Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Hasonló dokumentumok
Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Lin.Alg.Zh.1-2 feladatok

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Lineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31

Matematika (mesterképzés)

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Mátrixok 2017 Mátrixok

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Haladó lineáris algebra

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I márc.11. A csoport

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

Gyakorló feladatok I.

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

1. zárthelyi,

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

1. feladatsor Komplex számok

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Geometria II gyakorlatok

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

VEKTOROK. 1. B Legyen a( 3; 2; 4), b( 2; 1; 2), c(3; 4; 5), d(8; 5; 7). (a) 2a 4c + 6d [(30; 10; 30)]

Analitikus térgeometria

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ 2005.

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Matematika A1a Analízis

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Geometria II gyakorlatok

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

Alkalmazott algebra. Lineáris leképezések EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK )

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Lineáris algebra mérnököknek

Koordinátageometria. M veletek vektorokkal grakusan. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Transzformációk síkon, térben

5. Analitikus térgeometria (megoldások) AC = [2, 3, 6], (z + 5) 2 következik. Innen z = 5 3. A keresett BA BC = [3, 2, 8],

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. A Hilbert féle axiómarendszer

Számítógépes geometria

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 29.

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

1. Az euklideszi terek geometriája

Lineáris algebra gyakorlat

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

1. Bázistranszformáció

Síkbeli egyenesek. 2. Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Vektorok és koordinátageometria

Valasek Gábor Informatikai Kar. 2016/2017. tavaszi félév

Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)

Mer legesség. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Mer legesség / 40

Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió

Lineáris algebra gyakorlat

Bevezetés az algebrába 1

3. el adás: Determinánsok

Tartalom. Nevezetes affin transzformációk. Valasek Gábor 2016/2017. tavaszi félév

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

Analitikus geometria c. gyakorlat (2018/19-es tanév, 1. félév) 1. feladatsor (Síkbeli koordinátageometria vektorok alkalmazása nélkül)

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

Lineáris algebra mérnököknek

2) A koordinátázott síkban adva van egy E ellipszis, melyet az x2

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Síkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

BEVEZETÉS A SZÁMÍTÁSELMÉLETBE 1

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

10. Koordinátageometria

Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

Matematika elméleti összefoglaló

Térbeli geometriai transzformációk analitikus leírása

Lineáris Algebra. Tartalomjegyzék. Pejó Balázs. 1. Peano-axiomák

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

Átírás:

Lin.Alg.Zh. feladatok 0.. d vektorok Adott három vektor ā (0 b ( c (0 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Mennyi az ā b skalárszorzat? ā b 0 + + 8. Mennyi az n ā b vektoriális szorzat? n ā b i j k 0 i j 0 + k 0 (. Mennyi az ā b c vegyesszorzat? vagy v (ā b c ( (0 6 v (ā b c 0 0 6. Mer leges-e egymásra ā és b? Miért? Nem mert az s 8 skalárszorzat nem nulla. 5. Egy síkba esik-e ā b és c? Miért? Nem mert az v 6 vegyesszorzat nem nulla. 6. Mennyi az ā b vektorok által bezárt szög koszinusza? cos α ā b ā b / 0 7. Mennyi az ā ess b vektorok által kifeszített paralelogramma területe? T par ā b ( + + ( 6 8. Mennyi az ā és b vektorok által kifeszített háromszög területe? T harom T par 9. Mennyi az ā b és c vektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata? V pip ā b c v 6 0. Mennyi az ā b és c vektorok által kifeszített tetraéder térfogata? V tetra V pip 6. Milyen sodrású az ā b és c vektorok által alkotott rendszer? Miért? Jobb mivel v ā b c > 0 (Ha v < 0 balsodrású míg v 0 eseten a három vektor egy síkba esik.

