Szakác Jenő Megyei Fizikaereny Megoldáok 03/04. tané I. forduló 03. deceber.
. Egy zeély 35 áodperc alatt egy fel gyalog egy kikapcolt ozgólépcőn. Ha rááll a űködő ozgólépcőre, az 90 áodperc alatt izi fel. Mennyi időbe telik az ebernek felgyalogolni a bekapcolt ozgólépcőn? (0 pont) Jelölje L a ozgólépcő hozát, gy a gyaloglá ebeégét é l a ozgólépcő haladái ebeégét, ekkor: L 35, illete L 90, gy l aelyekből: L L gy, illete l 35 90. A bekapcolt ozgólépcőn gyalogola az eredő ebeég gy l, így az L hozúágú út egtételéhez zükége idő: L L 35 90 t 54. L L 35 90 gy l 35 90 Tehát 54 áodpercbe telik az ebernek felgyalogolni a bekapcolt ozgólépcőn. 0 pont. A peti zleng a illaot többek között a tuja néel illette, aely ég abból az időből ered, aikor a illaooknak nyitott lépcője olt (azaz a lépcő az ajtón kíül olt). Így akár ég a ozgó illaora i fel lehetett ugrani, ezért okak záára a illao hátulja olt a kizeelt célpont. No, tekintünk egy ilyen zituációt! Egy illao a egállóból éppen akkor indul el, / gyoruláal, aikor egy eber 6 éter táolágban an a égén leő lépcőtől (a illao ögötti irányban). Az eber 4 / ebeégű egyenlete futáal üldözőbe ezi a illaot (a ínzakaz egyene). Fel tud-e ugrani a lépcőre, azaz utoléri-e az eber a illao égét, é ha igen ennyit kell futnia? Magyarázzuk el zeléleteen a kapott eredényeket! (30 pont) Koordináta-rendzerünk x tengelye legyen párhuzao a ínnel, utaon a illao ozgáának irányába é az origó legyen a illao égénél (hátó lépcőjénél) az indulá pillanatában. Ekkor a illao, illete az eber x koordinátájának időfüggée: x t, t, illete: x t t. e 6 4 Az eber akkor éri utol a illao lépcőjét, ha x t x t e, azaz áodfokú egyenletnek két gyöke an: t =,8 é t =4,39. 5 pont 0,6 t 6 4 t, aely
De ajon indkét egoldának an aló fizikai tartala? Hogy ezt egilágítuk, záoljuk ki a illao ebeégét a két kapott időpillanatban: t t,, 8,74, illete t t, 4,39 5, 7. Látható, hogy a t =,8 időpillanatban az eber ebeége (4 /) nagyobb, int a illaoé, azaz ha ne ugrik fel, hane toább fut, akkor leelőzi a illao hátó lépcőjét. Azonban a illao toább gyorul é a t =4,39 időpillanatban ár a hátó lépcő éri utol az ebert, ajd ha az ekkor e ugrott fel rá, égleg lehagyja. 0 pont Terézeteen az ebernek az elő alkalat kell egragadnia az ugrára, ha egyáltalán érdee ozgó járűre felugrani, akkor annak ebeége legyen inél kiebb. Az elő eetben 4, 8 9, étert, a áodik eetben 4 4,39 7,56 étert kell futnia. 5 pont 3. Becüljük eg, hogy ekkora (hány N) üté éri a futballjátéko fejét fejelékor! Az ütközé igen jó közelítéel tökéleteen rugalanak tekinthető, tegyük fel, hogy a labda / ebeéggel érkezik a fejéhez é ugyanekkora nagyágú (pontoan ellentéte irányú) ebeéggel pattan iza. A labda töege 450 gra, az ütközé időtartaa (aíg a labda a fejjel érintkezik) kb. 0,0 áodperc. A futballjátéko 90 kg tettöegének integy 0%-a a fejének töege, tehát kb. 9 kg. Egy eber agya axiálian 30-40 / gyorulát képe elielni köetkezények (pl. agyrázkódá, ájulá) nélkül. Vajon iért ne történik ei baja a játékonak fejelékor? (Érdee alapoan egnézni a képet!) (0 pont) A labda ebeégáltozáának nagyága 44 / (+ / ebeégről - / ebeégre áltozott), így a gyorulá nagyága: 44 a 4400 0,0, Aiből a labdára, é ennek ellenerejeként a játéko fejére ható erő nagyága: F labda a 0, 45 kg 4400 980 N. A játéko fejének gyoruláa (ha cak a fej töegét ennénk figyelebe): F 980 N a fej 0. 5 pont 9 kg fej A kapott érték okzoroan felülúlja a 30-40 / kritiku gyorulát, aelyet az agy képe elielni, azaz a fejelő játékonak legalábbi el kellene ájulnia. Ha azonban a képet jól egnézzük, akkor látható, hogy a játéko nyakizai teljeen egfezülnek, így a fej gyakorlatilag tökéleteen ereen catlakozik a törzhöz, azaz az üté ereje a telje tetre fog hatni, ez eetben a gyorulá értéke cupán: F 980 N a. 5 pont tet 90 kg Megjegyezzük, hogy ha a játéko ne kézül fel nyakizai egfezítééel a labda érkezéére (pl. hátulról találja életlenül fejbe a labda), akkor cak a fej ezi át az erőlökét é a játéko alóban elájulhat.
