CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL: II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL

CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL SZÉKELY GERGELY HORVÁTH ISTVÁN SZELLŐ LÁSZLÓ CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL: II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL ARTICLE SERIES ON EXTENDED BOLYAI GEOMETRY: II. TWO CONJECTURE ABOUT THE LAW OF COSINES IN EXTENDED GEOMETRIES A cikksorozat ezen részében egyrészt precíz axiomatikus keretek között újrafogalmazzuk az előző cikk tételeit, majd megfogalmazunk két sejtést a kiterjesztett geometriák koszinusztételeiről, amelyek szorosan kapcsolódnak tételeihez. In this part of the article series on extended Bolyai geometry, we reformulate the theorems of the previous part within a strict axiomatic frame and formulate two conjecture about that the formulas of these theorems appear as laws of cosines in certain extended geometries. Bevezetés Jelen cikkünkben egyrészt precíz axiomatikus keretek között újrafogalmazzuk az előző rész [1] tételeit, továbbá megfogalmazunk két sejtést a kiterjesztett geometriák koszinusztételeiről, amelyek szorosan kapcsolódnak [1] tételeihez. Mindkét lépéshez rögzítenünk kell egy precíz logikai keretet, amit a következő fejezetekben fogunk megtenni. Logikai keret Az axiomatizáláshoz a szokásos elsőrendű logikát fogjuk használni, vö. pl. []. A sztenderd magasabb rendű logikák használatát azért kerüljük, 19

TERMÉSZETTUDOMÁNY mert erőteljesen függnek a halmazelméleti háttértől és így elméletek axiomatizálására alkalmatlanok. Ez a függőség olyan erős, hogy mind a konkrét modellekben érvényes másodrendű formulák halmaza, mind a másodrendű logikai igazságoknak a halmaza megismerhetetlen, azaz függetlenek a metaelméletként használt halmazelmélettől. Például a kontinuum hipotézis1 formalizálható a másodrendű logikában (és így minden magasabb rendű logikában is). Jelöljük φ KH -val a kontinuum hipotézist formalizáló másodrendű formulát. Mivel a kontinuum hipotézis független a halmazelmélet axiómáitól, így az hogy a φ KH másodrendű formula igaz-e a valós számok struktúrájában, vagy φ KH az, hogy logikai igazság-e tudhatatlan. Az elsőrendű logika használata esetén, az elsőrendű következmény fogalom abszolútsága miatt, ez a helyzet lényegében véve nem tud előfordulni. További részletek megtalálhatóak [3] megfelelő fejezeteiben. A formulákban a következő logikai jeleket fogjuk használni:...és...,...vagy..., nem..., ha...akkor..., x minden x- re..., x létezik x, hogy.... Az elméletek (különböző) alapobjektumaihoz (különböző típusú) változó jeleket veszünk fel, hogy tudjunk hivatkozni rájuk a formulákban. Az algebrák alapobjektumai a számok, a geometriák alapobjektumai pedig a pontok és az egyenesek. Mivel a geometriai alapfogalmaknak két típusa van (pontok és egyenesek), a geometriák axiomatizálásához az úgynevezett két típusos (vagy két fajtájú) logikát fogjuk használni, vö. pl. []. Minden elméletben az alapobjektumok mellett szerepelnek további alapfogalmak is. Ezek az alapfogalmak lehetnek alapobjektumot jelölő konstansok (pl. számoknál a 0 és az 1 ilyen konstans), lehetnek továbbá alapobjektumok között fennálló relációk, vagy alapobjektumok közötti függvénykapcsolatok. Minden elméletben szerepelnek egyszerű és összetett mondatok. Formalizálásnál ezeket célszerű külön kezelni. Egy adott elméleten belül mondható legegyszerűbb mondatokat nevezzük az elmélet alapmondatainak. Az alapmondatok lényegében véve az elmélet 1 A kontinuum hipotézis azt mondja ki, hogy nincs olyan halmaz, ami nagyobb számosságú, mint a természetes számok halmaza, de kisebb számosságú, mint a valós számok halmaza. 0

CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL tőmondatai. Például a számoknál alapmondat az x kisebb, mint y vagy az x és y összege z mondatok, de alapmondat az x és y összege kisebb, mint x és y összegének és z-nek a szorzata mondat is. A geometriák egyik alapmondata pedig a P pont illeszkedik az e egyenesre mondat. Az elméletek többi mondata ezekből az alapmondatokból épül fel összetétellel. Az alapmondatok formalizálásához megfelelő reláció, függvény és konstansjeleket veszünk fel. (A reláció, konstans és függvényjelek összességét az elmélet nyelvének szokás nevezni.) Ezek után a változókból és konstansokból kifejezéseket építünk a függvényjelek segítségével. Az alapmondatok a következő alakúak: két kifejezés egyenlő vagy bizonyos kifejezések között fennáll valamilyen reláció. Így az alapmondatokat a felvett relációjelekkel és az egyenlőségjellel könnyedén formalizálhatjuk. Például x kisebb, mint y alapmondat formalizálásához felveszünk egy< kétváltozós relációjelet. A megfelelő alapmondat formalizáltja a< x, yformula, amit a könnyebb olvashatóság kedvéért x < y alakban írunk. Hasonlóan az x és y összege z alapmondat formalizálásához felveszünk egy+két változós függvényjelet. A megfelelő alapmondat formalizáltja a+ x, y= z formula, amit a könnyebb olvashatóság kedvéért x + y = z alakban írunk. Az alapmondatoknak a formalizált változatait hívjuk atomi formuláknak. Az összes többi formulát, köztük az axiómákat is ezekből az atomi formulákból építjük fel a logikai jelek segítségével. Legyen φ egy formula. Vezessük be a xφx yzφy φz y = z formulára a!x φxrövidítést, melynek jelentése az, hogy létezik egyetlen x, hogy.... Valósan zárt testek A [1] tételeinek axiomatikus keretek között történő újra tárgyalásához először a valós számok fogalmát fogjuk axiomatikusan megadni. Ehhez vegyünk fel két konstans jelet: a 0-át és az 1-et, továbbá két kétváltozós műveleti (függvény)jelet+(összeadás) és szorzás, valamint egy kétváltozós relációjelet (rendezés). Definíció: Az előbb megadott típusú 0,1, +,, jelekből álló nyelvet nevezzük a valós számok nyelvének. Definíció: Valósan zárt testnek nevezünk minden olyan (a valós számok 1

TERMÉSZETTUDOMÁNY nyelvén adott) számstruktúrát, ami teljesíti a következő axiómákat: AxS: Az összeadás asszociatív és kommutatív, a 0 semleges elem és minden számnak van ellentettje: xyz x + y+ z = x + y + z(asszociativitás), xy x + y = y + x (kommutativitás), x 0+ x = x (a 0 semleges elem), x x x+ x= 0 (ellentett létezése). A A B A nem egyenlő B formulát a A = B formula rövidítéseként értelmezzük. AxP: A 0 és az 1 különböző számok, az 1 egységelem, a szorzás kommutatív és asszociatív, továbbá minden 0-tól különböző számnak van inverze: 0 1 (0 nem 1), x 1 x = x (az 1 egységelem), xy x y = y x (kommutativitás), xyz x y z = x y z (asszociativitás), 1 1 x x 0 x x x = 1(inverz létezése). AxD: A szorzás disztributív az összeadásra nézve: xyz x + y z = x z + y z (disztributivitás) AxO A reláció teljesíti a rendezési axiómákat: x x x (reflexivitás), xyz x y y z x z (tranzitivitás), xy x y y x x = y (antiszimmetria). AxM: Két szám rendezése nem változik meg, ha egy harmadik számot hozzájuk adunk, továbbá két nemnegatív szám szorzata nemnegatív: xyz x y x + z y + z, xy 0 x 0 y 0 x y. AxSqrt: Minden 0-nál nagyobb számnak van gyöke: x 0 < x y x = y y. AxRc: Minden páratlan fokú polinomnak van gyöke: n+ 1 a0 an+ 1 x a0 + a1 x+ an+ 1 x = 0. Például a valós számok egy valósan zárt testet alkotnak, de a racionális

CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL számok nem alkotnak valósan zárt testet, mert az AxSqrt és az AxRc axiómákat nem teljesítik. Az algebrai valós számok (azaz azok a valós számok, amelyek előállnak, mint egy egész együtthatós polinom gyöke) is egy valósan zárt testet alkotnak. További példa valósan zárt testekre a nem-sztenderd valós számok teste, vö. pl. [4]. A nem-sztenderd valós számok egyik érdekessége, hogy szerepelnek köztük végtelenül kicsi (azaz minden pozitív racionális számnál kisebb) és végtelenül nagy (azaz minden természetes számnál nagyobb) számok is. A kiterjesztett trigonometria alaptételeinek formalizálása Ebben a fejezetben formalizáljuk (a valós számok nyelvén) a kiterjesztett trigonometria alaptételét és a kapcsolódó segédtételeket [1]. Jelen cikkben szereplő tételek erősebbek, mint a [1] cikkbeli megfelelőjük, mert nem csak a valós számokra érvényesek, hanem tetszőleges valósan zárt testre is. Így például az algebrai valós számok testében vagy a nem-sztenderd valós számok körében is érvényesek. Ennek ellenére nem igényelnek külön bizonyítást, mert Tarski egyik híres tétele azt mondja ki, hogy minden a fenti nyelven felírt formula pontosan akkor igaz a valós számok testében, ha igaz minden valósan zárt testben. 1. tétel: Minden valósan zárt testben igazak a következő formulák: b + c bcρ b, c, ρ 0 b 1 0 c 1 < 1 a a =, 1+ b c bcρ b +c a, b,c,ρ a0b 10 c 1 < 1a = 1+b c 0 a,b,c, ρ 0 a 0 b 1 0 c 1 < 1 a bcρ bcρ a1 b1 c1 < 0 b + c = 1+ b c bcρ bcρ a + c acω a + b abδ! ω,δ < 1 < 1 b = c = 1+ a c acω 1+ a b abδ Definíció: Azt mondjuk, hogy az a, b, és c számok kiterjesztett Bolyai rendben állnak, ha nem negatívak és igaz rájuk a következő formula: 3

TERMÉSZETTUDOMÁNY a 1 b 1c 1 < 0 1.3 Segédtétel: Bármely x és y valós számra teljesül, hogy x + y az x, y és számok kiterjesztett Bolyai rendben állnak, azaz 1+ xy minden valósan zárt testben igaz a következő formula: x + y x, y,z z = x 1 y1 z1 < 0. 1+ xy 1.4 Segédtétel és 1.5 Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: ~ b+c ~ a+η a, b, c, a,η 0a0b0 cη< 1a= a= a1 a ~ 1 > 0a=a= ~ 1 1+bc 1+aη Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: b+c a + η a,b,c, A,η 0 b 1 0 c 1 < 1 a = A = a 1+ bc 1+ aη. A 1 b 1 c 1 < 0 1.6 Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: u +v u,v,x,z 0 < u v < 1 z < x uv. u +v uvx u +v uvx u +v uvz 0 < 1+u v uvx 1+u v uvx 1+u v uvz 1.7 1.7.1. Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: u +v uvη u +v u, v,w,η 0 u < 10 v < 10 w< 1w = η 1+u v uvη uv 1.7.. Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: u v u,v,w,η 0 u < 1 0 v < 1 0 w < 1 1 uv w u + v = 1+ u v uvη uvη η 1 w u + v 1+ uv. 4

CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL 1.8 Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: v u v x u,v,x 0 < u < v < 1 u x 1. 1 uv 1 vx 1.9 Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: u v x v u,v,x 0 < u < v < 1 0 x u. 1 uv 1 vx 1.10 Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: u v x v u,v,x 0 < u v < 1 0 x u 1 uv 1 vx. 113.1 Segédtétel: Minden valósan zárt testben igaz a következő formula: a,b,c, ρ,η 0 < a 1 0 b 1 0 c 1 bc 1+ ρ η = b + c + cb + bc c + b + η = 1+ cb 1+ cb η c + b ρ a < 1 η η < 1 < 1 A következő tétel az 1. tétellel teljesen analóg módon bizonyítható, ezért a bizonyítását jelen cikkben mellőzzük.. tétel: Minden valósan zárt testben igazak a következő formulák: 1+ b c bcρ b, c, ρ 0 b 1 0 c 1 < 1 a a =, b + c bcρ 1+b c bcρ a, b, c,ρ 0a0b10c 1 > 1a = b +c bcρ a,b,c, ρ 0 a 0 b 1 0 c 1 > 1 a a1 b1 c1 > 0 1+ b c = b + c. bcρ bcρ 1+ a c acω 1+ a b abρ! ω,δ > 1 > 1 b = c = a + c acω a + b abρ Könnyű megmutatni, hogy 1. és. tételek nem érvényesek tetszőleges rendezett testben. Például a racionális számok rendezett testében nem létezik az első formulák által megkívánt a szám ab = c = és ρ = 0választás mellet. 5

