ÃÞ Ý Ð ØÖÚÐ ËÑÙÐÐÝÒ ÒÝÚÐ ÌÒØ Ò Ý ÔØ Ñ Þ Ð Ø ÖØÖØ ÞÒ ÐÚ ÒÝÓÑØØ Þ Ø ÐÒÞ P N ( ) ÃÞ ÒÑ Ö Ú ÖØÖ ÓÖÓÞØ ÒØ ÖØÖк X ÒÝÓÑØØØ Ô Ð ÚÝ ÙØ ÒÝÓÑØغ Þ X Þ ÒÓÖÑ Þ X(

Ð ÒѹØÐ ØØÐ ÀÐÖØ ÔÖÓÖÑ Ô Ö ÅÖ Ð ¾¼¼ ½

ÃÞ Ý Ð ØÖÚÐ ËÑÙÐÐÝÒ ÒÝÚÐ ÌÒØ Ò Ý ÔØ Ñ Þ Ð Ø ÖØÖØ ÞÒ ÐÚ ÒÝÓÑØØ Þ Ø ÐÒÞ P N ( ) ÃÞ ÒÑ Ö Ú ÖØÖ ÓÖÓÞØ ÒØ ÖØÖк X ÒÝÓÑØØØ Ô Ð ÚÝ ÙØ ÒÝÓÑØغ Þ X Þ ÒÓÖÑ Þ X(X) Þ º ÌØ ÞÐ X Þ Ö Þ Ð ÒÝ Ñ Òº ÑÓÒØ P(X), P(X), PN(X), PN(X) P(X) ÑÓÒØ Þ ÓÖ X ÒÝÓÑØØØ PN(X) Þ ÓÖ X ÒÓÖÑ ÒÑ ÒÝÓÑØØØ Øº ÑÓÒØ P ÒÝÓÑØØØ N(X) Þ X ÒÓÖÑ Ô ÒÑ ÁÒØÙØÚ ÐÝØØ Ðк ¾

ÆÑ ØÖÚ Ð ÓÝ ÖØÐÑ ¹ ÐÝÒ ÔÖÐ ÞÐÒ ÞÞ ÐØÞع ÐÝÒ ÙÖ ØÙ ÒÖÖÒ Ð ÖÒ ÞÖ Ô ÐØÐ ÒÝÓÑØØÓØØ ÑÓÒØÓ ÔÓÒØÓ Ò ÖÖÐ ÞÐÒ ÓÝ Ô ÑÐÝ ÑÓÒØÓØ Ô ÒÝÓÑØØÒº ÝØ ÒÖÖÒ Ð ÖÒ ÞÖ ÔÒ ÐÑ ÞÑÒ ÙÖ ØÙ ÌÝ Ð ÓÝ Ô Þ ÑÓÒØÓØ ÒÝÓÑØØ º À Ôк ÚÐÑÓÖ ÒÝÓÑØØ P(X) ÑÓÒØÓØ ÓÖ X ØÒÝÐ Ò ÒÝÓÑØØغ ÌÝ Ð ÓÝ X ÒÝÓÑØØØ ÚØÞ¹ ÐÐ ÓÝ P(X) ÒÝÓÑØØØ ÆÑ ÐØØÐÒк Ö P(X) Þ ÑÑ Ñ ÖÒØ Ð ÓÝ ÔÒ ÑÒÒ Þ ÑÓÒØÓØ ÒÝÓÑØغ ÃÔ Ðع Ô ÖÖ ÓÝ ÐÚÒ ÐÐ µ Þ Þ Þ ÑÓÒØÓØ ÒÝÓÑØ Ô Ã Ñ Ð ØÒ ÓÙ ÑØÑØ ÖÒ ÞÖÐ ÚÐ ÒРغ

ØÑÙØØ ÃÖ Ò ÓÐÝÒ ÑÓÒØÓØ ÑÐÝ Ø ÒÝÓÑØØÐÒ Ø ÐÐØ ÞÞ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ ÒÑ ÒÝÓÑØØØ º

ÅÓÐ PN( PN) ÒÒ ÞÖÒØ Þ ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ PN Þ ÒÓÖÑ ÒÑ ÒÝÓÑØØØ º PN Þ ÒÓÖÑ ÞÓÒÒ ÔÔÒ PN( PN) ÑÓÒغ ÅÓÒØÙÒ Ø Ø ÔÓÒØÓ Ò ÓÖ Þ ÒÑ ÒÝÓÑØØØ ÚÝ Þ ÒÑ ÒÝÓÑØØØ Ý Ø Ø ÐØ Ñ ÒÝÓÑØØغ Þ ÙØØ Þ ÖØÙ ÑÖØ Ô Ó Ñ ÒÝÓÑØØ Ñ ÑÓÒØÓغ Ì Ø ÑÓÒØ Þ Ô ÞÓÒÒ Ó Ñ Ó ÒÝÓÑØØÒº