4. Egy egyene, ia rudat ízzinte aztallapon rögzítünk az egyától, táolágban leő A é B pontokban. A rúdra egy 0,5 kg töegű bilincet húztak, aely úrlódáenteen cúzhat a rúdon. A bilinchez egy 90 N/ rugóállandójú, elhanyagolható töegű, 40 c nyugali hozúágú rugót erőítünk, a rugó áik égét pedig a C pontban rögzítjük. A C pont az A é B pontok felezőerőlegeén a rúdtól 0,8 táolágban an. A bilincet a B pontba húzzuk, ajd kezdőebeég nélkül elengedjük. Mekkora ebeéggel halad át a bilinc a K ponton, az AB zakaz felezőpontján? (0 pont) A echanikai energia egaradái törénye zerint a bilinc ozgái energiájának é a rugó helyzeti energiájának özege állandó, tehát a B pontban é a K pontban azono értékű: B k lb l0 K k lk l0. 0 pont A rugó nyugali hoza l 0 0, 4, a rugóállandója k 90 N, a bilinc töege 0,5 kg. A rugó hoza, aikor a bilinc a B pontban an pedig a K pontban an l 0,8, így (felhaznála, hogy 0 ): K k 90 K lb l0 lk l0 0, 4 0,8 0, 4 6. 0,5 A bilinc tehát 6 / ebeéggel halad át a K ponton. 0 pont B lb 0, 6 0,8, aikor 5. Egy kalapácető tréfából függőlege íkban forgatja eg a kalapácát egy 60 c ugarú (karhoz pluz zár) körön. A kalapácető álla,7 agaágban an, azaz a kör középpontja,7 agaan an a föld felett. A felzínhez képet ilyen agara tudja függőlegeen felhajítani a 3 / fordulatzáal forgatott kalapácot? (g=9,8 / ) (0 pont) A kalapác akkor jut a legagaabbra, ha fölfelé haladáa pillanatában engedjük el (tehát,7 agaágban), ekkor függőlegeen elhajíta ozog. Adatok: n = 3 /, r =,6. ker r r n =,6 3 / = 30, / = kezdő 5 pont Az elhajítái helyhez képeti eelkedé h értéke többféleképpen i kizáítható: (a) Az eelkedé addig tart, aíg a tet ebeége el ne tűnik: 0 kezdő 30, t = 3,08, a g 9,8 aiből: a h t t 30, 3,08 3,08 = 46,5 kezdő 9,8
kezdő (b) Eozgái Ehelyzeti kezdő g h 0 h = 46,5 g Így a felzínhez képet 46,5 +,7 = 48, agaágig eelkedik a kalapác. 5 pont 6. Egy rendőrlápánál álló tehergépkoci,5 / gyoruláal indul el. A rakodótérben a hátó faltól 4,5 táolágra egy 440 kg töegű láda an, aely az indulá pillanatában egcúzik. Mennyi idő úla ütközik a láda a hátó falnak, ha a cúzái úrlódái együttható a láda é a padló között 0,53? (g=9,8 / ) (30 pont) Koordináta-rendzerünk x tengelye utaon a teherautó ozgáának irányába, az y tengely pedig függőlegeen felfelé, az origót rögzítük a teherautó helyén az úthoz az indulá pillanatában. A Newton-féle ozgáegyenletek x, illete y koponenekre: FN g 0, illete F al, ahol F N a felületi kényzererő, F a cúzái úrlódái erő, a láda töege é a l a láda x irányú gyoruláa (az úthoz képet). A cúzái úrlódái erő definíció zerint: F FN, így a fenti egyenletekből: F FN g, aiből: al g 0,539,8,5. 5 pont Ez a láda gyoruláa az úttethez képet, izont a teherautó ugyanebbe az irányban ozog at,5 gyoruláal, így a ebeég-özeadódá törénye zerint a láda relatí gyoruláa a teherautóhoz képet (azaz a teherautóhoz rögzített koordináta-rendzerben): a al at,5,5. 5 pont A teherautóhoz rögzített koordináta-rendzerben 4,5 utat kell egtennie a ládának a hátó falig, aelyhez zükége idő: 4,5 t 3. 0 pont a Tehát a láda az indulá pillanatától záíta 3 áodperc úla ütközik a rakodótér hátó falának. 7. Hogy gyáoltalan fiókáikat egédjék, a ándorólyok nagy ebeégel nekirepülnek a közelítő fézekrabló adaraknak, int pl. a dolányo arjaknak. Egy dokuentált eetben a 600 g-o ándorólyo 0 / ebeéggel repült neki a,5 kg töegű arjúnak, ai 9 /al repült. A ólyo a arjú eredeti haladái irányára erőlegeen capódott be, é 5 /