. Bázist alkot-e ā b és c? Miért? Igen mert v ā b c 0. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete c-re? c. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete ā-re? 5. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje c-re? c 6. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje ā-re? c p ā c ā a (0 (0 6/5 /5 0 c t c p c (0 /5 /5 7. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete a c és a ā vektorok által generált síkra? c 8. Mennyi c-nek a c p mer leges vetülete a ā és a b vektorok által generált síkra? n ā b (0 c m n c n (6/9 6/9 8/9 n c p c c m ( 6/9 /9 8/9 9. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje a c és a ā vektorok által generált síkra? c 0. Mennyi c-nek a c t mer leges tükrözöttje a ā és a b vektorok által generált síkra? c t c c m ( /9 /9 0/9 Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. Megoldás: II. Megoldás: ā ( b (0 c ( 5 5 { } 66 nem nem 5 87 9 9 66 { } bal } igen { { 5} { 5} 9 9 9 { 7 5 } { 5} ā ( b (0 c ( 9 5 { } 0 nem igen 5 87 9 9 0 0 } { 6 { nem bazis nem { 9 } { 9 } 9 57 } 9 { 9 } { 9 } { 9 } { 9 } { { 5} 9 9 9 (Az els sorban az -5 kérdések válaszai vannak stb.. Továbbá {} zárójelekben vannak a vektorok. }

0.. Pontok egyenesek síkok Adott három pont P (0 Q ( S ( 6 az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban.. Írd fel a P és Q pontokat tartalmazó egyenes (a parametrikus v Q P ( 0 r(t P + t v (t t. (b illetve algebrai egyenleteit! x t t y z t x t y igy az egyenest meghatazozo ket egyenlet: x y z. (c Hol van az O (0 0 0-hoz legközelebbi K r(t 0 pont az egyenesen? 0 r(t 0 v (t 0 t 0 ( 0 + t 0 t 0 K r( (. (d Mennyi az egyenes távolsága az O origótól? (. (e Hol van az S-hez legközelebbi pont az egyenesen? 0 (S r(t 0 v ( t 0 t 0 ( 0 t 0 t 0 / K r(/ (/ /. (f Mennyi az egyenes távolsága S-tol? SK (/ / ( 6 7/. Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. Megoldás: r(t {t + t + t} 7 P ( Q (5 S ( 0 6 x y z { 9 9 9 7 } 9 { 9 6 9 0 } 9. P (0 Q ( R ( 0 S ( 6 Keresd meg a P Q R pontokat tartalmazó síkot! Írd fel a sík (a parametrikus ā Q P (0 b R P (0 r(u v ( u v + u v. (b illetve algebrai egyenleteit! n ā b (5 0 n [ r P ] (5 (x 0 y ( z 5x y + z 6 0.

(c Mennyi az sík távolsága az origótól? P -nek a p m mer leges vetülete n-re Persze p m q m r m. p m np n n ( 6 7 8 5 6 tavolsag p m np 5 n 6. 5 (d Hol van O mer leges vetülete a síkon? Ahol p m ( 6 7 8 5 5 6. (e Hol van O-nak a síkra történ mer leges tükrözöttje? Ahol p m ( 7 6 5 5. (f Hol van S-nek a s sik mer leges vetülete a síkon? S-nek a s sik mer leges vetülete n-re s m ns ( 5 n n 7 9 7 7 ( s sik S ( s m p m 7 97 5 0 5 (g Mennyi az sík távolsága S-tol? s m p m n(s P n 9 5 (h Hol van S-nak a síkra történ mer leges tükrözöttje? s sik S ( s m p m ( 7 5 9 5 Gyakorlás Ismételd meg a feladatot! I. Megoldás: P ( Q ( R (0 S ( 0 r(u v ( v + u u 6v 6x + y + z 0 /9 (6/9 (/9 (/9 (/9 (/9 (/9 (6/9 7/8 (/8 7/ 8 ( (5/9 7/9 (/9. Mennyi a P QRST tetraéder térfogata? ā Q P ( b R P ( c ( 0 Terfogat ā b c 6. Hol van a P QR sík továbbá az S és az ( pontokon áthaladó egyenes metszéspontja? Egyenes paraméteres egyenlete r(t ( + t 6 + t. Sík algebrai egyenlete Ha metszéspontnál t érteké t 0 akkor 6 + 5x y + z 0. 6 + 5 ( + t 0 ( + (6 + t 0 0 t 0 9/. A metszéspont r( 9/ 5.

