Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden természetes számhoz hozzárendeljük az osztóit. D: Minden bolygóhoz hozzárendeljük a Nap körüli keringésének idejét. A fenti hozzárendelések közül az A és a C nem függvény: az első esetében van olyan ember akinek nincs munkahelye, míg a harmadiknál egy számhoz több számot is rendelünk. 2. Az alábbi függvények közül, melyik kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés? A: A testekhez rendeljük a felszínüket. B: A négyzetekhez rendeljük a kerületüket. C: A kémiai elemekhez rendeljük a rendszámukat. D: A könyvekhez rendeljük a kiadójukat. A fenti hozzárendelések közül a B és a C egyértelmű hozzárendelés. 3. Az alábbi függvényeket fogalmazzuk meg geometriai függvényként! f (x) = R + R + ; g(x) = 2xπ g (x) = R + R + R + ; h(x; y) = xy 2 Egy egy lehetséges megoldás a következő: f (x) kör kerülete a sugár hosszának függvényében g (x) a háromszög területe az alap és magasság hosszának függvényében 1
4. Az alábbi grafikonok közül melyik lehet egy függvény grafikonja? A fenti grafikonok közül a bal oldalt szereplők nem lehetnek függvények képei, mert egy x éretékhez több y érték is tartozik. 2
5. Döntsd el az alábbi függvényekről, hogy melyik injektív / szürjektív / bijektív! a) e R R; x 19 b) f R R; x 5x 1 c) g R R; x x 2 d) h R R; x x e) k R [0; 1[; x {x} f) s [2; 7] R; x x 2 g) t [ 3; 5] [0; 5]; x x h) z R + R + ; x 1 x Injektív függvények: f; s; z. Szürjektív függvények: f; k; t; z. Bijektív függvények: f; z. Az e; g és h függvény nem injektív, mert ugyanazt az y értékét két különböző x érték esetén is felveszi, illetve nem szürjektív, mert nincs minden y R értékhez tartozó x érték (pl.: y = 3 at egyik függvény se veszi fel). 6. Határozd meg a következő függvények f ( 2) helyettesítési értékét! a) f (x) = x + 1 b) f (x) = 3x 2 17 c) f (x) = x + 8 5 d) f (x) = 11 + x e) f (x) = 1 x 2 + 6 A helyettesítési érték megmutatja, hogy az adott függvény x = 2 höz milyen y értéket rendel. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal és az x helyére való behelyettesítés után megoldjuk a kapott egyenletet. 3
a) f (x) = x + 1 y = x + 1 y = ( 2) + 1 = 1 b) f (x) = 3x 2 17 y = 3x 2 17 y = 3 ( 2) 2 17 = 5 c) f (x) = x + 8 5 y = x + 8 5 y = ( 2) + 8 5 = 1 d) f (x) = 11 + x y = 11 + x y = 11 + ( 2) = 3 e) f (x) = 1 + 6 y = 1 + 6 y = 1 + 6 = 23 x 2 x 2 2 2 4 7. Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a 3 értéket! a) f (x) = x 5 b) g (x) = x 2 1 c) h (x) = x 3 d) k (x) = x 4 e) t (x) = 1 x + 10 Ebben az esetben azt keressük, hogy az adott függvények milyen x értékek esetén veszik fel az y = 3 értéket. Ezt úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal és az y helyére való behelyettesítés után megoldjuk a kapott egyenletet. a) f (x) = x 5 3 = x 5 x = 8 b) g (x) = x 2 1 3 = x 2 1 x 1 = 2 és x 2 = 2 c) h (x) = x 3 3 = x 3 x 1 = 0 és x 2 = 6 d) k (x) = x 4 3 = x 4 x = 13 e) t (x) = 1 x + 10 3 = 1 x + 10 x = 31 3 4
8. Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik - e a P (1; 3) pont a következő függvények grafikonjára! a) f (x) = 5x 8 b) g (x) = 2x 2 5 c) h (x) = x + 2 + 1 d) k (x) = x + 3 e) t (x) = 8 x 5 1 Azt, hogy egy adott pont illeszkedik e a függvény grafikonjára úgy vizsgálhatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal, majd a pont koordinátáit behelyettesítjük a kapott egyenletbe. Abban az esetben, ha azonosságot kapunk, akkor a pont illeszkedik a függvény grafikonjára, ha pedig ellentmondást, akkor a pont nincs rajta a függvény képén. a) f (x) = 5x 8 3 = 5 1 8 3 = 3 Illeszkedik. b) g (x) = 2x 2 5 3 = 2 1 2 5 3 = 3 Illeszkedik. c) h (x) = x + 2 + 1 3 = 1 + 2 + 1 3 4 Nincs rajta. d) k (x) = x + 3 3 = 1 + 3 3 2 Nincs rajta. e) t (x) = 8 1 3 = 8 1 3 = 3 Illeszkedik. x 5 1 5 9. Határozd meg, hogy a P (20; 150) és a Q (100; 900) pontok hogyan helyezkednek el az f (x) = 8x 7 függvény grafikonjához képest! A pontok első koordinátáit helyettesítsük be a hozzárendelési szabályba: P (20; 150) y = 8 20 7 = 153 150 < 153 Q (100; 900) y = 8 100 7 = 793 900 > 793 Ezek alapján a megoldás: A P pont az egyenes alatt, a Q pedig a grafikon felett helyezkedik el. 5
10. Határozd mag a P (x; 2) és Q ( 5; y) pontok koordinátáit úgy, hogy illeszkedjenek a következő függvényekre! a) f (x) = 1 x + 3 2 b) g (x) = x 2 7 c) h (x) = 2 x 1 d) k (x) = x + 30 e) t (x) = 4 x + 1 A keresett koordinátát úgy kaphatjuk meg, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük y nal, majd a pontok megfelelő koordinátáit behelyettesítjük az egyenletbe, s megoldjuk az így kapott egyenletet. a) f (x) = 1 x + 3 2 = 1 x + 3 x = 2 2 2 y = 1 11 ( 5) + 3 y = 2 2 b) g (x) = x 2 7 2 = x 2 7 x = 3 és x = 3 y = ( 5) 2 7 y = 18 c) h (x) = 2 x 1 2 = 2 x 1 x = 0 és x = 2 y = 2 ( 5) 1 y = 12 d) k (x) = x + 30 2 = x + 30 x = 26 y = ( 5) + 30 y = 5 e) t (x) = 4 x + 1 2 = 4 x+1 x = 3 y = 4 ( 5) + 1 x = 1 6