ÅÝÞ ÒÐ ÑØÑØ ÖÒ ÞÖÐ Ô ÐÝØØ ÞÐØØÒ ÚÓÐÒ Ý ÑØÑØ ÖÒ ÞÖÖÐ ÑÐÝ ÙÝÒÞÓÒ Ø ÖØÖÐ ÐÔÐ ÑÓÒØÓØ ÞÓÒÝØ º P ÐÒØ ÓÖ ÒÑ Þ ÐÒÒ ÓÝ Ô ÐØÐ ÒÝÓÑØØØ ÒÑ Þ ÓÝ ÖÒ ÞÖÒ ÞÓÒÝØغ À ÖÒ ÞÖ ÖÒ ÞÖ ØÐØ Ò ØÙ Ø Ø ÝØÐÒ Ñ ÑÓÒØ Ñ ÞÓÒØص ÓÖ ÙÖ PN( Þ Ñ ÖÒ ÞÖÒ ÞÓÒÝØØØÐÒº PN) ÞÖ ÓÝ PN( PN) ÑÓÒØ Ñ ÐÚÖ ÎÝ Þº À Ø Ø ÖÒ ÞÖ ÙÖ ØÙ ÓÖ Þ ÙØ ÑÓÒØ Ñ Ø PN( Ø Ø ÐÒØØØÐÒ ÑÓÒØ ÖÒ ÞÖÒ Ñ PN) ÞÓÒÝØغ Ñ Ñ Ø ÒÑ ÞÓÒÝØغ

Ñ ØÐ ÚÝ ÑÒÒ ÑÓÐÑÞØ ØØÐØ ÞÓÒÝØÒ ÚÝ ÒÑ ØÖÚ Ð ÓÒÓÐØÓØ Ö ÞØ Þ ÅÐÝÒ ØÖ ÑØÑØ ÐÑÐØØ ÓÖÑ Ð ÞÒØØ ÐÙÐÙ ÓÐ ÞÓÒÓ ØÙ Þ ÓÖÑÐ Ø ÑØÑØÐÓÞ ÐÐ ÔÓÒغ ÐÙÐÙ Ý ÚØÐÑÒÝ Þ ÐÐÒØÑÓÒ ÑÒØ Ñ ÞÞÐ ÚÚÐÒ ÓÝ ÔÒ Þ ÑÓÒØÓØ ÒÝÓÑØØ º ÓÖÑÐ Ø ÒÞÔÓÒØ ÞÖÒØ Þ ÓÐÑ Ö ÔÔÝ ÒØ ÐÐ Ò ÑÒØ Þ Þ ÓÐÑ Öº Þ Ý ÐØÐ Ò ÒÑ ØÖÚ Ð ÓÒÓÐØÓ ÑÐÝ ÑØÑØÐÓÞ ÚØØ Öݺ ÄÒÝÒ ÞÐ ÒØØ Ñ Ø Þ Þ ÀÐÖعÔÖÓÖÑ ÚÐ ÔÖÓÖÑÓØ ÑÙØØ Ð¹ØØк ÓÐÒ ØÙÙÒº Þ ØÖØØØÐÒÒ Ð Ø Þ ØÖ ÒÝÒº

ÙØÙÒ ÀÐÖØ ÓÖÑÐ Ø ÔÖÓÖÑ ÓÞ ÀÓÝÒ ÑÖ ÚÓÐØ Þ ÔÖ ÐÓÞ ÀÐÖØ Ú ½¾½ µ ÑÓÖ ÑØÑØ ÐÑÐ Ò ÓÖ Ò ØÐ ÐÓÞÙÒ Ý ÔÖÓÐÑ ÚÐ ÚÝ Ñ ØÒ Ý ØØÐØ Ñ ÑÖ ÞØÒÒ ÓÖ ÐÐ ÚÝ ØÐØ Ò ÑÓÐÙ ÔÖÓÐÑ Ø ÐÐØÚ ÞÓÖÒ ÞÓÒÝØÙ ØØÐØ ÚÝ ÚÐ Ó Ò Ð ÑÖ Ö ÐØØÐÒ Ø Þ ÞÖò ÙÖ ÐÔ Øº

Ù Þ ÒÙÚÐ ÐÐÒØØ Ö ÒÝ ÓÒÓÐÓ Þ ÐØÐ ÒÓ Þ¹ ÓÐ ÐÓ Þ ÐÝØ ÐÐÑÞÚ ÚØÞØØÒ Þ Ý Þ ÓÖº ÁÑÖ ÑÝÖ Þ ÖÑÞ ÑØÑع ØÙÓÑ ÒÝÐÓÞÙ ÒÝÓÑ Ò ÄØÓ ÙØÚ ØÙÓÑ ÒÝÓ ÐÔØÔÙ ÑØÑØ ÐÝØ Ñ ØÙÙ Ø ÖÓÞÒ ØÙÓÑ ÒÝÓ ÞØØ ÀÓÝ ÜÓÑØÙ ¹ÙØÚ Þ ÙÐ Þ ÖÒ ÞÖ ÖÒ ÞÖØ Ø ØÔÙ ÓÖÓÐÙ Þ Þ ÐÐÐ Þ ÜÑ ÞÒØÒ ÙØ ÖÒ ÞÖ ÞÓÒÝØ ÓÖ Ò ÖÐ ÐÚÞØØØ ØØÐÖº Þ ÜÑ Þ Ø ÐØØÐÞÚ ÖÒ ÞÖ ÞÒ Þ ÖÚÒÝ ÑÖÐÞØØÐÒº ÅÝÞÒ ÓÝ ÒÑ Þ ÒÑ ÐÒØ Þ ÜÑ ÞÒØÒ Òе ÙØ ÖÒ ÞÖ ÖÐ ÚØÞØØ ÑÒØÒº