0.. Lineáris transzformációk. Legyen φ ( (x y T (x + y x + 5y T és ψ ( (x y z T (z y x T. (a Mennyi a φ transzformáció F mátrixa? (( x φ y (b Mennyi a ψ transzformáció P mátrixa? x φ y z y x z ( x + y x + 5y 5 ( 0 0 0 ( ( x x F y y x x y P y z z (c Mennyi a µ ( v φ (ψ ( v (φ ψ ( v transzformáció M mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? ( 0 0 M F P 5 0 5 5 (d Mennyi a ν ( v ψ (φ ( v (ψ φ ( v transzformáció N mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? ( 0 0 N P F 0 5 lenne de nem lehet elvégezni a mátrixszorzást. A ν ψ φ kompozíció sincs értelmezve.. Legyen φ ((x y (x + y x + 5y és ψ ((x y z (z y x. (a Mennyi a φ transzformáció F mátrixa? φ (( x y ( x + y x + 5y ( x y ( 5 ( x y F (b Mennyi a ψ transzformáció P mátrixa? φ (( x y z ( z y x ( x y z 0 0 0 ( x y P (c Mennyi a µ ( v φ (ψ ( v (φ ψ ( v transzformáció M mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? 0 M P F 0 5 0 5 5 A mátrixos sorrendje az el z oszlopvektoros feladatokhoz kepést megfordult és a felhasznált mátrixok az el z ek transzponáltjai. (d Mennyi a ν ( v ψ (φ ( v (ψ φ ( v transzformáció N mátrixa? Mi köze van az eredménynek F és P -hez? N F P ( 5 0 0 0 lenne de nem lehet elvégezni a mátrixszorzást. A ν ψ φ kompozíció sincs értelmezve.. Legyenek a feladat (x y T vektorai az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban megadva mint oszlopvektorok. Számítsd ki a következ transzformációk hatását az ē ( 0 T és a ē (0 T ortonormált bázisvektorokra illetve írd fel a lin.tr. mátrixát! A megoldás elve: Aē az A mátrix els oszlopa míg Aē az A mátrix második oszlopa. Így Aē Aē -bol mint oszlopvektorokból felépíthet az A mátrix. (a Az x tengelyre való mer leges vetítés ( 0 0 0 5

(b az y tengelyre való mer leges vetítés ( 0 0 0 (c az x y egyenesre való mer leges vetítés ( / / / / (d az x tengelyre való mer leges tükrözés ( 0 0 (e az y tengelyre való mer leges tükrözés ( 0 0 (f az x y egyenesre való mer leges tükrözés ( 0 0 (g az origóra való tükrözés 0 0 (h az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x y egyenessel 0 0 (i az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x + y 0 egyenessel 0 0 (j a n (cos(0 sin(0 T vektorra való mer leges vetítés P n mátrixa ( / n / ( ( ( P n n n n n T / / / / (k a n (cos(0 sin(0 vektorra való mer leges tükrözés T n mátrixa. T n v P n v v T n P n E T n (l 5 fokos elforgatás (m 0 fokos elforgatás. ( / / / /. Legyenek a feladat (x y z T vektorai az R Euklideszi vektortérben egy ortonormált bázisban megadva mint oszlopvektorok. Számítsd ki a következ transzformációk hatását az ē ( 0 0 T ē (0 0 T és a ē (0 0 T ortonormált bázisvektorokra illetve írd fel a lin.tr. mátrixát! (a Az y tengelyre való mer leges vetítés 6

(b az z tengelyre való mer leges vetítés (c az xy síkra való mer leges vetítés (d az y tengelyre való mer leges tükrözés (e az x y síkra való mer leges tükrözés (f az origóra való tükrözés (g az xy síkra való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos a ( 0 T vektorral (h az x tengelyre való vetítés ha a vetítés iránya párhuzamos az x + z 0 síkkal (i a n (cos(0 0 sin(0 vektorra való mer leges vetítés / n 0 / / P n n n n n T 0 ( 0 / 0 / 0 0 0 / (j a n (cos(0 0 sin(0 vektorra való mer leges tükrözés (k mer leges vetítés az x + y + z 0 síkra (l mer leges tükrözés az x + y + z 0 síkra. T n v P n v v T n P n E 0 T n 0 0 0 0 n ( T / / / P sik E n n T / / / / / / n ( T / / / T sik E n n T / / / / / / 0 7