11. Határozd meg ábrázolás nélkül, hogy hol metszik a következő függvények a koordináta tengelyeket! a) f (x) = 14x + 11 b) g (x) = 7 (x + 5) 2 28 c) h (x) = 3 2x + 8 d) k (x) = 5x 10 e) t (x) = 2 x+6 Az x tengelyre illeszkedő pontoknak az y koordinátája 0, az y tengelyre illeszkedő pontoknak pedig az x koordinátája 0. Ebből adódnak a metszéspontok: P (x; 0) és Q (0; y). A megfelelő koordináták behelyettesítésével kiszámíthatjuk a tengelymetszeteket: a) f (x) = 14x + 11 0 = 14x + 11 x = 11 14 P ( 11 14 ; 0) y = 14 0 + 11 y = 11 Q (0; 11) b) g (x) = 7 (x + 5) 2 28 0 = 7 (x + 5) 2 28 P 1 ( 3; 0) és P 2 ( 7; 0) y = 7 (0 + 5) 2 28 y = 147 Q (0; 147) b) g (x) = 3 2x + 8 0 = 3 2x + 8 x = 4 P ( 4; 0) y = 3 2 0 + 8 y = 24 Q (0; 24) b) g (x) = 5x 10 0 = 5x 10 x = 20 P (20; 0) y = 5 0 10 y = 10 Q (0; 10) b) g (x) = 2 x + 6 0 = 2 x + 6 nem metszi az y - tengelyt y = 2 0 + 6 y = 1 3 Q (0; 1 3 ) 7
12. Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit! a) f (x) = 2 x 1 5 b) g (x) = (x + 7) 2 c) h (x) = 8x 16 d) k (x) = 6 x + 1 e) t (x) = 7 2x + 3 4 A zérushelyet úgy számíthatjuk ki, hogy a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük 0 val, majd megoldjuk a kapott egyenletet. a) f (x) = 2 5 x 1 2 5 x 1 = 0 x = 5 2 b) g (x) = (x + 7) 2 (x + 7) 2 = 0 x = 7 c) h (x) = 8x 16 8x 16 = 0 x = 2 d) k (x) = 6 x + 1 6 x + 1 = 0 x = 1 e) t (x) = 7 2x + 3 4 7 2x + 3 4 = 0 x = 5 8 13. Írd fel annak a g (x) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy kapunk, hogy az adott f (x) függvényt eltoljuk az adott v vektorral! a) f (x) = x 2 és v (5; 8) b) f (x) = 3 x és v ( 2; 7) A megoldáshoz a függvénytranszformációkat megfelelően kell jelölnünk. a) Az f függvényt el kell tolni x tengely mentén 5 tel és y tengely mentén 8 cal. Ezek alapján a megoldás: g (x) = (x 5) 2 + 8. b) Az f függvényt el kell tolni x tengely mentén 2 vel és y tengely mentén 7 tel. Ezek alapján a megoldás: g (x) = 3 x + 2 7. 8
14. Határozd meg a következő pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! a) A (1; 1) és B ( 2; 2) b) C ( 5; 4) és D (8; 10) c) P (2; 5) és Q ( 1; 8) d) R ( 3; 7) és S (4; 11) Az egyenesek egyenletét úgy kaphatjuk meg, hogy a pontok koordinátáit behelyettesítjük az y = mx + b egyenes egyenletébe, majd a kapott egyenletrendszert megoldjuk. a) A (1; 1) 1 = m + b B ( 2; 2) 2 = 2m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 1 = m + b } m = 1 b = 0 2 = 2m + b Ezek alapján az egyenes egyenlete: f (x) = x. b) C ( 5; 4) 4 = ( 5) m + b D (8; 10) 10 = 8m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 4 = ( 5) m + b 10 = 8m + b } m = 14 13 b = 18 13 Ezek alapján az egyenes egyenlete: g (x) = 14 13 x 18 13. c) P (2; 5) 5 = 2m + b Q ( 1; 8) 8 = m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 5 = 2m + b } m = 1 b = 7 8 = m + b Ezek alapján az egyenes egyenlete: h (x) = x + 7. 9
d) R ( 3; 7) 7 = ( 3) m + b S (4; 11) 11 = 4m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 7 = ( 3) m + b } m = 4 7 11 = 4m + b b = 61 7 Ezek alapján az egyenes egyenlete: k (x) = 4 61 x +. 7 7 15. Határozd meg az elsőfokú függvény hozzárendelési szabályát, ha tudjuk, hogy f ( 3) = 2 és f (7) = 4! A feladatból adódik, hogy az egyenes két pontja: P ( 3; 2) és Q (7; 4). Az egyenesek egyenletét úgy kaphatjuk meg, hogy a pontok koordinátáit behelyettesítjük az y = mx + b egyenes egyenletébe, majd a két egyenletet egyenletrendszerként tekintjük, s azt megoldva megkapjuk az m és b értékeit. P ( 3; 2) 2 = 3m + b Q (7; 4) 4 = 7m + b Ebből a következő egyenletrendszer adódik: 2 = 3m + b } m = 1 5 4 = 7m + b b = 13 5 Ezek alapján az egyenes egyenlete: f (x) = 1 13 x +. 5 5 16. Ábrázold a következő lineáris függvényeket! a) f (x) = 2x 1 b) g (x) = 5 c) h (x) = x + 3 d) k (x) = 4x e) t (x) = 2 x 2 3 10
A lineáris függvények képe egyenes, s a megrajzolásához minimum két pontra van szükségünk. A függvények hozzárendelési szabályából először leolvashatjuk, hogy hol metszi az y tengelyt az egyenes, majd a meredekség segítségével további pontokat is meghatározhatunk. Az f (x) egyenes az y tengelyt a ( 1) nél metszi, s a meredeksége 2. (ábrán: fekete) A g (x) egyenes az y tengelyt az 5 nél metszi, s a meredeksége 0. (ábrán: kék) A h (x) egyenes az y tengelyt a 3 nál metszi, s a meredeksége 1. (ábrán: zöld) A k (x) egyenes az y tengelyt a 0 nál metszi, s a meredeksége 4. (ábrán: lila) A t (x) egyenes az y tengelyt a ( 2) nél metszi, s a meredeksége 2. (ábrán: piros) 3 11
17. Ábrázold a következő másodfokú függvényt: f(x) = 1 2 (x 1)2 + 2! A függvény képét a következőképpen határozhatjuk meg. Az első esetben készítsünk egy értéktáblázatot, ahol megfelelő értékeket felvéve, meghatározhatjuk, hogy az egyes x értékekhez milyen y értékek tartoznak, s ezután az alapfüggvény alakjára való tekintettel összekötjük a kapott pontokat. Mivel a függvény szélsőértéke x = 1 nél lesz, így ezt az értéktáblázatban feltüntetjük. Értéktáblázat: x 2 1 0 1 2 3 4 f (x) = y 2,5 0 1,5 2 1,5 0 2,5 Mivel az x 2 függvény képe egy parabola, így a keresett függvény grafikonja a következő: 12