TERMÉSZETTUDOMÁNY Azt a sejtést szeretnénk precízen megfogalmazni, hogy az 1. és. tételekben szereplő az a,b, c és ρ számok közötti összefüggést megadó kifejezések előállnak kiterjesztett geometriák koszinusztételeiként. Ehhez először is definiálnunk kell a kiterjesztett geometriák fogalmát, majd meg kell mondanunk, hogy mit értünk általában egy kiterjesztett geometria koszinusztétele alatt. Ezeket a következő két fejezetben fogjuk megtenni. 6 Cayley-Klein síkgeometriák és egyéb kiterjesztett geometriák Ebben a fejezetben nem csak megadjuk a kiterjesztett geometriák fogalmát, hanem egyúttal áttekintjük az Euklideszi síkgeometriát megadó Hilbert-féle axiómarendszert, majd megvizsgáljuk, hogy hogyan kell módosítani ezeket az axiómákat, hogy a többi nyolc Cayley-Klein síkgeometriákban érvényes axiómákat kapjunk. A geometriáknak két különböző típusú alapobjektumai is vannak: pontok és egyenesek. Ezért két típusos elsőrendű logikát fogunk használni. Az egyszerűség kedvéért úgy különböztetjük meg a különböző típusú változókat, hogy a pontokét nagy az egyenesekét pedig kis latin betűkkel jelöljük. További három alapfogalom az illeszkedés, az elválasztás és az egybevágóság. Ezekhez felvesszük a következő, 3 illetve 4 változós relációjeleket:, és. Ezek segítségével fogjuk formalizálni a megfelelő alapmondatokat a következő módon: P e jelentse azt, hogy a P pont illeszkedik az e egyenesre., ABCjelentse azt, hogy a B pont az A és a C pontok között helyezkedik el, AB CD pedig jelentse azt, hogy az A és a B pontok közötti távolság megegyezik a C és a D pontok közötti távolsággal. További két alapmondat az A és B pontok megegyeznek illetve az e és f egyenesek megegyeznek, melyeket az A=B illetve az e=f atomi formulákkal formalizálunk. A geometriák nyelvén csak ez az öt alapmondat van, mivel nincsenek se függvényjelek se konstansjelek. Definíció: A továbbiakban kiterjesztett geometriának nevezünk minden a fenti nyelven megadott struktúrát. Először tekintsük át az Euklideszi geometria Hilbert-féle axióma-

CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL rendszerét. Ehhez Kálmán Attila könyvének [5] axiómarendszerét vesszük alapul. Az axiómák számozásában követjük a [5] számozását. Ax0: Ha a B pont az A és a C pontok között helyezkedik el, akkor az A,B,C pontok különbözőek és egy egyenesen vannak: ABC ABC A B C A e A e B e C e. Ax10: Minden egyenesnek van legalább két pontja: e AB A B A e B e. Ax11: Bármelyik két különböző pont egyértelműen meghatároz egy olyan egyenest, amely illeszkedik ezekre a pontokra. AB A B!e A e B e. Ez az axióma nem teljesül minden Cayley-Klein síkgeometriában, ezért a későbbiekben módosítani fogjuk, vö. AxHp0, AxHp1, AxHp axiómák. Ax1: Létezik legalább három olyan pont, amelyek nincsenek egy egyenesen: ABC e A e B e C e. Az [5] könyvbeli Ax13, Ax14, Ax15, Ax16 axiómák mind síkokról szólnak és így egy síkgeometriai axiómarendszerben semmitmondóak. Ax17: Ha egy egyenes két pontja A és B, akkor van az egyenesnek olyan C pontja, amelyet B elválaszt az A ponttól: ABe A e B e A B C ABC. Ax18: Egy egyenes három különböző pontja közül, legfeljebb egy van a másik kettő között: ABC ACB CAB ABCe A e B e C e. Ax19(Pasch): Ha egy egyenes nem halad át egy háromszög egyik csúcsán sem, de metszi a háromszög egyik oldalát, akkor legalább még egy oldalát metszi a háromszögnek: ABCe A e B e C e P APC QQ e AQB BCQ A Pasch axióma többek között azt is biztosítja, hogy csak síkgeometriák lesznek az axiómarendszer modelljei. Definíció: Az hogy a P pont illeszkedik az AB félegyenesre a következőképpen formalizálható: ABP APB A= P B = P, rövidítsük ezt a formulát a továbbiakban a P AB jelsorozattal. Ax0: Ha adott egy AB szakasz és az O kezdőpontú félegyenes, akkor 7