Ú ÞÑÔÖÙ ÖÒ ÞÖ Þ Þ ÚÐÑÐÝÒ Ø ØÔ ÞØØØÐ ØÖØÒ ÞÚØ Ð Þ ÖÑÞ ÞÞ ÐÚÞØØØ ÐÐØ Ó ÞÓ ÑÐÝÒ Þ Þ ÖØ ÞÚØÐÒÐ Ñ ÐÐÔØغ Þ Þ ÞÓÒÒ ÒÑ ÖÐ ÐÐ ÞÒ ÓÒÐÞ Þ ØÒ ÒÑ ØÙÙ ÐÒØÒ ÔÖÑ Þ ÖÐ ÓÝ Þ¹ ÚÝ Ñ º Ñ ÞÓÒÒ ÖÐ ÐÐ ÞÖØ ÞØ Ò Ú ÞÑÔÖÙ ÖÒ ÞÖ ÓÐ ÐÐòº ÁØØ Ñ ÐÐ ÝÞÒÒ ÓÝ ÐÒØ ÞÒØÒ ÒÑ Ô ÐÐ ÖÑÐÒ ÞÖØ ÞØ Ò Ú ÞÑÔÖÙ ØÙÓÑ ÒÝÓ ØÒ ÚÐ ÒÝÓ Þ ÐÐ ÖÒÐÞ Ö ØÖÑÒÙ Ó ÐÒØ ÚÐ Ô ÓÐØÒº ½¼

ÃÔÚ Ð Ð ÓÖÒ ÓØØÐÓ Ö ØÐ ÖØÖÒ ÊÙ Ðк ÐÓ Ø ÔÖÓÖÑ ÙÖ ÃÙÐØÖ Ò ØÖØÒØÒ ÐÒÝÓ Ö ÞÒ ÑØÑØ Ö Ý ØÒØØØ ÑÒØ Þ ÙÐ Þ ØÙÓÑ ÒÝÓ ÑÒØÔÖº ÐØØÐÞÚ ÞÓÒÒ ÓÝ ÑØÑØ ÙÐ Þ ØÙÓÑ ÒÝ Þ ÑÓØ ÐÐ Ò ÖÖÐ ÑÒÞÑÙ ÖÐ ÑÐÝ Þ ÜÑ Þ Ø ØÙÒÙÒ ÐØغ ÐÓÞÑÙ ÞÓÐ ÞÖÒØ Þ ÜÑ Þ ÐÓ ÒØÙÐ Þ ÖÑÞº ÐÓÞÑÙ ÑÖ ÑÙÓØØ ÔÔÒ ÐÐÐ ÔÚ Ð ÊÙ ÐÐ ØÔÒØÓØØ Ö ÖÖ ÓÝ ÐÓ ÒØÙ ÑÐÝØ ÒÚ ÐÑÞÐÑÐØ ÓÐÐ ÓÐÑ ÖØ ÑÒØØØÐÒÐ ÐÐÒØÑÓÒ Ó º Ê٠йÔÖÓÜÓÒº ÐÐÒØÑÓÒ ÓØ ÙÝÒ ÐØ ÞÐÒ Ý ÜÓÑØÙ ÐÑÞй Þ ÑÐØ Ø ÚÐ Þ ÞÓÒÒ Ñ Ö ÐÓ Ø ÔÖÓÖÑ Ð ÖÙÐ ÐÑÞÐÑÐØ ÜÑ Ø ÓÐ Ú Ø Ñ ÞØ Ð ÖÑÐÝÒ ÒØÙº ½½

ÖÑÐÓÖÒйÐÑÞÐÑÐØÒ ÞØ ÑÓÒÙ ÓÝ Þ x / x Þ ÓÐÐØÚÞ Ð Þ x Ú ÐØÓÞ Òº ÒÑ º ¼¼ ÖÐ ÃÖº Ê٠йÔÖÓÜÓÒ ÄÝÒ R ÐÑÞ ÑÒÒ ÐÑÞÒ ÑÐÝ ÒÑ ÐÑ Ø Ñ Ò R = {x x / x} Ðѹ R Ø Ñ Ò ÀÞÙ ÔÖÓÜÓÒ ÖØ ÔÑÒ Þ ÞØ ÐÐØ ÑØ ÑÓ Ø ÑÓÒÓ ÞÙ º ½¾

Þ ÒØÙÓÒÞÑÙ ÄÒÝÓ ÔÚ Ð ÖÓÙÛÖ ÓÐÐÒ ÑØÑØÙ º ÁÒØÙÓÒ Ø ÐÐ ÔÓÒØ ÞÖÒØ ÑÑÐ ÚØÐÒ ÐÑÞÒ ÒÒ ÞØØ ÐØÞ Þ ÒØÙÓÒÞÑÙ ÓÒ ØÖÙØÚ ÐØÞ Ø ÑÖ Ðº ÁÄÝÒ ÞÑÔÓÒØÐ Ø Ø ÝÖ Ò ÐÐÒØØ ÔÐØÓÒÞÑÙ Ò Ñ ÑØÑØ ÓÐÓÖ ÑÒØ ÞÓÐØ ÐØÞÖ ØÒغ ÓÒ ØÖÙØÚ ÐØÞ ÑÚØÐ Þ ÒØÙÓÒÞÑÙ Ò Ý Ñ ÐÐÑÞ Ø Ø ÚÓÒ Ñ ÙØ Ò Þ ÖØ ÖÑ ØÖÚÒÝÒ ÐÚØ Ø º ÞÞÐ ÔÖ Þ ÑÓÐ ÀÞÙ ÔÖÓÜÓÒ º Î ÞÓÒØ Þ ÞØ ÐÒØ ÓÝ Þ ÒØÙÓÒÞÑÙ Ò Ý ÐÐØ ÐØ ÒÑ Þ ÒÑ Ñ ÐÓÖÙÐØ ÓÝ ÚÐÒ ÞÓÒÝØ ÓÐÝØ Ò Ý ÚÝ Ñ Ú Ðº Ö ÔÚ Ð ÈÒÖÓ º ÃÓÖØ ( A) ÖÐ ÐÚØ A A ØРеº ( A) ½