ebeéggel lökődött iza aját kezdőebeégének irányáal pontoan ellentéteen. Mennyiel áltozott eg a arjú ebeégének nagyága? (0 pont) Két tet ütközééről an zó, elynek orán az özlendület egaradó ennyiég. A arjú ütközé utáni ebeége ebből eghatározható, é a ebeégnagyágának egáltozáa i. Adatok: Legyen a arjú eredeti haladái iránya az x irány, a nekirepülő ólyo ozgáiránya az y irány (adott, hogy ezek erőlegeek egyára). u betűkkel fogjuk jelölni a kezdőebeégeket, é -kkel a égebeégeket. Ezekkel a jelöléekkel = 600 g, =,5 kg, u (0; 0 /); u (9 /; 0); (0; 5 /). u u A lendület egarad: u u, aiből = = u 0,6kg 9 ;0 0;0 0;-5 u,5kg = (9 /; 0 /). Ezerint a arjú ütközé utáni ebeége nagyága 9 0 = 3,5 /, tehát 4,5 /-al áltozott eg a arjú ebeégének nagyága. 0 pont 8. Egy, 3 térfogatú tartályba behelyezünk egy 0, 3 térfogatú (elhanyagolható falatagágú) dobozt, aelynek tetejét egy 0,5 kg töegű, 00 c felületű ízzinte íkleez ( ajtó ) zárja le. A dobozban 30 C hőérékletű, 8 ólnyi ennyiégű ideáli gáz an, íg a tartályban ugyanilyen, azono hőérékletű 479 ólnyi gáz. Az egéz rendzert elegíte ilyen T hőérékleten nyílik ki az ajtó? (g=9,8 / ) (30 pont) Előzör i együk ézre, hogy a feladatban egfogalazott elrendezében a tartály hazno 3 3 3 térfogata (aelyet a benne leő gáz elfoglalhat) V, 0,. A tartályban leő gáz ennyiége n 479 ol, íg a t Vd t 3 0, térfogatú dobozban leő gáz ennyiége nd 8 ol. Az ideáli gáz állapotegyenlete alapján a tartályban, illete a nt dobozban leő gáz nyoáának értéke egy adott T hőérékleten pt RT, illete Vt nd pd RT. 0 pont Vd Az ajtó akkor nyílik fel, ha a doboz é a tartály nyoákülönbégéből zárazó az 0,5 kg töegű lezáró leez A 0,0 felületére ható erő nagyobb lez, int a leez úlya, azaz: p p A g. 5 pont d t A fenti nyoákifejezéeket felhaznála kapjuk, hogy: nd n t RTA g, 5 pont Vd Vt aiből:
g 0,59,8 T 354 K 8C. 0 pont n 8 479 d n t RA 8,34 0,0 V 0, d Vt Tehát a rendzert a kezdeti 30 C hőérékletről 8 C hőéréklet fölé kell elegíteni, hogy a lezáró leez ( ajtó ) kinyion. 9. Egy baeball ütőjátéko 40 / ebeéggel, a ízzintehez képet 5 -o eelkedéi zög alatt üti el a labdát, a pálya zintje felett agaágból. El tudja-e kapni a tőle 8 táolágban leő fogójátéko a felé zálló labdát, ha (felugora) axiálian,8 agaágig képe felnyújtani a kezét? (g=9,8 / ) (A pálya ízzinte íkú.) (0 pont) Helyezzük a koordináta-rendzerünk origóját az ütőjátéko lábához a talajra, az x tengely utaon az ütőjátékotól a fogójátéko felé, az y tengely pedig függőlege. Ebben a koordináta-rendzerben a t=0 pillanatban elütött labda helyét egy adott t időpillanatban az alábbi özefüggéek adják eg: xt x0 0 co t 0 40co 5t. 0 pont y t y0 0 in t g t 40in 5t 9,8t Az elő özefüggéből eghatározhatjuk, hogy a labda ennyi idő alatt ér az x=8 pontba: 8 t 3, 55, 5 pont 40co 5 Majd a áodik özefüggéből kizáíthatjuk a labda y t 3, 55 agaágát a fogójátékonál: y t 3, 55 40in 5 3, 55 9,8 3, 55 4. A labda tehát 4 agaágban repül a fogójátékonál, így az ne tudja elkapni. 