Egyenlőtlenség : Tegyük fel, hogy valamilyen A,B,C számokra nem teljesül, azaz a bal oldal nagyobb. Mivel ABC =, ha az első szorzótényezőt B-vel, a másodikat C-vel, a harmadikat A-val szorozzuk, azaz az egészet -gyel, nem változtatunk, azaz: (AB B + )(BC C + )(AC A + ) > De most az első tényezőt C-vel, a másodikat A-val, a harmadikat B-vel beszorozva (hasonlóan nem változtatva a szorzat értékén) ( BC + C)( AC + A)( AB + B) > Tegyük fel, hogy a fenti szorzatból valamelyik tényező negatív. (0 egyik tényező sem lehet, mert akkor a szorzat 0 lenne, ami nem nagyobb, mint ). Ekkor egy másik tényezőnek is negatívnak kell lennie, különben a szorzat nem lehetne pozitív nem lehetne nagyobb -nél. De így szimmetria miatt feltehető, hogy a tényező, aminek nem beszéltünk a negativitásáról a., azaz az első kettő negatív. De így: AB B + < 0 AB + < B. De mivel C egy pozitív szám, beszorozhatunk vele, és így ABC + C = + C < BC. De hasonlóan BC C + < 0 BC + < C. Így ezt a két egyenlőtlenséget összeadva + C + BC + < BC + C 2 < 0, azaz ellentmondásra jutottunk, azaz mégsem lehet negatív tényező. De mivel a fenti szorzat tényezőiből pozitív egésszel szorzással kaptuk a lenti szorzat tényezőit, azok is mind pozitívak. De a fenti két egyenlőtlenséget össze is szorozhatjuk, mert minden pozitív bennük. Így: (AB B + )(BC C + )(AC A + )( BC + C)( AC + A)( AB + B) > De 6. gyököt is vonhatunk, mert minden tag pozitív, majd alkalmazhatjuk a számtani-mértani egyenlőtlenséget az alábbi pozitív számokra: (AB B + ), (BC C + ), (AC A + ), ( BC + C), ( AC + A)( AB + B). Így: (AB B+)+(BC C+)+(AC A+)+( BC+C)+( AC+A)+( AB+B) 6 6 (AB B + )(BC C + )(AC A + )( BC + C)( AC + A)( AB + B) > 6 = De a fenti épp 6 6 =, azaz kijött, hogy >, azaz ellentmondásra jutottunk. Így nem lehet, hogy nem igaz a feladat állítása. De a fentihez hasonlóan egyenlőségnél (AB B + )(BC C + )(AC A + ) =, és ( BC + C)( AC + A)( AB + B) =. De ekkor számtani-mértani egyenlőtlenséggel (a fenti szerint használhatjuk). = (AB B+)+(BC C+)+(AC A+)+( BC+C)+( AC+A)+( AB+B) 6 6 (AB B + )(BC C + )(AC A + )( BC + C)( AC + A)( AB + B) = 6 = Ez csak akkor teljesülhet, ha a számtani-mértaninál egyenlőség van, azaz minden tag egyenlő. De így AB B + = AB + B, azaz 2B = 2AB, azaz mivel a fentiek miatt B 0, A =. De hasonlóan szimmetria miatt B =, C =. Így egyenlőség csak akkor van, ha A = B = C =, és ekkor valóban.
Egyenlőtlenségek 2. feladat megoldása A bizonyítandó egyenlőtlenség: a + 2 ) b + 2 ) c + 2 ) (a + b + c) minden a, b, c 0 valósra teljesül. Most az egyenlőtlenség megoldásánál gyakori "tegyük a semmit, de azt ügyesen" elvet használva: a + 2 ) b + 2 ) c + 2 ) = a + + ) + b + ) + + c ) Bizonyítandó állítás más formában tehát így írható fel: a + b + c a + + ) + b + ) + + c ) Először is vegyük észre, hogy a feladat állítása a = b = c = 0 esetén triviálisan teljesül. Tehát tegyük fel, hogy a + b + c = 0. Legyenek A, B, C számok a következőek: A = a+b+c a, B = a+b+c b, C = a+b+c c. Ekkor A + B + C =. Használjuk a súlyozott számtani-mértani közepek közötti összefüggést: a + + = A ( ) a A + B ( ) ( ) + C B C ( a A ) A ( ) B ( ) C. B C Hasonló összefüggés igaz a másik két tagra is. Ezeket összeszorozva (minden nemnegatív, tehát szorozhatunk bátran) és köbgyököt vonva a következőt kapjuk: a + + ) + b + ) + + c ) Viszont a A = a + b + c = b B = c C, tehát aa b B c C A A B B C C. a + + ) + b + ) + + c ) (a + b + c) A+B+C = a + b + c, hiszen A + B + C =. Ezzel a kívánt egyenlőtlenséget beláttuk. Egyenlőség esete akkor és csak akkor áll fent, ha a A = B = C és a többire hasonlóan, tehát ha A = B = C és a 2 b = a 2 c = b 2 a = b 2 c = c 2 a = c 2 b =. Ez viszont azt jelenti, hogy a = b = c = esetén lehet csak egyenlőség, ekkor egyenlőség is van. Megjegyzés: A feladat a Hölder egyenlőtlenség egyik alakjával könnyen lelőhető, gyakorlatilag annak a bizonyításán megy végig a megoldás. Az egyenlőtlenség és bizonyítása itt megtalálható: http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=hamennyiben az angol gondot okoz valakinek, nyugodtan keressen meg!