ÐÑÐØÒº ÓØØ Ø ÐÓ ÖØÖÐ ÐÐØ ÚÐÑغ Ë ËÞÑÒØÙ ÔÖÓÜÓÒÓ ÅÒØ ÑÒÒ ÐÑÐØ ÑØÑØ ÑÚØÐ ÝØ ÑØÒÝÐÚ ÞÒ ÐØ Øº ØÖÑ ÞØ ÒÝÐÚÒ ÐÒØ Þ ÙØÓÑØÙ Ò ÓÞÞ ÖÒÐÒ Ø ØÙÐÓÒ ÓØ Þ ÖØÐÑ Ø Þ Þ ¹ÖØغ À ÞØ ÒØÙØÚ ÞÒØÒ Ø Þ ÓÖ ÐÐÒØÑÓÒ ÓÖ ÙØÙÒº ËÞÑÒØÙ ÔÖÓÜÓÒÒ ÒÚÞÒ ÑÒÒ ÓÐÝÒ ÐÓ ÐÐÒØÑÓÒ Ø ÑÐÝÒ Ó ÚÐÑÐÝÒ ÓÐÓÑ ÖØÐÑÞ ÚÐ Ô ÓÐØÓ º ÞÙ ÔÖÓÜÓÒ Ò Ý ÞÖÖ ÚÒ ÐÒ Ý ÒÝÐÚ ÔÖÓÐÑ Øº Þ ÐÐØ ÖØÐÑ Ò ÔÖÓÐÑ µ Ý ÐÓ ÔÖÓÐÑ Øº Þ Þ ¹ÓÐÓÑ ØÙÐÓÒ Ò ÔÖÓÐÑ µº Þ ÖØÐÑÞ Ò ÖÐ ÞÓÒÝØÐÒ Ð Þ ÖÑÞ Ø ÞØ ÓÐÔÐ ÊÖ¹ÔÖÓÜÓÒº ÔÖÓÜÓÒÓ ÐÐÒØÑÓÒ Ñ ÒÚÒ ÒØÒÑ ÔÖÓÜÓÒµ Þ ØÒÝ ÐРѹ ÄÓ ÓÖ Ý ÐÑÐØ ÚÐÑÐÝ ÐÒØ Ø ÚÐ ÝØØ Ò ÞÓÒÝÙÐ Þ ½

ÊÖ¹ÔÖÓÜÓÒ Î Ó Ð ÚÒ Þ Ò ÞÖØ Ú Ó ÞÖ ÖØÖÒÐ ÖÚ ÞÚ ÚÒ ÒÒ Ý Ö Þ ÖØÐÑ ÑÝÖÙк ÂÐÐ ÞØ ÐÑÞØ M¹Ñк M¹Ò Ó ÓÐÝÒ ÐÑ ÚÒ ÑÐÝ ÝÖØÐÑòÒ ÑØ ÖÓÞ Ý ØÖÑ ÞØ Þ ÑÓغ Èк ÐÖØÙ Ý Þ Ñ ÒÚØ Þ Þ ÒÑ Ö ÓÝ ÞÞÐ ÑÐÝ Þ ÑÓØ Ø ÖÓÞØ٠Ѻ ÓÒÝÓÐÙÐØ ÔÐÒØ ÖÙ ÞØ ÓÝ ØÞ ÞÖ ØÞº ÎÐ Ó ÓÝ Þ ÞÚ ÙÝÒÞØ Þ ÑÓØ Ø ÖÓÞÞ Ñ ÑÒØ Þ Ðº ÂÐÐ N Þ ÐÝÒ ÑÓÒ ÖØÐÑÞØ ØÖÑ ÞØ Þ ÑÓ ÐÑÞ Øº Þ Ø Ø Ý ÒÑ Ö Ú ÐÑÞ Ý ÐØÞ ÐÒÝÓ ÐѺ ÌÒØ ÑÓ Ø ÚØÞ ÞÚØ Þ ÞÖÒÐ Ú ÖØÖØ ØÖØÐÑÞ ÞÚÐ ÑÝÖ ÒÝÐÚÒ ÖØÐÑÞØ ÐÒÝÓ ØÖÑ ÞØ Þ ÑÒ Ð ÝÐ ÒÝÓ ØÖÑ ÞØ Þ Ñº ½