A második eset, ha tudjuk, hogy a függvény transzformációk hogyan alakítják a függvény képét, akkor az alapfüggvényből lépésről lépésre eljuthatunk a kérdéses függvényig. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = (x 1) 2 k (x) = 1 (x 1)2 h 2 t (x) = 1 (x 1)2 k 2 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 1) - gyel (ábrán: kék) (x) x tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: zöld) 2 (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: lila) f (x) = 1 2 (x 1)2 + 2 t (x) eltolása az y tengely mentén (+2) - vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 13
18. Ábrázold a következő másodfokú függvényt: f (x) = (2x + 4) 2 3! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = (x + 4) 2 k (x) = (2x + 4) 2 f (x) = (2x + 4) 2 3 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 4) - gyel (ábrán: kék) h (x) y tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: zöld) 2 k (x) eltolása az y tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 14
19. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 2 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = x 2 4 f (x) = x 2 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az y tengely mentén ( 4) - gyel (ábrán: kék) h (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 15
20. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = (3 x)2 Az ábrázolás előtt alakítsuk a hozzárendelési szabályt a következőképpen: 3! (3 x) 2 3 = 1 3 ( x + 3)2. Ezt felhasználva a függvény a következőképpen is megadható: f (x) = 1 3 ( x + 3)2. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = (x + 3) 2 k (x) = ( x + 3) 2 f (x) = 1 ( x + 3)2 h 2 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: kék) h (x) y tengelyre való tükrözése (ábrán: zöld) (x) x tengelyre merőleges 1 szoros zsugorítása (ábrán: piros) 3 Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 16
21. Ábrázold és jellemezd a következő másodfokú függvényt: f (x) = x 2 + 2x 3! Az ábrázolás előtt alakítsuk a hozzárendelési szabályt teljes négyzetté: x 2 + 2x 5 = (x + 1) 2 1 3 = (x + 1) 2 4 Ezt felhasználva a függvény a következőképpen is megadható: f (x) = (x + 1) 2 4. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x 2 h (x) = (x + 1) 2 f (x) = (x + 1) 2 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 1) - gyel (ábrán: kék) h (x) eltolása az y tengely mentén ( 4) - vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 17
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R Érték készlet R f : y [ 4; + [ Zérushely x 1 = 3 és x 2 = 1 Monotonitás x ] ; 1] szigorúan monoton csökkenő x [ 1; + [ szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Korlátosság Paritás Periodicitás Minimum helye: x = 1 Minimum értéke: y = 4 Pontos alsó korlát: k = 4 Nem páros, nem páratlan Nem periodikus 22. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 3! A megfelelő értékeket behelyettesítve a függvény képe a következő: 18
23. Határozd meg ábrázolás nélkül a következő másodfokú függvény szélsőértékének (tengelypontjának) koordinátáit! a) f (x) = (x + 8) 2 5 b) g (x) = 3 (x 1) 2 + 7 c) h (x) = x 2 + 4x 6 d) k (x) = 2x 2 36x + 11 Azt, hogy a függvénynek maximuma, illetve minimuma lesz e, a négyzetes kifejezés előtt álló szorzótényező dönti el. Amennyiben ez a szám pozitív, akkor a függvény képe felfelé nyíló parabola, vagyis minimuma lesz, amennyiben pedig negatív, akkor a függvény képe (tükrözés után) egy lefelé nyíló parabola, vagyis maximuma lesz. Mivel egy szám négyzete mindig nem negatív, így a szélsőérték x koordinátáját úgy kaphatjuk meg, ha a négyzetes kifejezés a legkisebb értéket veszi fel, vagyis 0 - t. Ezek alapján a négyzetes kifejezést egyenlővé tesszük 0 - val és megoldjuk az egyenletet. A szélsőérték y koordinátáját a négyzetes taghoz hozzáadott, illetve abból levont szám adja meg, mert az jelenti a függvény y tengely mentén való eltolását. Amennyiben a függvény hozzárendelési szabálya olyan alakban van megadva, hogy az alapján a transzformáció lépései nem olvashatóak le, akkor először azt teljes négyzetté kell alakítanunk. a) f (x) = (x + 8) 2 5 Mivel a négyzetes tag előtti szorzótényező pozitív, ezért a függvénynek minimuma van. A minimumának helye: x + 8 = 0 x = 8 A minimumának értéke: y = 5 b) g (x) = 3 (x 1) 2 + 7 Mivel a négyzetes tag előtti szorzótényező negatív, ezért a függvénynek maximuma van. A maximumának helye: x 1 = 0 x = 1 A maximumának értéke: y = 7 19
c) h (x) = x 2 + 4x 6 Alakítsuk a hozzárendelési szabályát teljes négyzetté: x 2 + 4x 6 = (x + 2) 2 4 6 = (x + 2) 2 10 Ezek alapján a függvény a következőképpen is megadható: h (x) = (x + 2) 2 10 Mivel a négyzetes tag előtti szorzótényező pozitív, ezért a függvénynek minimuma van. A minimumának helye: x + 2 = 0 x = 2 A minimumának értéke: y = 10 d) k (x) = 2x 2 36x + 11 Alakítsuk a hozzárendelési szabályát teljes négyzetté: 2x 2 36x + 11 = 2 (x 2 + 18x) + 11 = 2 [(x + 9) 2 81] + 11 = = 2 (x + 9) 2 + 162 + 11 = 2 (x + 9) 2 + 173 Ezek alapján a függvény a következőképpen is megadható: k (x) = 2 (x + 9) 2 + 173 Mivel a négyzetes tag előtti szorzótényező negatív, ezért a függvénynek maximuma van. A maximumának helye: x + 9 = 0 x = 9 A maximumának értéke: y = 173 24. Határozd meg az f (x) = x 2 + 4x + c függvényben szerpelő c paraméter értékét úgy, hogy minimuma az y = 3 legyen! Alakítsuk a hozzárendelési szabályát teljes négyzetté: x 2 + 4x + c = (x + 2) 2 4 + c. Ebből adódik, hogy minimuma akkor lesz a függvénynek, ha (x + 2) = 0, vagyis x = 2. Ekkor felírhatjuk a következőt: 4 + c = 3. Ezek alapján a megoldás: c = 1. 20