Egyenlőtlenségek 4. - Megoldás Tudjuk, hogy x, y, z 0 és xyz =. Be akarjuk bizonyítani, hogy x z (+x)(+y) 4. (+y)(+z) + y (+x)(+z) + Akárhogy is van rendezve nagyságrendileg x, y, z, ugyanúgy van rendezve x, y, z (mert pozitívak) és (+y)(+z), (+x)(+z), (+x)(+y) is. Másképp mondva az általánosság megsértése nélkül feltehetjük, hogy 0 x y z, ekkor mindhárom fenti sorozat növekvő sorrendben van. x Csebisev tétele szerint ekkor tudjuk (a rendezési egyenlőtlenségből kifolyólag), hogy (+y)(+z) + y (+x)(+z) + z y + z ) ( (+x)(+y) (x + y + z ) ( +x+y+z (+x)(+y)(+z) ). (+y)(+z) + (+x)(+z) + (+x)(+y) ) = (x + Most a jobboldalt csükkentjük, és így belátjuk, hogy még az is nagyobb, mint 4, ha ezzel kész vagyunk, úgy bizonyítjuk a baloldalról az állítást. (x + y + z x + y + z ) ( ) () a hatványközepek (harmadik hatványközép nagyobb, mint a számtani) közti egyenlőtlenség miatt. Számtani és mértani közép az + x, + y, + z pozitív valósakra: ( + x + y + z ) ( + x)( + y)( + z) (2) Tehát (x + y + z +x+y+z ) ( (+x)(+y)(+z) ) ( x+y+z ) Számtani-mértani közép miatt mivel xyz = +x+y+z (+ x+y+z ). x + y + z () A Ha A, akkor +A 2. Ezt A = x+y+z és ()-at használva ( x+y+z ) +x+y+z (+ x+y+z ) ( x+y+z ) 6 (+ x+y+z ) 6 ( 2 ) = 6 8 = 4. Tehát a feladat állítását beláttuk. Egyenlőség csak akkor lehet, amikor az adott hatványközepek közt egyenlőség van, ehhez szükséges, hogy x = y = z,illetve hogy + x = + y = + z, azaz mivel xyz =, ez csak úgy lehet, ha x = y = z =. Visszaellenőrizve, ekkor teljesül is az egyenlőség, 2 2 = 4.
Egyenlőtlenségek 5 feladat a + b c a + b c (A) Állítás: ha a,b,c egy háromszög oldalai és c nem a és b között van, akkor: Bizonyítás: a + b c a + b c () Megjegyzés: a + b a + b c, azaz a + b c 0, így () (2): a + b c + c a + b (2)(ezt az alakot használjuk még a későbbiekben) Mivel mindkét oldal pozitív négyzetre emelhetünk és némi rendezés után a következőt kapjuk: (a + b c)c ab Megint mindkét oldal pozitív, úgyhogy négyzetre emelhetünk: (a + b c)c ab ac + bc ab + c 2 Innen már láthatjuk, hogy ez nem mindig igaz, pontosabban rendezési tételből láthatjuk, hogy pontosan akkor nem igaz, ha c az a és a b között van. Így az eredeti egyenlőtlenségben két tag lesz, amire igaz és egy amire nem. (Egyenlőség a=b=c) Tegyük fel, hogy a b c (mivel az egyenlőtlenség szimmetrikus a,b,c-re ezt megtehetjük). Írjuk át egy kicsit az eredeti egyenlőtlenséget: a + b c( a b + c)( a + b + c) ( a + b c) (A) alapján elég belátni a következőt (hiszen a harmadik tagok között fennáll a megfelelő egyenlőtlenség, egyszerűsítés után (2)-t kapjuk): a + b + c( a + b c)( a b + c) + a b + c( a + b c)( a + b + c) 2 ( a + b c) ( a + b + c ( a + b + c)) ( a b + c) + ( a b + c ( a b + c)) ( a + b + c) 0 Megint (A) bizonyítása alapján (pontosabban (2) alapján): és a + b + c ( a + b + c) 0 a b + c ( a b + c) 0 Így a következőben mindkét oldal pozitív:
( a b + c ( a b + c)) ( a + b + c) (( a + b + c) a + b + c) ( a b + c) Mivel a b c, a + b + c a b + c, így elég belátni a következőt: a b + c ( a b + c) ( a + b + c) a + b + c a b + c + a + b + c 2 c Mindkét oldal pozitív, így négyzetre emelhetünk: a b + c a + b + c + 2 a b + c a + b + c 4c a b + c a + b + c c Mindkét oldal pozitív, így emeljünk négyzetre: 2ab a 2 b 2 0 (a b) 2 0 Egyenlőség: a=b Így beláttuk az egyenlőtlenséget. Egyenlőség a=b=c (ezt könnyen ellenőrizhetjük).