Þ ÚØÐÑÒÝ ØÙÐÓÒÔÔÒ ÐÝØØ Ø Þ Þ ÚØÐÑÒÝغ Ä ÀÐÖØØÐ Þ ÖÑÞ ÞØغ ÀÐÖØ ÓÖÑÐ Ø ÔÖÓÖÑ Ì ÞØØ Ù Ñ ÑØÑØ Ø Þ ÐÐÒØÑÓÒ ÓØÐ ÞÓÒÓ Ø Ù ÑØÑØ Ø ÓÖÑ Ð ÞÒØØ ÐÙÐÙ ÓÐ ÑÐÝÐ ÞÑÒ Ø ÚØÐÑÒÝØ Ø Ñ ÞØÙÒ ÐÐÒØÑÓÒ ÑÒØ ØÐ ÅÝÞÞ ÓÝ ÞÖÒØ ÓÖÑÐ Ø ÓÒÚÒÓÒÐ Ø ÒÞÔÓÒØ ÞÖÒØ Þ Þ ÓÐÑ ÚÐ ÒÒÝ ÒÓÒ ÑÐ Ø Ø Þ Þ ÒÑ Ð Þ Ñ ÑÒØ ÓÒÚÒ Ñ ÐÐÔÓ Ö º Þ ØÒ Ý ÐØÐ Ò ÒÑ ÑÐÐ ÓÝ ÑÒØ ÐÐÑÞØ ÑØÑØ ÞÓÒÝÓ ØÖÑ ÞØ ÐÒ Ö ÐÖ Ö ½

ÐÔÐÑÞÓ ÔÓÒØÓ Ý Ò Ó ÐÑÞ ÖÐ Þ ÐÐ Þ ÓÑØÖ ÜÓÑØÙ ÐÔØ Ôе ÓÑØÖ ÜÓÑØÙ ÑÐÔÓÞ Ø Ð ÞÖ ÀÐÖØ Ø ½¹Ò Ñ Ö ÒÑÙÐ Þ ÓÑØÖ ÐÞ ÙØ Òº ÀÑÖÓ Ò ÑÐÒØ Ñ ÈÒÓ ËÙÖ ÃÒ Ñ Ó ÜÑÖÒ ÞÖº ÏÝÐ ½½¹Ò Ú ÓÐØ ÔÓÒعÚØÓÖ ÑÐÔÓÞ Øº ÀÐÖØ Þ ÙÐ Þ ÐÓ Ø ÚØØ ÑÓÖÒ ÐÓ Ò ÑØ ÓÙÖ¹ ÓÔÓÖØ ÚØØص ÞÖØ ÀÐÖعРÖÒ ÞÖ ÞÐ ÐÐ ÞÑÐÐØÒÞ º Þ ÜÑÖÒ ÞÖ ÐÐÒØÑÓÒ ÑÒØ Ò ÞÓÒÝØ ÑÒÝ ØÒ ÖÐØÚ ÞÞ Ú Þ ÚÒ ÚÞØÚ Ý Ñ ÜÑÖÒ ÞÖ ÐÐÒØÑÓÒ ÑÒØ Ö ÓÒÖØÒ ÚÐ Þ ÑÓ ÖØÑØ Ò ÐÒØÑÓÒ ÑÒØ Öº ÞØ Þ ÝÚ º ½

ÑÓÖÒ ÑØÑØ Ø Ð ÞÙ ØÐ ÒÑ ØÓÖÙ Þ ÐÒÚ ÐØÞ ÞÑÐÝØ ØÖ Þ ½¼¹ ÖÒ¹ÔÓÖÓ Þ ÓÖ ÖÒ ÓÖÒÓ Ø Ò ÑÐØ ÆÒÝÒ ÞÓÓÖ ÖÞº Ø ÑÒÒ ÑÓÐÐ ÞÓÑÓÖº ÃØÓÖÙ Èк ÓÔÓÖØÐÑÐغ ÓÙÖ¹ ÓÔÓÖØ ÓÙÖ¹ ÓÔÓÖØÓØ ØÐ ÖÒ ÑØÑØÙ Ó ÐÔØÓØØ ½ ¹Ò ÓÝ ÞÒÝÚ ÓÖÓÞØ Ò Ñ º Þ Þ ÑØÑØ Ò ÙÐ Þ ÐÑ¹Þ ÓÒÐ ÞÒØÞ Ø ÐÑÞÐÑÐØÖ ÐÔÓÞÚº Þ ÐÒÚØ ÑÐÝÒ ØØ Ö ÖÐØ ÒÝ ÚØÐ ÐÖÐ ÑØØ Ú Ð ÞØÓØØ º ÓÔÓÖØ ØÐ Ø Ý ÞØÓ ØÓØØ ÓÝ Þ ¼ ÚØ ÐÖØ ØÓ ÐÝØØ Ø ÚØØ Ðº ÖØØ ØÓ ÞÐ Ò ÒÝÒ Ø ÒÚÒ ÑÖØ ÑØÑØÙ Ó ÐØØ ÖØÒ ÚÐÐÖ ÙÓÒÒ Ïк ÐÑÐØ ØÒÙÐÑ ÒÝÓÞ Ú Ð ÞØ Ðº ÓÙÖ ½

ÈÒÖÓ ÒØÖÔÖØ Ò Ð Ô ÓÖÑÐÞÑÙ Ö Ö ÓÖÑÐÞÑÙ Ò ØØØÐÒ ÖÑÒÝ ÚÒÒ Þ Þ ÖÐ ÑÒ ÐÒ ÑÖÐÓØØ ÑÒ Ø ÞØ º Ð ØØÐ Ö ÑÙØØ ÖÖ ÓÝ ÑØÑØ Þ ÒÑ Þ ÖØ ÓÖÑ Ð Ñ º Þ Þ ÑØÑØ Þ ØÐÑÝ Þ ÑÖ ÐÓØØ ÓÒ ØÖÙÓÒ º Ð ÃÙÖØ ½¼½µ ½