TERMÉSZETTUDOMÁNY van a félegyenesen olyan C pont, amelyre OC AB: ABOP A B P O C C OP OC AB. Ax1: Ha az e egyenes egymás utáni A, B, C és az e' egyenes egymás utáni A', B', C' pontjaira AB A' B' és BC B' C', akkor AC A' C' : ABCA' B'C' ABC A' B'C' AB A' B' BC B'C' AC A' C' Definíció: A PQR és P' Q' R' szögek egybevágóak, ha léteznek olyan P'' és R'' pontok az QP illetve a QR félegyeneseken, hogyqp' ' Q' P', QR' ' Q' R' és P' ' R'' P' R', azaz ha a következő formula érvényes: P' ' R' ' P' ' QP R' ' QR QP' ' Q' P' QR' ' Q' R' P' ' R' ' P' R'. Rövidítsük ezt a formulát a PQR P' Q' R' jelsorozattal. Ax: Ha adott a PQR konvex szög, egy félsík és annak határán az OA félegyenes, akkor a megadott félsíkon belül egyetlen olyan OB félegyenes létezik, amelyre az AOB és A' B' C' szögek egybevágóak, azaz: PQROAC c OA COA! BPQR AOB D D CB D OA DOA Ax3: Ha az ABC és az A'B'C' háromszögekben AC A' C', BC B' C' és ACB A' C' B', akkor ABC A' B' C', azaz: ABCA' B'C' AC A'C' BC B'C' ACB A'C' B' ABC A' B'C' A folytonossági axiómák (Ax4, Ax5, Ax6, vö. [5]) nem tisztán geometriai, hanem inkább halmazelméleti axiómák. Ezért jelen tárgyalásban kihagyjuk őket. A párhuzamossági axiómát a következőképpen formalizálhatjuk a fenti nyelven: AxPh1: Ha adott egy e egyenes és egy hozzá nem illeszkedő P pont, akkor pontosan egy olyan f egyenes van, amely a megadott ponton áthalad és a megadott egyenest nem metszi: ep P e! f P f Q Q e Q f Ezzel végére is értünk az Euklideszi geometria Hilbert-féle axiómarendszerének a fenti nyelven való újraformalizálásának. Ezek után rátérünk arra, hogy hogyan módosítsuk a párhuzamossági axiómát, hogy olyan változatát kapjuk, ami a többi nyolc Cayley-Klein geometria valamelyikében érvényes. Az elliptikus geometriában a párhuzamossági axióma következő változata érvényes. 8

CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL AxPh0: Bármely két egyenesnek van metszéspontja: ef P P e P f A hiperbolikus geometriában pedig a párhuzamossági axiómának a következő változata érvényes. AxPh: Ha adott egy e egyenes és egy hozzá nem illeszkedő P pont, akkor van legalább két olyan egyenes, amely a megadott ponton áthalad és a megadott egyenest nem metszi: ep P e fg f g P f P g Q Q e Q f Q e Q g Módosítanunk kell az Ax11 axiómát is, mert az csak az Euklideszi, a hiperbolikus és az elliptikus geometriákban érvényes. Mivel minden pont rajta van egy egyenesen, ezért az Ax11 axióma ekvivalens a következővel: AxHp0: Bármely két ponton összeköthető egyenessel: EF p E p F p. Az oszcilláló Newton Hooke, a Galilei és a táguló Newton Hooke téridőkben az Ax11 axióma következő változata érvényes: AxHp1: Ha adott egy p egyenes és egy hozzá nem illeszkedő E pont, akkor pontosan egy olyan F pont van a p egyenesen,, amely nem köthető össze az E ponttal: Ep E p! F F p q F q F p. Az anti-de Sitter, a Minkowski és a de Sitter téridőkben az Ax11 axióma következő változata érvényes: AxHp: Ha adott egy p egyenes és egy hozzá nem illeszkedő E pont, akkor van legalább két olyan pont a p egyenesen, amely nem köthető össze az E ponttal: Ep E pfgg FF pg pq E q F q E q G q Vegyük észre, hogy a párhuzamossági axiómák (AxPh0, AxPh1, AxPh) duálisak az AxHp0, AxHp1 és AxHp axiómákkal abban az értelemben, hogy az utóbbiakat megkaphatjuk a megfelelő párhuzamossági axiómákból úgy, hogy a formulákban a pontok és egyenesek szerepét felcseréljük. A következő táblázatban azt foglaljuk össze, hogy melyik Cayley- Klein síkgeometriát kapjuk attól függően, hogy melyik párhuzamossági axiómát (AxPh0 AxPh1 AxPh) tesszük fel illetve, hogy az Ax11 axiómát az AxHp0, AxHp1, AxHp axiómák melyikére cseréljük ki, vö. [6]. 9