5. Legyen v (v v v v T. Mennyi A ha A v az a vektor amelynek az (a i-edik eleme v i szomszédainak (vagy szomszédjának ha i vagy az átlaga? v 0 0 0 A v (v + v / (v + v / / 0 / 0 0 / 0 / 0 0 0 v (b i-edik eleme v i szomszédainak az átlaga ahol az els és az utolsó elemeket is szomszédoknak tekintjük? (v + v 0 0 v A v (v + v / (v + v / 0 0 v 0 0 v (v + v / 0 0 v (c Ismételd meg a feladatot abban az esetben ha a v (v v v v és az va vektorra érvényesek ugyanezek a feltételek! Ha sorvektorokat használunk akkor transzponálni kell az el z mátrixokat de mivel azok szimmetrikusak a transzponálásra nézve így semmi sem változik. 6. (Hasonlósági transzformáció Egy nyúlpopulációban a nyulak mind Szilveszterkor születtek továbbá az egy éves nyulak míg az ennél id sebbek újszülöttet szülnek Szilveszterenként. A populációt jellemezhetjük a December -én éppen az új nyulak születése el tt megmert v (e o T v w (e p T w vektorokkal. (Itt e az egyévesek o az öreg nyulak míg p a teljes populáció létszámát jelölik. Az v w indexek azt jelzik hogy melyik koordináta rendszert használjuk ugyanannak a populációnak a leírására. (a Ha a nyúlpopulációt leíró vektorok A v és B w lesznek egy év múlva akkor mennyi A és B? A v v v e + (p e B w w w p + [e + (p e] w v v e o ( 5 A v v v w w v v v v v v e B o w w w 0 w w (b Ha v S w akkor mennyi S? (c Ha w R v akkor mennyi R? (d Mi köze van S-nek R-hez? Valóban: e o v ( e p w 0 v w e S p v w w w ( 0 e R o w v v w v v S R R S RS SR E. SR 0 0 0 0 (e Mi köze van R-nek és A-nak B-hez? Valóban: B w w R w v A v v S v w R w v A v v (R w v v w B RAS RAR 0 0 5 8

(f Mi köze van S-nek és B-nek A-hoz? Valóban: A v v S v w B w w R w v S v w B w w (S v w w v A SBR SBS 0 0 5 7. Legyen A B 0 0. Mennyi AB BA + E? ( 5 8 0 8. Legyen A 0 B 0 0. Mennyi AB E? 0 Mennyi BA + E? 0 5 0.. Inhomogén lin.tr. (an tr.. Legyen φ ab (x ax + b. Ha φ ab φ cd φ ef akkor mennyi e és f? φ ab φ cd (x φ ab (φ cd (x φ ab (cx + d a(cx + d + b acx + (ad + b φ acad+b (x e ac f ad + b.. Legyen f(x x + x 0. Mennyi f n (x 0? f xpontja: f(x fix x fix x fix x fix + x fix. Ha a xpont az origó akkor ebben a koordinátarendészében f homogén lineáris lesz így f n (x 0 n ( ( + (.. Legyen f(x x + x 0 6. Mennyi f n (x 0? Itt f-nek nincs xpontja viszont f n (x egy számtani sorozat így f n (x 6 + n.. Legyen f(x.x. Mennyi f n (99? f xpontja: f(x fix x fix x fix.x fix x fix 0. Ha a xpont az origó akkor ebben a koordinátarendészében f homogén lineáris lesz így f n (x 0. n (99 0 + 0. 5. Add meg az. 0 9