ÈÖ ØÙÑ ÔÖÓÔÓÞ ÚÒÝ ÑÐÝ ÝØÐÒ Ú ÐØÓÞ ÚÒݺ й Þ ÑÓÞ ÓÖÑ Ð ÖÒ ÞÖ Þ Ò Ô ØÙÑÒ ÞÓÒÝØ Ò Þ Ñ Ñ Þ ÑÐ Ðغ ÄÝÒ P n (x) Þ nº ÔÖ ØÙÑ Π n Þ n. ÞÓÒÝØ Ò Ð ÓÖÓÐ Ò Ôк ÐØÙ ÖÒÞ µ ÓÐ n ØÖÑ ÞØ Þ Ñº Þ Þ Òº й Þ ÑÓÞ º ØÒÒ Þ Ñ ÐÒÝ Ý Þ ÞÒØØÐ ÐÝØÐÒº Ý ÞÒØØÐ ÐÝØÐÒ ÞÓÒÝØ ÐÐ ÒÑ ÞÓÒÝØ ÑÑغ ÅÝÞÞ ÞÓÒÒ ÓÝ Ð¹ Þ ÑÓÞ ÐÚÞØ Ý ÓÝ ÑÒÒ n¹þ ÞÒØØÐ ÐÝ Þ Ø ÖÒÐÒ º ÔÖÓÔÓÞ òþöº ÞÓÒÝØ ÖØ Þ ÑÓÞ ÒÑ ÐÝÒ ÚÓÐغ Ð ¾¼

Ð ÓÒÓÐØÑÒØ Þ x ØÖÑ ÞØ Þ Ñ Ð ÔÖÓÔÓÞ ÚÒÝØ ÌÒØ n [Π n P ÞÓÒÝØ x (x)¹ø] À P x (x) ÞÒØØÐ ÐÝØÐÒ ÓÖ Þ ÐÐØ Þ ÑÖØ Ý ÞÒØØÐ ÐÝØÐÒ ÐÐØ Ò ÒÑ ÐØ ÞÓÒÝØ º Ì Ø ÑÒÒ ØÒ Ý ÞÒØØÐ ÐÝ ÔÖÓÔÓÞÚÐ ÚÒ ÓÐÙÒ ÓÖ ÞÖÒØ ÚÒ Ý Ð¹ Þ Ñ ÐÝÒ Þ k ÑÒ P k (x) := n [Π n P ÞÓÒÝØ x (x)¹ø] ÐÙ ÑÓ Ø ÚÒÝØ Ô x = k ÖØ ÑÐÐØØ ÎÞ P k (k) := n [Π n P ÞÓÒÝØ k (k)¹ø] ¾½

Þ Òº Ð ÖÒò ÈÒÓ¹ÖØÑغ ÈÓÒØÓ Ò ÑÓÒØ ÒÝØÓØØ ÑÓÒØ Ú ÐØÓÞ ÜÑ ÞÓÒÝØ º Èк Èк B ÞÓÒÝØ K ÐÒØ Ø ÞÓÒÝØ ÚÝ Þ A ÑÓÒØ B ÒÝØÓØØ ÅÓÖ ÐÐÑÞØ Ð ÓÒÓÐØÑÒØ ÎÐ ÞÒò ØØ ÓÝ Ð¹ØØÐ ÑÐÐ Ú ÐØÓÞØ ÑÒÒ ÓÐÝÒ ÞÐØ ÓÖÑ Ð ÖÒ ÞÖÖ ÞÓÒÝØØ ÑÐÝ ØÖØÐÑÞÞ ØÚÒ ØÖÑ ÞØ Þ ÑÓ ÖØÑØ ÐÒØ Ò ÑÓÐÑÞ ÓÞ ÞÓÒÝØ ÓÞ Þ ÞÞغ ØÚÒ ÞÐØÒ ØÒØØÒ Ý ÓÖÑ Ð ÖÒ ÞÖØ Ò Þ ØÒ Þ Ý Ú ØòÒ Ú ÓÖÓÞØ ÐÒØØ ÑÒÒ Þ ÖÐ ÓÝ ÐØÖØÓÞ¹ ÐÓÖØÑÙ Ò ØÖ ÞÓÒÝÓ ÚÝ ÓÝ ÞÓÒÝÓ ÞÒØØ ÖÐ ÒÒ ÐÐÒ¹ ÞØ º ÑÓÒØÐ Þ x Ú ÐØÓÞ ÐÝÖ Þ n ØÖÑ ÞØ Þ Ñ ÐÝØØ Ø ÚÐ ÒÝÖغ ¾¾

Æѹ ÖØÐÒ Ð¹ÑÓÒØÓ ÐÑÖÐ Ö ÓÝ Þ ÓÐÝÒ ÐÐØ Ó ÑÒØ P k (k) Òѹ ÞÐ Ò ÓÒÝÓÐÙÐØ ÖØÐÒ ÑÒØ ÖØÑØ ÔÖÓÔÓÞ ÎÐÒ Þ ÐÝÞØ ÓÝ P k (k)¹óþ ÓÒÐ ÔÖÓÔÓÞ ÑÓÖ ØÐ Ò ÖÙ Ø ÖÒÚÐ ÙÖ Ò ÒÞÒ ÑÒØ Þ ÑÓÖ ÚÓÒØÓÞ ÖØÑØ ÐÐØ Óº Þ ÙØ ÚÒ ÞÓÒÒ ÞÖòÒ Ý ÞÖò Ð ØÔÙ ÔÖÓÔÓÞ ÞÒÖ ÖÐغ ¾