5 pont 0. Napozához kézülőde egy edence partján ézreezed, hogy ninc eg a obiltelefonod. A,5 élyégű edence zélétől -re állz é körüljártatod a tekintetedet (zeed a talajzint é az azzal egegyező ízzint fölött,75 -rel an). Röideen ézre i ezed a telefont, épp hogy cak látzik a edence alján, a edence zéle ajdne eltakarja. Milyen eze an a telefonod a edence falától? (0 pont) A telefonról a zebe jutó fény a leegő é a íz határfelületén egtörik. Az adatokból kizáítható a (leegőbeli) töré zöge, aihez a fénytöré törényéből eghatározható a (ízbeli) beeé zöge, ely a ízélyéggel együtt egadja a telefonnak a edence aljától ért táolágát, x-et.
tg = /,75, innen = 48,8 ; tg = x /,5, alaint n leegő = é n íz =,33 A fénytöré törénye: n in n in, aiből íz leegő nleegő in in in 48, 8 = = 0,566 é = 34,5. níz,33 x-et kifejeze x =,5 tg 34,5 =,7. 0 pont. Az ábrán egy ágnee érleg látható. A érendő töeg a ízzinte férúd közepén lóg, a rúd egy,5 T (az ábra íkjába befelé utató) indukciójú hoogén ágnee térben an. A rúd 60 c hozú, é különlegeen könnyű anyagból kézült, ezért úlyát elhanyagolhatjuk. Vékony függőlege ezetékekkel kapcolódik a telephez, elyek entén függőlegeen könnyen elcúzhat. A telep fezültégének beállítááal addig áltoztatható az árakör áraa, aíg a rúd a ráakaztott töeget éppen egtartja, ne cúzik e fölfelé, e lefelé. A rúddal egy 5 -o ellenállá an orba kapcola, az árakör többi rézének ellenálláa elhanyagolható. (a) Az a agy a b ponthoz an a telep pozití arka köte? (0 pont) (b) Ha a telep axiáli fezültége 75 V, ekkora az elrendezé által egtartható legnagyobb töeg? (0 pont) A rúdból é a érendő tetből álló rendzert a rúdra, int áraal átjárt ezetőre ható Lorentz-erő tartja egyenúlyban a tet úlya ellenében. Felfelé utató Lorentz-erőre an zükég, aiből eghatározható az ára iránya, ajd a polaritá i. A axiáli ára eghatározza a axiálian egtartható úlyt i. Adatok: B =,5 T; L = 60 c; U ax = 75 V; R = 5 Az áraal átjárt ezetőre ható Lorentz-erő FL I L B, ahol L irányítáa a technikai árairánynak felel eg. Miel F L fölfelé, B pedig az ábra íkjába befelé utat, ezért L-nek balról jobbra irányulónak kell lennie. A technikai árairány a telep pozití arkától a negatí felé tart, ezért a pozití arok bal oldalon an, agyi az a-al özeköttetében. 0 pont U ax 75V A axiálian beállítható ára Oh törényéből záítható ki: I ax = R 5 = 35 A. Ebből a axiáli Lorentz-erő nagyága (kihaznála, hogy indegyik ektor indegyik áikra erőlege): F L, ax Iax L B = 35 A 0,6,5 T = 3,5 N. Ez egyben a legnehezebb egtartható úly, ainek töege (g zokáo közelítő értékét figyelebe ée) 3,5 kg. 0 pont
