plot; Var.:Y; R-sqr=1. 10 factors at two levels DV: Y Expected Normal Value.5.0 1.5 0.5 0.0-0.5 - -1.5 -.0 -.5 5by9 6by10 7by10 7by9 (10)O 5by10 6by9 by9 4by8 ()B 1by8 (8)M 6by8 (6)F7by8by8 5by8 4by9 4by10 (9)N 1by10 3by8 by10 (7)G 1by9 3by10 3by9.99.95.75.55.35.15.05.01-3.0-1. - -0.8-0.6-0.4-0. 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1. - Interactions - Main effects and other effects Effects 7