ÎØ Ö¹ Þ ÚÐ ÜÑÖÒ ÞÖÒ ÑÓ Ø ÚØÐÒ ÖÐ ÓÝ Ð ÓÒÓÐØÑÒØ ÐÐÑÞغ ÖÖ Ð Ö Ø ÐÒ ÌÙÖÒ Ø ÖÝÐØ Ý ½ ¹ Ò Þ ÖÐ Þ Ñ ÔÖ ÐÓÞ ÓÖÑÐÞÑÙ Ý Á ÑØÐØ ÐÞ Ð Ö ÑÑÒØ Ö G ÂÐÐ 0 P ¹ÐÐ k йÔÖÓÔÓÞغ ÎÝ ÓÞÞ ÖÒ ÞÖÞ (k) G 0 ÑÒØ ÜÑ Øº ÞØØØ ÖÒ ÞÖÒ ÑÐ Þ Ø ¹Ø G 1 ÑØ Ö ØÓÐØÙÒ ÖÒ ÞÖÞ Øº йÔÖÓÔÓÞ G 0 G º º º ÜÑ Ð ÚØØØ ÖÒ ÞÖ ÙÝÒ ÒÑ Ð Þ ØÐ 1 ÒÒ Ð¹ÔÖÓÔÓÞ ÐÝÒ G ω º À ÓÒÐ ÑÓÒ ÓÐÝØØÚ ÚØØØ ÖÒ ÞÖ ØÓÚ Ð¹ÔÖÓÔÓÞ ÓÒÓÐØÑÒØØ G ω+1, G ω+2,...,g 2ω, G 2ω+1,...,G ω 2...,G ω ω,... ÓÝ ÞÓÒÝÓ ÖØÐÑÒ Ó ÒÑ ÐÐ Ñ Þ Ð Ö º ¾

ÑØÑØÙ Ó ÐØÐ ÐÓÓØØ Þ Ñ ÞÖº ÓÖÑ Ð ÖÒ ÞÖ ÖØ Þ ÐÝØÐ ÜÑ Øк ÞÖÒØ ÈÒÖÓ ÌÖÞ ÐÚ Ð ÓÒÓÐØÑÒØ ÓÖ Ò ÐÐÑÞØÙÒ Ý ÖÒ ÞÖÒ ÚÐ ÑÐ Ø Ø ÑÐÝ ÐØÐ ÖÖ ÚØÞØØØÒ ÓÝ P k (k) Þ ÖÒ ÞÖÒ Ðк ÞÞ ØÖÞÚ Þ ÜÑÖÒ ÞÖ Þ Ð Ö Þ ÐÝÓ ÖØÐÑØ Ô ÐØÒ ÑÐ Ø ÙÒØ ÐÐ ÒÑ ÞÓÒÝØØ ÑØÑØ Þ Ó ÖÒ ÞÖÒ ÓÐÒº Þ Ø ÑÐ Ø ÑÐÝØ ØÖÞ ÐÚ Ñ Ò ÓÐÐ ÒÑ ÐØ ÖÑÒÝ Ø ÞØ Ò ÐÓÖØÑÙ ÑòÚÐØÒ ÑÐÝØ Ý ÓÖÑ Ð ÑØÑØ ÖÒ ÞÖ ÐØÒ ÓÐÒº Þ ÖÓÐÓÑÒ Þ ÑÓ ÓÐÝÒ ÞÓÒÝØ ÚÒ ÑÐÝ ÓÐÝÒ ÑÐ Ø ÓØ ÚØÐÒ ÑÐÝ Ø ÚÓÐ Ò ¾

½º ÖÑÒ Ý ÑÒØ ÓÖ Ò ÑÓÖ P ÔÔÒ k ÔÖÓÔÓÞ Þ ÚÓÐØ Ø Ð ØØÙº (k) ÐÚ ÑÐÒ Þ ÑØÐØ ÌÖÞ Ð Ö Ò ÐÞ Þ ÑØÐØ ÐÞ Ð Ö Ð ÐÒØÞØØÒ ØÒØØÒÒ ÓÝ ÓÝÒ ÒØ Ð ØÒÝÐ Ò Ý ÔÖÓÔÓÞ Þ Ø º ÖØÙ ÔÓÒØ ÑÒÒ Þ ÞÒ Þ ÓÝ ÓÝÒ ÓÐ٠йÔÖÓÔÓÞ Ý ÚØÐÒ Ð Ò ØÓРغ Þ Ô Þ ÐÐ ÓÝ Þ ÚØÐÒ Ð Ó ÐÓÖØÑÙ Ò ÖÒ ÞÖÞØ ÐÝÒº ÀÓÝ ÞØÓ ÐÝÒ Ò ÓÝ ÖÒ ÞÖÞ ÐÝ Ò Ò Ð Ñ ÞØ ÑØ ÐØØÐÞ ÞÖÒØ Ñ ÐÐ Ò ÐÒ Þ Ò Ð Þ ÖÒ ÞÖÒ ÚÐÖÐ Ú ÑÐ Ø ÓÖ ÑÐÝ ÚÐ Ò ÖÑÐÝÒ ÐÓÖØÑÙ ÐÑÒÝÒº ¾