. Mekkorának álazuk az ábrán látható kapcolában az ieretlen R ellenállát é a telep U t fezültégét ahhoz, hogy U 4 = 00 V é a telje felett teljeítény 00 W legyen? (30 pont) Adatok: záozzuk eg az ellenálláokat -től 4-ig! R ieretlen, R = 00, R 3 = 0, R 4 = 00, az R 4 -en eő fezültég iert: U 4 = 00 V, a telje rendzer, azaz az R R 4 ellenálláok eredője, R 34 által felett teljeítény P 34 = 00 W, ezt azonban ieretlen U t fezültégforrából nyerjük. R 3 oro kapcolában an R 4 -gyel, ezért rajtuk azono ára folyik: U 4 00 V I 3 I 4 I34 = A. R4 00 R párhuzao kapcolában an R 3 R 4 oro eredőjéel, R 34 -gyel (elynek értéke R 34 = R 3 + R 4 = 00 + 0 = 0 ), ezért rajtuk azono fezültég eik: U = U 34 = U 34 = R 34 I 34 = 0 A = 0 V. 5 pont Ez a fezültég R R 4 eredőjén (elynek értéke R 34 = 7,0 ) R R 00 0 U 34 0 V a egköetelt teljeítényből P 34 = 70,5 W-ot ad le. 5 pont R34 7,0 A aradék P = P 34 - P 34 = 00 W 70,5 W = 9,5 W-ot R -en ugyanakkora ára ejti, U 34 0 V int ai R R 4 eredőjén folyik: I I 34 I34 =,55 A. R34 7,0 P 9,5 W Ebből kizáítható pl. R értéke: R =,3. 0 pont I,55A A telep fezültége pedig U t = U + U 34 = R I + U 34 =,3,55 A + 0 V = 9 V. P 9,5 W Má ódon toábbhalada az R -en eő fezültég U = 9,0 V, aiből R I,55 A U 9,0 V értéke: R =,3. I,55 A A telep fezültége pedig U t = U + U 34 =,3,55 A + 0 V = 9 V. 0 pont 34 3. A 008-ban felbocátott GeoEye- űhold a legjobb felbontáú képeket kézítő ciil táérzékeléi űholdak egyike. A űhold által kézített képek egyik fő felhaználója a Google táraág, Google Earth é Map zolgáltatáai záára. Pályája nagy pontoággal kör alakú, a földfelzín fölött 684 k agaágban kering. Képalkotó rendzerének fókuztáolága 3,3, fekete-fehér képérzékelője kb. 95 zéle é aga, ezen belül egy képpont érete 8. A űhold képalkotó rendzerét tekintük úgy, hogy a ékony lencék leképezééhez haonlóan űködik! Hány négyzetkiloétere területről képe fekete-
fehér képet kézíteni a űhold, é ekkora éretű földfelzíni tárgy foglal el a képen éppen egy képpontot? (0 pont) Iert a leképezé tárgytáolága é a fókuztáolág, ezekből a lenceegyenlet egadja a képtáolágot (bár a hatala tárgytáolág iatt záítára ninc i feltétlenül zükég, a képtáolág ajdne pontoan a fókuztáolággal egyenlő). A tárgy- é a képtáolágból kizáítható a nagyítá, elynek egítégéel a egadott két képnagyágnak (a telje képzenzornak é az egy képpontnak) egfelelő tárgynagyág ár köetkezik. Adatok: t = 684 k; f = 3,3 ; K = 95 ; K 8. Kereett ennyiégek: T é T. A lenceegyenletből a képtáolág indkét eetre f k t k 3,300 3,3 f. f t 3,3 684000 k 3,3 5 A leképezé nagyítáa: N,94 0. t 684 000 K 0,95 Ebből a két tárgynagyág: T 5 00 5, k, alaint 5 N,94 0 6 K 8 0 T 0,4. 5 N,94 0 Terézeteen telje értékű egoldá az i, ha a lence közepén átenő fényugár, az optikai tengely é a tárgy, ill. a kép által alkotott két haonló derékzögű hározög befogói arányát haználja a erenyző: T K ill, ill. K,., ill. K, ill., aiből T, ill. t t t k k f Ezek zerint a űhold egy képe 5, k 5, k = 3 k -t fed le, é egy képpont 4, c-nek felel eg. 0 pont