TERMÉSZETTUDOMÁNY AxHp0 AxHp1 AxPh0 AxPh1 AxPh Riemann-féle (elliptikus) oszcilláló Newton Hooke téridő Euklideszi Galilei téridő AxHp anti-de Sitter téridő Minkowski téridő Bolyai Lobacsevszkij (hiperbolikus) táguló Newton Hooke téridő de Sitter téridő (bihiperbolikus) A táblázat szépen mutatja, hogy a geometriákat a párhuzamossági axiómák és a duálisaik kilenc részre osztják úgy, hogy mind a kilenc részben pontosan egy Cayley-Klein geometria található. Kiterjesztett geometriák koszinusztételei Ebben a fejezetben megfogalmazunk két sejtést a kiterjesztett geometriák koszinusztételeivel kapcsolatban. Ehhez először definiálnunk kell, hogy mit értünk általánosan koszinusztétel alatt a kiterjesztett geometriák körében. Definíció: Egy kiterjesztett geometria koszinusztétele alatt olyan összefüggést értünk, ami egy tetszőleges háromszög három oldala és a legnagyobb oldallal szemközti szög között teremt kapcsolatot. A következő táblázatban a már említett kilenc Cayley-Klein geometriák körében érvényes koszinusztételeket foglaljuk össze, vö. [6]: AxHp0 AxHp1 AxHp AxPh0 AxPh1 AxPh cosa = cosbcosc + sinbsin ccosα a = b + c bccosα ch a = ch bch c + sh bshccos α a = b + c a = b + c a = b + c cos a = cos bcos c + sin bsin cchα a = b + c + bcchα ch a = ch b ch c + sh b sh cch α 1.Sejtés: Létezik olyan az AxHp0 axiómát teljesítő kiterjesztett geometria, amiben a koszinusztétel a következő alakú: 30

CIKKSOROZAT A KITERJESZTETT BOLYAI GEOMETRIÁRÓL II. KÉT SEJTÉS KITERJESZTETT GEOMETRIÁK KOSZINUSZTÉTELEIRŐL b bccosα +c a =, 1 bccosα +b c azaz a ρ = cosα helyettesítéssel az 1.Tételben szereplő kifejezés megjelenik, mint egy az AxHp0 axiómát kielégítő kiterjesztett geometria koszinusztétele.. Sejtés: Létezik olyan az AxHp axiómát teljesítő kiterjesztett geometria, amiben a koszinusztétel a következő alakú: 1 bcchα +b c a =, b bcchα + c azaz a ρ = chα helyettesítéssel az. tételben szereplő kifejezés megjelenik, mint egy az AxHp axiómát kielégítő kiterjesztett geometria koszinusztétele. 31

TERMÉSZETTUDOMÁNY Felhasznált irodalom 1. Andréka Hajnal Madarász Judit Németi István: On the logical structure of relativity theories. 00. 4. Csirmaz László: Nemsztenderd analízis. Typotex. Budapest, 1999.. Ferenczi Miklós: Matematikai Logika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 00. 3. Horváth István Szellő László: Cikksorozat a kiterjesztett Bolyai geometriáról: I Bolyai János új, más világa. Bolyai Szemle, XVII évf. 1. szám 173. o. 008. 6. I. M. Jaglom: Galilei relativitási elve és egy nem euklideszi geometria. Gondolat, Budapest,1985.5. 7. Kálmán Attila: Nemeuklideszi geometriák elemei. Nemzeti Tankönyvkiadó. Budapest, 00. 3