25. Ábrázolás nélkül add meg az f (x) = 2x 2 + 4x 6 függvény szélsőértékeit, ha a) x R, b) x [ 3; 2], c) x ]0; 1]! Mivel az x 2 együtthatója pozitív szám, így a függvény képe egy felfelé nyíló parabola. Ahhoz, hogy a függvénytranszformációkat alkalmazhassuk, először teljes négyzetté kell alakítanunk a hozzárendelési szabályt: f(x) = 2x 2 + 4x 6 = 2 (x 2 + 2x) 6 = 2 [(x + 1) 2 1] 6 = 2 (x + 1) 2 8 a) Mivel a függvény bármilyen x értéket felvehet, így a függvénytranszformációk alapján a minimumának helye x = 1, értéke pedig y = 8. b) Mivel az intervallum a függvény minimumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis az ezen az intervallumon értelmezett függvénynek minimuma és maximuma is lesz. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y koordinátákat úgy kaphatjuk meg, hogy az x értékeket behelyettesítjük a függvény hozzárendelési szabályába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők: A maximumának helye x = 3, értéke pedig y = 0. A minimumának helye x = 2, értéke pedig y = 6. c) Mivel az intervallum a függvény minimumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő, vagyis az ezen az intervallumon értelmezett függvénynek maximuma lesz (minimuma az intervallum nyitottsága miatt nincs). A maximumának helye az intervallum határszáma, vagyis x = 1, értéke pedig y = 0. Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot. 21
26. Ábrázolás nélkül add meg az f (x) = x 2 + 2x + 3 függvény szélsőértékeit, ha a) x R, b) x [ 2; 0], c) x ]2; 3]! Mivel az x 2 együtthatója negatív szám, így a függvény képe egy lefelé nyíló parabola. Ahhoz, hogy a függvénytranszformációkat alkalmazhassuk, először teljes négyzetté kell alakítanunk a hozzárendelési szabályt: f(x) = x 2 + 2x + 3 = (x 2 2x) + 3 = [(x 1) 2 1] + 3 = (x 1) 2 + 4 a) Mivel a függvény bármilyen x értéket felvehet, így a függvénytranszformációk alapján a maximumának helye x = 1, értéke pedig y = 4. b) Mivel az intervallum a függvény maximumának bal oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton növekvő, vagyis az ezen az intervallumon értelmezett függvénynek minimuma és maximuma is lesz. A szélsőértékek helyei az intervallum határszámai lesznek, míg az y koordinátákat úgy kaphatjuk meg, hogy az x értékeket behelyettesítjük a függvény hozzárendelési szabályába. Ezek alapján a szélsőértékek a következők: A maximumának helye x = 0, értéke pedig y = 3. A minimumának helye x = 2, értéke pedig y = 5. c) Mivel az intervallum a függvény maximumának jobb oldalán helyezkedik el, ezért itt a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis az ezen az intervallumon értelmezett függvénynek minimuma lesz (maximuma az intervallum nyitottsága miatt nincs). A minimumának helye az intervallum határszáma, vagyis x = 3, értéke pedig y = 0. Az eredményeket ellenőrizhetjük, ha transzformációk segítségével ábrázoljuk a teljes négyzet segítségével kapott függvényalakot. 22
27. Adj meg olyan f (x) másodfokú függvényt, amelynek maximuma a (4; 3) pont, illetve olyan g (x) másodfokú függvényt, melynek minimuma van az (1; 6) pontban! Tekintsük az első esetet. Mivel maximuma van a függvénynek, ezért a képe egy lefelé nyíló parabola, vagyis az x 2 együtthatója negatív. Ennek értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen a = 1. Ezek alapján a függvénytranszformációk segítségével felírhatjuk a hozzárendelési szabályt: f (x) = ( 1) (x 4) 2 3 = (x 2 8x + 16) 3 = x 2 + 8x 19. Tekintsük most a második esetet. Mivel minimuma van a függvénynek, ezért a képe egy felfelé nyíló parabola, vagyis az x 2 együtthatója pozitív. Ennek értékét mi választhatjuk meg tetszőlegesen, legyen a = 1. Ezek alapján a függvénytranszformációk segítségével felírhatjuk a hozzárendelési szabályt: g (x) = 1 (x 1) 2 + 6 = x 2 2x + 7. 28. Az f (x) = ax 2 + bx + c függvény két zérushelye x 1 = 2 és x 2 = 4. Add meg az a, b és c értékét úgy, hogy a függvény grafikonja az y tengelyt 6 nál metsze! A feladat szövegéből adódnak a függvény következő pontjai: P ( 2; 0); Q (4; 0); R (0; 6). A pontok koordinátáit helyettesítsük a hozzárendelési szabályba: 0 = ( 2) 2 a 2b + c 0 = 4 2 a + 4b + c 6 = 0 2 a + 0 b + c} A kapott egyenletrendszer megoldásai: a = 3 ; b = 3 ; c = 6. 4 2 Ezek alapján a megoldás: f (x) = 3 4 x2 3 x 6. 2 23
29. Add meg az a, b, c értékeket úgy, hogy az f(x) = ax 2 + bx + c függvény tengelypontja a T (3; 2) legyen és illeszkedjen rá a P (1; 6) pont! A tengelypont segítségével felírhatjuk a következőt: f(x) = a (x 3) 2 2. Helyettesítsük be a P pont koordinátáit: 6 = a (1 3) 2 2 a = 2. Ezek alapján a megoldás: f (x) = 2 (x 3) 2 2 = 2x 2 12x + 16, vagyis a = 2; b = 12 és c = 16. 30. Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 3 x + 2 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x + 2 k (x) = 3 x + 2 f (x) = 3 x + 2 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 2) - vel (ábrán: kék) h (x) x tengelyre merőleges 3 szoros nyújtása (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén ( 4) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 24
31. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 x 3 + 1! 2 A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x 3 k (x) = 1 x 3 2 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: kék) h (x) y tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: zöld) t (x) = 1 x 3 2 k (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: lila) f (x) = 1 x 3 + 1 2 t (x) eltolása az y tengely mentén (+ 1) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 32. Ábrázold és jellemezd szélsőérték szempontjából az f (x) = x 2 3 függvényt! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g(x) = x h (x) = x 2 k (x) = x 2 t (x) = x 2 3 f (x) = x 2 3 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az y tengely mentén ( 2) vel (ábrán: kék) h (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén ( 3) mal (ábrán: lila) t (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: piros) 25
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): A függvénynek lokális (helyi) maximuma van az x = ±2 helyeken és ezek értéke y = 3. A függvénynek lokális (helyi) minimuma van a x = 0 helyen és ennek értéke y = 1. A függvénynek globális (abszolút) minimuma van az x = ±5 helyeken és ezek értéke y = 0. 33. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x x 3! A függvény ábrázolásához használnunk kell az abszolútérték definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 x 3, ha x 3 0 x 3 x 3 = { (x 3) = x + 3, ha x 3 < 0 x < 3 Ezek alapján fejezzük ki, hogy melyik intervallumon milyen függvényt kell ábrázolnunk: Ha x < 0, akkor a függvény a következőképpen adódik: x ( x + 3) = 3. Ha 0 x < 3, akkor a függvény a következőképen adódik: x ( x + 3) = 2x 3. Ha x 3, akkor a függvény a következőképpen adódik: x (x 3) = 3. 26
Ezek alapján a keresett függvény képe: 34. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x + x + 2! A függvény ábrázolásához használnunk kell az abszolútérték definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 x + 2, ha x + 2 0 x 2 x + 2 = { (x + 2) = x 2, ha x + 2 < 0 x < 2 Ezek alapján fejezzük ki, hogy melyik intervallumon milyen függvényt kell ábrázolnunk: Ha x < 2, akkor a függvény a következőképpen adódik: x + ( x 2) = 2x 2. Ha 2 x < 0, akkor a függvény a következőképen adódik: x + (x + 2) = 2. Ha x 0, akkor a függvény a következőképpen adódik: x + (x + 2) = 2x + 2. 27
Ezek alapján a keresett függvény képe: 35. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 2 4 x! A függvény ábrázolásához használnunk kell az abszolútérték definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 Ezek alapján fejezzük ki, hogy melyik intervallumon milyen függvényt kell ábrázolnunk: Ha x 0, akkor a függvény: x 2 4x = (x 2) 2 4. Ha x < 0, akkor a függvény: x 2 4 ( x) = x 2 + 4x = (x + 2) 2 4. Ezek alapján a keresett függvény képe: 28
36. Ábrázol és jellemezd a következő függvényt: f (x) = x 1 + 6! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x 1 k (x) = x 1 f (x) = x 1 + 6 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 1) - gyel (ábrán: kék) h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén (+ 6) tal (ábrán: piros) 29
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R Érték készlet R f : y ] ; 6] Zérushely x 1 = 5 és x 2 = 7 Monotonitás x ] ; 1] szigorúan monoton növekvő x [1; + [ szigorúan monoton csökkenő Szélsőérték Maximum helye: x = 1 Maximum értéke: y = 6 Korlátosság Pontos felső korlát: K = 6 Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Nem periodikus 30
37. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 x + 3! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = x h (x) = x + 3 f (x) = 2 x + 3 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: kék) h (x) x tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 38. Ábrázold a következő függvényt: f(x) = 1 + x! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g(x) = x h (x) = x f(x) = 1 + x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: kék) h (x) eltolása az y tengely mentén (+ 1) gyel (ábrán: piros) 31
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 3 39. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x! A köbgyök függvény abban különbözik a négyzetgyök függvénytől, hogy az x tengely minden pontján értelmezve van. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 3 g(x) = x alapfüggvény (ábrán: fekete) 3 h (x) = x g (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 32
40. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = 3 x 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g(x) = x h (x) = x 4 k (x) = x 4 f(x) = 3 x 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 4) gyel (ábrán: kék) h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén (+ 3) mal (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x [4; + [ Érték készlet R f : y ] ; 3] Zérushely x = 13 Monotonitás x [4; + [ szigorúan monoton csökkenő Szélsőérték Maximum helye: x = 4 Maximum értéke: y = 3 Korlátosság Pontos felső korlát: K = 3 Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Nem periodikus 33
41. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 x 1 + 2! A fordított arányosság képe hiperbola, amely az x és y tengelyeket nem éri el. A transzformáció során segítséget nyújthat, ha ezeket a tengelyeket is transzformáljuk a feladatnak megfelelően. A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x h(x) = 1 x 1 f (x) = 1 x 1 + 2 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 1) - gyel (ábrán: kék) h (x) eltolása az y tengely mentén (+ 2) vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 34
42. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 1 2x! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x h(x) = 1 2x f (x) = 1 2x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) y tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: kék) h (x) tükrözése az x tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 35
43. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x + 1 x 2! Mivel a nevező nem lehet 0, ezért a függvény az x = 2 pontban nem vesz fel értéket. Az ábrázoláshoz először át kell alakítanunk a hozzárendelési szabályt úgy, hogy az 1 x függvény transzformációiból eljussunk a keresett függvényig. x + 1 = x 2 + 3 = x 2 + 3 = 1 + 3 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Ezek alapján a kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x h(x) = 1 x 2 k (x) = 3 f (x) = 3 1 x 2 1 x 2 + 1 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 2) - vel (ábrán: kék) h (x) x tengelyre merőleges 3 szoros nyújtása (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén (+ 1) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 36
44. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = x 1 x 2! Mivel a nevező nem lehet 0, ezért a függvény az x = ± 2 pontokban nem vesz fel értéket. A függvény ábrázolásához használnunk kell az abszolútérték definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. x, ha x 0 x = { x, ha x < 0 Ezek alapján fejezzük ki, hogy melyik intervallumon milyen függvényt kell ábrázolnunk, s a kapott értékeket úgy kell alakítanunk, hogy az 1 függvény transzformációiból eljussunk a x keresett függvényig. Ha x 0, akkor a függvény: x 1 = x 2 + 1 = x 2 + 1 = 1 + 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 Ha x < 0, akkor a függvény: x 1 = x 2 + 1 = x 2 + 1 = 1 + 1 = 1 1 x 2 x 2 x 2 x 2 (x + 2) x + 2 Ezek alapján a keresett függvény: 37
45. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = 1 x! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x f (x) = 1 x alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) tükrözése az y tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R \ {0} Érték készlet R f : y R \ {0} Zérushely Nincs zérushelye Monotonitás x ] ; 0[ ]0; + [ szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Nincs szélsőértéke Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja Paritás Páratlan Periodicitás Nem periodikus 38
46. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 x + 3 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = 1 x h(x) = 1 x + 3 k (x) = 2 t (x) = 2 1 x + 3 1 x + 3 4 f (x) = 2 x + 3 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén ( 3) - mal (ábrán: kék) h (x) x tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: zöld) k (x) eltolása az y tengely mentén ( 4) gyel (ábrán: lila) t (x) x tengely alatti részének tükrözése x tengelyre (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 39
47. Hány rácsponton megy át az f (x) = 2x + 3 2 x A keresett rácspontok mindkét koordinátája egész szám. függvény grafikonja! Alakítsuk át a függvény hozzárendelési szabályát a következőképpen: 2x + 3 2 x = 2 (2 x) + 7 2 x = 2 + 7 2 x A kapott kifejezés értéke akkor lesz egész szám, ha a (2 x) osztója 7 nek. A 7 osztói a következők: ±1; ±7. Ezek alapján a megoldás: 4 rácsponton halad át a függvény grafikonja. 48. Egy lineáris törtfüggvény értelmezési tartománya R \ {3} és a grafikonja illeszkedik a P (0; 4) és Q ( 2; 2) pontokra. Add meg a függvény hozzárendelési szabályát! ax + b A lineáris törtfüggvény általános alakja: f (x) =. x + c Az értelmezési tartományból következik, hogy c = 3. A P pont koordinátáit és a c értékét helyettesítsük a kifejezésbe: 4 = Ebből a következő adódik: b = 12. 0 a + b 0 3. A Q pont koordinátáit és a b, c értékeket helyettesítsük a kifejezésbe: 2 = Ebből azt kapjuk, hogy a = 1. 2 a 12 2 3. Ezek alapján a megoldás: f (x) = x 12 x 3. 40
49. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = {2x}! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = {x} f (x) = {2x} alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) y tengelyre merőleges 1 szeres zsugorítása (ábrán: piros) 2 Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 50. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2 [x]! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = [x] f (x) = 2 [x] alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) x tengelyre merőleges 2 szeres nyújtása (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): 41
51. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = sgn (x 2 4x)! A előjel függvény ábrázolásához először el kell döntenünk, hogy milyen x értékek esetén lesz az y értéke negatív, pozitív, illetve 0. Azt, hogy a 0 át hol veszi fel a függvény úgy kaphatjuk meg, ha a hozzárendelési szabályt egyenlővé tesszük 0 val és megoldjuk az egyenletet. x 2 4x = 0 x (x 4) = 0 x 1 = 0 és x 2 = 4 Ezek alapján a függvény a következőképen is megadható: 1, ha 0 < x < 4 f (x) = 0, ha x = 0 vagy x = 4 { 1, ha x < 0 vagy x > 4 Ezek alapján a keresett függvény képe: 52. Ábrázold a következő függvényt: f(x) = [x] 2! A kérdéses függvény képét úgy kaphatjuk meg, ha az alapfüggvény minden pontjának y koordinátáját négyzetre emeljük. Ezek alapján a keresett függvény képe: 42
53. Ábrázold a következő függvényt: f(x) = x [x]! A függvény ábrázolásához használnunk kell az egészrész definícióját, s intervallumokra kell bontanunk az x tengelyt. Tekintsük a következő néhány intervallumokat: Ha 3 x < 2, akkor a függvény a következőképpen adódik: 3x. Ha 2 x < 1, akkor a függvény a következőképpen adódik: 2x. Ha 1 x < 0, akkor a függvény a következőképen adódik: x. Ha 0 x < 1, akkor a függvény a következőképpen adódik: 0. Ha 1 x < 2, akkor a függvény a következőképen adódik: x. Ha 2 x < 3, akkor a függvény a következőképpen adódik: 2x. Ha 3 x < 4, akkor a függvény a következőképpen adódik: 3x. Ezek alapján a keresett függvény képe: 43
54. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = [x 3]! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = [x] f (x) = [x 3] alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az x tengely mentén (+ 3) mal (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R Érték készlet R f : y Z Zérushely x [3; 4[ Monotonitás Monoton növekvő Szélsőérték Nincs szélsőértéke Korlátosság Nincs alsó és felső korlátja Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Nem periodikus 44
55. Ábrázold és jellemezd a következő függvényt: f (x) = {x} + 4! A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x) = {x} f (x) = {x} + 4 alapfüggvény (ábrán: fekete) g (x) eltolása az y tengely mentén (+ 4) gyel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva): Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: f (x) Értelmezési tartomány D f : x R Érték készlet R f : y [4; 5[ Zérushely Nincs zérushelye Monotonitás Két egymást követő egész között szigorúan monoton növekvő Szélsőérték Minimum helye: x Z Minimum értéke: y = 4 Pontos felső korlát: K = 5 Korlátosság Pontos alksó korlát: k = 4 Korlátos függvény Paritás Nem páros, nem páratlan Periodicitás Periódus: p = 1 45
56. Ábrázold a következő függvényeket az adott intervallumokon! a) f (x) = x 3, ha x ] 1; 2] b) f (x) = x + 2, ha x [1; 6] c) f: [ 4; 5[ R; x x 3 Először ábrázoljuk a függvényeket, majd a grafikonoknak csak azon részét kell tekintenünk, amely megfelel az adott intervallumnak (értelmezési tartománynak). a) f (x) = x 3, ha x [ 1; 2[ A keresett függvény képe: 46
b) f (x) = x + 2, ha x [1; 6] A keresett függvény képe: c) f: [ 4; 5[ R; x x 3 A keresett függvény képe: 47
57. Ábrázold a következő függvényeket! 1 2 x + 6, ha x < 4 a) f (x) = x, ha 4 x < 3 { 3, ha x 3 (x + 5) 2 3, ha x 3 b) f (x) = x + 4, ha 3 < x < 2 { 2 x 2 + 2, ha x 2 Az összetett függvényeket először ábrázolnunk kell részenként, majd a kapott grafikonoknak csak azon részét kell tekintenünk, amely megfelel a feladatban adott intervallumoknak. 2x + 2, ha x > 4 a) f (x) = x, ha 4 x < 3 { 3, ha x 3 Ebben az esetben a következő függvényeket kell ábrázolnunk az adott intervallumokon: g (x) = 1 x + 6 h (x) = x k (x) = 3 2 Ezek alapján a keresett függvény képe: 48
(x + 5) 2 3, ha x 3 b) f (x) = x + 4, ha 3 < x < 2 { 2 x 2 + 2, ha x 2 Ebben az esetben a következő függvényeket kell ábrázolnunk az adott intervallumokon: g (x) = (x + 5) 2 3 h (x) = x + 4 k (x) = 2 x 2 + 2 Ezek alapján a keresett függvény képe: 58. Ábrázold a következő függvényt: f (x) = 2x2 8 x + 2! A függvény értelmezési tartománya: D f : x R \ { 2}. Alakítsuk át a függvény hozzárendelési szabályát a következőképpen: 2x 2 8 = 2 (x2 4) 2 (x 2) (x + 2) = = 2 (x 2) = 2x 4. x + 2 x + 2 x + 2 49
Ebből adódik, hogy a függvény képe egy egyenes, amely az x = 2 helyen nincs értelmezve. Ezek alapján a keresett függvény képe: 59. Állapítsd meg a következő függvények paritását! f: R R; x 5x3 6 + x 10 g (x) = x 7 h (x) = x 2 + x8 Mind a három függvénynél teljesül, hogy x D esetén ( x) D. A paritás vizsgálatához a következőt kell megvizsgálnunk: ha f(x) = f( x), akkor a függvény páros, ha f ( x) = f(x), akkor a függvény páratlan. Ezek alapján a megoldások: f ( x) = 5 ( x)3 5x3 = = 5x3 = f (x) páratlan 6 + ( x) 10 6 + x 6 + x g ( x) = x 7 = (x + 7) = x + 7 g (x) g (x) egyik sem h ( x) = x 2 + ( x) 10 = x 2 + x 10 = h (x) páros 50