mátrixnak a λ sajátértékéhez tartozó egyik sajátvektort!. x 0 (. 0 (.x. 0 0 0 0 0. Tehát a v (0 T vektor λ sajátérték sajtvektora a feladat mátrixának. ( v többszörösei szinten ilyen vektorok lennének. 0.5. Linearitás bilinearitas multilinearitás. Legyen φ egy lineáris transzformáció továbbá legyen Mennyi φ ( v 5 v? A linearitás miatt φ ( v ( T φ ( v ( T. φ ( v 5 v φ ( v 5φ ( v ( T 5 ( T ( 7 T. Legyen φ : V V R egy olyan szimmetrikus bilineáris lekepézés (függvény hogy Mennyi φ ( v + v v v?a bilinearitas miatt φ ( v v φ ( v v φ ( v v 7. φ ( v + v v v ( φ ( v v + ( ( φ ( v v + ( φ ( v v + ( ( 7φ ( v v A szimmetria miatt φ ( v v φ ( v v így a végeredmény 9.. Legyen φ : V V R egy olyan szimmetrikus bilineáris lekepézés (függvény hogy Mennyi φ ( v v v v? φ ( v v φ ( v v φ ( v v φ ( v v 7. (Koszinusz tétel Legyen adott egy háromszög amelynek két oldala és 7 hosszúak továbbá a közbezárt szögük koszinusza /( 7. Mennyi a harmadik oldal? (Ez nem lesz a zh-ban.. Legyen φ : V V R egy olyan antiszimmetrikus bilineáris lekepézés (függvény hogy φ ( v v. Mennyi φ ( v + v v v? 5. Legyen φ : R R R egy olyan antiszimmetrikus multilinearis lekepézés hogy Mennyi φ ( v + v v v? φ ( v v ( T φ ( v v ( 0 0 T φ ( v v (0 0 T. 6. Legyen φ : R R R R egy olyan antiszimmetrikus multilinearis leképezés hogy Mennyi φ ( v + v v v v + v? Az antiszimmetria miatt a kifejezés kifejtésében a stb. típusú tagok eleve nullák így φ ( v v v. 0 φ( v A v A v B φ( v A v B v A φ ( v + v v v v + v ( φ ( v v v + ( ( φ ( v v v Továbbá φ ( v v v φ ( v v v mivel a ( permutáció páratlan. Hasonlóan ehhez a permutáció páros így Tehát a végeredmény 6 ( 0. φ ( v v v φ ( v v v. 0

0.6. Determináns inverz mátrix. Legyen A A x y. u v Adj meg egy olyan egyenletrendszert aminek az egyértelm megoldása x y u v! vagy ( AA E x u y v vagyis ( 0 0 x + y u + v 0 x + y 0 u + v ( x u y v A A E vagyis ( 0 0 x + u x + u 0 y + v 0 y + v. Legyen 5 A. Mennyi (A ha az indexálás -tol kezd dik?? 5 det(a + 5 Most toroljuk ki A-bol a -és elem (nem a -es! sorát es oszlopát: Így Megjegyzés: Valóban (A det(a ( + ( + ( (A 7 (/ (/ 5. Legyen A ( / /. / / Mennyi A? A ortogonális mátrix mivel az oszlopai skalárszorzatai vagy nulla attól függ en hogy az oszlopvektort önmagával vagy egy másik oszloppal szorozzuk össze skalárisan. Így A A T ( / / / / T ( / / / /. Legyen / 0 / A 0 0. / 0 /

Mennyi A? Mivel A ortogonális mátrix így / 0 / A A T 0 0 / 0 / T / 0 / 0 0 + / 0 / Mennyi A? 5. Legyen Mennyi A? / / 0 A / / 0. 0 0 6. Mennyi 7. Mennyi 0 0 0 8. Mennyi x ha 0 x 0 0 Legyen Mennyi x ha ezek a vektorok nem alkotnak bázist? x 6 mivel ezek a vektorok a mátrixunk sorai. Legyen.. 0. det(b 6 + x B 0 x 6. ā ( 0 b ( x 0 c (0. ā ( 0 T b ( x T c (0 0 T. Mennyi x ha ezek a vektorok nem alkotnak bázist?x 6 mivel ezek a vektorok a mátrixunk oszlopai. 9. Mennyi x ha 0 x x 0 0. Mennyi λ ha λ 0 λ 0. 0. λ 0 λ ( λ( λ 0 0 λ.. Mennyi λ ha λ λ 0. λ λ ( λ( λ 0 λ ±.. Milyen paritásúak a következ permutációk? páros páratlan páratlan páratlan 5 5 5. 5. És vég l keresd meg a hibákat a feladatsor megoldásaiban!