Ñ Þ Þ Þ ÎÐ ÞÒ ÐØÙ ÑÐ Ø Ø ÀÓÝÒ Þ ÑØÐØ ÐÞ Ð Ö ÓÖ Ò ÑÒ Ð¹ÔÖÓÔÓÞØ ØÓÐØÙ ÜÑÒØ ÖÒ ÞÖÞº Å ÐØ ÞÓÒÒ ÑÙØØÒ ÓÝ Ð¹ÔÖÓÔÓÞ Ø Ø ØÓÐØÒ Ò Ý ÓÒÞ ÞØÒ ÖÒ ÞÖØ ÔÒ Òº ÞØ Ð ØÙ Ø Ø ÓÝ ÑÐ Ø Ò ÚÐÒ ÓÒØÓ ÞÖÔ ÚÒ ÞÒ ÑÒÒ ÑÖ ÒØÙØÚ ÐÓ ÓÝ Ð¹ÔÖÓÔÓÞ Þ Ñ Ñ ÓÓÞ ÐÐÒØÑÓÒ Ø ÞÓ Ø Ñº ÑÐ Ø ÓÐ ÚØÓ Ò ÐÐ ÒÒ ÑÖØ ÒÒÝÒ ÐÐÒØÑÓÒ Ó ÚÖØÒº ÑÐ Ø Ø Ø ÐÒÝÒ ÒÑ Ñ ÑÒØ ÐÓ ÒØÙº ¾

ÑØÑØ ÐÓ Ð ÐÐÒØÑÓÒ Þ ÜÓÑØÙ ÐÑÐØ Ð ÐÐØ Ö ÚØÓØØ ÑØÑØ ÐÓ ØÖÑ ÞØ ÒÝÐÚØ ÒØÙØÚ Þ ¹ÓÐÑØ ÞÒ Ð ÑÞÒ ÔÔÒ ÑÒØ ØÒ Ö ÑØÑØ Ø ÞÑÒØÙ ÔÖÓÜÓÒÓØк Ê ÙÐ ÑØÑØ ÐÓ ÐÐØ Ò ÞÓÒÝØ Ö Ð ÞÒ Ð ÞÓÒÝÓ ÑØÑØ Ñ ÞÖØ ÐÑÞÐÑÐØ ÖØÑØ ÓÐÑØ ÑÞÒ ÔÔÒ ÑØÑØ ÐÓ ÐØ ÚÓÐÒ Þ ÑÐØØØ ÐÑÐØ ÓÒ ØÖÙº ÒÒ ÔÖÓÐÑ Ò ÑÚ Ð ÞÓÐ ÐÓÞ ÓÐ ÞÓÒÒ ÞØÓ Ò ÐÐØØÙ ÓÝ Þ Ð ÐÐÒØÑÓÒ ÑÑÐ ÝÓÖÐØ ÒÞ Ø ÒÑ ÓÓÞ ÓÞ ÓÒÐÒ ÓÝ ÑÒÒ ÞÐÐÑÐ Ô ÞÐØØ Ô ÑØÒÙÐÒ Þ ÒÝÒÝÐÚØ ÒÒ ÐÐÒÖ ÓÝ ÞÐØ ÓÖ ÑÑÐÝÒ ÒÝÐÚØ ÒÑ ÑÖº ¾

ÀÐÖعÔÖÓÖÑ ÑÓØÚ ÀÐÖØ ÞÓÒÝØ ÐÑÐØ ÞÑÒÝÞ Ø ÚÐ ÞÒòÐ ÒÑ Þ ÖÐ ÑØÑØ ÑÐÔÓÞ Ò Ð ÑÓØÚ Ðغ ÃÖ Ð ÞÞÐ Ô ÓÐØÒ Þ Ð Ö ÑÝÞ Ø Ø Þ Ö ÀÐÖعÔÖÓÖÑ ÞÓÒÝØ ÐÑÐØ Ð ÐØÐ Ò ÒÑ Ô ÓÐÒ ÝÑ ÓÞ ÝÖÒ ÓÒØÙ ÖÐÒ Þ ÒÑ ÐÒØ ÞØ ÓÝ ÀÐÖØ Ø ÖÒ ÐÐÒØÑÓÒÒ Òº ÅÒ Ö Ð ÑÒ ÐÝÞØØ ÞÐØ Ð Ý ØòÒ ÓÝ ÐÐ Ý ÓÖ Þ Ò ÐÓÒØÓ Ð Þ ÚÓÐØ ÓÝ ÑØÑØÙ Ó ÝÐÑØ ÞÓÒÝØ ÓÖ ÑÒØ ØÒÙÐÑ ÒÝÓÞÒ Ø ÖÝÖ Ö ÒÝØ ÒÝ ÔÖÓÖÑ Þ ÞÓÐ ÐØ ÐØк ¾

ÁÖÓÐÓÑ ÊÓÖ ÈÒÖÓ Þ Ö ÐÑ ½ ÊÝÑÓÒ ËÑÙÐÐÝÒ Ð ÒÑØÐ ØØÐ ½ ËÑÓÒÝ ÒÖ ÀÐÖعÔÖÓÖÑ Ð ÒѹØÐ ØØÐ ÃÖ Ø Â ÒÓ Þ ÒÐÞ ÐÓ ÐÔ ½ ÃÙØÖÓÚ ØÞ ÓÖ ÄØÓ ÁÑÖ ÑØÑØÐÓÞ Ð µ ¾¼¼¼ ÔÖÐ ¼