60. Igazold, hogy az f (x) = 4x 3 + 3x 2 + 2x 1 függvény az egész értelmezési tartományán szigorúan monoton növekvő! Meg kell mutatnunk, hogy tetszőleges x 1 ; x 2 R(= D f ); x 1 < x 2 esetén f (x 1 ) < f (x 2 ). Tekintsük a következőt: f (x 2 ) f (x 1 ) = 4x 2 3 + 3x 2 2 + 2x 2 1 (4x 1 3 + 3x 1 2 + 2x 1 1) = = 4 (x 2 3 x 1 3 ) + 3 (x 2 2 x 1 2 ) + 2 (x 2 x 1 ) > 0 Mivel f (x 2 ) f (x 1 ) > 0, így f (x 2 ) > f (x 1 ), vagyis az f (x) szigorúan monoton növekvő. 61. Mennyi a periódusa az f (x) = 5 {x} + 2, illetve a g (x) = { x 8} függvénynek? 7 Mivel az f (x) függvény az alapfüggvényből értéktranszformációkkal származik, így a periódusuk megegyezik: p = 1. Mivel a g (x) függvény az alapfüggvényből változótranszformációkkal származik, így a periódus annak megfelelően változik: p = 7. 62. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket! a) 2x + 3 = x + 6 b) x 2 = 4 c) x = 3x d) x 2 4 = x + 2 e) x 2 + 3 = x + 2 Az egyenletek grafikus megoldása azt jelenti, hogy az egyenlet két oldalát függvényként tekintjük, s azokat közös koordináta rendszerben ábrázolva, leolvassuk a metszéspontok x koordinátáit. Így megkeressük azt a változó értéket, ahol a függvényértékek megegyeznek. a) 2x + 3 = x + 6 Legyen f (x) = 2x + 3 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 6 (ábrán: piros). 51
Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = 1. b) x 2 = 4 Legyen f (x) = x 2 (ábrán: fekete) és g (x) = 4 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlet megoldása: x 1 = 2 és x 2 = 2. 52
c) x = 3x Legyen f (x) = x (ábrán: fekete) és g (x) = 3x (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlet megoldása: x = 0. d) x 2 4 = x + 2 Legyen f (x) = x 2 4 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 2 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlet megoldása: x 1 = 1 és x 2 = 2. 53
e) x 2 + 3 = x + 2 Legyen f (x) = x 2 + 3 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 2 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Mivel a két függvénynek nincs metszéspontja, így az egyenletnek nincs megoldása. 63. Oldd meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket! a) 3 x 5 < x + 2 4 b) x + 4 > 1 c) x 2 x d) 2 x + 1 e) x 2 (2x) 2 Az egyenlőtlenségek grafikus megoldása azt jelenti, hogy az egyenlet két oldalát ábrázoljuk, mint függvények, majd megvizsgáljuk, hogy az egyenlőtlenség mikor teljesül a függvények grafikonjára. Szemléletesen: Ha azt keressük, hogy az f függvény mikor lesz nagyobb a g függvénynél, akkor az ábrán ez azt jelenti, hogy az f függvény grafikonja az x tengely melyik részén halad a g függvény grafikonja felett. a) 3 x 5 < x + 2 4 Legyen f (x) = 3 x 5 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 2 (ábrán: piros). 4 54
Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: x < 4. b) x + 4 > 1 Legyen f (x) = x + 4 (ábrán: fekete) és g (x) = 1 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: x > 5. 55
c) x 2 x Legyen f (x) = x 2 (ábrán: fekete) és g (x) = x (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: 0 x 1. d) 2 x + 1 Legyen f (x) = 2 (ábrán: fekete) és g (x) = x + 1 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenség megoldása: x R. 56
e) x 2 (2x) 2 Legyen f (x) = x 2 (ábrán: fekete) és g (x) = (2x) 2 (ábrán: piros). Ábrázoljuk ezeket a függvényeket közös koordináta rendszerben: Ezek alapján az egyenlőtlenségnek nincs megoldása. 64. Add meg az ábrázolt függvények hozzárendelési szabályát! 57
A függvények hozzárendelési szabályát leolvashatjuk a függvénytranszformációk segítségével. Ezek alapján a megoldások: f (x) = 3 5 x + 1 g (x) = x2 + 5 h (x) = x 3 k (x) = 2 x + 4 t (x) = 2 65. Milyen függvénytípusokkal lehet szemléltetni az alábbi szituációkat? A: Egy telefontársaság perc alapú számlázása esetén fizetendő összeg, ahol az első megkezdett perc ingyenes, majd minden további megkezdett percért (a perc nulladik másodpercétől kezdve) 20 Ft ot kell fizetni. B: Egy kerékpáros egyenletes sebességgel haladva adott idő alatt megtett útja. C: Egy ferdén feldobott kő legmagasabb emelkedési pontjának meghatározása. D: A nagymutató által mutatott perc 6 és 10 óra között. E: Feszültség jelzése egy vezető két vége között (a két állapot megkülönböztetése). F: A munkások és az elkészített alkatrészek száma közötti kapcsolat ábrázolása. A lehetséges megoldások a következők: egészrész; egyenes arányosság (lineáris); másodfokú; törtrész; előjel; fordított arányosság függvény. 66. Ábrázold derékszögű koordináta rendszerben a következő halmazokat! a) A = {P(x; y) 1 < x < 4 és 1 y és x, y R} b) B = {P(x; y) x 2 vagy y > 1 és x, y R + } c) C = {P(x; y) y < x + 1 és y x 2 1 és x R, y R} d) D = {P(x; y) x 2 + y 2 25 és y < 3 és x, y R} Az ábrázolások során amennyiben a határoló vonal beletartozik a ponthalmazba, akkor azt folyamatos vonallal jelöljük, ha pedig nem része a ponthalmaznak, akkor szaggatott vonallal. Ezek alapján a megoldások: 58
a) b) c) 59
d) 67. Adott az f (x 2) = x, x R függvény. Add meg az f (x + 1), x R függvényt! A megfelelő átalakítások után a következő adódik: f (x + 1) = f [(x 2) + 3] = x + 3. 68. Add meg a valós számok megfelelő részhalmazán értelmezett f függvényt, ha tudjuk, hogy f (x + 3) = x 2 2x + 3! A megfelelő átalakítások után a következő adódik: f (x) = (x 3) 2 2 (x 3) + 3 = x 2 8x + 18. 60